Retta tangente e differenziale: equazione, retta normale, approssimazioni ed esercizi

La derivata è la pendenza della retta tangente. Con questa sola idea si risolve un’intera famiglia di esercizi d’esame, dalla tangente in un punto alle curve tangenti con un parametro da trovare. La stessa tangente, vista come approssimazione della funzione, diventa il differenziale: con esso si calcolano a mano valori come $\sqrt{4{,}1}$ e si stima quanto un errore di misura pesa sul risultato. In questa pagina vediamo la tangente come limite delle secanti, la sua equazione, la retta normale, le tangenti con pendenza assegnata e da un punto esterno, le curve tangenti e l’angolo tra due curve, il differenziale e l’o piccolo, le approssimazioni lineari, la propagazione degli errori, il significato di $\frac{dy}{dx}$, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Dalla secante alla tangente

A scuola la tangente a una circonferenza è la retta che la tocca in un solo punto. Per un grafico qualsiasi questa definizione non funziona: la retta $x = 1$ incontra la parabola $y = x^2$ in un solo punto, ma non le è tangente, e la tangente a $y = x^3 - 3x$ nel punto di ascissa 2, come vedremo, incontra il grafico anche in $x = -4$. Serve un’idea diversa.

Fissa sul grafico il punto $P = (x_0, f(x_0))$ e prendine un altro, $Q = (x_0 + h, f(x_0 + h))$, con $h \neq 0$. La retta $PQ$ è una secante e la sua pendenza è il rapporto incrementale:

$$m_{PQ} = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$

Ora avvicina $Q$ a $P$, da destra ($h > 0$) e da sinistra ($h < 0$). Le secanti ruotano attorno a $P$: se da entrambi i lati tendono alla stessa retta, quella è la tangente.

Con i numeri: per $f(x) = x^3 - 3x$ e $x_0 = 2$ si ha $f(2) = 2$, e il rapporto incrementale si semplifica così:

$$\begin{gathered} \frac{(2 + h)^3 - 3(2 + h) - 2}{h} \\ {} = \frac{9h + 6h^2 + h^3}{h} = 9 + 6h + h^2 \end{gathered}$$

$h$	Pendenza della secante
$1$	$16$
$0{,}1$	$9{,}61$
$0{,}01$	$9{,}0601$
$-0{,}01$	$8{,}9401$
$-0{,}1$	$8{,}41$
$-1$	$4$

Da destra le pendenze scendono verso 9, da sinistra salgono verso 9: la tangente in $(2, 2)$ ha pendenza $f'(2) = 9$.

Le tangenti sono all’origine del calcolo differenziale: il primo articolo pubblicato sull’argomento, di Gottfried Wilhelm Leibniz (Acta Eruditorum, 1684), si intitolava «Nuovo metodo per i massimi e i minimi, e anche per le tangenti».

L’equazione della retta tangente

Una retta non verticale che passa per $(x_0, y_0)$ con coefficiente angolare $m$ è fatta dai punti $(x, y)$ che, rispetto a $(x_0, y_0)$, hanno pendenza $m$:

$$\frac{y - y_0}{x - x_0} = m \qquad (x \neq x_0)$$

Moltiplicando per $x - x_0$ si ottiene $y - y_0 = m\,(x - x_0)$, che comprende anche il punto $(x_0, y_0)$. Per la tangente $y_0 = f(x_0)$ e $m = f'(x_0)$:

Qui $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sono numeri: l’unica $x$ che resta è la variabile della retta.

La scaletta.

1. Calcola $f(x_0)$, l’ordinata del punto di tangenza.
2. Calcola $f'(x)$ con le regole di derivazione e poi il numero $f'(x_0)$.
3. Sostituisci i due numeri nella formula e semplifica in $y = mx + q$.
4. Controlla: per $x = x_0$ la retta deve dare $f(x_0)$.

Esempio 1. La tangente a $f(x) = x^3 - 3x$ in $x_0 = 2$. Abbiamo $f(2) = 8 - 6 = 2$, $f'(x) = 3x^2 - 3$ e $f'(2) = 9$:

$$y = 2 + 9\,(x - 2) \iff y = 9x - 16$$

Controllo: per $x = 2$ la retta dà $18 - 16 = 2$.

Esempio 2: tre tangenti da ricordare. La tangente a $e^x$ in 0 è $y = 1 + x$, quella a $\sin x$ in 0 è $y = x$, quella a $\ln x$ in 1 è $y = x - 1$. Le ritroveremo nelle approssimazioni.

La retta normale

La retta normale al grafico in $P$ è la retta per $P$ perpendicolare alla tangente. Due rette non verticali sono perpendicolari quando il prodotto dei coefficienti angolari è $-1$. Quindi, se $f'(x_0) \neq 0$, la normale ha pendenza $-\frac{1}{f'(x_0)}$:

$$y = f(x_0) - \frac{1}{f'(x_0)}\,(x - x_0)$$

Nell’esempio 1 la normale in $(2, 2)$ ha pendenza $-\frac{1}{9}$:

$$y = 2 - \frac{1}{9}\,(x - 2) \iff y = -\frac{1}{9}x + \frac{20}{9}$$

I due casi speciali.

• Se $f'(x_0) = 0$ la tangente è orizzontale, $y = f(x_0)$, e la normale è verticale: $x = x_0$. Qui la formula con $-\frac{1}{f'(x_0)}$ non si può usare.
• Se la tangente è verticale, $x = x_0$, la normale è orizzontale: $y = f(x_0)$.

Se $f$ è derivabile in $x_0$, un’unica equazione vale anche quando $f'(x_0) = 0$, perché in quel caso dà proprio $x = x_0$:

$$(x - x_0) + f'(x_0)\,\bigl(y - f(x_0)\bigr) = 0$$

Quando la tangente non esiste o è verticale

Se $f$ non è derivabile in $x_0$, si guardano le derivate destra e sinistra. I casi tipici sono studiati in derivabilità e continuità; ecco cosa succede alla tangente.

• Punto angoloso, come $\lvert x \rvert$ in 0: le secanti da destra e da sinistra tendono a due rette diverse, due semitangenti, e la tangente non c’è.
• Flesso a tangente verticale, come $\sqrt[3]{x}$ in 0: il rapporto incrementale tende a $+\infty$ da entrambi i lati, la tangente è $x = 0$ e la normale $y = 0$.
• Cuspide, come $\sqrt{\lvert x \rvert}$ in 0: le due semitangenti coincidono con la semiretta verticale che sale dall’origine, e il grafico forma una punta.
• Salto o altra discontinuità: nessuna tangente.

Tangenti con una pendenza assegnata

Spesso il punto di tangenza non è dato: è data una condizione sulla pendenza. L’incognita diventa $x_0$:

• tangente parallela a una retta di pendenza $m$: $f'(x_0) = m$;
• tangente perpendicolare a una retta di pendenza $m \neq 0$: $f'(x_0) = -\frac{1}{m}$;
• tangente orizzontale: $f'(x_0) = 0$.

L’equazione può avere nessuna, una o più soluzioni: a ciascuna corrisponde una tangente.

Esempio 3. La tangente a $f(x) = x^2 - 4x$ parallela alla retta $y = 2x$. Serve $f'(x_0) = 2$, cioè $2x_0 - 4 = 2$, quindi $x_0 = 3$. Siccome $f(3) = -3$, la tangente è $y = -3 + 2(x - 3)$, cioè $y = 2x - 9$.

Esempio 4. Le tangenti a $f(x) = x^3 - 3x$ perpendicolari alla retta $x + 9y = 0$. Quella retta ha pendenza $-\frac{1}{9}$, quindi la derivata deve valere 9:

$$3x_0^2 - 3 = 9 \iff x_0^2 = 4 \iff x_0 = \pm 2$$

In $x_0 = 2$ ritroviamo $y = 9x - 16$. In $x_0 = -2$, con $f(-2) = -2$, la tangente è $y = -2 + 9(x + 2)$, cioè $y = 9x + 16$: due tangenti parallele, simmetriche rispetto all’origine perché la funzione è dispari.

Tangenti orizzontali. Per la stessa funzione, $3x^2 - 3 = 0$ dà $x = \pm 1$ e le tangenti $y = -2$ e $y = 2$. Questi punti stazionari sono i candidati massimi e minimi dello studio di funzione.

Tangenti da un punto esterno

È un classico degli esami: trovare le rette che passano per un punto $A = (a, b)$ non appartenente al grafico e sono tangenti al grafico. L’errore più frequente è usare $A$ come punto di tangenza: il punto di tangenza è un altro, ed è proprio l’incognita.

1. Scrivi la tangente nel punto generico di ascissa $x_0$: $\ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
2. Imponi che passi per $A$, cioè sostituisci $x = a$ e $y = b$:

$$b = f(x_0) + f'(x_0)\,(a - x_0)$$

3. Risolvi questa equazione nell’incognita $x_0$.
4. Per ogni soluzione scrivi la tangente e controlla che passi per $A$.

Esempio 5. Le tangenti alla parabola $y = x^2$ condotte da $A = (1, -3)$. Con $f(x_0) = x_0^2$ e $f'(x_0) = 2x_0$, il passaggio per $A$ dà:

$$\begin{gathered} -3 = x_0^2 + 2x_0\,(1 - x_0) \\ -3 = -x_0^2 + 2x_0 \\ x_0^2 - 2x_0 - 3 = 0 \end{gathered}$$

Le soluzioni sono $x_0 = 3$ e $x_0 = -1$. Nel punto $(3, 9)$ la pendenza è 6 e la tangente è $y = 9 + 6(x - 3)$, cioè $y = 6x - 9$. Nel punto $(-1, 1)$ la pendenza è $-2$ e la tangente è $y = 1 - 2(x + 1)$, cioè $y = -2x - 1$. Controllo: per $x = 1$ entrambe danno $-3$.

Quante tangenti? Con $A = (a, b)$ generico si arriva a $x_0^2 - 2a\,x_0 + b = 0$, con $\frac{\Delta}{4} = a^2 - b$. Da un punto sotto la parabola ($b < a^2$) partono due tangenti, da un punto della parabola una sola, da un punto interno ($b > a^2$) nessuna.

Il metodo del liceo, con il fascio di rette per $A$ e $\Delta = 0$, dà lo stesso risultato ma funziona solo con le equazioni di secondo grado; quello con la derivata vale per ogni funzione derivabile.

La tangente può attraversare la curva

Su un intervallo in cui la funzione è convessa, il grafico sta sopra le sue tangenti; dove è concava, sta sotto. Nei punti di flesso la concavità cambia e la tangente, detta tangente inflessionale, attraversa il grafico.

Per $f(x) = x^3 - 3x$ la derivata seconda $f''(x) = 6x$ cambia segno in 0: l’origine è un flesso. Lì $f'(0) = -3$ e la tangente è $y = -3x$. La differenza tra funzione e tangente è

$$(x^3 - 3x) - (-3x) = x^3$$

negativa per $x < 0$ e positiva per $x > 0$: a sinistra il grafico sta sotto la tangente, a destra sopra.

La tangente è inoltre un concetto locale: lontano da $P$ può incontrare di nuovo il grafico. La tangente $y = 9x - 16$ dell’esempio 1 lo interseca anche in $x = -4$, perché

$$x^3 - 3x - (9x - 16) = (x - 2)^2\,(x + 4)$$

La radice doppia $x = 2$ è la traccia algebrica della tangenza: per un polinomio, una retta è tangente in $x_0$ esattamente quando $x_0$ è radice almeno doppia della differenza tra polinomio e retta.

Curve tangenti e angolo tra due curve

Due grafici $y = f(x)$ e $y = g(x)$ sono tangenti nel punto di ascissa $x_0$ se lì hanno lo stesso punto e la stessa tangente. Le condizioni sono due:

$$\begin{cases} f(x_0) = g(x_0) \\ f'(x_0) = g'(x_0) \end{cases}$$

Negli esercizi di solito c’è un parametro: due equazioni per due incognite, il parametro e $x_0$.

Esempio 6. Per quale $k$ la retta $y = x + k$ è tangente alla parabola $y = x^2$? Le derivate sono $1$ e $2x$, quindi $2x_0 = 1$, cioè $x_0 = \frac{1}{2}$. La prima condizione dà $\frac{1}{4} = \frac{1}{2} + k$, quindi $k = -\frac{1}{4}$.

Per una tangente comune in punti diversi $x_1$ e $x_2$ si impone invece che le due tangenti abbiano stessa pendenza e stessa intercetta.

L’angolo tra due curve che si incontrano in un punto è, per definizione, l’angolo acuto tra le loro tangenti in quel punto. Con $m_1 = f'(x_0)$ e $m_2 = g'(x_0)$ si usa la formula dell’angolo tra due rette:

$$\tan\theta = \left\lvert \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right\rvert$$

La formula vale se $m_1 m_2 \neq -1$. Se $m_1 m_2 = -1$ le curve sono ortogonali ($\theta = 90°$); se $m_1 = m_2$ sono tangenti ($\theta = 0$).

Esempio 7. Le curve $y = x^2$ e $y = \sqrt{x}$ si incontrano in $(0, 0)$ e in $(1, 1)$. In $(1, 1)$ le pendenze sono $m_1 = 2$ e $m_2 = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}$:

$$\tan\theta = \left\lvert \frac{2 - \frac{1}{2}}{1 + 2 \cdot \frac{1}{2}} \right\rvert = \frac{3}{4}$$

quindi $\theta = \arctan\frac{3}{4} \approx 36{,}87°$. Nell’origine la parabola ha tangente orizzontale, mentre $\sqrt{x}$ ha tangente verticale (il rapporto incrementale $\frac{1}{\sqrt{h}}$ tende a $+\infty$): lì le curve si tagliano ad angolo retto.

Il differenziale

Vicino a $P$ il grafico e la tangente quasi si confondono. Sposta $x$ da $x_0$ a $x_0 + dx$: la funzione cambia di

$$\Delta f = f(x_0 + dx) - f(x_0)$$

mentre la tangente cambia di $f'(x_0)\,dx$, pendenza per spostamento.

Perché $dx$ e non $\Delta x$? Il differenziale della funzione $f(x) = x$, che ha derivata 1, è $1 \cdot \Delta x$: per la variabile, differenziale e incremento coincidono. E $dx$ è un numero qualsiasi, non per forza piccolo: è l’approssimazione $\Delta f \approx df$ a valere solo per $dx$ piccolo.

Il tratto verde, $\Delta f - df$, è l’errore che si commette sostituendo la funzione con la tangente. Il fatto fondamentale è che questo errore è un o piccolo di $dx$.

Perché è vero. Se $f$ è derivabile, dividiamo l’errore per $dx \neq 0$:

$$\begin{gathered} \frac{\Delta f - df}{dx} \\ {} = \frac{f(x_0 + dx) - f(x_0)}{dx} - f'(x_0) \\ {} \to f'(x_0) - f'(x_0) = 0 \end{gathered}$$

quindi $\Delta f - df = o(dx)$. Viceversa, se $\Delta f = A\,dx + o(dx)$, dividendo per $dx$ si trova $\frac{\Delta f}{dx} = A + \frac{o(dx)}{dx} \to A$: il rapporto incrementale ha limite finito $A$, quindi $f$ è derivabile e $f'(x_0) = A$.

Per le funzioni di una variabile, quindi, avere il differenziale (essere differenziabile) ed essere derivabile sono la stessa cosa. In Analisi 2, con più variabili, non sarà più così.

Il significato dell’o piccolo. Con qualsiasi retta per $P$ l’errore tende a zero (se $f$ è continua); con la tangente va a zero più in fretta di $dx$. Con $f(x) = x^2$ si vede tutto:

$$\begin{gathered} \Delta f = (x_0 + dx)^2 - x_0^2 = 2x_0\,dx + dx^2 \\ df = 2x_0\,dx \end{gathered}$$

L’errore è esattamente $dx^2$, qualunque sia $x_0$. Pensa a un quadrato di lato $x_0$ che si allarga di $dx$: l’area cresce di due rettangoli $x_0 \cdot dx$, il differenziale, più un quadratino $dx^2$, l’errore.

$dx$	$\Delta f - df$	$(\Delta f - df)/dx$
$0{,}1$	$0{,}01$	$0{,}1$
$0{,}01$	$0{,}0001$	$0{,}01$
$0{,}001$	$0{,}000001$	$0{,}001$

Se $dx$ diventa dieci volte più piccolo, l’errore diventa cento volte più piccolo: anche diviso per $dx$, tende a zero. È la definizione di $o(dx)$, il simbolo introdotto in infinitesimi e infiniti.

L’approssimazione lineare

Scritto con $x = x_0 + dx$, il teorema dice che vicino a $x_0$

$$f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,(x - x_0)$$

Il secondo membro si chiama linearizzazione di $f$ in $x_0$: si sostituisce la funzione con la sua tangente. Ed è la migliore approssimazione con una retta: tra le rette per $P$, $y = f(x_0) + m(x - x_0)$, la tangente è l’unica con errore $o(x - x_0)$. Infatti

$$\begin{gathered} \frac{f(x) - f(x_0) - m\,(x - x_0)}{x - x_0} \\ {} \to f'(x_0) - m \end{gathered}$$

e il limite vale zero solo per $m = f'(x_0)$.

Le linearizzazioni in 0 più usate, con gli angoli in radianti ($\sin\theta \approx \theta$ è quella delle piccole oscillazioni del pendolo semplice):

Funzione	Linearizzazione in 0
$e^x$	$1 + x$
$\ln(1 + x)$	$x$
$\sin x$, $\tan x$	$x$
$\cos x$	$1$
$(1 + x)^\alpha$	$1 + \alpha x$
$\sqrt{1 + x}$	$1 + \frac{x}{2}$

Quattro calcoli a mano. Per $\sqrt{4{,}1}$ si linearizza $\sqrt{x}$ in $x_0 = 4$, dove $f'(4) = \frac{1}{4}$: $\ \sqrt{4{,}1} \approx 2 + \frac{0{,}1}{4} = 2{,}025$. Gli altri tre vengono dalla tabella: $\sin 0{,}1 \approx 0{,}1$, $\ \ln 1{,}05 \approx 0{,}05$ e $1{,}02^{10} \approx 1 + 10 \cdot 0{,}02 = 1{,}2$. Ecco i valori veri e gli errori in valore assoluto:

Calcolo	Approssimazione	Valore vero
$\sqrt{4{,}1}$	$2{,}025$	$2{,}024846$
$\sin 0{,}1$	$0{,}1$	$0{,}099833$
$\ln 1{,}05$	$0{,}05$	$0{,}048790$
$1{,}02^{10}$	$1{,}2$	$1{,}218994$

Calcolo	Errore	Errore relativo
$\sqrt{4{,}1}$	$1{,}5 \cdot 10^{-4}$	0,008%
$\sin 0{,}1$	$1{,}7 \cdot 10^{-4}$	0,17%
$\ln 1{,}05$	$1{,}2 \cdot 10^{-3}$	2,5%
$1{,}02^{10}$	$1{,}9 \cdot 10^{-2}$	1,6%

Da cosa dipende l’errore. Una regola pratica, che si giustifica con la formula di Taylor: se $f$ è derivabile due volte e $f''(x_0) \neq 0$, per $dx$ piccolo

$$\Delta f - df \approx \frac{f''(x_0)}{2}\,dx^2$$

Per $1{,}02^{10}$ la derivata seconda di $x^{10}$ in 1 vale 90, e $\frac{90}{2} \cdot 0{,}02^2 = 0{,}018$: ecco l’errore di quasi due centesimi. Per $\sqrt{x}$ in 4, $f''(4) = -\frac{1}{32}$ e la stima $-\frac{1}{64} \cdot 0{,}01 \approx -1{,}6 \cdot 10^{-4}$ concorda con la tabella. Per il seno $f''(0) = 0$ (l’origine è un flesso) e l’errore è di ordine più alto, circa $\frac{x^3}{6}$.

Il segno dell’errore dipende dalla concavità. Dove $f$ è concava, come $\sqrt{x}$, $\ln x$ e $\sin x$ tra 0 e $\pi$, la tangente sta sopra il grafico e l’approssimazione è per eccesso; dove è convessa, come $x^{10}$, è per difetto.

La propagazione degli errori di misura

Misuri una grandezza $x$ con un’incertezza $\Delta x$ e calcoli $y = f(x)$. Quanto è incerto $y$? Se $\Delta x$ è piccola, risponde il differenziale:

$$\Delta y \approx \lvert f'(x) \rvert\,\Delta x$$

Il valore assoluto c’è perché un’incertezza è un numero positivo. Spesso conta di più l’errore relativo, l’incertezza divisa per il valore: un millimetro pesa molto su un centimetro, poco su un metro. Dividendo per $\lvert y \rvert$:

$$\frac{\Delta y}{\lvert y \rvert} \approx \left\lvert \frac{x\,f'(x)}{f(x)} \right\rvert \cdot \frac{\Delta x}{\lvert x \rvert}$$

Per una potenza $y = c\,x^n$ il fattore vale $\frac{x \cdot c\,n\,x^{n - 1}}{c\,x^n} = n$, da cui la regola:

Esempio 8. Misuri il raggio di un disco: $r = 10$ cm, con un’incertezza di $0{,}1$ cm, cioè l’1%. L’area $A = \pi r^2$ vale circa $314$ cm², con un’incertezza

$$\Delta A \approx 2\pi r\,\Delta r = 2\pi \cdot 10 \cdot 0{,}1 \approx 6{,}3\ \text{cm}^2$$

cioè il 2%: il doppio dell’errore relativo sul raggio, come prevede la regola con $n = 2$.

Con più grandezze misurate servono le derivate parziali di Analisi 2; per prodotti e quozienti, nella stima più semplice, gli errori relativi si sommano, ciascuno moltiplicato per il valore assoluto del suo esponente. È la regola del laboratorio, insieme alle cifre significative.

Cosa significa davvero dy/dx

Nella definizione di derivata, $\frac{dy}{dx}$ non è una frazione: è un unico simbolo che indica il limite dei rapporti $\frac{\Delta y}{\Delta x}$. Però, con il differenziale $dy = f'(x)\,dx$ e $dx \neq 0$, il quoziente dei due differenziali è un quoziente vero e vale proprio $f'(x)$: la notazione di Leibniz è coerente.

Leibniz pensava $dx$ e $dy$ come quantità «infinitamente piccole». Nell’Ottocento gli infinitesimi furono sostituiti dai limiti, e solo negli anni Sessanta del Novecento Abraham Robinson, con l’analisi non standard, diede loro un fondamento rigoroso.

I passaggi in cui sembra di «semplificare i $dx$», come $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ o $du = g'(x)\,dx$ negli integrali, funzionano perché dietro c’è un teorema: la regola della catena e l’integrazione per sostituzione. Usali pure, sapendo da dove vengono; ma $\frac{d^2y}{dx^2}$ non si comporta come una frazione.

Gli errori più comuni

• Lasciare la $x$ nella pendenza. Nella formula va il numero $f'(x_0)$, non la funzione $f'(x)$, altrimenti non si ottiene una retta.
• Usare il punto esterno come punto di tangenza. L’incognita è l’ascissa $x_0$ del punto di tangenza; il punto esterno serve solo per imporre il passaggio.
• Sbagliare la pendenza della normale. È $-\frac{1}{f'(x_0)}$, non $-f'(x_0)$ né $\frac{1}{f'(x_0)}$. E se $f'(x_0) = 0$ la normale è la retta verticale $x = x_0$.
• Pensare che la tangente tocchi il grafico in un solo punto. Può incontrarlo altrove e, in un flesso, lo attraversa.
• Imporre una sola condizione per la tangenza tra due curve. Servono lo stesso valore e la stessa derivata, nello stesso punto.
• Confondere $\Delta y$ e $dy$. $\Delta y$ è la variazione vera, $dy$ quella lungo la tangente: si somigliano solo per incrementi piccoli.
• Usare i gradi nelle linearizzazioni. $\sin x \approx x$ vale in radianti: per $\sin 1°$ si usa $x = \frac{\pi}{180} \approx 0{,}0175$, non $x = 1$.
• Dimenticare l’esponente nella propagazione degli errori. Con l’1% di errore sul raggio, l’area $\pi r^2$ ha il 2% e il volume di una sfera il 3%.

Esercizi svolti

1. Tangente e normale in un punto

Testo. Scrivi le equazioni della retta tangente e della retta normale al grafico di $f(x) = \sqrt{2x + 5}$ nel punto di ascissa $x_0 = 2$.

In $x_0 = 2$ il radicando vale $9 > 0$, quindi $f$ è definita e derivabile lì, con $f(2) = \sqrt{9} = 3$. Con la regola della catena:

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x + 5}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x + 5}}$$

quindi $f'(2) = \frac{1}{3}$. La tangente è

$$y = 3 + \frac{1}{3}\,(x - 2) \iff y = \frac{1}{3}x + \frac{7}{3}$$

La normale ha pendenza $-\frac{1}{1/3} = -3$:

$$y = 3 - 3\,(x - 2) \iff y = -3x + 9$$

Controllo: per $x = 2$ entrambe danno 3, e il prodotto delle pendenze è $\frac{1}{3} \cdot (-3) = -1$. La tangente è $y = \frac{1}{3}x + \frac{7}{3}$, la normale $y = -3x + 9$.

2. Tangenti perpendicolari a una retta

Testo. Trova le rette tangenti al grafico di $f(x) = \dfrac{x - 1}{x + 1}$ perpendicolari alla retta $y = -\frac{1}{2}x + 3$.

Il dominio è $x \neq -1$. La retta data ha pendenza $-\frac{1}{2}$, quindi le tangenti cercate hanno pendenza 2, perché $2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$. Con la regola del quoziente:

$$\begin{gathered} f'(x) = \frac{1 \cdot (x + 1) - (x - 1) \cdot 1}{(x + 1)^2} \\ f'(x) = \frac{2}{(x + 1)^2} \end{gathered}$$

Imponiamo $f'(x_0) = 2$:

$$\begin{gathered} \frac{2}{(x_0 + 1)^2} = 2 \\ (x_0 + 1)^2 = 1 \\ x_0 + 1 = 1 \quad \text{oppure} \quad x_0 + 1 = -1 \end{gathered}$$

cioè $x_0 = 0$ oppure $x_0 = -2$, entrambi nel dominio. In $x_0 = 0$: $f(0) = -1$ e la tangente è $y = -1 + 2x$. In $x_0 = -2$: $f(-2) = \frac{-3}{-1} = 3$ e la tangente è $y = 3 + 2(x + 2)$, cioè $y = 2x + 7$.

Le tangenti sono $y = 2x - 1$ e $y = 2x + 7$: parallele tra loro, una per ciascun ramo dell’iperbole.

3. Tangenti da un punto esterno

Testo. Trova le rette che passano per il punto $A = (3, -1)$ e sono tangenti al grafico di $f(x) = \dfrac{1}{x}$.

Il punto $A$ non sta sul grafico, perché $f(3) = \frac{1}{3} \neq -1$. Con $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$, la tangente nel punto generico di ascissa $x_0 \neq 0$ è

$$y = \frac{1}{x_0} - \frac{1}{x_0^2}\,(x - x_0)$$

Imponiamo il passaggio per $A$, cioè $x = 3$ e $y = -1$:

$$-1 = \frac{1}{x_0} - \frac{3 - x_0}{x_0^2}$$

Moltiplichiamo per $x_0^2$, che non è zero:

$$\begin{gathered} -x_0^2 = x_0 - 3 + x_0 \\ x_0^2 + 2x_0 - 3 = 0 \\ (x_0 - 1)(x_0 + 3) = 0 \end{gathered}$$

Per $x_0 = 1$ il punto di tangenza è $(1, 1)$, la pendenza è $-1$ e la tangente è $y = 1 - (x - 1)$, cioè $y = -x + 2$. Per $x_0 = -3$ il punto è $\left(-3, -\frac{1}{3}\right)$ e la pendenza è $-\frac{1}{9}$:

$$\begin{gathered} y = -\frac{1}{3} - \frac{1}{9}\,(x + 3) \\ y = -\frac{1}{9}x - \frac{2}{3} \end{gathered}$$

Controllo in $A$: $-3 + 2 = -1$ e $-\frac{3}{9} - \frac{2}{3} = -1$. Da $A$ partono due tangenti, $y = -x + 2$ e $y = -\frac{1}{9}x - \frac{2}{3}$, che toccano i due rami dell’iperbole.

4. Due curve tangenti con un parametro

Testo. Determina il valore di $a > 0$ per cui la parabola $y = a x^2$ è tangente al grafico di $y = \ln x$. Trova il punto di tangenza e la tangente comune.

Nello stesso punto $x_0 > 0$ le due curve devono avere lo stesso valore e la stessa derivata:

$$\begin{cases} a x_0^2 = \ln x_0 \\ 2a x_0 = \frac{1}{x_0} \end{cases}$$

Moltiplicando la seconda equazione per $\frac{x_0}{2}$ si ottiene $a x_0^2 = \frac{1}{2}$. Sostituendo nella prima: $\ln x_0 = \frac{1}{2}$, cioè $x_0 = \sqrt{e}$. Allora $a = \frac{1}{2x_0^2} = \frac{1}{2e} \approx 0{,}184$.

Il punto di tangenza è $\left(\sqrt{e}, \frac{1}{2}\right)$ e la pendenza comune è $\frac{1}{\sqrt{e}}$:

$$\begin{gathered} y = \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{e}}\,(x - \sqrt{e}) \\ y = \frac{x}{\sqrt{e}} - \frac{1}{2} \end{gathered}$$

Infatti $\frac{x^2}{2e} - \ln x$ ha minimo 0 in $x = \sqrt{e}$: la parabola sta sopra il logaritmo e lo tocca solo lì. Per $a > \frac{1}{2e}$ le curve non si incontrano, per $0 < a < \frac{1}{2e}$ si tagliano in due punti.

5. Approssimazione lineare e stima dell’errore

Testo. Usa il differenziale per approssimare $\tan 46°$, stima l’errore e di’ se l’approssimazione è per eccesso o per difetto.

Prima di tutto i radianti: $46° = 45° + 1°$, quindi $x_0 = \frac{\pi}{4}$ e $dx = \frac{\pi}{180} \approx 0{,}017453$. Con $f(x) = \tan x$ si ha $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ e $f'(x) = 1 + \tan^2 x$, quindi $f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2$:

$$\begin{gathered} \tan 46° \approx 1 + 2 \cdot \frac{\pi}{180} \\ \tan 46° \approx 1{,}034907 \end{gathered}$$

Il valore vero è $1{,}035530$: l’errore è circa $6{,}2 \cdot 10^{-4}$, lo 0,06%. Per stimarlo senza calcolatrice usiamo la derivata seconda, $f''(x) = 2\tan x\,(1 + \tan^2 x)$, che in $\frac{\pi}{4}$ vale 4:

$$\Delta f - df \approx \frac{4}{2} \cdot \left(\frac{\pi}{180}\right)^2 \approx 6{,}1 \cdot 10^{-4}$$

molto vicino all’errore vero. Siccome $f'' > 0$ tra 0 e $\frac{\pi}{2}$, lì la funzione $\tan x$ è convessa: la retta tangente sta sotto il grafico e l’approssimazione è per difetto. Con $dx = 1$, cioè dimenticando i radianti, avresti trovato $\tan 46° \approx 3$: un risultato assurdo.

6. Propagazione dell’errore nel pendolo

Testo. Con un pendolo semplice di lunghezza $L = 1{,}000$ m, nota con precisione, misuri il periodo $T = 2{,}01$ s con un’incertezza di $0{,}01$ s. Ricava $g$ dalla formula $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ e stima la sua incertezza. Con quale incertezza bisognerebbe misurare $T$ per conoscere $g$ allo 0,1%?

Elevando al quadrato la formula del periodo e ricavando $g$:

$$g = \frac{4\pi^2 L}{T^2} = \frac{4\pi^2 \cdot 1}{2{,}01^2} \approx 9{,}77\ \text{m/s}^2$$

Come funzione di $T$, $g$ è una costante per $T^{-2}$, quindi

$$\frac{dg}{dT} = -\frac{8\pi^2 L}{T^3} = -\frac{2g}{T}$$

e l’incertezza su $g$ è

$$\begin{gathered} \Delta g \approx \frac{2g}{T}\,\Delta T = \frac{2 \cdot 9{,}77 \cdot 0{,}01}{2{,}01} \\ \Delta g \approx 0{,}10\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$

L’errore relativo su $T$ è $\frac{0{,}01}{2{,}01} \approx 0{,}5\%$, quello su $g$ circa l’1%: il doppio, come prevede la regola con $n = -2$. Il risultato è $g = (9{,}77 \pm 0{,}10)\ \text{m/s}^2$.

Per avere $g$ allo 0,1% serve lo 0,05% su $T$, cioè $\Delta T \approx 0{,}0005 \cdot 2{,}01\ \text{s} \approx 0{,}001$ s. Per questo in laboratorio si cronometrano molte oscillazioni e si divide per il loro numero.

Altri problemi sulle tangenti li trovi negli esercizi svolti sulle derivate.

In sintesi

• Tangente in $x_0$, se $f$ è derivabile: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$, limite delle secanti da destra e da sinistra.
• Normale: pendenza $-\frac{1}{f'(x_0)}$; se $f'(x_0) = 0$ è la retta verticale $x = x_0$.
• Pendenza assegnata: si risolve $f'(x_0) = m$; per la perpendicolare, $f'(x_0) = -\frac{1}{m}$.
• Tangenti da un punto esterno $(a, b)$: si risolve $b = f(x_0) + f'(x_0)(a - x_0)$ nell’incognita $x_0$.
• Curve tangenti: $f(x_0) = g(x_0)$ e $f'(x_0) = g'(x_0)$. L’angolo tra due curve è quello tra le loro tangenti.
• Differenziale: $df = f'(x_0)\,dx$, con $\Delta f = df + o(dx)$.
• Linearizzazione: $f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$, con errore circa $\frac{f''(x_0)}{2}\,dx^2$.
• Errori di misura: $\Delta y \approx \lvert f'(x) \rvert\,\Delta x$; per $y = c\,x^n$ l’errore relativo si moltiplica per $\lvert n \rvert$.

Nel prossimo articolo i grandi teoremi del calcolo differenziale, che collegano la derivata al comportamento della funzione su un intervallo: teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy.