Derivate delle funzioni elementari: tabella, dimostrazioni ed esercizi svolti

Calcolare ogni derivata con la definizione sarebbe lunghissimo. Nella pratica si calcolano una volta per tutte le derivate di poche funzioni elementari e poi, con le regole di derivazione, si combinano per derivare qualsiasi funzione. Queste derivate fondamentali sono la base di tutto il capitolo: le userai in ogni esercizio sulle derivate, negli studi di funzione, con de l’Hôpital e, lette al contrario, negli integrali. In questa pagina vediamo, ognuna dimostrata dalla definizione, le derivate della costante, delle potenze e delle radici (con i punti in cui non esistono), dell’esponenziale e del logaritmo, di seno e coseno e perché servono i radianti, di tangente, cotangente e funzioni iperboliche, poi la tabella delle derivate con il dominio di ogni formula, qualche trucco per ricordarla, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Il metodo: la definizione, una volta per tutte

Ripartiamo dalla definizione di derivata.

Geometricamente $f'(x)$ è la pendenza della retta tangente al grafico nel punto $(x, f(x))$. Tutte le dimostrazioni di questa pagina seguono la stessa scaletta:

1. scrivi il rapporto incrementale $\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ con la funzione che ti interessa;
2. trasformalo con l’algebra (prodotti notevoli, proprietà di potenze e logaritmi, formule goniometriche) finché non riconosci un limite noto;
3. fai tendere $h$ a 0 tenendo $x$ fisso: nel limite $x$ è un numero, l’unica variabile è $h$.

Il passo 2 porta quasi sempre a un limite notevole: è per questo che li abbiamo studiati prima.

La costante e la funzione identità

Se $f(x) = c$ è costante, il numeratore del rapporto incrementale è sempre zero:

$$\frac{c - c}{h} = 0$$

Il rapporto vale 0 per ogni $h \neq 0$, quindi anche il suo limite è 0. Per la funzione identità $f(x) = x$ il rapporto vale $\frac{(x + h) - x}{h} = \frac{h}{h} = 1$, sempre. Quindi:

Il grafico di una costante è una retta orizzontale, con pendenza zero; quello di $x$ è la bisettrice, con pendenza 1. La prima formula vale per qualsiasi costante, anche scritta in modo complicato: $(\pi^2)' = 0$, $(e^3)' = 0$, $(\ln 5)' = 0$. Sono numeri, non funzioni di $x$.

Le potenze con esponente naturale

Per $x^n$, con $n$ naturale ($n \geq 1$), serve lo sviluppo di $(x + h)^n$ con il binomio di Newton. Bastano i primi due termini: tutti gli altri contengono almeno $h^2$.

$$\begin{gathered} (x + h)^n = x^n + n\,x^{n-1}h \\ {} + (\text{termini con } h^2, h^3, \dots, h^n) \end{gathered}$$

Per $n = 3$, per esempio, è il cubo di binomio $x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3$.

Perché è vero. Togliendo $x^n$ e dividendo per $h$, resta $n\,x^{n-1}$ più termini che contengono ancora almeno un fattore $h$:

$$\begin{gathered} \frac{(x + h)^n - x^n}{h} = n\,x^{n-1} \\ {} + (\text{termini con } h, h^2, \dots, h^{n-1}) \end{gathered}$$

Per $h \to 0$ quei termini tendono a 0, quindi:

In pratica l’esponente «scende» come coefficiente e diminuisce di 1: $(x^2)' = 2x$, $(x^5)' = 5x^4$, $(x^{10})' = 10x^9$.

Esponenti negativi e radici

Esponenti interi negativi. Per $x \neq 0$ si ha $\frac{1}{x} = x^{-1}$ e $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$. Nell’articolo sulla derivata abbiamo già trovato $\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$. Proviamo con $\frac{1}{x^2}$: denominatore comune e quadrato di binomio al numeratore.

$$\begin{gathered} \frac{1}{h}\left[\frac{1}{(x + h)^2} - \frac{1}{x^2}\right] \\ {} = \frac{x^2 - (x + h)^2}{h\,x^2(x + h)^2} \\ {} = \frac{-2xh - h^2}{h\,x^2(x + h)^2} \\ {} = -\frac{2x + h}{x^2(x + h)^2} \\ {} \to -\frac{2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3} \end{gathered}$$

È la regola delle potenze con esponente $-2$: $(x^{-2})' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$. In generale, con la regola del quoziente si trova che per $n$ naturale e $x \neq 0$

$$\begin{gathered} \left(\frac{1}{x^n}\right)' = -\frac{n\,x^{n-1}}{x^{2n}} \\ {} = -n\,x^{-n-1} \end{gathered}$$

cioè ancora la regola delle potenze, con esponente $-n$. La condizione $x \neq 0$ non è un dettaglio: in 0 la funzione non è definita, quindi non può essere derivabile.

La radice quadrata. Per $x > 0$ il rapporto incrementale di $\sqrt{x}$ contiene una differenza di radici. Il trucco è lo stesso del calcolo dei limiti: si moltiplica sopra e sotto per la somma delle radici, così al numeratore compare $(\sqrt{x + h})^2 - (\sqrt{x})^2 = h$.

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h} \\ {} = \frac{(x + h) - x}{h\left(\sqrt{x + h} + \sqrt{x}\right)} \\ {} = \frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}} \to \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{gathered}$$

Quindi $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ per $x > 0$. È ancora la regola delle potenze, con esponente $\frac{1}{2}$: $\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

La radice cubica. Qui si usa la differenza di cubi, $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$, con $A = \sqrt[3]{x + h}$ e $B = \sqrt[3]{x}$. Siccome $A^3 - B^3 = (x + h) - x = h$:

$$\begin{gathered} \frac{A - B}{h} = \frac{1}{A^2 + AB + B^2} \\ {} \to \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \end{gathered}$$

perché per $h \to 0$ sia $A$ sia $B$ tendono a $\sqrt[3]{x}$. Il risultato vale per ogni $x \neq 0$, anche negativo, perché la radice cubica è definita su tutto $\mathbb{R}$. È di nuovo la regola delle potenze, con esponente $\frac{1}{3}$.

La regola generale con esponente reale

Tutti questi casi sono esempi di un’unica regola.

Perché è vero. Fissato $x > 0$, prendiamo $h$ abbastanza piccolo da avere $x + h > 0$. Raccogliamo $x^\alpha$ e poniamo $t = \frac{h}{x}$, cioè $h = x\,t$; quando $h \to 0$ anche $t \to 0$:

$$\begin{gathered} \frac{(x + h)^\alpha - x^\alpha}{h} = \frac{x^\alpha\left[(1 + t)^\alpha - 1\right]}{x\,t} \\ {} = x^{\alpha - 1} \cdot \frac{(1 + t)^\alpha - 1}{t} \\ {} \to x^{\alpha - 1} \cdot \alpha \end{gathered}$$

per il limite notevole $\frac{(1 + t)^\alpha - 1}{t} \to \alpha$. C’è anche un’altra strada, che vedrai con la regola della catena: si scrive $x^\alpha = e^{\alpha \ln x}$ e si deriva come esponenziale, ottenendo $e^{\alpha\ln x} \cdot \frac{\alpha}{x} = \alpha\,x^{\alpha - 1}$.

La regola permette di derivare radici e reciproci senza nuovi conti, scrivendoli come potenze con esponente frazionario (per $x > 0$):

Funzione	Come potenza	Derivata
$\sqrt{x}$	$x^{\frac{1}{2}}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$\frac{1}{x}$	$x^{-1}$	${-\frac{1}{x^2}}$
$x\sqrt{x}$	$x^{\frac{3}{2}}$	$\frac{3}{2}\sqrt{x}$
$\sqrt[3]{x^2}$	$x^{\frac{2}{3}}$	$\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$

Cosa succede nel punto 0

Alcune potenze sono definite anche in 0: lì cosa succede? Guardiamo direttamente il rapporto incrementale in 0. Per $h > 0$ vale $\frac{h^\alpha - 0}{h} = h^{\alpha - 1}$, quindi:

• se $\alpha > 1$, $h^{\alpha - 1} \to 0$: la funzione è derivabile (da destra) in 0, con derivata 0. Per esempio $x\sqrt{x}$ parte dall’origine con tangente orizzontale;
• se $0 < \alpha < 1$, $h^{\alpha - 1} \to +\infty$: la tangente è verticale e la derivata non esiste. È il caso di $\sqrt{x}$: in 0 la formula $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ perde senso, e il grafico parte dall’origine «in verticale».

Le radici di indice dispari sono definite anche per $x < 0$, quindi si guardano entrambi i lati:

• per $\sqrt[3]{x}$ il rapporto $\frac{\sqrt[3]{h}}{h} = \frac{1}{\sqrt[3]{h^2}}$ tende a $+\infty$ da entrambi i lati: tangente verticale, attraversata dal grafico (flesso a tangente verticale);
• per $\sqrt[3]{x^2}$ il rapporto $\frac{\sqrt[3]{h^2}}{h} = \frac{1}{\sqrt[3]{h}}$ tende a $+\infty$ da destra e a $-\infty$ da sinistra: il grafico arriva in 0 in verticale da entrambi i lati e forma una punta (cuspide).

Nei casi di tangente verticale e di cuspide la funzione è continua ma non derivabile. Questi punti li classifichiamo con precisione in derivabilità e continuità.

L’esponenziale

Per $e^x$ la proprietà chiave è $e^{x + h} = e^x \cdot e^h$: il fattore $e^x$ si raccoglie e, rispetto a $h$, è una costante.

$$\begin{gathered} \frac{e^{x + h} - e^x}{h} = e^x \cdot \frac{e^h - 1}{h} \\ {} \to e^x \cdot 1 = e^x \end{gathered}$$

per il limite notevole $\frac{e^h - 1}{h} \to 1$.

La funzione $e^x$ è uguale alla propria derivata: in ogni punto la pendenza del grafico è uguale all’altezza. In $x = 2$, per esempio, la tangente ha pendenza $e^2 \approx 7{,}39$. Per questo $e^x$ descrive i fenomeni in cui una quantità cresce tanto più in fretta quanto più è grande, come la crescita di una popolazione.

Con una base qualsiasi. Per $a > 0$ lo stesso conto dà

$$\begin{gathered} \frac{a^{x + h} - a^x}{h} = a^x \cdot \frac{a^h - 1}{h} \\ {} \to a^x \ln a \end{gathered}$$

per il limite notevole $\frac{a^h - 1}{h} \to \ln a$. Si arriva allo stesso risultato scrivendo $a^x = e^{x\ln a}$.

Il fattore $\ln a$ ha un significato preciso: è la pendenza della tangente al grafico di $a^x$ nel punto $(0, 1)$. Per $2^x$ vale $\ln 2 \approx 0{,}69$, per $10^x$ vale $\ln 10 \approx 2{,}30$. Per $\left(\frac{1}{2}\right)^x$ vale $-\ln 2$, negativo, perché la funzione è decrescente; per $a = 1$ vale 0, perché $1^x = 1$ è costante. Solo per $a = e$ il fattore vale 1. Ecco perché in Analisi si usa sempre la base $e$: è l’unica con cui la derivata dell’esponenziale non si porta dietro costanti scomode, come spieghiamo nella pagina sul numero di Nepero.

Il logaritmo

Per $x > 0$ e $h$ piccolo (con $x + h > 0$), le proprietà dei logaritmi trasformano la differenza in un quoziente:

$$\begin{gathered} \frac{\ln(x + h) - \ln x}{h} = \frac{1}{h}\ln\frac{x + h}{x} \\ {} = \frac{1}{h}\ln\left(1 + \frac{h}{x}\right) \end{gathered}$$

Con $t = \frac{h}{x}$, cioè $h = x\,t$, diventa

$$\frac{1}{x} \cdot \frac{\ln(1 + t)}{t} \to \frac{1}{x}$$

per il limite notevole $\frac{\ln(1 + t)}{t} \to 1$.

La seconda formula viene dalla prima perché $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$, e $\frac{1}{\ln a}$ è una costante che resta lì. Per esempio $(\log_{10} x)' = \frac{1}{x\ln 10} \approx \frac{0{,}434}{x}$.

La figura mostra il significato di $(\ln x)' = \frac{1}{x}$. Il logaritmo cresce sempre, ma sempre più lentamente: in $x = \frac{1}{2}$ la tangente ha pendenza 2, in $x = 1$ pendenza 1, in $x = 4$ solo $\frac{1}{4}$. Nel grafico sotto, la funzione $\frac{1}{x}$ ha come altezza proprio quelle pendenze.

Lo stesso risultato si ottiene anche con la derivata della funzione inversa, perché $\ln x$ è l’inversa di $e^x$.

Il logaritmo del valore assoluto

Il logaritmo è definito solo per $x > 0$, ma $\ln\lvert x \rvert$ è definita per ogni $x \neq 0$: a destra di 0 coincide con $\ln x$, a sinistra con $\ln(-x)$, e il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse $y$. Per $x < 0$ e $h$ piccolo anche $x + h$ è negativo, quindi $\frac{\lvert x + h \rvert}{\lvert x \rvert} = \frac{x + h}{x} = 1 + \frac{h}{x}$, e il conto di prima si ripete identico:

$$\begin{gathered} \frac{\ln\lvert x + h \rvert - \ln\lvert x \rvert}{h} \\ {} = \frac{1}{h}\ln\left(1 + \frac{h}{x}\right) \to \frac{1}{x} \end{gathered}$$

Controlla il segno: per $x < 0$ la derivata $\frac{1}{x}$ è negativa, e infatti a sinistra di 0 la funzione $\ln\lvert x \rvert$ scende (mentre $x$ si avvicina a 0, $\lvert x \rvert$ diminuisce). Questa formula è fondamentale negli integrali: una primitiva di $\frac{1}{x}$ è $\ln\lvert x \rvert$, che funziona anche per $x$ negativi, come vedrai negli integrali immediati.

Seno e coseno

Servono due ingredienti: le formule di addizione e due limiti notevoli, entrambi con l’angolo misurato in radianti:

$$\begin{gathered} \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1 \\ \lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h} = 0 \end{gathered}$$

Il seno. Con $\sin(x + h) = \sin x\cos h + \cos x\sin h$ separiamo il termine con $\sin x$ da quello con $\cos x$. Ricorda che $x$ è fisso, quindi $\sin x$ e $\cos x$ sono costanti rispetto a $h$:

$$\begin{gathered} \frac{\sin(x + h) - \sin x}{h} \\ {} = \frac{\sin x\,(\cos h - 1) + \cos x\sin h}{h} \\ {} = -\sin x \cdot \frac{1 - \cos h}{h} \\ {} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h} \\ {} \to -\sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x \end{gathered}$$

Il coseno. Con $\cos(x + h) = \cos x\cos h - \sin x\sin h$ il conto è identico:

$$\begin{gathered} \frac{\cos(x + h) - \cos x}{h} \\ {} = -\cos x \cdot \frac{1 - \cos h}{h} \\ {} - \sin x \cdot \frac{\sin h}{h} \\ {} \to -\cos x \cdot 0 - \sin x \cdot 1 = -\sin x \end{gathered}$$

Nella figura si vede il significato. Dove il seno ha la tangente orizzontale, nei massimi e nei minimi ($\frac{\pi}{2}$ e $\frac{3\pi}{2}$), il coseno vale zero. Dove il seno sale più ripido, in 0 e in $2\pi$ con pendenza 1, il coseno vale 1; in $\pi$, dove il seno scende con pendenza $-1$, il coseno vale $-1$.

Perché servono i radianti

Entrambe le dimostrazioni usano $\frac{\sin h}{h} \to 1$, che è vero solo con gli angoli in radianti. Cosa succede in gradi? Indichiamo con $\sin(x^\circ)$ il seno dell’angolo di $x$ gradi. Siccome $x$ gradi sono $\frac{\pi x}{180}$ radianti, poniamo $u = \frac{\pi x}{180}$ e $k = \frac{\pi h}{180}$, cioè $\frac{1}{h} = \frac{\pi}{180} \cdot \frac{1}{k}$:

$$\begin{gathered} \frac{\sin\left((x + h)^\circ\right) - \sin(x^\circ)}{h} \\ {} = \frac{\pi}{180} \cdot \frac{\sin(u + k) - \sin u}{k} \\ {} \to \frac{\pi}{180}\cos u \end{gathered}$$

In gradi la derivata del seno non è il coseno, ma il coseno moltiplicato per $\frac{\pi}{180}$. Ha senso: in gradi il grafico del seno impiega 90 unità per salire da 0 a 1, quindi è molto più piatto, e nell’origine la sua pendenza è circa 0,0175 invece di 1. Con i radianti il fattore scompare: è il motivo per cui in Analisi gli angoli si misurano sempre in radianti, e per cui la calcolatrice va tenuta in modalità RAD.

Tangente e cotangente

La tangente è un quoziente, $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, quindi la sua derivata si ricava dalle derivate di seno e coseno con la regola del quoziente, $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$:

$$\begin{gathered} (\tan x)' \\ {} = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x\,(-\sin x)}{\cos^2 x} \\ {} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \end{gathered}$$

Il risultato si legge in due modi: usando $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ si ottiene $\frac{1}{\cos^2 x}$; dividendo i due termini separatamente si ottiene $1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$.

La derivata è sempre positiva: la tangente cresce su ogni intervallo del suo dominio. La forma $1 + \tan^2 x$ è quella che serve per derivare l’arcotangente.

Con lo stesso conto, per la cotangente $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$, che è definita per $x \neq k\pi$:

$$\begin{gathered} (\cot x)' = \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} \\ {} = -\frac{1}{\sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \end{gathered}$$

Le funzioni goniometriche inverse

Le derivate di arcoseno, arcocoseno e arcotangente si ricavano con la regola della derivata della funzione inversa, e le dimostriamo nell’articolo dedicato. Qui le riportiamo perché fanno parte della tabella:

$$\begin{gathered} (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \\ (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \\ (\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2} \end{gathered}$$

Le prime due valgono per $-1 < x < 1$: negli estremi $\pm 1$ l’arcoseno e l’arcocoseno sono definiti, ma hanno tangente verticale. L’arcotangente, invece, è derivabile su tutto $\mathbb{R}$.

Le funzioni iperboliche

Il seno e il coseno iperbolico sono combinazioni di $e^x$ ed $e^{-x}$:

$$\begin{gathered} \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \\ \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \end{gathered}$$

Ci serve solo la derivata di $e^{-x}$, che si calcola con la definizione come per $e^x$:

$$\begin{gathered} \frac{e^{-(x + h)} - e^{-x}}{h} = e^{-x} \cdot \frac{e^{-h} - 1}{h} \\ {} = -e^{-x} \cdot \frac{e^{-h} - 1}{-h} \to -e^{-x} \end{gathered}$$

perché $\frac{e^{-h} - 1}{-h} \to 1$: è il limite notevole dell’esponenziale con $-h$ al posto di $h$. Siccome la derivata di una somma è la somma delle derivate, e le costanti moltiplicative restano:

Somigliano alle formule di seno e coseno, ma nella derivata del coseno iperbolico non c’è il segno meno: le derivate si ripetono ogni due passaggi, non ogni quattro. Con la regola del quoziente e l’identità $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ si trova anche $(\tanh x)' = \frac{1}{\cosh^2 x} = 1 - \tanh^2 x$. Definizioni e grafici sono nella pagina sulle funzioni iperboliche.

La tabella delle derivate fondamentali

Ecco la tabella completa. Nella terza colonna c’è dove vale ogni formula: fuori da lì la funzione non è definita, oppure non è derivabile. Nelle righe con $a$ la base è positiva, e nel logaritmo anche diversa da 1.

$f(x)$	$f'(x)$	Dove vale
$c$	$0$	$\mathbb{R}$
$x$	$1$	$\mathbb{R}$
${x^n,\ n \geq 1}$	${n\,x^{n-1}}$	$\mathbb{R}$
$\frac{1}{x}$	${-\frac{1}{x^2}}$	${x \neq 0}$
$x^\alpha$	${\alpha\,x^{\alpha - 1}}$	${x > 0}$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	${x > 0}$
$\sqrt[3]{x}$	$\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$	${x \neq 0}$
$e^x$	$e^x$	$\mathbb{R}$
$a^x$	${a^x \ln a}$	$\mathbb{R}$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$	${x > 0}$
$\ln\lvert x \rvert$	$\frac{1}{x}$	${x \neq 0}$
$\log_a x$	$\frac{1}{x\ln a}$	${x > 0}$
$\sin x$	$\cos x$	$\mathbb{R}$
$\cos x$	${-\sin x}$	$\mathbb{R}$
$\tan x$	$\frac{1}{\cos^2 x}$	${x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi}$
$\cot x$	${-\frac{1}{\sin^2 x}}$	${x \neq k\pi}$
$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	${-1 < x < 1}$
$\arccos x$	${-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}}$	${-1 < x < 1}$
$\arctan x$	$\frac{1}{1 + x^2}$	$\mathbb{R}$
$\sinh x$	$\cosh x$	$\mathbb{R}$
$\cosh x$	$\sinh x$	$\mathbb{R}$

La riga di $x^\alpha$ vale per ogni $\alpha$ reale con $x > 0$, ma per certi esponenti la formula vale su un insieme più grande: con $n$ naturale su tutto $\mathbb{R}$, con un esponente intero negativo per $x \neq 0$. E ricorda che $\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$.

Come ricordare la tabella

Le potenze. Una sola regola per potenze, reciproci e radici: abbassa l’esponente e toglici 1. Una radice si riscrive come potenza: $\sqrt[5]{x^3} = x^{\frac{3}{5}}$ ha derivata $\frac{3}{5}x^{-\frac{2}{5}}$. Controllo veloce: la «regola» che ricordi deve dare $(x^2)' = 2x$.

Esponenziale e logaritmo. $e^x$ è la sua stessa derivata; con un’altra base compare $\ln a$, quasi una «tassa» per non aver usato $e$. Il logaritmo ha per derivata una potenza, $x^{-1}$, che la regola delle potenze non produce mai: servirebbe $\alpha = 0$, che dà la costante 1, con derivata zero.

Seno e coseno: un ciclo di quattro. Derivando più volte il seno si ottengono $\cos x$, $-\sin x$, $-\cos x$ e di nuovo $\sin x$: dopo quattro derivate si torna al punto di partenza.

Ogni derivata sposta il grafico di un quarto di periodo verso sinistra: $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$, e in generale la derivata $n$-esima del seno è $\sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$. Per trovare, per esempio, la derivata 103-esima del seno basta il resto della divisione per 4: $103 = 4 \cdot 25 + 3$, quindi è la terza del ciclo, $-\cos x$.

I segni. Le «co-funzioni» (coseno, cotangente, arcocoseno) hanno la derivata con il segno meno. L’unica eccezione della tabella è il coseno iperbolico.

Il controllo con la monotonia. Il segno della derivata dice se la funzione cresce o decresce: $\cos x$ decresce tra 0 e $\pi$, e infatti lì $-\sin x$ è negativo. Se una formula che ricordi dà il segno sbagliato, è sbagliata.

Gli errori più comuni

• Usare la regola delle potenze con la variabile all’esponente. $(2^x)' \neq x \cdot 2^{x-1}$: la regola delle potenze vale quando la variabile è nella base e l’esponente è fisso. La derivata giusta è $2^x\ln 2$. Allo stesso modo $(e^x)' = e^x$, non $x\,e^{x-1}$.
• Scrivere che la derivata di ln x è 1 su ln x. È $\frac{1}{x}$: il logaritmo sparisce.
• Derivare le costanti come se fossero funzioni. $(e^2)' = 0$, $(\pi^3)' = 0$, $(\ln 7)' = 0$: sono numeri. Scrivere $(e^2)' = 2e$ è un errore classico.
• Lavorare in gradi. $(\sin x)' = \cos x$ vale solo in radianti; in gradi compare il fattore $\frac{\pi}{180}$.
• Sbagliare il segno di coseno e cotangente. $(\cos x)' = -\sin x$ e $(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$; ma $(\cosh x)' = \sinh x$, senza meno.
• Dimenticare dove vale la formula. $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ vale per $x > 0$: in 0 la radice è definita ma non derivabile. Lo stesso per $\sqrt[3]{x}$ e $\sqrt[3]{x^2}$ in 0.
• Confondere derivata e primitiva. $\frac{1}{x}$ è la derivata di $\ln\lvert x \rvert$, non il contrario: la derivata di $\frac{1}{x}$ è $-\frac{1}{x^2}$.

Esercizi svolti

1. La derivata di x al cubo con la definizione

Testo. Usando la definizione, calcola la derivata di $f(x) = x^3$ e trova la pendenza della retta tangente al grafico nel punto di ascissa $x = 2$.

Sviluppiamo il cubo di binomio:

$$(x + h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3$$

Il rapporto incrementale è quindi

$$\begin{gathered} \frac{(x + h)^3 - x^3}{h} = \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} \\ {} = 3x^2 + 3xh + h^2 \end{gathered}$$

Per $h \to 0$ gli ultimi due termini tendono a 0, quindi $f'(x) = 3x^2$, come prevede la regola delle potenze con $n = 3$. Nel punto di ascissa 2 la pendenza è $f'(2) = 3 \cdot 4 = 12$: la tangente al grafico in $(2, 8)$ sale di 12 unità per ogni unità in orizzontale.

2. Riscrivere come potenze e usare la tabella

Testo. Per $x > 0$, calcola le derivate di $f(x) = x^2\sqrt{x}$, $g(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$, $k(x) = \frac{1}{x^2\sqrt{x}}$ e $c(x) = e^3 + \ln 2$. Calcola poi $f'(4)$ e $g'(8)$.

Il metodo: prima si riscrive ogni funzione come una sola potenza di $x$, con le proprietà delle potenze; poi si deriva; infine, se serve, si torna alle radici.

Per $f$: $x^2\sqrt{x} = x^2 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{5}{2}}$, quindi

$$\begin{gathered} f'(x) = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} = \frac{5}{2}\,x\sqrt{x} \\ f'(4) = \frac{5}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 20 \end{gathered}$$

Per $g$: $\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-\frac{1}{3}}$, e l’esponente diminuito di 1 è $-\frac{1}{3} - 1 = -\frac{4}{3}$. Siccome $x^{\frac{4}{3}} = x\sqrt[3]{x}$:

$$\begin{gathered} g'(x) = -\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3x\sqrt[3]{x}} \\ g'(8) = -\frac{1}{3 \cdot 8 \cdot 2} = -\frac{1}{48} \end{gathered}$$

Per $k$: $\frac{1}{x^2\sqrt{x}} = x^{-\frac{5}{2}}$, e l’esponente diminuito di 1 è $-\frac{7}{2}$. Siccome $x^{\frac{7}{2}} = x^3\sqrt{x}$:

$$k'(x) = -\frac{5}{2}x^{-\frac{7}{2}} = -\frac{5}{2x^3\sqrt{x}}$$

Infine $c(x)$ è una costante, perché $e^3$ e $\ln 2$ sono numeri: $c'(x) = 0$. Quindi $f'(4) = 20$ e $g'(8) = -\frac{1}{48}$, negativa perché $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ decresce.

3. La derivata di 1 su radice di x con la definizione

Testo. Per $x > 0$, dimostra con la definizione che la derivata di $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ è $-\frac{1}{2x\sqrt{x}}$, e verifica che il risultato è d’accordo con la regola delle potenze.

Facciamo il denominatore comune nel rapporto incrementale:

$$\begin{gathered} \frac{1}{h}\left[\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right] \\ {} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x + h}}{h\sqrt{x}\sqrt{x + h}} \end{gathered}$$

Al numeratore c’è una differenza di radici: moltiplichiamo sopra e sotto per $\sqrt{x} + \sqrt{x + h}$. Al numeratore resta $x - (x + h) = -h$, che si semplifica con la $h$ al denominatore:

$$\begin{gathered} \frac{-h}{h\sqrt{x}\sqrt{x + h}\left(\sqrt{x} + \sqrt{x + h}\right)} \\ {} = -\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{x + h}\left(\sqrt{x} + \sqrt{x + h}\right)} \end{gathered}$$

Per $h \to 0$, $\sqrt{x + h} \to \sqrt{x}$, quindi il denominatore tende a $\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} = 2x\sqrt{x}$:

$$f'(x) = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$$

Con la regola delle potenze: $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$ ha derivata $-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$. Le due strade danno lo stesso risultato; per esempio in $x = 4$ la pendenza è $-\frac{1}{2 \cdot 4 \cdot 2} = -\frac{1}{16}$.

4. Derivabilità nell’origine

Testo. Le funzioni $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$ e $g(x) = x\sqrt{x}$ sono definite in $x = 0$. Sono derivabili in 0? Per quali $x$ vale la formula della derivata?

La funzione f. È definita su tutto $\mathbb{R}$. In 0 il rapporto incrementale è

$$\frac{\sqrt[3]{h^2} - 0}{h} = \frac{1}{\sqrt[3]{h}}$$

Per $h \to 0^+$ tende a $+\infty$, per $h \to 0^-$ tende a $-\infty$. La derivata in 0 non esiste: il grafico ha una cuspide nell’origine. Per $x > 0$ la regola delle potenze con $\alpha = \frac{2}{3}$ dà $f'(x) = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$; la stessa formula vale anche per $x < 0$, come si verifica con la regola della catena scrivendo $f(x) = (\sqrt[3]{x})^2$. Quindi $f'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$ per ogni $x \neq 0$.

La funzione g. È definita solo per $x \geq 0$, quindi in 0 si può fare solo il limite da destra:

$$\frac{h\sqrt{h} - 0}{h} = \sqrt{h} \to 0$$

$g$ è derivabile da destra in 0, con derivata 0: tangente orizzontale. Per $x > 0$, $g(x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x}$, che in 0 dà proprio 0. Tutto dipende dall’esponente: $\frac{2}{3} < 1$ fa esplodere il rapporto incrementale, $\frac{3}{2} > 1$ lo fa tendere a zero.

5. Gradi o radianti?

Testo. Una calcolatrice in modalità DEG disegna il grafico di $y = \sin x$ con $x$ in gradi. Quanto vale la pendenza della tangente nel punto $x = 60$? Confrontala con la pendenza di $y = \sin x$, con $x$ in radianti, nel punto corrispondente $x = \frac{\pi}{3}$, e verifica il risultato con un rapporto incrementale.

In gradi la derivata è $\frac{\pi}{180}\cos(x^\circ)$. In $x = 60$, con $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$:

$$\begin{gathered} \frac{\pi}{180} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{360} \\ {} \approx 0{,}008\,73 \end{gathered}$$

In radianti, invece, la pendenza in $\frac{\pi}{3}$ è $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} = 0{,}5$. Il rapporto tra le due pendenze è $\frac{\pi}{180}$: in gradi la tangente è circa 57 volte più piatta.

Verifichiamo con un rapporto incrementale in gradi, con $h = 1$ (un grado), usando $\sin 61^\circ \approx 0{,}874\,62$ e $\sin 60^\circ \approx 0{,}866\,03$:

$$\frac{\sin 61^\circ - \sin 60^\circ}{1} \approx 0{,}008\,59$$

È vicino a $0{,}008\,73$; con $h = 0{,}01$ gradi si ottiene $0{,}008\,725$. Stesso punto, due pendenze diverse: dipende solo dall’unità di misura dell’angolo.

6. Le tangenti per l’origine al logaritmo e all’esponenziale

Testo. Trova la retta tangente al grafico di $y = \ln x$ che passa per l’origine. Poi fai lo stesso per $y = e^x$ e confronta i due risultati.

Il logaritmo. La retta tangente al grafico di $f$ in $x_0$ è $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Con $f(x) = \ln x$, per $x_0 > 0$:

$$y = \ln x_0 + \frac{1}{x_0}(x - x_0)$$

Imponiamo che passi per l’origine, cioè sostituiamo $x = 0$ e $y = 0$:

$$\begin{gathered} 0 = \ln x_0 + \frac{1}{x_0}(0 - x_0) \\ 0 = \ln x_0 - 1 \quad\Rightarrow\quad x_0 = e \end{gathered}$$

Il punto di tangenza è $(e, 1)$ e la tangente è $y = 1 + \frac{1}{e}(x - e) = \frac{x}{e}$.

L’esponenziale. La tangente nel punto di ascissa $x_1$ è $y = e^{x_1} + e^{x_1}(x - x_1)$. Passa per l’origine se

$$0 = e^{x_1}(1 - x_1)$$

Siccome $e^{x_1}$ non è mai zero, deve essere $x_1 = 1$: il punto di tangenza è $(1, e)$ e la tangente è $y = e + e(x - 1) = e\,x$.

Il confronto. Le rette $y = \frac{x}{e}$ e $y = e\,x$, come i punti $(e, 1)$ e $(1, e)$, sono simmetriche rispetto alla bisettrice $y = x$, proprio come i grafici di $\ln x$ ed $e^x$, che sono funzioni inverse. E le pendenze $\frac{1}{e}$ ed $e$ sono una il reciproco dell’altra, come prevede la regola della derivata della funzione inversa.

Altri esercizi, con le regole di derivazione e le applicazioni, li trovi negli esercizi svolti sulle derivate.

In sintesi

• Ogni derivata fondamentale si ricava dalla definizione: si trasforma il rapporto incrementale fino a ricondurlo a un limite notevole.
• $(c)' = 0$ e $(x^\alpha)' = \alpha\,x^{\alpha - 1}$: una sola regola per potenze, reciproci e radici. Vale per $x > 0$, e su tutto $\mathbb{R}$ se l’esponente è naturale.
• In 0, $\sqrt{x}$, $\sqrt[3]{x}$ e $\sqrt[3]{x^2}$ sono definite ma non derivabili: tangente verticale o cuspide.
• $(e^x)' = e^x$ e $(a^x)' = a^x\ln a$: $e$ è l’unica base per cui il fattore vale 1.
• $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ per $x > 0$, $(\ln\lvert x \rvert)' = \frac{1}{x}$ per $x \neq 0$, $(\log_a x)' = \frac{1}{x\ln a}$.
• $(\sin x)' = \cos x$ e $(\cos x)' = -\sin x$, solo in radianti; in gradi compare il fattore $\frac{\pi}{180}$.
• $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$; $(\sinh x)' = \cosh x$ e $(\cosh x)' = \sinh x$.

Con questa tabella e quattro regole si deriva qualsiasi funzione: le vediamo nelle regole di derivazione.