Funzione composta: come si calcola f(g(x)), dominio, interna ed esterna

Molte funzioni che incontri in Analisi 1 sono costruite mettendo in fila funzioni più semplici: in $\sqrt{x^2 + 7}$ prima calcoli $x^2 + 7$, poi fai la radice; in $\ln(\sin x)$ prima il seno, poi il logaritmo. Questa operazione si chiama composizione, e il risultato è una funzione composta, che si scrive $f(g(x))$ oppure $(f \circ g)(x)$. Serve ovunque: nei domini, nei limiti, nelle derivate e negli integrali. In questa pagina vediamo l’idea, la definizione, come si calcola $f(g(x))$, perché l’ordine conta, proprietà e iterate, la lettura sui grafici, dominio e immagine passo passo, come si riconoscono funzione interna ed esterna, monotonia e parità, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

L’idea: una macchina dopo l’altra

Pensa a una funzione come a una macchina: entra un numero, esce un altro numero. Comporre due funzioni vuol dire collegare due macchine in fila: quello che esce dalla prima entra nella seconda.

Nello schema $g(x) = x^2$ e $f(t) = \sqrt{t + 7}$. Partendo da $x = 3$, la prima macchina dà $g(3) = 9$, la seconda $f(9) = \sqrt{16} = 4$. Collegate, le due macchine diventano una macchina sola, che manda $x$ in $\sqrt{x^2 + 7}$.

Al negozio: l’ordine conta

Un negozio applica a un prodotto un buono sconto di 10 euro e l’IVA del 22%. Sono due funzioni del prezzo $p$:

$$\begin{gathered} s(p) = p - 10 \quad \text{(sconto)} \\ v(p) = 1{,}22\,p \quad \text{(IVA)} \end{gathered}$$

Su un prezzo di 100 euro, se prima togli lo sconto e poi aggiungi l’IVA paghi $v(s(100)) = 1{,}22 \cdot 90 = 109{,}80$ euro. Se prima aggiungi l’IVA e poi togli lo sconto paghi $s(v(100)) = 122 - 10 = 112$ euro. Stesse operazioni, risultati diversi: nella composizione l’ordine conta. Con uno sconto del 20%, invece, l’ordine non conterebbe: moltiplicare per 0,8 e per 1,22 dà lo stesso risultato in qualunque ordine.

La definizione

La $g$, che agisce per prima, si chiama funzione interna; la $f$, che agisce sul risultato, funzione esterna. Ogni valore $g(x)$ deve essere un ingresso valido per $f$: qui lo garantisce il fatto che $g$ arriva proprio in $B$, l’insieme di partenza di $f$. Con le funzioni date da una formula spesso non succede, e la composta esiste solo per alcuni $x$: è il problema del dominio, che vediamo più avanti.

Perché si scrive al contrario

In $f \circ g$ la funzione scritta per prima, $f$, agisce per ultima. Dipende da come scriviamo le funzioni, con il nome a sinistra dell’argomento: in $f(g(x))$ la funzione più vicina alla $x$ è $g$, che la «tocca» per prima, e $f$ arriva dopo, dall’esterno. Il simbolo $f \circ g$ conserva quest’ordine di scrittura, quindi si legge da destra verso sinistra: per questo «$f$ dopo $g$» è la lettura più sicura.

Come si calcola f(g(x))

La regola è una sola: nella formula di $f$, al posto di ogni $x$ si scrive $g(x)$, tra parentesi. Se ti aiuta, chiama $t$ la variabile della funzione esterna: scrivi $f(t)$ e poi sostituisci $t = g(x)$.

Prendiamo $f(x) = x^2 - 3x$ e $g(x) = 2x + 1$. Nella formula di $f$ la $x$ compare due volte, e tutte e due le volte diventa $(2x + 1)$:

$$\begin{gathered} f\big(g(x)\big) = (2x + 1)^2 - 3(2x + 1) \\ {} = 4x^2 + 4x + 1 - 6x - 3 \\ {} = 4x^2 - 2x - 2 \end{gathered}$$

Per $g(f(x))$ si fa il contrario: nella formula di $g$, al posto di $x$, si scrive $f(x)$:

$$\begin{gathered} g\big(f(x)\big) = 2(x^2 - 3x) + 1 \\ {} = 2x^2 - 6x + 1 \end{gathered}$$

Controllo con un numero, $x = 1$: $g(1) = 3$ e $f(3) = 9 - 9 = 0$; la formula dà $4 - 2 - 2 = 0$.

Con tre o più funzioni si procede allo stesso modo, dall’interno verso l’esterno:

$$(f \circ g \circ h)(x) = f\Big(g\big(h(x)\big)\Big)$$

Per esempio, con $h(x) = x - 1$, $g(u) = u^2$ e $f(t) = \ln t$ si ottiene $\ln\big((x - 1)^2\big)$: prima si toglie 1, poi si eleva al quadrato, infine si fa il logaritmo.

Perché f∘g e g∘f sono diverse

In generale $f \circ g \neq g \circ f$: la composizione non è commutativa. Si vede bene anche in un grafico. Con $f(t) = t^2$ e $g(x) = x + 1$:

$$\begin{gathered} (f \circ g)(x) = (x + 1)^2 \\ (g \circ f)(x) = x^2 + 1 \end{gathered}$$

Nel primo caso il $+1$ agisce prima del quadrato, nel secondo dopo. Le due parabole hanno il vertice in $(-1, 0)$ e in $(0, 1)$, e si incontrano solo in $x = 0$, dove valgono entrambe 1. Come cambia un grafico quando si modifica la funzione interna o quella esterna lo vedi nelle trasformazioni dei grafici.

Qualche volta, però, le due composte coincidono. Succede per esempio:

• se una delle due funzioni è l’identità, $x \mapsto x$;
• con due potenze: $(x^2)^3 = (x^3)^2 = x^6$;
• con due traslazioni, $x + a$ e $x + b$, o con due moltiplicazioni per una costante, come gli sconti in percentuale;
• quando una funzione è l’inversa dell’altra: $\sqrt[3]{x^3} = \left(\sqrt[3]{x}\right)^3 = x$ per ogni $x$ reale.

Per due funzioni lineari $f(x) = ax + b$ e $g(x) = cx + d$ il conto è veloce:

$$\begin{gathered} f\big(g(x)\big) = acx + ad + b \\ g\big(f(x)\big) = acx + cb + d \end{gathered}$$

Quindi le due composte coincidono se e solo se $ad + b = cb + d$. Per lo sconto e l’IVA ($a = 1$, $b = -10$, $c = 1{,}22$, $d = 0$) si ha $-10 \neq -12{,}2$: la differenza, 2,20 euro, è proprio quella tra 112 e 109,80.

La proprietà associativa

La composizione è associativa: per tre funzioni $f$, $g$, $h$

$$(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$$

Perché è vero. Basta calcolare le due funzioni in un punto $x$:

$$\begin{gathered} \big((f \circ g) \circ h\big)(x) = f\Big(g\big(h(x)\big)\Big) \\ \big(f \circ (g \circ h)\big)(x) = f\Big(g\big(h(x)\big)\Big) \end{gathered}$$

In entrambi i casi si calcola prima $h$, poi $g$, poi $f$. Anche i domini coincidono: sono gli $x$ per cui si possono calcolare, uno dopo l’altro, $h(x)$, $g(h(x))$ e $f(g(h(x)))$. Per questo si scrive $f \circ g \circ h$ senza parentesi. Quello che non si può fare è cambiare l’ordine delle funzioni.

La funzione identità

La funzione più semplice di tutte è l’identità, $\operatorname{id}(x) = x$, che lascia ogni numero com’è. Comporre con l’identità non cambia nulla: se $f : A \to B$,

$$f \circ \operatorname{id}_A = f \qquad \operatorname{id}_B \circ f = f$$

dove $\operatorname{id}_A$ è l’identità sull’insieme $A$. Nella composizione l’identità ha lo stesso ruolo dello 0 nella somma e dell’1 nel prodotto: è l’elemento neutro.

Sembra un’osservazione banale, ma è il punto di partenza della funzione inversa: l’inversa di $f$ è la funzione che, composta con $f$, dà l’identità, cioè «disfa» quello che $f$ ha fatto. In simboli, $f^{-1} \circ f = \operatorname{id}_A$ e $f \circ f^{-1} = \operatorname{id}_B$.

Le iterate: una funzione composta con se stessa

Se i valori di $f$ stanno nel suo dominio, $f$ si può comporre con se stessa: $f \circ f$, $f \circ f \circ f$ e così via sono le iterate di $f$. Con $f(x) = 2x + 1$, «raddoppia e aggiungi 1»:

$$\begin{gathered} (f \circ f)(x) = 2(2x + 1) + 1 = 4x + 3 \\ (f \circ f \circ f)(x) = 2(4x + 3) + 1 = 8x + 7 \end{gathered}$$

Alcune funzioni, iterate, tornano al punto di partenza. Succede con $f(x) = -x$ e con $f(x) = \frac{1}{x}$: $-(-x) = x$ e $\frac{1}{1/x} = x$ per ogni $x \neq 0$, quindi $f \circ f$ è l’identità sul dominio di $f$. Per altre funzioni servono tre passi: con $f(x) = \frac{1}{1 - x}$ si ha $f \circ f \circ f = \operatorname{id}$, dove è definita. Lo verifichiamo nell’esercizio 4.

Leggere la composta sui grafici

Se conosci i grafici di $g$ e di $f$, puoi calcolare $f(g(x))$ senza formule, con due letture. Riprendiamo $g(x) = x^2$ e $f(t) = \sqrt{t + 7}$:

1. sul grafico di $g$ parti da $x = 3$ sull’asse orizzontale, sali fino alla curva e leggi l’altezza: $g(3) = 9$;
2. quel valore diventa l’ingresso di $f$: sul grafico di $f$ parti da $t = 9$ sull’asse orizzontale, sali fino alla curva e leggi $f(9) = 4$.

Il passaggio delicato è il secondo: il risultato di $g$, che sul primo grafico è un’altezza, va riportato sull’asse orizzontale del secondo. Questa lettura spiega anche il dominio: se $g(x)$ cade dove il grafico di $f$ non c’è, qui a sinistra di $-7$, la composta non esiste. Con $x^2 \geq 0$ non succede mai: $\sqrt{x^2 + 7}$ è definita su tutto $\mathbb{R}$. Per ripassare i grafici di partenza c’è la pagina sui grafici delle funzioni elementari.

Il dominio della funzione composta

Per calcolare $f(g(x))$ servono due cose: che $g(x)$ esista, e che il risultato sia un ingresso accettabile per $f$.

Il metodo in 4 passi

Si procede sempre dall’interno verso l’esterno.

1. Scrivi le condizioni di esistenza della funzione interna $g$.
2. Scrivi le condizioni della funzione esterna sulla sua variabile $t$.
3. Sostituisci $t = g(x)$ in queste condizioni e risolvile in $x$.
4. Metti a sistema tutte le condizioni: il dominio è l’intersezione. Solo dopo, se vuoi, semplifica la formula.

Le condizioni per frazioni, radici, logaritmi e le altre funzioni sono quelle del dominio di una funzione.

Esempio. $h(x) = \sqrt{1 - \ln x}$ è la composta di $g(x) = \ln x$ e $f(t) = \sqrt{1 - t}$.

1. Il logaritmo chiede $x > 0$.
2. La radice chiede $1 - t \geq 0$, cioè $t \leq 1$.
3. Con $t = \ln x$: $\ln x \leq 1$, cioè $x \leq e$, perché il logaritmo è strettamente crescente.
4. A sistema: $0 < x \leq e$.

Il dominio è $(0, e]$. Il passo 4 è quello che si dimentica: risolvendo $\ln x \leq 1$ verrebbe spontaneo scrivere solo $x \leq e$, ma lo zero e i numeri negativi non hanno logaritmo.

Quando la formula «sembra» definita ovunque

Il dominio della composta si calcola sulla formula così com’è, prima di semplificare. Due esempi classici:

• $g(x) = \sqrt{x}$ e $f(t) = t^2$ danno $f(g(x)) = \left(\sqrt{x}\right)^2$. Viene voglia di scrivere $x$, che è definita ovunque; ma la radice interna esiste solo per $x \geq 0$. Quindi $\left(\sqrt{x}\right)^2 = x$ solo per $x \geq 0$. Nell’ordine opposto, invece, $\sqrt{x^2}$ esiste per ogni $x$, ma vale $\lvert x \rvert$, non $x$: per esempio $\sqrt{(-3)^2} = 3$.
• $\ln\left(e^x\right) = x$ per ogni $x$ reale, perché $e^x$ è sempre positivo. Invece $e^{\ln x} = x$ solo per $x > 0$: per $x \leq 0$ il logaritmo interno non esiste.

La formula semplificata è $x$, ma $\left(\sqrt{x}\right)^2$ ed $e^{\ln x}$ non sono la funzione $x$: due funzioni sono uguali solo se hanno stesso dominio e stessi valori (vedi funzioni: dominio, codominio e immagine).

L’immagine della funzione composta

Anche l’immagine si trova dall’interno verso l’esterno: prima l’insieme dei valori della funzione interna, poi i valori che $f$ assume su quell’insieme. In simboli, se $D$ è il dominio della composta,

$$\operatorname{Im}(f \circ g) = f\big(g(D)\big)$$

Prendi $h(x) = 2^{\sin x}$. La funzione interna $\sin x$ assume tutti i valori di $[-1, 1]$. La funzione esterna $2^t$ è crescente e continua, quindi su $[-1, 1]$ va da $2^{-1} = \frac{1}{2}$ a $2^1 = 2$, passando per tutti i valori intermedi. L’immagine è $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$, non $(0, +\infty)$ come per l’esponenziale: l’esterna riceve solo i valori che le passa l’interna.

Riconoscere funzione interna ed esterna

Nel corso userai la composizione soprattutto al contrario: data una funzione complicata, dovrai riconoscere le funzioni semplici che la compongono. Il trucco è chiedersi: qual è l’ultima operazione che faccio per calcolarla con la calcolatrice? Quella è la funzione esterna; ciò su cui agisce è la funzione interna.

Funzione	Interna $g(x)$	Esterna $f(t)$
$(x^2 + 1)^5$	$x^2 + 1$	$t^5$
$e^{\sqrt{x}}$	$\sqrt{x}$	$e^t$
$\sqrt{\ln x}$	$\ln x$	$\sqrt{t}$
$\frac{1}{x^3 - 8}$	$x^3 - 8$	$\frac{1}{t}$
$\lvert \sin x \rvert$	$\sin x$	$\lvert t \rvert$
$\sin \lvert x \rvert$	$\lvert x \rvert$	$\sin t$
$\ln^2 x$	$\ln x$	$t^2$
$\ln(x^2)$	$x^2$	$\ln t$

La variabile dell’esterna si chiama $t$ per non confonderla con la $x$. Guarda le coppie in fondo alla tabella: $\lvert \sin x \rvert$ e $\sin \lvert x \rvert$, $\ln^2 x$ e $\ln(x^2)$ sembrano simili, ma usano gli stessi ingredienti nell’ordine opposto. Con $x = e$, per esempio, $\ln^2 e = 1$, mentre $\ln(e^2) = 2$.

Più scomposizioni possibili

La scomposizione non è unica. $\sqrt{x^2 + 7}$ si può vedere come $\sqrt{t}$ con interna $x^2 + 7$, oppure come $\sqrt{t + 7}$ con interna $x^2$ (quella dello schema iniziale), oppure come catena di tre funzioni: $x \mapsto x^2 \mapsto x^2 + 7 \mapsto \sqrt{x^2 + 7}$. Sono tutte corrette: conviene quella in cui conosci già dominio, grafico o derivata dei pezzi.

Perché serve

Riconoscere interna ed esterna è il primo passo in molti argomenti del corso.

• Domini: si procede dall’interno verso l’esterno, come hai visto sopra.
• Limiti: il teorema sul limite della funzione composta giustifica il cambio di variabile $t = g(x)$, che userai di continuo nel calcolo dei limiti.
• Continuità: se $g$ è continua in $x_0$ e $f$ è continua in $g(x_0)$, allora $f(g(x))$ è continua in $x_0$ (vedi la continuità).
• Derivate: la regola della catena dice che, se $g$ è derivabile in $x$ e $f$ in $g(x)$, si deriva l’esterna, calcolata nell’interna, e si moltiplica per la derivata dell’interna: $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
• Integrali: l’integrazione per sostituzione è la regola della catena letta al contrario.

Attento infine alle funzioni goniometriche inverse: $\arcsin(\sin x)$ non è sempre uguale a $x$.

Composizione, monotonia e parità

Spesso puoi capire come si comporta una composta guardando i pezzi. Le definizioni di funzione crescente, decrescente, pari e dispari sono nella pagina sulle funzioni pari, dispari, periodiche e monotone.

La monotonia: una regola dei segni

È la regola dei segni del prodotto, con crescente al posto di $+$ e decrescente al posto di $-$.

Perché è vero. Prendi due punti $x_1 < x_2$ in $I$.

• Se $g$ e $f$ sono crescenti: $g(x_1) < g(x_2)$ e, applicando $f$, che conserva il verso, $f(g(x_1)) < f(g(x_2))$.
• Se sono entrambe decrescenti: $g(x_1) > g(x_2)$, poi $f$ inverte di nuovo il verso e dà $f(g(x_1)) < f(g(x_2))$. Due inversioni si annullano.
• Se una è crescente e l’altra decrescente, il verso si inverte una volta sola, quindi $f(g(x_1)) > f(g(x_2))$.

Lo stesso ragionamento, con $\leq$ al posto di $<$, vale per le funzioni monotone in senso debole.

Per esempio $e^{-x}$ è decrescente su $\mathbb{R}$: l’interna $-x$ è decrescente, l’esterna $e^t$ è crescente. E $\frac{1}{x^2 + 1}$ è decrescente su $[0, +\infty)$: lì l’interna $x^2 + 1$ è crescente e prende valori in $[1, +\infty)$, dove l’esterna $\frac{1}{t}$ è decrescente.

La parità

Se la funzione interna è pari, la composta è pari, qualunque sia l’esterna: da $g(-x) = g(x)$ segue $f(g(-x)) = f(g(x))$. Così $\sqrt{x^2 + 7}$ e $\cos(x^2)$ sono pari. Se l’interna è dispari, conta l’esterna:

• esterna dispari e interna dispari danno una funzione dispari, perché $f(g(-x)) = f(-g(x)) = -f(g(x))$: per esempio $\sin(x^3)$;
• esterna pari e interna dispari danno una funzione pari, perché $f(g(-x)) = f(-g(x)) = f(g(x))$: per esempio $\cos(\sin x)$ e $\sin^2 x$.

In tutti questi casi anche il dominio della composta è simmetrico, come serve. Se invece l’interna non è né pari né dispari, in generale non si può dire nulla: $\lvert t \rvert$ è pari, ma $\lvert x - 1 \rvert$ non lo è, perché vale 2 in $x = -1$ e 0 in $x = 1$.

Iniettività e suriettività

La composta di due funzioni iniettive è iniettiva, e la composta di due funzioni suriettive, $g : A \to B$ su $B$ e $f : B \to C$ su $C$, è suriettiva. Le dimostrazioni sono in funzioni iniettive, suriettive e biiettive.

Gli errori più comuni

• Leggere $f \circ g$ da sinistra a destra. In $f \circ g$ agisce per prima $g$, la funzione scritta a destra: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$.
• Confondere composizione e prodotto. $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$, mentre $(f \circ g)(x) = f(g(x))$. Con $f(x) = x^2$ e $g(x) = x + 1$ il prodotto è $x^2(x + 1)$, la composta $(x + 1)^2$.
• Sostituire senza parentesi. Con $f(x) = x^2$, $f(-x)$ è $(-x)^2 = x^2$, non $-x^2$.
• Semplificare prima di calcolare il dominio. $\left(\sqrt{x}\right)^2$ ed $e^{\ln x}$ valgono $x$, ma solo dove esiste la funzione interna.
• Dimenticare le condizioni della funzione interna. Il dominio di $f \circ g$ è contenuto in quello di $g$: prima $g(x)$ deve esistere, poi deve stare nel dominio di $f$.
• Scambiare $\ln^2 x$ con $\ln(x^2)$, o $\sin^2 x$ con $\sin(x^2)$. Nella prima scrittura l’esterna è il quadrato, nella seconda il logaritmo o il seno.
• Prendere l’immagine dell’esterna come immagine della composta. L’esterna riceve solo i valori dell’interna: l’immagine di $2^{\sin x}$ è $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$, non $(0, +\infty)$.
• Usare la regola della monotonia fuori da un intervallo. $\frac{1}{t}$ non è decrescente su tutto il suo dominio, e $\frac{1}{x - 1}$ non è decrescente su $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.

Esercizi svolti

1. Le due composte di una parabola e una retta

Testo. Siano $f(x) = x^2 - 1$ e $g(x) = 3 - 2x$. Calcola $f \circ g$ e $g \circ f$, controlla i risultati in $x = 1$ e trova per quali $x$ le due composte hanno lo stesso valore.

Per $f \circ g$ mettiamo $3 - 2x$, tra parentesi, al posto di $x$ nella formula di $f$:

$$\begin{gathered} f\big(g(x)\big) = (3 - 2x)^2 - 1 \\ {} = 9 - 12x + 4x^2 - 1 \\ {} = 4x^2 - 12x + 8 \end{gathered}$$

Per $g \circ f$ mettiamo $x^2 - 1$ nella formula di $g$:

$$\begin{gathered} g\big(f(x)\big) = 3 - 2(x^2 - 1) \\ {} = 3 - 2x^2 + 2 = 5 - 2x^2 \end{gathered}$$

Controllo in $x = 1$. Passo per passo: $g(1) = 1$ e $f(1) = 0$, quindi $f(g(1)) = 0$; la formula dà $4 - 12 + 8 = 0$. Nell’altro ordine: $f(1) = 0$ e $g(0) = 3$, quindi $g(f(1)) = 3$; la formula dà $5 - 2 = 3$.

Dove coincidono. Uguagliamo le due espressioni:

$$\begin{gathered} 4x^2 - 12x + 8 = 5 - 2x^2 \\ 6x^2 - 12x + 3 = 0 \\ 2x^2 - 4x + 1 = 0 \end{gathered}$$

Con la formula risolutiva:

$$\begin{gathered} x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} \\ x = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \end{gathered}$$

Le due composte sono funzioni diverse, che assumono lo stesso valore solo in questi due punti.

2. Un dominio con tre condizioni

Testo. Siano $g(x) = \ln(x + 2)$ e $f(t) = \dfrac{\sqrt{t}}{t - 1}$. Scrivi $f \circ g$ e calcola il suo dominio.

La composta si ottiene mettendo $\ln(x + 2)$ al posto di ogni $t$:

$$(f \circ g)(x) = \frac{\sqrt{\ln(x + 2)}}{\ln(x + 2) - 1}$$

Seguiamo il metodo, dall’interno verso l’esterno.

1. Funzione interna. Il logaritmo chiede $x + 2 > 0$, cioè $x > -2$.
2. Funzione esterna. $f(t)$ chiede $t \geq 0$ per la radice e $t \neq 1$ per il denominatore.
3. Sostituzione. La condizione $\ln(x + 2) \geq 0$ vuol dire $x + 2 \geq 1$, cioè $x \geq -1$. La condizione $\ln(x + 2) \neq 1$ vuol dire $x + 2 \neq e$, cioè $x \neq e - 2$.
4. Sistema. $x \geq -1$ implica già $x > -2$. Resta da togliere $e - 2 \approx 0{,}72$, che è maggiore di $-1$.

$$D_{f \circ g} = [-1,\ e - 2) \cup (e - 2,\ +\infty)$$

In $x = -1$ la funzione esiste e vale $\frac{\sqrt{0}}{0 - 1} = 0$; in $x = e - 2$ il denominatore si annulla.

3. Interna ed esterna

Testo. Scrivi come composte di funzioni più semplici: a) $\cos(x^3)$ e $\cos^3 x$; b) $\ln(\ln x)$, trovando anche il suo dominio; c) $\sin^2(3x + 1)$, come catena di tre funzioni.

a) In $\cos(x^3)$ l’ultima operazione è il coseno: interna $x^3$, esterna $\cos t$. In $\cos^3 x = (\cos x)^3$ l’ultima operazione è il cubo: interna $\cos x$, esterna $t^3$. Stessi ingredienti, ordine opposto, funzioni diverse: in $x = \pi$ si ha $\cos^3 \pi = (-1)^3 = -1$, mentre $\cos(\pi^3) \approx 0{,}92$.

b) $\ln(\ln x)$ è il logaritmo composto con se stesso, cioè l’iterata $\ln \circ \ln$: interna $\ln x$, esterna $\ln t$. Per il dominio, l’interna chiede $x > 0$; l’esterna chiede $t > 0$, cioè $\ln x > 0$, cioè $x > 1$. A sistema il dominio è $(1, +\infty)$.

c) Per calcolare $\sin^2(3x + 1)$ fai, nell’ordine: $3x + 1$, poi il seno, poi il quadrato. La catena è

$$\begin{gathered} h(x) = 3x + 1 \\ g(u) = \sin u \qquad f(t) = t^2 \end{gathered}$$

e $\sin^2(3x + 1) = f(g(h(x)))$. Raggruppando a due a due ci sono due scomposizioni: interna $\sin(3x + 1)$ ed esterna $t^2$, oppure interna $3x + 1$ ed esterna $\sin^2 t$. Per la derivata conviene la prima, applicando la regola della catena due volte.

4. Un’iterata che torna indietro

Testo. Sia $f(x) = \dfrac{1}{1 - x}$. Calcola $f \circ f$ e $f \circ f \circ f$, con i loro domini. Quanto vale $f$ composta cento volte con se stessa, calcolata in $x = 2$?

Il dominio di $f$ è $x \neq 1$. Per $f \circ f$ mettiamo $f(x)$ al posto di $x$:

$$\begin{gathered} f\big(f(x)\big) = \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - x}} \\ {} = \frac{1}{\frac{1 - x - 1}{1 - x}} = \frac{1 - x}{-x} = \frac{x - 1}{x} \end{gathered}$$

Per il dominio serve $x \neq 1$, per la funzione interna, e $f(x) \neq 1$, per l’esterna. Da $\frac{1}{1 - x} = 1$ segue $1 - x = 1$, cioè $x = 0$. Quindi $D_{f \circ f} = \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$. La formula finale $\frac{x - 1}{x}$ avrebbe senso anche in $x = 1$, ma lì la funzione interna non esiste.

Ora applichiamo $f$ a $\frac{x - 1}{x}$:

$$\begin{gathered} f\left(\frac{x - 1}{x}\right) = \frac{1}{1 - \frac{x - 1}{x}} \\ {} = \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x}} = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x \end{gathered}$$

Oltre a $x \neq 0$ e $x \neq 1$ serve $\frac{x - 1}{x} \neq 1$, cioè $x - 1 \neq x$, che è sempre vero. Quindi $f \circ f \circ f$ è l’identità su $\mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$: applicando $f$ tre volte si torna al punto di partenza. Con $x = 2$: $f(2) = -1$, $f(-1) = \frac{1}{2}$, $f\left(\frac{1}{2}\right) = 2$.

Cento volte. Siccome $100 = 3 \cdot 33 + 1$, comporre $f$ cento volte vuol dire fare 33 giri completi, che riportano al punto di partenza, più un passo. In $x = 2$ il risultato è quindi $f(2) = -1$.

5. Un’equazione con una composta

Testo. Siano $f(t) = t^2 - t$ e $g(x) = e^x$. Risolvi le equazioni $f(g(x)) = 6$ e $g(f(x)) = 6$.

Prima equazione. Si lavora dall’esterno verso l’interno: prima si cerca quali valori $t$ danno $f(t) = 6$, poi quali $x$ danno $g(x) = t$.

$$\begin{gathered} t^2 - t - 6 = 0 \\ (t - 3)(t + 2) = 0 \end{gathered}$$

quindi $t = 3$ oppure $t = -2$. Ora $e^x = 3$ dà $x = \ln 3$. Invece $e^x = -2$ è impossibile, perché l’esponenziale è sempre positivo: il valore $t = -2$ non sta nell’immagine della funzione interna e va scartato. L’unica soluzione è $x = \ln 3$. Verifica: $e^{\ln 3} = 3$ e $f(3) = 9 - 3 = 6$.

Seconda equazione. Ora l’esterna è l’esponenziale: $g(f(x)) = e^{x^2 - x} = 6$. Prendendo il logaritmo:

$$\begin{gathered} x^2 - x = \ln 6 \\ x^2 - x - \ln 6 = 0 \end{gathered}$$

Il discriminante $1 + 4\ln 6$ è positivo, quindi

$$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4\ln 6}}{2}$$

cioè $x \approx -0{,}93$ e $x \approx 1{,}93$. Soluzioni diverse dalla prima equazione: $f \circ g$ e $g \circ f$ sono proprio funzioni diverse.

6. Trovare un pezzo mancante

Testo. Sia $f(t) = t^2 + 1$. a) Trova una funzione $g$ tale che $(f \circ g)(x) = x^2 - 6x + 10$ per ogni $x$ reale. È l’unica? b) Trova una funzione $h$ tale che $(h \circ f)(x) = x^4 + 3x^2 + 2$.

a) Deve essere $g(x)^2 + 1 = x^2 - 6x + 10$, cioè

$$g(x)^2 = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$$

Una soluzione è $g(x) = x - 3$: infatti $(x - 3)^2 + 1 = x^2 - 6x + 10$. Non è l’unica: va bene anche $3 - x$, e in generale ogni funzione che in ciascun punto vale $x - 3$ oppure $3 - x$, come $\lvert x - 3 \rvert$. Il motivo è che l’esterna $t^2 + 1$ non è iniettiva: $t$ e $-t$ danno lo stesso valore, quindi la composta «perde» il segno dell’interna.

b) Questa volta l’incognita è la funzione esterna. Chiamiamo $t = f(x) = x^2 + 1$: allora $x^2 = t - 1$, e sostituendo

$$\begin{gathered} x^4 + 3x^2 + 2 = (t - 1)^2 + 3(t - 1) + 2 \\ {} = t^2 - 2t + 1 + 3t - 3 + 2 \\ {} = t^2 + t \end{gathered}$$

Quindi $h(t) = t^2 + t$. Verifica:

$$\begin{gathered} h\big(f(x)\big) = (x^2 + 1)^2 + (x^2 + 1) \\ {} = x^4 + 2x^2 + 1 + x^2 + 1 \\ {} = x^4 + 3x^2 + 2 \end{gathered}$$

Attenzione: la composta usa $h$ solo sui valori di $f$, cioè per $t \geq 1$. Su $[1, +\infty)$ la $h$ è determinata; fuori da lì potrebbe valere qualunque cosa.

Altri esercizi sulle composte, insieme al resto del capitolo, sono negli esercizi svolti su insiemi e funzioni.

In sintesi

• $(f \circ g)(x) = f(g(x))$: prima $g$ (interna), poi $f$ (esterna); si legge «$f$ dopo $g$».
• Si calcola sostituendo $g(x)$, tra parentesi, al posto di ogni $x$ nella formula di $f$.
• La composizione è associativa ma non commutativa: in generale $f \circ g \neq g \circ f$. L’identità è l’elemento neutro: $f \circ \operatorname{id} = \operatorname{id} \circ f = f$.
• Dominio: $D_{f \circ g} = \{x \in D_g : g(x) \in D_f\}$, calcolato dall’interno verso l’esterno e prima di semplificare.
• Immagine: prima i valori dell’interna, poi i valori dell’esterna su quell’insieme.
• Per scomporre una funzione, l’ultima operazione che esegui è la funzione esterna; la scomposizione non è unica.
• Monotonia: stesso verso dà una composta crescente, versi opposti una decrescente. Se l’interna è pari, la composta è pari.

Il prossimo passo è proprio la funzione inversa: quando esiste, come si calcola e che aspetto ha il suo grafico.