Integrale indefinito e primitive: tabella degli integrali ed esercizi svolti

Data una funzione, sai trovare la sua derivata. L’integrale indefinito fa il viaggio al contrario: data $f$, cerca le funzioni che hanno $f$ come derivata, le primitive. Grazie al teorema fondamentale del calcolo integrale, un’area, cioè un integrale definito, si calcola con una primitiva, e in Fisica dalla velocità si risale alla posizione: all’esame di Analisi 1 quasi ogni esercizio sugli integrali passa da qui (l’idea generale è nell’introduzione al capitolo). In questa pagina vediamo cos’è una primitiva e perché sono infinite, perché due primitive differiscono per una costante solo su un intervallo, l’integrale indefinito e il significato di $dx$, come trovare la primitiva che passa per un punto, la linearità, la tabella degli integrali fondamentali, quali funzioni hanno una primitiva, tanti esempi svolti, il controllo derivando, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Le primitive: la derivata letta al contrario

Derivare è come una macchina: metti dentro $x^2$ ed esce $2x$. Ora la domanda è rovesciata: è uscito $2x$, che cosa c’era dentro? Una risposta è $x^2$, e si chiama primitiva.

Esempi.

• $x^2$ è una primitiva di $2x$ su tutto $\mathbb{R}$, perché $(x^2)' = 2x$.
• $\sin x$ è una primitiva di $\cos x$, e $-\cos x$ è una primitiva di $\sin x$: attenzione al segno.
• Una primitiva di $x^2$ è $\frac{x^3}{3}$: la derivata di $x^3$ è $3x^2$, e per togliere il 3 si divide.
• $\sqrt{x}$ è una primitiva di $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ sull’intervallo $(0, +\infty)$. In 0 la radice è definita ma non derivabile, come vedi nelle derivate delle funzioni elementari, e infatti $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ in 0 non esiste.

Perché insistere sull’intervallo? Lo vedi tra poco: decide quante sono le primitive.

Le primitive sono infinite

Anche $x^2 + 5$ ha derivata $2x$, perché la derivata di una costante è zero. E così $x^2 - 7$ e $x^2 + \pi$. In generale, se $F$ è una primitiva di $f$, lo è anche $F + c$ per ogni numero reale $c$: una funzione che ha una primitiva ne ha infinite.

Ce ne sono altre, oltre a queste? Su un intervallo, no.

Dimostrazione. Considera la differenza $H = G - F$. È derivabile su $I$, con $H'(x) = f(x) - f(x) = 0$ per ogni $x \in I$. Prendi due punti qualsiasi $x_1 < x_2$ di $I$. Siccome $I$ è un intervallo, tutto $[x_1, x_2]$ sta dentro $I$, e per il teorema di Lagrange esiste un punto $t$ tra i due con

$$H(x_2) - H(x_1) = H'(t)\,(x_2 - x_1) = 0$$

Quindi $H$ assume lo stesso valore in tutti i punti di $I$: è una costante $c$, e $G = F + c$.

In pratica basta trovare una primitiva per averle tutte. Geometricamente, i grafici delle primitive sono la stessa curva traslata in verticale. In punti con la stessa ascissa hanno tangenti parallele, perché la pendenza è la stessa: $f(x)$.

Perché serve un intervallo

Prendi $f(x) = \frac{1}{x}$. È definita su $\mathbb{R} \setminus \{0\}$: due semirette separate dal buco in 0, non un intervallo. Sappiamo che $(\ln\lvert x \rvert)' = \frac{1}{x}$ per ogni $x \neq 0$. Ora guarda questa funzione:

$$F(x) = \begin{cases} \ln(-x) + 1 & \text{se } x < 0 \\ \ln x - 1 & \text{se } x > 0 \end{cases}$$

Su ciascuna semiretta è $\ln\lvert x \rvert$ più una costante, quindi $F'(x) = \frac{1}{x}$ in ogni punto del dominio: $F$ è una primitiva di $\frac{1}{x}$. Eppure $F - \ln\lvert x \rvert$ vale $1$ a sinistra e $-1$ a destra: non è costante. Il teorema non si applica: tra $-1$ e $1$ c’è lo 0, fuori dal dominio, e Lagrange non si può usare.

Tutte le primitive di $\frac{1}{x}$ su $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ hanno quindi due costanti, una per semiretta:

$$F(x) = \begin{cases} \ln(-x) + c_1 & \text{se } x < 0 \\ \ln x + c_2 & \text{se } x > 0 \end{cases}$$

Lo stesso succede con $\frac{1}{x^2}$, che ha primitive $-\frac{1}{x} + c_1$ per $x < 0$ e $-\frac{1}{x} + c_2$ per $x > 0$, e con $\frac{1}{\cos^2 x}$, che ha una costante per ognuno degli infiniti intervalli tra due zeri del coseno.

L’integrale indefinito

Si legge «integrale di $f$ di $x$ in $dx$». La funzione $f(x)$ si chiama funzione integranda e $c$ costante di integrazione: un numero reale qualsiasi. Il simbolo $\int$, una S allungata, è quello dell’integrale definito senza estremi: il risultato non è un numero, ma una famiglia di funzioni. E non è un caso: per il teorema fondamentale, l’integrale definito di una funzione continua si calcola con una primitiva $G$, come $G(b) - G(a)$.

Il significato di dx

Il $dx$ non è una decorazione: indica la variabile di integrazione, cioè la variabile rispetto a cui si cerca la primitiva. Le altre lettere sono costanti. Guarda la differenza:

$$\begin{gathered} \int x\,t^2\,dt = x\,\frac{t^3}{3} + c \\ \int x\,t^2\,dx = t^2\,\frac{x^2}{2} + c \end{gathered}$$

Nel primo integrale $x$ è un numero fisso che esce dall’integrale; nel secondo è $t^2$ a stare fuori. C’è anche un secondo significato, utile nella sostituzione: se $F' = f$, il differenziale di $F$ è $dF = f(x)\,dx$, e $\int dF = F + c$.

Derivare e integrare sono quindi operazioni inverse, ma con una piccola asimmetria:

$$\begin{gathered} \frac{d}{dx}\int f(x)\,dx = f(x) \\ \int F'(x)\,dx = F(x) + c \end{gathered}$$

Integrando una derivata si torna a $F$ solo a meno di una costante: la derivata «dimentica» le costanti.

La primitiva che passa per un punto

Spesso serve una primitiva precisa: quella che in un punto $x_0$ vale $y_0$. Graficamente, tra le curve $F + c$ si sceglie quella che passa per $(x_0, y_0)$. È il problema ai valori iniziali (o problema di Cauchy), il primo esempio di equazione differenziale: si cerca una funzione conoscendo la sua derivata.

$$\begin{cases} F'(x) = f(x) & \text{per } x \in I \\ F(x_0) = y_0 \end{cases}$$

La scaletta.

1. Trova una primitiva $G$ di $f$ con la tabella.
2. Scrivi tutte le primitive: $F(x) = G(x) + c$.
3. Imponi la condizione: $G(x_0) + c = y_0$, da cui $c = y_0 - G(x_0)$.
4. Sostituisci $c$ e controlla che $F(x_0) = y_0$.

Se $I$ è un intervallo, la soluzione esiste (quando $f$ ha una primitiva) ed è unica: tutte le primitive sono del tipo $G + c$, e la condizione fissa un solo valore di $c$.

Esempio. Trova la primitiva di $\cos x$ che vale 1 in $x = 0$. Le primitive sono $\sin x + c$; imponendo $\sin 0 + c = 1$ si trova $c = 1$, quindi $F(x) = \sin x + 1$.

Nella figura, in ogni punto del piano c’è un trattino con pendenza $\cos x$, quella che deve avere una primitiva che passa di lì. Ogni primitiva segue i trattini, come una foglia trascinata dalla corrente; la condizione iniziale sceglie il punto di partenza.

Dalla velocità alla posizione

In cinematica la velocità è la derivata della posizione, $s'(t) = v(t)$: la posizione è una primitiva della velocità, e la posizione iniziale fissa la costante.

Lanci un sasso verso l’alto da 1,5 m di altezza, a 12 m/s. Con $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$ e l’asse verso l’alto, la velocità è $v(t) = 12 - 9{,}81\,t$ (in m/s, con $t$ in secondi). Le primitive sono

$$s(t) = 12\,t - 4{,}905\,t^2 + c$$

e la condizione $s(0) = 1{,}5$ dà $c = 1{,}5$:

$$s(t) = 1{,}5 + 12\,t - 4{,}905\,t^2$$

È la legge oraria del moto uniformemente accelerato, $s_0 + v_0 t - \frac{1}{2}g t^2$: la posizione iniziale $s_0$ è proprio la costante di integrazione. Il sasso sale finché $v > 0$, cioè fino a $t = \frac{12}{9{,}81} \approx 1{,}22$ s, e lì arriva a $s \approx 8{,}84$ m. Lo stesso metodo funziona anche quando l’accelerazione non è costante.

Con il teorema fondamentale vedrai anche una formula diretta: se $f$ è continua, la soluzione è $F(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f(t)\,dt$.

La linearità

In parole: si integra termine per termine, e le costanti moltiplicative escono dall’integrale.

Dimostrazione. Siano $F$ e $G$ primitive di $f$ e $g$. Per la linearità della derivata:

$$\big(\alpha F + \beta G\big)' = \alpha F' + \beta G' = \alpha f + \beta g$$

Quindi $\alpha F + \beta G$ è una primitiva di $\alpha f + \beta g$, e a sinistra ci sono tutte le funzioni $\alpha F + \beta G + c$. A destra ci sono le funzioni $\alpha(F + c_1) + \beta(G + c_2)$: sono le stesse, perché $\alpha c_1 + \beta c_2$ è di nuovo una costante qualsiasi. Ecco perché alla fine si scrive una sola $c$, anche dopo aver calcolato più integrali. (Il caso $\alpha = \beta = 0$ si esclude per un cavillo: $\int 0\,dx$ sono tutte le costanti, non la sola funzione nulla.)

Esempio.

$$\begin{gathered} \int \left(5x^3 - 3e^x + \frac{2}{1 + x^2}\right)dx \\ {} = \frac{5}{4}x^4 - 3e^x + 2\arctan x + c \end{gathered}$$

Per prodotto e quoziente, invece, non c’è una regola altrettanto semplice: $\int x \cdot x\,dx = \frac{x^3}{3} + c$, mentre il prodotto $\int x\,dx \cdot \int x\,dx$ darebbe $\frac{x^4}{4}$. Per i prodotti serve l’integrazione per parti.

La tabella degli integrali fondamentali

Ogni riga della tabella delle derivate, letta da destra a sinistra, dà un integrale. Ecco quelli da sapere a memoria. La terza colonna dice dove vale la formula: su ogni intervallo contenuto in quell’insieme. Nella riga di $a^x$ la base $a$ è positiva e diversa da 1.

$f(x)$	$\int f(x)\,dx$	Dove vale
$1$	${x + c}$	$\mathbb{R}$
${x^\alpha,\ \alpha \neq -1}$	${\frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + c}$	${x > 0}$
$\frac{1}{x}$	${\ln\lvert x \rvert + c}$	${x \neq 0}$
$e^x$	${e^x + c}$	$\mathbb{R}$
$a^x$	${\frac{a^x}{\ln a} + c}$	$\mathbb{R}$
$\sin x$	${-\cos x + c}$	$\mathbb{R}$
$\cos x$	${\sin x + c}$	$\mathbb{R}$
$\frac{1}{\cos^2 x}$	${\tan x + c}$	${x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi}$
$\frac{1}{\sin^2 x}$	${-\cot x + c}$	${x \neq k\pi}$
$\frac{1}{1 + x^2}$	${\arctan x + c}$	$\mathbb{R}$
$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	${\arcsin x + c}$	${-1 < x < 1}$
$\sinh x$	${\cosh x + c}$	$\mathbb{R}$
$\cosh x$	${\sinh x + c}$	$\mathbb{R}$

Le potenze. La seconda riga vale per $x > 0$ con qualunque $\alpha \neq -1$, e a volte su un insieme più grande: su tutto $\mathbb{R}$ se $\alpha$ è naturale, su $x < 0$ e su $x > 0$ separatamente se $\alpha$ è un intero negativo diverso da $-1$. Copre anche radici e reciproci, scritti come potenze con esponente frazionario o negativo: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ ha primitiva $\frac{2}{3}x^{3/2} + c$, e $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$ ha primitiva $-\frac{1}{x} + c$.

Ogni riga si controlla derivando la seconda colonna. Per esempio:

$$\begin{gathered} \left(\frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1}\right)' = \frac{(\alpha + 1)\,x^\alpha}{\alpha + 1} = x^\alpha \\ \left(\frac{a^x}{\ln a}\right)' = \frac{a^x\ln a}{\ln a} = a^x \end{gathered}$$

Così, se dimentichi una riga, la ricostruisci.

Perché ln|x| e non ln x. La funzione $\frac{1}{x}$ è definita anche per $x < 0$, dove $\ln x$ non esiste. Per $x < 0$ una primitiva è $\ln(-x)$: con la regola della catena, $\big(\ln(-x)\big)' = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x}$. Il valore assoluto mette insieme i due casi. Ed è proprio l’esponente $\alpha = -1$ escluso dalla riga delle potenze, dove la formula darebbe $\frac{x^0}{0}$, una divisione per zero.

Arcoseno o meno arcocoseno? Anche $-\arccos x$ ha derivata $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$. Nessuna contraddizione: $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$, quindi le due primitive differiscono per una costante, come deve essere.

Esistono sempre le primitive?

Ogni funzione continua ha una primitiva

Una primitiva si costruisce con l’area: fissato $a \in I$, la funzione integrale $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ ha derivata $f(x)$. È il teorema fondamentale del calcolo integrale, dove trovi la dimostrazione. La continuità è sufficiente, ma non necessaria: anche alcune funzioni discontinue hanno una primitiva, come la derivata di $x^2\sin\frac{1}{x}$ prolungata con il valore 0 nell’origine, ma negli esercizi sono rare.

Una funzione senza primitive: il segno

Un salto, invece, è fatale. La funzione segno vale $1$ per $x > 0$, $-1$ per $x < 0$ e $0$ in $x = 0$. Supponiamo che abbia una primitiva $F$ su tutto $\mathbb{R}$.

• Per $x > 0$ è $F' = 1$, quindi $F(x) = x + a$.
• Per $x < 0$ è $F' = -1$, quindi $F(x) = -x + b$.
• $F$ è derivabile in 0, quindi continua: i limiti da destra e da sinistra, $a$ e $b$, devono essere uguali a $F(0)$. Allora $a = b = F(0)$ e $F(x) = \lvert x \rvert + a$.

Ma $\lvert x \rvert$ non è derivabile in 0: contraddizione. La funzione segno non ha primitive su $\mathbb{R}$, mentre ne ha su ciascuna semiretta. Dietro c’è il teorema di Darboux (1875): una derivata, anche se non è continua, ha la proprietà dei valori intermedi, come le funzioni continue del teorema degli zeri. Quindi una funzione con un salto dentro un intervallo non è la derivata di nessuna funzione su quell’intervallo.

Primitive che esistono ma non si scrivono

La funzione $e^{-x^2}$ è continua su tutto $\mathbb{R}$, quindi ha una primitiva. Ma nessuna funzione elementare, cioè nessuna combinazione di potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni goniometriche e loro inverse ottenuta con somme, prodotti, quozienti e composizioni, ha come derivata $e^{-x^2}$. Lo stesso vale, per esempio, per

$$\frac{\sin x}{x}, \quad \frac{1}{\ln x}, \quad e^{x^2}, \quad \sin(x^2)$$

Non è una mancanza di fantasia: è un teorema. I primi risultati di questo tipo sono di Joseph Liouville, in una serie di lavori tra il 1833 e il 1841. Queste primitive sono così utili che hanno un nome: da $e^{-x^2}$ nasce la funzione degli errori, usata in probabilità e statistica; da $\frac{\sin x}{x}$ il seno integrale; da $\frac{1}{\ln x}$ il logaritmo integrale, che stima quanti numeri primi ci sono fino a un certo numero.

Esempi svolti: prima riscrivi, poi integra

Tabella e linearità bastano per molti integrali, se prima si riscrive la funzione come somma di termini della tabella. La scaletta:

1. Riscrivi: sviluppa prodotti e quadrati, spezza le frazioni con un solo termine al denominatore, scrivi radici e reciproci come potenze, usa le identità goniometriche.
2. Spezza con la linearità e porta fuori le costanti.
3. Integra con la tabella e aggiungi una sola $+\,c$.
4. Controlla derivando.

Esempio 1. Potenze e logaritmo. Scriviamo $\frac{2}{\sqrt{x}} = 2x^{-1/2}$ e usiamo la riga delle potenze:

$$\begin{gathered} \int \left(3x^2 - \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x}\right)dx \\ {} = x^3 - 2 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + \ln\lvert x \rvert + c \\ {} = x^3 - 4\sqrt{x} + \ln\lvert x \rvert + c \end{gathered}$$

La formula vale per $x > 0$, dove sono definiti tutti i termini (e dove $\ln\lvert x \rvert = \ln x$).

Esempio 2. Esponenziali e funzioni goniometriche. Ogni termine è nella tabella; il terzo è $a^x$ con $a = 3$:

$$\begin{gathered} \int \left(e^x + 2\cos x - 3^x\right)dx \\ {} = e^x + 2\sin x - \frac{3^x}{\ln 3} + c \end{gathered}$$

Esempio 3. Un quadrato diviso una radice. Il quadrato non si integra così com’è: si sviluppa e si divide ogni termine per $\sqrt{x} = x^{1/2}$, sottraendo gli esponenti:

$$\begin{gathered} \frac{(x + 1)^2}{\sqrt{x}} = \frac{x^2 + 2x + 1}{x^{1/2}} \\ {} = x^{3/2} + 2x^{1/2} + x^{-1/2} \end{gathered}$$

Ora ogni termine è una potenza:

$$\begin{gathered} \int \frac{(x + 1)^2}{\sqrt{x}}\,dx \\ {} = \frac{x^{5/2}}{5/2} + 2\,\frac{x^{3/2}}{3/2} + \frac{x^{1/2}}{1/2} + c \\ {} = \frac{2}{5}x^2\sqrt{x} + \frac{4}{3}x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + c \end{gathered}$$

per $x > 0$.

Esempio 4. Spezzare una frazione. Con un solo termine al denominatore, la frazione si spezza in due:

$$\begin{gathered} \int \frac{1 + x}{x^2}\,dx = \int \left(x^{-2} + \frac{1}{x}\right)dx \\ {} = -\frac{1}{x} + \ln\lvert x \rvert + c \end{gathered}$$

Il dominio è $x \neq 0$: la formula vale su $(-\infty, 0)$ e su $(0, +\infty)$, con costanti che possono essere diverse.

Esempio 5. Due funzioni quasi uguali. $\int \frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \arctan x + c$ è nella tabella. E $\frac{x^2}{x^2 + 1}$? Il trucco è aggiungere e togliere 1 al numeratore:

$$\frac{x^2}{x^2 + 1} = \frac{x^2 + 1 - 1}{x^2 + 1} = 1 - \frac{1}{x^2 + 1}$$

quindi

$$\int \frac{x^2}{x^2 + 1}\,dx = x - \arctan x + c$$

Con numeratori più complicati serve la divisione tra polinomi, che vedrai nelle funzioni razionali fratte.

Esempio 6. La cotangente al quadrato. $\cot^2 x$ non è nella tabella, ma lo è $\frac{1}{\sin^2 x} = 1 + \cot^2 x$ (basta dividere $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ per $\sin^2 x$). Quindi $\cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x} - 1$ e

$$\int \cot^2 x\,dx = -\cot x - x + c$$

su ogni intervallo in cui $\sin x \neq 0$. Non è $\frac{\cot^3 x}{3}$: la regola delle potenze vale per le potenze di $x$.

Esempio 7. Una formula di duplicazione. Anche $\frac{\cos 2x}{\cos x + \sin x}$ non è nella tabella. Con la formula di duplicazione $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ il numeratore diventa una differenza di quadrati, e la frazione si semplifica:

$$\begin{gathered} \frac{\cos 2x}{\cos x + \sin x} \\ {} = \frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{\cos x + \sin x} \\ {} = \cos x - \sin x \end{gathered}$$

dove $\cos x + \sin x \neq 0$, cioè per $x \neq -\frac{\pi}{4} + k\pi$. Allora

$$\int \frac{\cos 2x}{\cos x + \sin x}\,dx = \sin x + \cos x + c$$

su ogni intervallo che non contiene questi punti. Le formule goniometriche servono spesso così, a riscrivere la funzione prima di integrarla: con $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ sono il punto di partenza degli integrali goniometrici.

Il controllo: derivare il risultato

Integrare è più difficile che derivare, ma ha un vantaggio: il risultato si può sempre controllare, derivandolo. Nell’esempio 3:

$$\begin{gathered} \left(\frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{4}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2}\right)' \\ {} = x^{3/2} + 2x^{1/2} + x^{-1/2} \end{gathered}$$

che è proprio la funzione di partenza, dopo la riscrittura. All’esame costa trenta secondi: fallo sempre.

Due risultati diversi, entrambi giusti

Anna e Marco calcolano $\int \sin x\cos x\,dx$. Anna nota che $(\sin^2 x)' = 2\sin x\cos x$ e scrive $\frac{\sin^2 x}{2} + c$. Marco nota che $(\cos^2 x)' = -2\sin x\cos x$ e scrive $-\frac{\cos^2 x}{2} + c$. Chi ha ragione? Derivando, entrambi ritrovano $\sin x\cos x$: hanno ragione tutti e due. Le loro primitive differiscono per una costante,

$$\begin{gathered} \frac{\sin^2 x}{2} - \left(-\frac{\cos^2 x}{2}\right) \\ {} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{2} = \frac{1}{2} \end{gathered}$$

e la $c$ la assorbe. Morale: se il tuo risultato non coincide con quello del libro, derivalo, oppure verifica che la differenza sia costante.

Le tecniche di integrazione: una mappa

Tabella e linearità sono il punto di partenza. Quando non bastano, ogni forma ha la sua tecnica, con un articolo dedicato:

Se vedi	Esempio	Tecnica
$f(g(x))\,g'(x)$	$2x\cos(x^2)$	immediati
una funzione interna scomoda	$\frac{1}{1 + \sqrt{x}}$	sostituzione
un prodotto	$x\,e^x$	per parti
polinomio su polinomio	$\frac{1}{x^2 - 1}$	fratte
potenze di seno e coseno	$\sin^3 x$	goniometriche

Gli errori più comuni

• Dimenticare la $+\,c$. Senza costante si dà una sola primitiva invece di tutte.
• Dimenticare il valore assoluto in $\ln\lvert x \rvert$. $\ln x$ è una primitiva di $\frac{1}{x}$ solo per $x > 0$.
• Usare la regola delle potenze con $\alpha = -1$. $\int x^{-1}\,dx$ darebbe $\frac{x^0}{0}$: la primitiva di $\frac{1}{x}$ è il logaritmo.
• Integrare un prodotto come prodotto degli integrali. $\int x\cos x\,dx$ non è $\frac{x^2}{2}\sin x$, che ha derivata $x\sin x + \frac{x^2}{2}\cos x$. Lo stesso vale per i quozienti.
• Pensare che l’integrale di 1/f sia sempre ln f. $\int \frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \arctan x + c$, non $\ln(x^2 + 1)$. Il logaritmo del denominatore compare solo se al numeratore c’è la sua derivata.
• Applicare la regola delle potenze a una funzione. $\int (x^2 + 1)^2\,dx$ non è $\frac{(x^2 + 1)^3}{3}$: prima si sviluppa il quadrato.
• Sbagliare i segni di seno e coseno. $\int \sin x\,dx = -\cos x + c$. Nel dubbio, deriva.
• Ignorare il dominio. $-\frac{1}{x}$ è una primitiva di $\frac{1}{x^2}$ su ciascuna semiretta, non su un intervallo che contiene 0: usarla tra $-1$ e $1$ porta a risultati assurdi, come vedrai negli integrali impropri.

Esercizi svolti

1. Riconoscere le primitive

Testo. Quali di queste funzioni sono primitive di $\frac{1}{x}$ sull’intervallo $(0, +\infty)$? (a) $\ln(3x)$; (b) $\frac{1}{2}\ln(x^2)$; (c) $\ln(x + 3)$; (d) $-\ln\frac{1}{x}$. Quale lo è anche su $(-\infty, 0)$?

Basta derivare ciascuna funzione.

(a) Con la regola della catena, $\big(\ln(3x)\big)' = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{1}{x}$: sì. Infatti $\ln(3x) = \ln 3 + \ln x$ differisce da $\ln x$ per la costante $\ln 3$.

(b) $\left(\frac{1}{2}\ln(x^2)\right)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{x^2} = \frac{1}{x}$: sì.

(c) $\big(\ln(x + 3)\big)' = \frac{1}{x + 3} \neq \frac{1}{x}$: no. Il suo grafico è quello di $\ln x$ spostato in orizzontale, mentre due primitive differiscono per uno spostamento verticale.

(d) Per le proprietà dei logaritmi, $-\ln\frac{1}{x} = -(\ln 1 - \ln x) = \ln x$: sì.

Su $(-\infty, 0)$ la (a) e la (d) non sono definite, perché $3x$ e $\frac{1}{x}$ sono negativi. La (b) invece sì, perché $x^2 > 0$, e il calcolo della derivata vale anche per $x < 0$: infatti $\frac{1}{2}\ln(x^2) = \ln\lvert x \rvert$. Risposta: (a), (b) e (d) su $(0, +\infty)$; solo la (b) anche su $(-\infty, 0)$.

2. Riscrivere prima di integrare

Testo. Calcola (a) $\displaystyle\int \frac{(x^2 - 1)^2}{x^2}\,dx$ e (b) $\displaystyle\int \frac{x^3 - 8}{x - 2}\,dx$.

(a) Sviluppiamo il quadrato, $(x^2 - 1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1$, e dividiamo ogni termine per $x^2$:

$$\frac{x^4 - 2x^2 + 1}{x^2} = x^2 - 2 + x^{-2}$$

Ora ogni termine è nella tabella:

$$\begin{gathered} \int \frac{(x^2 - 1)^2}{x^2}\,dx \\ {} = \frac{x^3}{3} - 2x - \frac{1}{x} + c \end{gathered}$$

su $(-\infty, 0)$ e su $(0, +\infty)$. Controllo: $\left(\frac{x^3}{3} - 2x - x^{-1}\right)' = x^2 - 2 + x^{-2}$.

(b) Il numeratore è una differenza di cubi: $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$. Per $x \neq 2$ la frazione si semplifica:

$$\begin{gathered} \int \frac{x^3 - 8}{x - 2}\,dx = \int \left(x^2 + 2x + 4\right)dx \\ {} = \frac{x^3}{3} + x^2 + 4x + c \end{gathered}$$

su ciascuno dei due intervalli $x < 2$ e $x > 2$. Controllo: la derivata è $x^2 + 2x + 4$, che moltiplicata per $x - 2$ ridà $x^3 - 8$.

3. Esponenziali con basi diverse

Testo. Calcola (a) $\displaystyle\int \frac{(2^x + 3^x)^2}{6^x}\,dx$ e (b) $\displaystyle\int \frac{e^{2x} - 1}{e^x - 1}\,dx$.

(a) Sviluppiamo il quadrato con le proprietà delle potenze: $(2^x)^2 = 4^x$, $2^x \cdot 3^x = 6^x$, $(3^x)^2 = 9^x$. Dividendo per $6^x$, e siccome $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ e $\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$:

$$\begin{gathered} \frac{4^x + 2 \cdot 6^x + 9^x}{6^x} \\ {} = \left(\frac{2}{3}\right)^x + 2 + \left(\frac{3}{2}\right)^x \end{gathered}$$

Il primo e l’ultimo termine sono del tipo $a^x$:

$$\begin{gathered} \int \frac{(2^x + 3^x)^2}{6^x}\,dx \\ {} = \frac{(2/3)^x}{\ln(2/3)} + 2x + \frac{(3/2)^x}{\ln(3/2)} + c \\ {} = \frac{(3/2)^x - (2/3)^x}{\ln(3/2)} + 2x + c \end{gathered}$$

Nell’ultimo passaggio abbiamo usato $\ln\frac{2}{3} = -\ln\frac{3}{2}$. Il risultato vale su tutto $\mathbb{R}$. Controllo: derivando la seconda riga, ogni termine $\frac{a^x}{\ln a}$ torna $a^x$.

(b) Siccome $e^{2x} = (e^x)^2$, il numeratore è una differenza di quadrati: $e^{2x} - 1 = (e^x - 1)(e^x + 1)$. Per $x \neq 0$, dove il denominatore non si annulla:

$$\begin{gathered} \int \frac{e^{2x} - 1}{e^x - 1}\,dx = \int \left(e^x + 1\right)dx \\ {} = e^x + x + c \end{gathered}$$

su $(-\infty, 0)$ e su $(0, +\infty)$.

4. Un integrale goniometrico da esame

Testo. Calcola $\displaystyle\int \frac{1}{\sin^2 x\cos^2 x}\,dx$.

Nessuna riga della tabella ha questa forma. Il trucco è scrivere al numeratore $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ e spezzare la frazione:

$$\begin{gathered} \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x\cos^2 x} \\ {} = \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x\cos^2 x} \\ {} = \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x} \end{gathered}$$

Entrambi i termini sono nella tabella:

$$\begin{gathered} \int \frac{1}{\sin^2 x\cos^2 x}\,dx \\ {} = \tan x - \cot x + c \end{gathered}$$

La formula vale dove $\sin x \neq 0$ e $\cos x \neq 0$, cioè su ogni intervallo tra due multipli consecutivi di $\frac{\pi}{2}$. Controllo: $(\tan x - \cot x)' = \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x}$, che a denominatore comune è proprio $\frac{1}{\sin^2 x\cos^2 x}$.

5. Una primitiva per un punto, su una semiretta

Testo. Trova la primitiva $F$ di $f(x) = \frac{1}{x} + 2x$ sull’intervallo $(-\infty, 0)$ tale che $F(-1) = 3$. Quanto vale $F(-e)$?

Seguiamo la scaletta. Le primitive sono $\ln\lvert x \rvert + x^2 + c$, e per $x < 0$ vale $\lvert x \rvert = -x$:

$$F(x) = \ln(-x) + x^2 + c$$

Imponiamo la condizione, ricordando che $\ln 1 = 0$:

$$\begin{gathered} F(-1) = \ln 1 + (-1)^2 + c = 1 + c = 3 \\ c = 2 \end{gathered}$$

Quindi $F(x) = \ln(-x) + x^2 + 2$ e

$$F(-e) = \ln e + e^2 + 2 = 3 + e^2 \approx 10{,}39$$

Controllo: $F'(x) = \frac{1}{-x} \cdot (-1) + 2x = \frac{1}{x} + 2x$ e $F(-1) = 0 + 1 + 2 = 3$. Su tutto $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, invece, la condizione $F(-1) = 3$ fisserebbe la costante solo a sinistra di 0: per $x > 0$ andrebbe bene $\ln x + x^2 + c_2$ con qualunque $c_2$. La soluzione non sarebbe unica, perché il dominio non è un intervallo.

6. La primitiva di una funzione definita a tratti

Testo. Sia

$$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{se } x \leq 1 \\ \dfrac{1}{x} & \text{se } x > 1 \end{cases}$$

Trova la primitiva $F$ di $f$ su tutto $\mathbb{R}$ con $F(0) = 0$, e calcola $F(e)$ e $F(-3)$.

Prima di tutto, una primitiva esiste: $f$ è continua, perché in $x = 1$ i due pezzi valgono entrambi 1. Integriamo ogni pezzo con la tabella, ognuno con la sua costante (per $x > 1$ è $\lvert x \rvert = x$):

$$F(x) = \begin{cases} \dfrac{x^3}{3} + a & \text{se } x \leq 1 \\ \ln x + b & \text{se } x > 1 \end{cases}$$

Le due costanti non sono indipendenti: $F$ deve essere derivabile, quindi continua, in $x = 1$. Da sinistra $F(1) = \frac{1}{3} + a$; da destra il limite è $\ln 1 + b = b$. Quindi

$$b = a + \frac{1}{3}$$

La condizione $F(0) = 0$ riguarda il primo pezzo: $0 + a = 0$, cioè $a = 0$ e $b = \frac{1}{3}$.

$$F(x) = \begin{cases} \dfrac{x^3}{3} & \text{se } x \leq 1 \\ \ln x + \dfrac{1}{3} & \text{se } x > 1 \end{cases}$$

Controllo della derivabilità in 1: la derivata da sinistra è $1^2 = 1$; da destra, visto che anche $\ln 1 + \frac{1}{3}$ vale $\frac{1}{3} = F(1)$, è $\frac{1}{1} = 1$. Coincidono e valgono $f(1)$: $F$ è davvero una primitiva su tutto $\mathbb{R}$. I valori richiesti:

$$\begin{gathered} F(e) = \ln e + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \\ F(-3) = \frac{(-3)^3}{3} = -9 \end{gathered}$$

Per il teorema fondamentale, $F(e) - F(0) = \frac{4}{3}$ è anche l’area sotto il grafico di $f$ tra 0 ed $e$. L’errore tipico è prendere $a = b = 0$: la funzione salterebbe da $\frac{1}{3}$ a 0 in $x = 1$, e con un salto non è derivabile.

Altri esercizi, su tutte le tecniche, li trovi negli esercizi svolti sugli integrali.

In sintesi

• $F$ è una primitiva di $f$ su un intervallo $I$ se $F'(x) = f(x)$ per ogni $x \in I$.
• Su un intervallo due primitive differiscono per una costante (Lagrange); su più intervalli separati la costante può cambiare, come per $\ln\lvert x \rvert$.
• $\int f(x)\,dx = F(x) + c$ è l’insieme di tutte le primitive; $dx$ indica la variabile di integrazione.
• La primitiva con $F(x_0) = y_0$ si trova imponendo la condizione a $G + c$: su un intervallo è unica.
• Linearità: si integra termine per termine e le costanti escono; prodotti e quozienti non si spezzano.
• La tabella degli integrali è quella delle derivate letta al contrario, con $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x \rvert + c$ per il caso $\alpha = -1$.
• Ogni funzione continua su un intervallo ha una primitiva, non sempre elementare, come per $e^{-x^2}$; una funzione con un salto non ne ha.
• Il risultato si controlla sempre derivando.

La tabella funziona per le funzioni elementari. Per le funzioni composte serve un passo in più: gli integrali immediati.