Regole di derivazione: prodotto, quoziente, funzione composta ed esercizi svolti

Con la tabella delle derivate delle funzioni elementari sai derivare $x^3$, $e^x$ e $\sin x$. Ma le funzioni degli esercizi sono costruite combinando queste con somme, prodotti, quozienti e composizioni: $x^3 e^x$, $\frac{\sin x}{x}$, $e^{\sin x}$. Le regole di derivazione dicono come si comporta la derivata con ciascuna operazione, e con loro si deriva qualsiasi funzione di Analisi 1. Ti servono ovunque: nelle rette tangenti, nella ricerca di massimi e minimi, nello studio di funzione e, lette al contrario, negli integrali. In questa pagina vediamo la linearità, la regola del prodotto con il suo significato geometrico, il reciproco e il quoziente, la regola della catena con la sua dimostrazione, le funzioni come $x^x$, la derivata logaritmica, la derivazione implicita, molti esempi passo passo, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

La linearità: somme e costanti

Ricorda che $f$ è derivabile in $x$ se esiste finito il limite del rapporto incrementale, e quel limite è la derivata:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

Ogni regola di questa pagina è un teorema dello stesso tipo: se le funzioni di partenza sono derivabili in $x$, anche la loro combinazione lo è, e la sua derivata si calcola così.

Perché è vero. Il rapporto incrementale della somma si spezza in due:

$$\begin{gathered} \frac{(f + g)(x + h) - (f + g)(x)}{h} \\ {} = \frac{f(x + h) - f(x)}{h} + \frac{g(x + h) - g(x)}{h} \end{gathered}$$

Per $h \to 0$ i due addendi tendono a $f'(x)$ e $g'(x)$, e il limite di una somma è la somma dei limiti, come hai visto nelle operazioni con i limiti. Per $c\,f$ la costante si raccoglie ed esce dal limite allo stesso modo.

Unendo le due regole si ottiene $(a f + b g)' = a f' + b g'$: si deriva termine per termine, e le differenze funzionano come le somme. Così si deriva qualsiasi polinomio:

$$(3x^4 - 2x + 5)' = 12x^3 - 2$$

Attento alle costanti travestite: $\pi^2$, $e^3$, $\ln 5$ sono numeri, e la loro derivata è zero. Per esempio $(2\sin x - 3e^x + \pi^2)' = 2\cos x - 3e^x$.

La regola del prodotto

Viene spontaneo pensare che la derivata di un prodotto sia il prodotto delle derivate. È falso, e basta un esempio: $x \cdot x = x^2$ ha derivata $2x$, mentre il prodotto delle derivate di $x$ e di $x$ vale $1 \cdot 1 = 1$.

In parole: derivata del primo per il secondo non derivato, più il primo non derivato per la derivata del secondo. Si chiama anche regola di Leibniz.

L’idea: l’area di un rettangolo

Immagina un rettangolo con i lati lunghi $f(x)$ e $g(x)$, due numeri positivi: la sua area è il prodotto $f\,g$. Se $x$ aumenta di $h$, i lati crescono di $\Delta f$ e $\Delta g$, e l’area guadagna tre pezzi: una striscia $g\,\Delta f$, una striscia $f\,\Delta g$ e un angolino $\Delta f\,\Delta g$.

$$\Delta(f\,g) = g\,\Delta f + f\,\Delta g + \Delta f\,\Delta g$$

Dividendo per $h$, le due strisce danno $g\,\frac{\Delta f}{h} + f\,\frac{\Delta g}{h}$, che tende a $g\,f' + f\,g'$. L’angolino diventa $\frac{\Delta f}{h} \cdot \Delta g$: un rapporto che tende a $f'$, moltiplicato per $\Delta g$ che tende a zero. Quindi sparisce. Due variazioni piccole moltiplicate tra loro sono piccole «al quadrato»: per questo nella regola restano solo le due strisce.

Leibniz pubblicò questa regola, insieme a quella del quoziente, nel 1684, nell’articolo Nova methodus pro maximis et minimis uscito sulla rivista Acta Eruditorum, senza dimostrazioni. Il suo ragionamento, spiegato in scritti successivi, era in sostanza quello del rettangolo, con l’angolino scartato perché «trascurabile». Il limite rende rigoroso quello scarto.

Dimostrazione

Al numeratore del rapporto incrementale aggiungiamo e togliamo $f(x + h)\,g(x)$, così compaiono i rapporti incrementali di $f$ e di $g$:

$$\begin{gathered} \frac{f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x)}{h} \\ {} = f(x + h)\,\frac{g(x + h) - g(x)}{h} \\ {} + g(x)\,\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \end{gathered}$$

Per $h \to 0$ il secondo addendo tende a $g(x)\,f'(x)$. Nel primo il rapporto tende a $g'(x)$ e $f(x + h)$ tende a $f(x)$. Qui serve che $f$ sia continua in $x$, e lo è, perché ogni funzione derivabile è continua: lo vedi in derivabilità e continuità. Il limite vale quindi $f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x)$. Aggiungendo e togliendo invece $f(x)\,g(x + h)$ si arriva allo stesso risultato, usando la continuità di $g$.

Esempi e prodotti di tre fattori

$$\begin{gathered} (x^2\sin x)' = 2x\sin x + x^2\cos x \\ (x\,e^x)' = e^x + x\,e^x = (1 + x)\,e^x \\ (\sin x\cos x)' = \cos^2 x - \sin^2 x \\ {} = \cos 2x \end{gathered}$$

Con tre fattori si applica la regola due volte, vedendo $u\,v\,w$ come $(u\,v) \cdot w$:

$$(u\,v\,w)' = u'\,v\,w + u\,v'\,w + u\,v\,w'$$

Ogni termine deriva un solo fattore e lascia fermi gli altri; con più fattori funziona allo stesso modo. Per esempio:

$$\begin{gathered} (x\,e^x\sin x)' \\ {} = e^x\sin x + x\,e^x\sin x + x\,e^x\cos x \\ {} = e^x\big[(1 + x)\sin x + x\cos x\big] \end{gathered}$$

Letta al contrario, la regola del prodotto dà la formula di integrazione per parti.

Il reciproco e il quoziente

Perché è vero. Facendo il denominatore comune:

$$\begin{gathered} \frac{1}{h}\left(\frac{1}{g(x + h)} - \frac{1}{g(x)}\right) \\ {} = -\frac{g(x + h) - g(x)}{h} \cdot \frac{1}{g(x + h)\,g(x)} \end{gathered}$$

Per $h \to 0$ il primo fattore tende a $g'(x)$ e, siccome $g$ è continua, il secondo tende a $\frac{1}{g(x)^2}$. Un dettaglio: per scrivere $\frac{1}{g(x + h)}$ serve $g(x + h) \neq 0$. È vero per $h$ abbastanza piccolo, perché $g$ è continua e $g(x) \neq 0$: è la permanenza del segno.

Per esempio:

$$\left(\frac{1}{x^2 + 1}\right)' = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$$

Perché è vero. Si scrive $\frac{f}{g} = f \cdot \frac{1}{g}$ e si usano la regola del prodotto e quella del reciproco:

$$\begin{gathered} \left(\frac{f}{g}\right)' = f' \cdot \frac{1}{g} + f \cdot \left(-\frac{g'}{g^2}\right) \\ {} = \frac{f'\,g - f\,g'}{g^2} \end{gathered}$$

In parole: derivata del numeratore per il denominatore, meno il numeratore per la derivata del denominatore, tutto diviso il quadrato del denominatore. A differenza del prodotto, qui l’ordine conta: scambiando i due termini il risultato cambia segno. Per ricordarlo: il meno sta sempre davanti alla derivata del denominatore, come nella regola del reciproco.

$$\begin{gathered} \left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)' = \frac{(x - 1) - (x + 1)}{(x - 1)^2} \\ {} = -\frac{2}{(x - 1)^2} \end{gathered}$$

La tangente. Per $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, scrivendo $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$$\begin{gathered} (\tan x)' \\ {} = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} \\ {} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} \end{gathered}$$

Dividendo invece i due termini del numeratore per $\cos^2 x$ si ottiene l’altra forma, $1 + \tan^2 x$.

Prima del quoziente, semplifica

La regola del quoziente è la più lunga e quella in cui si sbaglia di più. Spesso si può evitare.

Numeratore costante. Basta la regola del reciproco, con la costante che esce:

$$\left(\frac{5}{x^2 + 1}\right)' = -\frac{10x}{(x^2 + 1)^2}$$

Denominatore monomio. Dividi termine per termine e deriva le potenze:

$$\begin{gathered} \frac{x^3 - 2x + 1}{x^2} = x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} \\ \text{derivata: } 1 + \frac{2}{x^2} - \frac{2}{x^3} \\ {} = \frac{x^3 + 2x - 2}{x^3} \end{gathered}$$

La regola del quoziente porta allo stesso risultato, ma con molti più conti.

Radici e potenze al denominatore. Riscrivile con esponente negativo: per esempio $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$, che ha derivata $-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$.

La regola della catena

Una funzione composta è una funzione dentro un’altra. In $\sin(3x^2)$ si calcola prima $g(x) = 3x^2$, la funzione interna, poi si applica $f(u) = \sin u$, la funzione esterna: in tutto, $(f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big)$.

L’idea: le velocità si moltiplicano

Se $u$ cambia 3 volte più in fretta di $x$, e $y$ cambia 2 volte più in fretta di $u$, allora $y$ cambia $2 \cdot 3 = 6$ volte più in fretta di $x$. È come una catena di ingranaggi: ogni coppia di ruote moltiplica i giri per il suo rapporto, e i rapporti si moltiplicano. Le derivate sono proprio questi fattori di velocità, punto per punto.

In parole: si deriva la funzione esterna lasciando invariato il suo argomento, poi si moltiplica per la derivata della funzione interna. Attento: $f'$ si calcola in $g(x)$, non in $x$. Per esempio $\big(\sin(3x^2)\big)' = \cos(3x^2) \cdot 6x$.

Con la notazione di Leibniz, se $y = f(u)$ e $u = g(x)$:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

Sembra una semplificazione tra frazioni. Non lo è davvero, perché $\frac{dy}{du}$ è un unico simbolo e non una divisione (il significato preciso lo trovi in retta tangente e differenziale), ma è un ottimo modo per ricordare la regola.

Dimostrazione

La strada più naturale è moltiplicare e dividere per $g(x + h) - g(x)$:

$$\begin{gathered} \frac{f(g(x + h)) - f(g(x))}{h} \\ {} = \frac{f(g(x + h)) - f(g(x))}{g(x + h) - g(x)} \\ {} \cdot \frac{g(x + h) - g(x)}{h} \end{gathered}$$

Il secondo fattore tende a $g'(x)$ e il primo, siccome $g(x + h) \to g(x)$, sembra tendere a $f'(g(x))$. Ma c’è un buco: $g(x + h) - g(x)$ può valere zero per valori di $h$ vicinissimi a 0, e allora stiamo dividendo per zero. Succede se $g$ è costante vicino a $x$, oppure con una funzione che oscilla, come quella che vale $x^2\sin\frac{1}{x}$ per $x \neq 0$ e $0$ in $0$: vicino a 0 si annulla infinite volte.

Il buco si chiude con una funzione ausiliaria. Chiamiamo $u_0 = g(x)$ e definiamo

$$\varphi(u) = \begin{cases} \dfrac{f(u) - f(u_0)}{u - u_0} & u \neq u_0 \\ f'(u_0) & u = u_0 \end{cases}$$

Per definizione di derivata $\varphi(u) \to f'(u_0) = \varphi(u_0)$ quando $u \to u_0$, cioè $\varphi$ è continua in $u_0$. Inoltre, per ogni $u$, anche per $u = u_0$:

$$f(u) - f(u_0) = \varphi(u)\,(u - u_0)$$

Ponendo $u = g(x + h)$ non si divide più per niente:

$$\begin{gathered} \frac{f(g(x + h)) - f(g(x))}{h} \\ {} = \varphi\big(g(x + h)\big) \cdot \frac{g(x + h) - g(x)}{h} \end{gathered}$$

Per $h \to 0$, $g(x + h) \to u_0$ perché $g$ è continua, quindi $\varphi(g(x + h)) \to \varphi(u_0) = f'(u_0)$ per il teorema sul limite della funzione composta. Il secondo fattore tende a $g'(x)$, e il prodotto tende a $f'(g(x))\,g'(x)$.

Il metodo: dall’esterno verso l’interno

Con più funzioni una dentro l’altra si applica la regola più volte, e le derivate si moltiplicano a catena: da qui il nome. La scaletta:

1. Trova l’ultima operazione che faresti calcolando la funzione con la calcolatrice: è la funzione più esterna.
2. Derivala come se il suo argomento fosse una semplice $x$, lasciando l’argomento com’è.
3. Moltiplica per la derivata dell’argomento.
4. Se l’argomento è a sua volta composto, ripeti dal punto 1 su di lui, finché arrivi a $x$.

Prendiamo $y = \sin^2(3x)$, cioè $\big(\sin(3x)\big)^2$. Costruita un passo alla volta, è una catena di tre anelli: ognuno porta la sua derivata, e la derivata finale è il prodotto di tutte.

Dall’esterno: prima il quadrato, poi il seno, poi $3x$.

$$\begin{gathered} \big(\sin^2(3x)\big)' = 2\sin(3x) \cdot \cos(3x) \cdot 3 \\ {} = 6\sin(3x)\cos(3x) = 3\sin(6x) \end{gathered}$$

L’ultimo passaggio usa la formula di duplicazione $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$. Altri tre esempi con lo stesso schema. In $e^{\sqrt{x^2 + 1}}$ si incontrano l’esponenziale, la radice e $x^2 + 1$:

$$\begin{gathered} \left(e^{\sqrt{x^2 + 1}}\right)' \\ {} = e^{\sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x \\ {} = \frac{x\,e^{\sqrt{x^2 + 1}}}{\sqrt{x^2 + 1}} \end{gathered}$$

In $\ln(\cos 2x)$ ci sono il logaritmo, il coseno e $2x$:

$$\begin{gathered} \big(\ln(\cos 2x)\big)' = \frac{1}{\cos 2x} \cdot (-\sin 2x) \cdot 2 \\ {} = -2\tan 2x \end{gathered}$$

Questa uguaglianza vale solo dove $\cos 2x > 0$, cioè nel dominio della funzione: la tangente esiste anche dove $\cos 2x < 0$, ma lì la funzione di partenza non c’è.

In $\sqrt{1 + \tan x}$ ci sono la radice e $1 + \tan x$:

$$\begin{gathered} \left(\sqrt{1 + \tan x}\right)' \\ {} = \frac{1}{2\sqrt{1 + \tan x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} \\ {} = \frac{1}{2\cos^2 x\,\sqrt{1 + \tan x}} \end{gathered}$$

Qui serve $1 + \tan x > 0$: dove il radicando si annulla la regola non si applica, perché $\sqrt{u}$ non è derivabile in $u = 0$. In quei punti, infatti, il grafico di questa funzione ha tangente verticale.

Alcune composte compaiono così spesso che conviene ricordarle direttamente:

Funzione	Derivata
$f(x)^\alpha$	${\alpha\,f(x)^{\alpha - 1}\,f'(x)}$
$e^{f(x)}$	$e^{f(x)}\,f'(x)$
$\ln f(x)$	$\dfrac{f'(x)}{f(x)}$
$\sin f(x)$	${\cos f(x) \cdot f'(x)}$
$\cos f(x)$	${-\sin f(x) \cdot f'(x)}$
$\sqrt{f(x)}$	$\dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$

Le potenze con esponente reale

Per $x > 0$ e $\alpha$ reale si può scrivere $x^\alpha = e^{\alpha\ln x}$. La regola della catena dà allora una nuova dimostrazione della regola delle potenze:

$$\begin{gathered} (x^\alpha)' = e^{\alpha\ln x} \cdot \frac{\alpha}{x} \\ {} = x^\alpha \cdot \frac{\alpha}{x} = \alpha\,x^{\alpha - 1} \end{gathered}$$

Unita alla catena, è la prima riga della tabella. Spesso è più veloce del quoziente:

$$\begin{gathered} \left(\frac{1}{(x^2 + 1)^3}\right)' = \big((x^2 + 1)^{-3}\big)' \\ {} = -3\,(x^2 + 1)^{-4} \cdot 2x \\ {} = -\frac{6x}{(x^2 + 1)^4} \end{gathered}$$

Base ed esponente variabili

Per $x^x$ nessuna regola si applica direttamente: non è una potenza, perché l’esponente varia, e non è un esponenziale, perché varia la base. Il trucco è quello delle potenze con base ed esponente variabili: dove $f(x) > 0$,

$$f(x)^{g(x)} = e^{g(x)\ln f(x)}$$

e a destra c’è una composta che sappiamo derivare. Se $f$ e $g$ sono derivabili e $f > 0$:

$$\begin{gathered} \left(f^g\right)' = e^{g\ln f}\left(g'\ln f + g\,\frac{f'}{f}\right) \\ {} = f^g\left(g'\ln f + \frac{g\,f'}{f}\right) \end{gathered}$$

Non serve impararla a memoria: si riscrive in base $e$ e si deriva ogni volta.

La derivata di $x^x$. Per $x > 0$ si scrive $x^x$ in base $e$, e l’esponente si deriva con la regola del prodotto:

$$\begin{gathered} x^x = e^{x\ln x} \\ (x\ln x)' = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1 \\ (x^x)' = x^x\,(\ln x + 1) \end{gathered}$$

Siccome $x^x > 0$, il segno della derivata è quello di $\ln x + 1$: negativo per $x < \frac{1}{e}$, positivo dopo. La funzione prima scende e poi sale, e ha un minimo in $x = \frac{1}{e} \approx 0{,}37$, dove vale $e^{-\frac{1}{e}} \approx 0{,}69$: è il minimo che si vede nel grafico di $x^x$ nella pagina sulle potenze.

Altri due esempi. Per $x > 0$:

$$\left(x^{\sin x}\right)' = x^{\sin x}\left(\cos x\ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$$

Per $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$, definita per $x < -1$ e per $x > 0$, l’esponente è $x\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)$, e la sua derivata è

$$\begin{gathered} \ln\left(1 + \tfrac{1}{x}\right) + x \cdot \frac{-\frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x}} \\ {} = \ln\left(1 + \tfrac{1}{x}\right) - \frac{1}{x + 1} \end{gathered}$$

La derivata della funzione è $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ moltiplicato per questa quantità. Per $x > 0$ la quantità è positiva (si dimostra con il teorema di Lagrange), quindi la funzione cresce: è il motivo per cui sale verso il numero $e$.

Un’osservazione curiosa. Ci sono due modi sbagliati di derivare $x^x$: come una potenza, $x \cdot x^{x - 1} = x^x$, oppure come un esponenziale, $x^x\ln x$. La derivata giusta, $x^x\ln x + x^x$, è esattamente la loro somma. Vale in generale:

$$\left(f^g\right)' = g\,f^{g - 1}f' + f^g\ln f \cdot g'$$

Come nella regola del prodotto, ogni funzione variabile porta il suo termine, derivato come se l’altra fosse costante.

La derivata logaritmica

Per la regola della catena, dove $f(x) \neq 0$ vale $(\ln|f|)' = \frac{f'}{f}$: infatti $(\ln|u|)' = \frac{1}{u}$ per ogni $u \neq 0$, anche negativo. Ricavando $f'$:

$$f' = f \cdot (\ln|f|)'$$

Perché è utile? Il logaritmo trasforma i prodotti in somme, i quozienti in differenze e le potenze in prodotti, grazie alle proprietà dei logaritmi, e le somme si derivano senza fatica. La scaletta:

1. Scrivi $\ln|y|$ e sviluppalo con le proprietà dei logaritmi.
2. Deriva: a sinistra ottieni $\frac{y'}{y}$.
3. Moltiplica per $y$.

Prendiamo $y = \frac{x^2 e^x}{(x + 1)^3}$, con $x \neq 0$ e $x \neq -1$:

$$\begin{gathered} \ln|y| = 2\ln|x| + x - 3\ln|x + 1| \\ \frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + 1 - \frac{3}{x + 1} \\ \frac{y'}{y} = \frac{x^2 + 2}{x(x + 1)} \end{gathered}$$

Moltiplicando per $y$:

$$\begin{gathered} y' = \frac{x^2 e^x}{(x + 1)^3} \cdot \frac{x^2 + 2}{x(x + 1)} \\ {} = \frac{x\,(x^2 + 2)\,e^x}{(x + 1)^4} \end{gathered}$$

Il metodo esclude $x = 0$, dove $y = 0$ e il logaritmo non esiste; la formula finale però vale anche lì, come si verifica con la regola del prodotto: $y'(0) = 0$. Con le funzioni $f^g$ la derivata logaritmica è lo stesso conto di prima: per $y = x^x$, $\ln y = x\ln x$, e derivando $\frac{y'}{y} = \ln x + 1$.

La derivazione implicita

A volte $y$ non è data esplicitamente. La circonferenza $x^2 + y^2 = 1$, vicino a un suo punto con $y \neq 0$, è il grafico di una funzione derivabile $y(x)$: lo garantisce il teorema del Dini, che di solito si studia in Analisi 2. Derivando entrambi i membri rispetto a $x$, e ricordando che $(y^2)' = 2y\,y'$ per la regola della catena:

$$\begin{gathered} 2x + 2y\,y' = 0 \\ y' = -\frac{x}{y} \end{gathered}$$

Verifichiamo sulla semicirconferenza superiore $y = \sqrt{1 - x^2}$: la catena dà $y' = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = -\frac{x}{y}$, lo stesso risultato. Nel punto $\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$ la pendenza è $-\frac{3}{4}$: la tangente è perpendicolare al raggio, che ha pendenza $\frac{4}{3}$, come ci si aspetta da una circonferenza.

Derivate passo passo, dalla più facile alla più difficile

Esempio 1: un prodotto. Per $x > 0$:

$$\begin{gathered} (x^3\ln x)' = 3x^2\ln x + x^2 \\ {} = x^2\,(3\ln x + 1) \end{gathered}$$

Esempio 2: un quoziente.

$$\begin{gathered} \left(\frac{2x + 1}{x^2 + 3}\right)' \\ {} = \frac{2(x^2 + 3) - (2x + 1) \cdot 2x}{(x^2 + 3)^2} \\ {} = -\frac{2\,(x^2 + x - 3)}{(x^2 + 3)^2} \end{gathered}$$

Esempio 3: prodotto e catena.

$$\begin{gathered} \left(e^{\sin x}\cos x\right)' \\ {} = e^{\sin x}\cos x \cdot \cos x - e^{\sin x}\sin x \\ {} = e^{\sin x}\left(\cos^2 x - \sin x\right) \end{gathered}$$

Esempio 4: una catena a tre anelli.

$$\left(\sin e^{x^2}\right)' = \cos e^{x^2} \cdot e^{x^2} \cdot 2x$$

Esempio 5: un prodotto con una composta. Per $x > 0$:

$$\begin{gathered} \left(\sqrt{x}\,\sin\sqrt{x}\right)' \\ {} = \frac{\sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x}\cos\sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ {} = \frac{\sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{\cos\sqrt{x}}{2} \end{gathered}$$

Esempio 6: un quoziente che si semplifica.

$$\begin{gathered} \left(\frac{e^x}{1 + e^x}\right)' = \frac{e^x(1 + e^x) - e^x \cdot e^x}{(1 + e^x)^2} \\ {} = \frac{e^x}{(1 + e^x)^2} \end{gathered}$$

Esempio 7: prima i logaritmi, poi la derivata. La funzione $y = \ln\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}$ è definita per $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, e lì $1 + \sin x$ e $1 - \sin x$ sono entrambi positivi. Quindi si può spezzare il logaritmo, $y = \ln(1 + \sin x) - \ln(1 - \sin x)$, ed evitare il quoziente:

$$\begin{gathered} y' = \frac{\cos x}{1 + \sin x} + \frac{\cos x}{1 - \sin x} \\ {} = \frac{2\cos x}{1 - \sin^2 x} = \frac{2}{\cos x} \end{gathered}$$

Tutte le regole in una tabella

Regola	Formula	Esempio
Linearità	$a f' + b g'$	$(x^2 + 3x)' = 2x + 3$
Prodotto	$f'g + fg'$	$(x\,e^x)' = (1 + x)\,e^x$
Reciproco	$-\dfrac{g'}{g^2}$	$\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$
Quoziente	$\dfrac{f'g - fg'}{g^2}$	$(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$
Catena	$f'(g(x))\,g'(x)$	$(\sin 3x)' = 3\cos 3x$
Potenza	$\alpha f^{\alpha - 1} f'$	$\big((x^2 + 1)^3\big)' = 6x\,(x^2 + 1)^2$
Esponente variabile	$f^g \cdot (g\ln f)'$	$(x^x)' = x^x(\ln x + 1)$

Gli errori più comuni

• Derivare il prodotto come prodotto delle derivate. $(x^2\sin x)'$ non è $2x\cos x$: servono due termini, $2x\sin x + x^2\cos x$.
• Dimenticare la derivata interna. $(\sin 3x)' = 3\cos 3x$, non $\cos 3x$; e $(e^{-x})' = -e^{-x}$.
• Derivare l’argomento dentro la funzione esterna. $\big(\sin(x^2)\big)'$ non è $\cos(2x)$: l’argomento resta $x^2$, e la sua derivata va moltiplicata fuori. Il risultato è $2x\cos(x^2)$.
• Sbagliare segno o denominatore nel quoziente. Il meno sta davanti a $f\,g'$, e sotto c’è $g^2$, non $g'$ né $g$.
• Derivare $x^x$ come una potenza o come un esponenziale. $x \cdot x^{x - 1}$ e $x^x\ln x$ sono entrambe sbagliate; quella giusta, $x^x(\ln x + 1)$, è la loro somma.
• Confondere $x^n$ con $a^x$. $(x^2)' = 2x$, ma $(2^x)' = 2^x\ln 2$.
• Derivare le costanti come se fossero variabili. $e^2$, $\pi^2$, $\ln 3$ sono numeri: la loro derivata è zero, e $(\ln 3 \cdot x)' = \ln 3$.
• Dimenticare il dominio. La derivata esiste solo dove la funzione è definita e le ipotesi delle regole valgono: $(\ln\cos 2x)' = -2\tan 2x$ solo dove $\cos 2x > 0$, e la regola per $\sqrt{f}$ non si applica dove $f = 0$.

Esercizi svolti

1. Prodotto e tangenti orizzontali

Testo. Calcola la derivata di $f(x) = (x^2 - 3x + 1)\,e^x$ e trova i punti del grafico in cui la tangente è orizzontale.

È un prodotto: la derivata del primo fattore è $2x - 3$, quella di $e^x$ è $e^x$.

$$\begin{gathered} f'(x) = (2x - 3)\,e^x + (x^2 - 3x + 1)\,e^x \\ {} = e^x\,(x^2 - x - 2) \\ {} = e^x\,(x - 2)(x + 1) \end{gathered}$$

La tangente è orizzontale dove $f'(x) = 0$. Siccome $e^x$ non si annulla mai, resta $(x - 2)(x + 1) = 0$, cioè $x = 2$ oppure $x = -1$. Le ordinate sono $f(2) = (4 - 6 + 1)\,e^2 = -e^2$ e $f(-1) = (1 + 3 + 1)\,e^{-1} = \frac{5}{e}$.

La tangente è orizzontale nei punti $\left(-1, \frac{5}{e}\right)$ e $(2, -e^2)$.

2. Il massimo di ln x fratto x

Testo. Deriva $f(x) = \frac{\ln x}{x}$, per $x > 0$, studia il segno della derivata e trova il massimo. Usa il risultato per stabilire quale numero è più grande tra $e^\pi$ e $\pi^e$.

Con la regola del quoziente:

$$\begin{gathered} f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} \\ {} = \frac{1 - \ln x}{x^2} \end{gathered}$$

Il denominatore è positivo, quindi il segno è quello di $1 - \ln x$: positivo per $0 < x < e$, negativo per $x > e$. La funzione cresce fino a $e$ e poi decresce: il massimo assoluto è in $x = e$ e vale $f(e) = \frac{1}{e}$.

Siccome $\pi \neq e$, si ha $f(\pi) < f(e)$. Moltiplicando per $e\pi > 0$ e poi applicando l’esponenziale, che è crescente:

$$\begin{gathered} \frac{\ln\pi}{\pi} < \frac{1}{e} \iff e\ln\pi < \pi \\ {} \iff \pi^e < e^\pi \end{gathered}$$

Quindi $e^\pi$ è più grande: infatti $e^\pi \approx 23{,}14$ e $\pi^e \approx 22{,}46$.

3. Una catena a tre anelli

Testo. Calcola la derivata di $f(x) = \cos^3(2x)$ e il suo valore in $x = \frac{\pi}{8}$.

La funzione è $\big(\cos(2x)\big)^3$. Dall’esterno: il cubo, poi il coseno, poi $2x$.

$$\begin{gathered} f'(x) = 3\cos^2(2x) \cdot (-\sin 2x) \cdot 2 \\ {} = -6\cos^2(2x)\,\sin(2x) \end{gathered}$$

In $x = \frac{\pi}{8}$ si ha $2x = \frac{\pi}{4}$, dove seno e coseno valgono $\frac{\sqrt{2}}{2}$ e quindi $\cos^2 \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}$:

$$f'\left(\tfrac{\pi}{8}\right) = -6 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$$

La derivata vale $-\frac{3\sqrt{2}}{2} \approx -2{,}12$: in quel punto la funzione scende.

4. Una composta che si semplifica

Testo. Deriva $f(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$ e semplifica il risultato.

Prima il dominio. Per ogni $x$ si ha

$$\sqrt{x^2 + 1} > \sqrt{x^2} = |x| \geq -x$$

quindi l’argomento del logaritmo è sempre positivo, e il dominio è tutto $\mathbb{R}$.

La funzione esterna è il logaritmo, quindi la derivata è la derivata dell’argomento divisa per l’argomento. La derivata dell’argomento è

$$1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1}}$$

e dividendo per l’argomento il fattore $x + \sqrt{x^2 + 1}$ si semplifica:

$$\begin{gathered} f'(x) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1}} \\ {} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \end{gathered}$$

Una funzione complicata con una derivata semplicissima. È il settore seno iperbolico, l’inversa del seno iperbolico che trovi nelle funzioni iperboliche; letto al contrario, il risultato dà una primitiva di $\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$.

5. Base ed esponente variabili e retta tangente

Testo. Calcola la derivata di $f(x) = (\ln x)^x$ per $x > 1$ e scrivi l’equazione della retta tangente al grafico nel punto di ascissa $e$.

Per $x > 1$ la base $\ln x$ è positiva, quindi $f(x) = e^{x\ln(\ln x)}$. L’esponente è un prodotto, e il suo secondo fattore è una composta:

$$\begin{gathered} \big(x\ln(\ln x)\big)' = \ln(\ln x) + x \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} \\ {} = \ln(\ln x) + \frac{1}{\ln x} \end{gathered}$$

Quindi:

$$f'(x) = (\ln x)^x\left(\ln(\ln x) + \frac{1}{\ln x}\right)$$

In $x = e$ si ha $\ln e = 1$ e $\ln(\ln e) = \ln 1 = 0$. Quindi $f(e) = 1^e = 1$ e $f'(e) = 1 \cdot (0 + 1) = 1$. Con l’equazione della retta tangente:

$$\begin{gathered} y = f(e) + f'(e)\,(x - e) \\ y = 1 + (x - e) = x - e + 1 \end{gathered}$$

La tangente in $x = e$ ha pendenza 1 ed equazione $y = x - e + 1$.

6. Esercizio d’esame: una funzione sempre decrescente

Testo. Data $f(x) = e^{-x}\sqrt{x^2 + 3}$, calcola $f'(x)$ e dimostra che $f$ è strettamente decrescente su tutto $\mathbb{R}$.

Il dominio è $\mathbb{R}$, perché $x^2 + 3 > 0$. La funzione è il prodotto di due composte, che hanno derivate

$$\begin{gathered} (e^{-x})' = -e^{-x} \\ \left(\sqrt{x^2 + 3}\right)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 3}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 3}} \end{gathered}$$

Con la regola del prodotto, e poi portando tutto al denominatore comune $\sqrt{x^2 + 3}$:

$$\begin{gathered} f'(x) = -e^{-x}\sqrt{x^2 + 3} + \frac{x\,e^{-x}}{\sqrt{x^2 + 3}} \\ {} = e^{-x} \cdot \frac{-(x^2 + 3) + x}{\sqrt{x^2 + 3}} \\ {} = -\frac{e^{-x}\,(x^2 - x + 3)}{\sqrt{x^2 + 3}} \end{gathered}$$

Ora il segno. Il trinomio $x^2 - x + 3$ ha discriminante $1 - 12 = -11 < 0$ e coefficiente di $x^2$ positivo, quindi è sempre positivo. Anche $e^{-x}$ e la radice sono positivi. Per il segno meno davanti, $f'(x) < 0$ per ogni $x$.

Una funzione con derivata negativa su un intervallo è strettamente decrescente (è il test di monotonia, conseguenza del teorema di Lagrange). Quindi $f$ è strettamente decrescente su tutto $\mathbb{R}$: per esempio $f(-1) \approx 5{,}44$, $f(0) = \sqrt{3} \approx 1{,}73$, $f(1) \approx 0{,}74$.

Altri esercizi su tutto il capitolo li trovi negli esercizi svolti sulle derivate.

In sintesi

• Linearità: $(a f + b g)' = a f' + b g'$; si deriva termine per termine e le costanti hanno derivata zero.
• Prodotto: $(f g)' = f' g + f g'$, mai $f' g'$; con tre fattori si deriva un fattore alla volta.
• Reciproco e quoziente, dove $g \neq 0$: $\left(\frac{1}{g}\right)' = -\frac{g'}{g^2}$ e $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' g - f g'}{g^2}$. Spesso conviene semplificare prima.
• Catena: $(f \circ g)'(x) = f'\big(g(x)\big)\,g'(x)$; dall’esterno verso l’interno, moltiplicando tutte le derivate.
• Base ed esponente variabili: $f^g = e^{g\ln f}$ con $f > 0$; per esempio $(x^x)' = x^x(\ln x + 1)$.
• Derivata logaritmica: $f' = f \cdot (\ln|f|)'$, comoda per prodotti e quozienti di molti fattori.
• Ogni formula vale solo dove la funzione è definita e le funzioni coinvolte sono derivabili.

Una regola in più serve per le funzioni inverse, come l’arcoseno, e poi si può derivare più volte: derivata della funzione inversa e derivate successive.