Massimi e minimi di una funzione: punti stazionari, metodo ed esercizi svolti

Trovare i massimi e minimi di una funzione vuol dire scoprire dove il grafico ha le sue «cime» e le sue «valli». È il quinto passo dello studio di funzione, quello della derivata prima, e serve anche nei problemi di ottimizzazione e per trovare l’immagine di una funzione. In questa pagina vediamo le definizioni, dove cercare i candidati, il metodo con la tabella del segno di $f'$, i punti stazionari che non sono estremi, i test della derivata seconda e delle derivate successive, punti angolosi e cuspidi, gli estremi assoluti, l’immagine, i parametri, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Massimi e minimi relativi e assoluti

In una catena di montagne ogni cima è più alta dei punti vicini, ma solo una è la più alta di tutte: è la differenza tra massimo relativo e assoluto.

Il punto di massimo è l’ascissa $x_0$; il massimo è il valore $f(x_0)$. Tre precisazioni utili all’orale:

• un massimo assoluto è anche relativo, non il contrario, e un massimo relativo può essere più basso di un minimo relativo;
• in una funzione costante ogni punto è di massimo e di minimo, relativo e assoluto, non stretto: la definizione usa $\leq$ e $\geq$;
• un estremo del dominio può essere un massimo o un minimo relativo: si guarda solo dal lato in cui la funzione esiste. Per $x^2$ su $[-1, 2]$, $x = -1$ è un massimo relativo, perché subito a destra $x^2 < 1$; il massimo assoluto è $f(2) = 4$.

Dove cercarli: i candidati

Il teorema di Fermat dice: se $x_0$ è un punto di massimo o di minimo relativo interno al dominio (con tutto un intorno nel dominio) e $f$ è derivabile in $x_0$, allora $f'(x_0) = 0$. Quindi massimi e minimi vanno cercati tra tre tipi di candidati:

1. i punti stazionari, in cui $f'(x_0) = 0$;
2. i punti del dominio in cui $f$ non è derivabile: punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale (vedi derivabilità e continuità);
3. gli estremi del dominio che gli appartengono, dove Fermat non vale perché ci si muove da un lato solo: $f(x) = x$ su $[0, 1]$ ha il massimo in 1, dove $f' = 1$.

È una condizione necessaria, non sufficiente: ogni candidato va poi classificato.

Crescente e decrescente: il test di monotonia

La derivata $f'(x_0)$ è la pendenza della tangente: positiva se sale, negativa se scende. Il teorema di Lagrange trasforma questa informazione «in un punto» in una su un intervallo.

Perché è vero. Presi $x_1 < x_2$ in $I$, Lagrange dà un $c$ tra i due con $f(x_2) - f(x_1) = f'(c)\,(x_2 - x_1)$, prodotto di due numeri positivi (i dettagli nei teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy). Resta vero se $f' > 0$ tranne in punti isolati, dove vale 0: $x^3$ è strettamente crescente. La parola intervallo, invece, non è un dettaglio: lo vediamo nell’esempio guida.

Il metodo: la tabella del segno di f′

La scaletta.

1. Trova il dominio e calcola $f'(x)$, scomposta in fattori.
2. Trova i punti stazionari e i punti del dominio in cui $f'$ non esiste.
3. Studia il segno di $f'$ con la tabella dei segni (come in dominio, simmetrie e segno), mettendo in colonna anche i punti esclusi dal dominio: dove $f' > 0$ la funzione sale ($\nearrow$), dove $f' < 0$ scende ($\searrow$).
4. Classifica ogni candidato con il segno di $f'$ subito prima e subito dopo.
5. Calcola le $y$ sostituendo nella $f$, non nella $f'$.
6. Confronta con i limiti agli estremi del dominio, per decidere se sono assoluti.

Segno di $f'$	Il punto è…
prima $+$, dopo $-$ $\ (\nearrow\searrow)$	massimo relativo
prima $-$, dopo $+$ $\ (\searrow\nearrow)$	minimo relativo
stesso segno prima e dopo	né massimo né minimo

Perché funziona. Sia $f' > 0$ in $(x_0 - \delta, x_0)$, $f' < 0$ in $(x_0, x_0 + \delta)$ e $f$ continua in $x_0$. Il test di monotonia su $(x_0 - \delta, x_0]$ e su $[x_0, x_0 + \delta)$ dice che $f$ sale fino a $x_0$ e poi scende: $f(x) < f(x_0)$ per $x \neq x_0$ nell’intorno. È un massimo relativo stretto, anche se in $x_0$ la derivata non esiste (per il minimo è lo stesso). Se invece il segno non cambia, $f$ è strettamente monotona in tutto l’intorno e $x_0$ non è un estremo.

L’esempio guida

Riprendiamo la funzione del capitolo, $f(x) = \frac{x^2 - 3}{x - 2}$, con dominio $x \neq 2$. Con la regola del quoziente (ripassala nelle regole di derivazione):

$$\begin{gathered} f'(x) = \frac{2x(x - 2) - (x^2 - 3) \cdot 1}{(x - 2)^2} \\ f'(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2} \\ f'(x) = \frac{(x - 1)(x - 3)}{(x - 2)^2} \end{gathered}$$

La derivata esiste in tutto il dominio e si annulla in $x = 1$ e in $x = 3$. Il denominatore è un quadrato, positivo nel dominio: il segno di $f'$ è quello di $(x - 1)(x - 3)$, positivo fuori dalle radici e negativo tra le radici. Il punto 2 va comunque in tabella, perché separa due intervalli del dominio.

Intervallo	$f'$	$f$
$x < 1$	$+$	$\nearrow$
$1 < x < 2$	$-$	$\searrow$
$2 < x < 3$	$-$	$\searrow$
$x > 3$	$+$	$\nearrow$

• In $x = 1$ si passa da $\nearrow$ a $\searrow$: massimo relativo, $f(1) = \frac{1 - 3}{1 - 2} = 2$, il punto $(1, 2)$.
• In $x = 3$ si passa da $\searrow$ a $\nearrow$: minimo relativo, $f(3) = \frac{9 - 3}{3 - 2} = 6$, il punto $(3, 6)$.

La funzione cresce in $(-\infty, 1)$ e in $(3, +\infty)$, decresce in $(1, 2)$ e in $(2, 3)$. Ma non decresce su $(1, 3)$ tolto il 2: $f(1{,}5) = 1{,}5$ e $f(2{,}5) = 6{,}5$, un valore più alto. Il test di monotonia vale su un intervallo, e $(1, 2) \cup (2, 3)$ non lo è: in mezzo c’è l’asintoto verticale $x = 2$, dove $f$ precipita a $-\infty$ e riparte da $+\infty$ (vedi limiti e asintoti nello studio di funzione). Per questo gli intervalli si scrivono uno per uno, senza $\cup$.

Poi la sorpresa: il massimo vale 2 e il minimo 6, più in alto. Nessuna contraddizione: sono relativi e stanno su due rami diversi del grafico. Assoluti non ce ne sono, perché la funzione arriva a $+\infty$ e a $-\infty$.

Punti stazionari che non sono massimi né minimi

$f(x) = x^3$ ha $f'(x) = 3x^2$, nulla in 0 ma positiva prima e dopo: la funzione sale sempre e in 0 ha un flesso a tangente orizzontale. Un esempio con entrambi i casi è $f(x) = x^4 - 4x^3$, con

$$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$$

Il fattore $4x^2$ si annulla in 0 senza cambiare segno: il segno di $f'$ è quello di $x - 3$. In 0 la derivata è negativa prima e dopo: flesso a tangente orizzontale. In 3 passa da $-$ a $+$: minimo, $f(3) = 81 - 108 = -27$. La funzione scende su tutto $(-\infty, 3]$ e poi sale, quindi $-27$ è il minimo assoluto; il massimo assoluto non esiste. Nella figura la tabella è disegnata sopra il grafico, allineata alle stesse $x$.

Il test della derivata seconda

Perché è vero. Prendiamo $f''(x_0) > 0$. Siccome $f'(x_0) = 0$, la definizione di derivata applicata a $f'$ dà

$$f''(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{x - x_0} > 0$$

Per la permanenza del segno, vicino a $x_0$ la frazione è positiva: $f'(x)$ ha il segno di $x - x_0$, negativo prima e positivo dopo. È la tabella di un minimo.

Nell’esempio guida $f''(x) = \frac{2}{(x - 2)^3}$, come ricavi in concavità, convessità e flessi: $f''(1) = -2 < 0$, massimo; $f''(3) = 2 > 0$, minimo.

Quando il test tace. Se $f''(x_0) = 0$ non si conclude nulla: $x^4$, $-x^4$ e $x^3$ hanno $f'(0) = f''(0) = 0$, ma in 0 hanno un minimo, un massimo e un flesso.

Il criterio delle derivate successive

Il motivo sta nella formula di Taylor: vicino a $x_0$ la differenza $f(x) - f(x_0)$ ha il segno di $\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n$, e una potenza pari non cambia segno, una dispari sì.

Per $x^4 - 4x^3$: $f''(x) = 12x^2 - 24x$ e $f'''(x) = 24x - 24$. In 0, $f''(0) = 0$ e $f'''(0) = -24$: ordine dispari, flesso, come diceva la tabella.

Per $f(x) = e^x + e^{-x} - x^2$, in 0 si annullano $f'(x) = e^x - e^{-x} - 2x$, $f''(x) = e^x + e^{-x} - 2$ e $f'''(x) = e^x - e^{-x}$, mentre $f^{(4)}(0) = 2$: ordine pari, segno positivo, minimo.

I punti in cui f non è derivabile

Un punto angoloso o una cuspide possono essere un massimo o un minimo: $\lvert x \rvert$ ha il minimo proprio nello spigolo. Per $f$ continua in $x_0$ ricordiamo la classificazione:

• punto angoloso: derivate destra e sinistra diverse, almeno una finita;
• cuspide: derivate destra e sinistra infinite e di segno opposto;
• flesso a tangente verticale: entrambe $+\infty$ o entrambe $-\infty$.

Le derivate laterali si calcolano con il limite di $f'$.

È un corollario di Lagrange: il rapporto incrementale su $[x_0, x_0 + h]$ vale $f'(\xi)$ per un $\xi$ tra $x_0$ e $x_0 + h$, e se $h \to 0^+$ anche $\xi \to x_0^+$. Dimostrazione e controesempio senza continuità sono in derivabilità e continuità.

Un punto angoloso. $f(x) = \lvert x^2 - 1 \rvert$ è continua ovunque. Togliendo il valore assoluto:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \lvert x \rvert \geq 1 \\ 1 - x^2 & \lvert x \rvert < 1 \end{cases}$$

Quindi $f'(x) = 2x$ per $\lvert x \rvert > 1$ e $f'(x) = -2x$ per $\lvert x \rvert < 1$. In $x = 1$:

$$\begin{gathered} f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} (-2x) = -2 \\ f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} 2x = 2 \end{gathered}$$

Finite e diverse: punto angoloso. La derivata passa da negativa a positiva: è un minimo, $f(1) = 0$, anche assoluto perché $f \geq 0$. Lo stesso in $x = -1$, per simmetria. In 0, invece, $f'(0) = 0$ e $f'$ passa da $+$ a $-$: massimo relativo, $f(0) = 1$.

Una cuspide. $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$ è continua su $\mathbb{R}$ e per $x \neq 0$ ha derivata

$$f'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$$

negativa per $x < 0$ e positiva per $x > 0$: in 0 c’è un minimo. Inoltre

$$\begin{gathered} \lim_{x \to 0^-} f'(x) = -\infty \\ \lim_{x \to 0^+} f'(x) = +\infty \end{gathered}$$

quindi è una cuspide: il grafico arriva all’origine in verticale.

Un flesso a tangente verticale. $f(x) = \sqrt[3]{x}$ ha $f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$, positiva, con limite $+\infty$ da entrambi i lati: flesso a tangente verticale, nessun estremo.

Massimi e minimi assoluti

Su un intervallo chiuso

Se $f$ è continua sull’intervallo chiuso e limitato $[a, b]$, il teorema di Weierstrass garantisce che massimo e minimo assoluti esistono. Per trovarli si calcola $f$ nei candidati interni (punti stazionari e di non derivabilità) e negli estremi $a$ e $b$. Il valore più grande è il massimo assoluto, il più piccolo il minimo assoluto.

Esempio. $f(x) = x^3 - 3x$ su $[-2, 3]$. La derivata $3(x - 1)(x + 1)$ si annulla in $-1$ e in $1$, interni all’intervallo. I candidati sono $-2$, $-1$, $1$ e $3$:

$$\begin{gathered} f(-2) = -2 \\ f(-1) = 2 \\ f(1) = -2 \\ f(3) = 18 \end{gathered}$$

Il massimo assoluto è 18, in $x = 3$: un estremo, dove $f'(3) = 24 \neq 0$. Il minimo assoluto è $-2$, raggiunto in due punti, $x = -2$ e $x = 1$. Il massimo relativo $f(-1) = 2$ non è assoluto.

Su un dominio aperto o illimitato

Qui Weierstrass non si applica, e massimo e minimo possono mancare. Per una funzione continua con un numero finito di candidati si confrontano i massimi e minimi relativi con i limiti agli estremi del dominio:

• se $f \to +\infty$ da qualche parte, il massimo assoluto non esiste (con $-\infty$, il minimo);
• un massimo relativo è assoluto se supera o eguaglia gli altri massimi relativi e tutti i limiti agli estremi;
• se un limite supera tutti i valori, è l’estremo superiore ma non è raggiunto: il massimo non c’è (vedi estremo superiore e inferiore).

Esempio. $x^3 - 3x$ sull’intervallo aperto $(-2, 3)$. Il minimo $-2$ resta, perché è raggiunto anche nel punto interno $x = 1$. Il massimo sparisce: per $x \to 3^-$ i valori tendono a 18 senza raggiungerlo. L’estremo superiore è 18, il massimo non esiste.

L’immagine di una funzione

«Determina l’immagine di $f$», cioè l’insieme dei valori $f(x)$, è una domanda d’esame classica. Si legge dalla tabella: su ogni intervallo in cui $f$ è continua e strettamente monotona, per il teorema dei valori intermedi $f$ prende tutti i valori tra quelli agli estremi dell’intervallo, o i limiti se gli estremi sono esclusi; un limite non raggiunto resta fuori. Poi si uniscono i pezzi.

Esempio guida. Sul ramo $x < 2$ la funzione sale da $-\infty$ fino al massimo 2 e riscende verso $-\infty$: prende i valori di $(-\infty, 2]$. Sul ramo $x > 2$ scende da $+\infty$ fino al minimo 6 e risale: prende $[6, +\infty)$. Quindi

$$\operatorname{Im} f = (-\infty, 2] \cup [6, +\infty)$$

I valori tra 2 e 6 non vengono mai presi: ecco perché il massimo sta sotto il minimo. Controllo: $f(x) = k$ equivale a $x^2 - kx + 2k - 3 = 0$, con discriminante $(k - 2)(k - 6)$, negativo proprio per $2 < k < 6$.

Funzioni con un parametro

«Per quali $k$ la funzione ha due punti stazionari?» Si scrive $f'$, si riduce $f'(x) = 0$ a una forma semplice, spesso di secondo grado, e si contano le soluzioni nel dominio al variare di $k$. Per $f(x) = x^3 + kx^2 + 3x$ si ha $f'(x) = 3x^2 + 2kx + 3$, con $\frac{\Delta}{4} = k^2 - 9$: due punti stazionari per $\lvert k \rvert > 3$; uno per $k = \pm 3$, un flesso a tangente orizzontale, perché $f'(x) = 3(x \pm 1)^2 \geq 0$; nessuno per $\lvert k \rvert < 3$, con $f$ sempre crescente. Attenzione ai $k$ che abbassano il grado: un caso è nell’esercizio 6.

Un po’ di storia

Keplero, comprando il vino per le sue seconde nozze, vide che il mercante misurava le botti con un’asta infilata nel foro. Nella Nova stereometria doliorum vinariorum (1615) cercò la forma di volume massimo a parità di misura e notò che, vicino al massimo, il volume cambia pochissimo anche se le proporzioni cambiano un po’: in germe, l’idea di $f'(x_0) = 0$.

Il primo metodo generale fu di Pierre de Fermat, che lo fece circolare a Parigi, tramite Marin Mersenne, tra il 1636 e il 1638. Confrontava $f(x)$ con $f(x + e)$, li poneva «quasi uguali» (adaequalitas), divideva per $e$ e poi toglieva i termini con $e$: in pratica annullava la derivata. Cartesio lo attaccò, ma poi giudicò «molto buona» la sua applicazione alle tangenti.

Gli errori più comuni

• Dichiarare massimo o minimo ogni punto con $f' = 0$. Serve il cambio di segno: $x^3$ e $x^4 - 4x^3$ hanno in 0 un flesso a tangente orizzontale.
• Cercare solo dove $f' = 0$. Il massimo o il minimo può stare in un punto angoloso, in una cuspide o in un estremo dell’intervallo.
• Unire gli intervalli di monotonia attraverso un punto escluso. La funzione guida decresce in $(1, 2)$ e in $(2, 3)$, non in $(1, 3)$.
• Calcolare il valore nella derivata. Il massimo è $f(x_0)$, non $f'(x_0)$.
• Chiamare massimo assoluto un massimo relativo, o un limite non raggiunto. Vanno confrontati valori e limiti: per $x^3 - 3x$ su $(-2, 3)$ l’estremo superiore è 18, ma il massimo non esiste.
• Usare il test della derivata seconda quando $f''(x_0) = 0$. Non dice nulla: servono la tabella o le derivate successive.
• Classificare con il segno di $f'$ un punto in cui $f$ non è continua. Con un salto la tabella può ingannare.

Esercizi svolti

1. Un polinomio di quarto grado

Testo. Trova dove cresce e dove decresce, i massimi e i minimi relativi e assoluti di $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5$.

$f$ è derivabile su tutto $\mathbb{R}$: i candidati sono solo i punti stazionari.

$$\begin{gathered} f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x \\ {} = 12x\,(x^2 - x - 2) \\ {} = 12x\,(x + 1)(x - 2) \end{gathered}$$

Si annulla in $-1$, $0$ e $2$. A sinistra di $-1$ i tre fattori sono negativi, poi il segno cambia a ogni radice semplice.

Intervallo	$f'$	$f$
$x < -1$	$-$	$\searrow$
$-1 < x < 0$	$+$	$\nearrow$
$0 < x < 2$	$-$	$\searrow$
$x > 2$	$+$	$\nearrow$

Minimi relativi in $-1$ e in $2$, massimo relativo in $0$:

$$\begin{gathered} f(-1) = 3 + 4 - 12 + 5 = 0 \\ f(0) = 5 \\ f(2) = 48 - 32 - 48 + 5 = -27 \end{gathered}$$

Per $x \to \pm\infty$, $f \to +\infty$: il massimo assoluto non esiste, e il minimo assoluto è il più basso dei minimi relativi, $-27$, in $x = 2$. Controllo con $f''(x) = 36x^2 - 24x - 24$: $f''(-1) = 36$, $f''(0) = -24$, $f''(2) = 72$, segni coerenti.

2. Un esponenziale con la tabella completa

Testo. Studia crescenza, massimi e minimi di $f(x) = (x^2 - 3)\,e^x$, e di’ se ha massimo e minimo assoluti.

Dominio $\mathbb{R}$. Con la regola del prodotto:

$$\begin{gathered} f'(x) = 2x\,e^x + (x^2 - 3)\,e^x \\ {} = (x^2 + 2x - 3)\,e^x \\ {} = (x + 3)(x - 1)\,e^x \end{gathered}$$

Il fattore $e^x$ è sempre positivo, quindi il segno è quello di $(x + 3)(x - 1)$:

Intervallo	$f'$	$f$
$x < -3$	$+$	$\nearrow$
$-3 < x < 1$	$-$	$\searrow$
$x > 1$	$+$	$\nearrow$

Massimo relativo in $x = -3$, minimo relativo in $x = 1$:

$$\begin{gathered} f(-3) = 6\,e^{-3} \approx 0{,}30 \\ f(1) = -2e \approx -5{,}44 \end{gathered}$$

Ai bordi del dominio, dove a $-\infty$ l’esponenziale vince sul polinomio:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to -\infty} (x^2 - 3)\,e^x = 0 \\ \lim_{x \to +\infty} (x^2 - 3)\,e^x = +\infty \end{gathered}$$

Il massimo assoluto non esiste. Il minimo relativo $-2e$ è minore del limite 0 a $-\infty$: è il minimo assoluto, e l’immagine è $[-2e, +\infty)$.

3. Un valore assoluto e un punto angoloso

Testo. Studia crescenza, massimi e minimi di $f(x) = x^2 - 2\lvert x - 1 \rvert$, classificando i punti in cui non è derivabile.

Togliendo il valore assoluto:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x - 2 & x < 1 \\ x^2 - 2x + 2 & x \geq 1 \end{cases}$$

$f$ è continua: in 1 i due pezzi valgono 1. Fuori da 1:

• per $x < 1$: $f'(x) = 2x + 2$, negativa per $x < -1$ e positiva per $-1 < x < 1$;
• per $x > 1$: $f'(x) = 2x - 2$, sempre positiva.

Il punto 1. Per il teorema del limite della derivata:

$$\begin{gathered} f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} (2x + 2) = 4 \\ f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} (2x - 2) = 0 \end{gathered}$$

Finite e diverse: punto angoloso, con la semitangente destra orizzontale. Ma $f'$ è positiva prima e dopo: in 1 non c’è né massimo né minimo. E siccome $f$ è continua in 1, a differenza dell’esempio guida i due intervalli si uniscono: $f$ cresce su tutto $(-1, +\infty)$.

In $x = -1$ la derivata passa da $-$ a $+$: minimo, $f(-1) = 1 - 2 - 2 = -3$. La funzione scende fino a $-1$ e poi sale sempre: $-3$ è il minimo assoluto, mentre il massimo assoluto non esiste, perché $f \to +\infty$.

4. Massimo e minimo su un intervallo chiuso

Testo. Trova massimo e minimo assoluti di $f(x) = x - 3\sqrt[3]{x^2}$ sull’intervallo $[-1, 27]$, e l’immagine $f([-1, 27])$.

$f$ è continua su un intervallo chiuso e limitato: per Weierstrass massimo e minimo esistono. Per $x \neq 0$:

$$\begin{gathered} f'(x) = 1 - 3 \cdot \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} \\ {} = 1 - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} = \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{\sqrt[3]{x}} \end{gathered}$$

Candidati. $f'(x) = 0$ per $\sqrt[3]{x} = 2$, cioè $x = 8$. In 0 la derivata non esiste: $f$ è continua e il numeratore tende a $-2$, quindi

$$\begin{gathered} \lim_{x \to 0^-} f'(x) = +\infty \\ \lim_{x \to 0^+} f'(x) = -\infty \end{gathered}$$

È una cuspide con la punta in su. Infine ci sono gli estremi $-1$ e $27$:

$x$	tipo	$f(x)$
$-1$	estremo	$-1 - 3 = -4$
$0$	cuspide	$0$
$8$	stazionario	$8 - 12 = -4$
$27$	estremo	$27 - 27 = 0$

Il massimo è 0, raggiunto in $x = 0$ e in $x = 27$; il minimo è $-4$, raggiunto in $x = -1$ e in $x = 8$. Chi cerca solo dove $f'(x) = 0$ perde il massimo. Per i valori intermedi, l’immagine è $[-4, 0]$.

5. L’immagine di una funzione

Testo. Trova l’immagine di $f(x) = \dfrac{e^x}{1 + e^{2x}}$ e di’ per quali $k$ l’equazione $f(x) = k$ ha esattamente due soluzioni.

Dominio $\mathbb{R}$, e $f > 0$. La funzione è pari: moltiplicando numeratore e denominatore di $f(-x) = \frac{e^{-x}}{1 + e^{-2x}}$ per $e^{2x}$ si ritrova $f(x)$. La derivata:

$$\begin{gathered} f'(x) = \frac{e^x(1 + e^{2x}) - e^x \cdot 2e^{2x}}{(1 + e^{2x})^2} \\ {} = \frac{e^x\,(1 - e^{2x})}{(1 + e^{2x})^2} \end{gathered}$$

Il segno è quello di $1 - e^{2x}$, positivo per $x < 0$: $f$ cresce in $(-\infty, 0]$ e decresce in $[0, +\infty)$, con massimo assoluto $f(0) = \frac{1}{2}$. Per $x \to +\infty$ conviene dividere numeratore e denominatore per $e^x$:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 \\ \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^{-x} + e^x} = 0 \end{gathered}$$

Sul ramo $(-\infty, 0]$ la funzione è continua e crescente: prende tutti i valori tra il limite 0, escluso, e $\frac{1}{2}$, incluso; sull’altro ramo gli stessi. Quindi

$$\operatorname{Im} f = \left(0, \tfrac{1}{2}\right]$$

Il minimo non esiste: l’estremo inferiore 0 non è raggiunto. Ogni $k$ con $0 < k < \frac{1}{2}$ è preso una volta su ciascun ramo, dove $f$ è strettamente monotona: due soluzioni. Per $k = \frac{1}{2}$ una sola, $x = 0$; per gli altri $k$ nessuna.

6. Un parametro e i punti stazionari

Testo. Sia $f(x) = \ln(x^2 + 1) - kx$, con $k$ reale. Per quali $k$ la funzione ha due punti stazionari? Per quali è monotona su tutto $\mathbb{R}$?

Il dominio è $\mathbb{R}$. La derivata:

$$\begin{gathered} f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} - k \\ {} = -\frac{kx^2 - 2x + k}{x^2 + 1} \end{gathered}$$

I punti stazionari sono le soluzioni di $kx^2 - 2x + k = 0$.

Caso $k = 0$. L’equazione diventa $-2x = 0$: un solo punto stazionario, $x = 0$, un minimo, perché $\ln(x^2 + 1) \geq 0 = f(0)$. È la trappola: con $k = 0$ l’equazione non è di secondo grado.

Caso $k \neq 0$. Il discriminante è $\frac{\Delta}{4} = 1 - k^2$.

• Se $0 < \lvert k \rvert < 1$ ci sono due radici distinte e $f'$ cambia segno in ciascuna: due punti stazionari, un minimo e un massimo. Con $k = \frac{1}{2}$ sono $x = 2 \mp \sqrt{3}$.
• Se $k = 1$, $f'(x) = -\frac{(x - 1)^2}{x^2 + 1} \leq 0$, nulla solo in 1: $f$ è strettamente decrescente, con un flesso a tangente orizzontale in $x = 1$. Se $k = -1$, allo stesso modo $f'(x) = \frac{(x + 1)^2}{x^2 + 1} \geq 0$: strettamente crescente.
• Se $\lvert k \rvert > 1$ il trinomio ha sempre il segno di $k$ e $f'$ quello opposto: decrescente per $k > 1$, crescente per $k < -1$.

Quindi $f$ ha due punti stazionari per $-1 < k < 0$ e per $0 < k < 1$, ed è monotona su $\mathbb{R}$ se e solo se $\lvert k \rvert \geq 1$: per $\lvert k \rvert < 1$, anche con $k = 0$, la derivata cambia segno.

Altri esercizi, con lo studio completo, li trovi negli esercizi svolti sullo studio di funzione.

In sintesi

• Massimo relativo: $f(x) \leq f(x_0)$ in un intorno di $x_0$; assoluto: in tutto il dominio.
• Candidati: punti stazionari, punti di non derivabilità, estremi del dominio.
• Su un intervallo, $f' > 0$ dà crescente e $f' < 0$ decrescente; un punto escluso dal dominio spezza gli intervalli.
• Con $f$ continua nel punto: $f'$ da $+$ a $-$ massimo, da $-$ a $+$ minimo, senza cambio di segno nessuno dei due.
• Se $f'(x_0) = 0$: $f''(x_0) > 0$ minimo, $f''(x_0) < 0$ massimo; se $f''(x_0) = 0$ decide la prima derivata non nulla, pari estremo, dispari flesso.
• Se $f$ è continua, le derivate laterali sono i limiti di $f'$, quando esistono.
• Su $[a, b]$ si confrontano i valori nei candidati; altrove anche i limiti, e il massimo può mancare.

Sappiamo dove il grafico sale e dove scende. L’ultimo passo dice come curva: concavità, convessità e flessi.