Estremo superiore e inferiore: definizione, proprietà ed esercizi svolti

Prendi l’intervallo $[0, 1)$, i numeri reali tra 0 incluso e 1 escluso. Qual è il suo numero più grande? Non 1, che non ne fa parte. Ma neanche $0{,}9$ o $0{,}999$: qualunque numero minore di 1 scegli, nell’insieme ce n’è uno più grande. Eppure 1 è chiaramente la «soglia» dell’insieme: per darle un nome servono l’estremo superiore e l’estremo inferiore, in breve $\sup$ e $\inf$. Con il sup si dimostra che le successioni monotone hanno limite e che vale il teorema di Weierstrass, e all’esame «trova sup e inf e di’ se sono massimo e minimo» è un esercizio quasi fisso. In questa pagina vediamo maggioranti e minoranti, massimo e minimo, la definizione di sup e inf con la caratterizzazione con $\varepsilon$ (dimostrata), l’assioma di completezza e perché nei razionali è falso, le proprietà di sup e inf, sup e inf di una funzione, il metodo per gli esercizi, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Maggioranti e minoranti

Sia $A$ un sottoinsieme non vuoto di $\mathbb{R}$. Un numero $M$ è un maggiorante di $A$ se nessun elemento di $A$ lo supera.

Allo stesso modo $m$ è un minorante se $m \leq a$ per ogni $a \in A$, e $A$ è limitato inferiormente se ha almeno un minorante. Un insieme limitato sia superiormente sia inferiormente si dice limitato: sta tutto dentro un intervallo $[m, M]$.

• Per $A = [0, 1)$ i maggioranti sono i numeri $\geq 1$, cioè $[1, +\infty)$, e i minoranti i numeri $\leq 0$. $A$ è limitato.
• $\mathbb{N}$ è limitato inferiormente (0 e i negativi sono minoranti), ma non superiormente: nessun numero supera tutti i naturali.
• Un maggiorante, se c’è, non è mai unico: se $M$ lo è, lo è anche ogni numero più grande di $M$.

Conta l’ordine dei simboli. In «$\exists M\ \forall a$» il numero $M$ è uno solo e va bene per tutti gli elementi. La frase «$\forall a\ \exists M$» sarebbe vera per qualsiasi insieme, anche per $\mathbb{N}$ (basta $M = a$): confondere le due frasi è un errore classico.

Massimo e minimo

Il massimo di $A$ è un maggiorante che appartiene ad $A$: è l’elemento più grande dell’insieme.

Il massimo, se esiste, è unico. Se $M_1$ e $M_2$ fossero due massimi, $M_1$ starebbe in $A$ e $M_2$ sarebbe un maggiorante, quindi $M_1 \leq M_2$; scambiando i ruoli, $M_2 \leq M_1$. Dunque $M_1 = M_2$. Lo stesso vale per il minimo.

Un insieme finito e non vuoto ha sempre massimo e minimo: basta confrontare gli elementi uno a uno. Con gli insiemi infiniti il massimo può mancare. L’intervallo $[0, 1]$ ha massimo 1 e minimo 0; $[0, 1)$ ha minimo 0 ma non ha massimo. Vediamolo per assurdo: se avesse un massimo $m$, sarebbe $0 \leq m < 1$; ma allora il punto medio tra $m$ e 1,

$$\frac{m + 1}{2}$$

sta ancora in $[0, 1)$ ed è più grande di $m$. Quindi $m$ non era il massimo.

L’estremo superiore

Torniamo a $[0, 1)$. Il massimo non c’è, ma l’insieme dei maggioranti, $[1, +\infty)$, ha un elemento più piccolo di tutti: proprio 1. Ecco l’idea.

Essendo un minimo, il sup è unico. Che esista sempre lo garantisce l’assioma di completezza, che vediamo tra poco.

La caratterizzazione con epsilon

Negli esercizi serve una forma della definizione da verificare con i conti.

La proprietà 2 dice che $L - \varepsilon$ non è un maggiorante, per quanto piccolo sia $\varepsilon$: è la negazione della frase «$a \leq L - \varepsilon$ per ogni $a \in A$». In pratica, nella fascia tra $L - \varepsilon$ e $L$ cade sempre almeno un elemento di $A$: gli elementi arrivano vicini a $L$ quanto vuoi.

Dimostrazione

Se $L = \sup A$, valgono 1 e 2. La 1 è vera perché il sup è un maggiorante. Per la 2, fissato $\varepsilon > 0$, il numero $L - \varepsilon$ è minore di $L$, che è il più piccolo dei maggioranti: quindi $L - \varepsilon$ non è un maggiorante, cioè esiste $a \in A$ con $a > L - \varepsilon$.

Se valgono 1 e 2, allora $L = \sup A$. Per la 1, $L$ è un maggiorante; resta da vedere che è il più piccolo. Prendi un maggiorante qualsiasi $M$ e supponi per assurdo $M < L$. Con $\varepsilon = L - M > 0$, la 2 dà un elemento $a > L - \varepsilon = M$: impossibile, perché $M$ è un maggiorante. Quindi ogni maggiorante è $\geq L$.

Sup e massimo

• Se $\sup A \in A$, allora è il massimo: è un maggiorante che sta in $A$.
• Se $A$ ha massimo, allora $\max A = \sup A$: il massimo è un maggiorante, e ogni altro maggiorante non può stare sotto di lui, perché il massimo è un elemento di $A$.

Quindi il massimo esiste se e solo se il sup appartiene all’insieme, e in quel caso i due coincidono. Per $[0, 1)$ il sup è 1, che non appartiene all’insieme: niente massimo.

Insiemi illimitati e insieme vuoto

Se $A$ non è limitato superiormente, per convenzione si scrive $\sup A = +\infty$: per ogni $M$ reale esiste $a \in A$ con $a > M$. Per esempio $E = \{n^2 : n \in \mathbb{N}\}$ ha $\sup E = +\infty$: fissato $M > 0$, ogni naturale $n > \sqrt{M}$ dà $n^2 > M$. Così ogni insieme non vuoto ha un sup nella retta reale estesa, finito o $+\infty$.

L’insieme vuoto è un caso a parte: ogni numero reale è un suo maggiorante, quindi non ce n’è uno più piccolo. Alcuni testi pongono $\sup \varnothing = -\infty$ e $\inf \varnothing = +\infty$; in Analisi 1, come qui, si lavora quasi sempre con insiemi non vuoti.

L’estremo inferiore

Tutto si ripete capovolto. L’estremo inferiore $\inf A$ è il più grande dei minoranti; se $A$ non è limitato inferiormente si scrive $\inf A = -\infty$.

Se $\inf A$ appartiene ad $A$ è il minimo, altrimenti il minimo non esiste. Per $[0, 1)$ si ha $\inf = \min = 0$.

L’assioma di completezza

Esiste sempre un maggiorante più piccolo di tutti? Nei reali sì: è la proprietà che li distingue dai razionali.

Per l’inf non serve un secondo assioma: lo ricaveremo dalla formula $\inf A = -\sup(-A)$.

Nei razionali non vale

Considera l’insieme

$$A = \{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2\}$$

Non è vuoto ($1 \in A$) ed è limitato superiormente da 2, perché se $x \geq 2$ allora $x^2 \geq 4$. Nei reali il suo sup è $\sqrt{2}$, che però non è razionale. E tra i razionali un maggiorante più piccolo di tutti non c’è.

Perché è vero. Supponi che ci sia, e chiamalo $s$: è razionale, $s \geq 1$ perché $1 \in A$, e $s^2 \neq 2$. Il trucco è il numero razionale

$$s' = \frac{2s + 2}{s + 2}$$

per il quale, con un po’ di algebra,

$$\begin{gathered} s' - s = \frac{2 - s^2}{s + 2} \\ s'^2 - 2 = \frac{2\,(s^2 - 2)}{(s + 2)^2} \end{gathered}$$

• Se $s^2 < 2$: allora $s' > s$ e $s'^2 < 2$. Quindi $s'$ è un elemento di $A$ più grande di $s$, e $s$ non era un maggiorante.
• Se $s^2 > 2$: allora $s' < s$ e $s'^2 > 2$. Quindi $s'$ è un maggiorante più piccolo di $s$: se un $x \in A$ superasse $s' > 0$, avremmo $x^2 > s'^2 > 2$.

In entrambi i casi $s$ non è il più piccolo dei maggioranti razionali. Per esempio da $s = \frac{3}{2}$ si ottiene $s' = \frac{10}{7} \approx 1{,}43$, un maggiorante razionale migliore. È il «buco» di $\mathbb{Q}$ che i reali riempiono.

La proprietà di Archimede

Dalla completezza segue un fatto che sembra ovvio e che userai in ogni esercizio: $\mathbb{N}$ non è limitato superiormente, cioè per ogni numero reale $x$ esiste un naturale $n > x$.

Perché è vero. Se $\mathbb{N}$ fosse limitato superiormente, avrebbe un sup reale $s$. Con $\varepsilon = 1$, la caratterizzazione dà un naturale $n > s - 1$. Ma allora il naturale $n + 1$ supera $s$, che quindi non era un maggiorante: contraddizione.

Sulla completezza si regge tutta l’Analisi: il teorema delle successioni monotone, il teorema degli zeri, quello di Weierstrass, le potenze con esponente reale, definite proprio come estremo superiore. Nel 1872 Richard Dedekind e Georg Cantor pubblicarono, con metodi diversi, due costruzioni dei reali a partire dai razionali, in cui la completezza diventa un teorema.

Le proprietà di sup e inf

Useremo queste notazioni: $-A = \{-a : a \in A\}$, $kA = \{ka : a \in A\}$ e $A + B = \{a + b : a \in A,\ b \in B\}$. Gli insiemi sono non vuoti e i loro sup e inf sono finiti.

1. Sottoinsiemi. Se $A \subseteq B$, allora $\sup A \leq \sup B$ e $\inf A \geq \inf B$. Infatti $\sup B$ sta sopra tutti gli elementi di $B$, quindi anche sopra quelli di $A$: è un maggiorante di $A$, e $\sup A$, il più piccolo, non lo supera.

2. Il segno meno. $\inf A = -\sup(-A)$. Moltiplicare per $-1$ rovescia le disuguaglianze: $m \leq a$ per ogni $a \in A$ equivale a $-a \leq -m$ per ogni $a$. Quindi i minoranti di $A$ sono gli opposti dei maggioranti di $-A$, e il più grande dei primi è l’opposto del più piccolo dei secondi. Ne segue che ogni insieme non vuoto e limitato inferiormente ha inf reale.

3. La somma. $\sup(A + B) = \sup A + \sup B$. Il numero $\sup A + \sup B$ è un maggiorante, perché $a + b \leq \sup A + \sup B$. Ed è il più piccolo: fissato $\varepsilon > 0$, prendi $a > \sup A - \frac{\varepsilon}{2}$ e $b > \sup B - \frac{\varepsilon}{2}$; sommando, $a + b > \sup A + \sup B - \varepsilon$. Allo stesso modo $\inf(A + B) = \inf A + \inf B$, e con $B = \{c\}$ si ottiene $\sup(A + c) = \sup A + c$.

4. Il prodotto per una costante. Se $k > 0$, $\sup(kA) = k \sup A$ e $\inf(kA) = k \inf A$: moltiplicare per un numero positivo conserva le disuguaglianze, quindi i maggioranti di $kA$ sono i maggioranti di $A$ moltiplicati per $k$. Se $k < 0$, combinando con la proprietà 2, sup e inf si scambiano:

$$\begin{gathered} \sup(kA) = k \inf A \\ \inf(kA) = k \sup A \end{gathered}$$

Per esempio, con $A = [1, 3)$ si ha $-2A = (-6, -2]$, e infatti $\sup(-2A) = -2 = -2 \inf A$ e $\inf(-2A) = -6 = -2 \sup A$.

Sup e inf di una funzione

Per una funzione $f$ definita su un insieme $X$, sup e inf sono quelli dei suoi valori, cioè della sua immagine:

$$\begin{gathered} \sup_{x \in X} f(x) = \sup f(X) \\ {} = \sup\{f(x) : x \in X\} \end{gathered}$$

Il massimo di $f$ è un valore che $f$ assume davvero: se $f(x_0) = \max f$, il punto $x_0$ si chiama punto di massimo. Il primo è una $y$, il secondo una $x$. Tre esempi.

La funzione $\frac{x}{1 + x}$ su $[0, +\infty)$. Riscrivila così:

$$\frac{x}{1 + x} = 1 - \frac{1}{1 + x}$$

Al crescere di $x$ la frazione $\frac{1}{1 + x}$ diminuisce, quindi $f$ cresce: $\min f = f(0) = 0$, con punto di minimo $x = 0$. Inoltre $f(x) < 1$ per ogni $x$, e $f(x) > 1 - \varepsilon$ appena $1 + x > \frac{1}{\varepsilon}$, cioè per $x > \frac{1}{\varepsilon} - 1$. Quindi $\sup f = 1$, mai raggiunto: niente massimo, e l’immagine è $[0, 1)$.

L’arcotangente su $\mathbb{R}$. I valori di $\arctan x$ riempiono l’intervallo aperto $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$: sup $\frac{\pi}{2}$ e inf $-\frac{\pi}{2}$, nessuno dei due raggiunto (vedi le funzioni goniometriche inverse).

La funzione $x e^{-x}$ su $[0, +\infty)$. Qui la formula non dice subito dove sia il massimo. Lo strumento giusto è la derivata, che userai per massimi e minimi: $f'(x) = (1 - x)e^{-x}$ è positiva per $x < 1$ e negativa per $x > 1$, quindi $f$ sale fino a $x = 1$ e poi scende. Il massimo è $f(1) = \frac{1}{e} \approx 0{,}368$; il minimo è $f(0) = 0$, perché $f(x) > 0$ per $x > 0$.

Il primo esempio mostra perché nel teorema di Weierstrass serve un intervallo chiuso e limitato: $\frac{x}{1 + x}$ è continua su $[0, +\infty)$, chiuso ma illimitato, e il massimo non c’è.

Come si trovano sup e inf negli esercizi

1. Calcola qualche elemento ($n = 1, 2, 3, 10, 100$). Spesso aiuta riscrivere l’espressione, come $\frac{n}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1}$.
2. Intuisci i candidati: $L$ per il sup, $\ell$ per l’inf.
3. Dimostra che $L$ è un maggiorante: è una disequazione da verificare per tutti gli elementi.
4. Dimostra che è il più piccolo: fissato $\varepsilon > 0$, risolvi $a > L - \varepsilon$ e trova esplicitamente un elemento che la soddisfa, di solito un $n$ abbastanza grande (esiste per Archimede).
5. Controlla se $L$ appartiene all’insieme: se sì è il massimo, altrimenti il massimo non c’è.

Per l’inf si procede allo stesso modo. Due scorciatoie: un elemento che è anche un maggiorante è il massimo, quindi il sup, e il passo 4 non serve; se gli elementi sono i termini di una successione crescente, il sup è il suo limite e il minimo è il primo termine.

Esempio 1: un insieme che si avvicina a 1

$$A = \left\{ 1 - \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N},\ n \geq 1 \right\}$$

Per $n = 1, 2, 3, 4, \dots$ gli elementi sono $0,\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{4},\ \dots$: crescono e si avvicinano a 1 senza raggiungerlo.

Minimo. Per ogni $n \geq 1$ si ha $\frac{1}{n} \leq 1$, quindi $1 - \frac{1}{n} \geq 0$, e il valore 0 si ottiene per $n = 1$. Perciò $\min A = \inf A = 0$.

Estremo superiore. Mostriamo che $\sup A = 1$.

1. 1 è un maggiorante: $1 - \frac{1}{n} < 1$ per ogni $n$, perché $\frac{1}{n} > 0$.
2. Fissato $\varepsilon > 0$, cerchiamo un elemento maggiore di $1 - \varepsilon$:

$$\begin{gathered} 1 - \frac{1}{n} > 1 - \varepsilon \\ \iff \frac{1}{n} < \varepsilon \iff n > \frac{1}{\varepsilon} \end{gathered}$$

Un naturale $n > \frac{1}{\varepsilon}$ esiste per la proprietà di Archimede. Per esempio con $\varepsilon = 0{,}01$ basta $n = 101$, che dà $1 - \frac{1}{101} \approx 0{,}9901$.

Poiché $1 \notin A$, l’insieme non ha massimo.

Esempio 2: un insieme che salta avanti e indietro

$$B = \left\{ (-1)^n + \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N},\ n \geq 1 \right\}$$

Il termine $(-1)^n$ vale $+1$ per $n$ pari e $-1$ per $n$ dispari, quindi conviene separare i due casi:

• $n$ pari: $1 + \frac{1}{n}$, cioè $\frac{3}{2},\ \frac{5}{4},\ \frac{7}{6},\ \dots$, che scende verso 1;
• $n$ dispari: $-1 + \frac{1}{n}$, cioè $0,\ -\frac{2}{3},\ -\frac{4}{5},\ \dots$, che scende verso $-1$.

Massimo. Gli elementi con $n$ dispari sono al più 0. Per $n$ pari si ha $n \geq 2$, quindi $\frac{1}{n} \leq \frac{1}{2}$ e $1 + \frac{1}{n} \leq \frac{3}{2}$. Dunque $\frac{3}{2}$ è un maggiorante, ed è un elemento ($n = 2$): $\max B = \sup B = \frac{3}{2}$, senza bisogno di $\varepsilon$.

Estremo inferiore. Verifichiamo che l’inf è $-1$.

1. $-1$ è un minorante: per $n$ dispari $-1 + \frac{1}{n} > -1$, per $n$ pari gli elementi superano 1.
2. Fissato $\varepsilon > 0$, prendi un $n$ dispari con $n > \frac{1}{\varepsilon}$, che esiste per Archimede: allora $-1 + \frac{1}{n} < -1 + \varepsilon$. Con $\varepsilon = 0{,}01$ va bene $n = 101$.

Nessun elemento vale esattamente $-1$, perché $\frac{1}{n} \neq 0$: il minimo non esiste. Nota che gli elementi si addensano anche vicino a 1, ma 1 non è né il sup né l’inf.

Gli errori più comuni

• Confondere sup e massimo. Il sup esiste per ogni insieme non vuoto e limitato superiormente; il massimo solo se il sup appartiene all’insieme. Scrivere $\max\,[0, 1) = 1$ è sbagliato.
• Fermarsi al maggiorante. Mostrare che $a \leq L$ per ogni $a$ non basta: anche 2 e 100 sono maggioranti di $[0, 1)$. Serve anche la proprietà con $\varepsilon$.
• Verificare la proprietà con un solo $\varepsilon$. Un elemento trovato per $\varepsilon = 0{,}01$ non dimostra niente: va trovato per ogni $\varepsilon > 0$, in funzione di $\varepsilon$, come $n > \frac{1}{\varepsilon}$.
• Pensare che il sup sia sempre il limite. Lo è per le successioni crescenti. Per $(-1)^n + \frac{1}{n}$ il sup è $\frac{3}{2}$, mentre gli elementi con $n$ pari tendono a 1.
• Sommare i sup di due successioni. In generale $\sup(a_n + b_n) \leq \sup a_n + \sup b_n$, e l’uguaglianza può mancare: con $a_n = (-1)^n$ e $b_n = -(-1)^n$ la somma vale sempre 0, mentre $\sup a_n + \sup b_n = 2$. La formula $\sup(A + B) = \sup A + \sup B$ vale quando $a$ e $b$ variano in modo indipendente.
• Dimenticare di scambiare sup e inf con un fattore negativo. $\sup(-2A) = -2 \inf A$, non $-2 \sup A$.

Esercizi svolti

1. Due insiemi definiti da disequazioni

Testo. Trova sup e inf degli insiemi $A = \{x \in \mathbb{R} : x^2 < 3\}$ e $C = \{x \in \mathbb{R} : x^2 - 3x < 4\} \cup \{5\}$, e di’ se sono massimi o minimi.

Insieme A. La disequazione $x^2 < 3$ equivale a $-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$, quindi $A = \left(-\sqrt{3}, \sqrt{3}\right)$. Verifichiamo che $\sup A = \sqrt{3}$.

1. $\sqrt{3}$ è un maggiorante, perché ogni elemento è minore di $\sqrt{3}$.
2. Fissato $\varepsilon > 0$, il numero $\max\left\{0,\ \sqrt{3} - \frac{\varepsilon}{2}\right\}$ sta in $\left[0, \sqrt{3}\right)$, quindi in $A$, ed è maggiore di $\sqrt{3} - \varepsilon$.

L’insieme è simmetrico: $x \in A$ se e solo se $-x \in A$, cioè $-A = A$. Per la proprietà 2, $\inf A = -\sup(-A) = -\sup A = -\sqrt{3}$. Né $\sqrt{3}$ né $-\sqrt{3}$ appartengono ad $A$, perché il loro quadrato è 3 e non è minore di 3: né massimo né minimo.

Insieme C. Portiamo tutto a sinistra e scomponiamo:

$$\begin{gathered} x^2 - 3x - 4 < 0 \\ (x - 4)(x + 1) < 0 \iff -1 < x < 4 \end{gathered}$$

Quindi $C = (-1, 4) \cup \{5\}$. Il numero 5 sta in $C$ ed è maggiore o uguale a ogni elemento: $\max C = \sup C = 5$. L’inf si verifica come il sup di $A$, con l’elemento $\min\left\{0,\ -1 + \frac{\varepsilon}{2}\right\}$: $\inf C = -1$, che non appartiene a $C$, quindi il minimo non c’è. Un solo punto isolato ha cambiato il sup, che senza il 5 sarebbe 4.

2. Una frazione che sale verso 3

Testo. Trova sup e inf di $A = \left\{ \frac{3n + 2}{n + 4} : n \in \mathbb{N} \right\}$, con $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\}$. Per $\varepsilon = 0{,}01$, trova un elemento maggiore di $3 - \varepsilon$.

Gli elementi sono $\frac{1}{2},\ 1,\ \frac{4}{3},\ \frac{11}{7},\ \frac{7}{4},\ \dots$. Riscriviamo la frazione togliendo e aggiungendo 10 al numeratore:

$$\frac{3n + 2}{n + 4} = \frac{3(n + 4) - 10}{n + 4} = 3 - \frac{10}{n + 4}$$

Al crescere di $n$ la frazione $\frac{10}{n + 4}$ diminuisce, quindi gli elementi crescono.

Minimo. Gli elementi crescono, quindi il più piccolo è il primo, per $n = 0$: $\min A = \inf A = \frac{1}{2}$.

Estremo superiore. Il candidato è 3.

1. 3 è un maggiorante: $3 - \frac{10}{n + 4} < 3$, perché $\frac{10}{n + 4} > 0$.
2. Fissato $\varepsilon > 0$:

$$\begin{gathered} 3 - \frac{10}{n + 4} > 3 - \varepsilon \\ \iff \frac{10}{n + 4} < \varepsilon \\ \iff n > \frac{10}{\varepsilon} - 4 \end{gathered}$$

Un naturale così esiste sempre. Con $\varepsilon = 0{,}01$ serve $n > 996$: con $n = 997$ l’elemento è $\frac{2993}{1001} \approx 2{,}99001 > 2{,}99$.

Nessun elemento vale 3, perché servirebbe $\frac{10}{n + 4} = 0$. Quindi $\sup A = 3$ e il massimo non esiste. Tutto torna con il teorema delle successioni monotone: la successione cresce e il suo limite, 3, è il sup.

3. Segni alterni: né massimo né minimo

Testo. Trova sup e inf di $B = \left\{ (-1)^n \frac{n}{n + 1} : n \in \mathbb{N} \right\}$ e di’ se sono massimo e minimo.

Per $n = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ gli elementi sono $0,\ -\frac{1}{2},\ \frac{2}{3},\ -\frac{3}{4},\ \frac{4}{5},\ -\frac{5}{6}$. Per $n$ pari si ottiene $\frac{n}{n + 1}$, che sale verso 1; per $n$ dispari $-\frac{n}{n + 1}$, che scende verso $-1$.

Maggiorante e minorante. Il valore assoluto di ogni elemento è $\frac{n}{n + 1} < 1$, quindi tutti gli elementi stanno tra $-1$ e 1, estremi esclusi.

Il sup è 1. Fissato $\varepsilon > 0$, ci serve un $n$ pari con $\frac{n}{n + 1} > 1 - \varepsilon$, cioè, come nell’esercizio 2, $n > \frac{1}{\varepsilon} - 1$. Tra i naturali più grandi di $\frac{1}{\varepsilon} - 1$ ci sono sempre numeri pari. Con $\varepsilon = 0{,}1$ va bene $n = 10$: $\frac{10}{11} \approx 0{,}909 > 0{,}9$.

L’inf è $-1$. Ci serve un $n$ dispari con $-\frac{n}{n + 1} < -1 + \varepsilon$. Cambiando segno ai due membri, è la stessa condizione $\frac{n}{n + 1} > 1 - \varepsilon$. Con $\varepsilon = 0{,}1$ va bene $n = 11$.

Nessun elemento vale $1$ o $-1$, quindi $\sup B = 1$ e $\inf B = -1$, ma né massimo né minimo. Confrontalo con l’esempio 2: lì il sup era raggiunto, qui no.

4. Un insieme con due indici

Testo. Trova sup e inf di $C = \left\{ \frac{1}{n} + \frac{1}{m} : n, m \in \mathbb{N},\ n, m \geq 1 \right\}$.

Massimo. Ogni frazione $\frac{1}{n}$ e $\frac{1}{m}$ è al più 1, quindi ogni elemento è al più 2. Con $n = m = 1$ si ottiene proprio 2: $\max C = \sup C = 2$.

Estremo inferiore. Tutti gli elementi sono positivi, quindi 0 è un minorante. Fissato $\varepsilon > 0$, prendiamo $n = m$:

$$\frac{1}{n} + \frac{1}{n} = \frac{2}{n} < \varepsilon \iff n > \frac{2}{\varepsilon}$$

Con $\varepsilon = 0{,}01$ basta $n = m = 201$: $\frac{2}{201} \approx 0{,}00995$. Quindi $\inf C = 0$, e il minimo non esiste, perché una somma di due numeri positivi non vale mai 0.

Attenzione: per scendere sotto ogni $\varepsilon$ devono crescere entrambi gli indici. Tenendo fisso $m = 1$, gli elementi $1 + \frac{1}{n}$ non scendono mai sotto 1.

5. Sup e inf di una funzione

Testo. Trova sup e inf di $f(x) = \frac{2x}{1 + x^2}$ sull’intervallo $(0, +\infty)$ e di’ se sono massimo e minimo.

Qualche valore: $f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{4}{5}$, $f(1) = 1$, $f(2) = \frac{4}{5}$, $f(10) = \frac{20}{101} \approx 0{,}198$. Il candidato per il massimo è 1.

Il massimo è 1. Calcoliamo la differenza:

$$1 - f(x) = \frac{1 + x^2 - 2x}{1 + x^2} = \frac{(x - 1)^2}{1 + x^2}$$

È sempre $\geq 0$, e vale 0 solo per $x = 1$. Quindi $f(x) \leq 1$ per ogni $x$ e $f(1) = 1$: $\max f = 1$, con punto di massimo $x = 1$.

L’inf è 0. Per $x > 0$ la funzione è positiva, quindi 0 è un minorante. Per la proprietà con $\varepsilon$ conviene una stima semplice: rimpicciolendo il denominatore la frazione cresce, quindi

$$f(x) = \frac{2x}{1 + x^2} < \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}$$

Fissato $\varepsilon > 0$, basta prendere $x \geq \frac{2}{\varepsilon}$ per avere $f(x) < \varepsilon$. Con $\varepsilon = 0{,}01$, per esempio, $f(200) = \frac{400}{40\,001}$, appena sotto $0{,}01$. Quindi $\inf f = 0$, non raggiunto: il minimo non esiste e l’immagine è $(0, 1]$. Su $[0, +\infty)$, invece, il minimo ci sarebbe: $f(0) = 0$.

6. Il seno dei numeri naturali

Testo. Trova sup e inf di $S = \{\sin n : n \in \mathbb{N}\}$, con $n$ in radianti, e di’ se sono massimo e minimo.

I primi valori sono $0;\ 0{,}841;\ 0{,}909;\ 0{,}141;\ -0{,}757;\ -0{,}959$: saltano senza un ordine evidente. Di sicuro $-1 \leq \sin n \leq 1$, quindi 1 è un maggiorante e $-1$ un minorante.

I valori 1 e $-1$ non vengono mai raggiunti. Se fosse $\sin n = 1$, sarebbe $n = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ per un intero $k$, cioè

$$\pi = \frac{2n}{4k + 1}$$

e $\pi$ sarebbe razionale, mentre è irrazionale. Con $\sin n = -1$ si ragiona allo stesso modo, partendo da $n = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$.

Sono comunque sup e inf. Qui serve un fatto che enunciamo senza dimostrazione: siccome $\pi$ è irrazionale, i naturali $n$, riportati in $[0, 2\pi)$ togliendo multipli di $2\pi$, si avvicinano quanto si vuole a qualunque angolo dell’intervallo. Quindi ci sono naturali vicinissimi ad angoli del tipo $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ e, per la continuità del seno, $\sin n$ arriva vicino quanto si vuole a 1; lo stesso vale per $-1$. Il computer lo conferma, $\sin 33 \approx 0{,}99991$ e $\sin 11 \approx -0{,}99999$, ma questi numeri rendono plausibile il risultato, non lo dimostrano.

Quindi $\sup S = 1$ e $\inf S = -1$, senza massimo né minimo. Altri esercizi del capitolo li trovi negli esercizi svolti su insiemi e funzioni.

In sintesi

• Il massimo è un maggiorante che appartiene all’insieme; se esiste è unico.
• $L = \sup A$ se e solo se $L$ è un maggiorante e per ogni $\varepsilon > 0$ esiste $a \in A$ con $a > L - \varepsilon$. Per l’inf tutto si capovolge.
• Il massimo esiste se e solo se $\sup A \in A$, e allora coincidono. Se $A$ non è limitato superiormente, $\sup A = +\infty$.
• Completezza: ogni insieme di reali non vuoto e limitato superiormente ha sup reale. In $\mathbb{Q}$ è falso, come mostra $\{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2\}$.
• Proprietà: $A \subseteq B \Rightarrow \sup A \leq \sup B$; $\inf A = -\sup(-A)$; $\sup(A + B) = \sup A + \sup B$; $\sup(kA) = k \sup A$ se $k > 0$, $k \inf A$ se $k < 0$.
• Il sup di una funzione è il sup della sua immagine.
• Metodo: calcola qualche elemento, intuisci, dimostra che è un maggiorante, trova l’elemento oltre $L - \varepsilon$, controlla se $L$ appartiene all’insieme.

Nella definizione di intorno e in molte disequazioni compare il valore assoluto: lo vediamo nel prossimo articolo, valore assoluto, equazioni e disequazioni.