Dominio, simmetrie, intersezioni e segno di una funzione: metodo ed esercizi svolti

Ogni studio di funzione comincia con tre domande che non richiedono né limiti né derivate. Dove esiste la funzione? Il grafico è simmetrico? Dove sta sopra l’asse $x$ e dove sotto? Sono i passi 1, 2 e 3 della scaletta dello studio di funzione: dominio, simmetrie, intersezioni con gli assi e segno. Bastano l’algebra e le disequazioni, ma un errore qui si trascina fino al grafico. In questa pagina vediamo le condizioni per il dominio, funzioni pari, dispari e periodiche, le intersezioni con gli assi, la tabella dei segni e le radici doppie, le zone sbarrate del piano, gli zeri che non si calcolano, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Cominciamo anche a seguire una funzione che ci accompagnerà, articolo dopo articolo, fino al grafico finale, l’esempio guida:

$$f(x) = \frac{x^2 - 3}{x - 2}$$

Passo 1: il dominio

Quando una funzione è data solo con la formula, il suo dominio naturale (o campo di esistenza) è l’insieme dei numeri reali $x$ per cui la formula si può calcolare. Si cercano le operazioni «delicate» e per ciascuna si scrive una condizione. La teoria completa è nell’articolo sul dominio di una funzione; qui la ripassiamo in versione da esame.

Se c’è…	Condizione	Perché
${\frac{A(x)}{B(x)}}$	${B(x) \neq 0}$	non si divide per 0
${\sqrt[n]{A(x)}}$, $n$ pari	${A(x) \geq 0}$	una potenza pari non è mai negativa
${\log_a A(x)}$	${A(x) > 0}$	$a^y$ è sempre positivo
${\tan A(x)}$	${A(x) \neq \frac{\pi}{2} + k\pi}$	lì il coseno vale 0
${\arcsin A(x)}$, ${\arccos A(x)}$	${-1 \leq A(x) \leq 1}$	seno e coseno stanno in $[-1, 1]$
${A(x)^{B(x)}}$	${A(x) > 0}$	vale ${e^{B(x)\ln A(x)}}$

Nella tangente $k \in \mathbb{Z}$; l’ultima riga vale quando la $x$ compare all’esponente. Polinomi, radici di indice dispari, esponenziali, seno, coseno e arcotangente non danno condizioni. Una radice di indice pari al denominatore chiede $A(x) > 0$.

Come si mettono insieme le condizioni

Le condizioni devono valere tutte insieme: si mettono a sistema e il dominio è l’intersezione delle soluzioni. Conviene disegnare una retta dei numeri per ogni condizione, una sotto l’altra, e tenere le zone in cui sono tutte vere. Se un’operazione delicata sta dentro un’altra, servono le condizioni di entrambe, dall’interno verso l’esterno.

Cinque domini da esame

1. Un prodotto sotto radice. $f(x) = \sqrt{(x^2 - 1)(3 - x)}$. Serve $(x^2 - 1)(3 - x) \geq 0$. Il primo fattore è positivo per $x < -1$ e per $x > 1$, il secondo per $x < 3$. Con la regola dei segni:

$$D = (-\infty, -1] \cup [1, 3]$$

Gli estremi sono inclusi, perché $\sqrt{0} = 0$ esiste.

2. Il logaritmo di una frazione. $f(x) = \ln\frac{x^2 - 4}{x + 1}$. Serve $\frac{x^2 - 4}{x + 1} > 0$, strettamente. Il numeratore è positivo per $x < -2$ e per $x > 2$, il denominatore per $x > -1$. Con la regola dei segni (controllo: in $x = -1{,}5$ la frazione vale $\frac{-1{,}75}{-0{,}5} = 3{,}5$, positiva):

$$D = (-2, -1) \cup (2, +\infty)$$

3. La radice di un logaritmo, al denominatore. $f(x) = \frac{\sqrt{\ln(x + 2)}}{x^2 - 1}$. Dall’interno verso l’esterno:

$$\begin{cases} x + 2 > 0 \\ \ln(x + 2) \geq 0 \\ x^2 - 1 \neq 0 \end{cases}$$

La seconda equivale a $x + 2 \geq 1$, cioè $x \geq -1$, e assorbe la prima. La terza toglie $\pm 1$: $x = -1$ andrebbe bene per la radice, ma annulla il denominatore.

$$D = (-1, 1) \cup (1, +\infty)$$

4. Un esponenziale con una frazione all’esponente. $f(x) = \ln\left(1 - e^{1/x}\right)$. L’esponente chiede $x \neq 0$; il logaritmo chiede $1 - e^{1/x} > 0$, cioè $e^{1/x} < 1 = e^0$. L’esponenziale è crescente, quindi questo vuol dire $\frac{1}{x} < 0$, cioè $x < 0$:

$$D = (-\infty, 0)$$

5. Un punto isolato. $f(x) = \sqrt{x^3 - 2x^2} = \sqrt{x^2(x - 2)}$. Serve $x^2(x - 2) \geq 0$. Il fattore $x^2$ è positivo tranne in 0, dove si annulla. Quindi il prodotto è positivo o nullo per $x \geq 2$ e anche per $x = 0$:

$$D = \{0\} \cup [2, +\infty)$$

Chi «semplifica» dividendo per $x^2$ perde lo 0. Il grafico è fatto del solo punto $(0, 0)$ e di un ramo che parte da $(2, 0)$.

Esempio guida. L’unica operazione delicata è la frazione, quindi $x - 2 \neq 0$:

$$D = \mathbb{R} \setminus \{2\} = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$$

Il grafico sarà spezzato in due rami, uno a sinistra e uno a destra della retta $x = 2$.

Perché il dominio conta in tutti i passi

• Ogni estremo escluso o infinito del dominio è un punto in cui, nel passo 4, calcolerai un limite: nell’esempio guida $-\infty$, $2^-$, $2^+$ e $+\infty$ (vedi limiti e asintoti nello studio di funzione).
• Uno zero di $f$, $f'$ o $f''$ fuori dal dominio non conta.
• Vicino a un punto isolato, come lo 0 dell’esempio 5, non ci sono altri punti del dominio: niente limiti né derivate, sul grafico c’è solo un pallino pieno.
• Dominio naturale o assegnato. Se il testo dice «studia $f$ in $[0, 2\pi]$», o se $x$ è una lunghezza, il dominio è quello assegnato, intersecato con quello naturale. Nei suoi estremi inclusi si calcola semplicemente il valore di $f$.

Passo 2: le simmetrie

Il significato geometrico: se $(x, y)$ sta sul grafico di una funzione pari, ci sta anche $(-x, y)$, il suo riflesso rispetto all’asse $y$. Per una dispari ci sta $(-x, -y)$, che si ottiene con mezzo giro attorno all’origine. La teoria generale è nelle funzioni pari, dispari e periodiche; qui ci interessa il controllo veloce.

Come si controlla. Prima il dominio: se non è simmetrico, la funzione non è né pari né dispari. Altrimenti si calcola $f(-x)$, si semplifica e si confronta con $f(x)$ e con $-f(x)$.

• $f(x) = x\sin x$: $\ f(-x) = (-x)\sin(-x) = (-x)(-\sin x) = x\sin x$. È pari.
• $f(x) = \frac{x^3}{\lvert x \rvert + 1}$: $\ f(-x) = \frac{-x^3}{\lvert x \rvert + 1} = -f(x)$, perché $\lvert -x \rvert = \lvert x \rvert$. È dispari.
• $f(x) = x\,e^x$: $\ f(1) = e$ e $f(-1) = -\frac{1}{e}$, né uguali né opposti. Né pari né dispari, eppure $f(0) = 0$: passare per l’origine non basta per essere dispari.
• Esempio guida: il dominio contiene $-2$ ma non $2$, quindi non è simmetrico. Nessuna simmetria, senza bisogno di calcolare $f(-x)$.

Un valore smentisce, non dimostra. Per dire che $f$ non è pari basta un controesempio. Per dire che è pari un valore non basta: $x^3 - x$ ha $f(1) = f(-1) = 0$, ma è dispari. Serve $f(-x)$ per una $x$ qualunque.

Prodotti e quozienti. Potenze pari, coseno e $\lvert x \rvert$ sono pari; potenze dispari, seno, tangente e arcotangente sono dispari. Nei prodotti e nei quozienti vale la regola dei segni: pari per pari e dispari per dispari danno pari, pari per dispari dà dispari. Perché è vero, per esempio con due funzioni dispari $f$ e $g$ sullo stesso dominio simmetrico:

$$\begin{gathered} (fg)(-x) = f(-x)\,g(-x) \\ {} = \bigl(-f(x)\bigr)\bigl(-g(x)\bigr) = f(x)\,g(x) \end{gathered}$$

Gli altri casi sono analoghi. Così $x\sin x$ è pari senza conti. Una pari più una dispari, invece, in generale non è né l’una né l’altra, come $x^2 + x$.

Cosa ci guadagni. Se $f$ è pari o dispari basta studiarla per $x \geq 0$ e completare il grafico per simmetria. Gli zeri vengono a coppie $\pm x_0$; per una dispari il segno in $-x$ è opposto a quello in $x$, e se 0 sta nel dominio $f(0) = 0$, perché $f(0) = -f(0)$.

Le funzioni periodiche. Se esiste $T > 0$ con $f(x + T) = f(x)$ per ogni $x$ del dominio (e $x + T$ ancora nel dominio), il grafico si ripete ogni $T$: basta studiarlo su un intervallo lungo $T$. Per esempio $\cos(2x) - 2\cos x$ ha periodo $2\pi$, che va bene per entrambi i termini. In più è pari, quindi basta $[0, \pi]$: la parità dà $[-\pi, 0]$, la periodicità il resto. Ne parliamo nello studio di funzione goniometrica.

Passo 3: le intersezioni con gli assi

• Con l’asse $y$: se 0 sta nel dominio, il punto $(0, f(0))$. Ce n’è al massimo uno, perché a ogni $x$ la funzione associa un solo valore; se 0 non sta nel dominio, nessuno.
• Con l’asse $x$: le soluzioni di $f(x) = 0$ che stanno nel dominio, cioè gli zeri: tanti, uno o nessuno. Per una frazione sono gli zeri del numeratore che non annullano il denominatore: $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ si annulla solo in $-2$, perché 2 è escluso.

Esempio guida. Con l’asse $y$: $f(0) = \frac{0 - 3}{0 - 2} = \frac{3}{2}$, il punto $\left(0, \frac{3}{2}\right)$. Con l’asse $x$: $x^2 - 3 = 0$ per $x = \pm\sqrt{3} \approx \pm 1{,}73$, che stanno nel dominio. I punti sono $(-\sqrt{3}, 0)$ e $(\sqrt{3}, 0)$.

Passo 3: lo studio del segno

Studiare il segno vuol dire risolvere la disequazione $f(x) > 0$ dentro il dominio. Il motivo è semplice: il punto del grafico di ascissa $x$ ha ordinata $f(x)$. Dove $f(x) > 0$ il grafico sta sopra l’asse $x$, dove $f(x) < 0$ sta sotto, negli zeri sta sull’asse.

La tabella dei segni

Per un prodotto o un quoziente non si risolve tutto in un colpo: si studia ogni fattore e si combinano i segni.

1. Scomponi numeratore e denominatore in fattori semplici.
2. Per ogni fattore, denominatore compreso, risolvi «fattore $> 0$».
3. Metti in ordine tutti i punti in cui un fattore si annulla, compresi quelli esclusi dal dominio: dividono la retta in intervalli.
4. In ogni intervallo applica la regola dei segni: un numero pari di fattori negativi dà $+$, un numero dispari dà $-$.
5. Negli zeri del numeratore $f$ vale 0, in quelli del denominatore non esiste.

Esempio guida. Il numeratore $x^2 - 3$ è positivo per $x < -\sqrt{3}$ e per $x > \sqrt{3}$; il denominatore $x - 2$ per $x > 2$. I punti da mettere in ordine sono $-\sqrt{3}$, $\sqrt{3}$ e $2$:

Intervallo	Num. / Den.	$f(x)$
${(-\infty, -\sqrt{3})}$	$+\ /\ -$	$-$
${(-\sqrt{3}, \sqrt{3})}$	$-\ /\ -$	$+$
${(\sqrt{3}, 2)}$	$+\ /\ -$	$-$
${(2, +\infty)}$	$+\ /\ +$	$+$

Quindi $f$ è positiva in $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$ e in $(2, +\infty)$, negativa in $(-\infty, -\sqrt{3})$ e in $(\sqrt{3}, 2)$. Controllo veloce: $f(0) = \frac{3}{2}$ è positivo, e infatti 0 sta in $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$.

Radici doppie: il segno non sempre cambia

Un fattore come $(x - 1)^2$ si annulla in 1, ma è positivo sia a sinistra sia a destra: un quadrato non è mai negativo. Lì la funzione vale zero ma non cambia segno, e il grafico tocca l’asse $x$ senza attraversarlo. In generale, se $a$ è una radice di molteplicità $k$, il fattore $(x - a)^k$ ha il segno di $x - a$ quando $k$ è dispari ed è positivo (fuori da $a$) quando $k$ è pari. Quindi, se gli altri fattori non si annullano in $a$, la funzione cambia segno in $a$ solo se $k$ è dispari.

Ecco la tabella disegnata come sul foglio per $g(x) = \frac{(x + 2)(x - 1)^2}{x - 3}$: linea continua dove un fattore è positivo, tratteggiata dove è negativo.

Risultato: $g > 0$ per $x < -2$ e per $x > 3$, $g < 0$ in $(-2, 1)$ e in $(1, 3)$. In 1 il segno resta $-$ da entrambe le parti: il grafico tocca l’asse e torna giù. Nelle funzioni razionali fratte la regola vale anche per le radici del denominatore.

Esponenziali, logaritmi e radici

• Un esponenziale $e^{A(x)}$ è sempre positivo: in un prodotto non cambia il segno e si può ignorare (le condizioni su $A(x)$ restano nel dominio).
• Fattori come $e^x - 2$ si studiano con la monotonia, come nelle disequazioni esponenziali: $e^x - 2 > 0 \iff x > \ln 2$.
• Un logaritmo si confronta con 1, non con 0: $\ln A(x) > 0 \iff A(x) > 1$. Con base tra 0 e 1 è il contrario: $\log_{1/2} A(x) > 0 \iff 0 < A(x) < 1$. Vedi il segno delle funzioni logaritmiche e le disequazioni logaritmiche.
• Radici di indice pari e valori assoluti sono positivi o nulli.
• Con seno e coseno si studia il segno su un periodo, come nei sistemi di disequazioni goniometriche.

Perché il segno non cambia tra due zeri consecutivi

Dietro la tabella c’è un teorema. Il teorema degli zeri dice: se $f$ è continua sull’intervallo chiuso $[a, b]$ e $f(a)$, $f(b)$ hanno segni opposti, allora esiste almeno un punto $c \in (a, b)$ con $f(c) = 0$.

Conseguenza. Se $f$ è continua su un intervallo $I$ e non si annulla mai in $I$, ha lo stesso segno in tutto $I$. Se fosse positiva in un punto $p$ e negativa in un punto $q$ di $I$, il teorema applicato tra $p$ e $q$ darebbe uno zero, che non c’è. Le funzioni elementari sono continue sugli intervalli del loro dominio: tra due punti consecutivi della tabella il segno è costante, e per conoscerlo basta un valore di prova.

Le ipotesi servono: $\frac{1}{x}$ passa da negativa a positiva senza annullarsi, perché il suo dominio non è un intervallo. Lo stesso succede in $x = 2$ nell’esempio guida.

Sbarrare le zone del piano

Ora riportiamo tutto sul disegno. Il metodo classico è sbarrare (tratteggiare) le zone in cui il grafico non può passare:

1. le strisce verticali sopra gli intervalli esclusi dal dominio;
2. dove $f > 0$, la parte sotto l’asse $x$;
3. dove $f < 0$, la parte sopra l’asse $x$;
4. infine si segnano le intersezioni con gli assi.

Per l’esempio guida:

Il grafico vive solo nelle zone bianche. Passa da sopra a sotto l’asse $x$ solo in uno zero, oppure «saltando» in un punto escluso dal dominio, come $x = 2$. È uno scheletro che ogni passo successivo dovrà rispettare: il massimo relativo $(1, 2)$ che troveremo in massimi e minimi di una funzione sta proprio nella zona bianca sopra l’asse tra $-\sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$. Se un punto calcolato finisce in una zona sbarrata, c’è un errore da cercare.

Quando l’equazione non si risolve

Non sempre $f(x) = 0$ si risolve con l’algebra. Prendi $f(x) = e^x + x - 3$: l’equazione $e^x = 3 - x$ mescola un esponenziale e un polinomio, e nessun passaggio isola la $x$. Il teorema degli zeri, però, dice dove sta lo zero.

• Esistenza. $f$ è continua, $f(0) = 1 - 3 = -2 < 0$ e $f(1) = e - 2 \approx 0{,}72 > 0$: c’è uno zero $c$ in $(0, 1)$.
• Unicità. $e^x$ e $x - 3$ sono strettamente crescenti, quindi lo è la loro somma: $f$ si annulla al massimo una volta.
• Bisezione. Si calcola $f$ nel punto medio e si tiene la metà in cui avviene il cambio di segno.

Punto medio	$f$ nel punto	Nuovo intervallo
$0{,}5$	$-0{,}85$	$(0{,}5;\ 1)$
$0{,}75$	$-0{,}13$	$(0{,}75;\ 1)$
$0{,}875$	$+0{,}27$	$(0{,}75;\ 0{,}875)$
$0{,}8125$	$+0{,}07$	$(0{,}75;\ 0{,}8125)$

Dopo quattro passi lo zero sta tra $0{,}75$ e $0{,}8125$; continuando, $c \approx 0{,}792$. Essendo $f$ crescente, $f < 0$ per $x < c$ e $f > 0$ per $x > c$. All’esame si chiama lo zero $c$, si scrive l’intervallo che lo contiene e lo si usa come un numero qualunque.

Un po’ di storia: la funzione non è la sua formula

Nel 1748 Eulero, nell’Introductio in analysin infinitorum, chiamava funzione «un’espressione analitica composta in qualsiasi modo» dalla variabile e da costanti: la funzione era la formula. Nel 1837 Dirichlet, in un articolo sulle serie di Fourier, scrisse che basta che a ogni $x$ di un intervallo corrisponda un solo $y$, anche senza una legge esprimibile con operazioni matematiche. È un’idea molto vicina alla definizione moderna, che distingue la funzione dalla sua formula. Quando hai solo la formula, il dominio naturale ricostruisce la parte mancante.

Gli errori più comuni

• Semplificare prima di calcolare il dominio. $\frac{x^2 - 2x}{x}$ non è definita in 0, anche se si semplifica in $x - 2$: il grafico è una retta con un buco nel punto $(0, -2)$.
• Dividere per un fattore che può annullarsi. In $\sqrt{x^2(x - 2)}$, «semplificare» $x^2$ fa perdere il punto isolato $x = 0$.
• Spezzare logaritmi e radici prima del dominio. $\ln\left((x - 1)^2\right)$ esiste per ogni $x \neq 1$, mentre $2\ln(x - 1)$ solo per $x > 1$.
• Cercare simmetrie con un dominio non simmetrico, o dedurre la disparità da $f(0) = 0$ e la parità da un solo valore come $f(1) = f(-1)$.
• Confondere esistenza e segno del logaritmo. $\ln A$ esiste per $A > 0$, ma è positivo solo per $A > 1$.
• Cambiare segno in una radice doppia. $(x - a)^2$ non cambia segno in $a$.
• Usare la regola dei segni per il dominio. Le condizioni di esistenza si intersecano, i segni dei fattori si moltiplicano.

Esercizi svolti

1. Il dominio di due funzioni composte

Testo. Trova il dominio di $f(x) = \arcsin(\ln x)$ e quello di $g(x) = \ln(\arcsin x)$.

Per $f$, dall’interno: il logaritmo chiede $x > 0$, l’arcoseno chiede che il suo argomento stia tra $-1$ e $1$. Applicando l’esponenziale, che è crescente, a tutti e tre i membri:

$$\begin{gathered} -1 \leq \ln x \leq 1 \\ e^{-1} \leq x \leq e \end{gathered}$$

La condizione $x > 0$ è già compresa, quindi $D_f = \left[\frac{1}{e}, e\right]$, circa $[0{,}37;\ 2{,}72]$.

Per $g$: l’arcoseno chiede $-1 \leq x \leq 1$, il logaritmo chiede $\arcsin x > 0$. L’arcoseno è crescente e vale 0 in 0, quindi $\arcsin x > 0$ per $0 < x \leq 1$: $D_g = (0, 1]$. Le stesse due funzioni, composte in ordine inverso, danno domini diversi: con una funzione composta si parte sempre da quella più interna.

2. Pari, dispari o nessuna delle due?

Testo. Stabilisci se sono pari, dispari o né l’una né l’altra: $f(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 1}$, $\ g(x) = \frac{x^3 + x^2}{x + 1}$, $\ h(x) = \frac{e^x}{e^{2x} + 1}$.

La prima. Il denominatore non si annulla mai, quindi il dominio è $\mathbb{R}$. Moltiplicando numeratore e denominatore per $e^x$:

$$\begin{gathered} f(-x) = \frac{e^{-x} - 1}{e^{-x} + 1} = \frac{1 - e^x}{1 + e^x} \\ {} = -\frac{e^x - 1}{e^x + 1} = -f(x) \end{gathered}$$

È dispari.

La seconda. È una trappola: $g(x) = \frac{x^2(x + 1)}{x + 1}$ sembra $x^2$, che è pari. Ma il dominio è $x \neq -1$: contiene 1 e non $-1$, quindi non è simmetrico. $g$ non è né pari né dispari: $g(1) = 1$ esiste, $g(-1)$ no.

La terza. Dominio $\mathbb{R}$. Moltiplicando numeratore e denominatore per $e^{2x}$:

$$\begin{gathered} h(-x) = \frac{e^{-x}}{e^{-2x} + 1} \\ {} = \frac{e^{-x} \cdot e^{2x}}{\left(e^{-2x} + 1\right) e^{2x}} \\ {} = \frac{e^{x}}{1 + e^{2x}} = h(x) \end{gathered}$$

È pari, anche se a prima vista non si direbbe: il calcolo di $h(-x)$ batte l’occhio.

3. Il segno di una frazione con una radice doppia

Testo. Studia il segno di $f(x) = \frac{x^3 - 4x^2 + 4x}{x^2 - 9}$ e trova le intersezioni con gli assi.

Scomponiamo: $x^3 - 4x^2 + 4x = x(x^2 - 4x + 4) = x(x - 2)^2$ e $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$, quindi

$$f(x) = \frac{x\,(x - 2)^2}{(x - 3)(x + 3)}$$

Il dominio è $x \neq \pm 3$. Intersezioni: $f(0) = 0$, quindi il grafico passa per l’origine; gli zeri sono $x = 0$ e $x = 2$, entrambi nel dominio.

Segno dei fattori: il fattore $x$ è positivo per $x > 0$; $(x - 2)^2$ è positivo per ogni $x \neq 2$ e non conta; $x^2 - 9 > 0$ per $x < -3$ e per $x > 3$. I punti in ordine sono $-3$, $0$, $2$, $3$:

Intervallo	$x$ / ${x^2 - 9}$	$f(x)$
${(-\infty, -3)}$	$-\ /\ +$	$-$
${(-3, 0)}$	$-\ /\ -$	$+$
${(0, 3)}$, ${x \neq 2}$	$+\ /\ -$	$-$
${(3, +\infty)}$	$+\ /\ +$	$+$

Quindi $f > 0$ in $(-3, 0)$ e in $(3, +\infty)$, $f < 0$ in $(-\infty, -3)$, in $(0, 2)$ e in $(2, 3)$. Prova: $f(1) = \frac{1 \cdot 1}{-8} = -\frac{1}{8}$, negativo. In 0, radice semplice, il grafico attraversa l’asse; in 2, radice doppia, lo tocca dal basso e torna giù.

4. Il segno con esponenziali e logaritmi

Testo. Trova dominio, intersezioni con gli assi e segno di $f(x) = (e^x - 2)\ln(3 - x)$.

Dominio. $3 - x > 0$, cioè $D = (-\infty, 3)$.

Intersezioni. $f(0) = (1 - 2)\ln 3 = -\ln 3 \approx -1{,}10$: il punto $(0, -\ln 3)$. Gli zeri: $e^x = 2$ per $x = \ln 2 \approx 0{,}69$; $\ln(3 - x) = 0$ per $3 - x = 1$, cioè $x = 2$. Entrambi nel dominio.

Segno. $e^x - 2 > 0 \iff x > \ln 2$, perché l’esponenziale è crescente. $\ln(3 - x) > 0 \iff 3 - x > 1 \iff x < 2$: il logaritmo si confronta con 1.

Intervallo	Fattori	$f(x)$
${(-\infty, \ln 2)}$	$-\ /\ +$	$-$
${(\ln 2, 2)}$	$+\ /\ +$	$+$
${(2, 3)}$	$+\ /\ -$	$-$

$f$ è positiva in $(\ln 2, 2)$ e negativa in $(-\infty, \ln 2)$ e in $(2, 3)$. Coerente con $f(0) < 0$, visto che $0 < \ln 2$.

5. I primi tre passi, con le zone sbarrate

Testo. Per $f(x) = (4 - x^2)\sqrt{x + 3}$ trova dominio, simmetrie, intersezioni con gli assi e segno, e sbarra le zone del piano in cui il grafico non può passare.

Dominio. La radice chiede $x + 3 \geq 0$: $D = [-3, +\infty)$.

Simmetrie. Il dominio contiene 4 ma non $-4$: non è simmetrico, quindi nessuna simmetria.

Intersezioni. $f(0) = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93$: il punto $(0, 4\sqrt{3})$. Gli zeri sono $\pm 2$, dove $4 - x^2 = 0$, e $-3$, dove si annulla la radice.

Segno. La radice è positiva per $x > -3$: conta solo $4 - x^2$, positivo tra le radici. Quindi $f > 0$ in $(-2, 2)$, $f < 0$ in $(-3, -2)$ e in $(2, +\infty)$.

Zone. Si sbarra la striscia $x < -3$, la parte sopra l’asse in $(-3, -2)$ e in $(2, +\infty)$, quella sotto in $(-2, 2)$. In figura c’è anche, per controllo, il grafico vero, che otterresti con limiti e derivate: passa solo nelle zone bianche.

Il grafico parte da $(-3, 0)$, sta sotto l’asse fino a $-2$, sopra fino a $2$, poi di nuovo sotto.

6. Uno zero che non si calcola

Testo. Studia il segno di $f(x) = \ln x - \frac{1}{x}$, localizzando il suo zero in un intervallo di ampiezza minore di $0{,}2$.

Dominio. Il logaritmo chiede $x > 0$, che esclude anche lo 0 del denominatore. L’equazione $\ln x = \frac{1}{x}$ non si risolve con l’algebra.

Unicità. $\ln x$ è strettamente crescente, e anche $-\frac{1}{x}$ su $(0, +\infty)$. La somma è strettamente crescente: al massimo uno zero.

Esistenza. $f$ è continua su $[1, 2]$, con $f(1) = 0 - 1 = -1 < 0$ e $f(2) = \ln 2 - \frac{1}{2} \approx 0{,}19 > 0$. Per il teorema degli zeri c’è uno zero $c \in (1, 2)$.

Bisezione. Tre passi:

$$\begin{gathered} f(1{,}5) \approx 0{,}405 - 0{,}667 \approx -0{,}26 \\ f(1{,}75) \approx 0{,}560 - 0{,}571 \approx -0{,}01 \\ f(1{,}875) \approx 0{,}629 - 0{,}533 \approx 0{,}10 \end{gathered}$$

Gli intervalli diventano $(1{,}5;\ 2)$, poi $(1{,}75;\ 2)$, poi $(1{,}75;\ 1{,}875)$, ampio $0{,}125$. Quindi $1{,}75 < c < 1{,}875$ (con un calcolatore, $c \approx 1{,}763$). Poiché $f$ è crescente, $f < 0$ in $(0, c)$ e $f > 0$ per $x > c$.

Per allenarti su studi completi, dal dominio al grafico, trovi altri esercizi negli esercizi svolti sullo studio di funzione.

In sintesi

• Dominio: denominatori $\neq 0$, radicandi di indice pari $\geq 0$, argomenti dei logaritmi $> 0$, arcoseno e arcocoseno di argomenti in $[-1, 1]$; condizioni a sistema, prima di semplificare.
• Simmetrie: solo con dominio simmetrico. $f(-x) = f(x)$: pari (asse $y$); $f(-x) = -f(x)$: dispari (origine). Basta studiare $x \geq 0$; per una periodica, un periodo.
• Intersezioni: $(0, f(0))$ se 0 sta nel dominio; gli zeri risolvono $f(x) = 0$ nel dominio.
• Segno: tabella dei segni con tutti i punti critici; $(x - a)^k$ cambia segno solo se $k$ è dispari; $e^{A} > 0$; $\ln A > 0 \iff A > 1$.
• Teorema degli zeri: una funzione continua su un intervallo, senza zeri, ha segno costante; con la bisezione localizza gli zeri che non si calcolano.
• Zone sbarrate: il grafico sta nelle zone bianche e cambia lato solo negli zeri o nei punti esclusi.

Ora sappiamo dove il grafico può stare. Il passo successivo è capire cosa fa ai bordi del dominio: limiti e asintoti nello studio di funzione.