Concavità, convessità e punti di flesso: derivata seconda, metodo ed esercizi svolti

La concavità dice come si piega il grafico di una funzione: verso l’alto (funzione convessa) o verso il basso (funzione concava). I punti in cui il verso cambia sono i punti di flesso. Si studia con il segno della derivata seconda ed è il sesto passo dello studio di funzione: all’esame serve per disegnare il grafico, ma anche per dimostrare disuguaglianze e contare le soluzioni di un’equazione. In questa pagina vediamo la definizione con le corde e con le tangenti, il criterio della derivata seconda con la dimostrazione, le disuguaglianze che ne seguono, i flessi e i loro tipi, la scaletta con tre esempi, la conclusione dell’esempio guida del capitolo, la disuguaglianza di Jensen, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Convessa e concava: l’idea

Sappiamo dove il grafico sale e dove scende. Ma si può salire sempre più ripidi, come una rampa che si impenna, o sempre più dolcemente, come una strada in cima a una collina. Nel primo caso la pendenza aumenta e il grafico curva verso l’alto, come una $\cup$: è convesso. Nel secondo la pendenza diminuisce e il grafico curva verso il basso, come una $\cap$: è concavo. Se la pendenza $f'$ aumenta o diminuisce lo dice la sua derivata, la derivata seconda $f''$ (vedi le derivate successive).

Per una funzione convessa le corde, i segmenti tra due punti del grafico, stanno sopra il grafico e le tangenti sotto; per una concava è il contrario.

Alle superiori si dice anche «concavità rivolta verso l’alto» per convessa e «verso il basso» per concava.

La definizione con le corde

A sinistra c’è l’altezza del grafico in un punto tra $x_1$ e $x_2$, a destra quella della corda nello stesso punto: tra due punti qualsiasi, il grafico sta sotto la corda. Con $t = \frac{1}{2}$: il valore nel punto medio non supera la media dei valori agli estremi.

Un esempio senza derivate. $f(x) = x^2$ è strettamente convessa. Sviluppando il quadrato e raccogliendo:

$$\begin{gathered} t\,x_1^2 + (1 - t)\,x_2^2 - \big(t\,x_1 + (1 - t)\,x_2\big)^2 \\ {} = t\,(1 - t)\,(x_1 - x_2)^2 \end{gathered}$$

positivo se $x_1 \neq x_2$ e $0 < t < 1$. La definizione non chiede derivate: anche $\lvert x \rvert$, con il suo punto angoloso, è convessa, per la disuguaglianza triangolare. Le rette sono convesse e concave, ma non strettamente.

Tangenti e derivata seconda

Per ricordarlo: $f'' > 0$ fa un sorriso, $\cup$; $f'' < 0$ il broncio, $\cap$. Attenzione: $x^4$ è strettamente convessa, ma $f''(0) = 0$.

Perché è vero

Che $f'' \geq 0$ equivalga a $f'$ crescente è il test di monotonia applicato a $f'$. Dimostriamo che se $f'$ è crescente, il grafico sta sopra le tangenti e sotto le corde; il viceversa (si confrontano le pendenze delle corde) lo saltiamo.

Sopra le tangenti. Fissa $x_0$ e prendi $x > x_0$. Per il teorema di Lagrange esiste $c$ tra $x_0$ e $x$ con

$$f(x) - f(x_0) = f'(c)\,(x - x_0)$$

Siccome $c > x_0$ e $f'$ cresce, $f'(c) \geq f'(x_0)$; moltiplicando per $x - x_0 > 0$ si ottiene $f(x) - f(x_0) \geq f'(x_0)\,(x - x_0)$. Se $x < x_0$ si rovesciano entrambe ($f'(c) \leq f'(x_0)$ e $x - x_0 < 0$) e il risultato non cambia. Se $f'' \geq 0$, con la formula di Taylor con il resto di Lagrange è una riga: $f(x)$ meno la tangente vale $\frac{f''(c)}{2}(x - x_0)^2 \geq 0$.

Sotto le corde. Chiama $z = t\,x_1 + (1 - t)\,x_2$ e scrivi la disuguaglianza della tangente in $z$ per $x = x_1$ e per $x = x_2$:

$$\begin{gathered} f(x_1) \geq f(z) + f'(z)\,(x_1 - z) \\ f(x_2) \geq f(z) + f'(z)\,(x_2 - z) \end{gathered}$$

Moltiplica la prima per $t \geq 0$, la seconda per $1 - t \geq 0$ e somma: i termini con $f'(z)$ danno $f'(z)\,\big(t\,x_1 + (1 - t)\,x_2 - z\big) = 0$, e resta $t\,f(x_1) + (1 - t)\,f(x_2) \geq f(z)$, la definizione. Quindi una funzione derivabile che sta sopra tutte le sue tangenti è convessa.

I punti stazionari di una funzione convessa

Se $f$ è derivabile e convessa su un intervallo e $f'(x_0) = 0$, il grafico sta sopra la tangente orizzontale: $x_0$ è un minimo assoluto sull’intervallo. È l’idea del test della derivata seconda ($f'(x_0) = 0$ e $f''(x_0) > 0$: minimo; $f''(x_0) < 0$: massimo), dimostrato insieme al criterio delle derivate successive in massimi e minimi.

Disuguaglianze in una riga

Basta scegliere la tangente giusta. $(e^x)'' = e^x > 0$, quindi $e^x$ è strettamente convessa e sta sopra la sua tangente in 0, $y = 1 + x$. $(\ln x)'' = -\frac{1}{x^2} < 0$, quindi il logaritmo è strettamente concavo e sta sotto la sua tangente in 1, $y = x - 1$. $(\sin x)'' = -\sin x \leq 0$ su $[0, \pi]$, quindi lì il seno è concavo e sta sotto la tangente in 0, $y = x$; per $x > \pi$, poi, $\sin x \leq 1 < x$. In tutto:

$$\begin{gathered} e^x \geq 1 + x \quad \text{per ogni } x \\ \ln x \leq x - 1 \quad \text{per ogni } x > 0 \\ \sin x \leq x \quad \text{per ogni } x \geq 0 \end{gathered}$$

con l’uguaglianza solo nel punto di contatto. La prima è dimostrata studiando $e^x - x - 1$ nelle disequazioni esponenziali fratte, la terza con la monotonia negli esercizi su Rolle e Lagrange: qui escono tutte dallo stesso teorema.

Una retta incontra una convessa al massimo in due punti

Perché è vero. Tra $x_1$ e $x_2$ la retta è la corda, e il grafico le sta strettamente sotto. Se in un punto $x_3 > x_2$ il grafico stesse sulla retta o sotto, anche la corda tra $x_1$ e $x_3$ starebbe sulla retta o sotto, e il punto del grafico in $x_2$, che sta sulla retta, dovrebbe stare strettamente sotto quella corda: assurdo. Quindi dopo $x_2$ il grafico sta sopra la retta; prima di $x_1$ è uguale.

Così la retta per $(0, 1)$ e $(1, e)$, cioè $y = (e - 1)x + 1$, incontra $e^x$ solo in 0 e in 1, e in mezzo l’esponenziale sta sotto: in $x = \frac{1}{2}$ vale $\sqrt{e} \approx 1{,}65$ contro $\frac{e + 1}{2} \approx 1{,}86$. È ciò che serve nel calcolo delle aree con gli integrali.

Con due curve: se $f$ è strettamente convessa e $g$ concava, $f - g$ è strettamente convessa e si annulla al massimo due volte. Per questo $\ln x = x^2 - 2$ ha al massimo due soluzioni (e ne ha proprio due).

I punti di flesso

La tangente in un flesso si chiama tangente inflessionale e attraversa il grafico: se non è verticale, dalla parte convessa il grafico le sta sopra, da quella concava sotto. Il flesso si dice:

• a tangente orizzontale, se $f'(x_0) = 0$, come $x^3$ in 0: è un punto stazionario che non è né massimo né minimo;
• a tangente obliqua, se $f'(x_0)$ è un numero diverso da zero;
• a tangente verticale, se la derivata è infinita, come $\sqrt[3]{x}$ in 0: $f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \to +\infty$, e $f''(x) = -\frac{2}{9x\sqrt[3]{x^2}}$ passa da positiva a negativa (vedi derivabilità e continuità).

Dove cercarli

Perché è vero. Se $f''(x_0)$ esiste, $f$ è derivabile vicino a $x_0$. Per il criterio, $f'$ cresce dalla parte convessa e decresce da quella concava: $x_0$ è un massimo o un minimo relativo di $f'$, e per il teorema di Fermat applicato a $f'$ si ha $f''(x_0) = 0$. Nel flesso la pendenza è la più alta, o la più bassa, dei dintorni.

La condizione ha due limiti.

• Non basta. $x^4$ ha $f''(x) = 12x^2$, nulla in 0 ma positiva prima e dopo: è convessa ovunque, e in 0 ha un minimo.
• Vale solo se $f''$ esiste. $\sqrt[3]{x}$ ha in 0 un flesso, ma lì non esiste nemmeno $f'$. E $x^{5/3}$, con $f'(x) = \frac{5}{3}\sqrt[3]{x^2}$ e $f''(x) = \frac{10}{9\sqrt[3]{x}}$, ha in 0 un flesso a tangente orizzontale dove $f''$ non esiste.

I candidati sono quindi i punti del dominio in cui $f''$ si annulla o non esiste, e decide il cambio di segno di $f''$. In alternativa c’è il criterio delle derivate successive: se $f$ è derivabile $n$ volte in $x_0$, con $n \geq 3$, $f''(x_0) = \dots = f^{(n-1)}(x_0) = 0$ e $f^{(n)}(x_0) \neq 0$, c’è un flesso se $n$ è dispari, non c’è se $n$ è pari. Il motivo è lo stesso del criterio per massimi e minimi: per Taylor, vicino a $x_0$ la derivata seconda ha il segno di $f^{(n)}(x_0)\,(x - x_0)^{n-2}$. Per $x^4$ la prima derivata non nulla in 0 è la quarta (niente flesso), per $x^5$ la quinta (flesso).

La scaletta

1. Calcola $f''$ e scomponila in fattori, senza sviluppare le potenze al denominatore.
2. Trova i candidati: zeri di $f''$ e punti del dominio in cui $f''$ non esiste.
3. Fai la tabella del segno di $f''$, con anche i punti esclusi dal dominio.
4. Leggi la concavità: $f'' > 0$ convessa, $f'' < 0$ concava.
5. Individua i flessi: candidati del dominio in cui $f''$ cambia segno e il grafico ha tangente. Calcola $f(x_0)$, $f'(x_0)$ e la tangente $y = f(x_0) + f'(x_0)\,(x - x_0)$.
6. Controlla la coerenza con $f'$: tra un massimo e un minimo stazionari consecutivi, con $f''$ continua, la concavità cambia almeno una volta.

Tre esempi

Esempio 1: le cubiche. $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ ha $f''(x) = 6x - 6$: concava per $x < 1$, convessa per $x > 1$. In 1 cambia segno, quindi $(1, 0)$ è un flesso. La pendenza lì è $f'(1) = 3 - 6 = -3$: la tangente inflessionale è $y = -3x + 3$, e il flesso è a tangente obliqua. Vale per ogni polinomio di terzo grado $ax^3 + bx^2 + cx + d$: $f''(x) = 6ax + 2b$ si annulla, cambiando segno, solo in $x = -\frac{b}{3a}$, quindi c’è sempre uno e un solo flesso. Per la $x^3 - 3x$ della guida è l’origine.

Esempio 2. $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$. La derivata prima è

$$f'(x) = \frac{(x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$$

positiva tra $-1$ e $1$: minimo in $\left(-1, -\frac{1}{2}\right)$, massimo in $\left(1, \frac{1}{2}\right)$. Per la derivata seconda non sviluppare la potenza al denominatore: derivala com’è e semplifica un fattore $(x^2 + 1)$:

$$\begin{gathered} f''(x) = \frac{\begin{gathered}-2x(x^2 + 1)^2 \\ {} - (1 - x^2) \cdot 2(x^2 + 1) \cdot 2x\end{gathered}}{(x^2 + 1)^4} \\ {} = \frac{-2x(x^2 + 1) - 4x(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^3} \end{gathered}$$

Sviluppando il numeratore, $-2x^3 - 2x - 4x + 4x^3 = 2x^3 - 6x$, quindi

$$f''(x) = \frac{2x(x^2 - 3)}{(x^2 + 1)^3}$$

Il denominatore è sempre positivo. Il numeratore si annulla in $0$ e in $\pm\sqrt{3}$:

Intervallo	$f''(x)$	$f(x)$
${(-\infty, -\sqrt{3})}$	$-$	$\cap$
${(-\sqrt{3}, 0)}$	$+$	$\cup$
${(0, \sqrt{3})}$	$-$	$\cap$
${(\sqrt{3}, +\infty)}$	$+$	$\cup$

Tre flessi, tutti a tangente obliqua: in $(0, 0)$ la tangente è $y = x$, perché $f'(0) = 1$; in $x = \pm\sqrt{3}$ le ordinate sono $\pm\frac{\sqrt{3}}{4} \approx \pm 0{,}43$ e la pendenza è $-\frac{1}{8}$.

Esempio 3: la curva a S. La funzione logistica

$$f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}$$

ha gli asintoti orizzontali $y = 0$ a $-\infty$ e $y = 1$ a $+\infty$. Derivando $(1 + e^{-x})^{-1}$ e poi il quoziente:

$$\begin{gathered} f'(x) = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2} \\ f''(x) = \frac{e^{-x}\,(e^{-x} - 1)}{(1 + e^{-x})^3} \end{gathered}$$

$f' > 0$: cresce ovunque. $f''$ ha il segno di $e^{-x} - 1$, positivo per $x < 0$ e negativo per $x > 0$: convessa a sinistra, concava a destra, con un flesso in $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ e tangente $y = \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$, perché $f'(0) = \frac{1}{4}$. È la curva a S della figura dei tre tipi di flesso.

Prima del flesso la pendenza cresce, dopo cala: il flesso è dove la funzione cresce più in fretta. Se $f$ descrive i casi totali di un’epidemia, come in questo modello, il flesso è il giorno del picco dei casi nuovi: poi si cresce ancora, ma sempre più piano. Col nome di sigmoide, questa curva è una classica funzione di attivazione delle reti neurali.

Altri flessi li trovi negli studi completi: esponenziale, logaritmica, irrazionale, con valore assoluto e goniometrica.

L’esempio guida: si chiude il cerchio

Torniamo a $f(x) = \frac{x^2 - 3}{x - 2}$, la funzione seguita in tutto il capitolo. Conviene la forma trovata con la divisione:

$$\begin{gathered} f(x) = x + 2 + \frac{1}{x - 2} \\ {} \Longrightarrow f'(x) = 1 - \frac{1}{(x - 2)^2} \\ {} \Longrightarrow f''(x) = \frac{2}{(x - 2)^3} \end{gathered}$$

Il cubo $(x - 2)^3$ ha il segno di $x - 2$: la funzione è concava per $x < 2$ e convessa per $x > 2$. La concavità cambia in $x = 2$, che però è fuori dal dominio: nessun flesso.

Tutto torna: il massimo $(1, 2)$ sta nella parte concava, il minimo $(3, 6)$ in quella convessa ($f''(1) = -2$, $f''(3) = 2$). Ecco il quadro completo, con i passi precedenti (dominio e segno, limiti e asintoti, massimi e minimi):

Passo	Risultato
Dominio	${x \neq 2}$
Simmetrie	nessuna
Intersezioni	${\left(0, \frac{3}{2}\right)}$, ${(-\sqrt{3}, 0)}$, ${(\sqrt{3}, 0)}$
Segno	positiva in ${(-\sqrt{3}, \sqrt{3})}$ e in ${(2, +\infty)}$
Asintoti	verticale ${x = 2}$, obliquo ${y = x + 2}$
Crescenza	cresce in ${(-\infty, 1)}$ e in ${(3, +\infty)}$, decresce in ${(1, 2)}$ e in ${(2, 3)}$
Massimi e minimi	massimo relativo ${(1, 2)}$, minimo relativo ${(3, 6)}$
Concavità	concava per ${x < 2}$, convessa per ${x > 2}$, nessun flesso

Leggere un grafico: le quattro combinazioni

Con i segni di $f'$ e di $f''$ si ottengono quattro andamenti da riconoscere a colpo d’occhio:

	${f'' > 0}$: convessa	${f'' < 0}$: concava
${f' > 0}$: crescente	sale sempre più ripida, come $e^x$	sale sempre più piano, come $\sqrt{x}$
${f' < 0}$: decrescente	scende sempre più piano, come $e^{-x}$	scende sempre più ripida, come $-e^x$

Concavità e monotonia sono indipendenti: una concava può salire o scendere, e una convessa non ha per forza un minimo ($e^x$ non ce l’ha).

La disuguaglianza di Jensen

$\lambda$ è la lettera greca «lambda». Con $n = 2$ è la definizione; con pesi tutti uguali a $\frac{1}{n}$: $f$ della media non supera la media dei valori di $f$.

Perché è vero, per $f$ derivabile. La media pesata $m = \lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_n x_n$ sta tra il minimo e il massimo degli $x_i$, quindi in $I$. Per la tangente in $m$, $f(x_i) \geq f(m) + f'(m)\,(x_i - m)$. Moltiplicando per $\lambda_i$ e sommando, i termini con $f'(m)$ danno $f'(m)\,(m - m) = 0$: resta la tesi. Senza derivabilità si procede per induzione su $n$.

Media aritmetica e media geometrica. Siano $a_1, \dots, a_n > 0$. Il logaritmo è concavo, quindi con pesi $\frac{1}{n}$:

$$\begin{gathered} \ln\frac{a_1 + \dots + a_n}{n} \geq \frac{\ln a_1 + \dots + \ln a_n}{n} \\ {} = \ln\sqrt[n]{a_1 \cdots a_n} \end{gathered}$$

Siccome $\ln$ è crescente:

$$\frac{a_1 + \dots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdots a_n}$$

La media aritmetica non è mai minore di quella geometrica, e coincidono solo se i numeri sono tutti uguali (il logaritmo è strettamente concavo). Con 1 e 4: $\frac{5}{2} \geq \sqrt{4} = 2$. Così, tra i rettangoli di lati $a$ e $b$ con perimetro fissato, l’area $ab$ non supera $\left(\frac{a + b}{2}\right)^2$, raggiunta per $a = b$: vince il quadrato, senza derivate, come in uno dei problemi di massimo e minimo più classici.

Un po’ di storia

Flesso viene dal latino flexus, «piegato», participio di flectere. La quarta sezione dell’Analyse des infiniment petits di de l’Hôpital (1696), considerato il primo manuale di calcolo differenziale, insegna già a trovare i flessi. Le funzioni convesse diventarono un tema a sé molto più tardi: nel 1889 il tedesco Otto Hölder dimostrò la disuguaglianza oggi detta di Jensen per le funzioni con derivata seconda non negativa, e nel 1906 il danese Johan Jensen, matematico in gran parte autodidatta e capo dell’ufficio tecnico della compagnia telefonica di Copenaghen, la estese alle funzioni convesse sugli Acta Mathematica, ricavandone molte disuguaglianze classiche tra medie.

Gli errori più comuni

• Pensare che $f''(x_0) = 0$ voglia dire flesso. $x^4$ ha $f''(0) = 0$ e in 0 ha un minimo: serve il cambio di segno.
• Cercare i flessi solo dove $f'' = 0$. Dove $f''$ non esiste può esserci un flesso, come per $\sqrt[3]{x}$ e $x^{5/3}$.
• Chiamare flesso un punto escluso dal dominio. Nell’esempio guida la concavità cambia in $x = 2$, ma lì il grafico non c’è.
• Scambiare convessa e concava. $f'' > 0$ vuol dire convessa, $\cup$, cioè «concavità verso l’alto».
• Usare il criterio fuori da un intervallo. $\frac{1}{x}$ è concava su $(-\infty, 0)$ e convessa su $(0, +\infty)$, non sul dominio intero.
• Sbagliare il segno di una potenza dispari. $(x - 2)^3$ cambia segno con $x - 2$, $(x - 2)^2$ no.
• Dare il flesso con la sola ascissa. Il flesso è il punto $\big(x_0, f(x_0)\big)$, e spesso va data anche la tangente.

Esercizi svolti

1. Un candidato che non è un flesso

Testo. Studia concavità e flessi di $f(x) = x^5 - 5x^4$. Il punto $x = 0$ è un flesso?

Derivando due volte e raccogliendo:

$$\begin{gathered} f'(x) = 5x^4 - 20x^3 = 5x^3(x - 4) \\ f''(x) = 20x^3 - 60x^2 = 20x^2(x - 3) \end{gathered}$$

Candidati: $x = 0$ e $x = 3$. Il fattore $20x^2$ è positivo per $x \neq 0$, quindi $f''$ ha il segno di $x - 3$: $f$ è concava su $(-\infty, 3)$ e convessa su $(3, +\infty)$.

In $x = 3$ la concavità cambia: flesso, con $f(3) = 243 - 405 = -162$ e $f'(3) = 5 \cdot 27 \cdot (-1) = -135$, e tangente $y = -162 - 135(x - 3)$, cioè $y = -135x + 243$.

In $x = 0$ invece $f''$ si annulla senza cambiare segno: concava prima e dopo, niente flesso. Lo conferma il criterio delle derivate successive: $f'''(x) = 60x^2 - 120x$ e $f^{(4)}(x) = 120x - 120$, quindi $f'''(0) = 0$ e $f^{(4)}(0) = -120$, ordine 4, pari. Anzi, $f'$ passa da positiva a negativa: $(0, 0)$ è un massimo relativo. Unico flesso: $(3, -162)$.

2. Un esponenziale con tre flessi

Testo. Studia concavità e flessi di $f(x) = x^3 e^{-x}$.

Con la regola del prodotto:

$$\begin{gathered} f'(x) = (3x^2 - x^3)\,e^{-x} = x^2(3 - x)\,e^{-x} \\ f''(x) = (6x - 3x^2)\,e^{-x} - (3x^2 - x^3)\,e^{-x} \\ {} = x\,(x^2 - 6x + 6)\,e^{-x} \end{gathered}$$

$e^{-x} > 0$. Il trinomio ha $\frac{\Delta}{4} = 9 - 6 = 3$ e si annulla in $3 \pm \sqrt{3}$, circa $1{,}27$ e $4{,}73$; è positivo fuori dalle radici. Con il fattore $x$:

Intervallo	$f''(x)$	$f(x)$
${x < 0}$	$-$	$\cap$
${(0, 3 - \sqrt{3})}$	$+$	$\cup$
${(3 - \sqrt{3}, 3 + \sqrt{3})}$	$-$	$\cap$
${x > 3 + \sqrt{3}}$	$+$	$\cup$

Tre flessi. In $(0, 0)$ si ha $f'(0) = 0$: flesso a tangente orizzontale ($f'$ ha il segno di $3 - x$ e in 0 non cambia segno). In $x = 3 \pm \sqrt{3}$ i flessi sono a tangente obliqua, con ordinate circa $0{,}57$ e $0{,}93$. Controllo: il massimo in $x = 3$, che vale $\frac{27}{e^3} \approx 1{,}34$, cade nel tratto concavo, come deve.

3. Per quali a ci sono due flessi

Testo. Sia $f(x) = x^4 + 2a\,x^3 + 6x^2$, con $a$ reale. Per quali valori di $a$ la funzione ha due flessi? Trovali per $a = \frac{5}{2}$.

$f'(x) = 4x^3 + 6a\,x^2 + 12x$ e

$$\begin{gathered} f''(x) = 12x^2 + 12a\,x + 12 \\ {} = 12\,(x^2 + a\,x + 1) \end{gathered}$$

Il trinomio ha $\Delta = a^2 - 4$. Tre casi.

• $\lvert a \rvert < 2$: $\Delta < 0$, $f'' > 0$ ovunque. Convessa su $\mathbb{R}$, nessun flesso.
• $a = \pm 2$: $f''(x) = 12(x \pm 1)^2$ si annulla in un punto ma non cambia segno. Ancora convessa ovunque: è la trappola di $x^4$.
• $\lvert a \rvert > 2$: due radici distinte, $f''$ positiva fuori e negativa tra di esse. Due flessi.

Per $a = \frac{5}{2}$: $x^2 + \frac{5}{2}x + 1 = (x + 2)\left(x + \frac{1}{2}\right)$. Flessi in $(-2, 0)$, perché $f(-2) = 16 - 40 + 24 = 0$, e in $\left(-\frac{1}{2}, \frac{15}{16}\right)$, perché $\frac{1}{16} - \frac{5}{8} + \frac{3}{2} = \frac{15}{16}$. Un flesso solo è impossibile: $f''$, di secondo grado, cambia segno zero o due volte.

4. Un flesso a tangente verticale

Testo. Studia concavità e flessi di $f(x) = x\sqrt[3]{x - 1}$, dicendo di che tipo sono.

$f$ è continua su $\mathbb{R}$. Per $x \neq 1$, con la regola del prodotto:

$$\begin{gathered} f'(x) = \sqrt[3]{x - 1} + \frac{x}{3\sqrt[3]{(x - 1)^2}} \\ {} = \frac{4x - 3}{3\sqrt[3]{(x - 1)^2}} \end{gathered}$$

Per $x \to 1$ il numeratore tende a 1 e il denominatore a $0^+$: $f'(x) \to +\infty$ da entrambe le parti, e in $(1, 0)$ la tangente è verticale. Derivando il quoziente e moltiplicando sopra e sotto per $\sqrt[3]{x - 1}$:

$$\begin{gathered} f''(x) = \frac{12(x - 1) - 2(4x - 3)}{9\,(x - 1)\sqrt[3]{(x - 1)^2}} \\ {} = \frac{2\,(2x - 3)}{9\,(x - 1)\sqrt[3]{(x - 1)^2}} \end{gathered}$$

Il denominatore ha il segno di $x - 1$. Candidati: $x = 1$, dove $f''$ non esiste, e $x = \frac{3}{2}$.

Intervallo	$f''(x)$	$f(x)$
${x < 1}$	$+$	$\cup$
${\left(1, \frac{3}{2}\right)}$	$-$	$\cap$
${x > \frac{3}{2}}$	$+$	$\cup$

Due flessi di tipo diverso: in $(1, 0)$ a tangente verticale, la retta $x = 1$; in $x = \frac{3}{2}$ a tangente obliqua, con $f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{2}} \approx 1{,}19$ e pendenza $f'\left(\frac{3}{2}\right) = \sqrt[3]{4} \approx 1{,}59$. Controllo: $f'$ ha il segno di $4x - 3$, quindi il minimo, in $x = \frac{3}{4}$, cade nel tratto convesso.

5. Il seno tra due rette

Testo. Dimostra che per $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ vale $\frac{2}{\pi}\,x \leq \sin x \leq x$. Che cosa dice per $x = \frac{\pi}{6}$?

Su $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ si ha $(\sin x)'' = -\sin x < 0$ tranne in 0: il seno è strettamente concavo, quindi sta sotto le tangenti e sopra le corde.

• Tangente. In 0 la tangente è $y = x$, perché $\sin 0 = 0$ e $\cos 0 = 1$. Quindi $\sin x \leq x$.
• Corda. La corda tra $(0, 0)$ e $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ è la retta $y = \frac{2}{\pi}\,x$. Nella definizione, con $x_1 = \frac{\pi}{2}$, $x_2 = 0$ e $t = \frac{2x}{\pi}$, si ottiene $\sin x \geq t = \frac{2}{\pi}\,x$.

In $x = \frac{\pi}{6}$: $\frac{1}{3} \leq \frac{1}{2} \leq \frac{\pi}{6} \approx 0{,}52$. La stima dal basso è nota come disuguaglianza di Jordan.

6. Crescente e concava: che cosa è possibile?

Testo. Una funzione $f$ è derivabile due volte su $\mathbb{R}$, con $f'(x) > 0$ e $f''(x) < 0$ per ogni $x$. (a) Il grafico può avere un asintoto orizzontale per $x \to +\infty$? (b) E per $x \to -\infty$? (c) Può essere $f(1) = 3$, $f(2) = 4$ e $f(3) = 6$?

(a) Sì. $f(x) = -e^{-x}$ ha $f'(x) = e^{-x} > 0$, $f''(x) = -e^{-x} < 0$ e tende a 0: sale sempre più piano verso l’asintoto $y = 0$.

(b) No. Una concava sta sotto la tangente in 0: $f(x) \leq f(0) + f'(0)\,x$ per ogni $x$. Siccome $f'(0) > 0$, la retta tende a $-\infty$ per $x \to -\infty$, e per il confronto anche $f(x) \to -\infty$.

(c) No. Una concava sta sopra le corde. Con $x_1 = 1$, $x_2 = 3$ e $t = \frac{1}{2}$:

$$f(2) \geq \frac{f(1) + f(3)}{2} = \frac{9}{2}$$

ma $f(2) = 4 < \frac{9}{2}$. Le pendenze tra i punti, 1 e poi 2, aumentano: è il comportamento di una convessa.

Altri esercizi, dentro studi completi, sono negli esercizi svolti sullo studio di funzione.

In sintesi

• Convessa su un intervallo: il grafico sta sotto le corde, $f\big(t\,x_1 + (1 - t)\,x_2\big) \leq t\,f(x_1) + (1 - t)\,f(x_2)$. Concava: il contrario.
• Per $f$ derivabile, convessa vuol dire $f'$ crescente e grafico sopra le tangenti; se esiste $f''$, vuol dire $f'' \geq 0$.
• Le tangenti danno $e^x \geq 1 + x$, $\ln x \leq x - 1$, $\sin x \leq x$ per $x \geq 0$. Una retta incontra una strettamente convessa al massimo in due punti.
• Flesso: punto del dominio dove la concavità cambia e c’è tangente (orizzontale, obliqua o verticale), che attraversa il grafico.
• Candidati: zeri di $f''$ e punti del dominio dove $f''$ non esiste. Decide il cambio di segno: $f''(x_0) = 0$ non basta ($x^4$).
• Jensen: per $f$ convessa, $f$ della media pesata $\leq$ media pesata dei valori; col logaritmo dà media aritmetica $\geq$ geometrica.

Ora hai tutti gli strumenti. Mettiamoli alla prova sui tipi di funzione più frequenti all’esame, a partire dallo studio di funzione razionale fratta.