Studio di funzione: come si fa, i sette passaggi e due esempi svolti

Prendi la funzione $f(x) = x^3 - 3x$ e calcola qualche valore: $f(-2) = -2$, $\ f(0) = 0$, $\ f(2) = 2$. Se unisci questi tre punti ottieni una retta, la bisettrice $y = x$. Eppure il grafico vero è fatto in tutt’altro modo: tra $-2$ e $2$ sale, poi scende, poi risale. Pochi punti presi a caso possono ingannare.

Lo studio di funzione risolve proprio questo problema: partendo dalla formula, ti dà le poche informazioni giuste per disegnare il grafico, senza calcolare centinaia di punti. Mette insieme disequazioni, limiti e derivate, e per questo all’esame non manca quasi mai. In questa pagina vediamo i sette passi con il teorema dietro ognuno, due esempi completi, i controlli incrociati, come si disegna il grafico, i casi difficili, il grafico di $f'$, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Cosa vuol dire «studiare» una funzione

Studiare una funzione vuol dire rispondere a una serie di domande sul suo grafico:

• dove esiste?
• dove sta sopra l’asse $x$ e dove sta sotto?
• cosa fa ai bordi, quando $x$ si avvicina a un punto «proibito» o diventa grandissima?
• dove sale e dove scende? Fin dove sale?
• come curva: verso l’alto o verso il basso?

Il risultato è un grafico qualitativo: servono la forma giusta e le coordinate dei punti importanti. Il disegno fatto prima delle derivate si chiama spesso grafico probabile.

Come si fa uno studio di funzione: i sette passi

Passo	Cosa si calcola	Cosa ti dice sul grafico
1. Dominio	le $x$ per cui la formula ha senso	dove il grafico esiste
2. Simmetrie	${f(-x)}$	se basta studiare metà grafico
3. Intersezioni e segno	${f(0)}$, ${f(x) = 0}$, ${f(x) > 0}$	dove taglia gli assi, dove sta sopra o sotto l’asse $x$
4. Limiti e asintoti	i limiti agli estremi del dominio	cosa fa il grafico ai bordi
5. Derivata prima	il segno di $f'$	dove sale e dove scende, massimi e minimi
6. Derivata seconda	il segno di $f''$	dove curva verso l’alto o verso il basso, flessi
7. Grafico		si mette insieme tutto

I primi quattro passi dicono dove può stare il grafico, le derivate come è fatto. Ecco, passo per passo, cosa calcolare, il teorema dietro e il tempo da dedicargli all’esame.

1. Il dominio

Imponi le condizioni di esistenza: denominatori non nulli, radicandi delle radici di indice pari non negativi, argomenti dei logaritmi positivi (dominio di una funzione). Scrivilo come unione di intervalli: i loro estremi sono i punti in cui calcolerai i limiti. Due minuti, ma un errore qui si trascina ovunque.

2. Le simmetrie

Se il dominio è simmetrico rispetto a 0, calcola $f(-x)$: se vale $f(x)$ la funzione è pari (simmetrica rispetto all’asse $y$), se vale $-f(x)$ è dispari (simmetrica rispetto all’origine); vedi funzioni pari e dispari. Scorciatoia: con una simmetria studi solo $x \geq 0$ e rifletti. Tempo: un minuto.

3. Intersezioni con gli assi e segno

Calcola $f(0)$, se 0 è nel dominio, poi risolvi $f(x) = 0$ e $f(x) > 0$ con la tabella dei segni. Il teorema dietro: per il teorema degli zeri, una funzione continua su un intervallo che non si annulla mai ha segno costante; quindi il segno di una funzione continua cambia solo negli zeri o nei punti esclusi. Tempo: pochi minuti, se la disequazione si scompone.

4. Limiti e asintoti

Calcola i limiti agli estremi del dominio: a $\pm\infty$, se il dominio arriva fin lì, e da destra e da sinistra nei punti esclusi. Un limite infinito in $x_0$ dà un asintoto verticale, un limite finito $\ell$ a $\pm\infty$ l’asintoto $y = \ell$. Se $f(x) \to \pm\infty$, cerca l’obliquo: se $\frac{f(x)}{x} \to m \neq 0$ e $f(x) - mx \to q$, con $m$ e $q$ finiti, $y = mx + q$ è un asintoto. Tempo: parecchio; qui si dimentica spesso un bordo.

5. Derivata prima

Calcola $f'$, scomponila e studiane il segno. Il teorema dietro: il test di monotonia, conseguenza del teorema di Lagrange: su un intervallo, se $f' > 0$ la funzione è strettamente crescente, se $f' < 0$ strettamente decrescente. Per il teorema di Fermat, in un massimo o minimo interno dove $f$ è derivabile vale $f' = 0$: i candidati sono i punti stazionari, i punti di non derivabilità (derivabilità e continuità) e gli estremi del dominio che gli appartengono. Decide il cambio di segno di $f'$. È il cuore dello studio e merita più tempo di tutti. Scorciatoia: ignora i fattori sempre positivi, come $e^x$.

6. Derivata seconda

Calcola $f''$ e studiane il segno. Il teorema dietro: il test di monotonia applicato a $f'$: su un intervallo, se $f'' > 0$ la funzione è convessa ($\cup$), se $f'' < 0$ è concava ($\cap$). I flessi sono i punti del dominio in cui $f''$ cambia segno e il grafico ha una retta tangente, anche verticale: in un punto angoloso la concavità può cambiare senza flesso (concavità, convessità e flessi). Bonus: se $f'(x_0) = 0$ e $f''(x_0) > 0$ c’è un minimo relativo, se $f''(x_0) < 0$ un massimo relativo. Tempo: dipende dai conti.

Prima di iniziare: cosa ripassare

Ti servono le disequazioni (soprattutto il segno di prodotti e frazioni), il calcolo dei limiti, le regole di derivazione e la derivata come pendenza.

Primo esempio svolto: un polinomio di terzo grado

Studiamo la funzione dell’inizio:

$$f(x) = x^3 - 3x$$

Passo 1: dominio. È un polinomio, che si può calcolare per qualunque $x$: il dominio è $\mathbb{R}$.

Passo 2: simmetrie. Sostituiamo $-x$ al posto di $x$:

$$\begin{gathered} f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x \\ f(-x) = -(x^3 - 3x) = -f(x) \end{gathered}$$

La funzione è dispari: il grafico è simmetrico rispetto all’origine. Basterebbe studiarla per $x \geq 0$; qui facciamo tutti i conti e useremo la simmetria come controllo.

Passo 3: intersezioni con gli assi e segno. Con l’asse $y$: $f(0) = 0$, il grafico passa per l’origine. Con l’asse $x$:

$$\begin{gathered} x^3 - 3x = x(x^2 - 3) = 0 \\ {} \iff x = 0 \ \text{ oppure } \ x = \pm\sqrt{3} \approx \pm 1{,}73 \end{gathered}$$

Per il segno studiamo $x(x^2 - 3) > 0$. Il primo fattore è positivo per $x > 0$, il secondo per $x < -\sqrt{3}$ e per $x > \sqrt{3}$. Con la regola dei segni:

Intervallo	$x$	${x^2 - 3}$	$f(x)$
${(-\infty, -\sqrt{3})}$	$-$	$+$	$-$
${(-\sqrt{3}, 0)}$	$-$	$-$	$+$
${(0, \sqrt{3})}$	$+$	$-$	$-$
${(\sqrt{3}, +\infty)}$	$+$	$+$	$+$

Sul piano possiamo già sbarrare le zone in cui il grafico non può passare: sotto l’asse $x$ dove $f$ è positiva, sopra dove è negativa (primo riquadro della figura più in basso).

Passo 4: limiti e asintoti. Il dominio è tutto $\mathbb{R}$, quindi gli unici «bordi» sono $\pm\infty$. Per $x$ molto grande prevale il termine di grado più alto:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to +\infty} (x^3 - 3x) = +\infty \\ \lim_{x \to -\infty} (x^3 - 3x) = -\infty \end{gathered}$$

Asintoti: verticali no, perché non ci sono punti esclusi; orizzontali no, perché i limiti sono infiniti; obliqui nemmeno, perché $\frac{f(x)}{x} = x^2 - 3 \to +\infty$.

Passo 5: derivata prima.

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$$

È positiva fuori dalle radici, negativa tra $-1$ e $1$. Riassumiamo con le frecce:

	${(-\infty, -1)}$	${(-1, 1)}$	${(1, +\infty)}$
$f'(x)$	$+$	$-$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	$\searrow$	$\nearrow$

In $x = -1$ la funzione passa da crescente a decrescente: massimo relativo, $f(-1) = -1 + 3 = 2$. In $x = 1$ succede il contrario: minimo relativo, $f(1) = 1 - 3 = -2$. Ecco svelato il mistero dell’inizio: tra $-2$ e $2$ il grafico sale fino a quota 2, scende fino a $-2$ e poi risale.

Passo 6: derivata seconda. Derivando ancora:

$$f''(x) = 6x$$

Per $x > 0$ la funzione è convessa ($\cup$), per $x < 0$ concava ($\cap$): in $x = 0$ c’è un punto di flesso, $F(0, 0)$. Lì la tangente ha pendenza $f'(0) = -3$: è la retta $y = -3x$, che il grafico attraversa.

Passo 7: il grafico. Ecco come prende forma, un passo alla volta:

I controlli incrociati

Le informazioni dei vari passi devono andare d’accordo: controllarle mentre lavori scopre gli errori prima del disegno.

Se hai trovato	allora	perché
$f > 0$ per $x$ grande	il limite a $+\infty$ non è $-\infty$	permanenza del segno
due zeri consecutivi, $f$ continua tra i due	in mezzo c’è un massimo o un minimo	Weierstrass
un massimo o un minimo interno, con $f$ derivabile	lì $f' = 0$	Fermat
$f \to +\infty$ per $x \to x_0^+$	subito a destra di $x_0$, $f$ non è crescente	crescendo resterebbe limitata
un massimo e un minimo stazionari consecutivi, $f''$ continua tra i due	in mezzo la concavità cambia	$f'$ non è monotona
$f$ dispari	massimo in $a$, minimo in $-a$; $f'$ pari	simmetria

Perché il secondo funziona. Se $f$ è continua su $[a, b]$, nulla agli estremi e positiva in mezzo, per il teorema di Weierstrass ha un massimo su $[a, b]$, positivo e quindi interno: un massimo relativo (se $f$ è negativa, un minimo). Così tra due zeri consecutivi la tabella di $f'$ deve cambiare freccia almeno una volta, e può cambiarla solo nei candidati del passo 5.

Sull’esempio. Tra gli zeri $-\sqrt{3}$ e 0 c’è il massimo $(-1, 2)$, dove $f > 0$; tra 0 e $\sqrt{3}$ il minimo $(1, -2)$, dove $f < 0$. Sono simmetrici rispetto all’origine, come vuole la disparità, e tra loro c’è il flesso. Tutto torna.

Come si disegna il grafico

Disegna a strati, in quest’ordine:

1. Scegli le scale perché tutti i punti notevoli stiano nel foglio (le unità sui due assi possono essere diverse).
2. Sbarra le zone vietate dal segno e quelle fuori dal dominio.
3. Traccia gli asintoti, tratteggiati.
4. Segna i punti notevoli: zeri, massimi e minimi con un trattino orizzontale, flessi con la loro tangente, punti esclusi con un pallino vuoto.
5. Disegna i tratti ai bordi come dicono i limiti.
6. Collega seguendo le frecce, senza salite o discese non previste.
7. Dai la curvatura: $\cup$ dove è convessa, $\cap$ dove è concava.

Sul disegno scrivi le coordinate dei punti notevoli e le equazioni degli asintoti.

Secondo esempio svolto: una funzione con il logaritmo

$$f(x) = x \ln x$$

Qui il dominio è ridotto e il grafico parte da un punto escluso.

Passi 1 e 2. Il logaritmo vuole $x > 0$: dominio $(0, +\infty)$, non simmetrico, quindi niente simmetrie.

Passo 3. 0 non è nel dominio: nessuna intersezione con l’asse $y$. Siccome $x > 0$, il prodotto si annulla solo se $\ln x = 0$, cioè in $x = 1$, e ha il segno di $\ln x$: negativo in $(0, 1)$, positivo per $x > 1$.

Passo 4. In $0^+$ c’è la forma $0 \cdot (-\infty)$. La trasformiamo in un quoziente $\frac{-\infty}{+\infty}$ e usiamo de l’Hôpital:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to 0^+} x\ln x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} \\ {} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} \\ {} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0 \end{gathered}$$

Limite finito: nessun asintoto verticale, e il grafico parte dall’origine, esclusa (pallino vuoto). A destra $x \ln x \to +\infty$, senza asintoto obliquo, perché $\frac{f(x)}{x} = \ln x \to +\infty$.

Passo 5. Con la regola del prodotto:

$$f'(x) = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$$

È positiva per $\ln x > -1$, cioè per $x > \frac{1}{e} \approx 0{,}37$:

	${\left(0, \frac{1}{e}\right)}$	${\left(\frac{1}{e}, +\infty\right)}$
$f'(x)$	$-$	$+$
$f(x)$	$\searrow$	$\nearrow$

Il minimo vale $f\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e} \cdot (-1) = -\frac{1}{e} \approx -0{,}37$, ed è assoluto: il dominio è un intervallo e la funzione scende prima e sale dopo. Inoltre $f'(x) \to -\infty$ per $x \to 0^+$: il grafico si stacca dall’origine quasi in verticale.

Passo 6. $f''(x) = \frac{1}{x} > 0$ in tutto il dominio: $f$ è convessa ovunque, senza flessi.

Passo 7 e controlli. In $(0, 1)$ la funzione è negativa e agli estremi tende a 0: ci doveva essere un minimo in mezzo, ed eccolo in $\frac{1}{e}$, nella zona in cui $f < 0$. Tutto torna.

Quando i conti si complicano

Se la derivata seconda è troppo difficile. Se il testo non la chiede e i conti esplodono, puoi saltarla dichiarandolo («tralascio $f''$ per la complessità dei calcoli») e disegnare una concavità coerente. Un aiuto rigoroso: se $f''$ è continua tra un massimo e un minimo stazionari consecutivi, $f'$ vale 0 agli estremi e ha segno costante in mezzo, quindi non è monotona e (per Lagrange applicato a $f'$) $f''$ prende valori di entrambi i segni: la concavità cambia almeno una volta. Chiedi prima al docente se lo accetta.

Se il dominio è un’unione di intervalli. Il test di monotonia vale su un intervallo, quindi studia ogni pezzo per conto suo. $\frac{1}{x}$ ha derivata $-\frac{1}{x^2} < 0$ ovunque, eppure $f(-1) = -1 < f(1) = 1$: è decrescente in $(-\infty, 0)$ e in $(0, +\infty)$, non nel dominio. Anche il segno può cambiare in un punto escluso senza passare per zero, e gli estremi assoluti si cercano confrontando tutti i pezzi.

Se la disequazione del segno non si risolve. Prendi $f(x) = x^3 - x^2 + 2x - 1$: niente radici razionali, niente scomposizioni. Non serve lo zero esatto:

1. Quanti zeri. $f'(x) = 3x^2 - 2x + 2 > 0$ (discriminante negativo): $f$ è strettamente crescente, quindi ha al massimo uno zero. L’ordine della scaletta non è sacro.
2. Dove. $f(0) = -1 < 0$ e $f(1) = 1 > 0$: per il teorema degli zeri c’è uno zero $\alpha$ tra 0 e 1.
3. Quanto vale. Con la bisezione calcoli $f$ nel punto medio e tieni la metà in cui il segno cambia: $f(0{,}5) < 0$ dà $0{,}5 < \alpha < 1$; $f(0{,}75) > 0$ dà $0{,}5 < \alpha < 0{,}75$; poi $f(0{,}625) > 0$ e $f(0{,}5625) < 0$ danno $0{,}5625 < \alpha < 0{,}625$.

Per il disegno basta $\alpha \approx 0{,}6$: $f < 0$ per $x < \alpha$, $f > 0$ per $x > \alpha$.

La domanda al contrario: leggere un grafico

All’esame capita anche l’esercizio inverso: dato un grafico, trovarne le proprietà percorrendo la scaletta al contrario. Una variante frequente chiede il grafico di $f'$, cioè della pendenza di $f$:

Sul grafico di $f$	Sul grafico di $f'$
sale	sopra l’asse $x$ (al più lo tocca)
scende	sotto l’asse $x$ (al più lo tocca)
massimo o minimo con tangente orizzontale	zero con cambio di segno
convessa, $\cup$	cresce
concava, $\cap$	decresce
flesso	massimo o minimo

Nella figura c’è la versiera $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$, che ritroverai nella storia: il massimo sta sopra lo zero di $f'$, dove la derivata passa da positiva a negativa, e i due flessi stanno sopra il massimo e il minimo di $f'$.

La trappola è nella domanda opposta: dato il grafico di $f'$, i massimi e minimi di $f$ stanno dove $f'$ taglia l’asse cambiando segno, non nei punti più alti o più bassi di $f'$, che sono i flessi di $f$ (esercizio 6).

Un po’ di storia

Intorno al 1636 Pierre de Fermat faceva circolare, manoscritto, un metodo per trovare massimi, minimi e tangenti, stampato a suo nome, postumo, nel 1679. Nel 1696 il marchese de l’Hôpital pubblicò l’Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes, considerato il primo manuale di calcolo differenziale, con capitoli sulle tangenti, sui massimi e minimi e sui flessi. Nel 1748, a Milano, Maria Gaetana Agnesi pubblicò le Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana, due volumi, dall’algebra al calcolo differenziale e integrale. Vi compare la curva che Guido Grandi aveva chiamato versiera, poi tradotta per errore in inglese come «witch», strega. Nella forma più semplice è $y = \frac{1}{1 + x^2}$, un bel ripasso: massimo $(0, 1)$, asintoto $y = 0$ e flessi in $x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$, a quota $\frac{3}{4}$.

Il capitolo, passo dopo passo

Gli articoli del capitolo approfondiscono un passo alla volta, seguendo un secondo esempio guida, la fratta $\frac{x^2 - 3}{x - 2}$; poi applicano la scaletta ai vari tipi di funzione:

1. Dominio, simmetrie, intersezioni con gli assi e segno: i passi 1, 2 e 3.
2. Limiti e asintoti nello studio di funzione: il passo 4.
3. Massimi e minimi di una funzione: il passo 5.
4. Concavità, convessità e flessi: il passo 6 e il grafico finale.
5. Gli studi completi per tipo di funzione: razionale fratta, esponenziale, logaritmica, irrazionale, con valore assoluto e goniometrica.
6. Le applicazioni: i problemi di massimo e minimo.
7. Gli esercizi svolti sullo studio di funzione, con studi completi.

Gli errori più comuni

• Dimenticare il dominio nei passi successivi. Uno zero di $f'$ o di $f''$ fuori dal dominio non conta.
• Confondere $f'(x_0) = 0$ con «massimo o minimo». Serve il cambio di segno: $x^3$ ha derivata nulla in 0, ma lì non ha né massimi né minimi.
• Credere che $f''(x_0) = 0$ voglia dire flesso. $x^4$ ha $f''(0) = 0$, ma in 0 ha un minimo.
• Calcolare solo il limite a $+\infty$. Servono tutti gli estremi del dominio, e nei punti esclusi entrambi i limiti laterali.
• Scrivere «crescente nel dominio» quando il dominio è spezzato. La monotonia si dice intervallo per intervallo.
• Disegnare il grafico dentro le zone sbarrate o attraverso un asintoto verticale.
• Dimenticare la $y$ dei punti notevoli. Un massimo è un punto: servono entrambe le coordinate.
• Forzare il disegno invece di cercare l’errore. Un massimo in una zona sbarrata vuol dire un conto sbagliato.

Esercizi svolti

1. Quale passo te lo dice?

Testo. Quale passo della scaletta risponde a ciascuna domanda? (a) C’è un asintoto verticale in $x = 2$? (b) Il grafico sta sotto l’asse $x$ per $x < 0$? (c) $(0, 0)$ è un flesso? (d) Basta studiare la funzione per $x \geq 0$? (e) In $x = 1$ c’è un minimo?

(a) Passo 4: il dominio dice solo che $x = 2$ è un candidato, decide il limite. (b) Passo 3. (c) Passo 6: serve il cambio di segno di $f''$. (d) Passo 2. (e) Passo 5: serve che $f'$ passi da $-$ a $+$. Riconoscerlo fa risparmiare tempo quando il testo chiede solo una parte dello studio.

2. Trova l’errore

Testo. Uno studente ha scritto: «$f(x) > 0$ per $x > 2$; $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$; massimo relativo in $(3, -1)$». Senza conoscere $f$, spiega perché c’è un errore.

Se $f(x) \to -\infty$, per la definizione di limite $f(x) < 0$ per tutte le $x$ abbastanza grandi: impossibile se $f > 0$ per ogni $x > 2$. E il punto $(3, -1)$ ha ordinata negativa, mentre in $x = 3$ la funzione dovrebbe essere positiva. Il primo sospettato è lo studio del segno.

3. Quanti zeri?

Testo. Di una funzione $f$ derivabile su $\mathbb{R}$ sai che $f' > 0$ in $(-\infty, -2)$ e in $(1, +\infty)$, $f' < 0$ in $(-2, 1)$, $f(-2) = 5$, $f(1) = -4$, e che $f$ tende a $-\infty$ per $x \to -\infty$ e a $+\infty$ per $x \to +\infty$. Quanti zeri ha?

In ogni intervallo di monotonia $f$ ha al massimo uno zero, e per il teorema degli zeri almeno uno se cambia segno.

• In $(-\infty, -2]$ sale da $-\infty$ a 5: uno zero.
• In $[-2, 1]$ scende da 5 a $-4$: uno zero.
• In $[1, +\infty)$ sale da $-4$ a $+\infty$: uno zero.

Gli zeri sono esattamente tre. Un esempio con questi dati è $f(x) = \frac{2}{3}x^3 + x^2 - 4x - \frac{5}{3}$, con zeri vicini a $-3{,}15$, $-0{,}39$ e $2{,}04$.

4. Un massimo più basso di un minimo

Testo. Trova massimi e minimi relativi di $f(x) = x + \frac{1}{x}$. Il massimo sta più in alto del minimo?

Il dominio è $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ e la funzione è dispari. La derivata è

$$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$$

Il denominatore è positivo, quindi conta il segno di $x^2 - 1$:

Intervallo	$f'(x)$	$f(x)$
${(-\infty, -1)}$	$+$	$\nearrow$
${(-1, 0)}$	$-$	$\searrow$
${(0, 1)}$	$-$	$\searrow$
${(1, +\infty)}$	$+$	$\nearrow$

Massimo relativo $(-1, -2)$, minimo relativo $(1, 2)$: il massimo sta più in basso del minimo! Non c’è contraddizione: i due punti sono su rami diversi, separati dall’asintoto $x = 0$, e «relativo» vuol dire confrontato solo con i punti vicini. Nessuno dei due è assoluto, perché $f \to -\infty$ per $x \to 0^-$ e $f \to +\infty$ per $x \to 0^+$.

5. Un grafico dai dati

Testo. Disegna una funzione $f$ con derivata seconda continua su $\mathbb{R}$ sapendo che è dispari, che $f(x) > 0$ per $x > 0$, che $f(x) \to 0$ per $x \to +\infty$ e che cresce in $(0, 1)$ e decresce in $(1, +\infty)$, con $f(1) = \frac{1}{2}$. Cosa puoi dire dei flessi?

La simmetria completa i dati. Essendo dispari, $f(0) = -f(0)$, cioè $f(0) = 0$; inoltre $f < 0$ per $x < 0$, $f \to 0$ anche a $-\infty$, e $f$ cresce in $(-1, 1)$ e decresce fuori. Il grafico arriva da sinistra sotto l’asse $x$, scende al minimo $\left(-1, -\frac{1}{2}\right)$, risale per l’origine fino al massimo $\left(1, \frac{1}{2}\right)$ e ridiscende verso l’asse.

I flessi. Tra $-1$ e 1, per i controlli incrociati, la concavità cambia almeno una volta. Dopo il massimo la pendenza passa da 0 a valori negativi, quindi da qualche parte $f'' < 0$; ma $f$ non può restare concava fino a $+\infty$, perché starebbe sotto una tangente con pendenza negativa, che va a $-\infty$, mentre $f$ tende a 0. Quindi la concavità cambia anche in $(1, +\infty)$ e, per simmetria, in $(-\infty, -1)$: almeno tre flessi, come in $f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$, che li ha in 0 e in $\pm\sqrt{3}$.

6. Dal grafico di f′ a quello di f

Testo. Il grafico della derivata di $f$ è la parabola $y = x^2 - 4x$. Dove $f$ ha massimi e minimi relativi? Dove è convessa? Ha flessi?

Il segno di $f'(x) = x(x - 4)$ è positivo per $x < 0$ e per $x > 4$, negativo tra 0 e 4: $f$ ha un massimo relativo in $x = 0$ e un minimo relativo in $x = 4$.

La monotonia di $f'$: la parabola scende fino al vertice $x = 2$ e poi sale. Quindi $f$ è concava in $(-\infty, 2)$, convessa in $(2, +\infty)$, con un flesso in $x = 2$; infatti $f''(x) = 2x - 4$. Il vertice di $f'$ non è un minimo di $f$: è dove $f$ scende più ripidamente. Le ordinate restano ignote: $f$ è nota a meno di una costante, $f(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + c$.

In sintesi

• Sette passi: dominio, simmetrie, intersezioni e segno, limiti e asintoti, derivata prima, derivata seconda, grafico.
• Teoremi dietro: zeri per il segno, Lagrange per la monotonia, Fermat per i punti stazionari, monotonia di $f'$ per la concavità.
• Massimi e minimi vogliono il cambio di segno di $f'$, i flessi quello di $f''$.
• I controlli incrociati scoprono gli errori prima del disegno.
• Il grafico si disegna a strati: zone vietate, asintoti, punti notevoli, bordi, frecce, curvatura.
• Conti bloccati: bisezione per gli zeri, $f''$ saltata dichiarandolo, domini spezzati un pezzo alla volta.

Si comincia dai primi tre passi, che richiedono solo un po’ di algebra: dominio, simmetrie e segno di una funzione.