Derivabilità e continuità: punto angoloso, cuspide e flesso a tangente verticale

Una funzione può essere continua senza essere derivabile: il grafico non si spezza, ma ha uno spigolo, una punta o un tratto verticale. Nello studio di funzione questi punti sono candidati massimi e minimi, e all’esame «studia la derivabilità di $f$» o «trova $a$ e $b$ in modo che $f$ sia derivabile» sono domande fisse. In questa pagina vediamo perché ogni funzione derivabile è continua, quattro controesempi al viceversa, la classificazione dei punti di non derivabilità (punto angoloso, cuspide, flesso a tangente verticale), la scaletta per gli esercizi, il teorema del limite della derivata, le funzioni a tratti e con il valore assoluto, la funzione di Weierstrass, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Derivabile implica continua

L’idea è semplice: se in un punto il grafico ha una retta tangente, lì non può fare un salto. Vediamolo con le definizioni. $f$ è continua in $x_0$ se $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$, come in continuità. $f$ è derivabile in $x_0$ se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale, la derivata:

$$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$

Dimostrazione. Per $h \neq 0$ moltiplichiamo e dividiamo per $h$:

$$\begin{gathered} f(x_0 + h) - f(x_0) \\ {} = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \cdot h \end{gathered}$$

Per $h \to 0$ il primo fattore tende al numero $f'(x_0)$ e il secondo a 0, quindi il prodotto tende a $f'(x_0) \cdot 0 = 0$. Cioè $f(x_0 + h) \to f(x_0)$: è la continuità in $x_0$.

Il punto chiave è che $f'(x_0)$ sia finito: «infinito per zero» è una forma indeterminata. La funzione segno, $\operatorname{sgn} x$, vale $1$ per $x > 0$, $-1$ per $x < 0$ e $0$ in $0$: ha un salto, eppure il suo rapporto incrementale in 0, $\frac{\operatorname{sgn} h}{h} = \frac{1}{\lvert h \rvert}$, tende a $+\infty$. Una «derivata infinita» non garantisce la continuità.

La contronominale. «Se A allora B» equivale a «se non B allora non A»: se $f$ non è continua in $x_0$, non è derivabile in $x_0$. Nessun punto di discontinuità, di nessuna specie, è un punto di derivabilità. Negli esercizi la continuità si controlla per prima: se manca, hai finito.

Continua non implica derivabile: quattro controesempi

Il grafico di una funzione continua non si stacca, ma può piegarsi di colpo, diventare verticale o oscillare senza fine. Per vederlo servono la derivata destra e la derivata sinistra, i limiti del rapporto incrementale da un lato solo:

$$\begin{gathered} f'_+(x_0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \\ f'_-(x_0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \end{gathered}$$

$f$ è derivabile in $x_0$ se e solo se le due derivate esistono, sono finite e sono uguali. Se un limite laterale vale $+\infty$ o $-\infty$ si scrive comunque, per esempio, $f'_+(x_0) = +\infty$, ma la funzione non è derivabile.

1. Il valore assoluto: uno spigolo. Per $f(x) = \lvert x \rvert$ in 0 il rapporto incrementale vale

$$\frac{\lvert h \rvert}{h} = \begin{cases} 1 & h > 0 \\ -1 & h < 0 \end{cases}$$

Quindi $f'_+(0) = 1$ e $f'_-(0) = -1$: a destra il grafico segue la retta $y = x$, a sinistra la retta $y = -x$.

2. La radice cubica: una tangente verticale. Per $f(x) = \sqrt[3]{x}$ il rapporto è $\frac{\sqrt[3]{h}}{h} = \frac{1}{\sqrt[3]{h^2}}$: il denominatore è positivo e tende a 0, quindi il rapporto tende a $+\infty$ da entrambi i lati. Le secanti diventano verticali. Non è un caso: $\sqrt[3]{x}$ è l’inversa di $x^3$, che in 0 ha tangente orizzontale, e scambiando gli assi questa diventa verticale (vedi la derivata della funzione inversa).

3. Una punta. Per $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$ il rapporto è $\frac{\sqrt[3]{h^2}}{h} = \frac{1}{\sqrt[3]{h}}$, che tende a $+\infty$ per $h \to 0^+$ e a $-\infty$ per $h \to 0^-$. Lo stesso succede a $\sqrt{\lvert x \rvert}$: per $h > 0$ il rapporto è $\frac{1}{\sqrt{h}} \to +\infty$, per $h < 0$ è $-\frac{1}{\sqrt{\lvert h \rvert}} \to -\infty$. Il grafico scende in verticale fino all’origine e risale in verticale.

4. Un’oscillazione senza fine. Sia $f(x) = x\sin\frac{1}{x}$ per $x \neq 0$, con $f(0) = 0$. È continua in 0, perché $\lvert x\sin\frac{1}{x} \rvert \leq \lvert x \rvert \to 0$. Ma il rapporto incrementale è

$$\frac{h\sin\frac{1}{h} - 0}{h} = \sin\frac{1}{h}$$

che oscilla tra $-1$ e $1$: vale $1$ per $h = \frac{1}{\pi/2 + 2n\pi}$ e $-1$ per $h = \frac{1}{3\pi/2 + 2n\pi}$, con $n$ intero positivo, valori di $h$ piccoli quanto vuoi. Non esiste nemmeno la derivata destra (né la sinistra): le secanti dall’origine ruotano tra le rette $y = x$ e $y = -x$ senza fermarsi. Con un fattore $x$ in più, invece, $x^2\sin\frac{1}{x}$ diventa derivabile, come vedremo.

Funzione in 0	$f'_-(0)$	$f'_+(0)$
$\lvert x \rvert$	$-1$	$1$
$\sqrt[3]{x}$	$+\infty$	$+\infty$
$\sqrt[3]{x^2}$, $\sqrt{\lvert x \rvert}$	$-\infty$	$+\infty$
$x\sin\frac{1}{x}$	non esiste	non esiste

I punti di non derivabilità

I primi tre comportamenti hanno un nome.

Nel punto angoloso il grafico ha due semitangenti diverse. Se una derivata è infinita, una semitangente è verticale: è l’ultimo grafico, la funzione che vale 0 per $x < 0$ e $\sqrt{x}$ per $x \geq 0$, con $f'_-(0) = 0$ e $f'_+(0) = +\infty$.

Nella cuspide le due semitangenti sono la stessa semiretta verticale e il grafico forma un becco. Con $f'_- = -\infty$ e $f'_+ = +\infty$, come per $\sqrt{\lvert x \rvert}$, la punta è in giù e c’è un minimo; nel caso opposto è in su e c’è un massimo.

Nel flesso a tangente verticale la tangente esiste, è la retta $x = x_0$, e il grafico passa da una parte all’altra salendo (o scendendo) in verticale. Nei casi tipici, come $\sqrt[3]{x}$, lì cambia anche la concavità: è uno dei flessi di concavità, convessità e flessi. Cosa succede alla tangente in tutti questi casi lo trovi in retta tangente e differenziale.

Come si studia la derivabilità in un punto

La scaletta.

1. Continuità. Controlla che $f$ sia continua in $x_0$. Se non lo è, non è derivabile e hai finito.
2. Derivate laterali. Calcola $f'_-(x_0)$ e $f'_+(x_0)$: con la definizione, oppure, se $f$ è derivabile vicino a $x_0$, come limiti di $f'(x)$ grazie al teorema del prossimo paragrafo.
3. Confronto. Leggi il risultato nella tabella, dove $\ell$, $\ell_1$ e $\ell_2$ sono numeri reali.

$f'_-(x_0)$	$f'_+(x_0)$	Il punto è
$\ell$	$\ell$	derivabile, $f'(x_0) = \ell$
$\ell_1$	$\ell_2 \neq \ell_1$	punto angoloso
finita	$\pm\infty$	punto angoloso
$\pm\infty$	finita	punto angoloso
$-\infty$	$+\infty$	cuspide, punta in giù
$+\infty$	$-\infty$	cuspide, punta in su
$+\infty$	$+\infty$	flesso a tangente verticale
$-\infty$	$-\infty$	flesso a tangente verticale
non esiste	qualsiasi	non derivabile

Un punto angoloso o una cuspide possono essere un massimo o un minimo anche se lì $f'$ non si annulla: nella ricerca di massimi e minimi vanno sempre aggiunti ai candidati.

Il teorema del limite della derivata

I rapporti incrementali possono essere lunghi. Di solito si calcola $f'(x)$ con le regole di derivazione nei punti $x \neq x_0$ e se ne fa il limite per $x \to x_0$. Il teorema dice quando è lecito.

Dimostrazione. Prendi $0 < h < \delta$. Sull’intervallo $[x_0, x_0 + h]$ la funzione è continua (in $x_0$ per ipotesi, negli altri punti perché derivabile) e all’interno è derivabile. Per il teorema di Lagrange esiste un punto $\xi_h \in (x_0, x_0 + h)$ con

$$\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = f'(\xi_h)$$

Quando $h \to 0^+$, il punto $\xi_h$, schiacciato tra $x_0$ e $x_0 + h$, tende a $x_0$ da destra. Quindi $f'(\xi_h) \to \ell$, e il rapporto incrementale con lui.

Esempio. Per $\sqrt[3]{x}$, fuori da 0 la derivata è $\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$, che tende a $+\infty$ da entrambi i lati. Siccome la funzione è continua, $f'_\pm(0) = +\infty$: flesso a tangente verticale, come con la definizione.

Senza continuità il teorema è falso. Considera

$$f(x) = \begin{cases} x & x \leq 0 \\ x + 1 & x > 0 \end{cases}$$

Fuori da 0 la derivata vale $1$, quindi $\displaystyle\lim_{x \to 0} f'(x) = 1$. Ma in 0 c’è un salto e $f$ non è derivabile: da destra il rapporto incrementale è $\frac{(h + 1) - 0}{h} \to +\infty$. La derivata vede la pendenza dei pezzi, non il fatto che sono staccati.

Il viceversa è falso. Se $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f'(x)$ non esiste, non si può concludere nulla: si torna alla definizione. Sia $g(x) = x^2\sin\frac{1}{x}$ per $x \neq 0$, con $g(0) = 0$. In 0 il rapporto incrementale è

$$\frac{g(h) - g(0)}{h} = h\sin\frac{1}{h} \to 0$$

perché $\lvert h\sin\frac{1}{h} \rvert \leq \lvert h \rvert$. Quindi $g'(0) = 0$: il grafico, stretto tra le parabole $y = \pm x^2$, è tangente all’asse $x$ (seconda parte della figura con le oscillazioni). Però fuori da 0

$$g'(x) = 2x\sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}$$

e per $x \to 0$ il primo termine tende a 0, mentre $\cos\frac{1}{x}$ oscilla tra $-1$ e $1$: $\displaystyle\lim_{x \to 0} g'(x)$ non esiste. La derivata c’è ovunque, ma non è continua in 0.

Una conseguenza. La derivata di una funzione derivabile su un intervallo non può avere salti né discontinuità eliminabili: dove i limiti laterali di $f'$ esistono finiti, per il teorema coincidono con $f'(x_0)$. Restano solo discontinuità come quella di $g'$, con un limite che non esiste.

Funzioni definite a tratti

Nel punto di raccordo $x_0$ di una funzione

$$f(x) = \begin{cases} f_1(x) & x \leq x_0 \\ f_2(x) & x > x_0 \end{cases}$$

con $f_1$ e $f_2$ derivabili vicino a $x_0$, servono due condizioni, in quest’ordine:

1. continuità: $f_1(x_0) = f_2(x_0)$, lo stesso valore;
2. stessa pendenza: $f_1'(x_0) = f_2'(x_0)$.

Perché l’ordine conta? A sinistra $f$ coincide con $f_1$, punto $x_0$ compreso, quindi $f'_-(x_0) = f_1'(x_0)$. A destra il rapporto incrementale usa $f(x_0) = f_1(x_0)$: è quello di $f_2$ solo se $f_1(x_0) = f_2(x_0)$. Senza la prima condizione la seconda non vale nulla, come nel salto con pendenze uguali visto sopra.

Esempio 1. Trovare $a$ e $b$ in modo che sia derivabile su tutto $\mathbb{R}$

$$f(x) = \begin{cases} x^2 & x \leq 1 \\ ax + b & x > 1 \end{cases}$$

I pezzi sono polinomi, resta il raccordo $x = 1$. Continuità: $1^2 = a + b$. Pendenze: a sinistra $(x^2)' = 2x$ vale 2 in 1, a destra la pendenza è $a$. Quindi $a = 2$ e $b = -1$. La retta $y = 2x - 1$ è proprio la tangente alla parabola nel punto $(1, 1)$: il secondo pezzo prosegue il primo senza spigoli.

La figura mostra cosa succede con altre scelte. Con $a = 1$ e $b = 1$ la retta parte da altezza 2: salto. Con $a = 3$ e $b = -2$ il raccordo è continuo ($3 - 2 = 1$), ma le pendenze sono 2 e 3: punto angoloso. Solo con $a = 2$ e $b = -1$ la funzione è derivabile.

Esempio 2. In continuità era rimasta in sospeso la funzione che vale $x^2 + a$ per $x \leq 1$ e $bx$ per $x > 1$: la continuità dava solo $1 + a = b$, con infinite soluzioni. La derivabilità aggiunge la seconda equazione, $2 = b$. Quindi $b = 2$ e $a = 1$.

Il valore assoluto: dove nascono gli spigoli

Le funzioni con il valore assoluto sono la fonte più comune di punti angolosi. Sia $f(x) = \lvert g(x) \rvert$, con $g$ derivabile.

• Dove $g(x_0) \neq 0$, vicino a $x_0$ la funzione $g$ ha segno costante, perché è continua: $f$ coincide con $g$ o con $-g$, ed è derivabile.
• Dove $g(x_0) = 0$, il rapporto incrementale di $f$ si spezza così:

$$\frac{\lvert g(x_0 + h) \rvert}{h} = \left\lvert \frac{g(x_0 + h)}{h} \right\rvert \cdot \frac{\lvert h \rvert}{h}$$

Il primo fattore tende a $\lvert g'(x_0) \rvert$, perché $g(x_0) = 0$; il secondo vale $1$ per $h > 0$ e $-1$ per $h < 0$. Quindi $f'_\pm(x_0) = \pm\lvert g'(x_0) \rvert$.

Per un polinomio, $g'(x_0) \neq 0$ vuol dire che $x_0$ è uno zero semplice; negli zeri multipli anche $g'$ si annulla. Esempi: $\lvert x^2 - 4 \rvert$ in 2 ha $g'(2) = 4$, quindi derivate laterali $\pm 4$: punto angoloso. $\lvert \sin x \rvert$ ha uno spigolo in ogni multiplo di $\pi$, dove $\cos x = \pm 1$. Invece $\lvert x^3 \rvert$ è derivabile in 0, con derivata 0. Altri esempi in studio di funzione con valore assoluto.

La funzione di Weierstrass: continua ovunque, mai derivabile

All’inizio dell’Ottocento si pensava che una funzione continua fosse derivabile ovunque, salvo qualche spigolo isolato; André-Marie Ampère credette perfino di averlo dimostrato. Nel 1872, all’Accademia delle Scienze di Berlino, Karl Weierstrass presentò un controesempio clamoroso, la somma infinita

$$W(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a^n \cos\left(b^n \pi x\right)$$

con $0 < a < 1$, $b$ intero dispari e $ab > 1 + \frac{3}{2}\pi$, per esempio $a = \frac{1}{2}$ e $b = 13$: oscillazioni sempre più fitte e sempre più piccole. Ogni termine non supera $a^n$ in valore assoluto e la serie geometrica degli $a^n$ converge: da qui si dimostra che $W$ è continua. Ma $W$ non è derivabile in nessun punto: ingrandendo il grafico compaiono nuovi spigoli a ogni scala. La dimostrazione è lunga e non la vediamo. Nel 1916 G. H. Hardy mostrò che basta $ab \geq 1$, con $b > 1$.

L’esempio fu pubblicato nel 1875, in un articolo di Paul du Bois-Reymond. Molti le considerarono «mostri»: nel 1893 Charles Hermite scrisse a Thomas Stieltjes che si allontanava «con spavento e orrore» da questa «piaga lamentevole delle funzioni continue che non hanno derivata». Eppure non sono curiosità: nel modello matematico del moto browniano le traiettorie sono continue e, con probabilità 1, mai derivabili, come dimostrarono Paley, Wiener e Zygmund nel 1933.

Derivabilità in fisica: la pallina che rimbalza

Se $y(t)$ è l’altezza di una pallina, la sua derivata è la velocità. Nel modello ideale, al rimbalzo la velocità passa di colpo da $-v$, verso il basso, a $+v$, verso l’alto. La posizione è continua, ma il grafico di $y(t)$ ha un punto angoloso a ogni rimbalzo, con derivata sinistra $-v$ e destra $v$. La velocità ha un salto e lì l’accelerazione non esiste: è il segno di una forza enorme e brevissima, che si tratta con l’impulso. Una pallina vera si schiaccia per un istante e la velocità cambia in modo continuo, ma rapidissimo: lo spigolo è un’idealizzazione comoda.

Gli errori più comuni

• Pensare che continua voglia dire derivabile. $\lvert x \rvert$ e $\sqrt[3]{x}$ sono continue in 0 ma non derivabili. Vale solo il contrario.
• Saltare il controllo della continuità. Una funzione discontinua non è derivabile, anche se il rapporto incrementale tende a $+\infty$ da entrambi i lati, come per la funzione segno.
• Usare il limite della derivata senza continuità. Con un salto, $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f'(x)$ può esistere finito anche se $f$ non è derivabile.
• Dire «non derivabile» perché il limite di $f'$ non esiste. $x^2\sin\frac{1}{x}$ è derivabile in 0 anche se $f'$ lì non ha limite: si torna alla definizione.
• Imporre solo l’uguaglianza delle derivate nelle funzioni a tratti. Prima lo stesso valore, poi la stessa pendenza.
• Pensare che il valore assoluto crei sempre uno spigolo. Negli zeri multipli, come per $\lvert x^3 \rvert$ in 0, la funzione è derivabile.
• Scambiare cuspide e flesso a tangente verticale. Conta il segno delle derivate infinite: opposto nella cuspide, uguale nel flesso.
• Chiamare discontinuità un punto angoloso. In uno spigolo manca la derivata, non la continuità.

Esercizi svolti

1. Un punto angoloso con la definizione

Testo. Studia la derivabilità di $f(x) = (x + 1)\lvert x - 2 \rvert$ nel punto $x_0 = 2$.

La funzione è continua su tutto $\mathbb{R}$, perché prodotto di funzioni continue, e $f(2) = 3 \cdot 0 = 0$. Scriviamo il rapporto incrementale con $x = 2 + h$:

$$\frac{f(2 + h) - f(2)}{h} = \frac{(3 + h)\lvert h \rvert}{h}$$

Per $h > 0$ si ha $\lvert h \rvert = h$ e il rapporto vale $3 + h \to 3$. Per $h < 0$ si ha $\lvert h \rvert = -h$ e il rapporto vale $-(3 + h) \to -3$. Quindi $f'_+(2) = 3$ e $f'_-(2) = -3$.

Controllo con la proprietà del valore assoluto: vicino a 2 il fattore $x + 1$ è positivo, quindi $f(x) = \lvert x^2 - x - 2 \rvert$, e la derivata dell’argomento in 2 vale $2 \cdot 2 - 1 = 3$. Le derivate laterali sono $\pm 3$, finite e diverse: in $x = 2$ c’è un punto angoloso, che è anche un minimo relativo, perché $f \geq 0$ vicino a 2 e $f(2) = 0$.

2. Valore assoluto con uno zero doppio

Testo. Trova i punti in cui $f(x) = \lvert x^3 - x^2 \rvert$ non è derivabile e classificali.

$f$ è continua ovunque. L’argomento $g(x) = x^3 - x^2 = x^2(x - 1)$ si annulla in $x = 0$, zero doppio, e in $x = 1$, zero semplice. Negli altri punti $f$ è derivabile. Con $g'(x) = 3x^2 - 2x$:

• in 0, $g'(0) = 0$: $f$ è derivabile con $f'(0) = 0$. Verifica con la definizione: il rapporto è $\frac{h^2\lvert h - 1 \rvert}{h} = h\lvert h - 1 \rvert \to 0$;
• in 1, $g'(1) = 3 - 2 = 1$: le derivate laterali sono $f'_-(1) = -1$ e $f'_+(1) = 1$.

L’unico punto di non derivabilità è $x = 1$, un punto angoloso. In 0 il grafico tocca l’asse $x$ con tangente orizzontale, senza spigoli.

3. Una cuspide e un flesso a tangente verticale

Testo. Classifica i punti di non derivabilità di $f(x) = \sqrt[3]{x^3 - 3x^2}$.

La radice cubica è definita e continua su tutto $\mathbb{R}$, quindi anche $f$. Dove il radicando non è zero, con la regola della catena:

$$\begin{gathered} f'(x) = \frac{3x^2 - 6x}{3\sqrt[3]{(x^3 - 3x^2)^2}} \\ {} = \frac{x(x - 2)}{\sqrt[3]{x^4 (x - 3)^2}} \end{gathered}$$

Il radicando $x^2(x - 3)$ si annulla in 0 e in 3. Lì $f$ è continua, quindi possiamo usare il teorema del limite della derivata.

In 0. Siccome $\sqrt[3]{x^4} = x\sqrt[3]{x}$, per $x \neq 0$ si semplifica una $x$:

$$f'(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{x - 2}{\sqrt[3]{(x - 3)^2}}$$

Il secondo fattore tende a $-\frac{2}{\sqrt[3]{9}} < 0$, il primo a $+\infty$ da destra e a $-\infty$ da sinistra. Quindi:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to 0^-} f'(x) = +\infty \\ \lim_{x \to 0^+} f'(x) = -\infty \end{gathered}$$

Infinite di segno opposto: cuspide con la punta in su. È un massimo relativo, $f(0) = 0$.

In 3. Il numeratore tende a $3 \cdot 1 = 3$, il denominatore a 0 restando positivo, da entrambi i lati. Quindi $f'(x) \to +\infty$ da destra e da sinistra: flesso a tangente verticale. Il segno di $f'$ è quello di $x(x - 2)$: $f$ cresce fino a 0, decresce fino al minimo in $x = 2$ e poi cresce, passando in verticale per $(3, 0)$.

4. Una funzione a tratti con due parametri

Testo. Al variare di $a$ e $b$ reali, studia continuità e derivabilità in 0 di

$$f(x) = \begin{cases} a\sin x + b & x < 0 \\ e^{2x} & x \geq 0 \end{cases}$$

I due pezzi sono derivabili, quindi resta solo il punto 0, che appartiene al secondo pezzo: $f(0) = e^0 = 1$.

Continuità. Da destra $e^{2x} \to 1$; da sinistra $a\sin x + b \to b$. Serve $b = 1$. Se $b \neq 1$ c’è un salto, di ampiezza $\lvert 1 - b \rvert$, e $f$ non è né continua né derivabile.

Derivabilità, con $b = 1$. A destra $f$ coincide con $e^{2x}$, punto 0 compreso, quindi $f'_+(0) = 2e^0 = 2$. A sinistra $f$ è continua in 0 e $f'(x) = a\cos x \to a$, quindi, per il teorema del limite della derivata, $f'_-(0) = a$. Serve $a = 2$.

Riassumendo: con $b \neq 1$ c’è un salto; con $b = 1$ e $a \neq 2$ la funzione è continua ma ha un punto angoloso, con pendenze $a$ e $2$; con $b = 1$ e $a = 2$ è derivabile, con $f'(0) = 2$ e tangente $y = 1 + 2x$. Sono i tre casi della figura sulle funzioni a tratti.

5. La derivata ha limite, ma la funzione non è derivabile

Testo. Sia $f(x) = \arctan\frac{1}{x}$ per $x \neq 0$, con $f(0) = \frac{\pi}{2}$. Calcola $\displaystyle\lim_{x \to 0} f'(x)$. Puoi concludere che $f$ è derivabile in 0? Calcola le derivate destra e sinistra in 0.

Per $x \neq 0$, con la regola della catena e la derivata dell’arcotangente:

$$\begin{gathered} f'(x) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x^2}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) \\ {} = -\frac{1}{x^2 + 1} \end{gathered}$$

Quindi $f'(x) \to -1$ da entrambi i lati. Sembra che $f'(0) = -1$, ma prima va controllata la continuità. Per $x \to 0^+$, $\frac{1}{x} \to +\infty$ e $f(x) \to \frac{\pi}{2}$; per $x \to 0^-$, $\frac{1}{x} \to -\infty$ e $f(x) \to -\frac{\pi}{2}$. In 0 c’è un salto di ampiezza $\pi$: $f$ non è derivabile.

Derivata destra. Da destra $f$ è continua, perché il limite destro è $\frac{\pi}{2} = f(0)$. Il teorema, nella versione da un lato, dà $f'_+(0) = -1$.

Derivata sinistra. Qui il teorema non si applica e serve la definizione. Il numeratore tende a $-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = -\pi$, il denominatore a $0^-$:

$$\lim_{h \to 0^-} \frac{\arctan\frac{1}{h} - \frac{\pi}{2}}{h} = +\infty$$

Quindi $f'_-(0) = +\infty$. Il motivo dell’inganno: per $x > 0$ vale $\arctan\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \arctan x$, per $x < 0$ vale $-\frac{\pi}{2} - \arctan x$. Due copie di $-\arctan x$ spostate in verticale: stessa pendenza, ma staccate.

6. Continuità e derivabilità al variare di un esponente

Testo. Sia $\alpha$ un numero reale e sia $f(x) = \lvert x \rvert^\alpha \sin\frac{1}{x}$ per $x \neq 0$, con $f(0) = 0$. Per quali $\alpha$ la funzione è continua in 0? Per quali è derivabile in 0? Per quali $f'$ è continua in 0?

Useremo due successioni che tendono a 0 da destra: $x_n = \frac{1}{\pi/2 + 2n\pi}$, dove il seno vale 1, e $y_n = \frac{1}{n\pi}$, dove il seno vale 0.

Continuità. Se $\alpha > 0$, $\lvert f(x) \rvert \leq \lvert x \rvert^\alpha \to 0$, e per il teorema dei carabinieri $f$ è continua. Se $\alpha \leq 0$, $f(x_n) = x_n^\alpha \geq 1$, perché $x_n < 1$, mentre $f(y_n) = 0$: il limite non esiste. Continua se e solo se $\alpha > 0$.

Derivabilità, con $\alpha > 0$. Il rapporto incrementale è

$$\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{\lvert h \rvert^\alpha}{h}\sin\frac{1}{h}$$

e in valore assoluto non supera $\lvert h \rvert^{\alpha - 1}$. Se $\alpha > 1$ tende a 0: $f$ è derivabile e $f'(0) = 0$. Se $0 < \alpha \leq 1$, lungo $x_n$ il rapporto vale $x_n^{\alpha - 1} \geq 1$, lungo $y_n$ vale 0: niente limite, $f$ non è derivabile.

Continuità di $f'$, con $\alpha > 1$. La funzione è dispari, quindi $f'$ è pari e basta guardare $x > 0$, dove $f(x) = x^\alpha \sin\frac{1}{x}$:

$$\begin{gathered} f'(x) = \alpha x^{\alpha - 1}\sin\frac{1}{x} \\ {} - x^{\alpha - 2}\cos\frac{1}{x} \end{gathered}$$

Il primo termine tende a 0. Se $\alpha > 2$ anche il secondo, quindi $f'(x) \to 0 = f'(0)$ e $f'$ è continua. Se $1 < \alpha \leq 2$, nei punti $z_n = \frac{1}{2n\pi}$ il seno vale 0 e il coseno 1, quindi $f'(z_n) = -z_n^{\alpha - 2} \leq -1$, mentre $f'(x_n) = \alpha x_n^{\alpha - 1} \to 0$: $f'$ non ha limite in 0.

In conclusione: continua per $\alpha > 0$, derivabile per $\alpha > 1$, con derivata continua per $\alpha > 2$. Con $\alpha = 2$ ritrovi proprio $x^2\sin\frac{1}{x}$: derivabile, ma con derivata discontinua.

Altri esercizi sulla derivabilità li trovi negli esercizi svolti sulle derivate.

In sintesi

• Derivabile in $x_0$ implica continua in $x_0$: in un punto di discontinuità non c’è derivata. Il viceversa è falso.
• $f$ è derivabile in $x_0$ se e solo se $f'_-(x_0)$ e $f'_+(x_0)$ esistono, finite e uguali.
• Per $f$ continua: punto angoloso (derivate laterali diverse, almeno una finita), cuspide (infinite di segno opposto), flesso a tangente verticale (infinite dello stesso segno).
• Scaletta: continuità, derivate laterali, confronto con la tabella.
• Limite della derivata: se $f$ è continua in $x_0$, derivabile vicino a $x_0$ e $f'(x) \to \ell$, allora $f'(x_0) = \ell$. Senza continuità è falso; se il limite non esiste, si usa la definizione.
• Funzioni a tratti: $f_1(x_0) = f_2(x_0)$ e $f_1'(x_0) = f_2'(x_0)$.
• $\lvert g \rvert$ in uno zero di $g$: punto angoloso se $g'(x_0) \neq 0$, derivabile se $g'(x_0) = 0$.
• Esistono funzioni continue ovunque e mai derivabili, come quella di Weierstrass.

Nel prossimo articolo usiamo la derivata per scrivere l’equazione della tangente e per fare approssimazioni: retta tangente e differenziale.