Teorema di Weierstrass: enunciato, dimostrazione, massimi e minimi ed esercizi svolti

Tra tutti i rettangoli con lo stesso perimetro, qual è quello di area massima? Prima di cercare la risposta, conviene chiedersi se esiste. Il teorema di Weierstrass dà questa garanzia: una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato ha sempre un valore massimo e un valore minimo. Con il teorema degli zeri è il risultato chiave del capitolo sulla continuità, e all’esame si chiede di dimostrarlo e di usarlo. In questa pagina vediamo massimo, minimo ed estremo superiore di una funzione, l’enunciato e cosa non dice, la dimostrazione completa, un controesempio per ogni ipotesi, l’immagine di un intervallo chiuso, come si trovano massimo e minimo in pratica, un problema di ottimizzazione, la versione su tutta la retta, il ruolo dei numeri reali, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

L’idea: la cima e il fondovalle

Immagina un sentiero da un rifugio a un altro e la quota in ogni suo punto. Se il sentiero ha un inizio e una fine (intervallo limitato), se partenza e arrivo fanno parte del percorso (intervallo chiuso) e se la quota cambia senza salti (funzione continua), c’è un punto più alto di tutti e uno più basso di tutti: magari più di uno, magari alla partenza, ma ci sono.

Togli una condizione e puoi perderli: se la cima è un arrivo escluso dal percorso, ti avvicini senza arrivarci; se il sentiero è infinito e sale sempre più piano, lo stesso; se la quota salta, il punto più alto può mancare proprio lì.

Massimo e minimo assoluti: il valore e il punto

Il massimo è una $y$, il punto di massimo è una $x$. Il massimo, se esiste, è uno solo; i punti in cui viene raggiunto possono essere tanti: $\sin x$ su $[0, 4\pi]$ ha massimo 1, raggiunto in $\frac{\pi}{2}$ e in $\frac{5\pi}{2}$. E «assoluto» vuol dire confrontato con tutti i punti di $I$, non solo con quelli vicini.

Estremo superiore e inferiore di una funzione

Quando il massimo non c’è, il suo posto lo prende l’estremo superiore, visto per gli insiemi di numeri e qui applicato ai valori di $f$:

$$\sup_{x \in I} f(x) = \sup\,\{f(x) : x \in I\}$$

È il più piccolo numero maggiore o uguale a tutti i valori, oppure $+\infty$ se $f$ non è limitata superiormente; $\inf f$ si definisce allo stesso modo dal basso.

Esempio. $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$ su $\mathbb{R}$. Il denominatore è almeno 1, quindi $0 < f(x) \leq 1$, e $f(0) = 1$: il massimo è 1, nel punto $x = 0$. Per $x \to \pm\infty$ i valori tendono a 0, che non è mai raggiunto: $\inf f = 0$ e il minimo non esiste.

Il teorema di Weierstrass

• Continua su $[a, b]$ vuol dire continua nei punti interni, da destra in $a$ e da sinistra in $b$. Per le funzioni elementari basta che l’intervallo stia tutto nel dominio.
• Chiuso: gli estremi $a$ e $b$ fanno parte dell’intervallo. Limitato: $a$ e $b$ sono numeri reali, non $\pm\infty$.

In parole: $\sup f$ e $\inf f$ sono finiti e raggiunti.

Esempio. $f(x) = x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$ su $[0, 3]$ è continua: il teorema si applica. Il minimo è $-1$, nel punto interno $x = 1$; il massimo è $3$, nell’estremo $x = 3$, perché $(x - 1)^2 \leq 4$ quando $-1 \leq x - 1 \leq 2$.

Cosa il teorema non dice

• Dove sono. È un teorema di esistenza: massimo e minimo possono stare agli estremi o all’interno.
• Quanti sono i punti. Il massimo è unico, i punti di massimo no.
• Non si può rovesciare. Le ipotesi sono sufficienti, non necessarie. La funzione segno, che vale $-1$ per $x < 0$, $0$ in $0$ e $1$ per $x > 0$, è discontinua, eppure su $[-1, 1]$ ha massimo 1 e minimo $-1$; e $\sin x$ ha massimo e minimo su $\mathbb{R}$, che non è limitato. Quando un’ipotesi manca, il teorema tace.

La dimostrazione

È la dimostrazione che si chiede all’orale. Il primo strumento è un teorema sulle successioni:

Lo trovi dimostrato nelle sottosuccessioni. Se poi $a \leq x_n \leq b$ per ogni $n$ e $x_{n_k} \to c$, anche $a \leq c \leq b$, perché il limite conserva le disuguaglianze larghe. Qui serve l’intervallo chiuso: in $(0, 1]$ la successione $\frac{1}{n}$ tende a 0, che è fuori.

Il secondo strumento è la continuità con le successioni, vista nella continuità: se $x_{n_k} \to c$ e $f$ è continua in $c$, allora $f(x_{n_k}) \to f(c)$.

Passo 1: f è limitata

Per assurdo, supponiamo che $f$ non sia limitata su $[a, b]$. Allora per ogni $n \geq 1$ c’è un punto $x_n \in [a, b]$ con

$$\lvert f(x_n) \rvert > n$$

La successione $x_n$ è limitata: per Bolzano-Weierstrass una sottosuccessione $x_{n_k}$ converge a un $c$, che sta in $[a, b]$ perché l’intervallo è chiuso. Per la continuità in $c$, $f(x_{n_k}) \to f(c)$, un numero finito. Ma gli indici $n_k$ sono naturali strettamente crescenti, quindi $n_k \geq k$ e $\lvert f(x_{n_k}) \rvert > k$, che tende a $+\infty$. Assurdo: $f$ è limitata.

Passo 2: l’estremo superiore è raggiunto

Per il passo 1 i valori di $f$ formano un insieme limitato, che per la completezza dei reali ha un estremo superiore finito $M$. Per ogni $n \geq 1$ il numero $M - \frac{1}{n}$ non è un maggiorante, quindi c’è un punto $x_n \in [a, b]$ con

$$M - \frac{1}{n} < f(x_n) \leq M$$

Di nuovo Bolzano-Weierstrass dà una sottosuccessione $x_{n_k} \to c \in [a, b]$. Da una parte $f(x_{n_k}) \to M$, per il teorema dei carabinieri; dall’altra $f(x_{n_k}) \to f(c)$, per la continuità. Il limite è unico, quindi

$$f(c) = M$$

e $M$ è il massimo, con punto di massimo $c$. Per il minimo si applica tutto a $-f$, che è continua: un punto di massimo di $-f$ è un punto di minimo di $f$.

Nella figura i punti $x_n$ hanno valori sempre più vicini a $M$ e si accumulano verso $c$: la continuità obbliga $f(c)$ a valere proprio $M$.

Dove serve ogni ipotesi

Ipotesi	Dove serve
limitato	Bolzano-Weierstrass
chiuso	$c$ resta in $[a, b]$
continua	$f(x_{n_k}) \to f(c)$
numeri reali	esistono sup e limite

Ogni ipotesi serve: un controesempio per ciascuna

Se un’ipotesi manca, la dimostrazione si rompe in un punto preciso. Nel primo grafico il teorema si applica, negli altri tre no.

• Intervallo non chiuso. $f(x) = x$ su $(0, 1)$ è continua e limitata, ma $\sup f = 1$ e $\inf f = 0$ non sono raggiunti: niente massimo né minimo. Si rompe il passo 2, perché i punti $x_n$ tendono a 1, che è fuori. Con $\frac{1}{x}$ su $(0, 1]$ si rompe già il passo 1: $\frac{1}{x} \to +\infty$ per $x \to 0^+$. Il minimo invece c’è: 1, in $x = 1$.
• Intervallo illimitato. $\arctan x$ su $\mathbb{R}$ è continua e limitata, ma $\arctan x < \frac{\pi}{2}$ per ogni $x$: l’estremo superiore $\frac{\pi}{2}$ non è raggiunto (vedi le funzioni goniometriche inverse). I punti $x_n$ scappano verso $+\infty$ e Bolzano-Weierstrass non si applica.
• Funzione discontinua. Su $[0, 1]$ la funzione che vale $x$ per $0 \leq x < 1$ e $0$ in $x = 1$ ha estremo superiore 1, mai raggiunto: i punti $x_n$ tendono a 1, ma lì $f$ salta. Una discontinuità può rompere anche il passo 1: $f(x) = \frac{1}{x}$ per $0 < x \leq 1$, con $f(0) = 0$, è definita su tutto $[0, 1]$ ma non è limitata.

L’immagine di un intervallo chiuso è un intervallo chiuso

Perché è vero. Ogni valore di $f$ sta tra $m$ e $M$. Viceversa, se $m \leq y \leq M$, il teorema dei valori intermedi applicato tra $x_m$ e $x_M$ dà un punto di $[a, b]$ in cui $f$ vale $y$.

Negli esercizi: l’equazione $f(x) = k$ ha almeno una soluzione in $[a, b]$ se e solo se $m \leq k \leq M$.

Come si trovano massimo e minimo in pratica

Weierstrass dice che massimo e minimo esistono, non dove. Per trovarli serve la derivata, con il teorema di Fermat dei teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy: se un punto di massimo o di minimo è interno e $f$ è derivabile lì, allora $f'(x_0) = 0$. Se non hai ancora studiato le derivate, torna qui dopo quel capitolo.

1. Controlla le ipotesi: $f$ continua su $[a, b]$ chiuso e limitato. Così massimo e minimo esistono.
2. Elenca i candidati: gli estremi $a$ e $b$, i punti interni in cui $f'(x) = 0$, i punti interni in cui $f$ non è derivabile (punti angolosi, cuspidi).
3. Calcola $f$ in ogni candidato.
4. Confronta: il valore più grande è il massimo, il più piccolo il minimo. Non serve il segno di $f'$.

Sugli intervalli aperti, dove il massimo può mancare, serve la tabella del segno di $f'$, nei massimi e minimi di una funzione.

Un esempio completo

Troviamo massimo e minimo di $f(x) = \lvert x^2 - 4 \rvert$ su $[-3, 1]$.

Ipotesi. $f$ è continua, composta di un polinomio e del valore assoluto, su un intervallo chiuso e limitato.

Candidati. Si ha $x^2 - 4 \geq 0$ per $\lvert x \rvert \geq 2$, quindi su $[-3, 1]$:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & -3 \leq x \leq -2 \\ 4 - x^2 & -2 < x \leq 1 \end{cases}$$

Su $(-3, -2)$ la derivata è $2x$, sempre negativa. Su $(-2, 1)$ è $-2x$, che si annulla in $x = 0$. In $x = -2$ la derivata sinistra vale $-4$ e la destra $4$: punto angoloso, $f$ non è derivabile. I candidati sono $-3$, $-2$, $0$ e $1$.

$x$	tipo	$f(x)$
$-3$	estremo	$5$
$-2$	punto angoloso	$0$
$0$	$f'(x) = 0$	$4$
$1$	estremo	$3$

Confronto. Il massimo è $5$, nell’estremo $x = -3$, dove $f' \neq 0$: chi guarda solo i punti stazionari lo perde. Il minimo è $0$, nel punto angoloso $x = -2$. Il punto $x = 0$ è un massimo relativo, non assoluto. L’immagine è $[0, 5]$.

Un problema di ottimizzazione

Tra tutti i rettangoli con perimetro 20 cm, quale ha l’area più grande? Se un lato misura $x$, l’altro misura $10 - x$, e l’area è

$$A(x) = x\,(10 - x) \qquad 0 \leq x \leq 10$$

Includiamo i rettangoli «schiacciati» su un segmento, $x = 0$ e $x = 10$, con area 0: così l’intervallo è chiuso e per Weierstrass il massimo esiste; non è agli estremi, quindi è un rettangolo vero. Completando il quadrato:

$$A(x) = 10x - x^2 = 25 - (x - 5)^2$$

Quindi $A(x) \leq 25$, con l’uguaglianza solo per $x = 5$: il migliore è il quadrato di lato 5 cm, con area 25 cm².

E il rettangolo di area minima? Tra quelli veri, con $0 < x < 10$, l’area è positiva ma piccola quanto vuoi: l’estremo inferiore 0 non è raggiunto, e non esiste. Sull’intervallo aperto Weierstrass non si applica, e il minimo si perde proprio agli estremi. Altri esempi nei problemi di massimo e minimo.

Su tutta la retta: Weierstrass generalizzato

Se una funzione su $\mathbb{R}$ «sale» all’infinito da entrambe le parti, il minimo resta intrappolato in una zona limitata.

Perché è vero. Per la definizione di limite esiste $R > 0$ tale che $f(x) > f(0)$ per $\lvert x \rvert > R$. Su $[-R, R]$ Weierstrass dà un minimo $m$, e $m \leq f(0)$ perché 0 sta in $[-R, R]$. Fuori, $f(x) > f(0) \geq m$. Quindi $m$ è il minimo su tutto $\mathbb{R}$.

Allo stesso modo, con i limiti $-\infty$ c’è il massimo; e se $f$ tende a 0 all’infinito e assume un valore positivo, c’è il massimo: due esempi sono negli esercizi svolti sulla continuità.

Esempio. $f(x) = e^x + e^{-2x}$ è continua e tende a $+\infty$ per $x \to +\infty$ (per il primo termine) e per $x \to -\infty$ (per il secondo): ha minimo, e nessun massimo. Il punto di minimo è interno, perché $\mathbb{R}$ non ha estremi, e lì per Fermat la derivata si annulla:

$$\begin{gathered} f'(x) = e^x - 2e^{-2x} = 0 \\ \iff e^{3x} = 2 \iff x = \frac{\ln 2}{3} \end{gathered}$$

È l’unico punto stazionario, circa $0{,}231$, quindi è il punto di minimo. Lì $e^x = \sqrt[3]{2}$ ed $e^{-2x} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$:

$$\begin{gathered} \min f = \sqrt[3]{2} + \frac{1}{\sqrt[3]{4}} \\ {} = \frac{2 + 1}{\sqrt[3]{4}} \approx 1{,}89 \end{gathered}$$

Nota l’ordine: prima Weierstrass garantisce che il minimo esiste, poi Fermat dice dove cercarlo.

A cosa serve nel resto del corso

Da Weierstrass partono la dimostrazione del teorema di Rolle e il teorema della media dell’integrale definito. Il teorema di Heine-Cantor sulla continuità uniforme ha le stesse ipotesi e si dimostra con lo stesso strumento, Bolzano-Weierstrass.

Il ruolo dei numeri reali

La dimostrazione usa la completezza dei reali due volte: per l’esistenza dell’estremo superiore e per Bolzano-Weierstrass. Nei razionali il teorema è falso. Prendiamo solo i razionali di $[0, 2]$.

• $f(x) = \frac{1}{x^2 - 2}$ è definita e continua in tutti questi punti, perché nessun razionale ha quadrato 2. Ma vicino a $\sqrt{2}$ il denominatore è piccolissimo: $f(1{,}414) \approx -1656$ e $f(1{,}415) \approx 449$. $f$ non è limitata, né sopra né sotto: si rompe il passo 1.
• $g(x) = -(x^2 - 2)^2$ è limitata, con $g(x) \leq 0$, e con razionali vicini a $\sqrt{2}$ si avvicina a 0 quanto si vuole: $\sup g = 0$. Ma $g$ vale 0 solo in $\sqrt{2}$, che non è razionale: niente massimo.

Il buco è in Bolzano-Weierstrass: le approssimazioni $1$; $1{,}4$; $1{,}41$; $1{,}414$; … di $\sqrt{2}$ sono razionali e limitate, ma nessuna loro sottosuccessione ha limite in $\mathbb{Q}$.

Un po’ di storia

Il teorema porta il nome di Karl Weierstrass, che nelle sue lezioni a Berlino diede basi rigorose all’Analisi: il lemma oggi detto di Bolzano-Weierstrass compare negli appunti dei suoi corsi già nel 1863-64, e nel 1872 Eduard Heine pubblicò i teoremi sulle funzioni continue così come Weierstrass li insegnava a lezione, compreso questo. Il primo a dimostrare il teorema, però, era stato Bernard Bolzano, nel manoscritto Functionenlehre («teoria delle funzioni»), scritto probabilmente nei primi anni Trenta dell’Ottocento: una funzione continua su un intervallo chiuso è limitata e assume il valore più grande e il più piccolo. Il manoscritto restò inedito fino al 1930.

Gli errori più comuni

• Scrivere «per Weierstrass» senza controllare le ipotesi. Servono tutte e tre: continua, chiuso, limitato.
• Concludere che il massimo non esiste perché il teorema non si applica. Le ipotesi sono sufficienti, non necessarie: $\sin x$ su $\mathbb{R}$ ha massimo e minimo.
• Dimenticare gli estremi tra i candidati. Per $\lvert x^2 - 4 \rvert$ su $[-3, 1]$ il massimo è in $-3$, dove $f' \neq 0$.
• Dimenticare i punti in cui f non è derivabile. Nello stesso esempio il minimo è nel punto angoloso $x = -2$.
• Usare i candidati senza Weierstrass. Per $\frac{1}{x}$ su $(0, 1]$ l’unico candidato, $x = 1$, è il minimo, e il massimo non esiste.
• Confondere estremo superiore e massimo. $\arctan x$ ha estremo superiore $\frac{\pi}{2}$, ma nessun massimo.
• Credere che l’immagine sia l’intervallo tra f(a) e f(b). È garantito solo per le funzioni monotone.

Esercizi svolti

Gli esercizi dal 2 al 5 usano le derivate.

1. Si applica o no?

Testo. Di’ se il teorema di Weierstrass si applica, poi trova massimo e minimo, se esistono, oppure estremo superiore e inferiore.

1. $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$ su $[-2, 2]$
2. $g(x) = \ln x$ su $(0, e]$
3. $h(x) = x^2$ su $[-1, 2)$
4. $k(x) = \lfloor x \rfloor$ su $[0, 2]$, la parte intera

1. La radice è continua su tutto $[-2, 2]$: il teorema si applica. Da $0 \leq 4 - x^2 \leq 4$ segue $0 \leq f(x) \leq 2$: massimo 2, in $x = 0$; minimo 0, in due punti, $x = \pm 2$.

2. L’intervallo non è chiuso: non si applica. Il logaritmo è crescente: massimo $\ln e = 1$, in $x = e$. Per $x \to 0^+$, $\ln x \to -\infty$: estremo inferiore $-\infty$, niente minimo.

3. Non chiuso, perché 2 è escluso. Il minimo è 0, in $x = 0$. Per $-1 \leq x < 2$ si ha $x^2 < 4$, e per $x \to 2^-$ i valori tendono a 4: estremo superiore 4, non raggiunto, niente massimo. Il valore $h(-1) = 1$ nell’unico estremo incluso non è il massimo.

4. La parte intera è discontinua in 1 e in 2: non si applica. Ma $k$ vale 0 su $[0, 1)$, 1 su $[1, 2)$ e 2 in $x = 2$: massimo 2 e minimo 0.

Il quarto caso mostra che, quando il teorema tace, massimo e minimo possono esserci comunque.

2. Un polinomio su un intervallo chiuso

Testo. Trova massimo e minimo assoluti di $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x$ su $[-2, 3]$ e l’immagine $f([-2, 3])$.

$f$ è un polinomio, continuo su un intervallo chiuso e limitato: massimo e minimo esistono. La derivata è

$$\begin{gathered} f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \\ {} = 6(x^2 - x - 2) = 6(x - 2)(x + 1) \end{gathered}$$

e si annulla in $-1$ e in $2$, entrambi interni. Un polinomio è derivabile ovunque, quindi i candidati sono $-2$, $-1$, $2$ e $3$:

$$\begin{gathered} f(-2) = -16 - 12 + 24 = -4 \\ f(-1) = -2 - 3 + 12 = 7 \\ f(2) = 16 - 12 - 24 = -20 \\ f(3) = 54 - 27 - 36 = -9 \end{gathered}$$

Il massimo è 7, in $x = -1$, e il minimo è $-20$, in $x = 2$, entrambi interni. L’immagine è $[-20, 7]$.

3. Un’equazione con un parametro

Testo. Sia $f(x) = x + 2\cos x$ su $[0, \pi]$. Trova massimo e minimo, e di’ per quali $k$ l’equazione $x + 2\cos x = k$ ha almeno una soluzione in $[0, \pi]$.

$f$ è continua su un intervallo chiuso e limitato. La derivata $f'(x) = 1 - 2\sin x$ si annulla per $\sin x = \frac{1}{2}$, cioè in $x = \frac{\pi}{6}$ e $x = \frac{5\pi}{6}$. Con $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ e $\cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$x$	$f(x)$	circa
$0$	$2$	$2$
$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{6} + \sqrt{3}$	$2{,}256$
$\frac{5\pi}{6}$	$\frac{5\pi}{6} - \sqrt{3}$	$0{,}886$
$\pi$	$\pi - 2$	$1{,}142$

Il massimo è $\frac{\pi}{6} + \sqrt{3}$, in $x = \frac{\pi}{6}$; il minimo è $\frac{5\pi}{6} - \sqrt{3}$, in $x = \frac{5\pi}{6}$. Per il teorema dell’immagine l’equazione ha soluzione se e solo se

$$\frac{5\pi}{6} - \sqrt{3} \leq k \leq \frac{\pi}{6} + \sqrt{3}$$

cioè circa per $0{,}886 \leq k \leq 2{,}256$. Guardando solo $f(0) = 2$ e $f(\pi) \approx 1{,}142$ si troverebbe un intervallo sbagliato.

4. Massimo e minimo su tutta la retta

Testo. Dimostra che $f(x) = (x^2 - 1)\,e^{-x^2}$ ha massimo e minimo assoluti su $\mathbb{R}$, e trovali.

Esistenza. $f$ è continua e tende a 0 per $x \to \pm\infty$, perché l’esponenziale batte il polinomio. Inoltre $f(0) = -1$ e $f(2) = 3e^{-4} \approx 0{,}055$. Per la definizione di limite esiste $R \geq 2$ con $\lvert f(x) \rvert < 3e^{-4}$ per $\lvert x \rvert > R$. Su $[-R, R]$ Weierstrass dà un massimo $M \geq f(2)$ e un minimo $m \leq f(0) = -1$. Fuori da $[-R, R]$ si ha $f(x) < 3e^{-4} \leq M$ e $f(x) > -3e^{-4} > m$: $M$ e $m$ sono massimo e minimo su $\mathbb{R}$.

Dove sono. I punti sono interni e $f$ è derivabile, quindi lì la derivata si annulla:

$$\begin{gathered} f'(x) = 2x\,e^{-x^2} - 2x\,(x^2 - 1)\,e^{-x^2} \\ {} = 2x\,e^{-x^2}\,(2 - x^2) \end{gathered}$$

Si annulla in $0$ e in $\pm\sqrt{2}$, con $f(0) = -1$ e $f(\pm\sqrt{2}) = (2 - 1)\,e^{-2} \approx 0{,}135$. Il massimo è $e^{-2}$, in due punti, $x = \pm\sqrt{2}$; il minimo è $-1$, in $x = 0$.

5. Il punto della curva più vicino all’origine

Testo. Dimostra che sulla curva $y = e^x$ c’è un punto più vicino all’origine di tutti gli altri, e trova la sua ascissa con due decimali.

Un punto della curva è $P(x, e^x)$. La radice è crescente, quindi la distanza da $O$ è minima dove è minimo il suo quadrato:

$$d(x) = x^2 + e^{2x}$$

Esistenza. $d$ è continua e tende a $+\infty$ per $x \to +\infty$ (grazie a $e^{2x}$) e per $x \to -\infty$ (grazie a $x^2$): è coerciva, quindi ha minimo.

Il candidato. Il punto di minimo è interno e $d$ è derivabile:

$$\begin{gathered} d'(x) = 2x + 2e^{2x} = 0 \\ \iff x + e^{2x} = 0 \end{gathered}$$

$u(x) = x + e^{2x}$ è strettamente crescente, come somma di funzioni crescenti, e $u\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{e} \approx -0{,}132$, mentre $u(0) = 1$: per il teorema degli zeri ha esattamente uno zero $x_0$, che quindi è il punto di minimo. Da $u(-0{,}43) \approx -0{,}007$ e $u(-0{,}42) \approx 0{,}012$ segue $-0{,}43 < x_0 < -0{,}42$; più precisamente $x_0 \approx -0{,}426$, cioè $-0{,}43$ con due decimali.

Siccome $e^{2x_0} = -x_0$, il quadrato della distanza è $x_0^2 - x_0 \approx 0{,}608$: il punto più vicino è circa $(-0{,}43;\ 0{,}65)$, a distanza circa $0{,}78$.

6. Due conseguenze teoriche

Testo. Risolvi i due punti.

1. Sia $f$ continua su $[a, b]$ con $f(x) > 0$ per ogni $x$. Dimostra che esiste $c > 0$ tale che $f(x) \geq c$ per ogni $x \in [a, b]$. Vale ancora su $(0, 1]$?
2. Sia $f$ continua su $\mathbb{R}$ e periodica di periodo $T > 0$. Dimostra che $f$ ha massimo e minimo su $\mathbb{R}$.

1. Per Weierstrass $f$ ha minimo $m = f(x_m)$, con $x_m \in [a, b]$, e $m > 0$ perché $f$ è positiva anche in $x_m$: basta $c = m$. Quindi anche $\frac{1}{f} \leq \frac{1}{m}$ è limitata. Su $(0, 1]$ non vale: $f(x) = x$ è continua e positiva, ma per ogni $c > 0$ c’è un $x \in (0, 1]$ minore di $c$, e lì $f(x) < c$.

2. Su $[0, T]$ Weierstrass dà un massimo $M$ e un minimo $m$. Ogni reale si scrive $x = t + kT$, con $t \in [0, T)$ e $k$ intero, e per la periodicità $f(x) = f(t)$, che sta tra $m$ e $M$. Quindi $M$ e $m$ sono massimo e minimo su tutto $\mathbb{R}$: per esempio $\sin x + \cos 2x$, periodica di periodo $2\pi$, li ha entrambi.

In sintesi

• Il massimo è un valore raggiunto e maggiore o uguale a tutti gli altri; il punto di massimo è la $x$ in cui viene raggiunto. Esiste se e solo se il sup è finito e raggiunto.
• Weierstrass: se $f$ è continua su $[a, b]$ chiuso e limitato, ha massimo e minimo assoluti. Non dice dove, né in quanti punti.
• Dimostrazione: $f$ è limitata e il sup è raggiunto, con Bolzano-Weierstrass e la continuità.
• Senza un’ipotesi, o nei razionali, può fallire; le ipotesi sono sufficienti, non necessarie.
• Con i valori intermedi, l’immagine di $[a, b]$ è $[m, M]$.
• In pratica: si confrontano i valori negli estremi, nei punti con $f' = 0$ e nei punti di non derivabilità.
• Su tutta la retta: se $f$ è continua su $\mathbb{R}$ e $f \to +\infty$ per $x \to \pm\infty$, $f$ ha minimo assoluto.

Nell’ultimo articolo di teoria del capitolo due argomenti più teorici, ma importanti all’esame: continuità delle funzioni monotone e continuità uniforme.