Studio di funzione goniometrica: metodo, esempi con seno e coseno ed esercizi svolti

Le funzioni con seno, coseno e tangente compaiono in quasi ogni appello di Analisi 1, da sole o dentro un esponenziale o una frazione. Lo studio di funzione goniometrica segue la scaletta in sette passi di ogni studio di funzione, con alcune differenze che fanno risparmiare molto lavoro: la funzione è spesso periodica, quindi basta studiarla su un periodo, e con una simmetria su mezzo; all’infinito non ci sono limiti da calcolare; zeri e segni si trovano con equazioni e disequazioni goniometriche. In questa pagina vediamo cosa cambia passo per passo (periodo di una somma, mezzo periodo con la parità, assenza di asintoti orizzontali, scomposizioni delle derivate, trappole sulle soluzioni), tre studi completi con il grafico, uno schema delle forme tipiche, gli errori più comuni e cinque esercizi svolti.

Cosa cambia con seno e coseno

La scaletta resta quella solita, dal dominio al grafico. Vediamo cosa c’è di diverso in ogni passo.

1. Dominio: tangenti e denominatori

Seno e coseno esistono per ogni $x$: i problemi vengono da tangenti, denominatori, radici e logaritmi, e le condizioni si risolvono come nei domini con seno e coseno:

• $\tan x$ richiede $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, e $\cot x$ richiede $x \neq k\pi$;
• un denominatore come $1 + \cos x$ si annulla in $x = \pi + 2k\pi$; invece $2 + \cos x \geq 1$ non si annulla mai.

I punti esclusi sono infiniti, ma per la periodicità basta calcolare i limiti in quelli di un periodo.

2. Simmetrie e periodo

Qui c’è la novità più grande. Una funzione è periodica di periodo $T > 0$ se $f(x + T) = f(x)$ per ogni $x$ del dominio (con $x + T$ ancora nel dominio): il grafico si ripete ogni $T$, e basta studiarlo su un intervallo lungo $T$ (vedi le funzioni periodiche). I periodi che servono, con $a \neq 0$:

Funzione	Periodo
${\sin x}$, ${\cos x}$	${2\pi}$
${\tan x}$, ${\cot x}$	${\pi}$
${\sin ax}$, ${\cos ax}$	${\frac{2\pi}{\lvert a \rvert}}$
${\tan ax}$	${\frac{\pi}{\lvert a \rvert}}$
${\sin^2 x}$, ${\lvert \sin x \rvert}$	${\pi}$

Il periodo di una somma. Se $f$ ha periodo $T_1$ e $g$ periodo $T_2$, la somma $f + g$ si ripete quando si ripetono tutte e due: serve un multiplo comune dei periodi. In $2\sin x + \sin 2x$ i periodi sono $2\pi$ e $\pi$, e $2\pi$ va bene per entrambi. Due avvertenze, spiegate con calma nelle sinusoidi:

• il multiplo comune è un periodo, non sempre il più piccolo: $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$ ha periodo $\pi$, non $2\pi$;
• se il rapporto tra i periodi è irrazionale, un multiplo comune non esiste e la somma, di regola, non è periodica: è il caso di $\sin x + \sin(\sqrt{2}\,x)$.

Usare un periodo più lungo del minimo non è un errore, solo lavoro in più; l’errore è usarne uno troppo corto.

Da un periodo a mezzo periodo

Se la funzione è anche pari o dispari, basta mezzo periodo. Prendi l’esempio di dominio, simmetrie e segno, $f(x) = \cos 2x - 2\cos x$: ha periodo $2\pi$, che va bene per entrambi i termini, ed è pari. Il ragionamento ha tre passi:

1. studi $f$ su $[0, \pi]$, mezzo periodo;
2. la parità ti dà $[-\pi, 0]$: lì il grafico è il riflesso rispetto all’asse $y$;
3. ora conosci $f$ su $[-\pi, \pi]$, un intervallo lungo $2\pi$, cioè un periodo intero, e la periodicità dà tutto il resto.

Per una dispari si usa la simmetria rispetto all’origine. In generale, se $f$ ha periodo $T$ ed è pari o dispari, basta $\left[0, \frac{T}{2}\right]$. Quando ricostruisci il resto, i segni delle derivate si comportano così:

Simmetria	Segno di $f'$	Segno di $f''$
pari	si inverte	resta
dispari	resta	si inverte
asse ${x = a}$	si inverte	resta

Perché è vero. Se $f$ è pari, derivando $f(-x) = f(x)$ con la regola della catena si ottiene $-f'(-x) = f'(x)$: $f'$ è dispari e, derivando ancora, $f''$ è pari. Per una dispari succede il contrario; per l’asse $x = a$ si deriva $f(2a - x) = f(x)$.

Gli estremi del mezzo periodo non sono estremi del dominio. Se $f$ è pari e derivabile, $f'$ è dispari e periodica: $f'(0) = 0$ e $f'\left(\frac{T}{2}\right) = f'\left(-\frac{T}{2}\right) = -f'\left(\frac{T}{2}\right)$, quindi anche $f'\left(\frac{T}{2}\right) = 0$. Sono sempre punti stazionari: per classificarli si guarda un lato e si ribalta, perché il grafico è simmetrico anche rispetto alla retta $x = \frac{T}{2}$, visto che $f(T - x) = f(-x) = f(x)$. Nell’esempio $f'(x) = 2\sin x\,(1 - 2\cos x)$ è negativa su $\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ e positiva su $\left(\frac{\pi}{3}, \pi\right)$: subito dopo 0 la funzione scende, quindi subito prima sale, e $(0, -1)$ è un massimo relativo; poi vengono il minimo $\left(\frac{\pi}{3}, -\frac{3}{2}\right)$ e il massimo $(\pi, 3)$. Per una dispari, invece, $f\left(\frac{T}{2}\right) = f\left(-\frac{T}{2}\right) = -f\left(\frac{T}{2}\right)$, quindi $f\left(\frac{T}{2}\right) = 0$, se $\frac{T}{2}$ sta nel dominio.

3. Intersezioni e segno su un periodo

Zeri e segno sono equazioni e disequazioni goniometriche. Scomponi in fattori con una sola funzione goniometrica ciascuno, studiali sull’intervallo scelto con la circonferenza e metti in tabella anche i punti esclusi dal dominio. Per un trinomio in $\sin x$ o in $\cos x$ si procede come nelle disequazioni goniometriche di secondo grado. Le equazioni che mescolano $x$ e funzioni goniometriche, come $\tan x = 2x$, non si risolvono con l’algebra: le soluzioni si contano con la risoluzione grafica e si stimano con il teorema degli zeri (esempio 3).

4. Limiti: niente asintoti orizzontali

Perché è vero. Scegli due punti $a$ e $b$ del dominio con $f(a) \neq f(b)$. Le successioni $a + nT$ e $b + nT$ tendono a $+\infty$, ma lungo la prima $f$ vale sempre $f(a)$ e lungo la seconda sempre $f(b)$. Se il limite esistesse, finito o infinito, per il teorema ponte sarebbe uguale a entrambi i valori, che sono diversi. A $-\infty$ si usa $n \to -\infty$. Un asintoto orizzontale vorrebbe un limite finito, uno obliquo un limite infinito.

Restano i limiti nei punti esclusi, con gli eventuali asintoti verticali. Se la $x$ compare anche fuori da seno e coseno, la funzione non è periodica e i limiti all’infinito vanno calcolati: $x + \frac{\sin x}{x}$ attraversa infinite volte il suo asintoto $y = x$ (limiti e asintoti).

In compenso, massimo e minimo ci sono. Se $f$ è continua su tutto $\mathbb{R}$ e periodica, per il teorema di Weierstrass ha massimo e minimo su $[0, T]$, e per la periodicità sono assoluti su tutto $\mathbb{R}$. Con un asintoto verticale possono mancare.

5. Derivata prima: scomporre

Le derivate di base valgono con $x$ in radianti (in gradi comparirebbe un fattore $\frac{\pi}{180}$):

$$\begin{gathered} (\sin x)' = \cos x \\ (\cos x)' = -\sin x \\ (\tan x)' = 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \end{gathered}$$

con la regola della catena per gli argomenti composti: $(\sin 2x)' = 2\cos 2x$, $\left(e^{\sin x}\right)' = e^{\sin x}\cos x$. Poi bisogna scomporre, con le formule di duplicazione e la relazione fondamentale:

$$\begin{gathered} \sin 2x = 2\sin x\cos x \\ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x \\ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \end{gathered}$$

Scegli la forma che lascia una sola funzione goniometrica: con $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$, un’espressione in $\cos x$ e $\cos 2x$ diventa un trinomio in $\cos x$.

Trovati i punti stazionari in un periodo, si aggiunge il periodo: con $T = 2\pi$ un massimo in $\frac{\pi}{3}$ diventa $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$. Il passo $k\pi$ sarebbe sbagliato: nell’esempio 1 il punto $\frac{\pi}{3} + \pi$ non è un massimo, perché lì la funzione vale $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ed è in discesa.

Due trappole sulle soluzioni

Non dividere per il coseno. In un’equazione come $\cos x\,(1 - 3\sin^2 x) = 0$ (esercizio 4) si annulla un fattore alla volta: dividendo per $\cos x$ perderesti $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$. Si può dividere solo dopo aver controllato a parte che $\cos x = 0$ non dà soluzioni, come nell’esercizio 3.

Non dimenticare la seconda famiglia. Per $-1 < c < 1$, l’equazione $\sin x = c$ ha due soluzioni in ogni giro:

$$\begin{gathered} x = \arcsin c + 2k\pi \\ x = \pi - \arcsin c + 2k\pi \end{gathered}$$

e $\cos x = c$ dà $x = \pm\arccos c + 2k\pi$. Solo la tangente ha una famiglia sola, $x = \arctan c + k\pi$. Per allenarti ci sono gli esercizi svolti sulle equazioni goniometriche.

6 e 7. Derivata seconda e grafico

La derivata seconda si tratta come la prima (concavità e flessi). Spesso i flessi cadono in punti non notevoli, come $\arccos\left(-\frac{1}{4}\right)$: si lasciano indicati, con un valore approssimato. Per il grafico disegna un periodo con tutti i punti notevoli, controlla che le informazioni vadano d’accordo, poi ripetilo.

Esempio 1: un massimo, un minimo e tre flessi diversi

$$f(x) = 2\sin x + \sin 2x$$

1. Dominio. $\mathbb{R}$.

2. Simmetrie e periodo. I periodi dei termini sono $2\pi$ e $\pi$: il periodo è $2\pi$ ($\pi$ non basta: $f(x + \pi) = -2\sin x + \sin 2x$). Inoltre $f(-x) = -f(x)$: la funzione è dispari. Studiamo $[0, \pi]$; la disparità darà $[-\pi, 0]$ e la periodicità il resto.

3. Intersezioni e segno. Con $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ si raccoglie:

$$f(x) = 2\sin x\,(1 + \cos x)$$

Su $[0, \pi]$ i due fattori sono positivi o nulli: $f \geq 0$, con zeri in 0 e in $\pi$. Per la disparità $f$ è negativa su $(-\pi, 0)$; in tutto, gli zeri sono $x = k\pi$.

4. Limiti. Periodica e continua su $\mathbb{R}$: nessun asintoto, e massimo e minimo assoluti esistono.

5. Derivata prima. Con $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ viene un trinomio in $\cos x$, che si scompone come $2t^2 + t - 1 = (2t - 1)(t + 1)$:

$$\begin{gathered} f'(x) = 2\cos x + 2\cos 2x \\ {} = 2\left(2\cos^2 x + \cos x - 1\right) \\ {} = 2\,(2\cos x - 1)(\cos x + 1) \end{gathered}$$

Su $(0, \pi)$ il fattore $\cos x + 1$ è positivo, e $2\cos x - 1 > 0$ per $\cos x > \frac{1}{2}$, cioè per $0 \leq x < \frac{\pi}{3}$. Siccome $f'$ è pari, su $(-\pi, 0)$ i segni si ricopiano allo specchio.

Intervallo	$f'(x)$	$f(x)$
${(-\pi, -\frac{\pi}{3})}$	$-$	$\searrow$
${(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})}$	$+$	$\nearrow$
${(\frac{\pi}{3}, \pi)}$	$-$	$\searrow$

• Massimo in $\frac{\pi}{3}$: $f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2{,}60$. Minimo in $-\frac{\pi}{3}$, uguale a $-\frac{3\sqrt{3}}{2}$. Sono assoluti, e con il periodo stanno in $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi$.
• In $\pm\pi$ la derivata si annulla, ma la funzione scende prima e dopo (dopo $\pi$ si ripete il tratto dopo $-\pi$): né massimo né minimo.

6. Derivata seconda.

$$\begin{gathered} f''(x) = -2\sin x - 4\sin 2x \\ {} = -2\sin x - 8\sin x\cos x \\ {} = -2\sin x\,(1 + 4\cos x) \end{gathered}$$

Su $(0, \pi)$ il seno è positivo, quindi $f''$ ha il segno opposto a $1 + 4\cos x$, che è positivo per $\cos x > -\frac{1}{4}$. Con $\alpha = \arccos\left(-\frac{1}{4}\right) \approx 1{,}82$ (circa 104,5°), $f''$ è negativa su $(0, \alpha)$ e positiva su $(\alpha, \pi)$. Siccome $f''$ è dispari, su $(-\pi, 0)$ i segni si invertono:

Intervallo	$f''(x)$	$f(x)$
${(-\pi, -\alpha)}$	$-$	$\cap$
${(-\alpha, 0)}$	$+$	$\cup$
${(0, \alpha)}$	$-$	$\cap$
${(\alpha, \pi)}$	$+$	$\cup$

In ogni periodo ci sono quattro flessi, in $-\pi$, $-\alpha$, $0$ e $\alpha$ (il punto $\pi$ è $-\pi$ spostato di un periodo), e sono di tre tipi diversi:

• nell’origine la tangente sale: $f'(0) = 4$, è la retta $y = 4x$;
• in $\alpha$ la tangente scende: con $\cos\alpha = -\frac{1}{4}$ e $\sin\alpha = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$, le forme scomposte danno $f(\alpha) = 2 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3\sqrt{15}}{8} \approx 1{,}45$ e $f'(\alpha) = 2 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \cdot \frac{3}{4} = -\frac{9}{4}$; in $-\alpha$ c’è il flesso simmetrico;
• in $\pm\pi$ la tangente è orizzontale: è il punto stazionario che non era né massimo né minimo.

7. Grafico. Dall’origine la curva sale fino al massimo, scende con un flesso in $\alpha$ e arriva in $\pi$ appiattendosi; poi continua a scendere fino al minimo in $\frac{5\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi$ e risale verso $2\pi$. Da lì tutto si ripete.

Esempio 2: e elevato al seno di x

$$f(x) = e^{\sin x}$$

1. Dominio. $\mathbb{R}$.

2. Simmetrie e periodo. Il periodo è $2\pi$, quello del seno. Poi $f(-x) = e^{-\sin x} = \frac{1}{f(x)}$: né pari né dispari, perché $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = e$ e $f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{e}$. Una simmetria però c’è: da $\sin(\pi - x) = \sin x$ segue $f(\pi - x) = f(x)$, quindi il grafico è simmetrico rispetto alla retta $x = \frac{\pi}{2}$. Basta mezzo periodo: studiamo $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ e riflettiamo rispetto a $x = \frac{\pi}{2}$, ottenendo il periodo $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$.

3. Intersezioni e segno. Un esponenziale è sempre positivo: nessuno zero, e $f(0) = 1$. Siccome $-1 \leq \sin x \leq 1$ e l’esponenziale è crescente, $\frac{1}{e} \leq f(x) \leq e$.

4. Limiti. Periodica e continua: nessun asintoto.

5. Derivata prima. $f'(x) = e^{\sin x}\cos x$ ha il segno di $\cos x$: positiva su $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$. Riflettendo rispetto all’asse $x = \frac{\pi}{2}$, il segno si inverte:

Intervallo	$f'(x)$	$f(x)$
${(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})}$	$+$	$\nearrow$
${(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})}$	$-$	$\searrow$

Massimo assoluto $e \approx 2{,}72$ in $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, minimo assoluto $\frac{1}{e} \approx 0{,}37$ in $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$. Il minimo è il reciproco del massimo, come vuole $f(-x) = \frac{1}{f(x)}$.

6. Derivata seconda. Con la regola del prodotto e $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:

$$\begin{gathered} f''(x) = e^{\sin x}\left(\cos^2 x - \sin x\right) \\ {} = e^{\sin x}\left(1 - \sin x - \sin^2 x\right) \end{gathered}$$

Con $t = \sin x$ il segno è quello di $1 - t - t^2$, positivo tra le radici di $t^2 + t - 1 = 0$:

$$\frac{-1 - \sqrt{5}}{2} < t < \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0{,}618$$

La radice di sinistra, circa $-1{,}618$, è fuori da $[-1, 1]$: $f$ è convessa dove $\sin x < 0{,}618$ e concava dove $\sin x > 0{,}618$. Sia $\beta = \arcsin\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0{,}67$. Su $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ il seno cresce, quindi supera $0{,}618$ solo dopo $\beta$; riflettendo, la concavità resta:

Intervallo	$f''(x)$	$f(x)$
${(-\frac{\pi}{2}, \beta)}$	$+$	$\cup$
${(\beta, \pi - \beta)}$	$-$	$\cap$
${(\pi - \beta, \frac{3\pi}{2})}$	$+$	$\cup$

Due flessi per periodo, in $\beta$ e in $\pi - \beta \approx 2{,}48$ (la seconda famiglia), entrambi a quota $e^{0{,}618} \approx 1{,}86$.

Una curiosità. $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ è l’inverso del numero aureo $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$, quello della sezione aurea.

7. Grafico. Cime strette e valli larghe: il tratto concavo attorno al massimo è lungo $\pi - 2\beta \approx 1{,}81$, meno di un terzo del periodo.

Esempio 3: una tangente che non è periodica

$$f(x) = \tan x - 2x$$

1. Dominio. $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$.

2. Simmetrie e periodo. Il dominio è simmetrico e $f(-x) = -\tan x + 2x = -f(x)$: la funzione è dispari. Non è periodica, per colpa di $-2x$, ma quasi:

$$f(x + \pi) = f(x) - 2\pi$$

Il grafico è fatto di rami uguali, ognuno spostato di $\pi$ a destra e di $2\pi$ in basso rispetto al precedente. Basta studiare il ramo $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, anzi la sua metà $\left[0, \frac{\pi}{2}\right)$, e usare la disparità.

3. Intersezioni e segno. $f(0) = 0$. Gli altri zeri risolvono $\tan x = 2x$: disegnando $y = \tan x$ e $y = 2x$ si vede un secondo incrocio $\alpha$ in $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, che troviamo dopo la derivata.

4. Limiti e asintoti. Per $x \to \frac{\pi}{2}^-$ la tangente tende a $+\infty$ e $-2x$ a $-\pi$:

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} f(x) = +\infty$$

Asintoto verticale $x = \frac{\pi}{2}$ e, per la disparità, $x = -\frac{\pi}{2}$, con $f \to -\infty$ da destra; sugli altri rami, le rette $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$. A $\pm\infty$ il limite non esiste, perché ogni ramo va da $-\infty$ a $+\infty$: niente asintoti orizzontali od obliqui.

5. Derivata prima. Con $(\tan x)' = 1 + \tan^2 x$:

$$\begin{gathered} f'(x) = 1 + \tan^2 x - 2 = \tan^2 x - 1 \\ {} = (\tan x - 1)(\tan x + 1) \end{gathered}$$

Su $\left[0, \frac{\pi}{2}\right)$ il fattore $\tan x + 1$ è positivo: $f' < 0$ per $\tan x < 1$, cioè per $0 \leq x < \frac{\pi}{4}$, e $f' > 0$ per $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$. Con la disparità, $f'$ è pari:

Intervallo	$f'(x)$	$f(x)$
${(-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{4})}$	$+$	$\nearrow$
${(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})}$	$-$	$\searrow$
${(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})}$	$+$	$\nearrow$

Minimo relativo in $\frac{\pi}{4}$, con $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 - \frac{\pi}{2} \approx -0{,}57$; massimo relativo in $-\frac{\pi}{4}$, uguale a $\frac{\pi}{2} - 1 \approx 0{,}57$. Non sono assoluti: la funzione assume tutti i valori reali.

Torniamo agli zeri. Su $\left(0, \frac{\pi}{4}\right]$ la funzione scende da 0: è negativa. Su $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ sale da $1 - \frac{\pi}{2} < 0$ a $+\infty$: per il teorema degli zeri e la monotonia si annulla in un solo punto $\alpha$. Con la bisezione: $f(1{,}1) \approx -0{,}24$ e $f(1{,}2) \approx 0{,}17$, poi $f(1{,}15) < 0 < f(1{,}175)$ e infine $f(1{,}165) < 0$: quindi $1{,}165 < \alpha < 1{,}175$, cioè $\alpha \approx 1{,}17$. Per la disparità c’è anche lo zero $-\alpha$:

Intervallo	$f(x)$
${(-\frac{\pi}{2}, -\alpha)}$	$-$
${(-\alpha, 0)}$	$+$
${(0, \alpha)}$	$-$
${(\alpha, \frac{\pi}{2})}$	$+$

6. Derivata seconda.

$$f''(x) = 2\tan x\,(1 + \tan^2 x)$$

Il secondo fattore è positivo, quindi $f''$ ha il segno di $\tan x$: concava su $\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$, convessa su $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$. Flesso nell’origine, con tangente $y = -x$, perché $f'(0) = -1$.

7. Grafico. Il ramo centrale sale da $-\infty$ fino al massimo, scende passando per il flesso nell’origine, arriva al minimo e risale verso $+\infty$, tagliando l’asse $x$ in $-\alpha$, 0 e $\alpha$. Gli altri rami sono copie spostate, con i flessi $(k\pi, -2k\pi)$ tutti sulla retta $y = -2x$. Nota che $f'$ e $f''$ hanno periodo $\pi$ anche se $f$ non è periodica: $f(x + \pi) - f(x)$ è costante, e la derivata di una costante è zero.

Schema rapido: le forme tipiche

Prima dei conti, riconosci la forma: ti dice cosa aspettarti.

Forma	Cosa aspettarsi
${a\sin x + b\cos x}$	è ${R\sin(x + \varphi)}$, con ${R = \sqrt{a^2 + b^2}}$: massimo $R$, minimo $-R$, senza derivate
${\sin x + \sin 2x}$ e simili	periodo comune; si scompone con la duplicazione
${g(\sin x)}$, come ${e^{\sin x}}$	simmetrica rispetto a ${x = \frac{\pi}{2}}$; stazionaria almeno dove ${\cos x = 0}$
${g(\cos x)}$	pari; stazionaria almeno dove ${\sin x = 0}$
${x + a\sin x}$	non periodica; oscilla nella fascia tra le rette ${y = x \pm a}$, senza asintoti
con ${\tan x}$	asintoti verticali in ${\frac{\pi}{2} + k\pi}$; ${(\tan x)' = 1 + \tan^2 x}$
${\tan x + mx}$	rami uguali, ognuno spostato di ${m\pi}$ in verticale

Per $f(x) = x + a\sin x$, con $a \neq 0$: $f'(x) = 1 + a\cos x$ non è mai negativa se $\lvert a \rvert \leq 1$, e si annulla al più in punti isolati, quindi $f$ è crescente; se $\lvert a \rvert > 1$ ci sono infiniti massimi e minimi. E $f''(x) = -a\sin x$ dà infiniti flessi, nei punti $(k\pi, k\pi)$ della retta $y = x$.

Gli errori più comuni

• Studiare su un intervallo troppo corto. Il periodo di $2\sin x + \sin 2x$ è $2\pi$, non $\pi$. Si scende a mezzo periodo solo con una simmetria, e poi si ricostruisce il resto.
• Sommare o moltiplicare i periodi. Serve un multiplo comune; con un rapporto irrazionale, come in $\sin x + \sin(\sqrt{2}\,x)$, la funzione non è periodica.
• Cercare asintoti orizzontali. Una periodica non costante non ha limite a $\pm\infty$: scrivere $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sin x = 1$, o un altro valore, è sbagliato.
• Dimenticare il dominio. $\tan x$ vuole $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, e $1 + \cos x$ si annulla in $\pi + 2k\pi$: lì vanno calcolati i limiti, anche con una forma $\frac{0}{0}$.
• Dividere per $\cos x$ o per $\sin x$. Si perdono soluzioni: in $\cos x\,(1 - 3\sin^2 x) = 0$ sparirebbe proprio il minimo $\frac{\pi}{2}$ dell’esercizio 4.
• Perdere la seconda famiglia. $\sin x = c$ ha due soluzioni in ogni giro, $\arcsin c$ e $\pi - \arcsin c$: nell’esempio 2 il secondo flesso è in $\pi - \beta$.
• Sbagliare il passo. Con periodo $2\pi$ si scrive $+2k\pi$; il passo $k\pi$ va bene solo se i punti si ripetono davvero ogni $\pi$.
• Trattare gli estremi del mezzo periodo come estremi del dominio. In 0 e in $\frac{T}{2}$ la funzione continua: guarda anche l’altro lato, con la simmetria.

Esercizi svolti

1. Il periodo di due somme

Testo. Trova il periodo di $f(x) = \cos 4x - 2\sin 6x$ e di $g(x) = \sin^2 x + \cos\frac{x}{2}$.

Per $f$. I periodi dei due termini sono $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ e $\frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$. I multipli del primo sono $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, …; quelli del secondo $\frac{\pi}{3}$, $\frac{2\pi}{3}$, $\pi$, … Il primo comune è $\pi = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = 3 \cdot \frac{\pi}{3}$. Controllo:

$$\begin{gathered} f(x + \pi) \\ {} = \cos(4x + 4\pi) - 2\sin(6x + 6\pi) \\ {} = f(x) \end{gathered}$$

È una somma di sinusoidi con pulsazioni diverse, e in questo caso il multiplo comune è proprio il periodo minimo.

Per $g$. $\sin^2 x$ ha periodo $\pi$, non $2\pi$: $\sin(x + \pi) = -\sin x$ e il quadrato cancella il segno. $\cos\frac{x}{2}$ ha periodo $\frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$. Il primo multiplo comune di $\pi$ e $4\pi$ è $4\pi$. Attenzione a non fermarsi a $2\pi$:

$$g(x + 2\pi) = \sin^2 x - \cos\frac{x}{2}$$

che è diversa da $g(x)$. Il periodo di $f$ è $\pi$, quello di $g$ è $4\pi$.

2. Mezzo periodo con la parità

Testo. Data $f(x) = \sin^2 x + \cos x$, trova periodo e simmetrie, di’ su quale intervallo basta studiarla e trova massimi e minimi.

Periodo e simmetrie. $\sin^2 x$ ha periodo $\pi$, $\cos x$ ha periodo $2\pi$: il periodo è $2\pi$ (infatti $f(x + \pi) = \sin^2 x - \cos x$). La funzione è pari, perché $\sin^2(-x) = \sin^2 x$ e $\cos(-x) = \cos x$. Basta $[0, \pi]$.

Derivata.

$$\begin{gathered} f'(x) = 2\sin x\cos x - \sin x \\ {} = \sin x\,(2\cos x - 1) \end{gathered}$$

Su $(0, \pi)$ il seno è positivo e $2\cos x - 1 > 0$ per $x < \frac{\pi}{3}$: la funzione cresce su $\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ e decresce su $\left(\frac{\pi}{3}, \pi\right)$.

• In $\frac{\pi}{3}$: massimo, $f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$.
• In 0, estremo del mezzo periodo: $f$ cresce subito dopo e, essendo pari, decresce subito prima. È un minimo relativo, $f(0) = 1$.
• In $\pi$: $f$ decresce prima e, per la simmetria rispetto a $x = \pi$, cresce dopo. È un minimo, $f(\pi) = 0 - 1 = -1$.

Con la parità e il periodo: massimi assoluti $\frac{5}{4}$ in $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi$, minimi relativi $1$ in $x = 2k\pi$, minimi assoluti $-1$ in $x = \pi + 2k\pi$. Controllo senza derivate: con $t = \cos x$, $f = 1 - t^2 + t$ è una parabola su $[-1, 1]$ con il vertice $\frac{5}{4}$ in $t = \frac{1}{2}$ e il valore più basso, $-1$, in $t = -1$.

3. Massimi e minimi di una combinazione di seno e coseno

Testo. Trova massimi e minimi di $f(x) = 5\cos x + 12\sin x$.

Con la derivata. $f'(x) = -5\sin x + 12\cos x$. Prima di dividere per $\cos x$ controlliamo: se $\cos x = 0$, allora $\sin x = \pm 1$ e $f'(x) = \mp 5 \neq 0$. Quindi si può dividere:

$$\begin{gathered} -5\tan x + 12 = 0 \\ \tan x = \frac{12}{5} \end{gathered}$$

cioè $x = x_0 + k\pi$, con $x_0 = \arctan\frac{12}{5} \approx 1{,}18$. In $x_0$, nel primo quadrante, il triangolo rettangolo di cateti 5 e 12 ha ipotenusa 13, quindi $\cos x_0 = \frac{5}{13}$, $\sin x_0 = \frac{12}{13}$ e

$$f(x_0) = \frac{25}{13} + \frac{144}{13} = 13$$

In $x_0 + \pi$ seno e coseno cambiano segno, quindi $f = -13$. Continua e periodica, $f$ ha massimo e minimo assoluti, e stanno fra questi punti stazionari: massimi $13$ in $x = x_0 + 2k\pi$, minimi $-13$ in $x = x_0 + \pi + 2k\pi$. Una sola famiglia con passo $\pi$, ma due tipi di punti alternati.

Con l’angolo aggiunto. $R = \sqrt{25 + 144} = 13$, quindi $f(x) = 13\sin(x + \varphi)$ oscilla tra $-13$ e $13$: lo stesso risultato, senza derivate, con il metodo delle sinusoidi.

4. Massimo e minimo su un intervallo

Testo. Trova massimo e minimo assoluti di $f(x) = \sin x\cos^2 x$ sull’intervallo $[0, \pi]$.

$f$ è continua su un intervallo chiuso: per Weierstrass massimo e minimo esistono, e i candidati sono i punti stazionari interni e gli estremi, come nei massimi e minimi. Deriviamo:

$$\begin{gathered} f'(x) = \cos^3 x - 2\sin^2 x\cos x \\ {} = \cos x\,(\cos^2 x - 2\sin^2 x) \\ {} = \cos x\,(1 - 3\sin^2 x) \end{gathered}$$

Si annulla un fattore alla volta, senza dividere per $\cos x$:

• $\cos x = 0$: $x = \frac{\pi}{2}$;
• $\sin^2 x = \frac{1}{3}$, cioè $\sin x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (su $[0, \pi]$ il seno non è negativo): $x_1 = \arcsin\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}62$ e, seconda famiglia, $\pi - x_1 \approx 2{,}53$.

I valori: $f(0) = f\left(\frac{\pi}{2}\right) = f(\pi) = 0$. In $x_1$, con $\cos^2 x_1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$:

$$f(x_1) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{9} \approx 0{,}385$$

e lo stesso in $\pi - x_1$, perché $\sin(\pi - x) = \sin x$ e $\cos^2(\pi - x) = \cos^2 x$. Il massimo assoluto è $\frac{2\sqrt{3}}{9}$, in $x_1$ e in $\pi - x_1$; il minimo assoluto è 0, in 0, $\frac{\pi}{2}$ e $\pi$ (su $[0, \pi]$ i due fattori non sono mai negativi). Dividendo per $\cos x$ avresti perso il minimo $\frac{\pi}{2}$.

5. Una tangente con asintoti verticali

Testo. Studia dominio, periodo, simmetrie, asintoti, massimi e minimi di $f(x) = \tan x + \cot x$.

Dominio. Servono la tangente e la cotangente: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ e $x \neq k\pi$, cioè $x \neq k\frac{\pi}{2}$. Scritto il dominio, semplifichiamo:

$$\begin{gathered} f(x) = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} \\ {} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x\cos x} = \frac{2}{\sin 2x} \end{gathered}$$

Periodo e simmetrie. Il periodo è $\pi$, quello di $\sin 2x$; non $\frac{\pi}{2}$, perché $f\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -f(x)$. La funzione è dispari: basta $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, mezzo periodo.

Asintoti. Su $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ vale $0 < \sin 2x \leq 1$, quindi $f(x) \geq 2$, e agli estremi $\sin 2x \to 0^+$:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty \\ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} f(x) = +\infty \end{gathered}$$

Per la disparità, su $\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ la funzione è negativa e tende a $-\infty$ agli estremi. Gli asintoti verticali sono le rette $x = k\frac{\pi}{2}$.

Derivata. Con la regola della catena:

$$f'(x) = -\frac{4\cos 2x}{\sin^2 2x}$$

Su $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, $\cos 2x > 0$ per $x < \frac{\pi}{4}$: $f$ decresce su $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ e cresce su $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$. Minimo relativo $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2$ e, per la disparità, massimo relativo $-2$ in $-\frac{\pi}{4}$. Con il periodo: minimi in $\frac{\pi}{4} + k\pi$, massimi in $-\frac{\pi}{4} + k\pi$. Il massimo sta sotto il minimo perché sono su rami diversi, separati dagli asintoti; assoluti non ce ne sono. Controllo: per $t = \tan x > 0$ vale $t + \frac{1}{t} \geq 2$, con l’uguaglianza solo per $t = 1$.

In sintesi

• Periodo: $2\pi$ per seno e coseno, $\pi$ per la tangente, $\frac{2\pi}{\lvert a \rvert}$ per $\sin ax$; per una somma, un multiplo comune dei periodi.
• Si studia su un periodo; con una simmetria (pari, dispari, asse verticale) su mezzo, guardando l’altro lato negli estremi.
• Una periodica non costante non ha limite a $\pm\infty$: solo eventuali asintoti verticali. Se è continua su $\mathbb{R}$, ha massimo e minimo assoluti.
• Zeri e segni di $f$, $f'$, $f''$: equazioni e disequazioni goniometriche, dopo aver scomposto con la duplicazione.
• Soluzioni: un fattore alla volta, senza dividere; due famiglie per seno e coseno; poi si aggiunge il periodo.
• Con la $x$ fuori da seno e coseno non c’è periodicità: $x + a\sin x$ oscilla in una fascia, $\tan x + mx$ ha rami uguali spostati.

Hai visto tutti i tipi di funzione: per allenarti ci sono gli esercizi svolti sullo studio di funzione. Prima, un’applicazione delle derivate che non riguarda i grafici ma la vita reale: i problemi di massimo e minimo.