Studio di funzione esponenziale: metodo, quattro studi completi ed esercizi svolti

Lo studio di funzione esponenziale è lo studio di funzione di una funzione che contiene $e^x$ o, più in generale, una potenza $e^{g(x)}$: $x\,e^{-x}$, $\frac{e^x}{x}$, $e^{-x^2}$, $e^{1/x}$. All’esame di Analisi 1 è, con le fratte, uno dei tipi più frequenti, e queste funzioni descrivono tutto ciò che cresce o si spegne, dalla carica di un condensatore alla concentrazione di un farmaco nel sangue. La buona notizia è che l’esponenziale segue poche regole, sempre le stesse: imparate quelle, sai già dove cercare gli asintoti e come leggere il segno delle derivate. In questa pagina vediamo cosa sapere sull’esponenziale (segno, dominio, limiti e gerarchia degli infiniti, il doppio comportamento di $e^{1/x}$ vicino a 0, le derivate), uno schema rapido delle forme tipiche, la scaletta in sette passi, quattro studi completi con il grafico ($x\,e^{-x}$, $\frac{e^x}{x}$, la campana $e^{-x^2}$ ed $e^{1/x}$), gli errori più comuni e cinque esercizi svolti.

Cosa sapere sull’esponenziale

Le proprietà di $e^x$ le trovi con calma nell’articolo sulla funzione esponenziale; qui vediamo come entrano nello studio di funzione.

Sempre positivo: dominio, zeri e segno

Tre conseguenze per i primi passi dello studio:

• Dominio. $e^{g(x)}$ ha lo stesso dominio di $g$: $e^{1/x}$ chiede $x \neq 0$, $e^{\sqrt{x}}$ chiede $x \geq 0$, $e^{-x^2}$ niente. L’esponenziale non aggiunge condizioni; ne nascono solo quando un’espressione come $e^x - 1$ sta in un denominatore, sotto una radice di indice pari o dentro un logaritmo.
• Zeri. $e^{g(x)}$ non si annulla mai: un prodotto $h(x)\,e^{g(x)}$ si annulla solo dove $h(x) = 0$.
• Segno. In un prodotto o in una frazione il fattore $e^{g(x)}$ è positivo e non cambia il segno: si può ignorare. Così $x\,e^{-x}$ ha il segno di $x$, e $\frac{e^x}{x^2 - 1}$ quello di $x^2 - 1$.

Limiti all’infinito e gerarchia degli infiniti

I due limiti di base sono

$$\begin{gathered} \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \\ \lim_{x \to -\infty} e^x = 0^+ \end{gathered}$$

e per la continuità valgono anche con un esponente $g(x)$: se $g(x) \to +\infty$ allora $e^{g(x)} \to +\infty$, se $g(x) \to -\infty$ allora $e^{g(x)} \to 0^+$, se $g(x) \to \ell$ allora $e^{g(x)} \to e^{\ell}$. Per esempio $e^{-x^2} \to 0^+$ per $x \to \pm\infty$, ed $e^{1/x} \to e^0 = 1$.

Le forme indeterminate arrivano quando l’esponenziale è moltiplicato o diviso per una potenza. Le risolve un solo teorema.

Perché è vero. Il primo si dimostra applicando $n$ volte de l’Hôpital: il conto è tra gli esempi di quell’articolo. Il secondo si riporta al primo con $x = -s$, perché $x^n e^x = (-1)^n \frac{s^n}{e^s}$ con $s \to +\infty$.

In pratica, in una forma $0 \cdot \infty$ o $\frac{\infty}{\infty}$ tra una potenza e un esponenziale vince l’esponenziale: se va a zero porta a zero tutto, se va all’infinito porta all’infinito tutto. Lo trovi, con le altre gerarchie, in infinitesimi e infiniti. Nella figura vedi la gerarchia al lavoro: la potenza fa salire le tre curve, ma da un certo punto l’esponenziale prende il sopravvento e le riporta verso zero. Più alta è la potenza, più tardi succede, ma succede sempre.

Due conseguenze sugli asintoti:

• un asintoto orizzontale c’è spesso da una parte sola, quella in cui l’esponenziale tende a zero: $x^n e^{-x} \to 0$ per $x \to +\infty$, mentre per $x \to -\infty$ va a $\pm\infty$;
• dove l’esponenziale va all’infinito non c’è asintoto obliquo: $\frac{e^x}{x} \to +\infty$, quindi $e^x$ cresce più in fretta di qualunque retta.

L’esponente 1/x: due lati, due comportamenti

Quando l’esponente ha un denominatore, nel punto escluso i due limiti laterali sono diversi. Con $e^{1/x}$:

$$\begin{gathered} x \to 0^+: \ \ \frac{1}{x} \to +\infty, \ \ e^{1/x} \to +\infty \\ x \to 0^-: \ \ \frac{1}{x} \to -\infty, \ \ e^{1/x} \to 0^+ \end{gathered}$$

Non c’è nessuna forma indeterminata, ma il grafico cambia molto:

• un asintoto verticale da una parte sola: $x = 0$ lo è da destra, non da sinistra;
• un punto di arrivo con una tangente precisa: da sinistra il grafico arriva verso l’origine, che non gli appartiene (pallino vuoto), e ci arriva «piatto». La derivata è $-\frac{e^{1/x}}{x^2}$ e, con $t = \frac{1}{x} \to -\infty$, diventa $-t^2 e^t \to 0$ per la gerarchia: la tangente tende a diventare orizzontale.

Lo stesso succede a $h(x)\,e^{1/x}$ per ogni polinomio $h$ non nullo: da sinistra la funzione e la sua derivata tendono a 0, da destra la funzione va a $\pm\infty$, anche se $h(0) = 0$, sempre per la gerarchia. Con $e^{-1/x}$ i due lati si scambiano, e con $e^{1/(x - x_0)}$ tutto si sposta in $x_0$. All’infinito, invece, $\frac{1}{x} \to 0$ ed $e^{1/x} \to 1$, non 0.

Le derivate

Per la regola della funzione composta

$$\left(e^{g(x)}\right)' = g'(x)\,e^{g(x)}$$

e quasi tutte le derivate vengono nella forma «polinomio per esponenziale». Con un polinomio $p(x)$ la regola del prodotto dà due scorciatoie:

$$\begin{gathered} \big(p\,e^{x}\big)' = (p + p')\,e^{x} \\ \big(p\,e^{-x}\big)' = (p' - p)\,e^{-x} \end{gathered}$$

Perché è vero. $\big(p\,e^{x}\big)' = p'\,e^x + p\,e^x$; con $e^{-x}$ il secondo termine cambia segno, perché $\left(e^{-x}\right)' = -e^{-x}$. Applicandole due volte, anche $f''$ ha la stessa forma: $(p + 2p' + p'')\,e^x$ e $(p'' - 2p' + p)\,e^{-x}$.

Il messaggio è uno: raccogli sempre l’esponenziale. Il segno di $f'$ e di $f''$ è il segno del polinomio che resta, e quello lo sai studiare.

Schema rapido: le forme tipiche

Prima dei conti conviene sapere cosa aspettarsi. Qui $n \geq 1$ è un naturale, $p$ un polinomio non costante, $a \neq 0$.

Forma	Asintoti	Punti stazionari
$x^n e^{-x}$	${y = 0}$ solo a destra	${x = n}$ (massimo); anche ${x = 0}$ se ${n \geq 2}$
$x^n e^{x}$	${y = 0}$ solo a sinistra	${x = -n}$; anche ${x = 0}$ se ${n \geq 2}$
$e^{p(x)}$	${y = 0}$ dove ${p \to -\infty}$	gli zeri di $p'$
$\frac{e^x}{p(x)}$	verticali negli zeri di $p$; ${y = 0}$ a sinistra	gli zeri di ${p - p'}$ in cui ${p \neq 0}$
${x + e^{-x}}$	obliquo ${y = x}$ solo a destra	${x = 0}$ (minimo)
$\frac{e^x}{1 + e^x}$	${y = 0}$ a sinistra, ${y = 1}$ a destra	nessuno
${(ax + b)\,e^{1/x}}$	${x = 0}$ solo da destra; obliquo ${y = ax + a + b}$	al massimo due

Le righe vengono dalle regole di sopra. Per esempio $\left(\frac{e^x}{p}\right)' = \frac{e^x\,(p - p')}{p^2}$, e nell’ultima riga, per $x \to \pm\infty$, con $t = \frac{1}{x} \to 0$ e il limite notevole $\frac{e^t - 1}{t} \to 1$:

$$\begin{gathered} (ax + b)\,e^{1/x} - ax \\ {} = a\,\frac{e^t - 1}{t} + b\,e^{t} \to a + b \end{gathered}$$

Lo schema non sostituisce i conti: serve a sapere dove guardare e ad accorgerti subito di un errore.

La scaletta per una funzione esponenziale

È la scaletta della guida allo studio di funzione, con le attenzioni tipiche dell’esponenziale:

1. Dominio: quello delle altre operazioni e dell’esponente; $e^{g(x)}$ non aggiunge condizioni.
2. Simmetrie: $e^{g(x)}$ è pari se $g$ è pari, e non è mai dispari: una funzione positiva non può esserlo, perché $f(-x) = -f(x)$ renderebbe negativo uno dei due valori.
3. Intersezioni e segno: ignora i fattori $e^{g(x)}$, studia con la monotonia quelli come $e^x - 1$ (il metodo è in dominio, simmetrie e segno).
4. Limiti e asintoti: calcola separatamente $+\infty$ e $-\infty$, e i due limiti laterali nei punti esclusi, soprattutto se l’esponente ha un denominatore; le forme indeterminate si risolvono con la gerarchia (limiti e asintoti).
5. Derivata prima: raccogli l’esponenziale e studia il segno del fattore che resta; i candidati e il test del cambio di segno sono in massimi e minimi.
6. Derivata seconda: stesso trucco, poi concavità e flessi.
7. Grafico: asintoti tratteggiati, punti esclusi con il pallino vuoto, e il controllo che tutto sia coerente.

Esempio 1: un massimo, un flesso e un asintoto da una parte sola

$$f(x) = x\,e^{-x}$$

1. Dominio. $\mathbb{R}$: né $x$ né $e^{-x}$ pongono condizioni.

2. Simmetrie. $f(1) = \frac{1}{e}$ e $f(-1) = -e$, né uguali né opposti: né pari né dispari.

3. Intersezioni e segno. $f(0) = 0$, ed è l’unico zero, perché l’esponenziale non si annulla. Il segno è quello di $x$: negativa per $x < 0$, positiva per $x > 0$.

4. Limiti e asintoti. A $+\infty$ c’è la forma $\infty \cdot 0$; scritta come frazione, la risolve la gerarchia:

$$\lim_{x \to +\infty} x\,e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0$$

Asintoto orizzontale $y = 0$ solo a destra, raggiunto da sopra perché lì $f > 0$. A $-\infty$ nessuna forma indeterminata: $x \to -\infty$ ed $e^{-x} \to +\infty$, quindi $f(x) \to -\infty$. Nessun obliquo, perché $\frac{f(x)}{x} = e^{-x} \to +\infty$.

5. Derivata prima. Con la scorciatoia, $p = x$ e $p' - p = 1 - x$:

$$f'(x) = (1 - x)\,e^{-x}$$

Intervallo	$f'(x)$	$f(x)$
${(-\infty, 1)}$	$+$	$\nearrow$
${(1, +\infty)}$	$-$	$\searrow$

Massimo in $x = 1$, con $f(1) = \frac{1}{e} \approx 0{,}37$. È assoluto: la funzione cresce fino a $x = 1$ e poi decresce verso 0. L’immagine è $\left(-\infty, \frac{1}{e}\right]$.

6. Derivata seconda. Di nuovo con la scorciatoia, ora $p = 1 - x$ e $p' - p = -1 - (1 - x) = x - 2$:

$$f''(x) = (x - 2)\,e^{-x}$$

Intervallo	$f''(x)$	$f(x)$
${(-\infty, 2)}$	$-$	$\cap$
${(2, +\infty)}$	$+$	$\cup$

Flesso in $x = 2$, con $f(2) = \frac{2}{e^2} \approx 0{,}27$ e pendenza $f'(2) = -\frac{1}{e^2}$. La tangente inflessionale è

$$y = \frac{2}{e^2} - \frac{1}{e^2}(x - 2) = \frac{4 - x}{e^2}$$

7. Grafico. Sale da $-\infty$, passa per l’origine, raggiunge il massimo $\left(1, \frac{1}{e}\right)$, scende con un flesso in $x = 2$ e si spegne lentamente sull’asse $x$. Controllo: per $x > 0$ la funzione è positiva, vale 0 in 0 e torna a 0 all’infinito, quindi doveva avere un massimo, ed eccolo, nella zona positiva.

È la forma di molti fenomeni che salgono in fretta e poi si spengono lentamente: la concentrazione di un farmaco nel sangue dopo una dose segue curve di questo tipo.

Esempio 2: un asintoto verticale e un minimo non assoluto

$$f(x) = \frac{e^x}{x}$$

1. Dominio. $x \neq 0$: $\ D = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2. Simmetrie. Il dominio è simmetrico, ma $f(1) = e$ e $f(-1) = -\frac{1}{e}$: nessuna simmetria.

3. Intersezioni e segno. Nessuna intersezione: 0 non è nel dominio e il numeratore non si annulla mai. Il segno è quello di $x$.

4. Limiti e asintoti. Gli estremi del dominio sono $-\infty$, $0^-$, $0^+$ e $+\infty$. In 0 l’esponenziale tende a 1 e non dà sorprese:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to 0^-} \frac{e^x}{x} = \frac{1}{0^-} = -\infty \\ \lim_{x \to 0^+} \frac{e^x}{x} = \frac{1}{0^+} = +\infty \end{gathered}$$

Asintoto verticale $x = 0$ da entrambe le parti. All’infinito:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to -\infty} \frac{e^x}{x} = \frac{0^+}{-\infty} = 0^- \\ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty \end{gathered}$$

Il primo non è indeterminato: un numero piccolissimo diviso un numero grandissimo. Asintoto $y = 0$ solo a sinistra, raggiunto da sotto. Il secondo è $\frac{\infty}{\infty}$, risolto dalla gerarchia; niente obliquo, perché $\frac{f(x)}{x} = \frac{e^x}{x^2} \to +\infty$.

5. Derivata prima. Con la regola del quoziente, raccogliendo $e^x$:

$$f'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x}{x^2} = \frac{e^x\,(x - 1)}{x^2}$$

$e^x$ e $x^2$ sono positivi: conta $x - 1$.

Intervallo	$f'(x)$	$f(x)$
${(-\infty, 0)}$	$-$	$\searrow$
${(0, 1)}$	$-$	$\searrow$
${(1, +\infty)}$	$+$	$\nearrow$

Minimo relativo in $(1, e)$, con $e \approx 2{,}72$. Non è assoluto: a sinistra la funzione scende fino a $-\infty$. Il ramo sinistro prende tutti i valori negativi, il destro tutti quelli da $e$ in su: l’immagine è $(-\infty, 0) \cup [e, +\infty)$.

6. Derivata seconda. Il numeratore di $f'$, cioè $e^x(x - 1)$, ha derivata $e^x(x - 1) + e^x = x\,e^x$. Con la regola del quoziente, semplificando una $x$:

$$\begin{gathered} f''(x) \\ {} = \frac{x\,e^x \cdot x^2 - e^x(x - 1) \cdot 2x}{x^4} \\ {} = \frac{e^x\,(x^2 - 2x + 2)}{x^3} \end{gathered}$$

Il trinomio è $(x - 1)^2 + 1 > 0$: il segno di $f''$ è quello di $x^3$, cioè di $x$.

Intervallo	$f''(x)$	$f(x)$
${(-\infty, 0)}$	$-$	$\cap$
${(0, +\infty)}$	$+$	$\cup$

La concavità cambia solo in 0, che è fuori dal dominio: nessun flesso.

7. Grafico. Due rami. A sinistra la curva parte rasente all’asse $x$, da sotto, e precipita verso $-\infty$ lungo l’asse $y$. A destra scende da $+\infty$ al minimo $(1, e)$ e risale, sempre più ripida. Controllo: il minimo sta dove $f > 0$, e la convessità del ramo destro è quella di una valle.

Esempio 3: la curva a campana

$$f(x) = e^{-x^2}$$

1. Dominio. $\mathbb{R}$.

2. Simmetrie. $(-x)^2 = x^2$, quindi $f(-x) = f(x)$: pari, simmetrica rispetto all’asse $y$.

3. Intersezioni e segno. $f(0) = e^0 = 1$; nessuno zero; sempre positiva.

4. Limiti e asintoti. Per $x \to \pm\infty$ l’esponente $-x^2$ tende a $-\infty$, quindi $f(x) \to 0^+$: asintoto $y = 0$ da entrambe le parti, raggiunto da sopra. Nessun asintoto verticale.

5. Derivata prima. Per la regola della composta, con $(-x^2)' = -2x$:

$$f'(x) = -2x\,e^{-x^2}$$

Intervallo	$f'(x)$	$f(x)$
${(-\infty, 0)}$	$+$	$\nearrow$
${(0, +\infty)}$	$-$	$\searrow$

Massimo assoluto in $(0, 1)$; l’immagine è $(0, 1]$.

6. Derivata seconda. Deriviamo il prodotto $-2x \cdot e^{-x^2}$:

$$\begin{gathered} f''(x) \\ {} = -2\,e^{-x^2} + (-2x)(-2x)\,e^{-x^2} \\ {} = (4x^2 - 2)\,e^{-x^2} \end{gathered}$$

Si annulla per $x^2 = \frac{1}{2}$, cioè in $x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \approx \pm 0{,}71$.

Intervallo	$f''(x)$	$f(x)$
${\left(-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}$	$+$	$\cup$
${\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)}$	$-$	$\cap$
${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty\right)}$	$+$	$\cup$

Due flessi, nei punti di ascissa $\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$ e ordinata $e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}} \approx 0{,}61$. Sono i punti in cui la campana è più ripida: in $\frac{\sqrt{2}}{2}$ la pendenza vale $-\sqrt{2}\,e^{-1/2} \approx -0{,}86$, in $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ l’opposto.

7. Grafico. Lontano dall’origine la curva è quasi piatta e vicina a zero; avvicinandosi sale convessa, dopo il flesso diventa concava, arriva al massimo $(0, 1)$ e ridiscende simmetrica. I flessi separano la «cupola» concava dalle «code» convesse.

Con qualche cambio di scala, $e^{-x^2}$ diventa la curva di Gauss della statistica, che descrive come si distribuiscono gli errori di misura e moltissime altre grandezze. Porta il nome di Carl Friedrich Gauss, che nel 1809 la usò per gli errori delle osservazioni astronomiche, ma era già comparsa nel 1733 in un lavoro di Abraham de Moivre sul calcolo delle probabilità. L’area sotto la campana è finita e vale $\sqrt{\pi}$: lo vedrai negli integrali impropri.

Esempio 4: l’esponente 1/x e due comportamenti in zero

$$f(x) = e^{1/x}$$

1. Dominio. L’esponente chiede $x \neq 0$: $\ D = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2. Simmetrie. $f(1) = e$ e $f(-1) = \frac{1}{e}$: non è pari, e dispari non può essere, perché è positiva.

3. Intersezioni e segno. Nessuna intersezione: 0 è escluso ed $e^{1/x} > 0$. Più utile è il confronto con 1: $e^{1/x} > 1 = e^0$ quando $\frac{1}{x} > 0$, cioè per $x > 0$. Quindi $f > 1$ a destra di 0 e $0 < f < 1$ a sinistra.

4. Limiti e asintoti. In 0 i due lati si comportano in modo opposto, come abbiamo visto:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to 0^-} e^{1/x} = 0^+ \\ \lim_{x \to 0^+} e^{1/x} = +\infty \end{gathered}$$

Asintoto verticale $x = 0$ solo da destra; da sinistra il grafico arriva all’origine, esclusa. All’infinito $\frac{1}{x} \to 0$:

$$\lim_{x \to \pm\infty} e^{1/x} = e^0 = 1$$

Asintoto orizzontale $y = 1$ da entrambe le parti. Per il passo 3 il grafico ci arriva da sopra a destra e da sotto a sinistra.

5. Derivata prima.

$$f'(x) = -\frac{1}{x^2}\,e^{1/x}$$

È negativa in tutto il dominio: $f$ è decrescente in $(-\infty, 0)$ e in $(0, +\infty)$, senza massimi né minimi. Non è però decrescente sul dominio: $-1 < 1$ eppure $f(-1) = \frac{1}{e} < f(1) = e$. L’immagine è $(0, 1) \cup (1, +\infty)$: a sinistra la funzione scende da 1 a 0, a destra da $+\infty$ a 1.

Come arriva nell’origine. Con $t = \frac{1}{x} \to -\infty$:

$$\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{t \to -\infty} \left(-t^2 e^t\right) = 0$$

Il grafico arriva nell’origine con la tangente orizzontale.

6. Derivata seconda. Deriviamo il prodotto $-x^{-2} \cdot e^{1/x}$:

$$\begin{gathered} f''(x) = \frac{2}{x^3}\,e^{1/x} + \frac{1}{x^4}\,e^{1/x} \\ {} = \frac{(2x + 1)\,e^{1/x}}{x^4} \end{gathered}$$

$x^4$ ed $e^{1/x}$ sono positivi: conta $2x + 1$.

Intervallo	$f''(x)$	$f(x)$
${\left(-\infty, -\frac{1}{2}\right)}$	$-$	$\cap$
${\left(-\frac{1}{2}, 0\right)}$	$+$	$\cup$
${(0, +\infty)}$	$+$	$\cup$

Flesso in $x = -\frac{1}{2}$, con $f\left(-\frac{1}{2}\right) = e^{-2} \approx 0{,}14$: lì il ramo sinistro scende nel modo più ripido, con pendenza $-4e^{-2} \approx -0{,}54$.

7. Grafico. A sinistra il ramo parte appena sotto $y = 1$, scende concavo fino al flesso e poi, convesso, si appiattisce entrando nell’origine con la tangente orizzontale. A destra il ramo scende da $+\infty$ lungo l’asse $y$ e si appoggia dall’alto a $y = 1$. Controllo: sul ramo sinistro la pendenza è negativa e tende a 0 a entrambi gli estremi, quindi in mezzo ha un minimo, dove la concavità cambia: è il flesso in $-\frac{1}{2}$.

Gli errori più comuni

• Ignorare un esponenziale che non è un fattore. $e^{g(x)}$ in un prodotto non cambia il segno; $e^x - 1$ invece sì, in $x = 0$.
• Usare la gerarchia dove non c’è forma indeterminata. Per $x \to -\infty$, $x\,e^{-x}$ è $(-\infty) \cdot (+\infty) = -\infty$: non tende a 0.
• Dare per scontato che l’asintoto valga da entrambe le parti. $\frac{e^x}{x}$ ha $y = 0$ solo a sinistra; a destra cresce senza limiti. Calcola sempre a parte $+\infty$ e $-\infty$.
• Calcolare un solo limite laterale quando l’esponente ha un denominatore. In $e^{1/x}$ l’asintoto verticale c’è solo da destra; da sinistra il grafico arriva nell’origine.
• Scrivere $e^{1/x} \to 0$ all’infinito. L’esponente tende a 0, quindi $e^{1/x} \to e^0 = 1$.
• Sbagliare la derivata della composta. $\left(e^{-x^2}\right)' = -2x\,e^{-x^2}$: l’esponenziale si ricopia uguale e si moltiplica per la derivata dell’esponente. Non è $e^{-x^2}$, e nemmeno $-x^2 e^{-x^2 - 1}$, come se fosse una potenza.
• Non raccogliere l’esponenziale. Scritta come $2x\,e^{-x} - x^2 e^{-x}$, la derivata non si legge; raccolta, $x\,(2 - x)\,e^{-x}$, ha il segno di $x\,(2 - x)$.
• Leggere monotonia ed estremi su tutto il dominio. $e^{1/x}$ ha $f' < 0$ ovunque ma non è decrescente sul dominio, e il minimo $(1, e)$ di $\frac{e^x}{x}$ non è assoluto.

Esercizi svolti

1. Dominio, segno e un asintoto da una parte sola

Testo. Per $f(x) = (x^2 - 4)\,e^{1/(x - 1)}$ trova dominio, intersezioni con gli assi e segno, e descrivi il grafico vicino a $x = 1$.

Dominio. L’esponente chiede $x \neq 1$: $\ D = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

Intersezioni. $f(0) = -4\,e^{-1} = -\frac{4}{e} \approx -1{,}47$: il punto $\left(0, -\frac{4}{e}\right)$. L’esponenziale non si annulla, quindi gli zeri sono quelli di $x^2 - 4$: $x = \pm 2$, entrambi nel dominio.

Segno. Ignoriamo l’esponenziale: conta $x^2 - 4$. La funzione è positiva per $x < -2$ e per $x > 2$, negativa in $(-2, 1)$ e in $(1, 2)$.

Vicino a 1. Il polinomio tende a $1 - 4 = -3$, l’esponente $\frac{1}{x - 1}$ a $-\infty$ da sinistra e a $+\infty$ da destra:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to 1^-} f(x) = -3 \cdot 0^+ = 0^- \\ \lim_{x \to 1^+} f(x) = -3 \cdot (+\infty) = -\infty \end{gathered}$$

Da destra c’è un asintoto verticale $x = 1$, con il grafico che precipita verso il basso. Da sinistra il grafico arriva nel punto $(1, 0)$, escluso, da sotto e con la tangente orizzontale: è la regola di $h(x)\,e^{1/x}$, spostata in 1. Entrambi i limiti sono coerenti con il segno negativo vicino a 1.

2. Limiti e asintoti con una sostituzione

Testo. Calcola i limiti agli estremi del dominio di $f(x) = x^2 e^{1/x}$ e trova gli asintoti.

Il dominio è $x \neq 0$, e $f > 0$ in tutto il dominio.

Da sinistra di 0, $x^2 \to 0$ ed $e^{1/x} \to 0$: il prodotto tende a 0, senza forme indeterminate. Nessun asintoto.

Da destra di 0 c’è una forma $0 \cdot \infty$. Con $t = \frac{1}{x} \to +\infty$, cioè $x = \frac{1}{t}$:

$$\lim_{x \to 0^+} x^2 e^{1/x} = \lim_{t \to +\infty} \frac{e^t}{t^2} = +\infty$$

per la gerarchia: asintoto verticale $x = 0$, solo da destra. Senza la sostituzione sembra un braccio di ferro tra $x^2 \to 0$ ed $e^{1/x} \to +\infty$; scritto in $t$, si vede che vince l’esponenziale.

All’infinito $e^{1/x} \to 1$ e $x^2 \to +\infty$: $f(x) \to +\infty$ da entrambe le parti. L’obliquo non c’è:

$$\frac{f(x)}{x} = x\,e^{1/x} \to \pm\infty$$

L’unico asintoto è $x = 0$, da destra.

3. Due esponenziali in una somma

Testo. Studia $f(x) = e^{2x} - 4e^x$: segno, limiti, massimi e minimi, flessi e immagine.

Dominio e segno. Dominio $\mathbb{R}$, e $f(0) = 1 - 4 = -3$. Raccogliendo, $f(x) = e^x\,(e^x - 4)$: il primo fattore è positivo e si ignora, il secondo è una somma e si studia con la monotonia, $e^x - 4 > 0 \iff x > \ln 4$. La funzione è negativa per $x < \ln 4$, si annulla in $\ln 4 \approx 1{,}39$ ed è positiva dopo.

Limiti. Per $x \to -\infty$ entrambi gli esponenziali tendono a 0 e $f(x) \to 0^-$: asintoto $y = 0$ solo a sinistra, raggiunto da sotto. Per $x \to +\infty$ la somma è una forma $\infty - \infty$, ma raccolta è $(+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty$. Niente obliquo, perché $\frac{f(x)}{x} = \frac{e^x}{x}\,(e^x - 4) \to +\infty$.

Derivate. Raccogliendo di nuovo $e^x$:

$$\begin{gathered} f'(x) = 2e^{2x} - 4e^x = 2e^x\,(e^x - 2) \\ f''(x) = 4e^{2x} - 4e^x = 4e^x\,(e^x - 1) \end{gathered}$$

$f'$ è negativa per $x < \ln 2$ e positiva dopo: minimo assoluto in $x = \ln 2 \approx 0{,}69$, con $f(\ln 2) = 4 - 8 = -4$, e immagine $[-4, +\infty)$. $f''$ cambia segno in $x = 0$: concava prima, convessa dopo, con un flesso in $(0, -3)$. Lì la pendenza è $f'(0) = -2$ e la tangente inflessionale è $y = -2x - 3$.

Il controllo con la sostituzione. Con $t = e^x > 0$ la funzione diventa la parabola $t^2 - 4t$, che per $t > 0$ scende da 0 al vertice $(2, -4)$ e poi risale: $e^x = 2$ dà lo stesso minimo, e $t \to 0^+$ l’asintoto a sinistra. La parabola non dice però dove sono i flessi: la sostituzione cambia la forma del grafico, e la concavità va studiata in $x$.

4. Un parametro all’esponente

Testo. Per quali valori del parametro reale $k$ la funzione $f(x) = x\,e^{kx}$ ha un massimo relativo? Quanto vale?

Se $k = 0$, $f(x) = x$: nessun massimo. Se $k \neq 0$, con $\left(e^{kx}\right)' = k\,e^{kx}$:

$$\begin{gathered} f'(x) = e^{kx} + x \cdot k\,e^{kx} \\ {} = (1 + kx)\,e^{kx} \end{gathered}$$

Il segno è quello di $1 + kx$, che si annulla in $x = -\frac{1}{k}$.

• Se $k > 0$, $1 + kx$ è negativo prima di $-\frac{1}{k}$ e positivo dopo: è un minimo.
• Se $k < 0$, è positivo prima e negativo dopo: è un massimo.

C’è un massimo relativo solo per $k < 0$, in $x = -\frac{1}{k}$:

$$f\left(-\frac{1}{k}\right) = -\frac{1}{k}\,e^{-1} = -\frac{1}{k\,e}$$

un valore positivo, perché $k < 0$. È anche assoluto: per $k < 0$ la funzione va a $-\infty$ per $x \to -\infty$ e a 0 per $x \to +\infty$, per la gerarchia. Con $k = -1$ ritrovi il massimo $\left(1, \frac{1}{e}\right)$ dell’esempio 1, con $k = -2$ il massimo è il punto $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2e}\right)$.

5. Quante soluzioni ha un’equazione

Testo. Al variare di $k$ reale, quante soluzioni ha l’equazione $e^x = kx$?

$x = 0$ non è mai soluzione, perché $e^0 = 1 \neq 0$. Per $x \neq 0$ possiamo dividere per $x$:

$$e^x = kx \iff \frac{e^x}{x} = k$$

Le soluzioni sono le intersezioni del grafico dell’esempio 2 con la retta orizzontale $y = k$. Su ogni intervallo in cui è continua e strettamente monotona, la funzione prende una sola volta ogni valore compreso tra i suoi limiti agli estremi (teorema dei valori intermedi). Quindi:

• il ramo sinistro scende da 0 a $-\infty$: prende ogni valore negativo una volta;
• il ramo destro scende da $+\infty$ a $e$ in $(0, 1]$ e risale da $e$ a $+\infty$ in $[1, +\infty)$: prende ogni valore maggiore di $e$ due volte, il valore $e$ una volta, nessun valore minore di $e$.

Valori di $k$	Soluzioni
${k < 0}$	una, negativa
${0 \leq k < e}$	nessuna
${k = e}$	una, ${x = 1}$
${k > e}$	due

Per $k = e$ la retta $y = e\,x$ è tangente al grafico di $e^x$ nel punto $(1, e)$. Per $k = 3$, per esempio, le due soluzioni valgono circa $0{,}62$ e $1{,}51$, una in $(0, 1)$ e una dopo 1.

In sintesi

• $e^{g(x)} > 0$ sempre: ha il dominio di $g$, non si annulla e nel segno di $f$, $f'$, $f''$ si ignora; $e^x - 1$ invece no.
• Gerarchia: $\frac{x^n}{e^x} \to 0$ per $x \to +\infty$ e $x^n e^x \to 0$ per $x \to -\infty$; dove l’esponenziale va all’infinito non c’è asintoto obliquo.
• Gli asintoti orizzontali sono spesso da una parte sola: calcola sempre $+\infty$ e $-\infty$ separatamente.
• $e^{1/x}$: da sinistra tende a 0 con tangente orizzontale, da destra a $+\infty$; all’infinito tende a 1.
• Derivate: $\left(e^{g}\right)' = g'\,e^{g}$, $\ (p\,e^x)' = (p + p')\,e^x$, $\ (p\,e^{-x})' = (p' - p)\,e^{-x}$; raccogli l’esponenziale e studia il polinomio.
• Una funzione positiva non è mai dispari; $e^{g(x)}$ è pari se $g$ è pari.

Per allenarti su studi completi di ogni tipo ci sono gli esercizi svolti sullo studio di funzione. Il logaritmo è l’inverso dell’esponenziale, e il suo studio ha regole simili ma rovesciate: lo studio di funzione logaritmica.