Punti di discontinuità: prima, seconda e terza specie, esempi ed esercizi svolti

Una funzione è continua in $x_0$ quando il limite esiste, è finito e coincide con $f(x_0)$. Se qualcosa va storto, $x_0$ è un punto di discontinuità. Ma «storto» può voler dire cose molto diverse: un salto, un asintoto, un’oscillazione senza fine, un buco. I libri italiani le distinguono in tre specie, e all’esame di Analisi 1 «trova e classifica i punti di discontinuità» è una domanda fissa, sia da sola sia dentro lo studio di funzione. In questa pagina vediamo dove si cercano i punti di discontinuità e perché solo nei punti di accumulazione del dominio, le tre specie con definizione, salto ed esempi, il prolungamento per continuità, il metodo per gli esercizi con una tabella riassuntiva, i casi speciali (funzioni monotone, funzioni di Dirichlet e di Thomae, punti angolosi), gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Cos’è un punto di discontinuità

La continuità in $x_0$ chiede tre cose: $f$ definita in $x_0$, limite finito, limite uguale a $f(x_0)$. Per capire quale delle tre manca, il modo più affidabile è calcolare separatamente i due limiti laterali:

$$\begin{gathered} \ell^- = \lim_{x \to x_0^-} f(x) \\ \ell^+ = \lim_{x \to x_0^+} f(x) \end{gathered}$$

Le tre specie corrispondono a tre comportamenti dei limiti laterali, che vedi nella figura: un buco (terza specie), una scala di salti (prima specie), un asintoto e una funzione che esplode da un lato solo (seconda specie).

Dove si cercano, e perché solo nei punti di accumulazione

Un limite per $x \to x_0$ ha senso solo se ci si può avvicinare a $x_0$ con punti del dominio $D$, cioè se $x_0$ è un punto di accumulazione di $D$. Per questo la definizione è:

Includere i punti fuori dal dominio è una convenzione dei testi italiani, utile negli esercizi. Non contraddice il fatto che $\frac{1}{x}$ sia una funzione continua: lo è in ogni punto del dominio, e $x = 0$ è un punto di discontinuità perché fuori dal dominio.

Invece non si classifica niente:

• lontano dal dominio: $\sqrt{x}$ in $x = -1$ non ha né valore né limite;
• nei punti isolati: $f(x) = \sqrt{x^2(x - 1)}$ ha dominio $\{0\} \cup [1, +\infty)$. In $0$ è definita, ma vicino non ci sono altri punti del dominio: lì ogni funzione è continua, perché nella definizione con $\varepsilon$ e $\delta$ basta un $\delta$ così piccolo che, nel dominio, l’unico punto vicino sia $0$ stesso.

In pratica i candidati sono pochi, perché le funzioni elementari e le loro combinazioni sono continue nel loro dominio:

1. gli zeri dei denominatori;
2. gli estremi dei domini di logaritmi, radici e funzioni simili;
3. i punti di raccordo delle funzioni definite a tratti;
4. i punti in cui cambia formula una funzione «a scatti»: la parte intera dove l’argomento è intero, il segno e i quozienti come $\frac{\lvert x \rvert}{x}$ dove l’argomento si annulla.

Se ci si avvicina a $x_0$ da un lato solo, come in un estremo del dominio, si usa l’unico limite laterale che ha senso. Se è infinito o non esiste, è seconda specie; se è finito ma $f(x_0)$ manca o è diverso, terza specie; se è uguale a $f(x_0)$, la funzione è continua, come $\sqrt{x}$ in $0$. La prima specie richiede due lati, quindi lì non capita. Per esempio $\ln x$ in $0$ ha $\ell^+ = -\infty$: seconda specie.

Discontinuità di prima specie: il salto

Il valore $f(x_0)$ non conta: può mancare, essere uguale a uno dei due limiti o essere un altro numero, ma il salto resta. Se $f(x_0) = \ell^+$ la funzione è continua da destra, se $f(x_0) = \ell^-$ da sinistra.

Esempio 1: il segno. La funzione $\frac{\lvert x \rvert}{x}$ non è definita in $0$ e vale

$$\frac{\lvert x \rvert}{x} = \begin{cases} -1 & x < 0 \\ 1 & x > 0 \end{cases}$$

Quindi $\ell^- = -1$, $\ell^+ = 1$ e il salto è $2$.

Esempio 2: la parte intera. Per esempio $\lfloor 2{,}7 \rfloor = 2$, $\lfloor 3 \rfloor = 3$, $\lfloor -1{,}5 \rfloor = -2$. Il grafico è una scala. In ogni intero $n$, poco prima di $n$ la funzione vale $n - 1$, da $n$ in poi vale $n$: $\ell^- = n - 1$, $\ell^+ = n = f(n)$. Prima specie con salto 1, continua da destra. Nei punti non interi è costante vicino al punto, quindi continua.

Esempio 3: una funzione a tratti. Sia

$$f(x) = \begin{cases} \cos x & x < 0 \\ x + 3 & x \geq 0 \end{cases}$$

Da sinistra si usa il coseno: $\ell^- = \cos 0 = 1$. Da destra si usa la retta: $\ell^+ = 3 = f(0)$. Salto $2$, continua da destra.

Esempio 4: l’arcotangente di 1 su x. Per $x \to 0^+$ si ha $\frac{1}{x} \to +\infty$, per $x \to 0^-$ si ha $\frac{1}{x} \to -\infty$, e l’arcotangente tende a $\pm\frac{\pi}{2}$:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to 0^-} \arctan\frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2} \\ \lim_{x \to 0^+} \arctan\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} \end{gathered}$$

Il salto è $\frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \pi$. Nota che il grafico non ha asintoti verticali: i due rami arrivano a quote finite.

Discontinuità di seconda specie

Esempio 5: limiti infiniti. $\frac{1}{x}$ in $0$ ha $\ell^- = -\infty$ e $\ell^+ = +\infty$. Anche $\frac{1}{x^2}$, con entrambi i limiti $+\infty$, e $\ln \lvert x \rvert$, con entrambi $-\infty$: il limite esiste, ma è infinito, e questo basta. Ogni limite laterale infinito dà un asintoto verticale.

Esempio 6: un lato finito e uno infinito. Per $e^{\frac{1}{x}}$ in $0$, da sinistra $\frac{1}{x} \to -\infty$ e l’esponenziale tende a $0$; da destra $\frac{1}{x} \to +\infty$ e l’esponenziale tende a $+\infty$. Il lato sinistro è tranquillo, ma basta un lato infinito: seconda specie. È l’ultimo grafico della prima figura.

Esempio 7: un limite che non esiste. $\sin\frac{1}{x}$ in $0$ oscilla tra $-1$ e $1$ sempre più in fretta. Per dimostrare che il limite destro non c’è, prendiamo due successioni che tendono a $0^+$:

$$\begin{gathered} x_n = \frac{1}{n\pi} \implies \sin\frac{1}{x_n} = 0 \\ y_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2n\pi} \implies \sin\frac{1}{y_n} = 1 \end{gathered}$$

Se il limite esistesse, lungo tutte le successioni si otterrebbe lo stesso valore; qui escono $0$ e $1$. A sinistra si ragiona allo stesso modo con $-x_n$ e $-y_n$. Nessun asintoto, eppure seconda specie (pannello in alto della figura più sotto).

Discontinuità di terza specie, o eliminabile

Esempio 8: un buco in una retta. Per $x \neq 2$ si può semplificare:

$$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2$$

Il limite per $x \to 2$ è $4$, ma in $2$ la funzione non è definita: il grafico è la retta $y = x + 2$ con un buco nel punto $(2, 4)$.

Esempio 9: un limite notevole. $\frac{\sin x}{x}$ non è definita in $0$, ma per il limite notevole tende a $1$ da entrambi i lati.

Esempio 10: oscillazioni smorzate. $x\sin\frac{1}{x}$ oscilla come $\sin\frac{1}{x}$, ma il fattore $x$ schiaccia le oscillazioni. Siccome $\left\lvert \sin\frac{1}{x} \right\rvert \leq 1$,

$$-\lvert x \rvert \leq x\sin\frac{1}{x} \leq \lvert x \rvert$$

e per il teorema dei carabinieri il limite è $0$. La figura mette a confronto le due funzioni.

Esempio 11: un valore fuori posto. La funzione che vale $x^2$ per $x \neq 0$ e $1$ per $x = 0$ è definita ovunque, ma il limite in $0$ è $0 \neq f(0)$: è una parabola con il vertice «spostato» più in alto.

Si chiama eliminabile perché basta assegnare o cambiare un solo valore per renderla continua.

Il prolungamento per continuità

Se $f$ non è definita in $x_0$ ma ha lì limite finito $\ell$, la funzione

$$\tilde{f}(x) = \begin{cases} f(x) & x \neq x_0 \\ \ell & x = x_0 \end{cases}$$

è continua in $x_0$: si chiama prolungamento per continuità di $f$. Il valore è obbligato: solo $\ell$ funziona. Se invece $f(x_0)$ esiste ma è sbagliato, come nell’esempio 11, si ridefinisce $f(x_0) = \ell$.

Si prolungano così molte funzioni importanti:

Funzione	Si prolunga in 0 con
${\frac{\sin x}{x}}$	${1}$
${\frac{e^x - 1}{x}}$	${1}$
${\frac{1 - \cos x}{x^2}}$	${\frac{1}{2}}$
${x\ln x}$ (per ${x > 0}$)	${0}$, solo da destra

Le discontinuità di prima e seconda specie, invece, non si eliminano. Un salto ha due limiti diversi, e nessun numero è uguale a entrambi; un limite infinito o inesistente non è un numero da assegnare.

Il metodo per gli esercizi

1. Dominio e candidati. Trova il dominio e scrivi la lista dei punti sospetti: zeri dei denominatori, estremi del dominio, raccordi, punti di cambio di parte intera, segno, valore assoluto.
2. Semplifica, se puoi, ricordando che il punto escluso resta escluso.
3. Limiti laterali. In ogni candidato calcola $\ell^-$ e $\ell^+$; nelle funzioni a tratti, la formula giusta per ciascun lato.
4. Valore. Se $x_0$ è nel dominio, calcola $f(x_0)$ con la riga che contiene $x_0$.
5. Classifica con la tabella e, se richiesto, calcola il salto o il prolungamento.

Specie	Limiti laterali	Esempio
prima	finiti e diversi	${\arctan\frac{1}{x}}$ in 0
seconda	uno infinito o assente	${e^{\frac{1}{x}}}$ in 0
terza	finiti, uguali, ${\neq f(x_0)}$	${\frac{\sin x}{x}}$ in 0
nessuna	uguali a ${f(x_0)}$	${x^2}$ in 1

Nella riga «terza» rientra anche il caso in cui $f(x_0)$ non esiste.

Casi particolari

Le funzioni monotone: nei punti interni solo salti

Se $f$ è monotona su un intervallo, in ogni punto interno i limiti laterali esistono sempre finiti: sono l’estremo superiore dei valori da una parte e l’estremo inferiore dall’altra. Quindi niente seconda specie, niente terza: solo salti, e al più un’infinità numerabile. Tutto è dimostrato in continuità uniforme e funzioni monotone. La parte intera è l’esempio tipico.

La funzione di Dirichlet: discontinua ovunque

$$D(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb{Q} \\ 0 & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$$

In ogni intorno di ogni punto ci sono sia razionali sia irrazionali. Avvicinandosi a $x_0$ con razionali si trova $1$, con irrazionali $0$: nessun limite, nemmeno laterale. Ogni punto è di seconda specie. La funzione compare in un articolo di Dirichlet del 1829 sulle serie di Fourier, e il suo grafico non si può nemmeno disegnare.

La funzione di Thomae: continua solo negli irrazionali

Una variante più sorprendente, presentata da Carl Johannes Thomae nel 1875. Scritto ogni razionale come frazione ridotta ai minimi termini $\frac{p}{q}$, con $q \geq 1$:

$$T(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{q} & x = \dfrac{p}{q} \\[1ex] 0 & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$$

Per esempio $T\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$, $T\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{1}{4}$, $T(0) = 1$. Il fatto chiave è che in ogni punto il limite vale 0. Fissato $\varepsilon > 0$, le frazioni con denominatore $q \leq \frac{1}{\varepsilon}$ in un intervallo limitato sono un numero finito: basta scegliere un intorno di $x_0$ che le eviti (tranne al più $x_0$), e lì $T(x) < \varepsilon$. Quindi:

• negli irrazionali $T(x_0) = 0$ è uguale al limite: $T$ è continua;
• nei razionali $T(x_0) = \frac{1}{q} \neq 0$: discontinuità di terza specie.

Il contrario è impossibile: si dimostra, con strumenti oltre Analisi 1, che nessuna funzione è continua esattamente nei razionali.

Discontinuità e non derivabilità

Una funzione derivabile è continua, quindi in un punto di discontinuità non c’è derivata. Il viceversa è falso: $\lvert x \rvert$ in $0$ ha uno spigolo, un punto angoloso, ma è continua. Lì manca la derivata, non la continuità: è un argomento diverso, in derivabilità e continuità.

Gli errori più comuni

• Calcolare un solo limite laterale. $e^{\frac{1}{x}}$ in $0$ tende a $0$ da sinistra: chi si ferma lì crede che sia eliminabile, ma da destra va a $+\infty$.
• Decidere la specie guardando $f(x_0)$. La specie dipende dai limiti laterali. Un salto resta un salto qualunque sia $f(x_0)$, e il salto è $\lvert \ell^+ - \ell^- \rvert$, non la distanza da $f(x_0)$.
• Pensare che seconda specie voglia dire asintoto. $\sin\frac{1}{x}$ non ha asintoti: il limite semplicemente non esiste.
• Semplificare e dimenticare il punto escluso. $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ non è $x + 2$: in $2$ non è definita, e proprio lì c’è la discontinuità.
• Classificare punti che non sono di accumulazione. Punti fuori dal dominio e lontani da esso, o punti isolati: lì non c’è niente da classificare.
• Cercare di prolungare un salto o un asintoto. Il prolungamento esiste solo per la terza specie.
• Scambiare un punto angoloso per una discontinuità. $\lvert x \rvert$ in $0$ è continua: non è derivabile.

Esercizi svolti

1. Una funzione razionale

Testo. Trova e classifica i punti di discontinuità di $f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x^2 - 3x}$.

Il denominatore è $x(x - 3)$: il dominio è $\mathbb{R} \setminus \{0, 3\}$ e i candidati sono $0$ e $3$. Scomponendo il numeratore, per $x \neq 0, 3$:

$$f(x) = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x(x - 3)} = \frac{x + 3}{x}$$

In 3. Il limite è $\frac{6}{3} = 2$, finito, ma $f(3)$ non esiste: terza specie, si prolunga ponendo $f(3) = 2$.

In 0. Il numeratore tende a $3 > 0$ e il denominatore a $0$: per $x \to 0^-$ il limite è $-\infty$, per $x \to 0^+$ è $+\infty$. Seconda specie, con asintoto verticale $x = 0$. Il grafico, quindi, ha un buco in $3$ e un asintoto in $0$, anche se il denominatore si annulla in entrambi.

2. La parte intera di x al quadrato

Testo. Studia la continuità di $f(x) = \lfloor x^2 \rfloor$ per $-2 < x < 2$.

La parte intera cambia valore solo dove l’argomento è un intero. Per $-2 < x < 2$ si ha $0 \leq x^2 < 4$: i candidati sono le $x$ con $x^2 \in \{0, 1, 2, 3\}$, cioè $0$, $\pm 1$, $\pm\sqrt{2}$, $\pm\sqrt{3}$.

In 0. Per $0 < \lvert x \rvert < 1$ si ha $0 < x^2 < 1$, quindi $f(x) = 0 = f(0)$: continua. Qui $x^2$ tocca l’intero $0$, ma non lo attraversa.

In $x = \sqrt{n}$, con $n = 1, 2, 3$. Poco a sinistra $x^2$ è appena minore di $n$ e $f = n - 1$; poco a destra è appena maggiore e $f = n$; e $f(\sqrt{n}) = n$. Prima specie, salto 1, continua da destra.

In $x = -\sqrt{n}$. Qui succede il contrario: a sinistra $x$ è più lontano da 0, quindi $x^2 > n$ e $f = n$; a destra $f = n - 1$. Salto 1, continua da sinistra, perché $f(-\sqrt{n}) = n = \ell^-$.

In tutto sei salti di ampiezza 1, e nessuna discontinuità in 0.

3. Quattro prolungamenti

Testo. Di’ se si possono prolungare per continuità, e con quale valore:

1. $\dfrac{e^{2x} - 1}{3x}$ in $x = 0$;
2. $\dfrac{x^2 - 1}{\ln x}$ in $x = 1$;
3. $e^{-\frac{1}{x^2}}$ in $x = 0$;
4. $\arctan\dfrac{1}{x^2}$ in $x = 0$.

Si può prolungare se e solo se il limite esiste finito, e il valore è il limite.

1. Con il limite notevole dell’esponenziale:

$$\frac{e^{2x} - 1}{3x} = \frac{2}{3} \cdot \frac{e^{2x} - 1}{2x} \to \frac{2}{3}$$

Si prolunga con $\frac{2}{3}$.

2. Il dominio è $x > 0$, $x \neq 1$. Per $x \to 1$ il limite notevole del logaritmo dà $\frac{\ln x}{x - 1} \to 1$, quindi

$$\begin{gathered} \frac{x^2 - 1}{\ln x} = (x + 1) \cdot \frac{x - 1}{\ln x} \\ {} \to 2 \cdot 1 = 2 \end{gathered}$$

Si prolunga con $2$. Anche in $0$, da destra, il limite è finito: il numeratore tende a $-1$ e il denominatore a $-\infty$, quindi il limite è $0$ e si può prolungare anche lì, da destra, con $0$.

3. Da entrambi i lati $-\frac{1}{x^2} \to -\infty$, quindi $e^{-\frac{1}{x^2}} \to 0$: si prolunga con $0$.

4. Da entrambi i lati $\frac{1}{x^2} \to +\infty$, quindi il limite è $\frac{\pi}{2}$: si prolunga con $\frac{\pi}{2}$. Il quadrato fa la differenza: $\arctan\frac{1}{x}$ ha limiti laterali opposti e un salto $\pi$, che non si prolunga.

Tutte e quattro si prolungano, con i valori $\frac{2}{3}$, $2$, $0$ e $\frac{\pi}{2}$: in ognuna il limite esiste finito da entrambi i lati.

4. Tutte e tre le specie

Testo. Trova e classifica i punti di discontinuità di

$$f(x) = \frac{(x + 1)\arctan\frac{1}{x}}{x^2 - 1}$$

Servono $x \neq 0$ per la frazione $\frac{1}{x}$ e $x^2 \neq 1$: i candidati sono $-1$, $0$, $1$. Siccome $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$, per $x \neq -1$:

$$f(x) = \frac{\arctan\frac{1}{x}}{x - 1}$$

In $-1$. La forma semplificata è continua in $-1$, quindi basta sostituire:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to -1} f(x) = \frac{\arctan(-1)}{-2} \\ {} = \frac{-\pi/4}{-2} = \frac{\pi}{8} \end{gathered}$$

Terza specie, eliminabile con $f(-1) = \frac{\pi}{8}$.

In 0. Il fattore $\frac{1}{x - 1}$ tende a $-1$, l’arcotangente salta da $-\frac{\pi}{2}$ a $\frac{\pi}{2}$:

$$\begin{gathered} \ell^- = \left(-\frac{\pi}{2}\right) \cdot (-1) = \frac{\pi}{2} \\ \ell^+ = \frac{\pi}{2} \cdot (-1) = -\frac{\pi}{2} \end{gathered}$$

Prima specie, con salto $\pi$.

In 1. Il numeratore tende a $\arctan 1 = \frac{\pi}{4} > 0$, il denominatore a $0$: il limite è $-\infty$ da sinistra e $+\infty$ da destra. Seconda specie.

Tre punti esclusi dal dominio, tre specie diverse: un buco in $-1$, un salto in $0$, un asintoto in $1$.

5. Un parametro, tre risposte

Testo. Al variare di $k \in \mathbb{R}$, classifica la discontinuità in $0$ di

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin(kx)}{x} & x < 0 \\[1.2ex] \dfrac{(x + k)^2 - k}{x} & x > 0 \end{cases}$$

Limite sinistro. Se $k \neq 0$, con il limite notevole del seno:

$$\frac{\sin(kx)}{x} = k \cdot \frac{\sin(kx)}{kx} \to k$$

Se $k = 0$ la funzione vale $0$ e il limite è $0 = k$. In ogni caso $\ell^- = k$.

Limite destro. Sviluppiamo il quadrato:

$$\begin{gathered} \frac{(x + k)^2 - k}{x} = \frac{x^2 + 2kx + k^2 - k}{x} \\ {} = x + 2k + \frac{k^2 - k}{x} \end{gathered}$$

Tutto dipende da $k^2 - k = k(k - 1)$.

• $k \neq 0$ e $k \neq 1$. L’ultimo termine tende a $\pm\infty$: a $+\infty$ se $k < 0$ o $k > 1$, a $-\infty$ se $0 < k < 1$. Seconda specie.
• $k = 1$. Resta $x + 2 \to 2$, mentre $\ell^- = 1$: prima specie, salto 1.
• $k = 0$. Resta $x \to 0$, e $\ell^- = 0$: terza specie, si prolunga con $f(0) = 0$.

Il parametro decide tutto: un solo valore rende il punto eliminabile, uno dà un salto, tutti gli altri un asintoto.

6. Continua in un punto solo

Testo. Sia $f(x) = x$ se $x$ è razionale e $f(x) = 0$ se $x$ è irrazionale. Dimostra che $f$ è continua solo in $0$ e classifica gli altri punti.

In 0. In entrambi i casi $\lvert f(x) \rvert \leq \lvert x \rvert$, che tende a $0$. Per i carabinieri $f(x) \to 0 = f(0)$: continua.

In $x_0 \neq 0$. Prendiamo una successione di razionali $r_n \to x_0$ e una di irrazionali $s_n \to x_0$, tutte da destra (esistono, perché razionali e irrazionali sono densi). Allora $f(r_n) = r_n$ tende a $x_0$ e $f(s_n) = 0$ tende a $0$. I due limiti sono diversi, perché $x_0 \neq 0$: il limite destro non esiste, e lo stesso vale a sinistra. Ogni $x_0 \neq 0$ è di seconda specie: è la funzione di Dirichlet «schiacciata» verso 0 dal fattore $x$, come in $x\sin\frac{1}{x}$.

Altri esercizi sulla continuità, con parametri e funzioni a tratti, li trovi negli esercizi svolti sulla continuità.

In sintesi

• Si classificano i punti di accumulazione del dominio in cui $f$ non è continua, compresi quelli in cui non è definita.
• Prima specie: $\ell^-$ e $\ell^+$ finiti e diversi; salto $\lvert \ell^+ - \ell^- \rvert$.
• Seconda specie: almeno un limite laterale infinito o inesistente.
• Terza specie (eliminabile): limite finito $\ell$, ma $f(x_0) \neq \ell$ o $f$ non definita.
• Il prolungamento per continuità, con il valore $\ell$, è possibile solo nella terza specie.
• Metodo: candidati, limiti laterali, valore, tabella.
• Nei punti interni di un intervallo le funzioni monotone fanno solo salti; Dirichlet è discontinua ovunque, Thomae solo nei razionali.
• Discontinua implica non derivabile, ma un punto angoloso è continuo.

Le funzioni continue su un intervallo hanno proprietà molto forti, che le discontinue non hanno. La prima riguarda gli zeri: teorema degli zeri e dei valori intermedi.