Analisi di Fourier: serie, coefficienti, armoniche, onda quadra ed esercizi svolti

Un violino e un flauto che suonano lo stesso La hanno la stessa frequenza, eppure li distingui a occhi chiusi: nessuno dei due produce un’oscillazione armonica pura. L’analisi di Fourier dice che ogni moto periodico ragionevole è una somma di seni e coseni con frequenze multiple di una frequenza fondamentale, le armoniche. Lo ritroverai nelle onde, nei circuiti e nell’elaborazione dei segnali. In questa pagina vediamo l’idea di base, la serie di Fourier, come si calcolano i coefficienti grazie all’ortogonalità, le scorciatoie per funzioni pari e dispari, l’onda quadra svolta passo passo, il dente di sega e l’onda triangolare, il fenomeno di Gibbs, lo spettro, il timbro degli strumenti, il legame con l’oscillatore forzato, le applicazioni, un po’ di storia, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Dalla somma alla scomposizione

Negli articoli precedenti abbiamo sommato moti armonici, sullo stesso asse e su assi perpendicolari. L’analisi di Fourier fa il percorso inverso: dato un moto periodico, trova le oscillazioni armoniche che, sommate, lo riproducono. È come risalire alla ricetta di un frullato: gli ingredienti sono sempre seni e coseni, e l’analisi ti dice la dose di ciascuno.

Una funzione è periodica di periodo $T$ se $f(t + T) = f(t)$. Da $T$ si ricavano la frequenza fondamentale $f_1 = 1/T$ e la pulsazione fondamentale $\omega = 2\pi/T$, come nel moto armonico semplice. Gli ingredienti ammessi hanno solo frequenze $f_1$, $2f_1$, $3f_1$ e così via: una sinusoide di periodo $T/3$ si ripete anche dopo un tempo $T$, una di frequenza $1{,}5\,f_1$ no.

La serie di Fourier

Il teorema di Fourier dice che una funzione periodica di periodo $T$, sotto condizioni molto generali, si può scrivere come somma di un termine costante e di infiniti seni e coseni con pulsazioni multiple di $\omega$:

$$\begin{gathered} f(t) = \frac{a_0}{2} \\ {} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\,\omega t) + b_n\sin(n\,\omega t)\right] \end{gathered}$$

È la serie di Fourier. Il numero intero $n$ numera le armoniche: $n = 1$ è la fondamentale, $n = 2$ la seconda armonica, con pulsazione $2\omega$, e così via. I coefficienti di Fourier $a_n$ e $b_n$ dicono quanto “pesa” ogni coseno e ogni seno, e il termine costante $a_0/2$ è il valore medio della funzione.

Le “condizioni molto generali” le fissò nel 1829 il matematico tedesco Peter Gustav Lejeune Dirichlet: basta che, in un periodo, la funzione sia limitata e abbia un numero finito di massimi, minimi e salti. In pratica tutti i segnali della fisica rispettano queste condizioni di Dirichlet. Nei punti di salto la serie converge alla media tra il valore prima e quello dopo il salto. A differenza della serie di Taylor, funziona anche con funzioni discontinue.

Come si calcolano i coefficienti

I coefficienti si calcolano con degli integrali su un periodo:

$$\begin{gathered} a_n = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(n\,\omega t)\,dt \\ b_n = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin(n\,\omega t)\,dt \end{gathered}$$

Per $n = 0$ il coseno vale 1 e la prima formula dà $a_0 = \frac{2}{T}\int_0^T f\,dt$: quindi $a_0/2$ è proprio il valore medio di $f$. Ecco perché nella serie si scrive $a_0/2$: così una sola formula vale per tutti gli $a_n$. L’integrale si può fare su qualsiasi intervallo lungo un periodo, per esempio da $-T/2$ a $T/2$.

Perché funzionano: l’ortogonalità

Le formule si basano su una proprietà che si dimostra con le formule di Werner: la media su un periodo del prodotto di due armoniche diverse è zero, mentre la media del quadrato di un’armonica è $1/2$. Per interi $m \neq n$:

$$\begin{gathered} \frac{1}{T}\int_0^T \cos(m\,\omega t)\cos(n\,\omega t)\,dt = 0 \\ \frac{1}{T}\int_0^T \cos^2(n\,\omega t)\,dt = \frac{1}{2} \end{gathered}$$

Lo stesso vale per i seni, e il prodotto di un seno per un coseno ha sempre media nulla: le aree positive e negative del prodotto si compensano esattamente.

Ecco il trucco. Per trovare $a_3$, moltiplica tutta la serie per $\cos(3\omega t)$ e fai la media su un periodo: tutti i termini danno zero tranne $a_3\cos^2(3\omega t)$, che dà $a_3/2$. Quindi $a_3$ è il doppio della media di $f(t)\cos(3\omega t)$, cioè la formula di sopra. Il coseno fa da setaccio: lascia passare solo la componente con la sua frequenza. È come trovare la componente $x$ di un vettore con il prodotto scalare per il versore dell’asse $x$: per questo seni e coseni si dicono funzioni ortogonali.

Funzioni pari, dispari e simmetrie

Prima di calcolare, guarda la forma del segnale: spesso metà dei coefficienti è zero. Ricorda le definizioni di funzione pari e dispari:

• Se $f$ è dispari, $f(-t) = -f(t)$, tutti gli $a_n$ sono nulli, compreso $a_0$: restano solo i seni.
• Se $f$ è pari, $f(-t) = f(t)$, tutti i $b_n$ sono nulli: restano i coseni e il termine costante.
• Se il secondo mezzo periodo è la copia capovolta del primo, $f(t + T/2) = -f(t)$, le armoniche pari sono nulle: restano solo $n = 1, 3, 5, \dots$

L’onda quadra, svolta passo passo

Prendiamo un’onda quadra di periodo $T$ che vale $+1$ nella prima metà del periodo e $-1$ nella seconda, come un interruttore che scatta avanti e indietro. È dispari, quindi tutti gli $a_n$ sono nulli; ha anche la simmetria del mezzo periodo, quindi ci aspettiamo solo armoniche dispari. Calcoliamo i $b_n$ dividendo l’integrale nelle due metà:

$$\begin{gathered} b_n = \frac{2}{T}\int_0^{T/2}\sin(n\,\omega t)\,dt \\ {} - \frac{2}{T}\int_{T/2}^{T}\sin(n\,\omega t)\,dt \end{gathered}$$

Ricordando che $\omega T = 2\pi$, i due integrali valgono:

$$\begin{gathered} \int_0^{T/2}\sin(n\,\omega t)\,dt = \frac{1 - \cos(n\pi)}{n\,\omega} \\ \int_{T/2}^{T}\sin(n\,\omega t)\,dt = \frac{\cos(n\pi) - 1}{n\,\omega} \end{gathered}$$

quindi:

$$\begin{gathered} b_n = \frac{2}{T} \cdot \frac{2\,\left(1 - \cos n\pi\right)}{n\,\omega} \\ b_n = \frac{2\,\left(1 - \cos n\pi\right)}{n\,\pi} \end{gathered}$$

Se $n$ è pari, $\cos n\pi = 1$ e $b_n = 0$; se $n$ è dispari, $\cos n\pi = -1$ e $b_n = \dfrac{4}{n\pi}$. La serie dell’onda quadra è quindi:

$$\begin{gathered} f(t) = \frac{4}{\pi}\left[\sin(\omega t) + \frac{\sin(3\omega t)}{3} \right. \\ \left. {} + \frac{\sin(5\omega t)}{5} + \frac{\sin(7\omega t)}{7} + \dots\right] \end{gathered}$$

Contiene solo le armoniche dispari, con ampiezze che calano come $1/n$: la fondamentale vale $4/\pi \approx 1{,}27$, più dell’onda stessa, la terza armonica $0{,}42$, la quinta $0{,}25$, la settima $0{,}18$. Le armoniche successive servono ad appiattire la cima della fondamentale e a rendere ripidi i fianchi.

Il grafico mostra le somme parziali della serie: con un solo termine hai una sinusoide, con tre termini, cioè fino a $n = 5$, si vedono già i fianchi ripidi, con dieci, fino a $n = 19$, la forma è quasi quadra.

Il fenomeno di Gibbs

Vicino ai salti la somma parziale sale oltre 1 e ondeggia. Aggiungendo termini le ondulazioni si stringono verso il salto, ma il picco non si abbassa: resta circa il 9% dell’altezza del salto (8,95%, per la precisione). Per la nostra onda il salto vale 2 e il picco arriva a circa $1{,}18$. È il fenomeno di Gibbs: in ogni punto fissato fuori dai salti la serie converge al valore giusto, ma il picco si sposta sempre più vicino al salto senza sparire.

Prende il nome dallo scienziato americano Josiah Willard Gibbs, che lo descrisse nel 1899 sulla rivista Nature, ma il matematico inglese Henry Wilbraham lo aveva già studiato nel 1848.

Dente di sega e onda triangolare

Il dente di sega sale in modo lineare da $-1$ a $+1$ durante il periodo e poi crolla di colpo. Non ha la simmetria del mezzo periodo, quindi contiene tutte le armoniche, con segni alterni (il calcolo è nell’esercizio 3):

$$\begin{gathered} f(t) = \frac{2}{\pi}\left[\sin(\omega t) - \frac{\sin(2\omega t)}{2} \right. \\ \left. {} + \frac{\sin(3\omega t)}{3} - \dots\right] \end{gathered}$$

L’onda triangolare sale e scende in modo lineare tra $-1$ e $+1$: non ha salti, ma ha degli spigoli. Scelta pari, con il massimo in $t = 0$, ha solo coseni e solo armoniche dispari:

$$\begin{gathered} f(t) = \frac{8}{\pi^2}\left[\cos(\omega t) + \frac{\cos(3\omega t)}{9} \right. \\ \left. {} + \frac{\cos(5\omega t)}{25} + \dots\right] \end{gathered}$$

Qui le ampiezze calano come $1/n^2$, molto più in fretta (lo vediamo nell’esercizio 4). Confronta le ampiezze divise per quella della fondamentale:

Armonica $n$	Quadra, $A_n/A_1$	Triangolare, $A_n/A_1$
1	1	1
3	0,333	0,111
5	0,200	0,040
7	0,143	0,020
9	0,111	0,012

La regola generale è: più il segnale è liscio, più in fretta calano le armoniche. Con dei salti calano come $1/n$, con solo spigoli come $1/n^2$; all’estremo c’è la sinusoide pura, che ha una sola armonica.

Armoniche e spettro

Un seno e un coseno con la stessa frequenza si combinano in un’unica sinusoide, come nella somma di moti armonici con i fasori. Così la serie diventa una somma di coseni, ciascuno con la sua ampiezza e la sua fase:

$$\begin{gathered} f(t) = A_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n\cos(n\,\omega t + \varphi_n) \\ A_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} \end{gathered}$$

con $A_0 = a_0/2$. Il grafico delle ampiezze $A_n$ in funzione della frequenza $n f_1$ è lo spettro di ampiezza: dice “quanto” di ogni frequenza contiene il segnale, e non cambia se lo sposti nel tempo. Ecco gli spettri dell’onda quadra e dell’onda triangolare, entrambe tra $-1$ e $+1$:

Come si divide la potenza tra le armoniche

Grazie all’ortogonalità, anche la media del quadrato del segnale si divide tra le armoniche. È l’identità di Parseval:

$$\frac{1}{T}\int_0^T f^2(t)\,dt = A_0^2 + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} A_n^2$$

Se $f$ è una tensione applicata a un resistore, la potenza media è proporzionale alla media di $f^2$: ogni armonica porta la sua parte, proporzionale ad $A_n^2/2$, indipendentemente dalle altre. Per l’onda quadra $f^2$ vale sempre 1 e la fondamentale porta $(4/\pi)^2/2 = 8/\pi^2 \approx 0{,}81$: l’81% della potenza.

Il timbro: perché un violino e un flauto suonano diversi

La frequenza fondamentale di una nota decide la sua altezza: il La usato per accordare gli strumenti ha 440 Hz. Le armoniche, a 880 Hz, 1320 Hz e così via, con le loro ampiezze relative decidono in gran parte il timbro, il “colore” del suono. Violino e flauto che suonano lo stesso La producono le stesse frequenze, ma con dosi diverse: hanno spettri diversi, e l’orecchio se ne accorge subito.

Nel violino la corda strofinata dall’archetto spinge il ponticello con una forza a dente di sega, ricchissima di armoniche. Nel clarinetto, nel registro grave, le armoniche dispari sono più forti di quelle pari, un po’ come nell’onda quadra. E l’orecchio interno, in prima approssimazione, è un analizzatore di Fourier: punti diversi della coclea vibrano a frequenze diverse.

Fourier e gli oscillatori: un’armonica alla volta

L’equazione dell’oscillatore armonico, anche smorzato e forzato, è lineare: vale il principio di sovrapposizione, e la risposta a una somma di forze è la somma delle risposte. Per un oscillatore forzato spinto da una forza periodica qualsiasi basta scomporre la forza in armoniche, calcolare per ciascuna l’oscillazione a regime con la formula dell’ampiezza e sommare. Ogni armonica spinge l’oscillatore per conto suo, come se le altre non ci fossero.

L’oscillatore però amplifica molto le armoniche vicine alla sua pulsazione propria $\omega_0$ e quasi ignora le altre: si comporta da filtro. Se un’armonica della forza cade sulla risonanza, l’oscillatore può oscillare soprattutto a quella frequenza (esercizio 5). Succede con un’altalena: la fai salire anche con una spinta ogni due oscillazioni, perché la sequenza di colpi brevi contiene molte armoniche, e la seconda cade proprio sulla frequenza dell’altalena.

A cosa serve oggi

• Equalizzatori. Dividono il suono in bande di frequenza e alzano o abbassano ciascuna: agiscono sullo spettro.
• JPEG e MP3. Il JPEG divide la foto in blocchi di 8 × 8 pixel e su ciascuno calcola una trasformata parente di quella di Fourier, la trasformata coseno discreta, poi conserva con meno precisione i dettagli più fini, che l’occhio nota meno. L’MP3 divide il suono in bande di frequenza e risparmia sulle componenti coperte da suoni più forti, che l’orecchio non sente.
• Risonanza magnetica. Lo strumento misura le “frequenze spaziali” dell’immagine, che si ricostruisce con una trasformata di Fourier inversa.

Per i segnali non periodici la somma diventa un integrale su tutte le frequenze: è la trasformata di Fourier.

Un po’ di storia

Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) non studiava le oscillazioni, ma il calore. Nel 1798 seguì Napoleone in Egitto come consulente scientifico, poi fu prefetto dell’Isère, a Grenoble, dove fece gran parte delle sue ricerche. Scoprì che il calcolo della temperatura in un corpo diventa semplice se la si scrive come somma di seni e coseni, perché ogni termine evolve per conto suo.

Nel 1807 presentò all’Istituto di Francia una memoria sulla propagazione del calore, ma Lagrange e Laplace non erano convinti che una funzione qualsiasi si potesse sviluppare in seni e coseni. Fourier vinse comunque il premio del 1811 sullo stesso tema e nel 1822 pubblicò la Théorie analytique de la chaleur. Porta il suo nome anche la legge della conduzione che trovi nella trasmissione del calore.

Gli errori più comuni

• Usare frequenze qualsiasi per le armoniche. Compaiono solo i multipli interi della fondamentale: $f_1$, $2f_1$, $3f_1$ e così via.
• Dimenticare il fattore 1/2 davanti ad $a_0$. Il valore medio è $a_0/2$, non $a_0$.
• Sbagliare il fattore davanti all’integrale. Per $a_n$ e $b_n$ è $2/T$; con $1/T$ ottieni metà del coefficiente.
• Calcolare integrali che la simmetria dice nulli. Controlla prima se la funzione è pari, dispari o ha la simmetria del mezzo periodo.
• Mettere le armoniche pari nell’onda quadra. L’onda quadra simmetrica ha solo armoniche dispari, di ampiezza $4/(n\pi)$.
• Credere che il picco di Gibbs sparisca aggiungendo termini. Si stringe, ma resta circa il 9% del salto.
• Dare alla serie, in un salto, uno dei due valori. Nel salto la serie converge alla media dei due valori.
• Sommare armonica per armonica la risposta di un sistema non lineare. La sovrapposizione vale solo per equazioni lineari; un pendolo con grandi oscillazioni, per esempio, non lo è.

Esercizi svolti

1. Il segnale di clock

Testo. Il clock di un circuito digitale è un’onda quadra che vale 0 V per metà periodo e 5 V nell’altra metà, con frequenza 1 kHz. Trova il valore medio e le prime tre armoniche non nulle. Se il segnale viene ricostruito con molte armoniche, fin dove arriva il picco di Gibbs?

Il segnale è l’onda quadra tra $-1$ e $+1$ moltiplicata per 2,5 V e alzata di 2,5 V. Il valore medio è quindi 2,5 V, e le armoniche sono quelle dell’onda quadra moltiplicate per 2,5 V, cioè $A_n = 10/(n\pi)\ \text{V}$ per $n$ dispari:

$$\begin{gathered} A_1 = \frac{10}{\pi}\ \text{V} \approx 3{,}18\ \text{V} \\ A_3 = \frac{10}{3\pi}\ \text{V} \approx 1{,}06\ \text{V} \\ A_5 = \frac{10}{5\pi}\ \text{V} \approx 0{,}64\ \text{V} \end{gathered}$$

con frequenze 1 kHz, 3 kHz e 5 kHz: le componenti a 2 kHz e 4 kHz mancano. Il salto è di 5 V, quindi il picco di Gibbs supera il livello alto di circa $0{,}09 \cdot 5\ \text{V} \approx 0{,}45\ \text{V}$: la ricostruzione arriva a circa 5,45 V e, dall’altra parte, scende a circa $-0{,}45\ \text{V}$. Un filtro che taglia le frequenze sopra i 2 kHz lascerebbe solo una sinusoide da 1 kHz intorno a 2,5 V.

2. Coefficienti senza integrali

Testo. Trova la serie di Fourier e lo spettro di ampiezza del segnale $f(t) = 4\cos^2(\omega t) + 4\cos(\omega t) + 3\sin(\omega t)$.

Con la formula $\cos^2 x = (1 + \cos 2x)/2$ il primo termine diventa $2 + 2\cos(2\omega t)$:

$$\begin{gathered} f(t) = 2 + 4\cos(\omega t) \\ {} + 3\sin(\omega t) + 2\cos(2\omega t) \end{gathered}$$

È già una somma di seni e coseni con pulsazioni multiple di $\omega$ e, siccome la serie di Fourier è unica, è proprio la sua serie: $a_0/2 = 2$, quindi $a_0 = 4$; poi $a_1 = 4$, $b_1 = 3$, $a_2 = 2$, tutti gli altri nulli. Le ampiezze sono:

$$\begin{gathered} A_0 = 2, \quad A_2 = 2 \\ A_1 = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 \end{gathered}$$

Infatti $4\cos(\omega t) + 3\sin(\omega t) = 5\cos(\omega t - 36{,}9^\circ)$: la fase vale circa $-36{,}9^\circ$, ma nello spettro di ampiezza non compare. Lo spettro ha solo tre righe: 2 a frequenza zero, 5 alla fondamentale, 2 alla seconda armonica.

3. Il dente di sega

Testo. Il dente di sega di periodo $2\pi$ vale $f(t) = t$ per $-\pi < t < \pi$ e poi si ripete. Calcola i suoi coefficienti di Fourier. Cosa ottieni scrivendo la serie in $t = \pi/2$?

Con $T = 2\pi$ la pulsazione è $\omega = 1$ e il fattore $2/T$ vale $1/\pi$; conviene integrare da $-\pi$ a $\pi$. La funzione è dispari, quindi $a_n = 0$. Il prodotto $t\sin(nt)$ è pari, quindi:

$$\begin{gathered} b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t\sin(nt)\,dt \\ {} = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} t\sin(nt)\,dt \end{gathered}$$

Per parti, derivando $t$ e integrando $\sin(nt)$:

$$\begin{gathered} \int_0^{\pi} t\sin(nt)\,dt = \left[-\frac{t\cos(nt)}{n}\right]_0^{\pi} \\ {} + \frac{1}{n}\int_0^{\pi}\cos(nt)\,dt = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} \end{gathered}$$

perché l’ultimo integrale vale $\sin(n\pi)/n^2 = 0$. Con $\cos(n\pi) = (-1)^n$:

$$b_n = -\frac{2\cos(n\pi)}{n} = \frac{2\,(-1)^{n+1}}{n}$$

Quindi $b_1 = 2$, $b_2 = -1$, $b_3 = 2/3$ e, per $-\pi < t < \pi$:

$$t = 2\left[\sin t - \frac{\sin 2t}{2} + \frac{\sin 3t}{3} - \dots\right]$$

In $t = \pi/2$ i seni valgono a turno 1, 0, $-1$, 0, e la serie diventa:

$$\begin{gathered} \frac{\pi}{2} = 2\left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots\right) \\ \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots \end{gathered}$$

È la serie di Leibniz, una famosa serie a segni alterni. In $t = \pi$, invece, tutti i seni sono nulli e la serie vale 0: la media tra $\pi$ e $-\pi$, i valori ai due lati del salto.

4. L’onda triangolare dall’onda quadra

Testo. L’onda quadra $q(t)$ di periodo $2\pi$ vale $+1$ per $0 < t < \pi$ e $-1$ per $-\pi < t < 0$. Mostra che $g(t) = \int_0^t q(u)\,du$ vale $|t|$ per $-\pi \le t \le \pi$, e ricava la serie di Fourier di $g$ integrando termine a termine. Cosa ottieni in $t = 0$?

Per $0 < t < \pi$ l’integrando vale 1 e $g(t) = t$; per $-\pi < t < 0$ vale $-1$ e $g(t) = -t$. Quindi $g(t) = |t|$: un’onda triangolare, continua ma con spigoli. Con $\omega = 1$ l’onda quadra è $q(t) = \frac{4}{\pi}\sum \frac{\sin(nt)}{n}$ sui soli $n$ dispari, e le serie di Fourier si possono integrare termine a termine:

$$\int_0^t \sin(nu)\,du = \frac{1 - \cos(nt)}{n}$$

Quindi, sempre con $n$ dispari:

$$\begin{gathered} |t| = C - \frac{4}{\pi}\left[\cos t + \frac{\cos 3t}{9} \right. \\ \left. {} + \frac{\cos 5t}{25} + \dots\right] \end{gathered}$$

dove la costante $C$ raccoglie i termini $\frac{4}{\pi}\cdot\frac{1}{n^2}$. Invece di sommarli, ricorda che il termine costante è il valore medio: l’area sotto $|t|$ tra $-\pi$ e $\pi$ è quella di due triangoli di base e altezza $\pi$, cioè $\pi^2$, quindi la media è $\pi^2/(2\pi) = \pi/2$ e $C = \pi/2$. Le ampiezze $4/(\pi n^2)$ calano come $1/n^2$. In $t = 0$, dove tutti i coseni valgono 1:

$$\begin{gathered} 0 = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\left(1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{25} + \dots\right) \\ 1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{25} + \dots = \frac{\pi^2}{8} \approx 1{,}234 \end{gathered}$$

Integrare un segnale divide l’armonica $n$-esima per $n$: ecco perché un segnale più liscio ha uno spettro che cala più in fretta.

5. Un oscillatore spinto da un’onda quadra

Testo. Un oscillatore con $m = 0{,}5\ \text{kg}$, $k = 50\ \text{N/m}$ e $b = 0{,}5\ \text{kg/s}$, quindi con $\omega_0 = 10\ \text{rad/s}$ e $\gamma = 0{,}5\ \text{s}^{-1}$, è spinto da una forza a onda quadra che vale $+1\ \text{N}$ e $-1\ \text{N}$, con pulsazione fondamentale $\omega = 10/3\ \text{rad/s}$. Trova, a regime, l’ampiezza dell’oscillazione prodotta dalla prima, dalla terza e dalla quinta armonica della forza.

Le armoniche della forza hanno ampiezze $F_n = 4/(n\pi)\ \text{N}$ per $n$ dispari: $F_1 \approx 1{,}273\ \text{N}$, $F_3 \approx 0{,}4244\ \text{N}$, $F_5 \approx 0{,}2546\ \text{N}$, con pulsazioni $\omega_n = n\omega$ di 3,33 rad/s, 10 rad/s e 16,7 rad/s. Per la sovrapposizione, ognuna produce la sua oscillazione a regime, con l’ampiezza dell’oscillatore forzato:

$$A_n = \frac{F_n/m}{\sqrt{\left(\omega_0^2 - \omega_n^2\right)^2 + 4\gamma^2\omega_n^2}}$$

Prima armonica, con $\omega_1^2 \approx 11{,}1\ \text{rad}^2/\text{s}^2$ e quindi $4\gamma^2\omega_1^2 \approx 11{,}1\ \text{s}^{-4}$:

$$\begin{gathered} A_1 = \frac{1{,}273/0{,}5}{\sqrt{(100 - 11{,}1)^2 + 11{,}1}}\ \text{m} \\ {} \approx \frac{2{,}546}{88{,}95}\ \text{m} \approx 2{,}86\ \text{cm} \end{gathered}$$

Terza armonica, con $\omega_3 = 10\ \text{rad/s} = \omega_0$: è la risonanza, il primo termine sotto radice si annulla e resta $2\gamma\omega_0 = 10\ \text{s}^{-2}$:

$$A_3 = \frac{0{,}4244/0{,}5}{2 \cdot 0{,}5 \cdot 10}\ \text{m} \approx 8{,}49\ \text{cm}$$

Quinta armonica, con $\omega_5^2 \approx 277{,}8\ \text{rad}^2/\text{s}^2$ e $4\gamma^2\omega_5^2 \approx 277{,}8\ \text{s}^{-4}$:

$$\begin{gathered} A_5 = \frac{0{,}2546/0{,}5}{\sqrt{(100 - 277{,}8)^2 + 277{,}8}}\ \text{m} \\ {} \approx \frac{0{,}509}{178{,}6}\ \text{m} \approx 0{,}29\ \text{cm} \end{gathered}$$

La terza armonica della forza è tre volte più debole della fondamentale, ma produce un’oscillazione tre volte più ampia, perché cade sulla risonanza. La massa oscilla quindi soprattutto a 10 rad/s, tre volte più in fretta della forza: l’oscillatore fa da filtro.

6. Quanta potenza porta la fondamentale

Testo. Un generatore applica a un resistore da 8 Ω una tensione a onda quadra che vale $+10\ \text{V}$ e $-10\ \text{V}$. Quanta potenza media assorbe il resistore? Quanta ne porta la fondamentale, e quante armoniche servono per superare il 90% della potenza totale?

La tensione al quadrato vale sempre $100\ \text{V}^2$, quindi la potenza è costante: $P = V^2/R = 100/8\ \text{W} = 12{,}5\ \text{W}$. Le armoniche hanno ampiezze $V_n = 40/(n\pi)\ \text{V}$ e, per l’identità di Parseval, ognuna porta una potenza media $V_n^2/(2R)$:

$$\begin{gathered} V_1 = \frac{40}{\pi}\ \text{V} \approx 12{,}73\ \text{V} \\ P_1 = \frac{V_1^2}{2R} = \frac{12{,}73^2}{16}\ \text{W} \approx 10{,}13\ \text{W} \end{gathered}$$

La fondamentale porta l’81% della potenza, perché $10{,}13/12{,}5 \approx 0{,}81$. La terza armonica ha ampiezza $V_3 \approx 4{,}244\ \text{V}$ e porta $P_3 = 4{,}244^2/16\ \text{W} \approx 1{,}13\ \text{W}$:

$$\frac{P_1 + P_3}{P} = \frac{10{,}13 + 1{,}13}{12{,}5} \approx 0{,}901$$

Bastano due armoniche, la prima e la terza, per superare il 90%; con la quinta, circa 0,41 W, si arriva al 93%. Un circuito che taglia le frequenze alte arrotonda l’onda, ma le toglie poca potenza. Altri problemi li trovi negli esercizi svolti sulle oscillazioni.

In sintesi

• Una funzione periodica di periodo $T$ che rispetta le condizioni di Dirichlet è una serie di Fourier: un termine costante più seni e coseni di pulsazioni $n\omega$, con $\omega = 2\pi/T$.
• $a_n$ e $b_n$ sono $2/T$ per l’integrale su un periodo di $f(t)\cos(n\omega t)$ e $f(t)\sin(n\omega t)$; $a_0/2$ è il valore medio.
• Funzioni dispari: solo seni. Pari: solo coseni. Con $f(t + T/2) = -f(t)$: solo armoniche dispari.
• Onda quadra tra $-1$ e $+1$: $b_n = 4/(n\pi)$ per $n$ dispari; nei salti la serie dà la media, e resta il picco di Gibbs, circa il 9% del salto.
• Le ampiezze calano come $1/n$ con i salti, come $1/n^2$ con gli spigoli.
• Spettro: $A_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}$ in funzione di $n f_1$. Potenza: media di $f^2 = A_0^2 + \tfrac{1}{2}\sum A_n^2$.
• Il timbro dipende dallo spettro; in un sistema lineare ogni armonica agisce per conto suo.

Con l’analisi di Fourier si chiude il capitolo sulle oscillazioni. Il prossimo capitolo riguarda una forza che abbiamo già incontrato molte volte: la gravità, con le forze centrali e la gravitazione universale.