Funzioni pari e dispari, periodiche, monotone e limitate: teoria ed esercizi

Prima di disegnare il grafico di una funzione conviene farsi quattro domande. Il grafico ha una simmetria? Si ripete uguale a intervalli regolari? Sale o scende? Resta chiuso tra due valori? A ogni domanda corrisponde una proprietà con un nome preciso: parità, periodicità, monotonia e limitatezza. Le userai in ogni studio di funzione, per capire se una funzione è invertibile e negli integrali, e all’esame compaiono anche in esercizi a sé. In questa pagina vediamo le definizioni precise e il loro significato sul grafico, le regole per somme, prodotti e composte, la parte pari e la parte dispari, il periodo di $f(cx + d)$, la monotonia sugli intervalli con l’errore classico su $\frac{1}{x}$, estremo superiore, massimo e minimo, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Funzioni pari e dispari

Piega il foglio lungo l’asse $y$: se le due metà del grafico combaciano, la funzione è pari. Se il grafico resta uguale facendo fare al foglio mezzo giro attorno all’origine, è dispari.

Senza dominio simmetrico il confronto non si può fare: se $f(x)$ esiste e $f(-x)$ no, non ha senso chiedersi se sono uguali. $[-3, 3]$ e $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ sono simmetrici, $[0, +\infty)$ no.

Se $(a, b)$ sta sul grafico di una funzione pari, ci sta anche $(-a, b)$: il grafico è simmetrico rispetto all’asse $y$. Per una dispari ci sta $(-a, -b)$: il grafico è simmetrico rispetto all’origine.

Sono pari $x^2$, $x^4$, $|x|$, $\frac{1}{x^2}$, $\cos x$ e le costanti. Sono dispari $x$, $x^3$, $\frac{1}{x}$, $\sqrt[3]{x}$, $\sin x$, $\tan x$ e $\arctan x$. I nomi vengono dalle potenze: $x^n$, con $n$ intero, è pari se $n$ è pari e dispari se $n$ è dispari. Già Leonhard Euler, in un articolo pubblicato nel 1729 a San Pietroburgo, chiamava pari le funzioni con $f(-x) = f(x)$: è probabilmente il primo uso di questo nome.

Due conseguenze immediate:

• Se $f$ è dispari ed è definita in 0, allora $f(0) = 0$, perché $f(0) = f(-0) = -f(0)$. Quindi, se $f(0) \neq 0$, la funzione non è dispari.
• L’unica funzione pari e dispari insieme è quella nulla: da $f(-x) = f(x)$ e $f(-x) = -f(x)$ segue $f(x) = -f(x)$, cioè $f(x) = 0$.

Come si riconoscono

Si controlla che il dominio sia simmetrico, poi si calcola $f(-x)$ per una $x$ generica e lo si confronta con $f(x)$ e con $-f(x)$; per escludere una simmetria basta un controesempio numerico. Il metodo, con molti esempi, è nel passo 2 dello studio di funzione: dominio, simmetrie e segno.

Esempio. $f(x) = x^4 - 3x^2 + 1$: $\ f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 1 = f(x)$. È pari.

Esempio. $f(x) = \sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}$ ha dominio $[-1, 1]$, simmetrico. I due radicali si scambiano: $f(-x) = \sqrt{1 - x} - \sqrt{1 + x} = -f(x)$. È dispari.

Esempio. $f(x) = x + \cos x$: $f(0) = 1 \neq 0$, quindi non è dispari; $f(\pi) = \pi - 1$ e $f(-\pi) = -\pi - 1$ sono diversi, quindi non è pari. Né l’una né l’altra, come la maggior parte delle funzioni.

Le regole per somme, prodotti, quozienti e composte

Spesso la parità si legge senza conti:

Operazione	Funzioni	Risultato
$f + g$	pari e pari	pari
$f + g$	dispari e dispari	dispari
$f + g$	pari e dispari	in generale nessuna
$f \cdot g$, $\ \frac{f}{g}$	stessa parità	pari
$f \cdot g$, $\ \frac{f}{g}$	parità diverse	dispari
$f \circ g$	$g$ pari	pari
$f \circ g$	$f$ pari, $g$ dispari	pari
$f \circ g$	$f$ e $g$ dispari	dispari

In tutti i casi il dominio resta simmetrico.

Perché è vero. Per due dispari, $(f + g)(-x) = -f(x) - g(x) = -(f + g)(x)$; le altre somme sono analoghe. Il prodotto è dimostrato in dominio, simmetrie e segno, e $\frac{1}{g}$ ha la stessa parità di $g$. Le composte sono dimostrate nella funzione composta.

Così $x^3\cos x$ è dispari, $\frac{\sin x}{x}$ pari, $\ln(1 + x^4)$ pari, $\sin(x^3)$ dispari e $\cos(x^3)$ pari. Anche le derivate seguono una regola: la derivata di una funzione pari è dispari, e viceversa. Basta derivare $f(-x) = f(x)$ con la regola della catena: $-f'(-x) = f'(x)$.

Perché la parità fa risparmiare tempo

Se una funzione è pari o dispari basta studiarla per $x \geq 0$: il resto si ottiene per simmetria, e segno, limiti e derivate si dimezzano. Anche gli integrali di una funzione continua su $[-a, a]$ si semplificano:

$$\begin{gathered} f \text{ dispari:} \quad \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0 \\ f \text{ pari:} \quad \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx \end{gathered}$$

Per una dispari le aree sopra e sotto l’asse si compensano. Lo vedrai nell’integrale definito, con la dimostrazione nell’integrazione per sostituzione.

Parte pari e parte dispari

Ogni funzione con dominio simmetrico si spezza in un pezzo pari più un pezzo dispari, come un vettore nelle sue componenti.

Dimostrazione. Supponiamo che $f = p + d$, con $p$ pari e $d$ dispari. Scriviamo l’uguaglianza in $x$ e in $-x$, usando $p(-x) = p(x)$ e $d(-x) = -d(x)$:

$$\begin{cases} f(x) = p(x) + d(x) \\ f(-x) = p(x) - d(x) \end{cases}$$

Sommando e sottraendo le equazioni si trovano le formule dell’enunciato: $p$ e $d$ non possono essere altre (unicità). Viceversa, quelle formule funzionano (esistenza): la somma è $f(x)$, e cambiando $x$ in $-x$ si vede che $p$ è pari e $d$ dispari.

Per un polinomio basta separare le potenze pari, termine noto compreso, da quelle dispari. Per $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x + 1$:

$$p(x) = -2x^2 + 1, \qquad d(x) = x^3 + 5x$$

Per $e^x$ la scomposizione dà il coseno e il seno iperbolico, che trovi nelle funzioni iperboliche; nell’esercizio 2 la usiamo su un logaritmo.

Funzioni periodiche

Le stagioni, la lancetta dei minuti che ripassa sullo stesso numero ogni ora: molti fenomeni si ripetono uguali, e le funzioni che li descrivono sono periodiche.

Il grafico, spostato di $T$, si sovrappone a se stesso. Vale anche $f(x - T) = f(x)$, perché $f(x) = f\big((x - T) + T\big)$, e ogni $nT$ con $n$ intero positivo è ancora un periodo: $f(x + 2T) = f\big((x + T) + T\big) = f(x)$. Quindi, per trovare «il periodo», bisogna anche escludere i periodi più piccoli.

Seno e coseno hanno periodo $2\pi$, tangente e cotangente $\pi$ (vedi le funzioni goniometriche). Un esempio senza trigonometria è la mantissa $M(x) = x - \lfloor x \rfloor$, dove $\lfloor x \rfloor$ è la parte intera, il più grande intero minore o uguale a $x$. Per un numero positivo è la «parte dopo la virgola»: $M(2{,}7) = 0{,}7$. Per i negativi attenzione: $\lfloor -1{,}3 \rfloor = -2$, quindi $M(-1{,}3) = 0{,}7$.

La mantissa ha periodo minimo 1: aggiungendo 1 a $x$ anche la parte intera aumenta di 1, quindi $M(x + 1) = M(x)$; e nessun $T$ con $0 < T < 1$ è un periodo, perché $M(T) = T \neq M(0) = 0$.

Funzioni senza periodo minimo

• Una funzione costante ha come periodo ogni $T > 0$: i periodi formano $(0, +\infty)$, che non ha minimo.
• La funzione di Dirichlet vale 1 sui razionali e 0 sugli irrazionali. Ogni razionale $q > 0$ è un periodo, perché sommando $q$ un razionale resta razionale e un irrazionale resta irrazionale. Nessun irrazionale $T$ lo è: il valore in 0 è 1, quello in $T$ è 0. I periodi sono i razionali positivi, e non ce n’è uno più piccolo.

Sono casi estremi: si dimostra che una funzione periodica, continua su tutto $\mathbb{R}$ e non costante ha sempre un periodo minimo.

Come cambia il periodo

Moltiplicare la $x$ per $c$ comprime o allarga il grafico in orizzontale, sommare $d$ lo trasla (vedi le trasformazioni dei grafici). Il periodo cambia di conseguenza.

Dimostrazione. Poniamo $y = cx + d$. Spostare $x$ di $S$ vuol dire spostare $y$ di $cS$:

$$g(x + S) = f(cx + d + cS) = f(y + cS)$$

Con $S = \frac{T}{|c|}$ si ha $cS = \pm T$, che non cambia il valore di $f$: $\frac{T}{|c|}$ è un periodo di $g$. Viceversa, se $S > 0$ è un periodo di $g$, allora $f(y + cS) = f(y)$ per ogni $y$ del dominio di $f$, quindi $|c|\,S$ è un periodo di $f$. Siccome $T$ è il più piccolo, $|c|\,S \geq T$, cioè $S \geq \frac{T}{|c|}$.

Così $\sin(3x)$ ha periodo $\frac{2\pi}{3}$, $\cos\left(\frac{x}{2}\right)$ ha periodo $4\pi$ e $M(2x)$ ha periodo $\frac{1}{2}$. Le sinusoidi, $|\sin x|$ e le somme di funzioni periodiche (non sempre periodiche) sono nell’articolo sulle sinusoidi.

Una funzione periodica si studia su un intervallo lungo $T$; se è anche pari o dispari, basta mezzo periodo.

Funzioni monotone

Leggi il grafico da sinistra a destra, come una strada: è sempre in salita o sempre in discesa?

Definizione. Sia $I$ un insieme contenuto nel dominio di $f$, di solito un intervallo. La funzione $f$ è, su $I$:

Nome	Per ogni $x_1 < x_2$ in $I$
crescente	$f(x_1) \leq f(x_2)$
strettamente crescente	$f(x_1) < f(x_2)$
decrescente	$f(x_1) \geq f(x_2)$
strettamente decrescente	$f(x_1) > f(x_2)$

In questi casi $f$ si dice monotona su $I$ (strettamente monotona nei casi stretti).

Una costante è sia crescente sia decrescente. La parte intera $\lfloor x \rfloor$ è crescente ma non strettamente, perché è costante su ogni $[n, n + 1)$; $x^2$ non è monotona su $\mathbb{R}$, ma lo è su $(-\infty, 0]$ e su $[0, +\infty)$.

Come si dimostra con la definizione

1. Prendi due punti qualsiasi $x_1 < x_2$ in $I$.
2. Studia il segno di $f(x_2) - f(x_1)$, di solito scomponendo.
3. Se è sempre positivo, $f$ è strettamente crescente su $I$; se è sempre negativo, strettamente decrescente.

Esempio. Per $x^3$ si scompone la differenza di cubi:

$$x_2^3 - x_1^3 = (x_2 - x_1)\left(x_2^2 + x_1 x_2 + x_1^2\right)$$

Il primo fattore è positivo. Il secondo, completando il quadrato, è $\left(x_2 + \frac{x_1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}x_1^2$, nullo solo se $x_1 = x_2 = 0$, impossibile perché $x_1 < x_2$. Quindi $x^3$ è strettamente crescente su $\mathbb{R}$.

Su un intervallo o su tutto il dominio: il caso di 1/x

Prendiamo $0 < x_1 < x_2$. Allora

$$\frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2} > 0$$

perché numeratore e denominatore sono positivi: $\frac{1}{x}$ è strettamente decrescente su $(0, +\infty)$. Su $(-\infty, 0)$ il conto è identico, perché anche lì $x_1 x_2 > 0$.

Eppure su $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ la funzione non è decrescente: $-1 < 1$, ma $f(-1) = -1 < f(1) = 1$. Passando da un ramo all’altro il grafico sale. Non è nemmeno crescente, perché $f(1) > f(2)$: sul suo dominio non è monotona.

Per questo la monotonia si scrive intervallo per intervallo: «decrescente su $(-\infty, 0)$ e su $(0, +\infty)$», mai sulla loro unione. Ed è per questo che il test della derivata vale solo sugli intervalli: $-\frac{1}{x^2}$ è negativa in tutto il dominio, che però ha un buco in 0.

Le regole

• Somma. Se $f$ e $g$ sono crescenti su $I$, sommando $f(x_1) \leq f(x_2)$ e $g(x_1) \leq g(x_2)$ si vede che anche $f + g$ lo è; se una delle due è strettamente crescente, lo è la somma. Così $x^5 + x^3 + x$ è strettamente crescente.
• Prodotto. In generale no: $x$ è crescente, ma $x \cdot x = x^2$ non è monotona su $\mathbb{R}$. Funziona se le due funzioni sono crescenti e non negative.
• Opposto e reciproco. $-f$ ha la monotonia opposta a $f$; se $f$ è crescente e di segno costante, $\frac{1}{f}$ è decrescente.
• Composta e inversa. La composta segue la regola dei segni, come vedi nella funzione composta; l’inversa di una strettamente crescente è strettamente crescente (funzione inversa).

Monotonia e iniettività. Una funzione strettamente monotona è iniettiva: punti diversi hanno immagini diverse. Siccome $x^5 + x^3 + x$ è strettamente crescente, l’equazione $x^5 + x^3 + x = 3$ ha al massimo una soluzione, $x = 1$.

Monotonia e parità. Se $f$ è dispari e crescente su un intervallo $I \subseteq [0, +\infty)$, lo è anche sul simmetrico $-I$: da $x_1 < x_2$ in $-I$ segue $-x_2 < -x_1$ in $I$, quindi $f(-x_2) \leq f(-x_1)$, cioè $f(x_1) \leq f(x_2)$. Se $f$ è pari, la monotonia si inverte. Una dispari crescente su $[0, +\infty)$ lo è su tutto $\mathbb{R}$, perché $f(x_1) \leq f(0) = 0 \leq f(x_2)$ per $x_1 \leq 0 \leq x_2$.

Con le derivate. Negli esercizi si usa il segno della derivata: se $f$ è continua su un intervallo e $f' > 0$ nei punti interni, è strettamente crescente lì. È il test di monotonia, che viene dal teorema di Lagrange e serve per massimi e minimi. Una funzione monotona ha poi limite destro e sinistro in ogni punto interno e solo discontinuità a salto (funzioni monotone e continuità uniforme).

Funzioni limitate

Il grafico di una funzione limitata sta in una striscia orizzontale tra $y = m$ e $y = M$. Se $A$ non è indicato, è tutto il dominio.

Estremo superiore, massimo e punto di massimo

Si guarda l’immagine $f(A)$: l’estremo superiore di $f$ su $A$ è $\sup f(A)$, il più piccolo numero maggiore o uguale a tutti i valori, oppure $+\infty$ se $f$ non è limitata superiormente (vedi estremo superiore e inferiore). Lo stesso per $\inf f$. Il massimo esiste solo se il sup è un valore assunto, $\max f = f(x_0)$ con $x_0 \in A$, e $x_0$ è un punto di massimo: il massimo è una $y$, il punto di massimo una $x$. Lo stesso vale per il minimo. Quattro casi:

Il seno. $-1 \leq \sin x \leq 1$: il massimo è 1, assunto negli infiniti punti $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ con $k$ intero; il minimo è $-1$.

La funzione $\frac{1}{x}$ su $(0, 1]$. Qui $\frac{1}{x} \geq 1 = f(1)$: il minimo è 1. Ma per ogni $M > 0$ il punto $x = \frac{1}{M + 1}$ dà $f(x) = M + 1 > M$: $\sup f = +\infty$. Su $[1, +\infty)$, invece, $0 < \frac{1}{x} \leq 1$.

L’arcotangente. I suoi valori riempiono l’intervallo aperto $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ (vedi le funzioni goniometriche inverse): è limitata, con sup $\frac{\pi}{2}$ e inf $-\frac{\pi}{2}$, ma non li assume. Niente massimo e niente minimo.

La funzione $\frac{x}{1 + x^2}$. Il candidato massimo è $f(1) = \frac{1}{2}$, e una differenza lo conferma:

$$\frac{1}{2} - \frac{x}{1 + x^2} = \frac{(x - 1)^2}{2\,(1 + x^2)} \geq 0$$

Quindi $\max f = \frac{1}{2}$, assunto solo in $x = 1$. Il minimo viene gratis dalla parità: $f$ è dispari, quindi $f(x) = -f(-x) \geq -\frac{1}{2}$ e $\min f = f(-1) = -\frac{1}{2}$.

Una funzione crescente su $[a, b]$ è limitata, con minimo $f(a)$ e massimo $f(b)$. E una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato ha sempre massimo e minimo: è il teorema di Weierstrass.

Riepilogo

Proprietà	Definizione	Sul grafico
pari	$f(-x) = f(x)$	simmetrico rispetto all’asse $y$
dispari	$f(-x) = -f(x)$	simmetrico rispetto all’origine
periodica	$f(x + T) = f(x)$	si ripete ogni $T$
strettamente crescente	$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$	sale da sinistra a destra
strettamente decrescente	$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$	scende da sinistra a destra
limitata	$m \leq f(x) \leq M$	sta in una striscia orizzontale

Gli errori più comuni

• Calcolare $f(-x)$ senza guardare il dominio. Con un dominio non simmetrico la funzione non è né pari né dispari, anche se la formula sembra simmetrica (esercizio 1).
• Pensare che ogni funzione sia pari o dispari. Quasi nessuna lo è, e un controesempio basta a dimostrarlo.
• Dire «il periodo è $T$» dopo aver solo verificato che $T$ funziona. Vanno esclusi i periodi più piccoli. E il periodo di $f(cx)$ è $\frac{T}{|c|}$, non $cT$.
• Scrivere che $\frac{1}{x}$ è decrescente su $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. Lo è su ciascuna semiretta, non sulla loro unione.
• Usare il segno della derivata su un dominio che non è un intervallo. $f' < 0$ ovunque non basta se il dominio ha dei buchi.
• Credere che il prodotto di funzioni crescenti sia crescente. $x \cdot x = x^2$ lo smentisce.
• Confondere sup e massimo, o massimo e punto di massimo. Il sup può non essere assunto, come per l’arcotangente; il massimo è un valore $y$, il punto di massimo un’ascissa.

Esercizi svolti

1. Pari, dispari o nessuna delle due

Testo. Stabilisci se sono pari, dispari o né l’una né l’altra: $f(x) = x\,|x|$, $\ g(x) = \sin x \tan x$, $\ h(x) = \sqrt{x + 3}\cdot\sqrt{x - 3}$.

La prima. Il dominio è $\mathbb{R}$ e $|-x| = |x|$, quindi

$$f(-x) = (-x)\,|-x| = -x\,|x| = -f(x)$$

È dispari. Controllo: $f(2) = 4$ e $f(-2) = -4$.

La seconda. La tangente esiste per $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, con $k$ intero: i punti esclusi vengono a coppie opposte e il dominio è simmetrico. Prodotto di due dispari, $g$ è pari: $g(-x) = (-\sin x)(-\tan x) = g(x)$.

La terza. È la trappola. Servono $x + 3 \geq 0$ e $x - 3 \geq 0$, cioè $x \geq 3$: il dominio $[3, +\infty)$ non è simmetrico e $h$ non è né pari né dispari. Scrivendo subito $h(x) = \sqrt{x^2 - 9}$ avresti trovato una funzione pari, ma $\sqrt{x^2 - 9}$ ha un dominio più grande, $(-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$: in $-5$ vale 4, mentre $h(-5)$ non esiste.

Risultato: $f$ dispari, $g$ pari, $h$ né l’una né l’altra. Il dominio si trova prima di semplificare.

2. La parte pari e la parte dispari di un logaritmo

Testo. Scrivi $f(x) = \ln(1 + e^x)$ come somma di una funzione pari e di una funzione dispari.

Il dominio è $\mathbb{R}$. Cominciamo dalla parte dispari, con il logaritmo di un quoziente:

$$\begin{gathered} d(x) = \frac{\ln(1 + e^x) - \ln(1 + e^{-x})}{2} \\ {} = \frac{1}{2}\ln\frac{1 + e^x}{1 + e^{-x}} \end{gathered}$$

Moltiplicando numeratore e denominatore della frazione per $e^x$:

$$\frac{1 + e^x}{1 + e^{-x}} = \frac{e^x\,(1 + e^x)}{e^x + 1} = e^x$$

quindi $d(x) = \frac{1}{2}\ln e^x = \frac{x}{2}$. La parte pari è quello che resta:

$$\begin{gathered} p(x) = \ln(1 + e^x) - \ln e^{x/2} \\ {} = \ln\frac{1 + e^x}{e^{x/2}} \\ {} = \ln\left(e^{-x/2} + e^{x/2}\right) \end{gathered}$$

Ed è davvero pari: cambiando $x$ in $-x$ i due esponenziali si scambiano. Controllo: $p(0) = \ln 2 = f(0)$ e $d(0) = 0$.

Risultato: parte pari $\ln\left(e^{x/2} + e^{-x/2}\right)$, parte dispari $\frac{x}{2}$. Per $x$ grande $p(x)$ è circa $\frac{x}{2}$, per $x$ molto negativo circa $-\frac{x}{2}$: così $f = p + d$ si avvicina a $y = x$ a destra e a $y = 0$ a sinistra, i suoi due asintoti.

3. Il periodo minimo di due funzioni composte

Testo. Trova il periodo minimo di $g(x) = M(3x - 2)$, dove $M$ è la mantissa, e di $h(x) = \cos(\sin x)$.

La prima. La mantissa ha periodo minimo 1; per il teorema su $f(cx + d)$, con $c = 3$, il periodo minimo di $g$ è $\frac{1}{3}$. Il $-2$ anzi sparisce: sottrarre un intero non cambia la mantissa, quindi $M(3x - 2) = M(3x)$. Controllo: $g\left(\frac{1}{6}\right) = M(-1{,}5) = 0{,}5$ e $g\left(\frac{1}{2}\right) = M(-0{,}5) = 0{,}5$.

La seconda. $2\pi$ è un periodo, perché lo è per $\sin x$. Ma $\sin(x + \pi) = -\sin x$ e il coseno è pari, quindi

$$\begin{gathered} h(x + \pi) = \cos(-\sin x) \\ {} = \cos(\sin x) = h(x) \end{gathered}$$

e anche $\pi$ è un periodo. Non ce ne sono di più piccoli: se $0 < T < \pi$ lo fosse, in $x = 0$ avremmo $\cos(\sin T) = \cos 0 = 1$. Il coseno vale 1 solo nei multipli di $2\pi$ e $\sin T$ sta tra $-1$ e $1$, quindi $\sin T = 0$; ma per $0 < T < \pi$ il seno è positivo.

Risultato: periodi $\frac{1}{3}$ e $\pi$. Conta la parità del coseno: in $\sin(\cos x)$ il segno meno resta, perché il seno è dispari, e il periodo torna $2\pi$.

4. La monotonia con la definizione

Testo. Dimostra con la definizione che $f(x) = x^3 - 3x$ è strettamente crescente su $[1, +\infty)$ e strettamente decrescente su $[-1, 1]$. Cosa succede su $(-\infty, -1]$? È monotona su $\mathbb{R}$?

Prendiamo $x_1 < x_2$ e raccogliamo $x_2 - x_1$:

$$\begin{gathered} f(x_2) - f(x_1) = x_2^3 - x_1^3 - 3(x_2 - x_1) \\ {} = (x_2 - x_1)\left(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 - 3\right) \end{gathered}$$

Il primo fattore è positivo: conta il segno di $Q = x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 - 3$.

Su $[1, +\infty)$. Se $1 \leq x_1 < x_2$, i termini $x_1^2$, $x_1 x_2$, $x_2^2$ valgono almeno 1 e $x_2^2 > 1$: la somma supera 3, $Q > 0$, e $f$ è strettamente crescente.

Su $[-1, 1]$. Se $-1 \leq x_1 < x_2 \leq 1$, i tre termini valgono al massimo 1, quindi $Q \leq 0$; e $Q = 0$ richiederebbe $x_1^2 = x_2^2 = x_1 x_2 = 1$, cioè $x_1 = x_2$. Quindi $Q < 0$: strettamente decrescente.

Su $(-\infty, -1]$. Niente conti: $f(-x) = -x^3 + 3x = -f(x)$, e una dispari ha la stessa monotonia sugli intervalli simmetrici. Quindi $f$ è strettamente crescente anche lì.

Su $\mathbb{R}$ non è monotona: $f(0) = 0 > f(1) = -2$, ma $f(1) < f(2) = 2$.

Risultato: $f$ cresce su $(-\infty, -1]$, decresce su $[-1, 1]$, cresce su $[1, +\infty)$. Con la derivata $3(x^2 - 1)$ basteranno due righe.

5. Estremo superiore, massimo e minimo

Testo. Sia $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$. Trova estremo superiore ed estremo inferiore di $f$ su $\mathbb{R}$ e su $[1, 2)$, e stabilisci se sono massimo e minimo.

Siccome $x^2 - 1 = (x^2 + 1) - 2$, si ha $f(x) = 1 - \frac{2}{x^2 + 1}$. La funzione è pari: basta guardare $x \geq 0$. Lì $x^2 + 1$ è positivo e strettamente crescente, quindi $\frac{2}{x^2 + 1}$ è strettamente decrescente e $f$ strettamente crescente.

Su $\mathbb{R}$. Il valore più piccolo è $f(0) = -1$: $\min f = -1$, nel punto $x = 0$. Poi $\frac{2}{x^2 + 1} > 0$ dà $f(x) < 1$: 1 è un maggiorante mai raggiunto. È il più piccolo: fissato $\varepsilon > 0$, $f(x) > 1 - \varepsilon$ appena $\frac{2}{x^2 + 1} < \varepsilon$, cioè per $x^2 > \frac{2}{\varepsilon} - 1$. Con $\varepsilon = 0{,}01$ basta $x^2 > 199$: $f(15) = \frac{224}{226} = \frac{112}{113} \approx 0{,}991$. Quindi $\sup f = 1$, senza massimo.

Su $[1, 2)$. $f$ è strettamente crescente, quindi il minimo è $f(1) = 0$, nel punto $x = 1$. I valori restano sotto $f(2) = \frac{3}{5}$ e gli si avvicinano quanto si vuole per $x$ vicino a 2, che però è escluso: $\sup f = \frac{3}{5}$, non raggiunto.

Risultato: su $\mathbb{R}$ minimo $-1$ e sup 1 non raggiunto; su $[1, 2)$ minimo 0 e sup $\frac{3}{5}$ non raggiunto.

6. Una funzione nota solo per una proprietà

Testo. Sia $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $f(x + 2) = -f(x)$ per ogni $x$. (a) Dimostra che 4 è un periodo. (b) Dimostra che, se $f$ non è nulla, 2 non è un periodo. Il periodo minimo è per forza 4? (c) Se $f$ è anche pari, quanto vale $f(1)$?

(a) Applichiamo la relazione due volte:

$$\begin{gathered} f(x + 4) = f\big((x + 2) + 2\big) = -f(x + 2) \\ {} = -\big(-f(x)\big) = f(x) \end{gathered}$$

(b) Se 2 fosse un periodo, $f(x) = f(x + 2) = -f(x)$, cioè $f(x) = 0$ per ogni $x$. Ma 4 non è per forza il minimo: $\sin\left(\frac{3\pi}{2}x\right)$ soddisfa la relazione, perché aggiungere 2 alla $x$ aggiunge $3\pi$ all’argomento e $\sin(\alpha + 3\pi) = -\sin\alpha$, eppure ha periodo minimo $\frac{4}{3}$. Invece $\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)$ ha periodo minimo proprio 4.

(c) Con $x = -1$ la relazione dà $f(1) = -f(-1)$. Se $f$ è pari, $f(-1) = f(1)$, quindi $f(1) = -f(1)$ e $f(1) = 0$; poi $f(3) = -f(1) = 0$, e così via in tutti i numeri dispari. Un esempio è $\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)$: pari, soddisfa la relazione e vale 0 in $x = 1$.

Risultato: 4 è un periodo, non sempre il minimo; 2 non lo è se $f$ non è nulla; se $f$ è pari, $f(1) = 0$. Altri esercizi sul capitolo sono negli esercizi svolti su insiemi e funzioni.

In sintesi

• Pari: $f(-x) = f(x)$, simmetria rispetto all’asse $y$. Dispari: $f(-x) = -f(x)$, simmetria rispetto all’origine. Serve un dominio simmetrico.
• Prodotti e quozienti seguono la regola dei segni; una dispari continua ha integrale nullo su $[-a, a]$.
• Parte pari $\frac{f(x) + f(-x)}{2}$ e parte dispari $\frac{f(x) - f(-x)}{2}$: la scomposizione esiste ed è unica.
• Periodica: $f(x + T) = f(x)$; il periodo è il più piccolo $T$, se esiste. $f(cx + d)$ ha periodo $\frac{T}{|c|}$.
• Crescente: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)$, strettamente con $<$. Si studia su intervalli: $\frac{1}{x}$ decresce su ogni semiretta, non sul dominio.
• Somma di crescenti è crescente, il prodotto no; strettamente monotona implica iniettiva.
• Sup e inf di $f$ sono quelli dell’immagine, e sono massimo e minimo solo se assunti.

Ora abbiamo tutti gli strumenti per descrivere un grafico. Nel prossimo articolo li usiamo per conoscere i grafici delle funzioni elementari, quelli da sapere a memoria.