Oscillatore armonico forzato e smorzato: risonanza, ampiezza, fase ed esercizi svolti

Spingi un’altalena sempre al momento giusto e, con spinte piccole, la fai salire sempre più in alto: è un esempio di oscillatore armonico forzato, cioè un oscillatore smorzato su cui agisce una forza esterna periodica. Il fenomeno più importante è la risonanza: quando il ritmo della forza è vicino a quello proprio dell’oscillatore, l’ampiezza diventa grandissima. In questa pagina vediamo l’equazione del moto, transitorio e regime stazionario, ampiezza e sfasamento con la dimostrazione, la curva di risonanza, il fattore di qualità e la larghezza del picco, la potenza assorbita, gli esempi di tutti i giorni, la verità sui ponti famosi, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Cos’è un oscillatore forzato

Prendi una massa attaccata a una molla, come nel moto armonico semplice. Lasciata a sé stessa oscilla con la sua frequenza, che dipende solo dalla massa e dalla molla. Nella realtà c’è sempre un attrito e le oscillazioni si spengono: è l’oscillatore smorzato. Per tenerle in vita serve qualcosa che restituisca, a ogni ciclo, l’energia persa.

Nell’oscillatore forzato sulla massa agiscono tre forze:

• la forza elastica $-k\,x$, che la richiama verso l’equilibrio;
• la forza viscosa $-b\,v$, che la frena;
• una forza esterna periodica, che spinge e tira con un ritmo deciso da fuori.

Il caso più semplice e più importante è una forza sinusoidale:

$$F(t) = F_0\cos(\omega t)$$

dove $F_0$ è l’ampiezza della forza e $\omega$ la sua pulsazione. Perché proprio una sinusoide? Perché, grazie all’analisi di Fourier, ogni forza periodica è una somma di sinusoidi; e siccome l’equazione dell’oscillatore è lineare, la risposta a una forza qualsiasi è la somma delle risposte alle singole sinusoidi. Capito il caso sinusoidale, hai capito tutto.

L’equazione del moto

Per il secondo principio della dinamica, massa per accelerazione è uguale alla somma delle tre forze. Portando a sinistra la forza elastica e quella viscosa:

$$m\,\ddot{x} + b\,\dot{x} + k\,x = F_0\cos(\omega t)$$

Dividendo per $m$ e usando le stesse costanti dell’oscillatore smorzato, la pulsazione propria $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ e il coefficiente di smorzamento $\gamma = b/(2m)$, misurato in $\text{s}^{-1}$:

$$\ddot{x} + 2\gamma\,\dot{x} + \omega_0^2\,x = \frac{F_0}{m}\cos(\omega t)$$

Transitorio e regime stazionario

L’equazione è lineare e la sua soluzione generale è la somma di due pezzi:

$$x(t) = x_{tr}(t) + A\cos(\omega t - \varphi)$$

Il transitorio $x_{tr}$ è il moto libero dell’oscillatore smorzato, quello che avresti senza la forza. Con smorzamento debole oscilla con una pulsazione $\omega_s$ appena minore di quella propria e si spegne in modo esponenziale:

$$\begin{gathered} x_{tr}(t) = C\,e^{-\gamma t}\cos(\omega_s t + \varphi_0) \\ \omega_s = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} \end{gathered}$$

Le costanti $C$ e $\varphi_0$ dipendono dalle condizioni iniziali.

Il regime stazionario $A\cos(\omega t - \varphi)$ è un’oscillazione di ampiezza costante che dura finché agisce la forza, e ha la pulsazione della forza. L’angolo $\varphi$ è il ritardo dello spostamento rispetto alla forza.

Nella figura c’è l’oscillatore che useremo in tutta la pagina: $m = 0{,}5\ \text{kg}$, $k = 50\ \text{N/m}$ e $b = 0{,}5\ \text{kg/s}$, quindi $\omega_0 = 10\ \text{rad/s}$ e $\gamma = 0{,}5\ \text{s}^{-1}$. Parte da fermo e viene spinto da una forza di 1 N con $\omega = 5\ \text{rad/s}$, metà della sua pulsazione propria. All’inizio il moto è irregolare, perché si sommano le oscillazioni veloci del transitorio e quelle lente imposte dalla forza; dopo qualche secondo resta solo il ritmo della forza.

Il transitorio si spegne come $e^{-\gamma t}$, quindi dura qualche tempo di smorzamento $\tau = 1/\gamma$: dopo $5\tau$ ne resta meno dell’1%. Qui $\tau = 2\ \text{s}$, e già dopo 5 s le due curve quasi non si distinguono. Siccome $\tau = 2Q/\omega_0$, dove $Q = \omega_0/(2\gamma)$ è il fattore di qualità, un oscillatore poco smorzato ci mette molto ad arrivare a regime.

La conseguenza più importante: a regime l’oscillatore dimentica le condizioni iniziali e la propria frequenza, e oscilla al ritmo imposto da fuori. La frequenza propria però conta ancora: decide quanto è grande la risposta.

Ampiezza e sfasamento a regime

Sostituendo $x = A\cos(\omega t - \varphi)$ nell’equazione si trovano l’ampiezza:

$$A(\omega) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2}}$$

e lo sfasamento, cioè il ritardo dello spostamento rispetto alla forza:

$$\tan\varphi = \frac{2\gamma\,\omega}{\omega_0^2 - \omega^2}$$

con $\varphi$ compreso tra 0° e 180°. Per $\omega > \omega_0$ la tangente è negativa e l’angolo giusto sta tra 90° e 180°.

Da dove vengono queste formule

Chiama $\theta = \omega t - \varphi$: allora $x = A\cos\theta$, $\dot{x} = -A\omega\sin\theta$ e $\ddot{x} = -A\omega^2\cos\theta$. Il primo membro dell’equazione diventa:

$$A\,(\omega_0^2 - \omega^2)\cos\theta - 2\gamma\omega A\sin\theta$$

Nel secondo membro scrivi $\omega t = \theta + \varphi$ e usa la formula di addizione del coseno:

$$\frac{F_0}{m}\,(\cos\theta\cos\varphi - \sin\theta\sin\varphi)$$

Perché l’uguaglianza valga in ogni istante, i coefficienti di $\cos\theta$ e di $\sin\theta$ devono coincidere:

$$\begin{cases} A\,(\omega_0^2 - \omega^2) = \dfrac{F_0}{m}\cos\varphi \\[1ex] 2\gamma\omega\,A = \dfrac{F_0}{m}\sin\varphi \end{cases}$$

Elevando al quadrato e sommando, con $\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1$, si trova $A$; dividendo la seconda equazione per la prima si trova $\tan\varphi$. La seconda dice anche che $\sin\varphi$ è positivo: lo spostamento è sempre in ritardo sulla forza, mai in anticipo.

Forza lenta, forza giusta, forza veloce

Le formule si capiscono guardando quale dei tre termini dell’equazione comanda: l’inerzia $m\ddot{x}$, l’attrito $b\dot{x}$ o la molla $kx$.

• Forza lenta ($\omega \ll \omega_0$): $A \approx F_0/(m\omega_0^2) = F_0/k$. È lo spostamento statico $A_{st}$, quello che la stessa forza produrrebbe se fosse costante. Comanda la molla, e la massa segue la forza in fase, $\varphi \approx 0$.
• Forza alla frequenza propria ($\omega = \omega_0$): molla e inerzia si compensano, resta solo l’attrito a limitare il moto e $A = F_0/(b\,\omega_0)$. Il ritardo è di 90°, quindi la velocità è in fase con la forza: la forza spinge sempre nel verso del moto, come chi spinge bene un’altalena.
• Forza veloce ($\omega \gg \omega_0$): $A \approx F_0/(m\omega^2)$, sempre più piccola. Comanda l’inerzia: la massa non fa in tempo a seguire la forza e si muove in opposizione di fase, $\varphi \approx 180°$. Quando la forza spinge a destra, la massa è a sinistra.

La figura riassume tutto, con l’ampiezza divisa per lo spostamento statico e la pulsazione divisa per $\omega_0$, per tre valori del fattore di qualità.

Tutte le ampiezze partono da 1 e tendono a zero; tutte le fasi passano per 90° esattamente a $\omega = \omega_0$. Lo smorzamento cambia solo cosa succede vicino a $\omega_0$: con poco attrito l’ampiezza schizza in alto e la fase salta da 0 a 180° quasi di colpo.

La risonanza

Il massimo dell’ampiezza è la risonanza. Si trova cercando il minimo della quantità sotto radice: derivandola rispetto a $\omega^2$ e ponendo la derivata uguale a zero si ottiene

$$\omega_R = \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2}$$

un po’ prima di $\omega_0$. Il picco esiste solo se $\gamma < \omega_0/\sqrt{2}$, cioè se $Q > 1/\sqrt{2} \approx 0{,}71$: con più smorzamento l’ampiezza cala sempre al crescere di $\omega$. Per smorzamento debole $\omega_R$ è praticamente $\omega_0$, e l’altezza del picco è:

$$A_{max} \approx \frac{F_0}{b\,\omega_0} = Q\,\frac{F_0}{k}$$

Ecco il significato più concreto del fattore di qualità: alla risonanza l’ampiezza è circa $Q$ volte lo spostamento statico. Senza attrito l’ampiezza non avrebbe limite: crescerebbe in modo lineare nel tempo, finché qualcosa si rompe.

Se l’oscillatore parte da fermo e la forza è alla risonanza, per smorzamento debole l’ampiezza cresce circa come $A_{max}\,(1 - e^{-\gamma t})$: il transitorio parte con la stessa ampiezza del regime ma in opposizione, e mentre si spegne lascia crescere l’oscillazione. È l’altalena che sale spinta dopo spinta.

Un esempio con i numeri

Per il nostro oscillatore ($\omega_0 = 10\ \text{rad/s}$, $Q = 10$) spinto da una forza di 1 N, lo spostamento statico è $F_0/k = 2\ \text{cm}$:

$\omega$ (rad/s)	$A$ (cm)	$\varphi$
0	2,0	0°
5	2,7	4°
9	9,5	25°
10	20	90°
11	8,4	152°
15	1,6	173°
20	0,7	176°

Alla risonanza l’ampiezza è 20 cm, dieci volte quella statica: proprio $Q = 10$. Il massimo vero cade a $\omega_R \approx 9{,}97\ \text{rad/s}$ e vale 20,03 cm, una differenza invisibile. Basta spostarsi del 10%, a 9 o a 11 rad/s, perché l’ampiezza scenda a meno della metà, mentre lo sfasamento passa da 25° a 152°.

Potenza assorbita e larghezza del picco

A regime l’ampiezza non cambia, quindi tutta l’energia che la forza fornisce viene dissipata dall’attrito. La potenza media in un periodo è quella della forza viscosa, $b\,v^2$, mediata su un ciclo; la velocità ha ampiezza $\omega A$ e la media del quadrato di una sinusoide è metà del massimo:

$$\bar{P} = \frac{1}{2}\,b\,\omega^2 A^2$$

dove $\bar{P}$, «P medio», è la potenza media. A differenza dell’ampiezza, la potenza è massima esattamente a $\omega = \omega_0$, dove forza e velocità sono in fase, e lì vale $\bar{P}_{max} = F_0^2/(2b)$.

Quanto è largo il picco? Si misura tra le due pulsazioni $\omega_1$ e $\omega_2$ in cui la potenza scende a metà del massimo; per smorzamento debole, lì l’ampiezza è circa il 71% del massimo, $1/\sqrt{2}$. Le due pulsazioni risolvono $\omega_0^2 - \omega^2 = \pm 2\gamma\omega$ e la loro differenza è semplicissima:

$$\begin{gathered} \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 = 2\gamma \\ Q = \frac{\omega_0}{\Delta\omega} \end{gathered}$$

Il fattore di qualità ha quindi due facce: più è grande, più il picco è alto e più è stretto. Un oscillatore con $Q$ alto risponde fortissimo, ma solo a una banda strettissima di frequenze: è un filtro selettivo.

Alla risonanza, poi, l’energia immagazzinata $\tfrac{1}{2}kA^2$ divisa per quella dissipata in un periodo vale esattamente $Q/2\pi$: a ogni ciclo l’attrito toglie la frazione $2\pi/Q$ dell’energia, come nell’oscillatore smorzato, e la forza la rimette.

La risonanza nella vita di tutti i giorni

L’altalena. Un’altalena è un pendolo: la spingi una volta per oscillazione, quando si allontana da te, cioè nel verso della velocità, come alla risonanza. Funziona anche spingere una volta ogni due oscillazioni, perché per l’analisi di Fourier una spinta periodica non sinusoidale contiene anche i multipli della sua frequenza, e uno coincide con quella dell’altalena. Spingere due volte per oscillazione nello stesso punto, invece, non serve: metà delle spinte arriva contro il moto.

La radio. Un circuito con bobina, condensatore e resistenza obbedisce alla stessa equazione, con la carica al posto della posizione. Girando la manopola di una vecchia radio cambi la capacità del condensatore, e quindi la frequenza propria del circuito: solo la stazione giusta lo fa risuonare. Qui un $Q$ alto è prezioso, perché un picco stretto lascia fuori le stazioni vicine.

Il bicchiere di cristallo. Colpito con una forchetta, un bicchiere di cristallo suona a lungo: ha un $Q$ alto. Se un cantante emette proprio quella nota, abbastanza forte e a lungo, il vetro può spezzarsi. È meno facile di quanto si racconti: nel 2005, nella trasmissione MythBusters, il cantante Jaime Vendera ci riuscì senza amplificazione, con circa 105 decibel, ma dopo aver provato una dozzina di bicchieri. L’esercizio 4 mostra quanto deve essere precisa la nota.

Auto e lavatrici. Un’auto è una massa su molle e ammortizzatori, con una frequenza propria dell’ordine di un hertz. Su una strada con giunti a distanza regolare, a una certa velocità il ritmo dei colpi coincide con quello proprio e l’auto balla, soprattutto con ammortizzatori consumati (esercizio 5). Nella lavatrice, il bucato distribuito male sbilancia il cestello, che girando spinge il mobile con una forza periodica: mentre accelera verso la centrifuga, la frequenza di rotazione attraversa quella propria del cestello sulle sue molle e per qualche istante la lavatrice vibra forte, poi si calma.

Ponti, soldati e pedoni: storie vere e leggende

I ponti sono gli esempi di risonanza più citati, e anche quelli raccontati peggio.

Broughton, 1831: perché i soldati rompono il passo

Il 12 aprile 1831, vicino a Manchester, 74 soldati attraversavano marciando il ponte sospeso di Broughton. Sentirono il ponte vibrare al ritmo dei passi e alcuni assecondarono il movimento; poi una colonna che reggeva le catene cadde e un angolo del ponte precipitò nel fiume, con una ventina di feriti e nessun morto. L’inchiesta accusò un bullone difettoso, che le vibrazioni avevano solo fatto cedere prima. Da allora l’esercito britannico ordina di rompere il passo sui ponti, e anche quello francese adottò regole simili: decine di persone che battono il piede insieme sono una forza periodica intensa, e se il ritmo è vicino a una frequenza propria del ponte l’effetto si accumula.

Tacoma Narrows, 1940: non fu risonanza

Il ponte sospeso di Tacoma Narrows, negli Stati Uniti, era stato aperto nel luglio 1940 e ondeggiava tanto con il vento da meritarsi il soprannome di «Galloping Gertie». Il 7 novembre 1940, con un vento di circa 68 km/h (42 miglia orarie, secondo gli ingegneri presenti), cominciò a torcersi sempre di più finché la campata centrale crollò. L’unica vittima fu un cane rimasto in un’auto.

Molti libri lo citano come esempio di risonanza, ma è un errore: la risonanza richiede una forza periodica, e quel giorno il vento era forte ma abbastanza costante. Il crollo fu causato dal flutter aeroelastico: la torsione dell’impalcato cambiava il flusso d’aria, e l’aria spingeva il ponte nel verso della torsione. È come uno smorzamento negativo: il vento aggiungeva energia a ogni ciclo e l’ampiezza cresceva in modo esponenziale. È un’auto-oscillazione, come quella di una corda di violino strofinata dall’archetto: la frequenza la decide il ponte, non il vento. Lo spiegano Billah e Scanlan in un articolo del 1991 dedicato proprio a questo errore dei libri di fisica.

Il Millennium Bridge di Londra, 2000

La passerella pedonale sul Tamigi fu aperta il 10 giugno 2000. Con fino a 2000 persone alla volta cominciò a oscillare di lato, fino a circa 7 cm, e il 12 giugno fu chiusa. Camminando spingiamo il suolo un po’ a destra e un po’ a sinistra, quindi la spinta laterale ha frequenza pari a metà di quella dei passi, circa 1 Hz, vicina a quella dei modi laterali del ponte, tra circa 0,5 e 1 Hz. Ma le spinte di migliaia di persone scoordinate in media si annullano.

Gli ingegneri della Arup trovarono una retroazione, l’eccitazione laterale sincrona: appena il ponte ondeggia, i pedoni, per restare in equilibrio, accordano senza accorgersene il passo al suo movimento; le loro spinte entrano in fase con l’oscillazione, il ponte oscilla di più e altre persone si adeguano. Il fenomeno parte all’improvviso sopra un numero critico di pedoni, stimato intorno a 160. Non è quindi una forza esterna indipendente dal ponte: è il moto del ponte a organizzare la forza, e il ruolo esatto della sincronizzazione è ancora studiato. Il ponte riaprì il 22 febbraio 2002 con 37 smorzatori viscosi e 52 smorzatori a massa accordata: più smorzamento, $Q$ più basso, picco più basso.

Gli errori più comuni

• Confondere $\omega$ e $\omega_0$. $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ è dell’oscillatore, $\omega$ è della forza: nelle formule compaiono entrambe.
• Pensare che a regime l’oscillatore vada alla sua frequenza. Dopo il transitorio oscilla con la pulsazione della forza.
• Usare $A(\omega)$ durante il transitorio. La formula vale solo a regime; all’inizio al moto si somma l’oscillazione libera.
• Dimenticare il fattore 2 in $\gamma$. Con $\gamma = b/(2m)$ sotto radice c’è $4\gamma^2\omega^2$, che equivale a $b^2\omega^2/m^2$.
• Sbagliare il quadrante dello sfasamento. Se $\omega > \omega_0$ la calcolatrice dà un angolo negativo: aggiungi 180°.
• Mettere sempre il picco dell’ampiezza a $\omega_0$. È a $\sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2}$ ed esiste solo se $Q > 0{,}71$; è la potenza ad avere il massimo esattamente a $\omega_0$.
• Chiamare risonanza ogni oscillazione distruttiva. Tacoma Narrows crollò per flutter, un’auto-oscillazione con vento costante.

Esercizi svolti

1. Una forza un po’ più lenta

Testo. Il nostro oscillatore ($m = 0{,}5\ \text{kg}$, $k = 50\ \text{N/m}$, $b = 0{,}5\ \text{kg/s}$) è spinto da una forza con $F_0 = 1\ \text{N}$ e $\omega = 8\ \text{rad/s}$. Quanto valgono ampiezza e sfasamento a regime? Quante volte è più grande dello spostamento statico?

Abbiamo $\omega_0 = 10\ \text{rad/s}$, $\gamma = 0{,}5\ \text{s}^{-1}$ e $F_0/m = 2\ \text{m/s}^2$. I due termini sotto radice valgono:

$$\begin{gathered} (\omega_0^2 - \omega^2)^2 = (100 - 64)^2 = 1296 \\ 4\gamma^2\omega^2 = 4 \cdot 0{,}25 \cdot 64 = 64 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} A = \frac{2}{\sqrt{1296 + 64}}\ \text{m} = \frac{2}{36{,}9}\ \text{m} \\ A \approx 0{,}054\ \text{m} = 5{,}4\ \text{cm} \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \tan\varphi = \frac{2 \cdot 0{,}5 \cdot 8}{100 - 64} = \frac{8}{36} \approx 0{,}222 \\ \varphi \approx 12{,}5^\circ \end{gathered}$$

Lo spostamento statico è $F_0/k = 2\ \text{cm}$, quindi l’ampiezza è circa 2,7 volte più grande. A una pulsazione del 20% più bassa di quella propria l’amplificazione è modesta e lo spostamento segue la forza quasi in fase.

2. Alla risonanza: ampiezza, velocità e potenza

Testo. Lo stesso oscillatore è spinto ora con $\omega = \omega_0 = 10\ \text{rad/s}$. Trova ampiezza, sfasamento, velocità massima e potenza media assorbita. Che frazione dell’energia immagazzinata viene dissipata in un periodo?

Alla pulsazione propria:

$$\begin{gathered} A = \frac{F_0}{b\,\omega_0} = \frac{1}{0{,}5 \cdot 10}\ \text{m} = 0{,}20\ \text{m} \\ v_{max} = \omega A = 10 \cdot 0{,}20\ \text{m/s} = 2{,}0\ \text{m/s} \end{gathered}$$

Il ritardo è $\varphi = 90^\circ$. La potenza media è:

$$\bar{P} = \frac{F_0^2}{2b} = \frac{1^2}{2 \cdot 0{,}5}\ \text{W} = 1{,}0\ \text{W}$$

Controllo: $\tfrac{1}{2}\,b\,\omega^2 A^2 = 0{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot 100 \cdot 0{,}04\ \text{W} = 1{,}0\ \text{W}$. L’energia immagazzinata è $\tfrac{1}{2}kA^2 = 0{,}5 \cdot 50 \cdot 0{,}04\ \text{J} = 1{,}0\ \text{J}$; in un periodo, $T = 2\pi/\omega_0 \approx 0{,}628\ \text{s}$, se ne dissipano $1{,}0\ \text{W} \cdot 0{,}628\ \text{s} \approx 0{,}63\ \text{J}$, il 63%. È proprio $2\pi/Q$ con $Q = 10$: a ogni ciclo la forza rimette più di metà dell’energia.

3. Partire da fermi alla risonanza

Testo. Il nostro oscillatore è fermo nell’equilibrio e a $t = 0$ si accende la forza, con $F_0 = 1\ \text{N}$ e $\omega = \omega_0$. Senza attrito la soluzione è $x = c\,t\sin(\omega_0 t)$ con $c = F_0/(2m\omega_0)$: verificalo e trova dopo quanto l’ampiezza arriva a 20 cm. Con $b = 0{,}5\ \text{kg/s}$, quanto vale l’ampiezza dopo 2 s? Quando arriva al 90% di quella di regime?

Derivando due volte:

$$\begin{gathered} \dot{x} = c\sin(\omega_0 t) + c\,\omega_0 t\cos(\omega_0 t) \\ \ddot{x} = 2c\,\omega_0\cos(\omega_0 t) - \omega_0^2\,x \end{gathered}$$

quindi $\ddot{x} + \omega_0^2 x = 2c\,\omega_0\cos(\omega_0 t) = (F_0/m)\cos(\omega_0 t)$: è la soluzione. L’ampiezza $c\,t$ cresce in modo lineare, con $c = 1/(2 \cdot 0{,}5 \cdot 10) = 0{,}1\ \text{m/s}$: arriva a 20 cm dopo 2 s, a 40 cm dopo 4 s, e così via senza limite.

Con l’attrito l’ampiezza cresce circa come $A_{max}(1 - e^{-\gamma t})$, con $A_{max} = 20\ \text{cm}$ (esercizio 2) e $\gamma = 0{,}5\ \text{s}^{-1}$. Dopo 2 s:

$$A = 20 \cdot (1 - e^{-0{,}5 \cdot 2})\ \text{cm} \approx 12{,}6\ \text{cm}$$

Il 90% si raggiunge quando $e^{-\gamma t} = 0{,}1$:

$$t = \frac{\ln 10}{\gamma} = \frac{2{,}30}{0{,}5}\ \text{s} \approx 4{,}6\ \text{s}$$

circa sette oscillazioni. Nota che per tempi brevi $1 - e^{-\gamma t} \approx \gamma t$, quindi l’ampiezza è circa $A_{max}\,\gamma\,t = 0{,}2 \cdot 0{,}5 \cdot t = 0{,}1\,t$: all’inizio la crescita è la stessa con e senza attrito, che conta solo quando l’ampiezza è diventata grande.

4. Il bicchiere di cristallo

Testo. Un bicchiere di cristallo ha una frequenza propria $f_0 = 880\ \text{Hz}$; supponi $Q = 1000$. Entro che intervallo di frequenze deve stare la nota di un cantante per cadere nel picco di risonanza? Per quanto tempo deve durare perché le vibrazioni arrivino al 99% del regime?

La larghezza del picco è $\Delta\omega = \omega_0/Q$; dividendo per $2\pi$ si passa alle frequenze:

$$\Delta f = \frac{f_0}{Q} = \frac{880}{1000}\ \text{Hz} = 0{,}88\ \text{Hz}$$

La nota deve stare entro circa 0,44 Hz da 880 Hz, cioè entro lo 0,05%. Il tempo di smorzamento è:

$$\begin{gathered} \gamma = \frac{\omega_0}{2Q} = \frac{2\pi \cdot 880}{2000}\ \text{s}^{-1} \approx 2{,}76\ \text{s}^{-1} \\ \tau = \frac{1}{\gamma} \approx 0{,}36\ \text{s} \end{gathered}$$

Per arrivare al 99% serve $e^{-\gamma t} = 0{,}01$, cioè $t = \ln 100 \cdot \tau \approx 4{,}6 \cdot 0{,}36\ \text{s} \approx 1{,}7\ \text{s}$. Il cantante deve tenere una nota intonatissima per quasi due secondi: difficile, ma in cambio l’ampiezza diventa circa mille volte quella statica.

5. L’auto e i giunti del viadotto

Testo. Un’auto con ammortizzatori consumati ha una pulsazione propria $\omega_0 = 10\ \text{rad/s}$. Percorre un viadotto con un giunto ogni 6 m. A che velocità entra in risonanza? Cosa succede a 70 km/h?

La frequenza propria e il periodo sono:

$$\begin{gathered} f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} \approx 1{,}59\ \text{Hz} \\ T_0 = \frac{1}{f_0} \approx 0{,}628\ \text{s} \end{gathered}$$

C’è risonanza se l’auto prende un giunto ogni periodo proprio, cioè se percorre 6 m in 0,628 s:

$$v = \frac{d}{T_0} = d\,f_0 = 6 \cdot 1{,}59\ \text{m/s} \approx 9{,}5\ \text{m/s}$$

circa 34 km/h. A 70 km/h, cioè 19,4 m/s, i giunti arrivano con frequenza $19{,}4/6 \approx 3{,}2\ \text{Hz}$, circa il doppio di quella propria: siamo ben sopra la risonanza e la scocca risponde molto meno.

6. Dalla curva di risonanza ai parametri

Testo. In laboratorio una massa di 0,20 kg su una molla è spinta da un motore con una forza di ampiezza costante. A frequenze molto basse oscilla con ampiezza 0,50 cm; il massimo, 15 cm, si ha a 2,00 Hz. Trova $Q$, $k$, $\gamma$, $b$, $F_0$ e la larghezza del picco. Quanto bisogna aspettare, a ogni frequenza, prima di misurare l’ampiezza?

Lo spostamento statico è 0,50 cm, quindi con smorzamento debole:

$$Q \approx \frac{A_{max}}{A_{st}} = \frac{15}{0{,}50} = 30$$

Un $Q$ così grande vuol dire che il picco è praticamente a $\omega_0$:

$$\begin{gathered} \omega_0 = 2\pi \cdot 2{,}00\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}} \approx 12{,}6\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}} \\ k = m\,\omega_0^2 = 0{,}20 \cdot 158\ \tfrac{\text{N}}{\text{m}} \approx 31{,}6\ \tfrac{\text{N}}{\text{m}} \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \gamma = \frac{\omega_0}{2Q} = \frac{12{,}6}{60}\ \text{s}^{-1} \approx 0{,}21\ \text{s}^{-1} \\ b = 2m\gamma \approx 0{,}084\ \text{kg/s} \end{gathered}$$

L’ampiezza della forza viene dallo spostamento statico, la larghezza del picco dal fattore di qualità:

$$\begin{gathered} F_0 = k\,A_{st} = 31{,}6 \cdot 0{,}005\ \text{N} \approx 0{,}16\ \text{N} \\ \Delta f = \frac{f_0}{Q} = \frac{2{,}00}{30}\ \text{Hz} \approx 0{,}067\ \text{Hz} \end{gathered}$$

Il tempo di smorzamento è $\tau = 1/\gamma \approx 4{,}8\ \text{s}$: a ogni cambio di frequenza bisogna aspettare circa $5\tau \approx 24\ \text{s}$ che il transitorio si spenga, altrimenti si misura un’ampiezza sbagliata.

Altri problemi su molle, pendoli e risonanza li trovi negli esercizi svolti sulle oscillazioni.

In sintesi

• Equazione del moto: $\ddot{x} + 2\gamma\dot{x} + \omega_0^2 x = (F_0/m)\cos\omega t$, con $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ e $\gamma = b/(2m)$.
• La soluzione è un transitorio, che si spegne in qualche $\tau = 1/\gamma$, più il regime stazionario $x = A\cos(\omega t - \varphi)$, alla pulsazione della forza.
• Ampiezza a regime: $A(\omega) = \dfrac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2}}$.
• Sfasamento: $\tan\varphi = \dfrac{2\gamma\omega}{\omega_0^2 - \omega^2}$, con $\varphi$ tra 0° e 180°.
• Forza lenta: $A \approx F_0/k$ in fase. Forza a $\omega_0$: ritardo di 90° e $A = F_0/(b\omega_0) \approx Q\,F_0/k$. Forza veloce: $A \to 0$, in opposizione.
• Il picco dell’ampiezza è a $\omega_R = \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2}$ ed esiste solo se $Q > 0{,}71$; la potenza $\bar{P} = \tfrac{1}{2}b\omega^2A^2$ è massima esattamente a $\omega_0$, dove vale $F_0^2/(2b)$.
• Larghezza del picco: $\Delta\omega = 2\gamma = \omega_0/Q$. $Q$ alto vuol dire picco alto e stretto, ma transitorio lungo.

Finora abbiamo studiato un oscillatore alla volta. Cosa succede quando due moti armonici si sommano? Lo vediamo nella somma di moti armonici sullo stesso asse.