Somma di moti armonici su assi ortogonali: ellisse, figure di Lissajous ed esercizi

Un pendolo libero di oscillare in tutte le direzioni, il puntino luminoso di un oscilloscopio, la penna di un armonografo: sono tutti punti che oscillano contemporaneamente lungo due direzioni perpendicolari. Il risultato è un moto nel piano che può disegnare un segmento, un’ellisse, una circonferenza o curve più intricate, le figure di Lissajous. Sono curve che si usano ancora in laboratorio per confrontare frequenze e misurare sfasamenti. In questa pagina vediamo come si scrive il moto, l’equazione della traiettoria, i casi del segmento, dell’ellisse e della circonferenza, il verso di percorrenza, il moto circolare uniforme come somma di due moti armonici, forza ed energia, le figure di Lissajous e come leggerci il rapporto tra le frequenze, l’oscilloscopio in modalità XY, un po’ di storia, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Due oscillazioni su assi perpendicolari

Nella somma di moti armonici sullo stesso asse le due oscillazioni si sommavano lungo una sola retta, e il punto restava su quella retta. Qui invece un punto si muove nel piano $xy$ e ciascuna delle sue due coordinate segue un moto armonico semplice, con la stessa pulsazione $\omega$:

$$\begin{gathered} x(t) = A\cos(\omega t) \\ y(t) = B\cos(\omega t + \delta) \end{gathered}$$

$A$ e $B$ sono le ampiezze lungo i due assi e $\delta$ è lo sfasamento, la differenza tra la fase iniziale di $y$ e quella di $x$ (sullo stesso asse lo chiamavamo $\Delta\varphi$). Facendo partire il cronometro quando $x$ è al massimo, la fase di $x$ è zero e resta solo $\delta$, che prendiamo tra $0$ e $2\pi$.

Le due oscillazioni sono indipendenti, come i due moti lungo $x$ e lungo $y$ nel moto parabolico: ognuna fa la sua strada, e la posizione del punto è il vettore $\vec{r} = x\,\hat{\imath} + y\,\hat{\jmath}$. Dato che $|x| \le A$ e $|y| \le B$, il punto non esce mai dal rettangolo di lati $2A$ e $2B$ centrato nell’origine.

Che significato ha $\delta$? La coordinata $y$ raggiunge il suo massimo quando $\omega t + \delta = 0$, cioè all’istante $t = -\delta/\omega$: se $\delta$ è tra $0$ e $\pi$, $y$ arriva al massimo prima di $x$, cioè è in anticipo. Con $\delta = 0$ le due coordinate sono in fase, con $\delta = \pi$ in opposizione di fase, con $\delta = \pi/2$ in quadratura.

Un esempio concreto: il pendolo libero

Guarda dall’alto un pendolo semplice. Per piccole oscillazioni la pallina si muove di moto armonico sia lungo $x$ sia lungo $y$, con la stessa pulsazione $\omega = \sqrt{g/L}$, perché il filo è lungo uguale in tutte le direzioni. Se la lasci ferma da una posizione spostata oscilla su una retta; con una spinta di lato descrive un’ellisse e, con la spinta giusta, una circonferenza: è il pendolo conico dell’esercizio 3.

L’equazione della traiettoria

Per trovare la forma della traiettoria bisogna eliminare il tempo dalle due equazioni. Dalla prima, $\cos(\omega t) = x/A$. Nella seconda usiamo la formula di addizione del coseno:

$$\begin{gathered} \frac{y}{B} = \cos(\omega t)\cos\delta - \sin(\omega t)\sin\delta \\ \frac{y}{B} = \frac{x}{A}\cos\delta - \sin(\omega t)\sin\delta \end{gathered}$$

Isoliamo il termine con il seno ed eleviamo al quadrato:

$$\sin^2(\omega t)\,\sin^2\delta = \left(\frac{x}{A}\cos\delta - \frac{y}{B}\right)^2$$

A sinistra sostituiamo $\sin^2(\omega t) = 1 - x^2/A^2$; a destra sviluppiamo il quadrato. I termini in $x^2$ si raccolgono con $\cos^2\delta + \sin^2\delta = 1$ e si arriva a:

$$\frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} - \frac{2\,x\,y}{A\,B}\cos\delta = \sin^2\delta$$

È l’equazione di un’ellisse centrata nell’origine, inscritta nel rettangolo $2A \times 2B$ e in generale con gli assi inclinati rispetto agli assi $x$ e $y$. Tre proprietà torneranno utili con l’oscilloscopio:

• l’ellisse tocca il lato destro nel punto $(A;\ B\cos\delta)$, quello che occupa a $t = 0$, e il lato sinistro nel punto opposto;
• taglia l’asse $y$ in $y = \pm B\sin\delta$, perché quando $x = 0$ si ha $\cos(\omega t) = 0$;
• si dimostra che la sua area è $\pi A B\,|\sin\delta|$: massima in quadratura, nulla quando $\sin\delta = 0$.

Segmento, ellisse o circonferenza: dipende dallo sfasamento

In fase o in opposizione: un segmento

Se $\delta = 0$ il secondo membro è nullo e il primo è un quadrato perfetto, $\left(\frac{x}{A} - \frac{y}{B}\right)^2 = 0$. Quindi:

$$y = \frac{B}{A}\,x$$

L’ellisse si schiaccia in un segmento, la diagonale del rettangolo. Il punto ci oscilla sopra di moto armonico: la sua distanza dal centro vale $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{A^2 + B^2}\,|\cos(\omega t)|$, quindi l’ampiezza è $\sqrt{A^2 + B^2}$, non $A + B$. Se $\delta = \pi$ il segmento è l’altra diagonale, $y = -\frac{B}{A}x$.

In quadratura: un’ellisse con gli assi su x e y

Se $\delta = \pi/2$ oppure $\delta = 3\pi/2$ (che è lo stesso di $-\pi/2$), $\cos\delta = 0$ e $\sin^2\delta = 1$. Il termine misto sparisce:

$$\frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1$$

È un’ellisse con i semiassi $A$ e $B$ proprio lungo gli assi coordinati.

Stessa ampiezza e quadratura: una circonferenza

Se in più le ampiezze sono uguali, $A = B$, l’equazione diventa $x^2 + y^2 = A^2$: una circonferenza di raggio $A$. Servono entrambe le condizioni: ampiezze uguali e quadratura.

Gli altri sfasamenti: ellissi inclinate

Per tutti gli altri valori di $\delta$ l’ellisse è inclinata. Se $\cos\delta > 0$, come per $\delta = \pi/4$, il punto in cui tocca il lato destro, $(A;\ B\cos\delta)$, sta sopra l’asse $x$: l’ellisse si allunga verso il primo e il terzo quadrante. Se $\cos\delta < 0$ si allunga verso il secondo e il quarto. Quando $A = B$ gli assi dell’ellisse stanno sulle bisettrici $y = \pm x$ e i semiassi valgono $A\sqrt{1 + \cos\delta}$ e $A\sqrt{1 - \cos\delta}$, come vediamo nell’esercizio 2.

La figura mostra tutto il ciclo con ampiezze uguali: al crescere di $\delta$ il segmento si apre in un’ellisse, diventa una circonferenza, si richiude dall’altra parte e torna circonferenza, ma girando al contrario.

Il verso di percorrenza

L’equazione della traiettoria contiene solo $\cos\delta$ e $\sin^2\delta$, che non cambiano se sostituisci $\delta$ con $-\delta$: la stessa ellisse può essere percorsa nei due versi. Per sapere quale, serve la legge oraria.

All’istante $t = 0$ il punto è in $(A;\ B\cos\delta)$, sul lato destro del rettangolo, dove la velocità lungo $x$ è nulla. La velocità lungo $y$ si ottiene derivando:

$$\begin{gathered} v_y = -B\,\omega\sin(\omega t + \delta) \\ v_y(0) = -B\,\omega\sin\delta \end{gathered}$$

Se $0 < \delta < \pi$, $\sin\delta$ è positivo e il punto, mentre si trova sul lato destro, scende: gira in senso orario. Se $\pi < \delta < 2\pi$ sale e gira in senso antiorario. Con $\delta = 0$ o $\pi$ non gira affatto: va avanti e indietro. In parole semplici: se $y$ è in anticipo su $x$, il verso è orario.

Il moto circolare uniforme come somma di due moti armonici

Il caso più famoso è quello con ampiezze uguali e quadratura:

$$\begin{gathered} x = R\cos(\omega t) \\ y = R\sin(\omega t) \end{gathered}$$

Qui $\delta = 3\pi/2$ e il verso è antiorario. Le componenti della velocità sono $v_x = -R\omega\sin(\omega t)$ e $v_y = R\omega\cos(\omega t)$, quindi il modulo è costante, $v = \omega R$. L’accelerazione vale $\vec{a} = -\omega^2\vec{r}$: punta sempre verso il centro e ha modulo $\omega^2 R$. È esattamente il moto circolare uniforme, con velocità angolare $\omega$.

È il rovescio di un risultato che già conosci: l’ombra di un moto circolare uniforme su un diametro è un moto armonico. Qui, al contrario, due ombre perpendicolari in quadratura ricostruiscono il moto circolare.

Forza, velocità ed energia

Che forza serve per un moto così? Lungo ciascun asse vale la relazione del moto armonico, $a_x = -\omega^2 x$ e $a_y = -\omega^2 y$, quindi:

$$\begin{gathered} \vec{a} = -\omega^2\,\vec{r} \\ \vec{F} = m\,\vec{a} = -k\,\vec{r} \end{gathered}$$

con $k = m\omega^2$. La forza punta sempre verso il centro ed è proporzionale alla distanza: è una forza elastica uguale in tutte le direzioni. Per il pendolo libero vale $k = mg/L$. È anche una forza centrale, quindi il momento angolare si conserva e il raggio vettore spazza aree uguali in tempi uguali. Una differenza con i pianeti: qui il centro di forza sta nel centro dell’ellisse, mentre il Sole sta in un fuoco.

L’energia è la somma delle energie delle due oscillazioni, che si conservano separatamente, come in ogni oscillatore armonico:

$$E = \tfrac{1}{2}k A^2 + \tfrac{1}{2}k B^2 = \tfrac{1}{2}k\,(A^2 + B^2)$$

Non dipende dallo sfasamento: un segmento e un’ellisse con le stesse ampiezze hanno la stessa energia. Da $v_x^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ e $v_y^2 = \omega^2(B^2 - y^2)$ si ottiene anche una formula comoda per la velocità:

$$v^2 = \omega^2\,(A^2 + B^2 - r^2)$$

dove $r$ è la distanza dal centro. Il punto è più veloce dove passa più vicino al centro, agli estremi dell’asse minore, e più lento agli estremi dell’asse maggiore.

Frequenze diverse: le figure di Lissajous

Ora lasciamo che le due oscillazioni abbiano pulsazioni diverse:

$$\begin{gathered} x(t) = A\cos(\omega_x t) \\ y(t) = B\cos(\omega_y t + \delta) \end{gathered}$$

Quando la curva si chiude

Supponi che il rapporto $\omega_x/\omega_y$ sia una frazione $p/q$, con $p$ e $q$ interi senza divisori comuni: per esempio 1:2 vuol dire che $y$ fa due oscillazioni mentre $x$ ne fa una. Dopo un tempo $T = p\,T_x = q\,T_y$ entrambe le coordinate sono tornate al punto di partenza, e il moto si ripete identico: la traiettoria è una curva chiusa, una figura di Lissajous. Se il rapporto è irrazionale, come $\sqrt{2}$, il moto non si ripete mai e la curva, col tempo, riempie tutto il rettangolo.

Interessante è il caso di frequenze quasi uguali. Se $\omega_y$ è appena più grande di $\omega_x$, puoi pensare che lo sfasamento cresca lentamente nel tempo, $\delta = (\omega_y - \omega_x)\,t$. La figura passa allora da segmento a ellisse, a circonferenza, all’ellisse inclinata dall’altra parte e così via, ripetendo il ciclo con frequenza $f_y - f_x$. È la stessa frequenza dei battimenti che si sentono sommando le due oscillazioni sullo stesso asse.

Come leggere il rapporto tra le frequenze

In un periodo $T$ della figura la coordinata $x$ raggiunge il suo massimo $p$ volte, e ogni volta la curva tocca il lato destro del rettangolo; la coordinata $y$ raggiunge il massimo $q$ volte, e ogni volta la curva tocca il lato in alto. Quindi:

$$\frac{\omega_x}{\omega_y} = \frac{n_{\text{verticale}}}{n_{\text{orizzontale}}}$$

dove $n_{\text{verticale}}$ è il numero di punti di contatto con un lato verticale e $n_{\text{orizzontale}}$ quello con un lato orizzontale. Nella figura i punti arancioni sul lato destro sono tanti quanti indica $\omega_x$, quelli verdi in alto tanti quanti indica $\omega_y$.

La regola funziona bene con figure “aperte” come queste. Per certi sfasamenti, però, la curva passa per un angolo del rettangolo o si riduce a un arco percorso avanti e indietro: con una frequenza doppia dell’altra e $\delta = 0$, per esempio, diventa un arco di parabola, come vediamo nell’esercizio 6. In quei casi contare i contatti è ambiguo, e conviene cambiare un po’ lo sfasamento.

L’oscilloscopio in modalità XY

Di solito un oscilloscopio mostra un segnale in funzione del tempo; in modalità XY, invece, un segnale sposta il puntino in orizzontale e l’altro in verticale: sullo schermo compaiono proprio le curve di questa pagina. Gli usi classici sono due.

Misurare uno sfasamento. Si mandano sui due assi due segnali della stessa frequenza, per esempio la tensione all’ingresso e all’uscita di un circuito, e si centra l’ellisse sullo schermo. Detti $y_0$ il punto in cui l’ellisse taglia l’asse verticale e $B$ la sua altezza massima, dalla proprietà vista sopra:

$$|\sin\delta| = \frac{y_0}{B}$$

L’arcoseno dà due angoli possibili, $\delta$ e $180° - \delta$: si sceglie guardando l’inclinazione. Se l’asse maggiore sta nel primo e terzo quadrante lo sfasamento è minore di 90°, altrimenti è maggiore. Quale segnale sia in anticipo, invece, l’ellisse da sola non lo dice: bisogna guardare i due segnali nel tempo.

Confrontare due frequenze. Su un asse si manda un segnale di frequenza nota, sull’altro quello da misurare, e si regola la frequenza nota finché la figura sta ferma. Contando i punti di contatto si legge il rapporto. Prima dei frequenzimetri digitali era un metodo molto usato; lo proviamo nell’esercizio 5.

Un po’ di storia

Queste curve furono studiate per la prima volta nel 1815 dal matematico americano Nathaniel Bowditch, che analizzò un pendolo appeso a un filo a forma di Y, inventato quello stesso anno da James Dean. In due direzioni perpendicolari un pendolo così ha due lunghezze efficaci diverse, e quindi due frequenze diverse. Più tardi lo riscoprì Hugh Blackburn, e oggi è noto soprattutto come pendolo di Blackburn: se la pallina è un contenitore che perde sabbia, disegna sul pavimento le figure del suo moto.

Nel 1857 il francese Jules Antoine Lissajous, in modo del tutto indipendente, pubblicò una lunga memoria sullo studio ottico delle vibrazioni. Due diapason vibranti in direzioni perpendicolari portavano ciascuno un piccolo specchio, e un raggio di luce riflesso da entrambi finiva su uno schermo. Grazie alla persistenza delle immagini sulla retina il puntino disegnava una curva continua, dalla cui forma si confrontavano con precisione le frequenze dei diapason. Con frequenze appena diverse vide proprio un’ellisse che sembrava ruotare lentamente.

Dalla metà dell’Ottocento comparvero gli armonografi, in cui pendoli smorzati muovono una penna e il foglio in direzioni perpendicolari: le oscillazioni si spengono piano piano e le figure si avvolgono in spirali. Ebbero il massimo successo negli anni Novanta dell’Ottocento. Una figura di Lissajous è perfino diventata un logo: quello della ABC, la radiotelevisione pubblica australiana, adottato nel 1965 e disegnato da Bill Kennard partendo da una traccia di oscilloscopio.

Gli errori più comuni

• Pensare che la traiettoria sia sempre un’ellisse con gli assi lungo x e y. Succede solo in quadratura; per gli altri sfasamenti l’ellisse è inclinata, e con $\delta = 0$ o $\pi$ si schiaccia in un segmento.
• Credere che ampiezze uguali diano sempre una circonferenza. Serve anche lo sfasamento di 90°: con $A = B$ e $\delta = 0$ il punto oscilla sulla bisettrice.
• Sommare le ampiezze come numeri. Gli spostamenti sono perpendicolari: in fase il punto oscilla con ampiezza $\sqrt{A^2 + B^2}$, non $A + B$.
• Ricavare il verso dall’equazione della traiettoria. $\delta$ e $-\delta$ danno la stessa ellisse percorsa in versi opposti; il verso si trova dalla legge oraria.
• Invertire il rapporto delle frequenze. I contatti con il lato verticale contano le oscillazioni lungo $x$, quelli con il lato orizzontale le oscillazioni lungo $y$.
• Pensare che due frequenze qualsiasi diano una curva chiusa. Serve un rapporto razionale; con un rapporto irrazionale la curva non si chiude mai.

Esercizi svolti

1. Segmento e circonferenza

Testo. Un punto oscilla lungo $x$ con ampiezza 4 cm e lungo $y$ con ampiezza 3 cm, con la stessa pulsazione e in fase; il periodo è 2 s. Che traiettoria descrive, con che ampiezza e con che velocità massima? Poi le due ampiezze diventano entrambe 5 cm, lo sfasamento 90° e la pulsazione $2\pi\ \text{rad/s}$: che moto si ottiene?

Con $\delta = 0$ la traiettoria è il segmento $y = \frac{B}{A}x = 0{,}75\,x$. Il punto lo percorre di moto armonico, con ampiezza:

$$\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{16 + 9}\ \text{cm} = 5\ \text{cm}$$

La pulsazione è $\omega = 2\pi/T = \pi\ \text{rad/s}$, quindi la velocità massima, al centro, vale:

$$\begin{gathered} v_{max} = \omega \cdot 5\ \text{cm} = 5\pi\ \text{cm/s} \\ v_{max} \approx 15{,}7\ \text{cm/s} \end{gathered}$$

Nel secondo caso ampiezze uguali e quadratura danno una circonferenza di raggio 5 cm, percorsa con un giro al secondo. È un moto circolare uniforme:

$$\begin{gathered} v = \omega R = 2\pi \cdot 0{,}05\ \text{m/s} \approx 0{,}31\ \text{m/s} \\ a = \omega^2 R = 4\pi^2 \cdot 0{,}05\ \text{m/s}^2 \approx 1{,}97\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$

con l’accelerazione diretta verso il centro. Nota che nel primo caso l’ampiezza è 5 cm, non 4 + 3 = 7 cm.

2. Un’ellisse inclinata

Testo. Un punto si muove con $x = 5\cos(\omega t)$ e $y = 5\cos(\omega t + \pi/3)$, in centimetri. Scrivi l’equazione della traiettoria, trova il verso di percorrenza, i semiassi dell’ellisse e la sua area.

Con $A = B = 5\ \text{cm}$, $\cos(\pi/3) = 1/2$ e $\sin^2(\pi/3) = 3/4$, l’equazione della traiettoria, moltiplicata per 25, diventa:

$$\begin{gathered} x^2 + y^2 - x\,y = 25 \cdot \tfrac{3}{4} \\ x^2 + y^2 - x\,y = 18{,}75\ \text{cm}^2 \end{gathered}$$

Dato che $\sin(\pi/3) > 0$, l’ellisse è percorsa in senso orario. Con ampiezze uguali gli assi stanno sulle bisettrici. Sulla retta $y = x$ l’equazione dà $x^2 = 18{,}75$, cioè $x \approx 4{,}33\ \text{cm}$; sulla retta $y = -x$ dà $3x^2 = 18{,}75$, cioè $x = 2{,}5\ \text{cm}$. Le distanze dal centro sono i semiassi:

$$\begin{gathered} a = \sqrt{2} \cdot 4{,}33\ \text{cm} \approx 6{,}12\ \text{cm} \\ b = \sqrt{2} \cdot 2{,}5\ \text{cm} \approx 3{,}54\ \text{cm} \end{gathered}$$

Sono proprio $5\sqrt{1 + \cos\delta}$ e $5\sqrt{1 - \cos\delta}$. L’area è:

$$\begin{gathered} \pi a b = \pi A B\sin\delta = \pi \cdot 25 \cdot 0{,}866\ \text{cm}^2 \\ \pi a b \approx 68{,}0\ \text{cm}^2 \end{gathered}$$

L’ellisse è allungata lungo la bisettrice $y = x$, come previsto con $\cos\delta > 0$.

3. Il pendolo che gira in tondo

Testo. Un pendolo lungo 1,00 m viene spostato di 10 cm dalla verticale e lanciato con una velocità perpendicolare allo spostamento. Quanto deve valere questa velocità perché la pallina descriva una circonferenza? Quanto dura un giro? E se la spinta è la metà?

Lo spostamento di 10 cm su 1 m corrisponde a circa 5,7°, quindi le oscillazioni sono piccole e in ogni direzione il moto è armonico con:

$$\omega = \sqrt{\frac{g}{L}} = \sqrt{\frac{9{,}81}{1{,}00}}\ \text{rad/s} \approx 3{,}13\ \text{rad/s}$$

Prendi l’asse $x$ lungo lo spostamento iniziale e l’asse $y$ lungo la spinta. Lungo $x$ la pallina parte ferma da $A = 10\ \text{cm}$, quindi $x = A\cos(\omega t)$; lungo $y$ parte dal centro con velocità $v_0$, quindi $y = (v_0/\omega)\sin(\omega t)$. Le due oscillazioni sono in quadratura, con $B = v_0/\omega$. Per avere una circonferenza serve $B = A$:

$$v_0 = \omega A = 3{,}13 \cdot 0{,}10\ \text{m/s} \approx 0{,}31\ \text{m/s}$$

Un giro dura quanto un’oscillazione:

$$T = \frac{2\pi}{\omega} \approx 2{,}01\ \text{s}$$

Con metà spinta, circa 0,16 m/s, $B$ si dimezza: la pallina descrive un’ellisse con semiassi 10 cm e 5 cm, sempre in 2,01 s, girando nel verso della spinta.

4. Velocità ed energia sull’ellisse

Testo. Un dischetto di 0,20 kg scivola senza attrito su un tavolo a cuscino d’aria, richiamato verso un punto fisso da una forza $\vec{F} = -k\,\vec{r}$ con $k = 20\ \text{N/m}$. Si muove con $x = 10\cos(\omega t)$ e $y = 6\sin(\omega t)$, in centimetri. Trova la pulsazione, la velocità massima e minima, l’energia meccanica, e controlla che il momento angolare si conservi.

La pulsazione è la stessa lungo i due assi:

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{20}{0{,}20}}\ \text{rad/s} = 10\ \text{rad/s}$$

La traiettoria è un’ellisse con semiassi $A = 10\ \text{cm}$ e $B = 6\ \text{cm}$. Da $v^2 = \omega^2(A^2 + B^2 - r^2)$: agli estremi dell’asse maggiore, $r = A$, la velocità è minima, $v = \omega B = 0{,}60\ \text{m/s}$; agli estremi dell’asse minore, $r = B$, è massima, $v = \omega A = 1{,}0\ \text{m/s}$. L’energia:

$$\begin{gathered} E = \tfrac{1}{2}k\,(A^2 + B^2) \\ {} = \tfrac{1}{2} \cdot 20 \cdot (0{,}01 + 0{,}0036)\ \text{J} \\ {} = 0{,}136\ \text{J} \end{gathered}$$

Controllo nel punto $(0;\ 6\ \text{cm})$: cinetica $\tfrac{1}{2} \cdot 0{,}20 \cdot 1{,}0^2 = 0{,}100\ \text{J}$, potenziale $\tfrac{1}{2} \cdot 20 \cdot 0{,}06^2 = 0{,}036\ \text{J}$, totale 0,136 J. Negli estremi degli assi la velocità è perpendicolare al raggio, quindi il momento angolare vale $m\,r\,v$:

$$\begin{gathered} 0{,}20 \cdot 0{,}10 \cdot 0{,}60 = 0{,}012\ \text{kg·m}^2\text{/s} \\ 0{,}20 \cdot 0{,}06 \cdot 1{,}0 = 0{,}012\ \text{kg·m}^2\text{/s} \end{gathered}$$

Stesso valore, come deve essere per una forza centrale: in generale vale $m\,\omega A B\,|\sin\delta|$.

5. L’oscilloscopio: sfasamento e frequenza

Testo. In modalità XY due segnali a 50 Hz danno un’ellisse centrata, con l’asse maggiore nel primo e terzo quadrante: il punto più alto è 4,0 divisioni sopra il centro e l’ellisse taglia l’asse verticale a 2,0 divisioni. Quanto vale lo sfasamento, in gradi e in tempo? Poi sull’asse $x$ si manda un segnale noto di 300 Hz e sull’asse $y$ uno sconosciuto: la figura ferma tocca il lato destro in 2 punti e quello in alto in 3. Quanto vale la frequenza sconosciuta?

Dalla formula dell’oscilloscopio:

$$|\sin\delta| = \frac{y_0}{B} = \frac{2{,}0}{4{,}0} = 0{,}5$$

I due angoli possibili sono 30° e 150°. L’asse maggiore sta nel primo e terzo quadrante, quindi $\cos\delta > 0$ e lo sfasamento è 30°, cioè $\pi/6$. Il periodo dei segnali è 20 ms, e 30° è un dodicesimo di giro:

$$\begin{gathered} \Delta t = \frac{\delta}{\omega} = \frac{\pi/6}{2\pi \cdot 50}\ \text{s} \\ \Delta t = \frac{1}{600}\ \text{s} \approx 1{,}67\ \text{ms} \end{gathered}$$

Per la frequenza, il rapporto si legge dai contatti, $f_x/f_y = 2/3$:

$$f_y = \frac{3}{2} \cdot 300\ \text{Hz} = 450\ \text{Hz}$$

Controllo: la figura si ripete ogni $2/300\ \text{s} \approx 6{,}67\ \text{ms}$, che è anche il tempo di 3 oscillazioni a 450 Hz.

6. Il pendolo a Y

Testo. Una pallina è appesa a un filo a Y: i due rami superiori partono da due ganci alla stessa altezza e si uniscono in un nodo, da cui scende il filo con la pallina, 1,20 m sotto la retta dei ganci. Quanto sotto il nodo deve stare la pallina perché le due frequenze siano nel rapporto 2:1? Quanto valgono i periodi? Se la pallina parte ferma da un angolo del rettangolo, che curva descrive?

Chiama $x$ la direzione nel piano della Y e $y$ quella perpendicolare. Lungo $x$ i due rami superiori restano fermi e la pallina oscilla attorno al nodo, come un pendolo di lunghezza $l$. Lungo $y$ oscilla tutto il sistema, attorno alla retta dei ganci, come un pendolo di lunghezza $L = 1{,}20\ \text{m}$. Quindi:

$$\frac{\omega_x}{\omega_y} = \sqrt{\frac{g/l}{g/L}} = \sqrt{\frac{L}{l}} = 2$$

da cui $l = L/4 = 0{,}30\ \text{m}$. I periodi:

$$\begin{gathered} T_y = 2\pi\sqrt{\frac{1{,}20}{9{,}81}}\ \text{s} \approx 2{,}20\ \text{s} \\ T_x = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}30}{9{,}81}}\ \text{s} \approx 1{,}10\ \text{s} \end{gathered}$$

La figura si ripete ogni 2,20 s. Se la pallina parte ferma dall’angolo $(A;\ B)$, con $\omega = \omega_y$ si ha $x = A\cos(2\omega t)$ e $y = B\cos(\omega t)$. Con $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$:

$$x = A\left(\frac{2y^2}{B^2} - 1\right)$$

È un arco di parabola, con il vertice in $(-A;\ 0)$ e gli estremi negli angoli $(A;\ \pm B)$, percorso avanti e indietro: il caso degenere di cui parlavamo. Se invece la pallina parte con una spinta, lo sfasamento cambia e l’arco si apre in una curva chiusa; con lo sfasamento giusto diventa una figura a otto, come quella 1:2 della figura ma ruotata di 90°.

Altri problemi sulle oscillazioni li trovi negli esercizi svolti sulle oscillazioni.

In sintesi

• Legge oraria: $x = A\cos(\omega t)$ e $y = B\cos(\omega t + \delta)$; il punto resta nel rettangolo $2A \times 2B$.
• Traiettoria: $\dfrac{x^2}{A^2} + \dfrac{y^2}{B^2} - \dfrac{2xy}{AB}\cos\delta = \sin^2\delta$, un’ellisse centrata nell’origine.
• Con $\delta = 0$ o $\pi$ è un segmento di ampiezza $\sqrt{A^2 + B^2}$; con $\delta = \pi/2$ o $3\pi/2$ un’ellisse con gli assi su $x$ e $y$; se in più $A = B$, una circonferenza percorsa di moto circolare uniforme.
• Verso: orario se $0 < \delta < \pi$, antiorario se $\pi < \delta < 2\pi$.
• La forza è centrale ed elastica, $\vec{F} = -k\vec{r}$; l’energia è $E = \tfrac{1}{2}k(A^2 + B^2)$ e la velocità $v^2 = \omega^2(A^2 + B^2 - r^2)$.
• Oscilloscopio: lo sfasamento si ricava da $|\sin\delta| = y_0/B$, scegliendo l’angolo con l’inclinazione dell’ellisse.
• Figure di Lissajous: chiuse solo se $\omega_x/\omega_y$ è razionale; il rapporto è uguale al numero di contatti con un lato verticale diviso quello con un lato orizzontale.

L’ultimo passo del capitolo va nella direzione opposta: invece di sommare oscillazioni semplici, scomponiamo un moto periodico qualsiasi in tante oscillazioni armoniche. È l’analisi di Fourier.