Serie a segni alterni e criterio di Leibniz: dimostrazione, errore ed esercizi svolti

Quando i termini di una serie cambiano segno, i criteri per le serie a termini positivi non bastano più. Il caso più frequente, e il più amato dai professori, è quello in cui i segni si alternano: $+, -, +, -, \dots$ Per queste serie c’è uno strumento semplice e potente, il criterio di Leibniz: se i termini, presi senza segno, scendono verso zero, la serie converge. In più ti dice di quanto sbagli se ti fermi dopo un certo numero di termini. Lo userai negli esercizi d’esame sulla convergenza semplice e assoluta, e nelle serie di potenze per studiare gli estremi dell’intervallo. In questa pagina vediamo l’idea con un grafico, l’enunciato preciso con la dimostrazione, la stima dell’errore, la serie armonica a segni alterni e la serie di Leibniz per $\pi$, come si controlla che i termini decrescano, cosa succede quando un’ipotesi manca, la scaletta per studiare una serie a segni variabili, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

L’idea: avanti e indietro, con passi sempre più corti

Immagina di camminare su una strada: fai un passo avanti di 1 metro, poi uno indietro di mezzo metro, poi avanti di un terzo, indietro di un quarto, e così via. Non torni mai al punto di partenza e non scappi lontano: oscilli, e le oscillazioni si restringono. Prima o poi ti fermi in un punto preciso. La tua posizione è la somma

$$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \dots$$

la serie armonica a segni alterni. Guardiamo le somme parziali $s_n$, cioè le somme dei primi $n$ termini:

${n}$	${s_n}$
1	${1}$
2	${0{,}5}$
3	${0{,}833}$
4	${0{,}583}$
5	${0{,}783}$
6	${0{,}617}$
7	${0{,}760}$
8	${0{,}635}$

Saltano su e giù, e ogni salto è più corto del precedente, perché è proprio il termine $\frac{1}{n}$, che diminuisce. Nella figura si vede bene: le somme di indice dispari scendono, quelle di indice pari salgono, e le due famiglie si stringono attorno a un numero, che risulta essere $\ln 2 = 0{,}6931\ldots$

Nota che la stessa serie con tutti i segni positivi è la serie armonica, che diverge. Sono le compensazioni tra termini positivi e negativi a far convergere la serie.

Cos’è una serie a segni alterni

Il fattore $(-1)^n$ vale $1$ per $n$ pari e $-1$ per $n$ dispari: è lui ad alternare i segni. La prima forma comincia con il segno $+$ ($b_1 - b_2 + b_3 - \dots$), la seconda con il segno $-$ ($-b_1 + b_2 - b_3 + \dots$). Una è l’altra cambiata di segno, quindi hanno lo stesso carattere; anche far partire l’indice da $0$ non cambia nulla.

Segni alterni travestiti. A volte $(-1)^n$ non si vede. Il caso tipico è $\cos(n\pi)$: siccome $\cos \pi = -1$, $\cos 2\pi = 1$, $\cos 3\pi = -1$ e così via, vale $\cos(n\pi) = (-1)^n$ (lo vedi sulla circonferenza goniometrica, ripassala nelle funzioni goniometriche). Anche una serie geometrica di ragione negativa, come $\sum \left(-\frac{1}{2}\right)^n$, è a segni alterni (ma lì la somma si sa calcolare direttamente).

Segni che cambiano senza alternarsi. Nella serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin n}{n^2}$ i segni cambiano, ma non a uno a uno: $\sin 1$, $\sin 2$ e $\sin 3$ sono positivi, $\sin 4$, $\sin 5$ e $\sin 6$ negativi, poi di nuovo positivi, senza uno schema fisso. Questa non è una serie a segni alterni e il criterio di Leibniz non si applica: si usa la convergenza assoluta, perché $\left\lvert \frac{\sin n}{n^2} \right\rvert \leq \frac{1}{n^2}$.

Il criterio di Leibniz

Leggiamo bene l’enunciato.

• Decrescente vuol dire $b_{n + 1} \leq b_n$: va bene anche se qualche termine è uguale al successivo.
• Basta definitivamente. Se le ipotesi valgono solo da un certo indice $N$ in poi, la serie converge lo stesso, perché i primi termini non cambiano il carattere di una serie (lo abbiamo visto nelle serie numeriche). La stima dell’errore, però, vale solo per $n \geq N$.
• La positività è quasi gratis. Una successione decrescente che tende a 0 non può mai scendere sotto lo 0: se fosse $b_m < 0$, tutti i termini successivi sarebbero minori o uguali a $b_m$, e il limite sarebbe al massimo $b_m$, cioè negativo, non 0.
• Il segno dell’errore. Siccome $s$ sta tra $s_n$ e $s_{n + 1}$, la differenza $s - s_n$ ha il segno del primo termine trascurato (oppure è zero). Se ti fermi dopo un termine positivo, $s_n$ è un’approssimazione per eccesso; se ti fermi dopo un termine negativo, per difetto.

Per l’altra forma, $\sum (-1)^n\,b_n$, valgono le stesse conclusioni, perché è la stessa serie cambiata di segno. La regola da ricordare non dipende dall’indice: l’errore è al massimo il primo termine che hai trascurato.

Dimostrazione

Separiamo le somme parziali di indice pari da quelle di indice dispari, come nella figura di prima.

Le somme pari crescono. Passando da $s_{2k}$ a $s_{2k + 2}$ si aggiunge $b_{2k + 1} - b_{2k + 2}$, che è maggiore o uguale a zero perché $b_n$ decresce:

$$s_{2k + 2} = s_{2k} + (b_{2k + 1} - b_{2k + 2}) \geq s_{2k}$$

Le somme dispari decrescono. Passando da $s_{2k - 1}$ a $s_{2k + 1}$ si toglie $b_{2k} - b_{2k + 1} \geq 0$:

$$s_{2k + 1} = s_{2k - 1} - (b_{2k} - b_{2k + 1}) \leq s_{2k - 1}$$

Le pari stanno sotto le dispari. Siccome $s_{2k} = s_{2k - 1} - b_{2k}$ e $b_{2k} \geq 0$, mettendo insieme i tre fatti:

$$s_2 \leq s_{2k} \leq s_{2k - 1} \leq s_1$$

Le somme pari sono crescenti e limitate dall’alto da $s_1$; le dispari sono decrescenti e limitate dal basso da $s_2$. Per il teorema delle successioni monotone convergono entrambe.

Hanno lo stesso limite. La differenza tra una somma dispari e la pari successiva è $s_{2k - 1} - s_{2k} = b_{2k}$, che tende a 0. Quindi pari e dispari tendono allo stesso numero $s$. E se le due sottosuccessioni dei pari e dei dispari hanno lo stesso limite, ce l’ha tutta la successione (lo abbiamo visto con le sottosuccessioni): la serie converge a $s$.

La stima dell’errore. Le pari salgono verso $s$, quindi stanno tutte sotto $s$; le dispari scendono verso $s$, quindi stanno tutte sopra. Due somme parziali consecutive $s_n$ e $s_{n + 1}$ sono una pari e una dispari, quindi $s$ sta tra loro. La loro distanza è il termine aggiunto, $b_{n + 1}$, e allora $\lvert s - s_n \rvert \leq b_{n + 1}$.

Due serie famose

La serie armonica a segni alterni

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n + 1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \dots = \ln 2$$

Converge per Leibniz, perché $\frac{1}{n}$ è positivo, decrescente e tende a 0. Che la somma sia proprio $\ln 2$ si dimostra con la serie di $\ln(1 + x)$, nell’articolo sulle serie di Taylor. Sommando 1000 termini, la stima di Leibniz garantisce un errore minore di $\frac{1}{1001}$; quello vero è circa la metà, $0{,}0005$.

Questa serie converge, ma la serie dei valori assoluti diverge: si dice che converge semplicemente e non assolutamente. Per queste serie succedono cose strane: per esempio, cambiando l’ordine dei termini si può cambiare la somma (teorema di Riemann). Lo vediamo con calma nella convergenza assoluta.

La serie di Leibniz per π

$$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n + 1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots = \frac{\pi}{4}$$

Converge per il criterio, perché $\frac{1}{2n + 1}$ è positivo, decrescente e infinitesimo; la somma si ricava dalla serie dell’arcotangente, con $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$. Leibniz la trovò tra il 1673 e il 1674. Ma non fu il primo: James Gregory aveva trovato la serie dell’arcotangente nel 1671, e in India il matematico Madhava, o la sua scuola, la conosceva già tra il XIV e il XV secolo.

È una formula bellissima, ma lentissima. Moltiplicando per 4 le somme parziali si ottiene un’approssimazione di $\pi = 3{,}14159\ldots$:

Termini sommati	$4 \cdot$ somma	Errore su $\pi$
10	${3{,}0418}$	${0{,}0998}$
100	${3{,}1316}$	${0{,}0100}$
1000	${3{,}1406}$	${0{,}0010}$
10 000	${3{,}1415}$	${0{,}0001}$

Con mille termini si ottiene appena $3{,}14$: ogni cifra giusta in più costa dieci volte più termini. Per un errore su $\frac{\pi}{4}$ minore di un milionesimo, la stima di Leibniz chiede $\frac{1}{2N + 1} < 10^{-6}$, cioè $N \geq 500\,000$ termini; in realtà ne bastano 250 000, perché l’errore vero è circa la metà della stima. È comunque tantissimo: non è così che si calcola $\pi$.

Nella figura vedi le somme parziali che oscillano attorno a $\frac{\pi}{4}$, sempre dentro la fascia larga quanto il primo termine trascurato.

Un po’ di storia. Leibniz descrisse il criterio nel trattato De quadratura arithmetica del 1676, che però rimase inedito fino al 1993. Lo comunicò poi a Jakob Hermann, nel 1705, e a Johann Bernoulli, nel 1713.

Come si controlla che i termini decrescono

Positività e limite di solito sono immediati. La parte delicata è la monotonia, e ci sono tre metodi.

1. La differenza. Si controlla che $b_n - b_{n + 1} \geq 0$. Per esempio con $b_n = \frac{n + 1}{n^2}$:

$$\begin{gathered} b_n - b_{n + 1} = \frac{n + 1}{n^2} - \frac{n + 2}{(n + 1)^2} \\ {} = \frac{n^2 + 3n + 1}{n^2\,(n + 1)^2} > 0 \end{gathered}$$

2. Il rapporto. Se $b_n > 0$, si controlla che $\frac{b_{n + 1}}{b_n} \leq 1$. È comodo con potenze e fattoriali. Con $b_n = \frac{n}{2^n}$:

$$\frac{b_{n + 1}}{b_n} = \frac{n + 1}{2^{n + 1}} \cdot \frac{2^n}{n} = \frac{n + 1}{2n} \leq 1$$

per ogni $n \geq 1$ (con l’uguaglianza per $n = 1$: infatti $b_1 = b_2 = \frac{1}{2}$, e va bene lo stesso).

3. La derivata. Si cerca una funzione $f(x)$ con $f(n) = b_n$ e si studia il segno della derivata: se $f'(x) \leq 0$ per $x \geq x_0$, la successione decresce da $x_0$ in poi. Con $b_n = \frac{\ln n}{n}$:

$$f(x) = \frac{\ln x}{x} \qquad f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$

La derivata è negativa per $\ln x > 1$, cioè per $x > e \approx 2{,}72$. Quindi $b_n$ decresce da $n = 3$ in poi. Non prima: $b_2 \approx 0{,}347$ è minore di $b_3 \approx 0{,}366$. È il caso tipico in cui serve il «definitivamente».

Spesso basta un ragionamento a parole: in $\frac{1}{\sqrt{n} + 1}$ il denominatore cresce, quindi la frazione decresce.

Quando un’ipotesi manca

Se i termini non tendono a 0

Allora i termini della serie non tendono a 0, e la serie non converge per la condizione necessaria. Per esempio, in $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n\,\frac{n}{n + 1}$ si ha $b_n \to 1$. Le somme parziali non vanno all’infinito: oscillano, perché quelle di indice pari si avvicinano a $1 - \ln 2 \approx 0{,}307$ e quelle di indice dispari a $-\ln 2 \approx -0{,}693$. La serie è irregolare: «non converge» non vuol dire sempre «diverge».

Se i termini tendono a 0 ma non decrescono

Qui il criterio non si applica, e la serie può anche divergere. Prendiamo

$$b_n = \frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{(-1)^n}{n}$$

È positiva o nulla e tende a 0, ma non decresce: $b_3 \approx 0{,}244$ e $b_4 = 0{,}75$, $b_5 \approx 0{,}247$ e $b_6 \approx 0{,}575$. Ogni termine di indice pari è più grande del precedente. Ora moltiplichiamo per $(-1)^n$, ricordando che $(-1)^n \cdot (-1)^n = 1$:

$$(-1)^n\,b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n}$$

La serie di $\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ converge per Leibniz, quella di $\frac{1}{n}$ diverge. La somma diverge: se convergesse, togliendo la serie convergente resterebbe convergente anche la serie armonica. Le somme parziali crescono come un logaritmo: $s_{100} \approx 4{,}63$, $s_{10\,000} \approx 9{,}19$.

Leibniz è sufficiente, non necessario

Attenzione a non esagerare nell’altro verso: se $b_n$ non decresce, la serie può anche convergere. Con $b_n = \frac{2 + (-1)^n}{n^2}$ i termini valgono alternativamente $\frac{1}{n^2}$ e $\frac{3}{n^2}$, e non decrescono ($b_3 = \frac{1}{9}$, $b_4 = \frac{3}{16}$). Ma $\lvert (-1)^n\,b_n \rvert \leq \frac{3}{n^2}$, quindi la serie converge assolutamente per confronto. Quando la monotonia manca, Leibniz semplicemente non dice nulla: servono altri strumenti (l’esercizio 6 ne mostra uno).

La scaletta per le serie a segni variabili

Davanti a una serie $\sum a_n$ con termini di segno variabile, procedi così:

1. I termini tendono a 0? Se no, la serie non converge e hai finito. È il controllo più veloce.
2. Studia la convergenza assoluta. La serie $\sum \lvert a_n \rvert$ è a termini positivi: usa il confronto asintotico, il rapporto o la radice, il criterio dell’integrale. Se converge, la serie converge assolutamente, e quindi converge.
3. Se $\sum \lvert a_n \rvert$ diverge e i segni si alternano, prova Leibniz. Se le tre ipotesi valgono, la serie converge semplicemente (converge, ma non assolutamente).
4. Se Leibniz non si applica (segni irregolari, $b_n$ non monotona), prova a spezzare il termine in una parte alla Leibniz più una parte a termini positivi, come negli esempi sopra.

L’ordine conta: se una serie converge assolutamente lo devi dire, perché è un’informazione più forte della semplice convergenza. Per esempio $\sum \frac{(-1)^n}{n^2}$ converge assolutamente, mentre $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ converge solo semplicemente.

Quanti termini servono per una certa precisione

La stima di Leibniz trasforma una domanda difficile («quanto vale la somma?») in un conto facile: se vuoi un errore minore di $\varepsilon$ (la lettera greca «epsilon», qui un numero piccolo), cerca il primo $n$ per cui $b_{n + 1} < \varepsilon$.

Il numero 1/e. Si dimostra con le serie di Taylor che

$$\frac{1}{e} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!} = 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \dots$$

Qui $b_n = \frac{1}{n!}$ decresce ($b_0 = b_1 = 1$, poi scende). Fermandoci a $n = 5$:

$$\begin{gathered} s_5 = 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120} \\ s_5 \approx 0{,}36667 \end{gathered}$$

L’errore è al massimo $\frac{1}{6!} = \frac{1}{720} \approx 0{,}0014$, e $s_5$ è per difetto, perché l’ultimo termine sommato è negativo. Infatti $\frac{1}{e} = 0{,}36788\ldots$: l’errore vero è $0{,}0012$. Per un errore minore di un milionesimo: $\frac{1}{9!} \approx 2{,}8 \cdot 10^{-6}$ è troppo grande, $\frac{1}{10!} \approx 2{,}8 \cdot 10^{-7}$ va bene. Basta fermarsi a $n = 9$, cioè 10 termini: $s_9 \approx 0{,}3678792$. I fattoriali scendono in fretta, e bastano pochi passi.

Tre decimali per una serie lenta. Vogliamo la somma di $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n + 1}}{n^2}$ con un errore minore di $0{,}0005$. Serve

$$\frac{1}{(n + 1)^2} < \frac{1}{2000} \iff (n + 1)^2 > 2000$$

Siccome $44^2 = 1936$ e $45^2 = 2025$, serve $n + 1 \geq 45$: bisogna sommare 44 termini, e si ottiene $s_{44} \approx 0{,}82221$, per difetto. La somma vera è $\frac{\pi^2}{12} \approx 0{,}82247$: l’errore è $0{,}00025$, dentro la stima. Un trucco: siccome $s$ sta tra $s_{44}$ e $s_{45}$, la loro media dista da $s$ al massimo $\frac{b_{45}}{2}$, e qui vale $0{,}822462$, quasi esatta.

Gli errori più comuni

• Dimenticare di controllare che $b_n$ decresce. «Positivo e tende a 0» non basta: la monotonia è un’ipotesi vera, e il controesempio con $\frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{(-1)^n}{n}$ mostra che senza di lei la serie può divergere.
• Applicare Leibniz a segni irregolari. Con $\sin n$ o $\cos n$ i segni non si alternano a uno a uno. Con $\cos(n\pi)$ invece sì, perché vale $(-1)^n$.
• Concludere «diverge» quando Leibniz non si applica. Il criterio è sufficiente, non necessario: se un’ipotesi manca non dice nulla, e bisogna usare altri strumenti.
• Dire «converge assolutamente» dopo aver usato Leibniz. Leibniz dà solo la convergenza. Per quella assoluta bisogna studiare $\sum \lvert a_n \rvert$.
• Studiare la monotonia di $(-1)^n\,b_n$ invece che di $b_n$. I termini con il segno non sono mai monotoni: la monotonia si controlla su $b_n$, il valore assoluto.
• Usare l’ultimo termine sommato nella stima dell’errore. L’errore si stima con il primo termine trascurato, $b_{n + 1}$, e solo da dove $b_n$ decresce.
• Confondere «non converge» con «diverge». Se $b_n \not\to 0$ la serie non converge, ma spesso è irregolare, con somme parziali che oscillano.

Esercizi svolti

1. Un coseno che alterna i segni

Testo. Studia la convergenza semplice e assoluta di $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos(n\pi)}{\sqrt{n} + 1}$.

Siccome $\cos(n\pi) = (-1)^n$, la serie è $\sum (-1)^n\,b_n$ con $b_n = \frac{1}{\sqrt{n} + 1}$. Controlliamo le ipotesi di Leibniz:

• $b_n > 0$;
• $b_n$ decresce, perché il denominatore $\sqrt{n} + 1$ cresce;
• $b_n \to 0$, perché il denominatore tende a $+\infty$.

Quindi la serie converge. Convergenza assoluta: $\lvert a_n \rvert = \frac{1}{\sqrt{n} + 1}$, e

$$\frac{1}{\sqrt{n} + 1} \sim \frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{n^{1/2}}$$

con esponente $\frac{1}{2} \leq 1$: per il confronto asintotico la serie dei valori assoluti diverge. La serie converge semplicemente, ma non assolutamente.

2. Decrescente solo da un certo punto

Testo. Studia la convergenza di $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n\,\frac{\ln n}{\sqrt{n}}$.

Qui $b_n = \frac{\ln n}{\sqrt{n}} \geq 0$ (vale 0 per $n = 1$). Tende a 0, perché il logaritmo è un infinito più lento di qualunque potenza (gerarchia degli infiniti). Per la monotonia usiamo la derivata di $f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$:

$$\begin{gathered} f'(x) = \frac{\frac{1}{x}\sqrt{x} - \ln x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x} \\ {} = \frac{2 - \ln x}{2x\sqrt{x}} \end{gathered}$$

È negativa per $\ln x > 2$, cioè per $x > e^2 \approx 7{,}39$. Quindi $b_n$ decresce per $n \geq 8$ (e già da $n = 7$, perché $b_7 \approx 0{,}7355 > b_8 \approx 0{,}7352$). Prima cresce: $b_2 \approx 0{,}49$, $b_4 \approx 0{,}69$. Le ipotesi valgono definitivamente, e per Leibniz la serie converge.

Valori assoluti: per $n \geq 3$ si ha $\ln n > 1$, quindi $\frac{\ln n}{\sqrt{n}} > \frac{1}{\sqrt{n}}$, e la serie di $\frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge. Per confronto diverge anche la serie dei valori assoluti. La serie converge semplicemente.

3. Prima i valori assoluti

Testo. Studia la convergenza semplice e assoluta di $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \sin\frac{1}{n}$ e di $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \left(1 - \cos\frac{1}{n}\right)$.

Prima serie. Siccome $0 < \frac{1}{n} \leq 1 < \pi$, il seno è positivo: $\lvert a_n \rvert = \sin\frac{1}{n}$. Per il limite notevole $\sin t \sim t$ per $t \to 0$, si ha $\sin\frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}$: la serie dei valori assoluti diverge, come la serie armonica. Proviamo Leibniz con $b_n = \sin\frac{1}{n}$: è positiva, tende a $\sin 0 = 0$, e decresce, perché $\frac{1}{n}$ decresce e il seno è crescente tra $0$ e $\frac{\pi}{2}$. La serie converge semplicemente.

Seconda serie. Qui $\lvert a_n \rvert = 1 - \cos\frac{1}{n}$, e dal limite notevole del coseno

$$1 - \cos\frac{1}{n} \sim \frac{1}{2n^2}$$

La serie di $\frac{1}{n^2}$ converge, quindi la serie converge assolutamente. Non serve Leibniz: provando prima i valori assoluti si ottiene subito il risultato più forte.

4. Quanti termini per un decimillesimo

Testo. Quanti termini di $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n + 1}}{n^3}$ bisogna sommare per avere la somma con un errore minore di $10^{-4}$? L’approssimazione ottenuta è per eccesso o per difetto?

I numeri $b_n = \frac{1}{n^3}$ sono positivi, decrescenti e tendono a 0. Per Leibniz, fermandosi a $s_n$:

$$\lvert s - s_n \rvert \leq \frac{1}{(n + 1)^3}$$

Vogliamo $\frac{1}{(n + 1)^3} < \frac{1}{10\,000}$, cioè $(n + 1)^3 > 10\,000$. Siccome $21^3 = 9261$ e $22^3 = 10\,648$, serve $n + 1 \geq 22$: bastano 21 termini.

L’ultimo termine sommato, $+\frac{1}{21^3}$, è positivo, e il primo trascurato, $-\frac{1}{22^3}$, è negativo. Quindi $s < s_{21}$: l’approssimazione è per eccesso. Con i numeri, $s_{21} \approx 0{,}90159$ e $s_{22} \approx 0{,}90150$, e la somma sta tra i due. Il valore vero è $0{,}901543\ldots$: l’errore di $s_{21}$ è circa $5 \cdot 10^{-5}$.

5. Una serie con un parametro

Testo. Al variare di $\alpha \in \mathbb{R}$, studia la convergenza semplice e assoluta di $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n\,\frac{n^\alpha}{n + 1}$.

Valori assoluti. Per $n \to +\infty$:

$$\frac{n^\alpha}{n + 1} \sim \frac{n^\alpha}{n} = \frac{1}{n^{1 - \alpha}}$$

La serie armonica generalizzata converge se e solo se l’esponente supera 1: $1 - \alpha > 1$, cioè $\alpha < 0$. Per $\alpha < 0$ la serie converge assolutamente.

Se α ≥ 1. Per $\alpha = 1$ si ha $b_n = \frac{n}{n + 1} \to 1$, per $\alpha > 1$ si ha $b_n \to +\infty$. I termini non tendono a 0: la serie non converge.

Se 0 ≤ α < 1. Ora $b_n \sim \frac{1}{n^{1 - \alpha}} \to 0$, perché $1 - \alpha > 0$. Per la monotonia deriviamo $f(x) = \frac{x^\alpha}{x + 1}$:

$$\begin{gathered} f'(x) = \frac{\alpha x^{\alpha - 1}(x + 1) - x^\alpha}{(x + 1)^2} \\ {} = \frac{x^{\alpha - 1}\,[\alpha - (1 - \alpha)\,x]}{(x + 1)^2} \end{gathered}$$

La parentesi quadra è negativa per $x > \frac{\alpha}{1 - \alpha}$, quindi $b_n$ decresce definitivamente e per Leibniz la serie converge. Con $\alpha = \frac{9}{10}$, per esempio, $b_n$ cresce fino a $n = 9$ e decresce solo dopo: senza il «definitivamente» non si concluderebbe. I valori assoluti invece divergono, perché $1 - \alpha \leq 1$.

In conclusione: convergenza assoluta per $\alpha < 0$, convergenza semplice ma non assoluta per $0 \leq \alpha < 1$, nessuna convergenza per $\alpha \geq 1$.

6. Due serie quasi gemelle

Testo. Studia la convergenza di $\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n + (-1)^n}$ e di $\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n}$.

Prima serie. I valori $b_n = \frac{1}{n + (-1)^n}$ sono $\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{7}, \dots$: tendono a 0 ma non decrescono, quindi Leibniz non si applica. Il trucco è moltiplicare sopra e sotto per $n - (-1)^n$. Al denominatore si ottiene $n^2 - 1$, perché $\left((-1)^n\right)^2 = 1$:

$$\begin{gathered} \frac{(-1)^n}{n + (-1)^n} = \frac{(-1)^n\,(n - (-1)^n)}{n^2 - 1} \\ {} = \frac{(-1)^n\,n}{n^2 - 1} - \frac{1}{n^2 - 1} \end{gathered}$$

La serie di $\frac{(-1)^n\,n}{n^2 - 1}$ converge per Leibniz: $\frac{n}{n^2 - 1}$ è positivo, tende a 0 e decresce, perché la derivata di $\frac{x}{x^2 - 1}$ è $-\frac{x^2 + 1}{(x^2 - 1)^2} < 0$. La serie di $\frac{1}{n^2 - 1} \sim \frac{1}{n^2}$ converge (è anche telescopica, con somma $\frac{3}{4}$). Somma di due serie convergenti: la serie converge. Non assolutamente, perché $\frac{1}{n + (-1)^n} \sim \frac{1}{n}$.

Seconda serie. Stesso trucco, con $\sqrt{n} - (-1)^n$; ora il denominatore diventa $n - 1$:

$$\frac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n} = \frac{(-1)^n\sqrt{n}}{n - 1} - \frac{1}{n - 1}$$

La prima parte converge per Leibniz ($\frac{\sqrt{n}}{n - 1}$ tende a 0 e decresce: la derivata di $\frac{\sqrt{x}}{x - 1}$ è $-\frac{x + 1}{2\sqrt{x}\,(x - 1)^2} < 0$). La seconda è la serie armonica, che diverge. Quindi la serie diverge a $-\infty$.

Due serie quasi identiche, entrambe con $b_n \to 0$ non monotona: una converge, l’altra diverge. È la prova che, quando la monotonia manca, bisogna guardare dentro il termine.

Altri esercizi sulle serie, di tutti i tipi, li trovi negli esercizi svolti sulle serie.

In sintesi

• Una serie a segni alterni è $\sum (-1)^{n + 1}\,b_n$ oppure $\sum (-1)^n\,b_n$, con $b_n \geq 0$. Attenzione ai travestimenti come $\cos(n\pi) = (-1)^n$.
• Criterio di Leibniz: se $b_n \geq 0$, $b_n$ decresce (anche solo definitivamente) e $b_n \to 0$, la serie converge.
• Stima dell’errore: la somma sta tra due somme parziali consecutive, quindi $\lvert s - s_n \rvert \leq b_{n + 1}$, il primo termine trascurato, e $s - s_n$ ha il segno di quel termine.
• La serie armonica a segni alterni converge a $\ln 2$, la serie di Leibniz a $\frac{\pi}{4}$, ma lentissimamente.
• La monotonia si controlla con la differenza, il rapporto o la derivata di $f(x)$ con $f(n) = b_n$.
• Se $b_n \not\to 0$ la serie non converge; se $b_n$ non decresce Leibniz non dice nulla, e la serie può convergere o divergere.
• Scaletta: condizione necessaria, convergenza assoluta, Leibniz, e se serve si spezza il termine.

Alcune serie convergono anche se tolti i segni divergono, altre convergono comunque. Questa differenza ha conseguenze sorprendenti, e la vediamo nella convergenza assoluta.