Forza conservativa ed energia potenziale: definizione, esempi ed esercizi svolti

Puoi salire in cima a una collina per un sentiero ripido o per una strada a tornanti: la fatica cambia, ma il dislivello è lo stesso. Alcune forze si comportano così: il loro lavoro dipende solo da dove parti e da dove arrivi. Sono le forze conservative, e per ciascuna si può definire una grandezza che dipende solo dalla posizione, l’energia potenziale, la chiave della conservazione dell’energia meccanica. In questa pagina vediamo le due definizioni equivalenti di forza conservativa, esempi e controesempi, l’energia potenziale e la scelta dello zero, le formule per peso, molla e gravità, come si ricava la forza dall’energia potenziale, il diagramma dell’energia con punti di inversione ed equilibri, cosa cambia con le forze non conservative, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Qui trasformiamo in regola generale quello che abbiamo visto nel lavoro della forza peso e della forza elastica.

Cos’è una forza conservativa

Il lavoro di una forza $\vec{F}$ mentre un corpo va da $A$ a $B$ è la somma, pezzetto per pezzetto, dei prodotti scalari tra forza e spostamento:

$$W_{A \to B} = \int_A^B \vec{F} \cdot d\vec{s}$$

In generale questo numero dipende dalla strada che fai. Una forza è conservativa se il lavoro che compie da $A$ a $B$ non dipende dal percorso, ma solo dal punto di partenza e da quello di arrivo.

Una definizione equivalente: una forza è conservativa se il suo lavoro lungo qualsiasi percorso chiuso, cioè lungo un giro che riporta il corpo al punto di partenza, è nullo. Proprio come il dislivello di una gita che finisce dove è cominciata:

$$\oint \vec{F} \cdot d\vec{s} = 0$$

Perché le due definizioni dicono la stessa cosa

Prendi due percorsi, 1 e 2, che vanno entrambi da $A$ a $B$, e chiama $W_1$ e $W_2$ i lavori della forza lungo ciascuno. Ora fai un giro chiuso: vai da $A$ a $B$ lungo il percorso 1 e torna indietro lungo il 2. Percorrendo una strada al contrario ogni spostamento $d\vec{s}$ cambia verso, quindi il lavoro del ritorno è $-W_2$ e quello del giro completo è $W_1 - W_2$.

• Se il lavoro non dipende dal percorso, $W_1 = W_2$ e il giro chiuso dà zero.
• Viceversa, se ogni giro chiuso dà zero, allora $W_1 - W_2 = 0$ per qualunque coppia di percorsi.

Per dimostrare che una forza non è conservativa basta quindi un controesempio: un giro chiuso con lavoro diverso da zero, o due percorsi con lavori diversi.

Esempi di forze conservative

• La forza peso. Il suo lavoro dipende solo dal dislivello, $W = mg\,(z_A - z_B)$, dove $z$ è la quota: scala, rampa o scivolo danno lo stesso lavoro.
• Qualunque forza costante. Il suo lavoro è il prodotto scalare di $\vec{F}$ per lo spostamento da $A$ a $B$, che dipende solo dagli estremi.
• La forza elastica di una molla ideale. Il lavoro $W = \frac{1}{2}kx_A^2 - \frac{1}{2}kx_B^2$ dipende solo dalla deformazione iniziale e da quella finale.
• La forza gravitazionale e tutte le forze centrali il cui modulo dipende solo dalla distanza dal centro. Nel lavoro conta solo di quanto ti avvicini o ti allontani dal centro, non come ci giri intorno, come mostriamo nelle forze centrali. Della stessa famiglia è la forza elettrica tra due cariche.

Tutte queste forze dipendono solo dalla posizione: in un certo punto la forza è sempre la stessa, a qualunque velocità ci passi. Non basta, però. La forza $\vec{F} = b\,y\,\hat{x}$, orizzontale e tanto più forte quanto più sei lontano dall’asse $x$, dipende solo dalla posizione, eppure lungo due percorsi diversi compie lavori diversi (esercizio 3).

Le forze non conservative

Una forza è non conservativa quando il suo lavoro dipende dal percorso. L’esempio tipico è l’attrito dinamico: su una superficie ferma è sempre opposto alla velocità, quindi su un percorso lungo $L$ compie un lavoro $-F_a L$, dove $F_a$ è il suo modulo. Più strada fai, più lavoro perdi, e se torni al punto di partenza il lavoro non si annulla (esercizio 1).

Sono non conservative anche la resistenza dell’aria, che dipende dalla velocità ed è sempre opposta al moto (esercizio 6), e le forze di un motore o dei muscoli, il cui lavoro dipende da quello che fa il motore e può anche essere positivo. Le forze come l’attrito, che trasformano energia meccanica in calore, si dicono dissipative.

L’energia potenziale

Per una forza conservativa il lavoro tra $A$ e $B$ dipende solo dai due punti, quindi si può scrivere come differenza dei valori che una funzione della posizione, l’energia potenziale $U$, assume nei due punti:

$$\begin{gathered} W_{A \to B} = U_A - U_B \\ \Delta U = -W_{A \to B} \end{gathered}$$

Il segno meno è il punto chiave: quando la forza compie lavoro positivo, l’energia potenziale diminuisce, e viceversa. Pensala come un salvadanaio: sollevando un libro il peso compie lavoro negativo e $U$ cresce, energia messa da parte; quando il libro cade, il peso la restituisce come energia cinetica.

Per costruire $U$ si sceglie un punto di riferimento $O$ in cui $U = 0$. L’energia potenziale in un punto $P$ è il lavoro che la forza compie mentre il corpo va da $P$ al riferimento:

$$U(P) = W_{P \to O}$$

Questa definizione funziona solo per le forze conservative: se il lavoro dipendesse dal percorso, $U(P)$ non sarebbe un numero ben definito. Per questo l’attrito non ha un’energia potenziale. Come il lavoro, $U$ si misura in joule.

Lo zero si sceglie a piacere

Spostando il riferimento, tutti i valori di $U$ cambiano della stessa costante, ma le differenze restano uguali, ed è solo di differenze che ha bisogno la fisica. Metti lo zero dove ti è comodo, per esempio nel punto più basso, ma tienilo fisso per tutto l’esercizio. Un’energia potenziale negativa vuol dire solo che il corpo sta sotto il livello zero (esercizio 2).

Le energie potenziali da conoscere

La forza peso

Il lavoro del peso da una quota $z_A$ a una quota $z_B$ è $W = mgz_A - mgz_B$. Confrontandolo con $W = U_A - U_B$:

$$U = m\,g\,z$$

dove $z$ è la quota, misurata verso l’alto da un livello a scelta.

La forza elastica

Per una molla di costante $k$ il lavoro tra le deformazioni $x_A$ e $x_B$ è $W = \frac{1}{2}kx_A^2 - \frac{1}{2}kx_B^2$, quindi:

$$U = \frac{1}{2}\,k\,x^2$$

con $x$ misurato dalla posizione di riposo, dove $U = 0$. È sempre positiva: una molla allungata o compressa ha sempre energia da restituire. Il grafico è una parabola, la “buca di potenziale” dell’oscillatore armonico.

La forza gravitazionale

Lontano dalla superficie terrestre $g$ non è più costante. Per la forza di Newton tra due masse $M$ e $m$ a distanza $r$:

$$U = -\frac{G\,M\,m}{r}$$

con lo zero a distanza infinita. Il segno meno non è un errore: avvicinando le masse la gravità compie lavoro positivo, quindi $U$ scende sotto lo zero, come vediamo nell’energia potenziale gravitazionale. Per salire dalla superficie, a distanza $R$ dal centro della Terra, fino a una quota $h$, con $g = GM/R^2$:

$$\begin{gathered} \Delta U = G\,M\,m\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R + h}\right) \\ {} = m\,g\,h \cdot \frac{R}{R + h} \end{gathered}$$

Se $h$ è piccola rispetto al raggio terrestre, circa 6370 km, si ritrova $mgh$. Ma per portare un satellite di 1000 kg alla quota della Stazione Spaziale Internazionale, circa 400 km, $mgh$ darebbe $3{,}92 \cdot 10^9\ \text{J}$ contro i $3{,}69 \cdot 10^9\ \text{J}$ corretti: circa il 6% in più.

Forza	Energia potenziale	Zero di $U$
Peso	$mgz$	quota scelta
Elastica	$\frac{1}{2}kx^2$	molla a riposo
Gravitazionale	$-GMm/r$	distanza infinita

Dall’energia potenziale alla forza

Si può fare anche il percorso inverso. In una dimensione, per uno spostamento piccolissimo $dx$ il lavoro è $dW = F\,dx$, e deve essere uguale a $-dU$. Quindi:

$$F = -\frac{dU}{dx}$$

La forza è l’opposto della derivata dell’energia potenziale. Da $U = \frac{1}{2}kx^2$ si ottiene $F = -kx$, la legge di Hooke; da $U = mgz$ si ottiene $F = -mg$, il peso; da $U = -GMm/r$ si ottiene $F = -GMm/r^2$, dove il segno meno indica una forza diretta verso il centro.

Il segno meno ha un significato intuitivo: la forza spinge sempre verso dove $U$ diminuisce, come una pallina che rotola in discesa su una pista con la forma del grafico. Per il peso è letterale: il grafico dell’energia potenziale di un carrello delle montagne russe ha la forma dei binari.

In tre dimensioni: il gradiente

In tre dimensioni ogni componente della forza è l’opposto della derivata parziale di $U$ rispetto a quella coordinata:

$$\begin{gathered} F_x = -\frac{\partial U}{\partial x}, \quad F_y = -\frac{\partial U}{\partial y} \\ \vec{F} = -\nabla U \end{gathered}$$

e allo stesso modo per $F_z$. Il vettore $\nabla U$ si chiama gradiente e punta dove $U$ cresce più in fretta; la forza punta nel verso opposto. Da qui viene un test pratico: nel piano, in una regione senza buchi, una forza è conservativa se e solo se $\partial F_x/\partial y = \partial F_y/\partial x$. Lo usiamo nell’esercizio 3.

Il diagramma dell’energia

Se su un corpo che si muove lungo una retta compiono lavoro solo forze conservative, la sua energia meccanica $E = E_k + U$ resta costante. L’energia cinetica $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ non può essere negativa, quindi:

$$E_k = E - U(x) \ge 0$$

Il corpo può trovarsi solo dove $U(x) \le E$. Sul grafico di $U(x)$ disegna una retta orizzontale all’altezza di $E$: la zona permessa è dove la curva sta sotto la retta, e la distanza verticale tra retta e curva è l’energia cinetica in quel punto.

Punti di inversione e moto legato

Dove la curva incontra la retta, in $x_1$ e $x_2$, si ha $U = E$: l’energia cinetica è zero e il corpo si ferma per un istante. La forza, però, non è nulla e lo rimanda verso la buca: sono i punti di inversione, come il punto più alto di una pallina lanciata verso l’alto.

Chiuso tra due punti di inversione, il corpo va avanti e indietro senza mai uscire: il suo moto è legato. Se invece la sua energia supera la cima della collina, la scavalca e può andare lontano: il moto è libero. È lo stesso ragionamento che distingue un satellite in orbita da una sonda che sfugge alla Terra. Attento: a destra della collina la curva torna sotto la retta, ma il corpo nella buca non ci arriverà mai, perché in mezzo c’è un tratto con $U > E$.

Gli equilibri

Dove il grafico ha la tangente orizzontale, $dU/dx = 0$ e la forza è nulla: sono i punti di equilibrio. Il tipo di equilibrio si legge dalla forma della curva:

• in un minimo di $U$, dove $U'' > 0$, l’equilibrio è stabile: se sposti un poco il corpo, la forza lo riporta indietro, come una pallina sul fondo di una ciotola;
• in un massimo di $U$, dove $U'' < 0$, l’equilibrio è instabile: basta una piccola spinta perché il corpo si allontani;
• dove $U$ è costante l’equilibrio è indifferente: il corpo resta fermo dovunque lo metti.

Vicino a un minimo $x_0$ quasi ogni curva somiglia a una parabola:

$$U(x) \approx U(x_0) + \frac{1}{2}\,U''(x_0)\,(x - x_0)^2$$

È l’energia di una molla con costante elastica $k = U''(x_0)$: per questo un corpo spostato di poco da un equilibrio stabile oscilla quasi sempre di moto armonico.

Dalle forze conservative alla conservazione dell’energia

Per il teorema dell’energia cinetica, il lavoro di tutte le forze è uguale alla variazione di energia cinetica. Se le forze sono conservative, lo stesso lavoro è anche $-\Delta U$:

$$\begin{gathered} \Delta E_k = W = -\Delta U \\ \Delta E_k + \Delta U = 0 \end{gathered}$$

L’energia meccanica $E_m = E_k + U$ resta costante: è la conservazione dell’energia meccanica, da cui le forze conservative prendono il nome. Se agiscono anche forze non conservative, il lavoro si divide in quello $W_c$ delle forze conservative e quello $W_{nc}$ delle altre, e solo il primo si scrive come $-\Delta U$:

$$\begin{gathered} W_c + W_{nc} = \Delta E_k \\ W_{nc} = \Delta E_k + \Delta U = \Delta E_m \end{gathered}$$

Con l’attrito e la resistenza dell’aria $W_{nc} < 0$: l’energia meccanica diminuisce e diventa calore. Con un motore $W_{nc}$ può essere positivo.

Un po’ di storia

Il nome «energia potenziale» è più giovane di quanto sembri. Lo introdusse nel 1853 lo scozzese William Rankine, fisico e ingegnere, in un articolo sulle trasformazioni dell’energia. La contrapponeva all’energia «attuale», quella del movimento, che oggi chiamiamo cinetica, e considerava costante la loro somma.

L’idea matematica era più antica. Una funzione della posizione legata in questo modo alla gravità era già usata da Lagrange, Laplace e Poisson, e nel 1828 il matematico britannico George Green, un autodidatta, in un saggio su elettricità e magnetismo le diede il nome di «funzione potenziale».

Gli errori più comuni

• Dimenticare il segno meno. $\Delta U = -W$: un corpo che cade riceve dal peso lavoro positivo e perde energia potenziale.
• Dare un significato al valore di $U$ in un solo punto. Conta solo la differenza; il valore dipende dallo zero scelto, che va tenuto fisso per tutto l’esercizio.
• Inventare un’energia potenziale per l’attrito. Il lavoro delle forze non conservative entra nel bilancio come $W_{nc} = \Delta E_m$.
• Sbagliare il verso della forza leggendo il grafico. Con $F = -dU/dx$ la forza punta verso dove $U$ scende, non dove sale.
• Confondere punti di inversione ed equilibri. In un punto di inversione la velocità è nulla ma la forza no; in un equilibrio la forza è nulla, ma il corpo può passarci in velocità.
• Usare $mgz$ lontano dalla Terra. Vale solo per quote piccole rispetto al raggio terrestre; per satelliti e razzi serve $-GMm/r$.

Esercizi svolti

1. L’attrito su percorsi diversi

Testo. Una cassa di 10 kg viene trascinata su un pavimento orizzontale, con $\mu_d = 0{,}3$. Quanto lavoro compie l’attrito se la cassa viene spostata di 4 m e poi riportata al punto di partenza? E il peso? Per andare da $A$ a $B$, distanti 5 m, quanto lavoro compie l’attrito lungo la strada dritta e quanto lungo i due cateti, di 3 m e 4 m, di un triangolo rettangolo?

La normale è uguale al peso, $N = mg = 98{,}1\ \text{N}$, e l’attrito vale $\mu_d N \approx 29{,}4\ \text{N}$. È sempre opposto al moto, quindi compie $-29{,}4\ \text{J}$ per ogni metro, all’andata come al ritorno:

$$\begin{gathered} W_{giro} = -\mu_d\,m\,g \cdot (4 + 4)\ \text{m} \\ {} = -29{,}4 \cdot 8\ \text{J} \approx -235\ \text{J} \end{gathered}$$

Il peso è perpendicolare al pavimento e non compie lavoro. Da $A$ a $B$:

$$\begin{gathered} W_{dritta} = -29{,}4 \cdot 5\ \text{J} \approx -147\ \text{J} \\ W_{cateti} = -29{,}4 \cdot 7\ \text{J} \approx -206\ \text{J} \end{gathered}$$

Stessi estremi, lavori diversi, e su un giro chiuso un lavoro diverso da zero: l’attrito non è conservativo.

2. Il libro e il livello di riferimento

Testo. Un libro di 1 kg è su uno scaffale a 2 m dal pavimento, proprio sopra un tavolo alto 0,8 m. Calcola la sua energia potenziale sullo scaffale e sul tavolo, con lo zero sul pavimento, sul tavolo e sullo scaffale. Se il libro cade sul tavolo, quanto vale la variazione di energia potenziale? Con che velocità arriva, trascurando l’aria?

Con $U = mgz$ e $mg = 9{,}81\ \text{N}$ basta misurare le quote dal livello scelto:

Zero di $U$	Scaffale (J)	Tavolo (J)
Pavimento	19,6	7,85
Tavolo	11,8	0
Scaffale	0	−11,8

I valori cambiano, ma la variazione è sempre la stessa:

$$\Delta U = U_{tavolo} - U_{scaffale} \approx -11{,}8\ \text{J}$$

Il peso compie un lavoro di $+11{,}8\ \text{J}$, che diventa energia cinetica. Con un dislivello $h = 1{,}2\ \text{m}$:

$$\begin{gathered} v = \sqrt{2\,g\,h} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 1{,}2}\ \text{m/s} \\ v \approx 4{,}85\ \text{m/s} \end{gathered}$$

La scelta dello zero è solo una questione di comodità: lavoro e velocità non cambiano.

3. Una forza che non è conservativa

Testo. Nel piano $xy$ agisce la forza $\vec{F} = b\,y\,\hat{x}$, con $b = 2\ \text{N/m}$. Calcola il suo lavoro dall’origine $O$ al punto $P = (3\ \text{m};\ 2\ \text{m})$ lungo due percorsi: (a) prima lungo l’asse $x$ fino a $(3;\ 0)$, poi in verticale fino a $P$; (b) prima in verticale fino a $(0;\ 2)$, poi in orizzontale fino a $P$. La forza è conservativa?

La forza è orizzontale, quindi nei tratti verticali non compie lavoro. Nei tratti orizzontali $y$ è costante, e con lei la forza: il lavoro è forza per spostamento.

• Percorso (a): lungo l’asse $x$ si ha $y = 0$ e la forza è nulla. Lavoro totale: 0 J.
• Percorso (b): a $y = 2\ \text{m}$ la forza vale $F_x = 2 \cdot 2 = 4\ \text{N}$, per 3 m.

$$W_b = F_x\,\Delta x = 4\ \text{N} \cdot 3\ \text{m} = 12\ \text{J}$$

Stessi estremi, lavori diversi: la forza non è conservativa, anche se dipende solo dalla posizione. Andando da $O$ a $P$ lungo (a) e tornando lungo (b) si fa un giro chiuso con lavoro $0 - 12 = -12\ \text{J}$. Lo conferma il test delle derivate incrociate: $\partial F_x/\partial y = b = 2\ \text{N/m}$, mentre $\partial F_y/\partial x = 0$, perché $F_y$ è sempre zero.

4. Dall’energia potenziale alla forza

Testo. Un corpo si muove lungo l’asse $x$ con energia potenziale $U(x) = 2x^3 - 6x$, con $U$ in joule e $x$ in metri. Trova la forza, i punti di equilibrio e il loro tipo. Quanto vale la forza in $x = 0$ e in $x = 2\ \text{m}$?

Derivando:

$$\begin{gathered} F = -\frac{dU}{dx} = -(6x^2 - 6) \\ F = 6 - 6x^2 \end{gathered}$$

con $F$ in newton. La forza si annulla dove $6x^2 = 6$, cioè in $x = 1\ \text{m}$ e $x = -1\ \text{m}$. Per il tipo di equilibrio guardiamo la derivata seconda, $U''(x) = 12x$:

• in $x = 1\ \text{m}$, $U'' = 12 > 0$: è un minimo, con $U = -4\ \text{J}$, cioè un equilibrio stabile;
• in $x = -1\ \text{m}$, $U'' = -12 < 0$: è un massimo, con $U = 4\ \text{J}$, cioè un equilibrio instabile.

In $x = 0$ la forza vale $+6\ \text{N}$ e spinge verso destra; in $x = 2\ \text{m}$ vale $6 - 24 = -18\ \text{N}$ e spinge verso sinistra. Da entrambi i lati la forza riporta il corpo verso il fondo della buca, come deve succedere attorno a un equilibrio stabile.

5. Punti di inversione e moto legato

Testo. Con l’energia potenziale dell’esercizio 4, un corpo di 0,5 kg viene lasciato fermo in $x = 0$. Tra quali punti si muove? Che velocità ha quando passa per $x = 1\ \text{m}$? Qual è la massima energia meccanica per cui resta intrappolato nella buca? Qual è il periodo delle piccole oscillazioni attorno al minimo?

Partendo da fermo, l’energia meccanica è tutta potenziale: $E = U(0) = 0$. I punti di inversione sono dove $U = E$:

$$\begin{gathered} 2x^3 - 6x = 0 \\ x\,(2x^2 - 6) = 0 \end{gathered}$$

cioè $x = 0$ e $x = \pm\sqrt{3}\ \text{m} \approx \pm 1{,}73\ \text{m}$. Il corpo oscilla tra $x = 0$ e $x \approx 1{,}73\ \text{m}$. Il punto $x \approx -1{,}73\ \text{m}$ non conta: per arrivarci dovrebbe superare la collina in $x = -1\ \text{m}$, dove $U = 4\ \text{J}$ è maggiore di $E$.

Nel minimo l’energia cinetica è la distanza tra la retta $E$ e la curva:

$$\begin{gathered} E_k = E - U(1) = 0 - (-4) = 4\ \text{J} \\ v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 4}{0{,}5}}\ \text{m/s} \\ v = 4\ \text{m/s} \end{gathered}$$

Il corpo resta nella buca finché non può scavalcare la collina in $x = -1\ \text{m}$, cioè finché $E < 4\ \text{J}$: con più energia scapperebbe verso sinistra, dove $U$ scende senza fine. A destra, invece, $U$ sale sempre e il corpo torna indietro.

Per le piccole oscillazioni la costante elastica efficace è $k = U''(1) = 12\ \text{N/m}$:

$$\begin{gathered} T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}5}{12}}\ \text{s} \\ T \approx 1{,}28\ \text{s} \end{gathered}$$

6. Una palla lanciata in alto con l’aria

Testo. Una palla di 150 g viene lanciata verticalmente verso l’alto a 20 m/s. A causa della resistenza dell’aria sale solo fino a 17,6 m e torna nella mano a 17,4 m/s. Quanto lavoro compie l’aria in salita, in discesa e nell’intero viaggio? Fin dove salirebbe senza aria?

Con lo zero dell’energia potenziale all’altezza della mano, calcoliamo l’energia meccanica al lancio ($A$), nel punto più alto ($B$), dove la velocità è zero, e al ritorno ($C$):

$$\begin{gathered} E_A = \tfrac{1}{2} \cdot 0{,}15 \cdot 20^2\ \text{J} = 30\ \text{J} \\ E_B = 0{,}15 \cdot 9{,}81 \cdot 17{,}6\ \text{J} \approx 25{,}9\ \text{J} \\ E_C = \tfrac{1}{2} \cdot 0{,}15 \cdot 17{,}4^2\ \text{J} \approx 22{,}7\ \text{J} \end{gathered}$$

Il lavoro dell’aria è la variazione dell’energia meccanica, $W_{nc} = \Delta E_m$:

$$\begin{gathered} W_{salita} = 25{,}9 - 30 \approx -4{,}1\ \text{J} \\ W_{discesa} = 22{,}7 - 25{,}9 \approx -3{,}2\ \text{J} \\ W_{totale} = 22{,}7 - 30 \approx -7{,}3\ \text{J} \end{gathered}$$

Senza aria la palla salirebbe fino a $h = v_0^2/(2g) = 400/19{,}62 \approx 20{,}4\ \text{m}$.

L’aria compie lavoro negativo sia in salita sia in discesa, quindi sul giro chiuso dalla mano alla mano il suo lavoro non è zero, mentre quello del peso lo è. In salita frena di più perché, a ogni quota, la palla sale più veloce di quanto poi scende.

Altri problemi su questi temi li trovi negli esercizi svolti su lavoro ed energia.

In sintesi

• Una forza è conservativa se il suo lavoro non dipende dal percorso, cioè se è nullo su ogni percorso chiuso: $\oint \vec{F} \cdot d\vec{s} = 0$.
• Sono conservative il peso, le forze costanti, la forza elastica e le forze centrali che dipendono solo dalla distanza, come la gravità; non lo sono l’attrito, la resistenza dell’aria e le forze dei motori.
• Energia potenziale: $W_{A \to B} = U_A - U_B$, cioè $\Delta U = -W$. Lo zero si sceglie a piacere.
• Formule: $U = mgz$, $U = \frac{1}{2}kx^2$, $U = -GMm/r$.
• Dall’energia potenziale alla forza: $F = -dU/dx$, in tre dimensioni $\vec{F} = -\nabla U$.
• Nel diagramma dell’energia il corpo sta dove $U \le E$, si inverte dove $U = E$; i minimi di $U$ sono equilibri stabili, i massimi instabili.
• Con forze non conservative: $W_{nc} = \Delta E_m$.

Mettendo insieme energia cinetica ed energia potenziale si arriva al principio più usato negli esercizi: la conservazione dell’energia meccanica.