Forza di attrito statico e dinamico: formule, coefficienti ed esercizi svolti

Se spingi un libro sul tavolo, rallenta e si ferma. Se provi a spostare un armadio, all’inizio non si muove affatto. Responsabile di entrambi i fenomeni è la forza di attrito, che compare in quasi tutti gli esercizi di dinamica. In questa pagina vediamo le due forme di attrito radente, statico e dinamico, le loro formule, il grafico di cosa succede quando spingi una cassa, i coefficienti tipici e come misurarli, il caso della forza obliqua, la camminata, la frenata con e senza ABS, un cenno all’attrito volvente e a quello viscoso, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

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Se invece preferisci leggere, ecco tutto ciò che devi sapere.

Da dove nasce l’attrito

Anche le superfici che sembrano lisce, viste al microscopio, sono piene di irregolarità. Quando due superfici sono a contatto si toccano davvero solo nelle punte di queste asperità, che si incastrano e formano piccoli legami tra le molecole. Il risultato è una forza che si oppone allo scorrimento di una superficie sull’altra: l’attrito radente.

Dal punto di vista della dinamica, l’attrito è la componente della reazione vincolare parallela alla superficie di contatto. La componente perpendicolare è la reazione normale $N$. Più il corpo è premuto contro la superficie, più grande è l’attrito: per questo le formule dell’attrito contengono $N$.

L’attrito dinamico

Quando un corpo scivola su una superficie agisce l’attrito dinamico, diretto in verso opposto alla velocità relativa tra le superfici. Il suo modulo è:

$$F_d = \mu_d\,N$$

dove $\mu_d$ è il coefficiente di attrito dinamico, un numero puro (senza unità di misura) che dipende dai materiali a contatto. In prima approssimazione l’attrito dinamico non dipende né dalla velocità né dall’area di contatto: finché il corpo scivola, il suo valore è fisso.

L’attrito statico

Quando un corpo è fermo rispetto alla superficie e una forza tende a farlo scivolare, agisce l’attrito statico, che si oppone alla tendenza al moto. La sua formula è una disuguaglianza:

$$F_s \le \mu_s\,N$$

dove $\mu_s$ è il coefficiente di attrito statico. L’attrito statico, come ogni reazione vincolare, non ha un valore fisso: assume il valore necessario a tenere fermo il corpo, fino a un valore massimo $\mu_s N$. È come una persona che ti trattiene: se tiri piano, trattiene piano; se tiri forte, trattiene forte; ma oltre un certo limite non ce la fa più e ti lascia andare.

Cosa succede spingendo una cassa

Immagina di spingere una cassa con una forza orizzontale $F$ che aumenta piano piano:

1. finché $F \le \mu_s N$ la cassa resta ferma e l’attrito statico è uguale a $F$: cresce insieme alla spinta;
2. quando $F$ supera $\mu_s N$ la cassa si stacca e inizia a scivolare;
3. da quel momento agisce l’attrito dinamico $\mu_d N$, che di solito è minore del massimo statico e non cresce più, anche se spingi più forte.

Il grafico qui sotto riassume i tre passaggi: una retta che sale finché la cassa è ferma, un piccolo salto verso il basso nel momento in cui si stacca, poi un tratto orizzontale.

Per questo è più facile mantenere in moto una cassa che metterla in moto: una volta partita, se continui a spingere con la stessa forza, la differenza tra la tua spinta e l’attrito dinamico la fa accelerare, secondo il secondo principio della dinamica. Se invece vuoi che vada a velocità costante, ti basta spingere con una forza uguale a $\mu_d N$: la risultante è zero e la cassa è in equilibrio dinamico.

Le leggi dell’attrito: un po’ di storia

Le regole che abbiamo visto sono leggi empiriche: non derivano da un principio generale, ma da misure. Il primo a scriverle fu Leonardo da Vinci: in un taccuino del 1493, oggi al Victoria and Albert Museum di Londra, disegnò blocchi trascinati con una corda e annotò che raddoppiando il peso raddoppia anche lo sforzo per trascinarli. I suoi appunti però rimasero sconosciuti per secoli.

Nel 1699 il francese Guillaume Amontons riscoprì le stesse regole in modo indipendente: l’attrito è proporzionale alla forza che preme le superfici e non dipende dall’area di contatto apparente. Circa ottant’anni dopo, nel 1781, Charles-Augustin de Coulomb le verificò con molti esperimenti e osservò che l’attrito durante lo scorrimento dipende poco dalla velocità. Per questo il modello che usiamo in Fisica 1 è spesso chiamato attrito coulombiano.

Perché l’area non conta? Perché le superfici si toccano davvero solo nelle punte delle asperità, e l’area di contatto reale è una piccola frazione di quella apparente. Se premi più forte, le punte si schiacciano e l’area reale cresce in proporzione alla forza; se invece appoggi la stessa cassa su una faccia più grande, la stessa forza si distribuisce su più punte, ognuna meno schiacciata, e l’area reale resta circa la stessa.

Coefficienti di attrito tipici

I valori dipendono molto dalle condizioni delle superfici (pulizia, umidità, lavorazione): quelli qui sotto sono solo indicativi.

Superfici a contatto	$\mu_s$	$\mu_d$
Gomma su asfalto asciutto	1,0	0,8
Gomma su asfalto bagnato	0,6	0,5
Legno su legno	0,5	0,3
Acciaio su acciaio	0,7	0,6
Acciaio su ghiaccio	0,03	0,02

Il coefficiente non ha un limite superiore: per la gomma su superfici asciutte e pulite può anche superare 1. Vuol dire solo che la forza di attrito massima è più grande della forza normale, cosa del tutto possibile.

Come misurare il coefficiente di attrito statico

C’è un modo semplicissimo, che puoi provare con un libro e una cartellina. Appoggia l’oggetto su un piano e inclinalo piano piano. Sul piano inclinato la componente del peso lungo il piano, $mg\sin\theta$, tende a farlo scivolare, mentre la normale vale $mg\cos\theta$. L’oggetto parte quando la spinta lungo il piano raggiunge il massimo attrito statico:

$$\begin{gathered} mg\sin\theta = \mu_s\,mg\cos\theta \\ \mu_s = \tan\theta \end{gathered}$$

L’angolo a cui l’oggetto inizia a scivolare si chiama angolo di attrito e non dipende né dalla massa né da $g$. Con $\mu_s = 0{,}5$ (legno su legno) l’angolo è circa 27°; con $\mu_s = 1$ è 45°.

Quando la normale non è uguale al peso

Nelle formule dell’attrito c’è $N$, non $mg$. Le due cose coincidono solo per un corpo appoggiato su un piano orizzontale e spinto in orizzontale. Se invece tiri una cassa con una corda inclinata di un angolo $\alpha$ verso l’alto, la componente verticale della tiratura, $F\sin\alpha$, solleva un po’ la cassa e la normale diminuisce:

$$N = mg - F\sin\alpha$$

Se invece spingi verso il basso, per esempio con un carrello tenuto dall’alto, la componente verticale schiaccia la cassa contro il pavimento e la normale aumenta, $N = mg + F\sin\alpha$. Meno normale significa meno attrito: per questo trascinare con una corda tirata verso l’alto è più comodo che spingere verso il basso (lo calcoliamo nell’esercizio 4). Sul piano inclinato, come abbiamo visto, $N = mg\cos\theta$.

L’attrito non sempre frena

L’attrito si oppone al moto relativo tra le superfici, ma non è sempre opposto al moto del corpo. Quando cammini, il piede spinge il suolo all’indietro e, per il terzo principio, il suolo spinge il piede in avanti: questa spinta è l’attrito statico, ed è proprio la forza che ti fa camminare. È statico perché il piede appoggiato non scivola sul suolo.

Lo stesso vale per le ruote di un’auto che accelera: le ruote motrici spingono l’asfalto all’indietro e l’attrito statico spinge l’auto in avanti. Sul ghiaccio, dove l’attrito è piccolissimo, camminare e partire diventano difficili proprio perché manca questa spinta. Ed è sempre l’attrito statico a fornire la forza centripeta a un’auto in curva.

La frenata: ruote bloccate o ABS

Quando un’auto frena con le ruote bloccate, le gomme strisciano sull’asfalto e agisce l’attrito dinamico. Se è l’unica forza orizzontale, la decelerazione vale $\mu_d g$ e, per la formula del moto uniformemente accelerato, lo spazio di frenata è:

$$d = \frac{v_0^2}{2\,\mu_d\,g}$$

Due cose da notare: la massa non compare, quindi un’auto pesante e una leggera, con le stesse gomme, frenano nello stesso spazio; e lo spazio cresce con il quadrato della velocità, quindi raddoppiando la velocità lo spazio quadruplica.

L’ABS evita che le ruote si blocchino: le fa continuare a girare mentre frenano. Nel modello semplice di Fisica 1, una ruota che gira senza strisciare ha il punto di contatto fermo rispetto all’asfalto, quindi agisce l’attrito statico, che può arrivare a $\mu_s N$, più di $\mu_d N$. In pratica il comportamento delle gomme è più complicato, ma l’idea di fondo regge, e soprattutto con le ruote che girano si può ancora sterzare, mentre con le ruote bloccate l’auto va dritta.

Attrito volvente e attrito viscoso

L’attrito radente non è l’unico. Quando una ruota o una sfera rotola senza strisciare, la piccola deformazione della ruota e del suolo nel punto di contatto produce una resistenza al rotolamento, l’attrito volvente. È molto più piccolo di quello radente: per uno pneumatico d’auto su asfalto il coefficiente è dell’ordine di 0,01, per una ruota di treno sulla rotaia ancora meno. È per questo che la ruota è stata un’invenzione così utile.

Quando invece un corpo si muove in un fluido, come aria o acqua, subisce un attrito viscoso, che a differenza di quello radente dipende dalla velocità: a basse velocità è proporzionale a $v$, a velocità più alte cresce circa come $v^2$. Il caso proporzionale a $v$ è quello dell’oscillatore smorzato da una forza viscosa.

Gli errori più comuni

• Scrivere sempre $F_s = \mu_s N$. L’attrito statico vale $\mu_s N$ solo quando il corpo è sul punto di scivolare; negli altri casi vale quanto serve per l’equilibrio.
• Mettere $N = mg$ in ogni esercizio. Sul piano inclinato $N = mg\cos\theta$; con una forza obliqua la normale aumenta o diminuisce.
• Usare $\mu_s$ quando il corpo scivola. Se il corpo si muove rispetto alla superficie, l’attrito è dinamico.
• Usare $\mu_d$ per un corpo che rotola o per una ruota che non slitta. Il punto di contatto è fermo: l’attrito, se c’è, è statico.
• Disegnare l’attrito sempre contro il moto del corpo. Va contro il moto relativo, o la tendenza al moto, tra le superfici; quando cammini è in avanti.
• Pensare che l’attrito dipenda dall’area di contatto. Nel modello di Fisica 1 non dipende né dall’area né dalla velocità.
• Dare un’unità di misura al coefficiente. $\mu$ è un rapporto tra due forze, quindi è un numero puro.

Esercizi svolti

1. Mettere in moto una cassa

Testo. Una cassa di massa $m = 10\ \text{kg}$ è ferma su un pavimento orizzontale, con $\mu_s = 0{,}5$ e $\mu_d = 0{,}4$. Qual è la forza minima per metterla in moto? Se poi la spingi con $F = 60\ \text{N}$, con che accelerazione si muove? E se la spingi con 30 N?

Sul piano orizzontale $N = mg = 98{,}1\ \text{N}$. La forza minima per farla partire è il massimo attrito statico:

$$F_{min} = \mu_s\,N = 0{,}5 \cdot 98{,}1\ \text{N} \approx 49{,}1\ \text{N}$$

Con $F = 60\ \text{N}$ la cassa scivola e agisce l’attrito dinamico, $F_d = 0{,}4 \cdot 98{,}1\ \text{N} \approx 39{,}2\ \text{N}$. Per il secondo principio:

$$\begin{gathered} a = \frac{F - F_d}{m} = \frac{60 - 39{,}2}{10}\ \text{m/s}^2 \\ a \approx 2{,}08\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$

Con 30 N, invece, la spinta è minore di 49,1 N: la cassa resta ferma e l’attrito statico vale esattamente 30 N, non 49,1 N.

2. Lo spazio di frenata di un’auto

Testo. Un’auto viaggia a $v_0 = 20\ \text{m/s}$ (72 km/h) e frena bloccando le ruote. Il coefficiente di attrito dinamico tra gomme e asfalto è $\mu_d = 0{,}7$. Quanto spazio percorre prima di fermarsi? E se l’ABS permette di sfruttare l’attrito statico, con $\mu_s = 0{,}9$?

L’unica forza orizzontale è l’attrito, $\mu_d\,m\,g$, quindi la decelerazione è:

$$a = -\frac{\mu_d\,m\,g}{m} = -\mu_d\,g \approx -6{,}87\ \text{m/s}^2$$

La massa si semplifica: lo spazio di frenata non dipende dalla massa dell’auto. Con la formula senza tempo del moto uniformemente accelerato:

$$d = \frac{v_0^2}{2\,\mu_d\,g} = \frac{(20\ \text{m/s})^2}{2 \cdot 6{,}87\ \text{m/s}^2} \approx 29{,}1\ \text{m}$$

Con $\mu_s = 0{,}9$ al posto di $\mu_d$ la decelerazione massima sale a circa 8,83 m/s² e lo spazio scende a circa 22,7 m, più di sei metri in meno. Lo stesso risultato si ottiene con il teorema dell’energia cinetica: il lavoro dell’attrito, $-\mu\,m\,g\,d$, deve annullare l’energia cinetica iniziale $\tfrac{1}{2}mv_0^2$.

3. Misurare i coefficienti con un piano inclinato

Testo. Un libro è appoggiato su una tavola che viene inclinata lentamente. Il libro inizia a scivolare quando l’inclinazione è 22°. Da quel momento la tavola viene tenuta ferma e il libro, partito da fermo, percorre 1 m in 1,2 s. Trova $\mu_s$ e $\mu_d$.

Il libro parte all’angolo di attrito, quindi:

$$\mu_s = \tan 22^\circ \approx 0{,}40$$

Durante la discesa il moto è uniformemente accelerato da fermo, $d = \tfrac{1}{2}at^2$:

$$a = \frac{2d}{t^2} = \frac{2 \cdot 1\ \text{m}}{(1{,}2\ \text{s})^2} \approx 1{,}39\ \text{m/s}^2$$

Lungo il piano agiscono la componente del peso e l’attrito dinamico, $ma = mg\sin\theta - \mu_d\,mg\cos\theta$. Ricavando $\mu_d$:

$$\begin{gathered} \mu_d = \frac{g\sin\theta - a}{g\cos\theta} \\ {} = \frac{9{,}81 \cdot 0{,}375 - 1{,}39}{9{,}81 \cdot 0{,}927} \approx 0{,}25 \end{gathered}$$

Come previsto, $\mu_d$ è minore di $\mu_s$.

4. Tirare una cassa con una corda inclinata

Testo. Una cassa di 20 kg viene trascinata a velocità costante su un pavimento con $\mu_d = 0{,}4$. Quanta forza serve tirando in orizzontale? E tirando con una corda inclinata di 30° verso l’alto? E spingendo con la stessa inclinazione verso il basso?

A velocità costante la risultante è zero. In orizzontale $N = mg = 196{,}2\ \text{N}$ e la forza è uguale all’attrito:

$$F = \mu_d\,mg = 0{,}4 \cdot 196{,}2\ \text{N} \approx 78{,}5\ \text{N}$$

Con la corda a 30° verso l’alto, la normale è $N = mg - F\sin\alpha$ e lungo l’orizzontale $F\cos\alpha = \mu_d N$. Mettendo insieme:

$$\begin{gathered} F\cos\alpha = \mu_d\,(mg - F\sin\alpha) \\ F = \frac{\mu_d\,mg}{\cos\alpha + \mu_d\sin\alpha} \\ {} = \frac{78{,}5\ \text{N}}{0{,}866 + 0{,}2} \approx 73{,}6\ \text{N} \end{gathered}$$

Spingendo verso il basso con lo stesso angolo il segno cambia, perché la normale cresce:

$$\begin{gathered} F = \frac{\mu_d\,mg}{\cos\alpha - \mu_d\sin\alpha} \\ {} = \frac{78{,}5\ \text{N}}{0{,}866 - 0{,}2} \approx 118\ \text{N} \end{gathered}$$

Tirando verso l’alto si risparmiano circa 5 N rispetto all’orizzontale; spingendo verso il basso ne servono quasi 40 in più.

5. Una cassa sul cassone di un camion

Testo. Una cassa è appoggiata sul cassone di un camion, con $\mu_s = 0{,}4$ e $\mu_d = 0{,}3$. Qual è la massima accelerazione del camion perché la cassa non scivoli? Se il camion accelera a 5 m/s², che accelerazione ha la cassa?

Per accelerare insieme al camion, la cassa ha bisogno di una forza in avanti, e l’unica disponibile è l’attrito statico del cassone: è un altro caso in cui l’attrito spinge invece di frenare. Deve valere $ma \le \mu_s\,mg$, quindi:

$$\begin{gathered} a_{max} = \mu_s\,g = 0{,}4 \cdot 9{,}81\ \text{m/s}^2 \\ a_{max} \approx 3{,}92\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$

A 5 m/s² la cassa scivola, e l’attrito diventa dinamico, sempre in avanti perché la cassa scivola all’indietro rispetto al cassone:

$$\begin{gathered} a_{cassa} = \mu_d\,g = 0{,}3 \cdot 9{,}81\ \text{m/s}^2 \\ a_{cassa} \approx 2{,}94\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$

Rispetto al terreno la cassa accelera in avanti, ma meno del camion: rispetto al cassone scivola all’indietro con un’accelerazione di circa $5 - 2{,}94 \approx 2{,}06\ \text{m/s}^2$.

6. Blocco sul tavolo e massa appesa

Testo. Un blocco di 4 kg è appoggiato su un tavolo orizzontale ed è collegato, con un filo che passa su una carrucola ideale sul bordo del tavolo, a una massa di 2 kg che pende nel vuoto. I coefficienti tra blocco e tavolo sono $\mu_s = 0{,}3$ e $\mu_d = 0{,}25$. Il sistema, lasciato fermo, si muove? Con che accelerazione, e quanto vale la tensione del filo?

Prima di tutto bisogna controllare se l’attrito statico riesce a tenere fermo il sistema. Il peso della massa appesa vale $m_2 g = 19{,}6\ \text{N}$, mentre l’attrito statico massimo sul blocco è $\mu_s\,m_1 g = 0{,}3 \cdot 4 \cdot 9{,}81\ \text{N} \approx 11{,}8\ \text{N}$. Il peso vince, quindi il sistema si muove.

Durante il moto sul blocco agisce l’attrito dinamico, $\mu_d\,m_1 g \approx 9{,}81\ \text{N}$. Considerando i due corpi insieme, che hanno la stessa accelerazione:

$$\begin{gathered} a = \frac{m_2 g - \mu_d\,m_1 g}{m_1 + m_2} \\ {} = \frac{19{,}6 - 9{,}81}{6}\ \text{m/s}^2 \approx 1{,}64\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$

Per la massa appesa, $m_2 a = m_2 g - T$, quindi:

$$\begin{gathered} T = m_2\,(g - a) = 2 \cdot (9{,}81 - 1{,}64)\ \text{N} \\ T \approx 16{,}3\ \text{N} \end{gathered}$$

La tensione è minore del peso della massa appesa: se fosse uguale, la massa non scenderebbe. Il ruolo del filo è spiegato nell’articolo sulla tensione dei fili, e altri problemi con l’attrito li trovi negli esercizi svolti di dinamica.

In sintesi

• L’attrito radente è la componente della reazione vincolare parallela alla superficie e dipende dalla normale $N$, che non sempre è uguale al peso.
• Attrito dinamico (corpo che scivola): $F_d = \mu_d N$, opposto alla velocità relativa, indipendente dalla velocità e dall’area.
• Attrito statico (corpo fermo): $F_s \le \mu_s N$, vale quanto serve per impedire lo scivolamento, fino al massimo $\mu_s N$.
• Di solito $\mu_d < \mu_s$: è più facile mantenere in moto che mettere in moto.
• Su un piano inclinato un corpo inizia a scivolare quando $\tan\theta = \mu_s$.
• L’attrito si oppone al moto relativo, ma può essere la forza che spinge in avanti, come quando cammini o acceleri in auto.
• Spazio di frenata: $d = v_0^2/(2\mu g)$, indipendente dalla massa e proporzionale al quadrato della velocità.

L’attrito diventa protagonista nel problema più classico di Fisica 1: il piano inclinato.