Lavoro della forza peso e della forza elastica: formule, segni ed esercizi svolti

Quando sali le scale con le borse della spesa, scendi da uno scivolo o carichi la molla di una pistola giocattolo, ci sono due forze che compiono lavoro: la forza peso e la forza elastica. Compaiono in quasi tutti gli esercizi di lavoro ed energia, e il loro lavoro si calcola una volta per tutte. Il risultato ha una proprietà sorprendente: non dipende dal percorso, ma solo dal punto di partenza e da quello di arrivo. È la porta d’ingresso alle forze conservative e all’energia potenziale. In questa pagina vediamo il lavoro della forza peso e il suo segno, perché scala, rampa e scivolo danno lo stesso risultato, i corpi estesi, quando vale $mgh$, il lavoro della forza elastica con l’integrale e come area sotto il grafico, perché allungare e rilasciare una molla danno segni opposti, il legame con l’energia potenziale e con il teorema dell’energia cinetica, un po’ di storia, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Il lavoro di una forza in due righe

Ripassiamo la definizione di lavoro. Se una forza costante agisce su un corpo che si sposta in linea retta di un tratto $d$:

$$W = F\,d\cos\theta$$

dove $\theta$ è l’angolo tra la forza e lo spostamento. Il lavoro è positivo se la forza “aiuta” il moto, negativo se lo ostacola, nullo se è perpendicolare allo spostamento. Si misura in joule, $1\ \text{J} = 1\ \text{N·m}$.

Se la forza cambia o il percorso è curvo, si divide il cammino in tanti pezzetti $d\vec{s}$ e si sommano i lavori con un integrale:

$$W_{A \to B} = \int_A^B \vec{F} \cdot d\vec{s}$$

Per il peso e per la molla questo integrale si calcola in poche righe, e il risultato vale per qualsiasi percorso.

Il lavoro della forza peso

Prendiamo un asse $z$ verticale verso l’alto. Vicino alla superficie terrestre la forza peso è $\vec{P} = -m\,g\,\hat{u}_z$: è verticale, diretta verso il basso e costante. Un corpo va da un punto $A$ alla quota $z_A$ a un punto $B$ alla quota $z_B$, lungo un percorso qualsiasi.

Il pezzetto di spostamento $d\vec{s}$ ha componenti $dx$, $dy$ e $dz$, ma nel prodotto scalare con il peso sopravvive solo $dz$:

$$\begin{gathered} W = \int_A^B \vec{P} \cdot d\vec{s} \\ {} = \int_{z_A}^{z_B} (-m\,g)\,dz \\ {} = -m\,g\,(z_B - z_A) \end{gathered}$$

Ponendo $h = z_A - z_B$, il dislivello, positivo se il corpo scende:

$$W_P = m\,g\,(z_A - z_B) = m\,g\,h$$

con $m$ in kg, $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$ e le quote in metri.

Salire e scendere: il segno del lavoro

• Se il corpo scende, il lavoro del peso è positivo: il peso favorisce il moto.
• Se il corpo sale, il lavoro del peso è negativo: il peso si oppone alla salita.
• Se il corpo si muove in orizzontale, o torna alla stessa quota, il lavoro è nullo.

Un esempio: porti 8 kg di spesa al terzo piano, 9 m più in alto. Il peso delle borse compie $W_P = -8 \cdot 9{,}81 \cdot 9\ \text{J} \approx -706\ \text{J}$. Se poi le riporti giù fino al portone, il peso compie $+706\ \text{J}$.

Non conta il percorso: scala, rampa e scivolo

Il risultato dipende solo dalle quote iniziale e finale. Vediamolo su due percorsi diversi che partono dalla stessa terrazza, alta $h$, e arrivano a terra.

Lungo la rampa, inclinata di $\alpha$, la componente del peso parallela alla rampa è $mg\sin\alpha$; quella perpendicolare non compie lavoro. La rampa è lunga $L = h/\sin\alpha$, quindi:

$$W_P = m\,g\sin\alpha \cdot \frac{h}{\sin\alpha} = m\,g\,h$$

Più la rampa è dolce, più la forza che “tira giù” è piccola, ma più il tratto è lungo: le due cose si compensano esattamente, come sul piano inclinato.

Lungo la scala, sulle pedate orizzontali il peso è perpendicolare allo spostamento e non compie lavoro; sulle alzate verticali compie $mg$ per l’altezza del gradino. La somma delle alzate è proprio $h$.

Lungo uno scivolo curvo si ragiona allo stesso modo: lo si immagina come tanti piccoli tratti di rampa, ognuno con il suo piccolo dislivello, e la somma dei dislivelli è $h$. È esattamente quello che fa l’integrale.

Andata e ritorno, e le altre forze

Se il corpo torna al punto di partenza, il lavoro totale del peso è zero. Lancia una palla in alto e riprendila alla stessa altezza: in salita il peso compie un lavoro negativo, in discesa uno positivo dello stesso valore.

Un altro dettaglio utile: il lavoro del peso è $mgh$ qualunque cosa facciano le altre forze. Che il corpo cada liberamente, scivoli con attrito o venga calato con una corda, e a qualsiasi velocità, il peso compie sempre lo stesso lavoro. Quello che cambia è il lavoro delle altre forze, come l’attrito, che invece dipende dal percorso.

I corpi estesi: conta il centro di massa

Se il corpo è esteso, come una fune o un palo, ogni sua parte di massa $m_i$ sale o scende di un tratto diverso $\Delta z_i$. Sommando i lavori di tutte le parti:

$$\begin{gathered} W_P = -g \sum_i m_i\,\Delta z_i \\ {} = -M\,g\,\Delta z_{cm} \end{gathered}$$

dove $M$ è la massa totale e $\Delta z_{cm}$ lo spostamento verticale del centro di massa. Per sollevare un palo di 10 kg lungo 2 m da sdraiato a dritto, per esempio, il centro di massa sale di 1 m e il lavoro del peso è $-10 \cdot 9{,}81 \cdot 1\ \text{J} \approx -98{,}1\ \text{J}$. Lo vediamo con una fune nell’esercizio 5.

Quando vale la formula mgh

La formula $W_P = mgh$ suppone che il peso sia costante. È vero vicino alla superficie terrestre, per dislivelli $h \ll R_T$, dove $R_T \approx 6371\ \text{km}$ è il raggio della Terra: anche a 10 km di quota, dove volano gli aerei di linea, $g$ è più piccola di appena lo 0,3%. Per satelliti e razzi, invece, si usa la legge di gravitazione universale e l’energia potenziale gravitazionale.

Il lavoro della forza elastica

Una molla di costante $k$ esercita sull’estremo libero la forza elastica, data dalla legge di Hooke:

$$F = -k\,x$$

dove $x$ è la deformazione misurata dalla posizione di riposo: positiva se la molla è allungata, negativa se è compressa. Il segno meno dice che la forza punta sempre verso la posizione di riposo; $k$ si misura in N/m.

La forza non è costante, quindi non basta “forza per spostamento”: serve l’integrale. Quando la deformazione passa da $x_A$ a $x_B$:

$$\begin{gathered} W = \int_{x_A}^{x_B} (-k\,x)\,dx \\ {} = -k\left[\frac{x^2}{2}\right]_{x_A}^{x_B} \\ {} = \frac{1}{2}\,k\,x_A^2 - \frac{1}{2}\,k\,x_B^2 \end{gathered}$$

Anche qui conta solo la deformazione iniziale e quella finale. Se la molla parte da riposo e viene deformata di $x$:

$$W_{el} = -\frac{1}{2}\,k\,x^2$$

Il lavoro come area sotto il grafico

Il modulo della forza elastica, $|F| = kx$, è una retta che passa per l’origine, e il lavoro è l’area sotto la retta, con il segno giusto.

Da 0 a $x$ l’area è un triangolo di base $x$ e altezza $kx$, cioè $\frac{1}{2}kx^2$. Il fattore $\frac{1}{2}$ nasce proprio da qui: la forza parte da zero e cresce in modo lineare. Da $x_1$ a $x_2$ l’area è un trapezio, con basi $kx_1$ e $kx_2$ e altezza $x_2 - x_1$:

$$\begin{gathered} \text{area} = \frac{k\,x_1 + k\,x_2}{2}\,(x_2 - x_1) \\ {} = \frac{1}{2}\,k\,(x_2^2 - x_1^2) \end{gathered}$$

Lo stesso risultato dell’integrale. Il trapezio suggerisce un trucco: con una forza che cresce in modo lineare, il lavoro è la forza media, la media tra il valore iniziale e quello finale, per lo spostamento. Lo usiamo nell’esercizio 3.

Allungare e rilasciare: segni opposti

• Quando allunghi la molla, l’estremo va verso l’esterno e la forza elastica lo tira indietro: forza e spostamento sono opposti, il lavoro è negativo.
• Quando la rilasci e torna verso il riposo, la forza ha lo stesso verso del movimento: il lavoro è positivo. La molla restituisce l’energia immagazzinata.
• Per la compressione vale lo stesso, a specchio: nella formula c’è $x^2$, quindi il segno di $x$ non conta.

Con $k = 400\ \text{N/m}$, ecco i numeri:

Deformazione (cm)	Cosa succede	$W_{el}$ (J)
da 0 a +5	allunghi	−0,5
da +5 a 0	rilasci	+0,5
da 0 a −5	comprimi	−0,5
da −5 a +5	passa per il riposo	0

L’ultima riga è curiosa: nella prima metà del tragitto la molla spinge e compie $+0{,}5\ \text{J}$, nella seconda frena e compie $-0{,}5\ \text{J}$.

Ogni centimetro costa più del precedente

Il lavoro cresce con il quadrato della deformazione. Con la stessa molla, il lavoro della forza elastica vale $-0{,}02\ \text{J}$ nel primo centimetro, $-0{,}06\ \text{J}$ nel secondo e $-0{,}10\ \text{J}$ nel terzo: i valori stanno come 1, 3, 5. Raddoppiando la deformazione, il lavoro quadruplica. Per questo le ultime spinte per chiudere una valigia troppo piena sono le più faticose.

Il lavoro della molla e il lavoro della tua mano

Lo stesso vale per il peso: se sollevi lentamente una cassa di un’altezza $h$, tu compi $+mgh$ e il peso $-mgh$. Il lavoro totale è zero, e infatti la velocità della cassa non cambia.

Peso e molla a confronto

	Forza peso	Forza elastica
Forza	costante	cresce con $x$
Grafico	rettangolo	triangolo, trapezio
Lavoro	$mg\,(z_A - z_B)$	$\frac{1}{2}k\,(x_A^2 - x_B^2)$
Dipende da	quote	deformazioni
Positivo se	scende	torna a riposo

Due forze molto diverse, con la stessa proprietà fondamentale: il lavoro è la differenza tra un valore calcolato nel punto di partenza e uno calcolato nel punto di arrivo.

Dal lavoro all’energia potenziale

Proprio per questo, lungo un percorso chiuso il lavoro del peso e della molla è sempre nullo. Le forze con questa proprietà si chiamano conservative, e per ognuna si definisce un’energia potenziale $U$, che dipende solo dalla posizione:

$$W_{A \to B} = U_A - U_B = -\Delta U$$

Confrontando con le nostre formule si legge subito:

$$\begin{gathered} U_{peso} = m\,g\,z \\ U_{el} = \frac{1}{2}\,k\,x^2 \end{gathered}$$

Quando il corpo scende il peso compie lavoro positivo e l’energia potenziale diminuisce; lo stesso succede alla molla che torna a riposo. Ne parliamo per bene nella forza conservativa ed energia potenziale.

L’attrito invece non è conservativo: l’attrito dinamico su una superficie ferma è sempre opposto al moto, quindi il suo lavoro è negativo e cresce con la lunghezza del percorso, e su un percorso chiuso non si annulla.

Come si usano negli esercizi

Il lavoro del peso e della molla entra quasi sempre nel teorema dell’energia cinetica: il lavoro di tutte le forze è uguale alla variazione di energia cinetica.

$$W_P + W_{el} + W_{altre} = \Delta E_k$$

Per il peso e per la molla bastano le quote e le deformazioni all’inizio e alla fine, senza occuparsi della forma del percorso. Una conseguenza bellissima: su due scivoli senza attrito alti $h$, uno dritto e uno curvo, un bambino che parte da fermo arriva in fondo con la stessa velocità, $v = \sqrt{2gh}$, perché la normale non compie lavoro. Non ci mette però lo stesso tempo: la curva di discesa più rapida non è la retta, ed è il famoso problema della brachistocrona.

Quando compiono lavoro solo il peso e la molla, il teorema diventa la conservazione dell’energia meccanica: $E_k + U$ resta costante. Se c’è attrito, il suo lavoro va aggiunto a parte, come nell’esercizio 2.

Un po’ di storia

L’idea che sollevare un peso sia la misura naturale di quanto lavora una macchina è antica. Nel 1637, in una lettera a Constantijn Huygens, padre del più famoso Christiaan, René Descartes, il nostro Cartesio, spiegava le macchine semplici partendo da un principio: la forza che solleva un certo peso di una certa altezza può sollevare un peso doppio di metà altezza. Conta cioè il prodotto peso per dislivello, il nostro $mgh$.

Il significato tecnico della parola “lavoro” si deve al matematico e ingegnere francese Gaspard-Gustave Coriolis, che lo fissò per la parola travail nel libro Du calcul de l’effet des machines, del 1829. Fu sempre Coriolis a chiamare “forza viva” metà del prodotto della massa per il quadrato della velocità: da lì viene il $\frac{1}{2}$ dell’energia cinetica.

La legge della molla è di Robert Hooke, che nel 1676 la pubblicò come anagramma latino, un trucco dell’epoca per rivendicare una scoperta senza svelarla subito. Nel 1678 ne diede la soluzione: ut tensio, sic vis, «come l’allungamento, così la forza».

Gli errori più comuni

• Usare la lunghezza del percorso al posto del dislivello. Su una rampa lunga 30 m e alta 6 m, nella formula del peso va 6 m.
• Sbagliare il segno in salita. Quando il corpo sale il lavoro del peso è negativo; positivo è il lavoro di chi lo solleva.
• Calcolare il lavoro della molla come forza per spostamento. La forza elastica non è costante: $kx \cdot x$ dimentica il fattore $\frac{1}{2}$ e raddoppia il risultato.
• Confondere la differenza dei quadrati con il quadrato della differenza. Da $x_1$ a $x_2$ conta $x_2^2 - x_1^2$, non $(x_2 - x_1)^2$.
• Misurare la deformazione dal punto sbagliato. $x$ si misura dalla lunghezza a riposo, non dalla lunghezza totale della molla né dall’equilibrio con un peso appeso.
• Lasciare i centimetri. Con $k$ in N/m le deformazioni vanno in metri: con 5 al posto di 0,05 il lavoro viene 10 000 volte troppo grande.
• Confondere il lavoro della molla con quello della mano. Se deformi lentamente una molla, i due lavori sono uguali e opposti.
• Usare mgh per grandi altezze. Per satelliti e razzi il peso non è costante.

Esercizi svolti

1. Scala, rampa o ascensore

Testo. Una persona di 70 kg sale al secondo piano, 6,0 m più in alto, in tre modi: con le scale, con una rampa lunga 30 m e con l’ascensore. Quanto vale il lavoro della forza peso nei tre casi? Lungo la rampa, quanto vale la componente del peso parallela alla rampa?

Il lavoro del peso dipende solo dal dislivello, quindi è lo stesso nei tre casi, e negativo perché la persona sale:

$$\begin{gathered} W_P = -m\,g\,h = -70 \cdot 9{,}81 \cdot 6{,}0\ \text{J} \\ W_P \approx -4120\ \text{J} \end{gathered}$$

Lungo la rampa $\sin\alpha = 6{,}0/30 = 0{,}20$, quindi:

$$m\,g\sin\alpha = 686{,}7 \cdot 0{,}20\ \text{N} \approx 137\ \text{N}$$

Controllo: $-137{,}34\ \text{N} \cdot 30\ \text{m} \approx -4120\ \text{J}$. Sulla rampa la forza da vincere è cinque volte più piccola del peso, ma la strada è cinque volte più lunga. Cambiano la fatica istante per istante e il tempo, non il lavoro del peso.

2. Lo scivolo del parco giochi

Testo. Un bambino di 25 kg parte da fermo dalla cima di uno scivolo alto 2,0 m. Quanto lavoro compie la forza peso? Senza attrito, con che velocità arriverebbe in fondo? In realtà arriva a 4,0 m/s: quanto lavoro ha compiuto l’attrito?

Il bambino scende, quindi il lavoro del peso è positivo, qualunque sia la forma dello scivolo:

$$W_P = m\,g\,h = 25 \cdot 9{,}81 \cdot 2{,}0\ \text{J} = 490{,}5\ \text{J}$$

La normale non compie lavoro. Senza attrito tutto il lavoro del peso diventa energia cinetica, $\frac{1}{2}mv^2 = mgh$:

$$\begin{gathered} v = \sqrt{2\,g\,h} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 2{,}0}\ \text{m/s} \\ v \approx 6{,}26\ \text{m/s} \end{gathered}$$

circa 23 km/h. In realtà l’energia cinetica finale è $\frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 4{,}0^2 = 200\ \text{J}$, e il teorema dell’energia cinetica dà:

$$\begin{gathered} W_P + W_{att} = \Delta E_k \\ W_{att} = (200 - 490{,}5)\ \text{J} \approx -291\ \text{J} \end{gathered}$$

Più di metà del lavoro del peso è stata trasformata in calore dall’attrito.

3. Comprimere una molla un pezzo alla volta

Testo. Una molla ha costante $k = 400\ \text{N/m}$. Quanto lavoro compie la forza elastica quando la molla viene compressa da 0 a 5,0 cm? E da 3,0 cm a 6,0 cm? Controlla il secondo risultato con l’area del trapezio.

Le compressioni sono deformazioni negative, ma nella formula compaiono al quadrato. Da 0 a 5,0 cm:

$$W_1 = 0 - \frac{1}{2} \cdot 400 \cdot 0{,}05^2\ \text{J} = -0{,}5\ \text{J}$$

Da 3,0 cm a 6,0 cm:

$$\begin{gathered} W_2 = \frac{1}{2} \cdot 400 \cdot (0{,}03^2 - 0{,}06^2)\ \text{J} \\ W_2 = 200 \cdot (-0{,}0027)\ \text{J} = -0{,}54\ \text{J} \end{gathered}$$

Controllo: la forza della molla vale $400 \cdot 0{,}03 = 12\ \text{N}$ all’inizio e $400 \cdot 0{,}06 = 24\ \text{N}$ alla fine, quindi la forza media è 18 N e l’area è $18\ \text{N} \cdot 0{,}03\ \text{m} = 0{,}54\ \text{J}$. La molla si oppone alla compressione, quindi il suo lavoro è $-0{,}54\ \text{J}$.

Il secondo tratto è lungo solo 3 cm, eppure costa più dei primi 5 cm: più la molla è compressa, più è difficile comprimerla ancora.

4. Una molla che spinge e poi frena

Testo. Un blocco di 2,0 kg, su un piano orizzontale scabro, è attaccato a una molla di costante $k = 200\ \text{N/m}$ compressa di 10 cm. Lasciato andare da fermo, il blocco supera la posizione di riposo e si ferma per la prima volta quando la molla è allungata di 4,0 cm. Quanto lavoro ha compiuto la forza elastica? Quanto vale il coefficiente di attrito dinamico?

La deformazione passa da $x_A = -0{,}10\ \text{m}$ a $x_B = +0{,}04\ \text{m}$:

$$\begin{gathered} W_{el} = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot (0{,}10^2 - 0{,}04^2)\ \text{J} \\ W_{el} = 100 \cdot 0{,}0084\ \text{J} = 0{,}84\ \text{J} \end{gathered}$$

In due tempi: fino al riposo la molla spinge e compie $+1{,}00\ \text{J}$, poi frena e compie $-0{,}16\ \text{J}$.

Il blocco parte e arriva fermo, quindi il lavoro totale è zero. Peso e normale non compiono lavoro, quindi l’attrito ha compiuto $-0{,}84\ \text{J}$ lungo $10 + 4 = 14\ \text{cm}$:

$$\begin{gathered} F_{att} = \frac{0{,}84\ \text{J}}{0{,}14\ \text{m}} = 6{,}0\ \text{N} \\ \mu_d = \frac{F_{att}}{m\,g} = \frac{6{,}0}{2{,}0 \cdot 9{,}81} \approx 0{,}31 \end{gathered}$$

Per il lavoro della molla non serve sapere come si è mosso il blocco nel frattempo: bastano la deformazione iniziale e quella finale.

5. Tirare su una fune appesa

Testo. Una fune lunga 4,0 m e di massa 2,0 kg pende in verticale dal bordo di un terrazzo. La tiri su lentamente fino ad averla tutta distesa sul terrazzo. Quanto lavoro compie la forza peso? E tu?

Conta lo spostamento del centro di massa: all’inizio è a metà fune, 2,0 m sotto il bordo, alla fine è al livello del terrazzo. Sale quindi di 2,0 m:

$$\begin{gathered} W_P = -M\,g\,\Delta z_{cm} \\ W_P = -2{,}0 \cdot 9{,}81 \cdot 2{,}0\ \text{J} \approx -39{,}2\ \text{J} \end{gathered}$$

Controllo con l’integrale: la fune ha $\lambda = 2{,}0/4{,}0 = 0{,}50\ \text{kg/m}$, e il pezzetto $dy$ che si trova a una profondità $y$ ha massa $\lambda\,dy$ e sale proprio di $y$:

$$\begin{gathered} W_P = -\int_0^L \lambda\,g\,y\,dy = -\frac{1}{2}\,\lambda\,g\,L^2 \\ {} = -\frac{1}{2} \cdot 0{,}50 \cdot 9{,}81 \cdot 4{,}0^2\ \text{J} \\ {} \approx -39{,}2\ \text{J} \end{gathered}$$

Tirando lentamente la fune non acquista energia cinetica, quindi il tuo lavoro è $+39{,}2\ \text{J}$: metà dei 78,5 J che servirebbero per sollevare di 4 m un sacco di 2 kg, perché in media i pezzi della fune salgono solo di 2 m.

6. Un corpo lasciato andare attaccato a una molla

Testo. Un corpo di 0,50 kg è agganciato all’estremo inferiore di una molla verticale di costante $k = 50\ \text{N/m}$, a riposo. Lasci andare il corpo da fermo. Di quanto è allungata la molla nella posizione di equilibrio? Qual è l’allungamento massimo? Con che velocità il corpo passa per l’equilibrio?

All’equilibrio la forza elastica bilancia il peso, $k\,d = m\,g$:

$$d = \frac{m\,g}{k} = \frac{0{,}50 \cdot 9{,}81}{50}\ \text{m} \approx 0{,}0981\ \text{m}$$

All’allungamento massimo $y_{max}$ il corpo è fermo per un istante, come all’inizio, quindi il lavoro totale è zero. Il peso compie $mg\,y_{max}$, la molla $-\frac{1}{2}k\,y_{max}^2$:

$$\begin{gathered} m\,g\,y_{max} - \frac{1}{2}\,k\,y_{max}^2 = 0 \\ y_{max} = \frac{2\,m\,g}{k} \approx 0{,}196\ \text{m} \end{gathered}$$

il doppio dell’allungamento di equilibrio. Quando il corpo passa per l’equilibrio, il peso ha compiuto $0{,}50 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}0981 \approx 0{,}481\ \text{J}$ e la molla $-\frac{1}{2} \cdot 50 \cdot 0{,}0981^2 \approx -0{,}241\ \text{J}$. Il totale, circa $0{,}24\ \text{J}$ (esattamente la metà del lavoro del peso), è l’energia cinetica del corpo:

$$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 0{,}24}{0{,}50}}\ \text{m/s} \approx 0{,}98\ \text{m/s}$$

Il corpo quindi non si ferma all’equilibrio: oscilla tra 0 e 19,6 cm di allungamento, con un moto armonico attorno a 9,8 cm. Se lo accompagnassi lentamente con la mano, si fermerebbe all’equilibrio: la tua mano assorbirebbe quei 0,24 J.

Altri problemi con peso, molle e attrito li trovi negli esercizi svolti su lavoro ed energia.

In sintesi

• Lavoro della forza peso: $W_P = mg\,(z_A - z_B) = mgh$, positivo in discesa, negativo in salita, nullo in orizzontale.
• Conta solo il dislivello: scala, rampa, scivolo o caduta libera danno lo stesso lavoro. Per un corpo esteso conta il centro di massa, $W_P = -Mg\,\Delta z_{cm}$.
• La formula $mgh$ vale vicino alla superficie terrestre, per $h \ll R_T$.
• Lavoro della forza elastica: $W_{el} = \frac{1}{2}kx_A^2 - \frac{1}{2}kx_B^2$, con $x$ misurato dalla posizione di riposo; da riposo a $x$ vale $-\frac{1}{2}kx^2$.
• È l’area sotto il grafico di $|F| = kx$: un triangolo da 0 a $x$, un trapezio da $x_1$ a $x_2$.
• Deformare la molla dà lavoro elastico negativo, rilasciarla positivo; chi la deforma lentamente compie il lavoro opposto.
• Peso e forza elastica sono conservative: $W = U_A - U_B$, con $U = \frac{1}{2}kx^2$ per la molla e $U = mgz$ per il peso.

Il passo successivo è definire per bene l’energia potenziale: lo facciamo nella forza conservativa ed energia potenziale.