Derivata di una funzione: definizione, rapporto incrementale, significato ed esercizi

La derivata è il concetto più usato di tutta l’Analisi e misura una cosa concretissima: quanto in fretta cambia una funzione. La velocità di un’auto, la crescita di una popolazione, la pendenza di una strada in un punto sono tutte derivate. All’esame di Analisi 1 la ritrovi ovunque: per capire dove una funzione cresce, per trovare massimi e minimi, per la retta tangente, per i limiti con de l’Hôpital e Taylor; in Fisica 1 velocità e accelerazione sono derivate. Per capirla bastano i limiti. In questa pagina vediamo il rapporto incrementale, la definizione di derivata e le notazioni, il calcolo con la definizione di potenze, radice, reciproco, seno ed esponenziale, la funzione derivata e il suo grafico, i significati geometrico e fisico, la derivata destra e sinistra, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Il rapporto incrementale: la variazione media

Un’auto percorre 120 km in 2 ore: la sua velocità media è 60 km/h. Ma non è andata sempre a 60 km/h: ha accelerato, frenato, si è fermata a un semaforo, e il tachimetro segnava ogni istante un numero diverso. La derivata è il passaggio dalla velocità media a quella istantanea, per qualsiasi funzione.

Prendi una funzione $f$ e un punto $x_0$ del suo dominio. Sposta la variabile di una quantità $h \neq 0$, in modo che anche $x_0 + h$ stia nel dominio: la variabile cambia di $\Delta x = h$ e la funzione di $\Delta f = f(x_0 + h) - f(x_0)$.

Il rapporto incrementale dice di quanto cambia in media $f$ per ogni unità di $x$, tra $x_0$ e $x_0 + h$: è il tasso di variazione medio. Ha due letture.

• Geometrica: è la pendenza della retta secante che passa per i punti $P = (x_0, f(x_0))$ e $Q = (x_0 + h, f(x_0 + h))$ del grafico.
• Fisica: se $f(t)$ è la posizione di un’auto all’istante $t$, è lo spazio percorso diviso il tempo impiegato, la velocità media tra $t_0$ e $t_0 + h$.

Per esempio, con $f(x) = x^2$, $x_0 = 3$ e $h = 2$, la funzione passa da 9 a 25: il rapporto incrementale vale $\frac{16}{2} = 8$. Con $h = 1$ vale $\frac{16 - 9}{1} = 7$.

Dalla variazione media alla derivata

Ora rendi $h$ sempre più piccolo: il punto $Q$ scivola lungo la parabola verso $P$ e la secante ruota. Ecco le pendenze, con $h$ positivo e negativo:

$\lvert h \rvert$	con $h > 0$	con $h < 0$
$1$	$7$	$5$
$0{,}1$	$6{,}1$	$5{,}9$
$0{,}01$	$6{,}01$	$5{,}99$
$0{,}001$	$6{,}001$	$5{,}999$

Da destra le pendenze scendono verso 6, da sinistra salgono verso 6. L’algebra lo conferma: per $h \neq 0$

$$\begin{gathered} \frac{(3 + h)^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h} \\ {} = 6 + h \to 6 \end{gathered}$$

Semplificare per $h$ è lecito perché nel limite $h$ si avvicina a 0 senza mai valere 0. Il numero 6 non è più una pendenza media: è la pendenza del grafico nel punto $P$.

Tre osservazioni.

• È una forma $\frac{0}{0}$. Se $f$ è continua in $x_0$, numeratore e denominatore tendono a 0: calcolare una derivata vuol dire sciogliere questa forma indeterminata. Se $f$ non è continua in $x_0$, il limite non può essere finito: una funzione derivabile è sempre continua.
• La parola «finito» conta. Se il rapporto tende a $+\infty$ o a $-\infty$ la funzione non è derivabile: se $f$ è continua, lì il grafico ha una tangente verticale, che non ha pendenza.
• C’è una forma equivalente. Ponendo $x = x_0 + h$, dire $h \to 0$ con $h \neq 0$ equivale a dire $x \to x_0$ con $x \neq x_0$:

$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$

Con la parabola: $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = x + 3 \to 6$, lo stesso risultato. Infine, $f$ è derivabile in un intervallo aperto se è derivabile in ogni suo punto; per gli intervalli chiusi servono le derivate laterali.

Le notazioni, e un po’ di storia

La stessa derivata si scrive in modi diversi, tutti equivalenti:

Notazione	Si legge	Origine
$f'(x)$	«effe primo di ics»	Lagrange
${\frac{df}{dx}}$, ${\frac{dy}{dx}}$	«di effe in di ics»	Leibniz
$Df(x)$	«di effe di ics»	Arbogast
$\dot{y}$, $\dot{s}(t)$	«ipsilon punto»	Newton

La notazione di Lagrange è la più comoda nei calcoli; quella di Leibniz ricorda l’origine, il limite di $\frac{\Delta y}{\Delta x}$, e dice rispetto a quale variabile si deriva: in Fisica scriverai $\frac{dv}{dt}$ o $\frac{dq}{dt}$. Il punto di Newton si usa ancora per le derivate rispetto al tempo. Attenzione: $\frac{dy}{dx}$ è un unico simbolo, non una frazione.

Isaac Newton sviluppò il «metodo delle flussioni» nel 1665-1666, con l’università di Cambridge chiusa per la peste: pensava le grandezze come quantità che scorrono nel tempo e chiamava flussione la loro velocità di variazione. Il trattato, completato nel 1671, uscì solo nel 1736, dopo la sua morte. Gottfried Wilhelm Leibniz arrivò alle stesse idee per conto suo, introdusse $dx$ e $dy$ in un manoscritto del 1675 e pubblicò per primo, sugli Acta Eruditorum dell’ottobre 1684, la Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus. Seguì una lunga disputa sulla priorità, ma oggi gli storici concordano che i due ci arrivarono in modo indipendente. Il nome viene da Joseph-Louis Lagrange, che parlava di fonction dérivée già nel 1772 e nel 1797 scriveva $f'x$ con l’apice.

Calcolare una derivata con la definizione

Ogni calcolo segue la stessa scaletta.

1. Scrivi il rapporto incrementale in un punto generico $x$: $\ \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$.
2. Trasformalo con l’algebra finché la $h$ al denominatore si semplifica: sviluppa le potenze, fai il denominatore comune, razionalizza, oppure riconosci un limite notevole.
3. Calcola il limite per $h \to 0$.
4. Controlla per quali $x$ i passaggi valgono: è lì che $f$ è derivabile.

Le potenze: x², x³ e xⁿ

Per $f(x) = x^2$, in ogni punto $x$:

$$\begin{gathered} \frac{(x + h)^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} \\ {} = 2x + h \to 2x \end{gathered}$$

Quindi $(x^2)' = 2x$ per ogni $x$ reale; in $x = 3$ ritrovi 6. Per il cubo sviluppa $(x + h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3$:

$$\begin{gathered} \frac{(x + h)^3 - x^3}{h} = \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} \\ {} = 3x^2 + 3xh + h^2 \to 3x^2 \end{gathered}$$

Per un esponente naturale $n \geq 2$ qualsiasi si usa il binomio di Newton, dove $\binom{n}{2} = \frac{n(n - 1)}{2}$:

$$\begin{gathered} (x + h)^n = x^n + n\,x^{n-1}h \\ {} + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + \dots + h^n \end{gathered}$$

Togli $x^n$ e dividi per $h$: resta $n\,x^{n-1}$ più termini che contengono ancora almeno una $h$, e quindi tendono a 0. Dunque $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ per ogni $x$ reale (per $n = 1$ il rapporto vale sempre 1). La regola vale anche per esponenti reali, per $x > 0$, con un’altra dimostrazione.

La radice quadrata

Per $x > 0$ moltiplica numeratore e denominatore per $\sqrt{x + h} + \sqrt{x}$: al numeratore resta $(x + h) - x = h$.

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h} = \frac{(x + h) - x}{h\,(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} \\ {} = \frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}} \to \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{gathered}$$

Quindi $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ per $x > 0$; per esempio in $x = 4$ la pendenza è $\frac{1}{4}$. In $x = 0$ la radice è definita solo a destra e il rapporto vale $\frac{\sqrt{h}}{h} = \frac{1}{\sqrt{h}} \to +\infty$: la tangente è verticale e $\sqrt{x}$ non è derivabile in 0, anche se lì è definita e continua.

Il reciproco

Per $x \neq 0$, con $h$ abbastanza piccolo perché anche $x + h \neq 0$, fai il denominatore comune:

$$\begin{gathered} \frac{1}{h}\left(\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}\right) = \frac{x - (x + h)}{h\,x\,(x + h)} \\ {} = -\frac{1}{x\,(x + h)} \to -\frac{1}{x^2} \end{gathered}$$

Il segno meno ha un significato: in ciascuno dei due intervalli $(-\infty, 0)$ e $(0, +\infty)$ la funzione $\frac{1}{x}$ decresce, e tutte le sue tangenti scendono.

Il seno

Con gli angoli in radianti e la formula di addizione $\sin(x + h) = \sin x\cos h + \cos x\sin h$:

$$\begin{gathered} \frac{\sin(x + h) - \sin x}{h} \\ {} = \frac{\sin x\cos h - \sin x + \cos x\sin h}{h} \\ {} = \sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h} \end{gathered}$$

Per i limiti notevoli $\frac{\sin h}{h} \to 1$ e $\frac{1 - \cos h}{h} \to 0$, il rapporto tende a $\sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1$. Quindi $(\sin x)' = \cos x$. In gradi non è così: il limite notevole $\frac{\sin h}{h} \to 1$ vale solo in radianti.

L’esponenziale

Con la proprietà $e^{x + h} = e^x e^h$ e il limite notevole $\frac{e^h - 1}{h} \to 1$:

$$\frac{e^{x + h} - e^x}{h} = e^x \cdot \frac{e^h - 1}{h} \to e^x$$

La funzione $e^x$ è uguale alla sua derivata: in ogni punto la pendenza del grafico è uguale all’altezza. Ecco il riepilogo; la tabella completa, con coseno e logaritmo, è nel prossimo articolo.

$f(x)$	$f'(x)$	Dove vale
$x^n$, $n \geq 1$	$n\,x^{n-1}$	ogni $x$
$\sqrt{x}$	${\frac{1}{2\sqrt{x}}}$	$x > 0$
${\frac{1}{x}}$	${-\frac{1}{x^2}}$	$x \neq 0$
$\sin x$	$\cos x$	ogni $x$, in radianti
$e^x$	$e^x$	ogni $x$

La funzione derivata e il suo grafico

Se a ogni punto $x$ in cui $f$ è derivabile associ il numero $f'(x)$, ottieni una nuova funzione, la funzione derivata $f'$: la pendenza del grafico punto per punto. Il suo dominio può essere più piccolo di quello di $f$: $\sqrt{x}$ è definita in $[0, +\infty)$, la sua derivata solo in $(0, +\infty)$.

Il grafico di $f'$ racconta la forma del grafico di $f$. Prendi $f(x) = x^3 - 3x$. Con la definizione, $f(x + h) - f(x) = 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 3h$, quindi

$$\begin{gathered} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = 3x^2 - 3 + 3xh + h^2 \\ f'(x) = 3x^2 - 3 = 3\,(x - 1)(x + 1) \end{gathered}$$

La derivata è positiva per $x < -1$ e per $x > 1$, negativa tra $-1$ e $1$, nulla in $\pm 1$. Dove $f' > 0$ le tangenti salgono e $f$ cresce; dove $f' < 0$ scendono e $f$ decresce; in $x = \pm 1$ la tangente è orizzontale. Infatti in $x = -1$ la funzione ha un massimo relativo, $f(-1) = 2$, e in $x = 1$ un minimo relativo, $f(1) = -2$.

Si può derivare ancora: la derivata di $f'$ è la derivata seconda $f''$, che dice come cambia la pendenza. Per $x^3 - 3x$ vale $f''(x) = 6x$. Ne parliamo nelle derivate successive.

I significati della derivata

La pendenza della retta tangente

Quando $h \to 0$ il punto $Q$ scivola verso $P$ e le secanti tendono alla retta tangente in $P$: la derivata $f'(x_0)$ è la sua pendenza, cioè il coefficiente angolare. La tangente ha equazione

$$y = f(x_0) + f'(x_0)\,(x - x_0)$$

Per la parabola nel punto $(3, 9)$ è $y = 9 + 6(x - 3)$, cioè $y = 6x - 9$. Un’immagine utile: se fai uno zoom sul grafico vicino a un punto in cui $f$ è derivabile, la curva diventa sempre più simile a una retta, proprio la tangente. Retta normale e approssimazioni lineari sono in retta tangente e differenziale.

Velocità e accelerazione

Se $s(t)$ è la posizione all’istante $t$ di un corpo che si muove lungo una retta, il rapporto incrementale è la velocità media tra $t$ e $t + h$, e la derivata è la velocità istantanea, il numero del tachimetro. Derivando la velocità si ottiene l’accelerazione:

$$\begin{gathered} v(t) = s'(t) = \frac{ds}{dt} \\ a(t) = v'(t) = s''(t) \end{gathered}$$

Con $s$ in metri e $t$ in secondi, $v$ si misura in m/s e $a$ in m/s².

Lanci una palla verso l’alto a 20 m/s. Prendendo $g \approx 10$ m/s² e trascurando l’aria, la sua altezza dopo $t$ secondi è $s(t) = 20t - 5t^2$ metri, come nel lancio verso l’alto. Calcoliamo la velocità con la definizione:

$$\begin{gathered} \frac{s(t + h) - s(t)}{h} = \frac{20h - 10th - 5h^2}{h} \\ {} = 20 - 10t - 5h \to 20 - 10t \end{gathered}$$

Quindi $v(t) = 20 - 10t$, una funzione lineare di pendenza $-10$: l’accelerazione è costante, $a = -10$ m/s², diretta verso il basso. Leggiamo i numeri:

• per $t = 1$ s la palla è a 15 m e sale a 10 m/s;
• per $t = 2$ s è ferma in cima, a 20 m;
• per $t = 3$ s è di nuovo a 15 m, ma scende: $v = -10$ m/s, e il segno indica il verso.

La velocità media nei primi due secondi è $\frac{20 - 0}{2} = 10$ m/s, ma la palla è partita a 20 m/s ed è arrivata in cima ferma: la media nasconde quello che succede in mezzo, la derivata no.

Altri tassi di variazione

In generale $f'(x_0)$ è il tasso di variazione istantaneo di $f$ rispetto a $x$: di quanto cambia $f$ per ogni unità di $x$, in quel punto. L’unità di misura della derivata è quella di $f$ divisa per quella di $x$.

Funzione	Derivata	Unità
posizione $s(t)$	velocità	m/s
velocità $v(t)$	accelerazione	m/s²
carica $q(t)$	corrente	A = C/s
popolazione $N(t)$	velocità di crescita	individui/anno
costo $C(x)$	costo marginale	€/pezzo

La corrente elettrica in un filo è $i = \frac{dq}{dt}$, la carica che passa per una sezione al secondo: un coulomb al secondo è un ampere. Il costo marginale viene dall’economia: un’azienda che produce $x$ pezzi spende $C(x) = 1000 + 5x + 0{,}01x^2$ euro. Derivando termine a termine, come permettono le regole di derivazione, $C'(x) = 5 + 0{,}02x$, e $C'(100) = 7$ €/pezzo: il pezzo numero 101 costa circa 7 euro. Il conto esatto, $C(101) - C(100)$, dà 7,01 euro.

Derivata destra e derivata sinistra

Come per i limiti, si può avvicinare $h$ a 0 da un lato solo. Serve che $f$ sia definita in $x_0$ e a destra (o a sinistra) di $x_0$.

Qui $h \to 0^+$ si legge «$h$ tende a zero da destra», cioè con valori positivi. Siccome un limite esiste se e solo se limite destro e sinistro esistono e coincidono, vale il teorema: $f$ è derivabile in $x_0$ se e solo se derivata destra e sinistra esistono, sono finite e sono uguali, e allora $f'(x_0)$ è il loro valore comune.

Il valore assoluto. Per $f(x) = \lvert x \rvert$ in $x_0 = 0$:

$$\frac{\lvert h \rvert - 0}{h} = \begin{cases} 1 & h > 0 \\ -1 & h < 0 \end{cases}$$

La derivata destra vale 1, la sinistra $-1$: $\lvert x \rvert$ non è derivabile in 0, anche se lì è continua. Il grafico ha uno spigolo, un punto angoloso. In ogni altro punto è derivabile: la derivata vale 1 per $x > 0$ e $-1$ per $x < 0$.

Una funzione a tratti. Sia

$$f(x) = \begin{cases} x^2 & x \leq 1 \\ 2x - 1 & x > 1 \end{cases}$$

Il punto delicato è quello di raccordo, $x_0 = 1$, dove $f(1) = 1$ dalla prima riga. Per $h < 0$ si usa la prima riga, per $h > 0$ la seconda:

$$\begin{gathered} f'_-(1) = \lim_{h \to 0^-} \frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = 2 \\ f'_+(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{2(1 + h) - 1 - 1}{h} = 2 \end{gathered}$$

Le due derivate coincidono: $f$ è derivabile in 1 con $f'(1) = 2$. La retta $y = 2x - 1$ è la tangente alla parabola in $(1, 1)$: i due pezzi si raccordano senza spigolo.

I casi tipici in cui una funzione continua non è derivabile sono i punti angolosi, come $\lvert x \rvert$ in 0, le cuspidi e i flessi a tangente verticale: li studiamo in derivabilità e continuità. Le derivate laterali servono anche negli estremi: $f$ è derivabile in $[a, b]$ se è derivabile in $(a, b)$ e se esistono finite $f'_+(a)$ e $f'_-(b)$.

Cosa viene dopo: la mappa del capitolo

La definizione serve a capire; per calcolare si usano strumenti più rapidi. Ecco come prosegue il capitolo.

1. Derivate delle funzioni elementari: la tabella da sapere.
2. Regole di derivazione: somma, prodotto, quoziente e funzione composta.
3. Funzione inversa e derivate successive: arcotangente, derivata seconda.
4. Derivabilità e continuità: spigoli, cuspidi, tangenti verticali.
5. Retta tangente e differenziale: tangente e approssimazioni lineari.
6. Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy: dalla derivata alla monotonia.
7. Teorema di de l’Hôpital: i limiti $\frac{0}{0}$ e $\frac{\infty}{\infty}$.
8. Formula di Taylor: approssimare una funzione con un polinomio.

Gli errori più comuni

• Confondere rapporto incrementale e derivata. Il primo è una variazione media, la seconda il suo limite: con $h = 0{,}1$ la parabola in 3 dà $6{,}1$, non 6.
• Mettere subito $h = 0$. Si ottiene $\frac{0}{0}$, che non è un numero: prima semplifica, poi passa al limite.
• Calcolare $f(x_0)$ e poi derivare. $f(3) = 9$ è una costante e la sua derivata è 0. Prima si trova $f'(x)$, poi si sostituisce $x_0$.
• Confondere continua e derivabile. $\lvert x \rvert$ è continua in 0 ma ha uno spigolo; $\sqrt{x}$ in 0 ha rapporto incrementale infinito. In nessuno dei due casi c’è la derivata.
• Derivare i pezzi di una funzione a tratti senza controllare la continuità. Se il grafico salta non c’è derivata, anche se le pendenze dei pezzi coincidono.
• Usare i gradi. $(\sin x)' = \cos x$ vale solo con $x$ in radianti.
• Dimenticare le unità di misura. La derivata si misura in unità di $f$ diviso unità di $x$: m/s, ampere, euro per pezzo.

Esercizi svolti

1. La derivata in un punto

Testo. Calcola con la definizione la derivata di $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ nel punto $x_0 = 2$.

Si ha $f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$ e

$$\begin{gathered} f(2 + h) = 2\,(2 + h)^2 - 3\,(2 + h) + 1 \\ {} = 8 + 8h + 2h^2 - 6 - 3h + 1 \\ {} = 3 + 5h + 2h^2 \end{gathered}$$

Il rapporto incrementale e il suo limite:

$$\begin{gathered} \frac{f(2 + h) - f(2)}{h} = \frac{5h + 2h^2}{h} \\ {} = 5 + 2h \to 5 \end{gathered}$$

Quindi $f'(2) = 5$: vicino a $x = 2$ la funzione cresce circa 5 volte più in fretta della variabile, e la tangente in $(2, 3)$ ha pendenza 5.

2. La funzione derivata

Testo. Calcola con la definizione la derivata di $f(x) = \dfrac{x}{x + 1}$ e la pendenza della tangente nei punti di ascissa 0 e 1.

Il dominio è $x \neq -1$. Fissato $x \neq -1$, prendi $h$ abbastanza piccolo perché anche $x + h \neq -1$, e fai il denominatore comune:

$$\begin{gathered} f(x + h) - f(x) = \frac{x + h}{x + h + 1} - \frac{x}{x + 1} \\ {} = \frac{(x + h)(x + 1) - x\,(x + h + 1)}{(x + h + 1)(x + 1)} \end{gathered}$$

Sviluppando il numeratore quasi tutto si cancella:

$$\begin{gathered} (x + h)(x + 1) - x\,(x + h + 1) \\ {} = x^2 + x + hx + h \\ {} - x^2 - hx - x = h \end{gathered}$$

Dividendo per $h$:

$$\begin{gathered} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{1}{(x + h + 1)(x + 1)} \\ {} \to \frac{1}{(x + 1)^2} \end{gathered}$$

Quindi $f'(x) = \frac{1}{(x + 1)^2}$ per ogni $x \neq -1$: le pendenze cercate sono $f'(0) = 1$ e $f'(1) = \frac{1}{4}$. La derivata è sempre positiva, e $f$ cresce in ciascuno dei due intervalli $(-\infty, -1)$ e $(-1, +\infty)$.

3. Variazione media e variazione istantanea

Testo. Per $f(x) = x^3$ calcola il tasso di variazione medio sull’intervallo $[1, 3]$ e confrontalo con la derivata negli estremi. In quale punto dell’intervallo la derivata è uguale al tasso medio?

Il tasso medio è il rapporto incrementale tra 1 e 3:

$$\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{27 - 1}{2} = 13$$

Con $f'(x) = 3x^2$, calcolata sopra, si ha $f'(1) = 3$ e $f'(3) = 27$: la velocità di crescita sale da 3 a 27 e la media, 13, sta in mezzo. Cerchiamo il punto in cui $f'(x) = 13$:

$$3x^2 = 13 \iff x = \pm\sqrt{\frac{13}{3}} \approx \pm 2{,}08$$

Solo la radice positiva sta in $[1, 3]$: in $x = \sqrt{13/3} \approx 2{,}08$ la tangente è parallela alla secante per $(1, 1)$ e $(3, 27)$. Non è il punto medio, perché $f'(2) = 12$. Che un punto così esista lo garantisce il teorema di Lagrange, per ogni funzione continua su $[a, b]$ e derivabile in $(a, b)$.

4. La frenata di un’auto

Testo. Durante una frenata su un rettilineo, la posizione di un’auto è $s(t) = 20t - 2t^2$, in metri, con $t$ in secondi dall’inizio della frenata. Trova velocità e accelerazione, quando si ferma, lo spazio di frenata e la velocità media.

La velocità con la definizione:

$$\begin{gathered} \frac{s(t + h) - s(t)}{h} = \frac{20h - 4th - 2h^2}{h} \\ {} = 20 - 4t - 2h \to 20 - 4t \end{gathered}$$

Quindi $v(t) = 20 - 4t$ m/s, e all’inizio $v(0) = 20$ m/s, cioè 72 km/h. La velocità è lineare con pendenza $-4$: l’accelerazione è costante, $a = -4$ m/s², e l’auto perde 4 m/s ogni secondo. Si ferma quando $v(t) = 0$, cioè per $t = 5$ s, e lo spazio di frenata è

$$s(5) = 20 \cdot 5 - 2 \cdot 25 = 50\ \text{m}$$

La velocità media è $\frac{50\ \text{m}}{5\ \text{s}} = 10$ m/s, metà di quella iniziale, ed è la velocità istantanea a metà frenata: $v(2{,}5) = 10$ m/s. La formula vale solo per $0 \leq t \leq 5$: dopo, $s(t)$ diminuirebbe, come se l’auto tornasse indietro.

5. Dove la funzione non è derivabile

Testo. Studia con la definizione la derivabilità di $f(x) = \lvert x^2 - 1 \rvert$ nei punti $x = 1$ e $x = 0$.

In $x_0 = 1$. $f(1) = 0$ e, per $h$ vicino a 0, $(1 + h)^2 - 1 = h\,(2 + h)$ ha lo stesso segno di $h$, perché $2 + h > 0$. Allora:

• per $h > 0$: $f(1 + h) = 2h + h^2$ e il rapporto vale $2 + h \to 2$;
• per $h < 0$: $f(1 + h) = -(2h + h^2)$ e il rapporto vale $-(2 + h) \to -2$.

La derivata destra è 2, la sinistra $-2$: in 1 la funzione non è derivabile, c’è un punto angoloso. Siccome $f$ è pari, lo stesso succede in $-1$.

In $x_0 = 0$. $f(0) = 1$ e, per $\lvert h \rvert < 1$, $h^2 - 1 < 0$, quindi $f(h) = 1 - h^2$:

$$\frac{(1 - h^2) - 1}{h} = -h \to 0$$

In 0 la funzione è derivabile con $f'(0) = 0$: tangente orizzontale, e lì c’è un massimo relativo. Il valore assoluto può creare spigoli solo dove il suo argomento si annulla, e anche lì va controllato: $x\lvert x \rvert$, per esempio, è derivabile in 0.

6. Una funzione a tratti con due parametri

Testo. Determina $a$ e $b$ in modo che la funzione

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + a & x \leq 1 \\ b\sqrt{x} & x > 1 \end{cases}$$

sia derivabile in $x_0 = 1$.

Primo passo: la continuità. È necessaria, perché una funzione derivabile è continua. $f(1) = 1 + a$ e da destra $b\sqrt{x} \to b$, quindi serve $b = 1 + a$, cioè $f(1) = b$.

Secondo passo: la derivata sinistra. Con la prima riga:

$$\begin{gathered} \frac{(1 + h)^2 + a - (1 + a)}{h} = \frac{2h + h^2}{h} \\ {} = 2 + h \to 2 \end{gathered}$$

Terzo passo: la derivata destra. Con la seconda riga e $f(1) = b$, razionalizzando come per $\sqrt{x}$:

$$\begin{gathered} \frac{b\sqrt{1 + h} - b}{h} = b \cdot \frac{\sqrt{1 + h} - 1}{h} \\ {} = \frac{b}{\sqrt{1 + h} + 1} \to \frac{b}{2} \end{gathered}$$

Quarto passo: le due derivate uguali. $\frac{b}{2} = 2$ dà $b = 4$, e dalla continuità $a = 3$. La funzione è $x^2 + 3$ per $x \leq 1$ e $4\sqrt{x}$ per $x > 1$, con $f(1) = 4$ e $f'(1) = 2$.

Il primo passo non è una formalità: con $b = 4$ e $a = 0$ i due pezzi hanno ancora pendenza 2 in 1, ma $f(1) = 1$ e il rapporto da destra $\frac{4\sqrt{1 + h} - 1}{h}$ tende a $+\infty$.

Altri esercizi li trovi negli esercizi svolti sulle derivate.

In sintesi

• Il rapporto incrementale $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ è il tasso di variazione medio: la pendenza di una secante, o una velocità media.
• La derivata è il suo limite, se esiste finito: $f'(x_0) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$, oppure, con $x \to x_0$, il limite di $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$.
• Notazioni equivalenti: $f'(x)$, $\frac{df}{dx}$, $Df(x)$ e, per il tempo, $\dot{s}$.
• Con la definizione: $(x^n)' = n\,x^{n-1}$, $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ per $x > 0$, $\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$, $(\sin x)' = \cos x$ in radianti, $(e^x)' = e^x$.
• Il segno di $f'$ su un intervallo dice dove $f$ cresce ($f' > 0$) e dove decresce ($f' < 0$); dove $f' = 0$ la tangente è orizzontale.
• Significati: pendenza della tangente; velocità $v = s'$ e accelerazione $a = v' = s''$; in generale un tasso di variazione, in unità di $f$ diviso unità di $x$.
• $f$ è derivabile in $x_0$ se e solo se derivata destra e sinistra sono finite e uguali; $\lvert x \rvert$ in 0 ha un punto angoloso.

Calcolare ogni derivata con la definizione sarebbe faticoso: per fortuna basta farlo una volta per le funzioni elementari, nelle derivate delle funzioni elementari.