Teorema dell'energia cinetica: enunciato, dimostrazione ed esercizi svolti

Il teorema dell’energia cinetica collega in un’unica equazione le forze che agiscono su un corpo e la variazione della sua velocità, senza passare dall’accelerazione e dal tempo. In molti esercizi permette di arrivare al risultato in una riga, dove con le leggi della cinematica servirebbero diversi passaggi. In alcuni libri lo trovi anche con il nome di teorema delle forze vive. In questa pagina vediamo l’enunciato, la dimostrazione, il lavoro di più forze e di forze variabili, la forza media, lo spazio di frenata, il legame con la conservazione dell’energia e con i sistemi di punti, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Un po’ di storia: la forza viva

Il nome “forze vive” viene dal Seicento. Gottfried Leibniz sosteneva che la grandezza importante per descrivere un corpo in moto fosse il prodotto della massa per il quadrato della velocità, che chiamò vis viva, «forza viva». I seguaci di Cartesio difendevano invece la massa per la velocità, cioè la quantità di moto. Ne nacque una lunga disputa. Nel 1722 l’olandese Willem ‘s Gravesande lasciò cadere delle palline in un blocco d’argilla da altezze diverse e trovò che la profondità del buco cresceva con il quadrato della velocità d’impatto; Émilie du Châtelet ne comprese l’importanza e ne pubblicò la spiegazione. Il fattore $\frac{1}{2}$ e il legame preciso con il lavoro arrivarono più tardi, con Gaspard-Gustave Coriolis nel 1829, e il nome “energia cinetica” è dovuto a William Thomson, il futuro Lord Kelvin, a metà Ottocento. Oggi sappiamo che avevano ragione tutti e due i partiti: quantità di moto ed energia cinetica sono due grandezze diverse, entrambe utili.

L’enunciato

Il lavoro compiuto dalla risultante delle forze che agiscono su un punto materiale, quando questo si sposta da una posizione $A$ a una posizione $B$, è uguale alla variazione della sua energia cinetica.

$$\begin{gathered} W_{A \to B} = E_{k,B} - E_{k,A} \\ W_{A \to B} = \frac{1}{2}\,m\,v_B^2 - \frac{1}{2}\,m\,v_A^2 \end{gathered}$$

dove $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ è l’energia cinetica. In forma compatta, $W_{tot} = \Delta E_k$.

Il teorema vale qualunque sia la forza, costante o variabile, conservativa o no, e qualunque sia il percorso.

La dimostrazione

Partiamo dal secondo principio della dinamica lungo la direzione tangente alla traiettoria: $F_T = m\,a_T = m\,\dfrac{dv}{dt}$. Il lavoro elementare in uno spostamento $ds$ è:

$$\begin{gathered} dW = F_T\,ds = m\,\frac{dv}{dt}\,ds \\ dW = m\,\frac{ds}{dt}\,dv = m\,v\,dv \end{gathered}$$

dove abbiamo usato $ds/dt = v$. Integrando tra le velocità iniziale e finale:

$$W = \int_{v_A}^{v_B} m\,v\,dv = \frac{1}{2}\,m\,v_B^2 - \frac{1}{2}\,m\,v_A^2$$

Con i vettori la dimostrazione è ancora più breve: $dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} = m\,\dfrac{d\vec{v}}{dt} \cdot \vec{v}\,dt = m\,\vec{v} \cdot d\vec{v} = d\!\left(\frac{1}{2}mv^2\right)$.

Solo la componente tangenziale della forza compie lavoro, ed è anche l’unica che cambia il modulo della velocità. La componente normale cambia solo la direzione, e infatti non compare nel teorema.

Cosa ci dice il teorema

• Se il lavoro totale è positivo, l’energia cinetica aumenta: il corpo accelera.
• Se è negativo, l’energia cinetica diminuisce: il corpo rallenta.
• Se è nullo, il modulo della velocità alla fine è uguale a quello iniziale. È il caso del moto circolare uniforme: la forza centripeta è sempre perpendicolare allo spostamento e non compie lavoro.

Il lavoro è un modo di trasferire energia: una forza che compie lavoro positivo cede energia al corpo, una che compie lavoro negativo gliela sottrae. Lavoro ed energia si misurano nella stessa unità, il joule: $1\ \text{J} = 1\ \text{N·m} = 1\ \text{kg·m}^2/\text{s}^2$. Dato che l’energia cinetica non può essere negativa, nessun lavoro negativo può portarla sotto zero: al massimo il corpo si ferma.

Il lavoro di più forze

Il $W$ del teorema è il lavoro della risultante, cioè la somma dei lavori di tutte le forze che agiscono sul corpo:

$$W_{tot} = W_1 + W_2 + \dots + W_n = \Delta E_k$$

Il metodo per gli esercizi:

1. disegna tutte le forze che agiscono sul corpo;
2. calcola il lavoro di ciascuna nello spostamento considerato, con il suo segno; le forze perpendicolari allo spostamento, come la normale su un piano fermo, hanno lavoro nullo;
3. somma i lavori e uguaglia il risultato alla variazione di energia cinetica.

Per una forza costante il lavoro è $W = F\,d\cos\theta$, con $\theta$ l’angolo tra forza e spostamento: positivo se la forza “aiuta” il moto, negativo se lo ostacola, zero se è perpendicolare.

Forze variabili: il lavoro come area

Quando la forza cambia lungo il percorso, il lavoro non è più “forza per spostamento”: è l’integrale della forza, cioè l’area sotto il grafico della forza in funzione della posizione.

$$W = \int_{x_A}^{x_B} F(x)\,dx$$

Il teorema dell’energia cinetica continua a valere: basta calcolare il lavoro con l’area o con l’integrale, come nel quinto esercizio. Il caso più importante è quello della molla, la cui forza cresce con la deformazione: il lavoro vale $\frac{1}{2}kx^2$, come vediamo nel lavoro della forza peso e della forza elastica.

La forza media

Spesso la forza durante un urto o una frenata è complicata e sconosciuta, ma il teorema permette comunque di ricavare la forza media lungo lo spostamento: la forza costante che, sullo stesso tratto, farebbe lo stesso lavoro.

Per esempio, un proiettile di 10 g entra in una tavola spessa 5 cm a 400 m/s ed esce a 250 m/s. La tavola ha compiuto un lavoro

$$\begin{gathered} W = \frac{1}{2} \cdot 0{,}01 \cdot (250^2 - 400^2)\ \text{J} \\ {} = -487{,}5\ \text{J} \end{gathered}$$

e quindi la forza media che ha frenato il proiettile vale $487{,}5\ \text{J} / 0{,}05\ \text{m} = 9750\ \text{N}$: circa il peso di una tonnellata, su un proiettile di dieci grammi. Attenzione: questa è una media sullo spazio; la media sul tempo si ricava invece dal teorema dell’impulso, e in generale le due non coincidono.

Perché la velocità conta così tanto: lo spazio di frenata

L’energia cinetica dipende dal quadrato della velocità. Quando un’auto frena con le ruote bloccate, l’attrito $\mu_d\,m\,g$ deve compiere un lavoro negativo uguale a tutta l’energia cinetica, quindi lo spazio di frenata è

$$d = \frac{v^2}{2\,\mu_d\,g}$$

Non dipende dalla massa, ma dipende dal quadrato della velocità. Con $\mu_d = 0{,}7$, un valore tipico per gomme su asfalto asciutto:

Velocità	In m/s	Spazio di frenata
30 km/h	8,3 m/s	5,1 m
50 km/h	13,9 m/s	14,0 m
100 km/h	27,8 m/s	56,2 m
130 km/h	36,1 m/s	94,9 m

Da 50 a 100 km/h la velocità raddoppia e lo spazio di frenata quadruplica. E a questi valori va aggiunto lo spazio percorso durante il tempo di reazione, prima di toccare il freno: in un secondo, a 100 km/h, quasi altri 28 m. Su strada bagnata il coefficiente di attrito diminuisce e gli spazi crescono ancora.

Teorema dell’energia cinetica e conservazione dell’energia

Il teorema dell’energia cinetica vale sempre. Quando alcune delle forze sono conservative, come il peso o la forza elastica, il loro lavoro si può scrivere come diminuzione di energia potenziale, $W_{cons} = -\Delta U$. Sostituendo nel teorema:

$$\begin{gathered} W_{cons} + W_{non\ cons} = \Delta E_k \\ \Delta E_k + \Delta U = W_{non\ cons} \end{gathered}$$

Se le forze non conservative non compiono lavoro, $E_k + U$ resta costante: è la conservazione dell’energia meccanica, che quindi è una conseguenza del teorema dell’energia cinetica. Le due strade sono equivalenti, ma bisogna sceglierne una: o metti il lavoro del peso nel teorema dell’energia cinetica, o usi l’energia potenziale gravitazionale. Metterli entrambi vuol dire contare due volte la stessa cosa.

Il teorema per un sistema di punti

Per un sistema di più corpi il teorema vale sommando su tutti i punti, ma con una differenza importante rispetto alla quantità di moto: nel lavoro vanno messe anche le forze interne.

$$W^{(E)} + W^{(I)} = \Delta E_k$$

Le forze interne si annullano a coppie nella somma delle forze, ma non nella somma dei lavori, perché i due punti di una coppia possono spostarsi in modo diverso. Due pattinatori fermi che si spingono a vicenda si allontanano: la quantità di moto totale resta zero, ma l’energia cinetica aumenta, grazie al lavoro positivo delle forze interne, cioè dei loro muscoli. Il teorema di König dice dove va a finire questo lavoro: nell’energia cinetica relativa al centro di massa. I sistemi di punti e le loro forze interne li vediamo in un capitolo a parte.

Energia cinetica e potenza

Dividendo il lavoro elementare per $dt$ si ottiene la rapidità con cui cambia l’energia cinetica:

$$\frac{dE_k}{dt} = \vec{F} \cdot \vec{v} = P$$

È la potenza della risultante delle forze. Un motore che eroga una potenza costante fa crescere l’energia cinetica a ritmo costante, quindi la velocità cresce sempre più lentamente: per passare da 0 a 50 km/h serve un quarto dell’energia che serve per passare da 0 a 100 km/h. Lavoro e potenza sono definiti in lavoro, potenza ed energia cinetica.

Gli errori più comuni

• Usare il lavoro di una sola forza. Nel teorema va il lavoro di tutte le forze, non solo di quella applicata: nel terzo esercizio, senza il lavoro negativo del peso, la velocità finale verrebbe sbagliata.
• Sbagliare i segni. L’attrito dinamico compie sempre lavoro negativo; il peso compie lavoro negativo quando il corpo sale e positivo quando scende.
• Mettere nel lavoro la normale. Su una superficie ferma la normale è perpendicolare allo spostamento e non compie lavoro.
• Contare due volte il peso. Se usi il lavoro del peso nel teorema, non aggiungere anche la variazione di energia potenziale gravitazionale, e viceversa.
• Calcolare $F\,d$ con una forza variabile. Serve l’integrale, cioè l’area sotto il grafico, oppure la forza media.
• Pensare che lavoro nullo voglia dire forza nulla. Una forza sempre perpendicolare al moto, come quella centripeta, c’è ma non compie lavoro.
• Dimenticare il quadrato o il fattore $\frac{1}{2}$. Velocità doppia, energia quadrupla.
• Lasciare le velocità in km/h. Nel Sistema Internazionale le velocità vanno in m/s: si divide per 3,6.

Esercizi svolti

1. Lo spazio di frenata

Testo. Un’auto di 1200 kg viaggia a 20 m/s e frena bloccando le ruote. Il coefficiente di attrito dinamico è $\mu_d = 0{,}7$. Quanto spazio percorre prima di fermarsi?

L’unica forza che compie lavoro è l’attrito, $\mu_d\,m\,g$, opposto allo spostamento $d$. Peso e normale sono verticali e non compiono lavoro:

$$\begin{gathered} -\mu_d\,m\,g\,d = 0 - \frac{1}{2}\,m\,v_0^2 \\ d = \frac{v_0^2}{2\,\mu_d\,g} = \frac{20^2}{2 \cdot 0{,}7 \cdot 9{,}81}\ \text{m} \approx 29{,}1\ \text{m} \end{gathered}$$

È lo stesso risultato che avevamo trovato con la cinematica nell’articolo sull’attrito, ma in un solo passaggio. L’attrito ha compiuto un lavoro di $-240\ \text{kJ}$, pari a tutta l’energia cinetica iniziale dell’auto, che è diventata calore in gomme e asfalto.

2. Un blocco su un piano inclinato con attrito

Testo. Un blocco di 2 kg parte da fermo dalla cima di un piano inclinato di $30°$ lungo 5 m, con $\mu_d = 0{,}2$. Con che velocità arriva in fondo?

• Lavoro del peso (componente parallela al piano, concorde con lo spostamento): $W_P = m\,g\,L\sin 30° \approx 49{,}1\ \text{J}$.
• Lavoro dell’attrito (opposto allo spostamento): $W_A = -\mu_d\,m\,g\cos 30°\,L \approx -17{,}0\ \text{J}$.
• La normale non compie lavoro.

$$\begin{gathered} W_P + W_A = \frac{1}{2}\,m\,v^2 \\ v = \sqrt{\frac{2 \cdot (49{,}1 - 17{,}0)}{2}}\ \text{m/s} \approx 5{,}66\ \text{m/s} \end{gathered}$$

Senza attrito arriverebbe a $\sqrt{2 \cdot 49{,}1 / 2} \approx 7{,}0\ \text{m/s}$: l’attrito si è “mangiato” circa un terzo dell’energia.

3. Un corpo sollevato

Testo. Una cassa di 10 kg, inizialmente ferma, viene sollevata di 2 m con una fune che tira verso l’alto con una forza costante di 120 N. Che velocità ha alla fine?

Il lavoro della fune è positivo, quello del peso negativo:

$$\begin{gathered} W_F = 120 \cdot 2\ \text{J} = 240\ \text{J} \\ W_P = -10 \cdot 9{,}81 \cdot 2\ \text{J} \approx -196\ \text{J} \end{gathered}$$ $$v = \sqrt{\frac{2 \cdot (240 - 196)}{10}}\ \text{m/s} \approx 2{,}96\ \text{m/s}$$

Considerando solo la fune si troverebbe $v = \sqrt{2 \cdot 240/10} \approx 6{,}9\ \text{m/s}$, più del doppio: è l’errore più comune.

4. La molla che lancia un blocco

Testo. Una molla con $k = 200\ \text{N/m}$, compressa di 10 cm, lancia un blocco di 0,5 kg su un piano liscio. Dopo aver lasciato la molla il blocco entra in un tratto ruvido con $\mu_d = 0{,}25$. Con che velocità lascia la molla? Quanta strada fa nel tratto ruvido prima di fermarsi?

Mentre la molla si distende, l’unica forza che compie lavoro è la forza elastica, che vale $\frac{1}{2}kx^2$:

$$\begin{gathered} W_{el} = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 0{,}1^2\ \text{J} = 1\ \text{J} \\ v = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{0{,}5}}\ \text{m/s} = 2\ \text{m/s} \end{gathered}$$

Nel tratto ruvido l’attrito compie un lavoro negativo fino a togliere tutto il joule di energia cinetica:

$$\begin{gathered} -\mu_d\,m\,g\,d = 0 - 1\ \text{J} \\ d = \frac{1}{0{,}25 \cdot 0{,}5 \cdot 9{,}81}\ \text{m} \approx 0{,}82\ \text{m} \end{gathered}$$

5. Una forza che diminuisce

Testo. Su un corpo di 2 kg, inizialmente fermo su un piano liscio, agisce una forza orizzontale che diminuisce con la posizione secondo $F(x) = 6 - 2x$, in newton con $x$ in metri, fino ad annullarsi in $x = 3\ \text{m}$. Che velocità ha il corpo in $x = 1{,}5\ \text{m}$ e in $x = 3\ \text{m}$?

Il lavoro è l’integrale della forza:

$$W(x) = \int_0^x (6 - 2s)\,ds = 6x - x^2$$

In $x = 3\ \text{m}$ vale $18 - 9 = 9\ \text{J}$, l’area del triangolo del grafico. In $x = 1{,}5\ \text{m}$ vale $9 - 2{,}25 = 6{,}75\ \text{J}$. Con $\frac{1}{2}mv^2 = W$ e $m = 2\ \text{kg}$:

$$\begin{gathered} v(1{,}5\ \text{m}) = \sqrt{6{,}75}\ \text{m/s} \approx 2{,}60\ \text{m/s} \\ v(3\ \text{m}) = \sqrt{9}\ \text{m/s} = 3\ \text{m/s} \end{gathered}$$

A metà percorso il corpo ha già tre quarti dell’energia finale, perché la forza è più grande all’inizio. Con la cinematica questo problema sarebbe difficile, perché l’accelerazione cambia con la posizione; con il teorema è un integrale.

6. Lo slittino su una pista qualsiasi

Testo. Uno slittino di 20 kg, con il bambino, parte da fermo da un punto a 8 m di altezza e scende lungo una pista innevata di forma qualsiasi, arrivando in fondo a 10 m/s. Quanto lavoro ha fatto l’attrito?

Il lavoro del peso dipende solo dal dislivello, non dalla forma della pista: $W_P = m\,g\,h$. La normale è sempre perpendicolare alla pista e non compie lavoro. Resta l’attrito, che è l’incognita:

$$\begin{gathered} W_P = 20 \cdot 9{,}81 \cdot 8\ \text{J} \approx 1570\ \text{J} \\ \Delta E_k = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 10^2\ \text{J} = 1000\ \text{J} \\ W_{attr} = 1000 - 1570\ \text{J} = -570\ \text{J} \end{gathered}$$

L’attrito ha dissipato circa il 36% dell’energia. Senza conoscere né la forma della pista né il coefficiente di attrito, il teorema dà comunque il lavoro totale delle forze di attrito.

Altri problemi su lavoro, energia e potenza li trovi negli esercizi svolti su lavoro ed energia.

In sintesi

• Il lavoro della risultante di tutte le forze è uguale alla variazione di energia cinetica: $W = \frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2$.
• Vale per qualsiasi forza e qualsiasi percorso, anche con l’attrito. Solo la componente tangente della forza compie lavoro.
• Il lavoro totale è la somma dei lavori delle singole forze, ciascuno con il suo segno; per una forza variabile è l’area sotto il grafico.
• Lo spazio di frenata è proporzionale al quadrato della velocità: velocità doppia, spazio quadruplo.
• La conservazione dell’energia meccanica è una conseguenza del teorema; per i sistemi di punti contano anche i lavori delle forze interne.
• Conviene quando il problema lega velocità e spostamenti senza chiedere i tempi.

Per alcune forze il lavoro non dipende dal percorso ma solo dal punto di partenza e da quello di arrivo. I due esempi più importanti li vediamo nel lavoro della forza peso e della forza elastica.