Tensione dei fili: filo ideale, carrucole, macchina di Atwood ed esercizi svolti

Una lampada appesa a un cavo, un secchio tirato su da un pozzo, due blocchi collegati da una corda che passa su una carrucola: in tutti questi casi compare la tensione di un filo. È una delle forze più frequenti negli esercizi di dinamica, soprattutto in quelli con più corpi collegati. In questa pagina vediamo cos’è la tensione, il filo ideale, cosa cambia se il filo ha massa, il corpo appeso a uno o due fili, il metodo per i corpi collegati, la macchina di Atwood, la carrucola mobile, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

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Se invece preferisci leggere, ecco tutto ciò che devi sapere.

Cos’è la tensione

Un filo teso esercita una forza sui corpi a cui è attaccato: è la tensione $\vec{T}$. Le sue caratteristiche sono semplici:

• è sempre diretta lungo il filo;
• tira il corpo verso il filo: un filo non può spingere. Se il calcolo dà una tensione negativa, il filo in realtà si è allentato.

Da dove viene questa forza? Quando tiri una corda, le sue molecole si allontanano di pochissimo l’una dall’altra e le forze tra loro, che tendono a riavvicinarle, trasmettono la trazione da un capo all’altro. È un po’ come una catena di persone che si tengono per mano: chi è in fondo tira chi gli sta accanto, e così via fino all’altro capo.

Come tutte le reazioni vincolari, la tensione non ha un valore fisso: assume quello necessario a mantenere teso il filo, e si ricava dalle equazioni del moto.

Il filo ideale

Negli esercizi di Fisica 1 i fili sono quasi sempre ideali, cioè:

1. inestensibili: non si allungano. Di conseguenza, i corpi collegati dallo stesso filo teso percorrono gli stessi spazi e hanno la stessa velocità e la stessa accelerazione in modulo;
2. di massa trascurabile: applicando il secondo principio a un pezzetto di filo di massa nulla, la risultante deve essere zero. Quindi la tensione è la stessa in tutti i punti del filo.

Il secondo punto si vede bene con un conto. Prendi un pezzetto di filo di massa $\Delta m$, tirato da una parte con tensione $T_1$ e dall’altra con tensione $T_2$. Per il secondo principio, $T_2 - T_1 = \Delta m\,a$. Se il filo non ha massa, $\Delta m = 0$ e quindi $T_1 = T_2$, qualunque sia l’accelerazione.

Queste due proprietà sono il cuore di ogni esercizio con corpi collegati: un’unica accelerazione $a$ e un’unica tensione $T$ per tutto il filo.

La carrucola ideale

Una carrucola ideale, senza massa e senza attrito, si limita a cambiare la direzione del filo, lasciando invariata la tensione. Se la carrucola ha una massa non trascurabile, la tensione ai due lati è diversa: è il caso della carrucola reale, che si studia con il corpo rigido.

Quando il filo ha massa

Se il filo è una fune pesante, la tensione non è più la stessa ovunque. Pensa a una fune di 2 kg che regge un secchio di 10 kg, fermo. Il punto più basso della fune regge solo il secchio, quindi lì la tensione è il suo peso, $10 \cdot 9{,}81 \approx 98{,}1\ \text{N}$. A metà fune bisogna reggere il secchio e metà fune, 11 kg, cioè circa 107,9 N. In cima, il punto di aggancio regge tutto, 12 kg, cioè circa 117,7 N.

In generale, in una fune appesa e ferma la tensione in un punto è uguale al peso di tutto quello che c’è sotto. Per questo i cavi molto lunghi, come quelli delle funivie o degli ascensori dei grattacieli, devono tenere conto anche del proprio peso.

Un corpo appeso

Il caso più semplice: un corpo di massa $m$ appeso a un filo verticale. Prendendo l’asse verso l’alto, il secondo principio dà:

$$\begin{gathered} T - m\,g = m\,a \\ T = m\,(g + a) \end{gathered}$$

• Se il corpo è fermo o sale e scende a velocità costante ($a = 0$), $T = mg$.
• Se accelera verso l’alto ($a > 0$), la tensione è maggiore del peso.
• Se accelera verso il basso ($a < 0$), la tensione è minore del peso; in caduta libera si annulla.

È quello che succede al cavo di un ascensore: quando la cabina parte verso l’alto il cavo tira più del peso, quando rallenta salendo o accelera scendendo tira meno. Lo stesso effetto lo senti tu, sotto forma di peso apparente, come nell’esercizio della bilancia in ascensore negli esercizi svolti di dinamica.

Un corpo appeso a due fili

Ora appendi una lampada di massa $m$ al centro di un filo, i cui capi sono fissati al soffitto. I due tratti di filo formano un angolo $\alpha$ con l’orizzontale e, per simmetria, hanno la stessa tensione $T$.

La lampada è ferma, quindi è in equilibrio. Le componenti orizzontali delle due tensioni sono uguali e opposte e si annullano; quelle verticali, $T\sin\alpha$ ciascuna, devono reggere il peso:

$$\begin{gathered} 2\,T\sin\alpha = m\,g \\ T = \frac{m\,g}{2\sin\alpha} \end{gathered}$$

La tensione dipende moltissimo dall’angolo:

Angolo $\alpha$	$T/(mg)$
90° (fili verticali)	0,50
30°	1,00
10°	2,88
5°	5,74
1°	28,6

Con i fili verticali ognuno regge metà del peso. Più i fili sono vicini all’orizzontale, più la tensione cresce: a 1° ogni filo tira con quasi trenta volte il peso della lampada. È per questo che un filo per stendere il bucato non si riesce mai a tendere perfettamente dritto: servirebbe una tensione infinita, e prima o poi il filo si spezzerebbe o i ganci cederebbero.

Il metodo per i corpi collegati

1. Disegna le forze su ciascun corpo separatamente.
2. Scegli per ogni corpo un asse orientato nel verso del moto (se non lo conosci, scegline uno e controlla il segno di $a$ alla fine). Così l’accelerazione è la stessa per tutti.
3. Scrivi il secondo principio per ogni corpo: avrai tante equazioni quante sono le incognite ($a$ e $T$).
4. Risolvi il sistema. Un trucco: sommando le equazioni la tensione si semplifica e trovi subito $a$.

Blocco sul tavolo trascinato da una massa appesa

Un blocco di massa $m_1$ è su un tavolo orizzontale liscio ed è collegato, tramite un filo che passa su una carrucola al bordo del tavolo, a un corpo di massa $m_2$ appeso. Il corpo appeso scende e trascina il blocco.

Sul blocco 1 normale e peso si bilanciano e l’unica forza orizzontale è la tensione; sul corpo 2 agiscono il peso verso il basso e la tensione verso l’alto. La tensione è la stessa ai due capi del filo:

$$\begin{cases} T = m_1\,a \\ m_2\,g - T = m_2\,a \end{cases}$$

Sommando le due equazioni la tensione scompare:

$$\begin{gathered} a = \frac{m_2}{m_1 + m_2}\,g \\ T = \frac{m_1\,m_2}{m_1 + m_2}\,g \end{gathered}$$

Nota che la tensione è minore del peso di $m_2$: se fosse uguale, il corpo appeso non accelererebbe. Un modo intuitivo di leggere la formula di $a$: la forza che mette in moto il sistema è il peso $m_2 g$, ma deve accelerare entrambe le masse, $m_1 + m_2$.

Se il tavolo è scabro, sul blocco 1 si aggiunge l’attrito dinamico $\mu_d\,m_1 g$, e l’accelerazione diventa $a = \dfrac{m_2 - \mu_d\,m_1}{m_1 + m_2}\,g$.

La macchina di Atwood

Due masse $m_1$ e $m_2$, con $m_2 > m_1$, sono appese ai due lati di un filo che passa su una carrucola ideale. La massa più grande scende, l’altra sale:

$$\begin{cases} T - m_1\,g = m_1\,a \\ m_2\,g - T = m_2\,a \end{cases}$$

Sommando:

$$\begin{gathered} a = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}\,g \\ T = \frac{2\,m_1\,m_2}{m_1 + m_2}\,g \end{gathered}$$

Con masse quasi uguali l’accelerazione è molto più piccola di $g$. Proprio questo era lo scopo della macchina: la descrisse George Atwood, docente al Trinity College di Cambridge, nel suo trattato del 1784 sul moto dei corpi, per mostrare a lezione le leggi del moto uniformemente accelerato. Una caduta libera è troppo rapida per misurarla con gli orologi del Settecento; “rallentata” dalla macchina, si possono misurare con calma spazi e tempi. Ricavando $g$ dalla formula di $a$, la macchina permette anche di misurare l’accelerazione di gravità.

Più corpi in fila

Se tiri con una forza $F$ una fila di blocchi collegati da fili, su un piano liscio, come i vagoni di un trenino, tutti hanno la stessa accelerazione $a = F/M$, dove $M$ è la massa totale. Ogni filo deve accelerare solo i blocchi che ha dietro, quindi:

$$T = (\text{massa dietro al filo}) \cdot a = F\,\frac{m_{dietro}}{M}$$

Le tensioni diminuiscono andando verso la coda: il primo filo trascina quasi tutto il treno, l’ultimo solo l’ultimo vagone. Lo vediamo con i numeri nell’esercizio 5.

La carrucola mobile e il paranco

Finora la carrucola era fissa e serviva solo a cambiare direzione. Una carrucola mobile, invece, è agganciata al carico e sale con lui: la fune ha un capo fissato al soffitto, passa sotto la carrucola e risale fino alla tua mano. Il carico è retto da due tratti di fune, ciascuno con tensione $T$, quindi se la carrucola non ha massa e il carico sale a velocità costante:

$$\begin{gathered} 2\,T = m\,g \\ T = \frac{m\,g}{2} \end{gathered}$$

Per sollevare il carico basta tirare con metà del suo peso. Non è un regalo della fisica: per alzare il carico di un metro devi tirare due metri di fune, perché si accorciano entrambi i tratti. Il lavoro che fai, forza per spostamento, è lo stesso: $\tfrac{1}{2}mg \cdot 2h = mgh$. Combinando più carrucole fisse e mobili si ottiene un paranco, con cui si sollevano carichi pesanti tirando una fune con poca forza.

Il filo nel moto circolare

La tensione è anche la forza che tiene in cerchio una pallina fatta girare con un filo, e quella che, insieme al peso, curva la traiettoria di un pendolo. In questi casi la tensione fa da forza centripeta: più la pallina va veloce, più il filo deve tirare, finché non raggiunge il carico di rottura e si spezza.

Gli errori più comuni

• Mettere $T = mg$ anche quando il corpo accelera. La tensione è uguale al peso solo se l’accelerazione è zero.
• Disegnare la tensione che spinge. Un filo tira sempre verso il filo; una tensione negativa vuol dire filo allentato.
• Usare tensioni diverse ai due capi di un filo ideale. Con filo senza massa e carrucola ideale la tensione è una sola.
• Usare la stessa tensione su una carrucola con massa. Con la carrucola reale le tensioni ai due lati sono diverse.
• Scegliere assi che non seguono il filo. Se per un corpo l’asse punta nel verso del moto e per l’altro no, le accelerazioni hanno segni diversi e il sistema non torna.
• Dimenticare che i corpi collegati si muovono insieme. La massa da accelerare è quella di tutti i corpi, non solo di quello su cui agisce la forza.
• Pensare che un filo ben teso possa essere perfettamente orizzontale. Per reggere un peso serve una componente verticale della tensione.

Esercizi svolti

1. Blocco trascinato da una massa appesa

Testo. Un blocco di $m_1 = 4\ \text{kg}$ su un tavolo liscio è collegato, con un filo che passa su una carrucola ideale, a una massa appesa $m_2 = 1\ \text{kg}$. Trova l’accelerazione e la tensione del filo.

Con le formule viste sopra:

$$\begin{gathered} a = \frac{1}{5} \cdot 9{,}81\ \text{m/s}^2 \approx 1{,}96\ \text{m/s}^2 \\ T = \frac{4 \cdot 1}{5} \cdot 9{,}81\ \text{N} \approx 7{,}85\ \text{N} \end{gathered}$$

Il peso della massa appesa è 9,81 N, ma il filo la regge con soli 7,85 N.

2. La macchina di Atwood

Testo. In una macchina di Atwood le due masse sono $m_1 = 3\ \text{kg}$ e $m_2 = 5\ \text{kg}$, inizialmente ferme. Trova l’accelerazione, la tensione del filo e il tempo che impiega la massa più grande a scendere di 1 m.

Con le formule della macchina di Atwood:

$$\begin{gathered} a = \frac{5 - 3}{8} \cdot 9{,}81\ \text{m/s}^2 \approx 2{,}45\ \text{m/s}^2 \\ T = \frac{2 \cdot 3 \cdot 5}{8} \cdot 9{,}81\ \text{N} \approx 36{,}8\ \text{N} \end{gathered}$$

Controllo: la tensione è compresa tra i due pesi, 29,4 N e 49,1 N, come deve essere. Partendo da ferma, la massa scende con moto uniformemente accelerato, $d = \tfrac{1}{2}at^2$:

$$t = \sqrt{\frac{2d}{a}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2{,}45}}\ \text{s} \approx 0{,}90\ \text{s}$$

In caduta libera lo stesso metro richiederebbe circa 0,45 s: la macchina ha “rallentato” la caduta di un fattore due.

3. Il cavo dell’ascensore

Testo. Una cabina d’ascensore di 800 kg è retta da un cavo. Quanto vale la tensione del cavo quando la cabina accelera verso l’alto a 1,5 m/s²? E quando accelera verso il basso a 1,5 m/s²? Se il cavo regge al massimo 12 000 N, qual è la massima accelerazione verso l’alto?

Con l’asse verso l’alto, $T = m(g + a)$. In salita:

$$T = 800 \cdot (9{,}81 + 1{,}5)\ \text{N} \approx 9050\ \text{N}$$

In discesa l’accelerazione vale $-1{,}5\ \text{m/s}^2$:

$$T = 800 \cdot (9{,}81 - 1{,}5)\ \text{N} \approx 6650\ \text{N}$$

A cabina ferma la tensione sarebbe il peso, circa 7850 N. La massima accelerazione verso l’alto si ha quando la tensione raggiunge il carico massimo:

$$\begin{gathered} a_{max} = \frac{T_{max}}{m} - g = \frac{12\,000}{800} - 9{,}81 \\ a_{max} \approx 5{,}19\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$

4. La lampada appesa a due fili

Testo. Una lampada di 5 kg è appesa al centro di un filo fissato al soffitto in due punti; ciascun tratto forma un angolo di 20° con l’orizzontale. Quanto vale la tensione del filo? E se il filo fosse tirato fino a formare un angolo di soli 5°?

Dall’equilibrio verticale, $2T\sin\alpha = mg$:

$$T = \frac{m\,g}{2\sin\alpha} = \frac{5 \cdot 9{,}81}{2 \cdot 0{,}342}\ \text{N} \approx 71{,}7\ \text{N}$$

Già a 20° ogni tratto tira con più del peso della lampada, 49,1 N. A 5°, con $\sin 5^\circ \approx 0{,}087$, la tensione sale a circa 281 N, quasi sei volte il peso.

5. Tre blocchi in fila

Testo. Tre blocchi di 3 kg, 2 kg e 1 kg sono appoggiati in fila su un pavimento liscio e collegati da due fili. Una forza di 30 N tira il blocco da 3 kg, che sta in testa. Trova l’accelerazione e le tensioni dei due fili.

I tre blocchi si muovono insieme, quindi l’accelerazione è quella di una massa di 6 kg:

$$a = \frac{F}{M} = \frac{30\ \text{N}}{6\ \text{kg}} = 5\ \text{m/s}^2$$

Il primo filo, tra il blocco da 3 kg e quello da 2 kg, deve accelerare i blocchi che ha dietro, 2 kg + 1 kg; il secondo filo solo l’ultimo blocco, da 1 kg:

$$\begin{gathered} T_1 = (2 + 1) \cdot 5\ \text{N} = 15\ \text{N} \\ T_2 = 1 \cdot 5\ \text{N} = 5\ \text{N} \end{gathered}$$

Controllo sul primo blocco: la risultante è $F - T_1 = 30 - 15 = 15\ \text{N}$, e infatti $3\ \text{kg} \cdot 5\ \text{m/s}^2 = 15\ \text{N}$.

6. Piano inclinato e massa appesa

Testo. Un blocco di 5 kg è su un piano inclinato di 30°, con $\mu_s = 0{,}25$ e $\mu_d = 0{,}2$. È collegato, con un filo che passa su una carrucola ideale in cima al piano, a una massa di 4 kg che pende nel vuoto. Il sistema, lasciato fermo, si muove? Se sì, con che accelerazione, e quanto vale la tensione?

La massa appesa tira con il suo peso, $4 \cdot 9{,}81 \approx 39{,}2\ \text{N}$; la componente del peso del blocco lungo il piano lo tira giù con $5 \cdot 9{,}81 \cdot \sin 30^\circ \approx 24{,}5\ \text{N}$. Il sistema tende quindi a muoversi con la massa che scende e il blocco che sale, con una forza netta di circa 14,7 N. L’attrito statico massimo sul blocco è $\mu_s\,mg\cos 30^\circ \approx 0{,}25 \cdot 42{,}5\ \text{N} \approx 10{,}6\ \text{N}$, minore di 14,7 N: il sistema parte.

Durante il moto l’attrito dinamico vale $0{,}2 \cdot 42{,}5\ \text{N} \approx 8{,}5\ \text{N}$, diretto verso il basso lungo il piano perché il blocco sale. Considerando i due corpi insieme:

$$\begin{gathered} a = \frac{39{,}2 - 24{,}5 - 8{,}5}{5 + 4}\ \text{m/s}^2 \\ a \approx 0{,}69\ \text{m/s}^2 \end{gathered}$$

Per la massa appesa, $m_2 a = m_2 g - T$:

$$\begin{gathered} T = m_2\,(g - a) = 4 \cdot (9{,}81 - 0{,}69)\ \text{N} \\ T \approx 36{,}5\ \text{N} \end{gathered}$$

Altri problemi con fili e carrucole li trovi negli esercizi svolti di dinamica.

In sintesi

• La tensione è diretta lungo il filo e può solo tirare.
• Filo ideale: inestensibile (stessa accelerazione per i corpi collegati) e senza massa (stessa tensione in ogni punto). In una fune pesante, invece, la tensione cresce salendo.
• La carrucola ideale cambia solo la direzione del filo; quella mobile dimezza la forza necessaria, ma raddoppia la fune da tirare.
• Corpo appeso: $T = m(g + a)$, uguale al peso solo se $a = 0$.
• Corpo appeso a due fili inclinati di $\alpha$: $T = mg/(2\sin\alpha)$, che cresce moltissimo quando i fili si avvicinano all’orizzontale.
• Corpi collegati: un’equazione per corpo, poi si sommano per eliminare $T$.
• Macchina di Atwood: $a = \dfrac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}\,g$, $T = \dfrac{2m_1 m_2}{m_1 + m_2}\,g$.

Un’altra forza di richiamo molto importante è quella di una molla: la forza elastica.