Forza risultante e reazione vincolare: somma delle forze, vincoli ed esercizi svolti

Su un corpo agiscono quasi sempre più forze insieme: il peso, la spinta di chi lo tira, l’attrito, l’appoggio del pavimento. Per applicare il secondo principio della dinamica serve però una sola forza, la forza risultante, che riassume l’effetto di tutte. E alcune forze, le reazioni vincolari, non le conosci finché non risolvi il problema. In questa pagina vediamo come si sommano le forze con il metodo grafico e con le componenti, la forza equilibrante, i vincoli e le reazioni vincolari, la differenza tra vincoli lisci e scabri, perché la normale non è sempre uguale al peso, il peso apparente, il diagramma di corpo libero, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

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Se invece preferisci leggere, ecco tutto ciò che devi sapere.

Cos’è la forza risultante

La forza risultante è la somma vettoriale di tutte le forze che agiscono su un corpo:

$$\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \dots + \vec{F}_n = \sum_i \vec{F}_i$$

È l’unica forza che produce sul corpo lo stesso effetto di tutte le forze insieme, ed è quella che compare nel secondo principio: $\vec{R} = m\,\vec{a}$. L’accelerazione dipende solo dalla somma delle forze, non da ciascuna presa da sola.

Che le forze si sommino così è un fatto sperimentale, il principio di sovrapposizione: ogni forza agisce come se le altre non ci fossero, e l’effetto complessivo è quello della loro somma vettoriale.

Si sommano i vettori, non i moduli

Due forze da 10 N danno una risultante di 20 N se tirano nello stesso verso, di 0 N se tirano in versi opposti, e di un valore intermedio negli altri casi:

Angolo tra le due forze	Risultante (N)
0°	20,0
60°	17,3
90°	14,1
120°	10,0
180°	0

Due amici che trascinano una slitta con due corde molto aperte sprecano parte della loro forza. In generale, per due forze $F_1$ e $F_2$ che formano un angolo $\alpha$, il teorema del coseno dà:

$$R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\alpha}$$

Il modulo della risultante è sempre compreso tra $|F_1 - F_2|$, con forze opposte, e $F_1 + F_2$, con forze concordi.

Il metodo grafico: parallelogramma e poligono

Con la regola del parallelogramma disegni due forze con la stessa origine e completi il parallelogramma che hanno per lati: la risultante è la diagonale che parte dall’origine comune.

Con tre o più forze è più comoda la regola del poligono, o metodo punta-coda. Disegni la prima forza, dalla sua punta fai partire la seconda, dalla punta della seconda la terza, e così via. La risultante va dalla coda della prima alla punta dell’ultima.

L’ordine delle forze non conta: il poligono cambia forma, ma la risultante resta la stessa. Se l’ultima punta torna sulla prima coda, il poligono è chiuso e la risultante è zero. Il metodo grafico serve a farsi un’idea e a controllare i conti; per i numeri si usano le componenti, come nell’esercizio 2, che parte dalle forze della figura. Gli stessi metodi valgono per qualunque vettore: vedi la somma di vettori.

Il metodo delle componenti

Si sceglie un sistema di assi e si scompone ogni forza. Se una forza di modulo $F$ forma un angolo $\theta$ con il semiasse $x$ positivo, misurato in senso antiorario:

$$\begin{gathered} F_x = F\cos\theta \\ F_y = F\sin\theta \end{gathered}$$

Misurando l’angolo sempre così, i segni vengono da soli: una forza a 150° ha $\cos 150^\circ < 0$, quindi componente $x$ negativa. Poi si sommano le componenti asse per asse e si ricavano modulo e direzione della risultante:

$$\begin{gathered} R_x = \sum_i F_{i,x} \qquad R_y = \sum_i F_{i,y} \\ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \qquad \tan\varphi = \frac{R_y}{R_x} \end{gathered}$$

Un consiglio pratico: scegli gli assi in modo che più forze possibile cadano lungo un asse. Sul piano inclinato conviene un asse parallelo al piano e uno perpendicolare: così si scompone solo il peso.

Risultante nulla: equilibrio e forza equilibrante

Se la risultante è zero, per il secondo principio anche l’accelerazione è zero: il corpo resta fermo oppure si muove in linea retta a velocità costante. È la condizione di equilibrio, $R_x = 0$ e $R_y = 0$, e graficamente il poligono delle forze si chiude. Attenzione: risultante nulla non vuol dire “nessuna forza”, ma forze che si bilanciano.

Se su un corpo agisce una risultante $\vec{R}$ e lo vuoi tenere in equilibrio, devi aggiungere la forza equilibrante, uguale e opposta:

$$\vec{E} = -\vec{R}$$

È la forza che deve fare un gancio o un sostegno per tenere fermo il corpo.

Un po’ di storia: da Stevin ai Principia

Nel 1586 il fiammingo Simon Stevin, nel libro De Beghinselen der Weeghconst, «I principi dell’arte di pesare», studiò il piano inclinato con una collana di sfere uguali, la clootcrans, appoggiata su due piani inclinati di lunghezza diversa. La collana non può mettersi a girare da sola, altrimenti sarebbe un moto perpetuo: quindi le sfere sul piano lungo, più numerose ma ognuna “spinta” di meno, bilanciano quelle sul piano corto. Da qui Stevin ricavò la legge del piano inclinato, e il suo ragionamento geometrico è alla base della regola del parallelogramma. Sul disegno scrisse il motto «Wonder en is gheen wonder»: ciò che sembra un prodigio non è un prodigio.

Nel 1687 la regola comparve sia nel Projet d’une nouvelle mécanique di Pierre Varignon sia nei Principia di Isaac Newton, come primo corollario delle leggi del moto. In seguito si cercò a lungo di dimostrarla da principi più semplici, ma ogni dimostrazione sollevò obiezioni: oggi la si considera un fatto sperimentale.

I vincoli e la reazione vincolare

Un vincolo è qualcosa che limita i movimenti possibili di un corpo: il pavimento impedisce a un oggetto di sprofondare, un binario obbliga un treno a seguire una traiettoria, un filo impedisce a una lampada di cadere.

Il vincolo agisce sul corpo con una forza, la reazione vincolare. Delle forze attive, come il peso o la forza di una molla, conosci in anticipo il valore. La reazione vincolare, invece, non ha un valore prefissato: assume, istante per istante, il valore necessario a far rispettare il vincolo. Per questo di solito è un’incognita del problema.

Come fa il pavimento a “sapere” quanto spingere? Si deforma pochissimo, come una molla durissima: sotto un armadio si schiaccia un po’ più che sotto un libro, e la forza elastica che nasce cresce finché non regge il carico. In cambio dell’incognita, il vincolo ti dà un’informazione sul moto: il blocco appoggiato non si muove perpendicolarmente al piano, quindi in quella direzione l’accelerazione è zero. È da questa equazione che ricavi la reazione.

La reazione normale

Un corpo appoggiato su una superficie riceve una forza perpendicolare alla superficie, la reazione normale $\vec{N}$: “normale” in geometria significa perpendicolare. Su un pavimento è verticale, su un piano inclinato è inclinata, su un muro è orizzontale.

Il pavimento può solo spingere, mai tirare: è un vincolo unilatero, e deve essere $N \ge 0$. Se dai conti la normale viene negativa, il corpo si è staccato e il vincolo non agisce più.

Vincoli lisci e vincoli scabri

Se il vincolo è liscio, la reazione è solo normale. Se è scabro, ha anche una componente parallela alla superficie, che è la forza di attrito. La reazione vincolare totale è la somma delle due:

$$\vec{R}_v = \vec{N} + \vec{f}$$

Il caso più istruttivo è un blocco fermo su un piano inclinato scabro. Su di lui agiscono solo il peso e la reazione del piano, quindi la reazione totale deve essere verticale, verso l’alto e uguale al peso. Scomposta, ha una parte perpendicolare al piano, la normale, e una parte parallela, l’attrito statico.

Il modulo della reazione totale e l’angolo $\varphi$ che forma con la normale sono:

$$\begin{gathered} R_v = \sqrt{N^2 + f^2} \\ \tan\varphi = \frac{f}{N} \end{gathered}$$

Finché il corpo non scivola, l’attrito statico non supera $\mu_s N$, quindi $\tan\varphi \le \mu_s$: la reazione può inclinarsi rispetto alla normale, ma non oltre l’angolo di attrito, quello con $\tan\varphi_s = \mu_s$. Se servisse una reazione più inclinata, il corpo scivolerebbe, come vediamo nell’esercizio 4.

Fili e altri vincoli

Un filo teso esercita una forza lungo il filo, la tensione: anche lui è unilatero, può solo tirare. Con i corpi estesi compaiono cerniere e appoggi, che impediscono anche le rotazioni: li studi nell’equilibrio statico del corpo rigido.

La normale non è sempre uguale al peso

Per un corpo fermo su un pavimento orizzontale, senza altre forze verticali, la normale bilancia il peso: $N = mg$. Ma è un caso particolare. La normale si ricava sempre dal secondo principio lungo la perpendicolare alla superficie, con tutte le forze e l’eventuale accelerazione in quella direzione:

Situazione	Normale
Piano orizzontale	${mg}$
Piano inclinato di $\theta$	${mg\cos\theta}$
Spinta $F$ a un angolo $\alpha$ sotto l’orizzontale	${mg + F\sin\alpha}$
Tiro $F$ a un angolo $\alpha$ sopra l’orizzontale	${mg - F\sin\alpha}$
Ascensore che accelera in su	${m(g + a)}$
Cima di un dosso	${m(g - v^2/r)}$
Fondo di una cunetta	${m(g + v^2/r)}$
Libro premuto sul muro con $F$	${F}$

Con un tiro verso l’alto sei tu a reggere una parte del peso, e quando $F\sin\alpha = mg$ la cassa si stacca. Sul dosso l’auto percorre un arco con il centro sotto di lei: serve una risultante verso il centro, la forza centripeta, quindi il peso deve superare la normale. Nell’ultima riga il peso non c’entra proprio: la normale del muro vale quanto la tua spinta.

Il peso apparente

Una bilancia pesapersone non misura il tuo peso: misura la forza con cui la premi, uguale alla normale che lei esercita su di te, e la divide per $g$. Questa lettura è il peso apparente.

In un ascensore che parte verso l’alto con un’accelerazione di 1,5 m/s², una persona di 70 kg riceve una normale $N = m(g + a)$, cioè $70 \cdot 11{,}31 = 791{,}7\ \text{N}$, e la bilancia segna circa 80,7 kg. Quando l’ascensore, sempre salendo, frena con la stessa accelerazione, la bilancia segna circa 59,3 kg.

In caduta libera la normale sarebbe zero: è l’assenza di peso degli astronauti sulla Stazione Spaziale Internazionale, a circa 400 km di quota. Lassù $g$ vale ancora circa 8,7 m/s²: gli astronauti galleggiano perché loro e la stazione cadono insieme attorno alla Terra.

Il metodo del diagramma di corpo libero

Quasi tutti gli esercizi di dinamica si risolvono con il diagramma di corpo libero.

1. Isola il corpo e disegna il peso, verticale verso il basso.
2. Per ogni contatto disegna una reazione: la normale perpendicolare alla superficie e, se il vincolo è scabro, l’attrito parallelo. Per ogni filo, una tensione.
3. Aggiungi le forze attive: spinte, molle, tiri.
4. Scegli gli assi: uno nella direzione bloccata dal vincolo, l’altro lungo il moto possibile.
5. Scrivi il secondo principio per componenti. Nella direzione bloccata l’accelerazione è nota: zero su una superficie piana, $v^2/r$ verso il centro su una curva.
6. Risolvi e controlla: deve essere $N \ge 0$, $T \ge 0$ e, se il corpo è fermo, $f_s \le \mu_s N$. Se un controllo fallisce, il corpo si stacca, il filo si allenta o il corpo scivola.

Ogni forza del diagramma deve avere un responsabile: la Terra, una superficie, un filo, una molla, una persona. Niente “forza del moto”, né una forza centripeta in più: la forza centripeta è la risultante delle forze vere. Altri consigli in come risolvere gli esercizi di fisica.

Gli errori più comuni

• Sommare i moduli invece dei vettori. Due forze perpendicolari da 30 N e 40 N danno 50 N, non 70 N.
• Fidarsi dell’angolo della calcolatrice. Se $R_x$ è negativa, all’arcotangente va aggiunto 180°.
• Scrivere $N = mg$ in ogni esercizio. Vale solo su un piano orizzontale, senza altre forze verticali e senza accelerazione verticale.
• Disegnare la normale verticale su un piano inclinato. La normale è sempre perpendicolare alla superficie di contatto.
• Dare alla reazione vincolare un valore fisso. Normale, tensione e attrito statico valgono quanto serve: si ricavano dalle equazioni.
• Accettare una normale o una tensione negativa. Vuol dire che il corpo si è staccato o che il filo si è allentato.
• Pensare che peso e normale siano azione e reazione. Agiscono sullo stesso corpo, quindi non possono esserlo.

Esercizi svolti

1. Due forze perpendicolari e la forza equilibrante

Testo. Su un corpo agiscono una forza $F_1 = 30\ \text{N}$ lungo l’asse $x$ e una forza $F_2 = 40\ \text{N}$ lungo l’asse $y$. Trova la risultante e la forza che bisogna aggiungere per tenere il corpo in equilibrio. Quanto varrebbe la risultante se le due forze formassero un angolo di 60°?

Le due forze sono già le componenti della risultante:

$$\begin{gathered} R = \sqrt{30^2 + 40^2}\ \text{N} = 50\ \text{N} \\ \tan\varphi = \frac{40}{30} \;\Rightarrow\; \varphi \approx 53{,}1^\circ \end{gathered}$$

La forza equilibrante vale anche lei 50 N, con verso opposto: forma un angolo di $53{,}1^\circ + 180^\circ = 233{,}1^\circ$ con l’asse $x$, cioè punta in basso a sinistra. Con le forze a 60°, per il teorema del coseno:

$$\begin{gathered} R = \sqrt{30^2 + 40^2 + 2 \cdot 30 \cdot 40 \cdot 0{,}5}\ \text{N} \\ R = \sqrt{3700}\ \text{N} \approx 60{,}8\ \text{N} \end{gathered}$$

Più le direzioni delle forze sono vicine, più la risultante si avvicina alla somma dei moduli, 70 N.

2. Tre forze sommate per componenti

Testo. Tre corde tirano un anello appoggiato su un tavolo orizzontale liscio. Guardando dall’alto, $F_1 = 20\ \text{N}$ è diretta lungo l’asse $x$, $F_2 = 30\ \text{N}$ lungo l’asse $y$ e $F_3 = 40\ \text{N}$ forma un angolo di 150° con l’asse $x$: sono le forze della figura con il poligono. Trova modulo e direzione della risultante.

Scomponiamo ogni forza, con $\cos 150^\circ \approx -0{,}866$ e $\sin 150^\circ = 0{,}5$:

Forza	$F_x$ (N)	$F_y$ (N)
$F_1$	20	0
$F_2$	0	30
$F_3$	−34,64	20
Risultante	−14,64	50

Il modulo è:

$$R = \sqrt{14{,}64^2 + 50^2}\ \text{N} \approx 52{,}1\ \text{N}$$

Per la direzione, la calcolatrice dà $\arctan\bigl(50 / (-14{,}64)\bigr) \approx -73{,}7^\circ$. Ma $R_x$ è negativa e $R_y$ positiva, quindi la risultante sta nel secondo quadrante:

$$\varphi \approx -73{,}7^\circ + 180^\circ = 106{,}3^\circ$$

È quello che mostra il poligono: una risultante quasi verticale, piegata un po’ a sinistra, e non la freccia in basso a destra suggerita dalla calcolatrice.

3. La cassa spinta verso il basso e tirata verso l’alto

Testo. Una cassa di massa $m = 5\ \text{kg}$ è ferma sul pavimento. La spingi con una forza $F = 20\ \text{N}$ inclinata di 30° sotto l’orizzontale: quanto vale la normale? E se la tiri con 20 N inclinati di 30° verso l’alto? Con che forza, sempre a 30° verso l’alto, la cassa si staccherebbe dal pavimento?

Lungo la verticale la cassa non si muove, quindi la risultante verticale è nulla. Spingendo verso il basso, verso l’alto agisce solo $N$; verso il basso il peso e la componente $F\sin 30^\circ$ della spinta:

$$\begin{gathered} N - mg - F\sin 30^\circ = 0 \\ N = (5 \cdot 9{,}81 + 20 \cdot 0{,}5)\ \text{N} = 59{,}05\ \text{N} \end{gathered}$$

Tirando verso l’alto, la componente verticale della forza aiuta la normale a reggere la cassa:

$$\begin{gathered} N + F\sin 30^\circ - mg = 0 \\ N = (49{,}05 - 10)\ \text{N} = 39{,}05\ \text{N} \end{gathered}$$

La cassa si stacca quando la normale si annulla, cioè quando $F\sin 30^\circ = mg$:

$$F = \frac{mg}{\sin 30^\circ} = \frac{49{,}05}{0{,}5}\ \text{N} = 98{,}1\ \text{N}$$

Senza forze oblique la normale sarebbe 49,05 N. Siccome l’attrito è proporzionale alla normale, una cassa tirata verso l’alto si trascina più facilmente.

4. Il blocco fermo sul piano inclinato scabro

Testo. Un blocco di 4 kg è fermo su un piano inclinato di 25°, con coefficiente di attrito statico $\mu_s = 0{,}6$. Trova la normale, l’attrito statico e la reazione vincolare totale, in modulo e direzione. Fino a che inclinazione il blocco resta fermo?

Il peso vale $mg = 4 \cdot 9{,}81 = 39{,}24\ \text{N}$. Il blocco è fermo: la normale bilancia la componente perpendicolare del peso, l’attrito quella parallela:

$$\begin{gathered} N = 39{,}24 \cdot \cos 25^\circ\ \text{N} \approx 35{,}56\ \text{N} \\ f_s = 39{,}24 \cdot \sin 25^\circ\ \text{N} \approx 16{,}58\ \text{N} \end{gathered}$$

Controllo: l’attrito massimo è $\mu_s N = 0{,}6 \cdot 35{,}56 \approx 21{,}3\ \text{N}$, più di 16,58 N, quindi il blocco resta davvero fermo. La reazione totale del piano è:

$$R_v = \sqrt{35{,}56^2 + 16{,}58^2}\ \text{N} \approx 39{,}24\ \text{N}$$

esattamente il peso. Con la normale forma un angolo con $\tan\varphi = f_s / N = \tan 25^\circ$, cioè $\varphi = 25^\circ$: è verticale, come nella figura del piano inclinato. Il blocco parte quando l’inclinazione raggiunge l’angolo di attrito:

$$\tan\theta_{max} = \mu_s = 0{,}6 \;\Rightarrow\; \theta_{max} \approx 31{,}0^\circ$$

Il piano si può inclinare di altri 6° circa prima che il blocco scivoli.

5. L’auto sul dosso

Testo. Un’auto di 1000 kg passa a 15 m/s (54 km/h) sulla cima di un dosso, un arco di circonferenza di raggio 40 m. Quanto vale la normale della strada? A che velocità le ruote si staccherebbero dall’asfalto? E in fondo a una cunetta con lo stesso raggio, alla stessa velocità?

In cima al dosso il centro della curva è sotto l’auto. Prendendo positivo il verso verso il centro, cioè verso il basso, la risultante è la forza centripeta:

$$\begin{gathered} m\,g - N = m\,\frac{v^2}{r} \\ N = m\left(g - \frac{v^2}{r}\right) \end{gathered}$$

Con $v^2/r = 225/40 = 5{,}625\ \text{m/s}^2$:

$$\begin{gathered} N = 1000 \cdot (9{,}81 - 5{,}625)\ \text{N} \\ N = 4185\ \text{N} \end{gathered}$$

Il peso è 9810 N: la strada regge l’auto con meno della metà del peso. Le ruote si staccano quando $N = 0$, cioè quando $v^2/r = g$:

$$\begin{gathered} v_{max} = \sqrt{g\,r} = \sqrt{9{,}81 \cdot 40}\ \text{m/s} \\ v_{max} \approx 19{,}8\ \text{m/s} \end{gathered}$$

circa 71 km/h. In fondo alla cunetta il centro è sopra l’auto e la normale supera il peso: $N = m(g + v^2/r)$, cioè $1000 \cdot 15{,}435\ \text{N} = 15\,435\ \text{N}$, circa 1,57 volte il peso. Sui dossi conviene rallentare: meno normale vuol dire meno attrito per frenare e sterzare.

6. Il libro premuto contro il muro

Testo. Tieni fermo un libro di 2 kg premendolo contro un muro verticale con una forza orizzontale $F$. Il coefficiente di attrito statico tra libro e muro è $\mu_s = 0{,}5$. Qual è la forza minima per non farlo cadere? Se premi con 60 N, quanto vale l’attrito? E la reazione totale del muro?

In orizzontale la normale del muro bilancia la tua spinta: $N = F$. In verticale l’attrito statico regge il peso: $f_s = mg = 19{,}62\ \text{N}$. Perché il libro non scivoli serve $f_s \le \mu_s N$:

$$\begin{gathered} mg \le \mu_s\,F \\ F_{min} = \frac{mg}{\mu_s} = \frac{19{,}62}{0{,}5}\ \text{N} = 39{,}24\ \text{N} \end{gathered}$$

Se premi con 60 N la normale vale 60 N, ma l’attrito resta 19,62 N, non $\mu_s N = 30\ \text{N}$: l’attrito statico vale quanto serve. La reazione totale del muro è:

$$R_v = \sqrt{60^2 + 19{,}62^2}\ \text{N} \approx 63{,}1\ \text{N}$$

e forma con la normale un angolo con $\tan\varphi = 19{,}62/60$, cioè $\varphi \approx 18{,}1^\circ$, meno dell’angolo di attrito, circa 26,6° con $\mu_s = 0{,}5$. Qui la normale non dipende dal peso, ma solo da quanto premi.

Altri problemi con forze, vincoli e attrito li trovi negli esercizi svolti di dinamica.

In sintesi

• La forza risultante è la somma vettoriale di tutte le forze, $\vec{R} = \sum \vec{F}_i$, ed è quella che compare in $\vec{R} = m\,\vec{a}$.
• Per due forze che formano un angolo $\alpha$: $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\alpha}$, compresa tra $|F_1 - F_2|$ e $F_1 + F_2$.
• Per componenti: $R_x = \sum F_x$, $R_y = \sum F_y$, poi $R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$ e $\tan\varphi = R_y/R_x$, aggiungendo 180° se $R_x < 0$.
• Risultante nulla significa equilibrio: il poligono delle forze si chiude. La forza equilibrante è $\vec{E} = -\vec{R}$.
• La reazione vincolare non ha un valore fisso: si ricava dalle equazioni, usando l’informazione che il vincolo dà sul moto.
• Vincolo liscio: solo normale. Vincolo scabro: $\vec{R}_v = \vec{N} + \vec{f}$, con $\tan\varphi = f/N \le \mu_s$.
• La normale è perpendicolare alla superficie, vale $N \ge 0$ e non è sempre $mg$: sul piano inclinato $mg\cos\theta$, in ascensore $m(g + a)$, sul dosso $m(g - v^2/r)$. La bilancia misura la normale, cioè il peso apparente.

Quando la risultante è nulla il corpo è in equilibrio: lo vediamo nell’equilibrio delle forze.