Impulso angolare e momento dell'impulso: teorema, esempi ed esercizi svolti

Quando dai un calcio a un pallone, conta quanto forte colpisci e per quanto tempo: è l’impulso, che cambia la quantità di moto. Quando invece spingi una porta, apri un rubinetto o colpisci una trottola di lato, conta anche dove colpisci rispetto all’asse di rotazione. Per le rotazioni il ruolo dell’impulso lo gioca l’impulso angolare, che cambia il momento angolare. In questa pagina vediamo la definizione, il teorema dell’impulso angolare, il momento dell’impulso per le forze impulsive, perché negli urti con un perno conviene ragionare con il momento angolare, la conservazione, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Richiami: momento della forza e momento angolare

Servono due grandezze, che trovi spiegate per esteso nel momento angolare e momento della forza. Fissato un punto $O$, detto polo, e chiamato $\vec{r}$ il vettore che va dal polo al punto materiale:

• il momento della forza è $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$, e in modulo vale $M = F\,b$, dove $b$ è il braccio: la distanza tra il polo e la retta d’azione della forza;
• il momento angolare è $\vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v}$, e in modulo vale $L = m\,v\,b$, con $b$ distanza tra il polo e la retta della velocità. Per un punto che si muove su una circonferenza attorno al polo, $L = m\,v\,r$.

Il legame tra le due è il teorema del momento angolare, valido rispetto a un polo fisso in un sistema inerziale:

$$\vec{M} = \frac{d\vec{L}}{dt}$$

È la versione per le rotazioni del secondo principio della dinamica scritto come $\vec{F} = d\vec{p}/dt$.

L’impulso angolare

Si chiama impulso angolare l’integrale nel tempo del momento della forza:

$$\int_{t_1}^{t_2} \vec{M}\,dt$$

Se il momento è costante, l’impulso angolare è semplicemente $\vec{M}\,\Delta t$: un momento di 2 N·m che agisce per 3 s dà un impulso angolare di 6 N·m·s. Si misura in $\text{N·m·s}$, che equivale a $\text{kg·m}^2/\text{s}$, la stessa unità del momento angolare.

Se il momento cambia nel tempo, come succede quasi sempre in un colpo o in un urto, l’impulso angolare è l’area sotto il grafico del momento in funzione del tempo.

Il rettangolo tratteggiato ha la stessa area della curva: la sua altezza è il momento medio, il momento costante che nello stesso tempo produrrebbe lo stesso effetto,

$$M_{medio} = \frac{1}{\Delta t}\int_{t_1}^{t_2} M\,dt = \frac{\Delta L}{\Delta t}$$

Il teorema dell’impulso angolare

Moltiplicando $\vec{M} = d\vec{L}/dt$ per $dt$ e integrando tra $t_1$ e $t_2$:

$$\int_{t_1}^{t_2} \vec{M}\,dt = \vec{L}_2 - \vec{L}_1 = \Delta\vec{L}$$

L’impulso angolare del momento risultante, rispetto a un polo fisso, è uguale alla variazione del momento angolare rispetto allo stesso polo.

Come il teorema dell’impulso permette di studiare un urto senza conoscere la forza istante per istante, il teorema dell’impulso angolare permette di calcolare l’effetto di un momento variabile conoscendo solo il risultato complessivo.

Il teorema è vettoriale: l’impulso angolare cambia anche la direzione del momento angolare, non solo il modulo. Se il momento è sempre perpendicolare a $\vec{L}$, ne cambia la direzione ma lascia invariato il modulo. È quello che succede a una trottola: il peso la fa ruotare lentamente attorno alla verticale invece di farla cadere, un moto che si chiama precessione e che si studia con il corpo rigido.

Il momento dell’impulso e le forze impulsive

Una forza impulsiva è una forza molto intensa che agisce in un tempo brevissimo: un colpo di martello, un calcio, un proiettile che si conficca in un bersaglio. Durante quel tempo il corpo non fa in tempo a spostarsi in modo apprezzabile, quindi il vettore $\vec{r}$ dal polo al punto di applicazione si può considerare costante e portare fuori dall’integrale:

$$\begin{gathered} \int \vec{M}\,dt = \int \vec{r} \times \vec{F}\,dt \\ {} = \vec{r} \times \int \vec{F}\,dt = \vec{r} \times \vec{J} \end{gathered}$$

Il vettore $\vec{r} \times \vec{J}$ è il momento dell’impulso rispetto al polo. Per una forza impulsiva il teorema diventa:

$$\Delta\vec{L} = \vec{r} \times \vec{J}$$

In modulo, $\Delta L = J\,b = J\,r\sin\theta$, dove $b$ è il braccio dell’impulso. Il disegno mostra due modi equivalenti di leggere la formula: $J$ per il braccio $b$, oppure la sola componente perpendicolare $J\sin\theta$ per la distanza $r$. La componente lungo l’asta, $J\cos\theta$, non ha braccio e non fa ruotare nulla.

Un colpo la cui retta d’azione passa per il polo non cambia il momento angolare rispetto a quel polo. È il motivo per cui una porta non si apre se la spingi in direzione dei cardini, e si apre facilmente se la spingi lontano dai cardini, perpendicolarmente al pannello.

Le forze ordinarie non contano durante un urto

C’è un secondo vantaggio nel tempo brevissimo dell’urto. Le forze “ordinarie”, come il peso, hanno un’intensità limitata: in qualche millesimo di secondo danno un impulso e un impulso angolare trascurabili rispetto a quelli delle forze impulsive. Durante l’urto, quindi, si considerano solo le forze impulsive: quella del colpo e le eventuali reazioni impulsive dei vincoli.

Perché negli urti con un perno conviene il momento angolare

Negli esercizi capita spesso un urto contro un corpo che può solo ruotare attorno a un perno: un proiettile che colpisce un pendolo, una pallina che urta un’asta incernierata, una porta colpita da un pallone. Durante l’urto il perno può esercitare una reazione impulsiva, intensa e sconosciuta. Questa reazione cambia la quantità di moto del sistema, quindi la quantità di moto in generale non si conserva.

La soluzione è scegliere il polo nel perno. Rispetto a quel punto la reazione del perno ha braccio nullo e quindi momento nullo: non entra nel teorema dell’impulso angolare. Se le altre forze impulsive sono interne al sistema, come quella tra proiettile e bersaglio, il momento angolare rispetto al perno si conserva durante l’urto:

$$L_{prima} = L_{dopo}$$

Il quinto esercizio mostra un caso in cui la quantità di moto cambia di metà mentre il momento angolare rispetto al perno resta identico. Dopo l’urto, per studiare il moto successivo, di solito si passa alla conservazione dell’energia: l’urto è anelastico e l’energia si perde durante il colpo, non dopo.

Quando l’impulso angolare è nullo: la conservazione

Se il momento risultante rispetto al polo è zero, l’impulso angolare è nullo e il momento angolare si conserva. Succede quando tutte le forze passano per il polo, come nelle forze centrali, oppure quando i loro momenti si annullano a vicenda.

Un esempio da laboratorio è la pallina che gira su un tavolo liscio, legata a un filo che passa per un foro al centro. La tensione del filo punta sempre verso il foro, quindi rispetto al foro ha momento nullo; peso e reazione del tavolo si annullano. Se tiri il filo da sotto e accorci il raggio, $L = m\,v\,r$ resta costante e la pallina accelera.

Un esempio molto più grande è il moto dei pianeti. La forza di gravità del Sole punta sempre verso il Sole, quindi il momento angolare di un pianeta rispetto al Sole si conserva: è la seconda legge di Keplero, pubblicata da Johannes Kepler nel 1609, secondo cui il raggio che unisce il pianeta al Sole spazza aree uguali in tempi uguali. La Terra è più vicina al Sole all’inizio di gennaio, a circa 147,1 milioni di km, e più lontana all’inizio di luglio, a circa 152,1 milioni di km. In quei due punti la velocità è perpendicolare al raggio, quindi $v_1 r_1 = v_2 r_2$:

$$\frac{v_{gennaio}}{v_{luglio}} = \frac{152{,}1}{147{,}1} \approx 1{,}034$$

e infatti la Terra viaggia a circa 30,3 km/s a gennaio e a circa 29,3 km/s a luglio. Il resto della storia è nelle forze gravitazionali.

Il parallelo tra traslazioni e rotazioni

Traslazioni	Rotazioni
Forza $\vec{F}$	Momento della forza $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$
Quantità di moto $\vec{p} = m\vec{v}$	Momento angolare $\vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v}$
$\vec{F} = d\vec{p}/dt$	$\vec{M} = d\vec{L}/dt$
Impulso $\vec{J} = \int \vec{F}\,dt$	Impulso angolare $\int \vec{M}\,dt$
$\vec{J} = \Delta\vec{p}$	$\int \vec{M}\,dt = \Delta\vec{L}$
Forza impulsiva: $\Delta\vec{p} = \vec{J}$	Forza impulsiva: $\Delta\vec{L} = \vec{r} \times \vec{J}$
Se $\vec{F} = 0$, $\vec{p}$ si conserva	Se $\vec{M} = 0$, $\vec{L}$ si conserva

Questo schema tornerà identico con il momento angolare di un sistema di punti e con le rotazioni attorno a un asse fisso, dove il momento angolare diventerà $I\,\omega$.

Gli errori più comuni

• Usare poli diversi. Impulso angolare e momento angolare vanno calcolati rispetto allo stesso polo, e il polo deve essere fisso.
• Usare la distanza dal punto di applicazione invece del braccio. Il braccio è la distanza dalla retta d’azione: se la forza è inclinata, $b = r\sin\theta$, non $r$.
• Conservare la quantità di moto in un urto con un perno. Il perno può dare una reazione impulsiva: si conserva il momento angolare rispetto al perno, non la quantità di moto.
• Calcolare $M\,\Delta t$ con un momento che cambia. Serve l’integrale, oppure il momento medio. Con il momento finale al posto di quello medio il risultato può venire il doppio.
• Dimenticare il verso di rotazione. Il momento angolare è un vettore: in un problema piano scegli un verso positivo, per esempio antiorario, e dai il segno a ogni contributo.
• Confondere momento dell’impulso e momento angolare. Il primo dà la variazione del secondo.
• Credere che conservare il momento angolare voglia dire conservare l’energia. Nella pallina tirata nel foro $L$ resta costante, ma l’energia cinetica aumenta, grazie al lavoro di chi tira il filo; negli urti anelastici $L$ si conserva e l’energia diminuisce.

Esercizi svolti

1. Un momento costante

Testo. Una pallina di 0,5 kg è fissata all’estremità di un’asta leggera lunga 0,5 m, che può ruotare su un piano orizzontale attorno a un perno. Partendo da ferma, la pallina viene spinta per 3 s da una forza costante di 4 N, sempre perpendicolare all’asta. Quanto valgono l’impulso angolare e la velocità finale?

Rispetto al perno il momento della forza è costante:

$$\begin{gathered} M = F\,r = 4 \cdot 0{,}5\ \text{N·m} = 2\ \text{N·m} \\ \Delta L = M\,\Delta t = 2 \cdot 3\ \text{kg·m}^2/\text{s} = 6\ \text{kg·m}^2/\text{s} \end{gathered}$$

Il momento angolare iniziale è zero, e su una circonferenza $L = m\,v\,r$:

$$v = \frac{L}{m\,r} = \frac{6}{0{,}5 \cdot 0{,}5}\ \text{m/s} = 24\ \text{m/s}$$

Controllo con il teorema dell’impulso lungo la direzione del moto: $F\,\Delta t = 12\ \text{N·s} = m\,v$, quindi $v = 24\ \text{m/s}$. L’asta, che tiene la pallina sulla circonferenza, tira verso il perno e non dà momento.

2. Un momento che cresce nel tempo

Testo. Rispetto a un polo fisso, su un punto materiale agisce un momento che cresce nel tempo secondo $M(t) = 3\,t$, con $M$ in N·m e $t$ in secondi, da $t = 0$ a $t = 2\ \text{s}$. Di quanto cambia il momento angolare? Quanto vale il momento medio?

Il momento non è costante, quindi serve l’integrale:

$$\Delta L = \int_0^2 3\,t\,dt = \left[\frac{3}{2}\,t^2\right]_0^2 = 6\ \text{kg·m}^2/\text{s}$$

Il grafico di $M(t)$ è una retta, e l’integrale è l’area di un triangolo di base 2 s e altezza 6 N·m. Il momento medio è

$$M_{medio} = \frac{\Delta L}{\Delta t} = \frac{6}{2}\ \text{N·m} = 3\ \text{N·m}$$

Usando il momento finale, 6 N·m, al posto di quello medio si otterrebbe 12 kg·m²/s: il doppio del valore giusto.

3. Un colpo dritto e un colpo inclinato

Testo. Una piccola massa di 0,2 kg è fissata all’estremità di un’asta rigida di massa trascurabile, lunga 0,5 m, che può ruotare in un piano orizzontale attorno all’altro estremo. La massa è ferma e riceve un colpo con impulso $J = 1\ \text{N·s}$. Trova la velocità dopo il colpo se l’impulso è a) perpendicolare all’asta; b) inclinato di 30° rispetto all’asta.

a) Rispetto al perno il momento angolare iniziale è zero e il braccio è tutta l’asta:

$$L = r\,J = 0{,}5 \cdot 1\ \text{kg·m}^2/\text{s} = 0{,}5\ \text{kg·m}^2/\text{s}$$

e da $L = m\,v\,r$:

$$v = \frac{L}{m\,r} = \frac{0{,}5}{0{,}2 \cdot 0{,}5}\ \text{m/s} = 5\ \text{m/s}$$

Lo stesso risultato si ottiene con il teorema dell’impulso, $v = J/m$, perché l’impulso è tutto nella direzione in cui la massa può muoversi.

b) Ora il braccio è più corto, $b = r\sin 30° = 0{,}25\ \text{m}$:

$$\begin{gathered} L = J\,b = 0{,}25\ \text{kg·m}^2/\text{s} \\ v = \frac{0{,}25}{0{,}2 \cdot 0{,}5}\ \text{m/s} = 2{,}5\ \text{m/s} \end{gathered}$$

La componente dell’impulso lungo l’asta, $J\cos 30° \approx 0{,}87\ \text{N·s}$, viene assorbita dal perno. Se il colpo fosse diretto tutto lungo l’asta, il braccio sarebbe nullo e la massa non inizierebbe nemmeno a ruotare.

4. Il proiettile nel pendolo

Testo. Un pendolo è formato da un’asta leggera lunga 0,8 m, incernierata in alto, con una massa di 0,99 kg all’estremità. Un proiettile di 10 g, che viaggia in orizzontale a 200 m/s, si conficca nella massa. Con che velocità parte il pendolo? Di quanto sale e di che angolo si inclina?

Durante l’urto si conserva il momento angolare rispetto al perno. Prima c’è solo il proiettile, che passa a 0,8 m dal perno; dopo, proiettile e massa ruotano insieme, 1,00 kg in tutto:

$$\begin{gathered} m\,v\,r = (m + M)\,v'\,r \\ 0{,}01 \cdot 200 \cdot 0{,}8 = 1{,}00 \cdot v' \cdot 0{,}8 \\ v' = 2\ \text{m/s} \end{gathered}$$

Dopo l’urto il pendolo sale e l’energia cinetica diventa potenziale:

$$h = \frac{v'^2}{2\,g} = \frac{4}{2 \cdot 9{,}81}\ \text{m} \approx 0{,}204\ \text{m}$$

L’angolo si trova da $h = r\,(1 - \cos\theta)$:

$$\begin{gathered} \cos\theta = 1 - \frac{0{,}204}{0{,}8} \approx 0{,}745 \\ \theta \approx 41{,}8° \end{gathered}$$

L’energia cinetica del proiettile era $\frac{1}{2} \cdot 0{,}01 \cdot 200^2\ \text{J} = 200\ \text{J}$; dopo l’urto ne restano 2 J. Il 99% si è trasformato in calore e deformazione: l’urto è completamente anelastico. Qui il colpo arriva all’estremità e perpendicolare all’asta, quindi il perno non dà reazione orizzontale e si conserva anche la quantità di moto. Nel prossimo esercizio non è più così.

5. Il proiettile che colpisce l’asta a metà

Testo. Lo stesso proiettile colpisce invece l’asta a metà, a 0,4 m dal perno, e resta conficcato lì. Con che velocità angolare parte il pendolo? La quantità di moto si conserva?

Il momento angolare rispetto al perno si conserva ancora. Dopo l’urto proiettile e massa ruotano con la stessa velocità angolare $\omega$, e ciascuno ha velocità $v = \omega\,r$, quindi momento angolare $m\,(\omega r)\,r = m\,\omega\,r^2$:

$$\begin{gathered} 0{,}01 \cdot 200 \cdot 0{,}4 \\ {} = 0{,}01\,\omega\,(0{,}4)^2 + 0{,}99\,\omega\,(0{,}8)^2 \\ 0{,}8 = 0{,}6352\,\omega \\ \omega \approx 1{,}26\ \text{rad/s} \end{gathered}$$

La massa all’estremità parte a $v = \omega \cdot 0{,}8 \approx 1{,}01\ \text{m/s}$, circa metà di prima. Ora confrontiamo la quantità di moto:

$$\begin{gathered} p_{prima} = 0{,}01 \cdot 200\ \text{kg·m/s} = 2\ \text{kg·m/s} \\ p_{dopo} = (0{,}01 \cdot 0{,}4 + 0{,}99 \cdot 0{,}8)\,\omega \\ {} \approx 1{,}00\ \text{kg·m/s} \end{gathered}$$

La quantità di moto si è dimezzata: durante l’urto il perno ha dato un impulso di circa 1 N·s, in verso opposto a quello del proiettile. Chi avesse imposto la conservazione della quantità di moto avrebbe trovato una velocità sbagliata. Rispetto al perno, invece, quell’impulso non ha braccio e il momento angolare si conserva comunque. Per sistemi di più punti il ragionamento è spiegato nel momento angolare di un sistema di punti.

6. La pallina tirata nel foro

Testo. Una pallina di 0,1 kg gira su un tavolo senza attrito a 2 m/s, su una circonferenza di raggio 0,5 m, legata a un filo che passa per un foro al centro. Tirando il filo da sotto, il raggio viene ridotto a 0,25 m. Trova la nuova velocità, la variazione di energia cinetica e la tensione prima e dopo.

La tensione passa per il foro, quindi il momento angolare rispetto al foro si conserva:

$$\begin{gathered} m\,v_1\,r_1 = m\,v_2\,r_2 \\ v_2 = v_1\,\frac{r_1}{r_2} = 2 \cdot \frac{0{,}5}{0{,}25}\ \text{m/s} = 4\ \text{m/s} \end{gathered}$$

Raggio dimezzato, velocità doppia. L’energia cinetica invece non si conserva:

$$\begin{gathered} E_{k,1} = \frac{1}{2} \cdot 0{,}1 \cdot 2^2\ \text{J} = 0{,}2\ \text{J} \\ E_{k,2} = \frac{1}{2} \cdot 0{,}1 \cdot 4^2\ \text{J} = 0{,}8\ \text{J} \end{gathered}$$

L’aumento di 0,6 J è il lavoro fatto da chi tira il filo. La tensione è la forza centripeta $m\,v^2/r$:

$$\begin{gathered} T_1 = \frac{0{,}1 \cdot 2^2}{0{,}5}\ \text{N} = 0{,}8\ \text{N} \\ T_2 = \frac{0{,}1 \cdot 4^2}{0{,}25}\ \text{N} = 6{,}4\ \text{N} \end{gathered}$$

Con il raggio dimezzato la tensione diventa otto volte più grande: per accorciare ancora il filo serve sempre più forza.

Altri problemi con urti, perni e sistemi di punti li trovi negli esercizi svolti su sistemi di punti e urti e negli esercizi svolti sul corpo rigido.

In sintesi

• L’impulso angolare è $\int \vec{M}\,dt$: vale $\vec{M}\,\Delta t$ se il momento è costante, altrimenti è l’area sotto il grafico del momento.
• Teorema dell’impulso angolare: $\int \vec{M}\,dt = \Delta\vec{L}$, rispetto a un polo fisso.
• Per una forza impulsiva, $\Delta\vec{L} = \vec{r} \times \vec{J}$: è il momento dell’impulso, che in modulo vale $J\,b$.
• Durante un urto contano solo le forze impulsive; se il corpo ruota attorno a un perno, conviene mettere il polo nel perno, dove la reazione ha momento nullo.
• Se l’impulso angolare è nullo il momento angolare si conserva: la pallina tirata nel foro accelera, la Terra va più veloce quando è più vicina al Sole.
• Le rotazioni seguono lo stesso schema delle traslazioni, con $\vec{M}$ al posto di $\vec{F}$ e $\vec{L}$ al posto di $\vec{p}$.

L’ultimo argomento della dinamica del punto riguarda gli osservatori che si muovono: i moti relativi.