Vettori in fisica: componenti, somma, prodotto scalare e prodotto vettoriale

Lo spostamento, la velocità, l’accelerazione, la forza: quasi tutte le grandezze fisiche della meccanica sono vettori. Per questo i vettori sono il primo strumento da avere in tasca prima di iniziare Fisica 1: senza di loro non si può scomporre una forza su un piano inclinato, studiare un moto parabolico o calcolare il lavoro di una forza. In questa pagina trovi cosa sono i vettori, come si scompongono, come si sommano e come si moltiplicano con il prodotto scalare e il prodotto vettoriale, con le formule inverse e cinque esempi svolti.

Su questo argomento non c’è ancora un video, ma tutte le lezioni di Fisica 1 uscite finora le trovi sul canale La Fisica di Valentino Rocco.

Grandezze scalari e grandezze vettoriali

Se ti dico che fuori ci sono 20 °C, sai tutto quello che c’è da sapere sulla temperatura. Se invece ti dico che un’auto si è spostata di 5 km, la domanda viene da sola: in che direzione? Verso nord, verso sud, verso il mare?

• Una grandezza scalare è descritta completamente da un numero con la sua unità di misura: massa, tempo, temperatura, energia, volume.
• Una grandezza vettoriale ha bisogno anche di una direzione e di un verso: spostamento, velocità, accelerazione, forza, quantità di moto.

Grandezze scalari	Grandezze vettoriali
massa, 3 kg	spostamento, 5 km verso nord
tempo, 10 s	velocità, 20 m/s verso est
temperatura, 20 °C	forza, 10 N verso il basso
energia, 50 J	accelerazione, 9,81 m/s² verso il basso

Cos’è un vettore

Un vettore si disegna come una freccia, e ha tre caratteristiche:

• il modulo, cioè l’intensità, rappresentato dalla lunghezza della freccia: è sempre un numero positivo, o zero;
• la direzione, cioè la retta su cui giace la freccia;
• il verso, cioè da che parte punta la freccia lungo quella retta.

Su una stessa direzione ci sono due versi: la direzione orizzontale, per esempio, ha il verso verso destra e quello verso sinistra.

Per distinguere un vettore da un numero si scrive una freccia sopra la lettera: $\vec A$ è il vettore, mentre il suo modulo si scrive $|\vec A|$ oppure, più semplicemente, $A$ senza freccia. Sui libri trovi anche il vettore scritto in grassetto, $\mathbf{A}$: è la stessa cosa.

Due vettori sono uguali quando hanno lo stesso modulo, la stessa direzione e lo stesso verso, anche se sono disegnati in punti diversi: un vettore si può spostare parallelamente a sé stesso senza cambiarlo. Il vettore opposto di $\vec A$, scritto $-\vec A$, ha lo stesso modulo e la stessa direzione ma verso contrario. Il vettore nullo ha modulo zero.

Le componenti di un vettore

Disegnare le frecce va bene per capire, ma per fare i conti servono i numeri. L’idea è proiettare il vettore sugli assi cartesiani: le due proiezioni si chiamano componenti.

Se il vettore $\vec A$ ha modulo $A$ e forma un angolo $\theta$ con l’asse $x$, le sue componenti si trovano con la trigonometria del triangolo rettangolo:

$$\begin{gathered} A_x = A\cos\theta \\ A_y = A\sin\theta \end{gathered}$$

Le componenti sono numeri con segno: sono negative se la proiezione punta verso la parte negativa dell’asse. Il seno e il coseno se ne occupano da soli, se misuri $\theta$ dall’asse $x$ positivo in senso antiorario.

Dalle componenti al vettore

Il viaggio inverso è altrettanto importante. Le componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo di cui il vettore è l’ipotenusa, quindi il modulo si trova con il teorema di Pitagora e l’angolo con la tangente:

$$\begin{gathered} A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} \\ \tan\theta = \frac{A_y}{A_x} \end{gathered}$$

I versori

Un versore è un vettore di modulo 1: non indica una quantità, ma solo una direzione e un verso. I versori degli assi $x$, $y$ e $z$ si scrivono $\hat\imath$, $\hat\jmath$ e $\hat k$. Con i versori un vettore si scrive in modo compatto:

$$\vec A = A_x\,\hat\imath + A_y\,\hat\jmath + A_z\,\hat k$$

In tre dimensioni il modulo diventa $A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}$. Spesso, per brevità, si scrivono solo le componenti tra parentesi: $\vec A = (A_x, A_y, A_z)$.

La somma di vettori

Due spostamenti di 3 km e 4 km non portano sempre a 7 km di distanza dal punto di partenza: dipende dalle direzioni. Per sommare i vettori ci sono due metodi grafici e uno numerico.

• Metodo punta-coda: disegni il secondo vettore con la coda sulla punta del primo; la somma è la freccia che va dalla coda del primo alla punta del secondo. Funziona anche con tanti vettori, uno dopo l’altro.
• Regola del parallelogramma: disegni i due vettori con la stessa origine e completi il parallelogramma; la somma è la diagonale che parte dall’origine comune.

I due metodi danno lo stesso risultato. Per calcolare il modulo della somma senza componenti puoi usare il teorema del coseno: se $\theta$ è l’angolo tra $\vec a$ e $\vec b$ disegnati con la stessa origine, $|\vec a + \vec b|^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos\theta$.

La somma per componenti

Il metodo più comodo per i conti è sommare le componenti, asse per asse:

$$\vec a + \vec b = (a_x + b_x)\,\hat\imath + (a_y + b_y)\,\hat\jmath$$

È il metodo che userai sempre per trovare la forza risultante di più forze. La somma di vettori è commutativa, $\vec a + \vec b = \vec b + \vec a$, e associativa: l’ordine in cui sommi non conta.

Differenza e prodotto per un numero

• La differenza $\vec a - \vec b$ è la somma di $\vec a$ con l’opposto di $\vec b$: $\vec a + (-\vec b)$. Per componenti si sottraggono le componenti.
• Il prodotto per un numero $k$ moltiplica il modulo per $|k|$ e lascia la stessa direzione; il verso resta lo stesso se $k$ è positivo e si inverte se $k$ è negativo. Per componenti, ogni componente si moltiplica per $k$. È proprio quello che succede in $\vec F = m\,\vec a$: la massa, positiva, allunga il vettore accelerazione senza cambiarne il verso, come vedi nelle leggi di Newton.

Il prodotto scalare

Il prodotto scalare di due vettori dà come risultato un numero, cioè uno scalare. Se $\theta$ è l’angolo tra i due vettori:

$$\vec a \cdot \vec b = a\,b\cos\theta$$

Si può leggere così: è il modulo di $\vec a$ per la proiezione di $\vec b$ sulla direzione di $\vec a$. Il segno dice molto:

• se l’angolo è acuto il prodotto scalare è positivo;
• se l’angolo è retto il prodotto scalare è zero: due vettori non nulli sono perpendicolari quando il loro prodotto scalare si annulla;
• se l’angolo è ottuso il prodotto scalare è negativo.

Con le componenti si calcola senza conoscere l’angolo, moltiplicando le componenti corrispondenti e sommando:

$$\vec a \cdot \vec b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$$

Mettendo insieme le due formule si trova l’angolo tra due vettori, come nel terzo esempio. Il prodotto scalare è commutativo, $\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a$, e il prodotto scalare di un vettore per sé stesso è il quadrato del modulo: $\vec a \cdot \vec a = a^2$.

In fisica l’esempio più importante è il lavoro di una forza: $W = \vec F \cdot \vec s = F\,s\cos\theta$. Una forza perpendicolare allo spostamento non compie lavoro.

Il prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale di due vettori dà come risultato un vettore, scritto $\vec a \times \vec b$, con queste caratteristiche:

• il modulo è $|\vec a \times \vec b| = a\,b\sin\theta$, cioè l’area del parallelogramma formato dai due vettori;
• la direzione è perpendicolare al piano che contiene $\vec a$ e $\vec b$;
• il verso si trova con la regola della mano destra: punti le dita della mano destra lungo $\vec a$ e le chiudi verso $\vec b$, per l’angolo più piccolo; il pollice indica il verso di $\vec a \times \vec b$.

Due vettori paralleli, con $\theta = 0°$ oppure $180°$, hanno prodotto vettoriale nullo. Il prodotto vettoriale non è commutativo: scambiando l’ordine il verso si inverte.

$$\vec b \times \vec a = -\,\vec a \times \vec b$$

Con le componenti si calcola così:

$$\begin{aligned} \vec a \times \vec b ={} &(a_y b_z - a_z b_y)\,\hat\imath \\ +\ &(a_z b_x - a_x b_z)\,\hat\jmath \\ +\ &(a_x b_y - a_y b_x)\,\hat k \end{aligned}$$

Un trucco per ricordarla: i versori seguono il ciclo $\hat\imath \times \hat\jmath = \hat k$, $\hat\jmath \times \hat k = \hat\imath$, $\hat k \times \hat\imath = \hat\jmath$. In fisica il prodotto vettoriale compare nel momento della forza e nel momento angolare e nella velocità di un punto che ruota, $\vec v = \vec\omega \times \vec r$, che trovi nel moto circolare.

Formule inverse dei vettori

Ecco le formule inverse più usate negli esercizi. Se vuoi imparare a ricavarle da solo, trovi il metodo in formule inverse in fisica.

Formula	Formule inverse
$A_x = A\cos\theta$	$A = \dfrac{A_x}{\cos\theta}$ $\cos\theta = \dfrac{A_x}{A}$
$A_y = A\sin\theta$	$A = \dfrac{A_y}{\sin\theta}$ $\sin\theta = \dfrac{A_y}{A}$
$A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$	$A_x = \pm\sqrt{A^2 - A_y^2}$ $A_y = \pm\sqrt{A^2 - A_x^2}$
$\vec a \cdot \vec b = a\,b\cos\theta$	$\cos\theta = \dfrac{\vec a \cdot \vec b}{a\,b}$ $b = \dfrac{\vec a \cdot \vec b}{a\cos\theta}$
$\lvert\vec a \times \vec b\rvert = a\,b\sin\theta$	$\sin\theta = \dfrac{\lvert\vec a \times \vec b\rvert}{a\,b}$ $b = \dfrac{\lvert\vec a \times \vec b\rvert}{a\sin\theta}$

Nella terza riga il segno della componente lo decidi guardando il disegno: positivo se la proiezione punta verso la parte positiva dell’asse.

Gli errori più comuni

• Sommare i moduli. $|\vec a + \vec b|$ è uguale ad $a + b$ solo se i vettori hanno la stessa direzione e lo stesso verso. In tutti gli altri casi è minore.
• Scambiare seno e coseno. Il coseno va con la componente sul lato adiacente all’angolo. Se $\theta$ è misurato dall’asse $y$, e non dall’asse $x$, i ruoli si invertono.
• Dimenticare i segni delle componenti. Una componente verso sinistra, o verso il basso, è negativa.
• Fidarsi ciecamente dell’arcotangente. Se $A_x < 0$ bisogna aggiungere 180°.
• Calcolatrice in gradi o in radianti? Controlla sempre l’impostazione prima di calcolare seni e coseni.
• Confondere i due prodotti. Il prodotto scalare dà un numero e usa il coseno; il prodotto vettoriale dà un vettore e usa il seno.
• Usare la mano sinistra per il prodotto vettoriale: il verso viene opposto.

Esempi svolti

1. Scomporre una forza

Una cassa viene trascinata con una corda che tira con una forza di 50 N, inclinata di 30° sopra l’orizzontale. Quanto valgono la componente orizzontale, quella che fa avanzare la cassa, e quella verticale?

$$\begin{gathered} F_x = F\cos 30° = 50\ \text{N} \cdot 0{,}866 \approx 43{,}3\ \text{N} \\ F_y = F\sin 30° = 50\ \text{N} \cdot 0{,}5 = 25\ \text{N} \end{gathered}$$

Solo 43,3 N servono a far avanzare la cassa; gli altri 25 N la sollevano un po’, riducendo la spinta del pavimento e quindi l’attrito. È lo stesso ragionamento che si fa sul piano inclinato.

2. Due spostamenti

Cammini 3 km verso est e poi 4 km verso nord. Quanto sei lontano dal punto di partenza, e in che direzione?

Con l’asse $x$ verso est e l’asse $y$ verso nord, lo spostamento totale ha componenti $(3, 4)$ km:

$$\begin{gathered} s = \sqrt{(3\ \text{km})^2 + (4\ \text{km})^2} = 5\ \text{km} \\ \tan\theta = \frac{4}{3} \quad\Rightarrow\quad \theta \approx 53{,}1° \end{gathered}$$

Sei a 5 km dal punto di partenza, in direzione 53,1° a nord rispetto all’est. Hai camminato per 7 km, ma lo spostamento è di 5: la strada percorsa è uno scalare, lo spostamento è un vettore.

3. La risultante di due forze

Su un corpo agiscono due forze: $\vec F_1$ di 10 N lungo l’asse $x$ e $\vec F_2$ di 8 N inclinata di 120° rispetto all’asse $x$. Troviamo la forza risultante per componenti:

$$\begin{gathered} F_{2x} = 8\ \text{N} \cdot \cos 120° = -4\ \text{N} \\ F_{2y} = 8\ \text{N} \cdot \sin 120° \approx 6{,}93\ \text{N} \end{gathered}$$

Sommando asse per asse, la risultante ha componenti $R_x = 10 - 4 = 6\ \text{N}$ e $R_y \approx 6{,}93\ \text{N}$, quindi:

$$\begin{gathered} R = \sqrt{6^2 + 6{,}93^2}\ \text{N} \approx 9{,}17\ \text{N} \\ \tan\theta = \frac{6{,}93}{6} \quad\Rightarrow\quad \theta \approx 49{,}1° \end{gathered}$$

Controllo con il teorema del coseno: $R^2 = 10^2 + 8^2 + 2 \cdot 10 \cdot 8 \cdot \cos 120° = 84$, e $\sqrt{84} \approx 9{,}17$. I conti tornano. Nota che la risultante, 9,17 N, è molto meno di $10 + 8 = 18\ \text{N}$.

4. L’angolo tra due vettori e il lavoro

Qual è l’angolo tra $\vec a = (2, 1)$ e $\vec b = (1, 3)$? Calcoliamo il prodotto scalare con le componenti e i moduli:

$$\begin{gathered} \vec a \cdot \vec b = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = 5 \\ a = \sqrt{5}, \quad b = \sqrt{10} \\ \cos\theta = \frac{5}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} \approx 0{,}707 \\ \theta = 45° \end{gathered}$$

Un’applicazione fisica: una forza di 20 N tira un carrello che si sposta di 5 m, e la forza forma un angolo di 60° con lo spostamento. Il lavoro è il prodotto scalare $W = F\,s\cos 60° = 20 \cdot 5 \cdot 0{,}5\ \text{J} = 50\ \text{J}$. Se la forza fosse perpendicolare allo spostamento, il lavoro sarebbe zero.

5. Un prodotto vettoriale

Calcoliamo $\vec a \times \vec b$ con $\vec a = (1, 2, 0)$ e $\vec b = (3, 1, 0)$. Le componenti $z$ sono nulle, quindi le prime due componenti del prodotto si annullano e resta solo la terza:

$$\begin{gathered} \vec a \times \vec b = (a_x b_y - a_y b_x)\,\hat k \\ \vec a \times \vec b = (1 \cdot 1 - 2 \cdot 3)\,\hat k = -5\,\hat k \end{gathered}$$

Il prodotto vettoriale è perpendicolare al piano $xy$, come deve essere, e punta verso le $z$ negative. Il suo modulo, 5, è l’area del parallelogramma formato da $\vec a$ e $\vec b$. Controllo con l’altra formula: i moduli sono $\sqrt 5$ e $\sqrt{10}$ e, come nell’esempio precedente, l’angolo è 45°, quindi $a\,b\sin 45° = \sqrt{50} \cdot 0{,}707 = 5$. Il segno meno dice che, ruotando da $\vec a$ verso $\vec b$, si gira in senso orario visti dall’alto.

Un’applicazione: una chiave inglese lunga 30 cm, lungo l’asse $x$, viene spinta con una forza di 40 N lungo l’asse $y$. Il momento della forza è $\vec\tau = \vec r \times \vec F = 0{,}30\ \text{m} \cdot 40\ \text{N}\ \hat k = 12\ \text{N·m}\ \hat k$: il bullone gira in senso antiorario.

In sintesi

• Una grandezza vettoriale ha modulo, direzione e verso; si scrive con la freccia, $\vec A$, e il modulo senza freccia, $A$.
• Le componenti sono $A_x = A\cos\theta$ e $A_y = A\sin\theta$; il modulo è $A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$ e l’angolo si trova con la tangente, attento al quadrante.
• I vettori si sommano con il metodo punta-coda, con il parallelogramma o, per i conti, componente per componente.
• Il prodotto scalare $\vec a \cdot \vec b = ab\cos\theta$ è un numero: è zero per vettori perpendicolari e dà il lavoro di una forza.
• Il prodotto vettoriale $\vec a \times \vec b$ è un vettore perpendicolare a entrambi, con modulo $ab\sin\theta$ e verso dato dalla regola della mano destra; non è commutativo.

Ora hai tutti gli strumenti per partire con la cinematica: il primo moto da studiare è il moto rettilineo uniforme. E se vuoi un metodo per affrontare qualsiasi problema, leggi come risolvere gli esercizi di fisica.