Continuità uniforme, funzioni monotone e inverse: Heine-Cantor ed esercizi svolti

L’ultimo articolo di teoria del capitolo sulla continuità mette insieme tre argomenti che all’orale di Analisi 1 tornano spesso: le funzioni monotone, la continuità della funzione inversa e la continuità uniforme. Servono anche dopo: la continuità dell’inversa dimostra in un colpo che $\ln x$, $\sqrt{x}$ e $\arcsin x$ sono continue, la continuità uniforme che ogni funzione continua su $[a, b]$ ha un integrale. In questa pagina vediamo i salti delle funzioni monotone, la continuità dell’inversa, la continuità uniforme con l’ordine dei quantificatori spiegato bene, gli esempi classici, le funzioni lipschitziane, il teorema di Heine-Cantor, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Ti serve la definizione di funzione continua con $\varepsilon$ e $\delta$ e quella di estremo superiore e inferiore.

Funzioni monotone: i limiti laterali esistono sempre

$f$ è crescente su un intervallo $I$ se $x_1 < x_2$ implica $f(x_1) \leq f(x_2)$, strettamente crescente se implica $f(x_1) < f(x_2)$; allo stesso modo si definiscono le decrescenti. Monotona vuol dire crescente oppure decrescente.

L’idea: se $f$ è crescente e ti avvicini a $x_0$ da sinistra, i valori possono solo salire, ma restano sotto $f(x_0)$. Non possono oscillare: si «assestano» sul più piccolo numero che sta sopra tutti loro, cioè sul loro estremo superiore.

Dimostrazione

Facciamo il limite sinistro. I valori $f(x)$ con $x < x_0$ stanno tutti sotto $f(x_0)$, perché $f$ è crescente: per l’assioma di completezza hanno un estremo superiore finito $S$, e $S \leq f(x_0)$.

Fissiamo $\varepsilon > 0$. $S - \varepsilon$ è minore di $S$, quindi non sta sopra tutti i valori: esiste $\bar{x} < x_0$ con $f(\bar{x}) > S - \varepsilon$. Per ogni $x$ tra $\bar{x}$ e $x_0$, la monotonia e la definizione di $\sup$ danno

$$S - \varepsilon < f(\bar{x}) \leq f(x) \leq S$$

Quindi $\lvert f(x) - S \rvert < \varepsilon$ per $x_0 - \delta < x < x_0$, con $\delta = x_0 - \bar{x}$: è la definizione di $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) = S$. A destra si ragiona allo stesso modo con l’$\inf$. La versione agli estremi dell’intervallo, dove il limite può essere infinito, è nei teoremi sui limiti.

Le uniche discontinuità possibili sono i salti

In un punto interno $x_0$ vale $\ell^- \leq f(x_0) \leq \ell^+$, e ci sono solo due casi:

• se $\ell^- = \ell^+$, il valore $f(x_0)$ è schiacciato tra due numeri uguali: $f$ è continua in $x_0$;
• se $\ell^- < \ell^+$, la funzione fa un salto di ampiezza $\ell^+ - \ell^-$, una discontinuità di prima specie.

Tra i punti di discontinuità, quindi, niente seconda specie (i limiti esistono finiti: niente asintoti, niente oscillazioni) e niente discontinuità eliminabili (se i limiti coincidono, $f(x_0)$ è uguale a loro).

Nella figura un esempio (è l’esercizio 2): a sinistra di 0 vale $e^x$, che sale verso $\ell^- = 1$ senza raggiungerlo; a destra vale $x + 2$, quindi $\ell^+ = 2$; in 0 vale 1,5.

I salti possono essere infiniti, come per la parte intera $\lfloor x \rfloor$, ma sono al più un’infinità numerabile: si possono numerare. L’idea: ogni salto apre sull’asse $y$ un intervallo $(\ell^-, \ell^+)$, salti diversi aprono intervalli disgiunti, e in ognuno si sceglie un razionale diverso.

Monotona con immagine un intervallo: allora è continua

Perché è vero. Un salto lascia un buco nei valori. Se $f$ è crescente e salta in $x_0$, per $x < x_0$ si ha $f(x) \leq \ell^-$ e per $x > x_0$ si ha $f(x) \geq \ell^+$: assume valori sotto $\ell^-$ e sopra $\ell^+$, ma in mezzo al massimo $f(x_0)$, quindi l’immagine non è un intervallo. In figura il buco è la parte arancione dell’asse $y$. Agli estremi si ragiona allo stesso modo.

Il viceversa lo dà il teorema dei valori intermedi. Quindi, per una funzione monotona su un intervallo, essere continua equivale ad avere per immagine un intervallo.

La continuità della funzione inversa

Dimostrazione

1. $f$ è strettamente monotona, quindi iniettiva e invertibile da $I$ a $J$.
2. $J$ è un intervallo per i valori intermedi, perché $f$ è continua su un intervallo.
3. $f^{-1}$ è strettamente monotona. Sia $f$ crescente, $y_1 < y_2$ in $J$, $x_1 = f^{-1}(y_1)$ e $x_2 = f^{-1}(y_2)$. Se fosse $x_1 \geq x_2$, avremmo $f(x_1) \geq f(x_2)$, cioè $y_1 \geq y_2$: assurdo.
4. $f^{-1}$ è monotona sull’intervallo $J$ e la sua immagine è l’intervallo $I$: per il teorema precedente è continua.

Così la continuità di molte funzioni elementari arriva gratis:

• $\sqrt{x}$ è l’inversa di $x^2$ su $[0, +\infty)$; lo stesso vale per ogni radice $\sqrt[n]{x}$;
• $\ln x$ è l’inversa di $e^x$, che va da $\mathbb{R}$ a $(0, +\infty)$;
• $\arcsin x$ è l’inversa di $\sin x$ ristretta a $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$; $\arccos x$ e $\arctan x$ si ottengono restringendo coseno e tangente a un intervallo di stretta monotonia, come nelle funzioni goniometriche inverse.

Se il dominio non è un intervallo

L’ipotesi «intervallo» serve davvero. Prendi

$$f(x) = \begin{cases} x & 0 \leq x < 1 \\ x - 1 & 2 \leq x \leq 3 \end{cases}$$

$f$ è continua in ogni punto del dominio $[0, 1) \cup [2, 3]$ e strettamente crescente: sul primo pezzo i valori sono minori di 1, sul secondo maggiori o uguali a 1. L’immagine è $[0, 2]$, ma l’inversa

$$f^{-1}(y) = \begin{cases} y & 0 \leq y < 1 \\ y + 1 & 1 \leq y \leq 2 \end{cases}$$

in $y = 1$ salta: da sinistra tende a 1, ma vale 2. Il buco nel dominio di $f$ è diventato un salto di $f^{-1}$.

Il viceversa: continua e iniettiva vuol dire monotona

L’idea. Se $f$ non fosse monotona, si può mostrare che ci sarebbero tre punti $a < b < c$ con $f(b)$ più grande sia di $f(a)$ sia di $f(c)$ (o più piccolo di entrambi). Per i valori intermedi, ogni $k$ minore di $f(b)$ ma maggiore di $f(a)$ e di $f(c)$ verrebbe assunto sia tra $a$ e $b$ sia tra $b$ e $c$: contro l’iniettività. L’intervallo serve: $\frac{1}{x}$ è continua e iniettiva su $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, ma non monotona.

Quindi, per una funzione continua su un intervallo, essere invertibile equivale a essere strettamente monotona.

La continuità uniforme

Il problema: il δ dipende dal punto

Nella continuità su un insieme $I$ prima si sceglie il punto $x_0$, poi $\varepsilon$, e solo dopo si cerca $\delta$, che quindi può cambiare da punto a punto.

Guarda $f(x) = x^2$ con $\varepsilon = 0{,}9$. Per $x_0 > 0$ la condizione più restrittiva è a destra, $x^2 < x_0^2 + \varepsilon$, e il $\delta$ più grande che funziona è $\sqrt{x_0^2 + \varepsilon} - x_0$:

Punto $x_0$	$\delta$ massimo
0,5	0,57
3	0,15
10	0,045
100	0,0045

Lontano dall’origine la parabola è ripida: per $x_0$ grande il $\delta$ massimo è circa $\frac{\varepsilon}{2x_0}$ e tende a zero. Nessun $\delta$ va bene in tutti i punti di $\mathbb{R}$.

La definizione

La differenza con la continuità sta tutta nell’ordine dei quantificatori:

$$\begin{gathered} \textbf{continua su } I: \\ \forall x_0 \in I \ \ \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \delta > 0 \ \ \forall x \in I: \\ \lvert x - x_0 \rvert < \delta \implies \lvert f(x) - f(x_0) \rvert < \varepsilon \\[6pt] \textbf{uniformemente continua su } I: \\ \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \delta > 0 \ \ \forall x, y \in I: \\ \lvert x - y \rvert < \delta \implies \lvert f(x) - f(y) \rvert < \varepsilon \end{gathered}$$

Nella continuità $\delta$ viene dopo $x_0$: si sceglie conoscendo il punto. Nella continuità uniforme viene prima dei punti: dipende solo da $\varepsilon$ e deve funzionare per tutte le coppie. È la differenza tra un vestito su misura per ogni cliente e una taglia unica che deve andare bene a tutti. Geometricamente: ovunque metti una finestra larga $\delta$, lì dentro il grafico sale o scende meno di $\varepsilon$.

Due conseguenze immediate:

• uniformemente continua implica continua (basta fissare $y = x_0$), ma non viceversa: pensa a $x^2$ su $\mathbb{R}$;
• è una proprietà della funzione su un insieme, non in un punto, e passa a ogni sottoinsieme di $I$.

Come si dimostra che non lo è

Negando la definizione: esiste un $\varepsilon > 0$ tale che, per ogni $\delta > 0$, ci sono due punti distanti meno di $\delta$ con valori distanti almeno $\varepsilon$. Negli esercizi si usa questa versione:

Infatti, qualunque $\delta$ si scelga, per $n$ grande $\lvert x_n - y_n \rvert < \delta$, e quella coppia viola la definizione con $\varepsilon = \varepsilon_0$.

Gli esempi da sapere

La parabola: dipende dall’intervallo

Su $[0, 1]$ la funzione $x^2$ è uniformemente continua: per $x, y \in [0, 1]$ si ha $x + y \leq 2$, quindi

$$\lvert x^2 - y^2 \rvert = \lvert x + y \rvert \cdot \lvert x - y \rvert \leq 2\lvert x - y \rvert$$

e basta $\delta = \frac{\varepsilon}{2}$, lo stesso per tutti i punti. Su $[-a, a]$ va bene $\delta = \frac{\varepsilon}{2a}$.

Su $\mathbb{R}$ non lo è. Con $x_n = n + \frac{1}{n}$ e $y_n = n$ la distanza $\frac{1}{n}$ tende a zero, ma

$$\left(n + \frac{1}{n}\right)^2 - n^2 = 2 + \frac{1}{n^2} > 2$$

e il criterio, con $\varepsilon_0 = 2$, dice di no. Il guaio è «all’infinito», dove la pendenza cresce senza limiti.

L’iperbole: no vicino a 0, sì lontano

Su $(0, 1]$ la funzione $\frac{1}{x}$ non è uniformemente continua: con $x_n = \frac{1}{n}$ e $y_n = \frac{1}{2n}$ la distanza $\frac{1}{2n}$ tende a 0, mentre i valori $n$ e $2n$ differiscono di $n \geq 1$. Qui il guaio è vicino a 0, dove la funzione esplode.

È un fatto generale: una funzione uniformemente continua su un intervallo limitato è limitata (con il $\delta$ di $\varepsilon = 1$, l’intervallo si divide in un numero finito $N$ di pezzi più corti di $\delta$; su ognuno la funzione varia meno di 1, quindi in tutto meno di $N$). Quindi $\frac{1}{x}$ e $\ln x$, illimitate su $(0, 1]$, non sono uniformemente continue.

Su $[1, +\infty)$, invece, $\frac{1}{x}$ lo è: siccome $xy \geq 1$,

$$\left\lvert \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \right\rvert = \frac{\lvert x - y \rvert}{xy} \leq \lvert x - y \rvert$$

e basta $\delta = \varepsilon$.

Il seno di 1 su x: limitata, ma non basta

$\sin\frac{1}{x}$ su $(0, 1]$ è continua, limitata, su un intervallo limitato, eppure non è uniformemente continua. Prendiamo i punti in cui vale $1$ e quelli in cui vale $-1$:

$$\begin{gathered} x_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2n\pi} \\ y_n = \frac{1}{\frac{3\pi}{2} + 2n\pi} \end{gathered}$$

I valori differiscono sempre di 2, ma $x_n$ e $y_n$ tendono entrambi a 0, quindi la loro distanza tende a 0. Vicino a 0 la funzione oscilla sempre più in fretta, e due punti vicinissimi possono avere valori opposti.

Le funzioni lipschitziane

Un modo comodo per dimostrare la continuità uniforme è controllare la pendenza.

Il nome viene dal matematico tedesco Rudolf Lipschitz (1832-1903). Dividendo per $\lvert x - y \rvert$, la condizione dice che ogni corda del grafico ha pendenza tra $-L$ e $L$: il grafico non è mai più ripido di $L$.

Lipschitziana implica uniformemente continua. Se $L = 0$ la funzione è costante; se $L > 0$ basta $\delta = \frac{\varepsilon}{L}$, perché da $\lvert x - y \rvert < \frac{\varepsilon}{L}$ segue $\lvert f(x) - f(y) \rvert \leq L\lvert x - y \rvert < \varepsilon$.

Perché è vero. Presi $x < y$ in $I$, il teorema di Lagrange su $[x, y]$ dà un punto $c$ tra $x$ e $y$ con $f(y) - f(x) = f'(c)\,(y - x)$. Quindi $\lvert f(y) - f(x) \rvert = \lvert f'(c) \rvert\,\lvert y - x \rvert \leq L\,\lvert y - x \rvert$.

Per esempio $\sin x$, $\cos x$ e $\arctan x$ hanno derivata al massimo 1 in valore assoluto: sono lipschitziane su $\mathbb{R}$ con $L = 1$, quindi uniformemente continue su tutta la retta. E $x^2$ su $[-a, a]$ ha $\lvert 2x \rvert \leq 2a$: $L = 2a$, come trovato a mano.

Il contrario non vale: la radice quadrata

$\sqrt{x}$ su $[0, +\infty)$ è l’esempio da ricordare: uniformemente continua, ma non lipschitziana.

È uniformemente continua. Mostriamo che $\lvert \sqrt{x} - \sqrt{y} \rvert \leq \sqrt{\lvert x - y \rvert}$. Sia $0 \leq y \leq x$. Siccome $\sqrt{y} \leq \sqrt{x}$, vale $\sqrt{x}\sqrt{y} \geq y$, quindi

$$\begin{gathered} \left(\sqrt{x} - \sqrt{y}\right)^2 = x - 2\sqrt{x}\sqrt{y} + y \\ {} \leq x - 2y + y = x - y \end{gathered}$$

Facendo la radice dei due lati, non negativi, $\sqrt{x} - \sqrt{y} \leq \sqrt{x - y}$. Basta allora $\delta = \varepsilon^2$.

Non è lipschitziana. Se valesse $\lvert \sqrt{x} - \sqrt{y} \rvert \leq L\lvert x - y \rvert$, con $y = 0$ e $x = h > 0$ avremmo $\sqrt{h} \leq L h$, cioè $1 \leq L\sqrt{h}$: falso per $h < \frac{1}{L^2}$. La corda da $(0, 0)$ a $(h, \sqrt{h})$ ha pendenza $\frac{1}{\sqrt{h}}$, enorme per $h$ piccolo: in 0 la tangente è verticale.

Riassumendo, su un intervallo:

Implicazione	Il contrario è falso
derivata limitata $\Rightarrow$ lipschitziana	$\lvert x \rvert$ su $\mathbb{R}$
lipschitziana $\Rightarrow$ unif. continua	$\sqrt{x}$ su $[0, +\infty)$
unif. continua $\Rightarrow$ continua	$x^2$ su $\mathbb{R}$

$\lvert x \rvert$ è lipschitziana con $L = 1$, ma in 0 non è nemmeno derivabile.

Il teorema di Heine-Cantor

Porta i nomi di Eduard Heine, che lo dimostrò nel 1872, e di Georg Cantor; una dimostrazione era già nelle lezioni di Dirichlet, pubblicate però solo nel 1904.

Ogni ipotesi serve

• Intervallo chiuso. $\frac{1}{x}$ e $\sin\frac{1}{x}$ sono continue su $(0, 1]$, limitato ma non chiuso, e non sono uniformemente continue.
• Intervallo limitato. $x^2$ è continua su $[0, +\infty)$, chiuso ma non limitato, e non è uniformemente continua.
• Continuità. Una funzione discontinua, come la parte intera su $[0, 2]$, non è mai uniformemente continua.

Sono le stesse ipotesi del teorema di Weierstrass, e non per caso: le dimostrazioni usano lo stesso strumento. Sono sufficienti, non necessarie: $\sin x$, $\arctan x$ e $\sqrt{x}$ sono uniformemente continue su intervalli illimitati.

Una conseguenza utile: se $f$ è continua su $(a, b]$ e ha limite finito per $x \to a^+$, prolungandola in $a$ con quel limite e applicando Heine-Cantor si vede che è uniformemente continua su $(a, b]$. Vale anche il viceversa, che non dimostriamo.

L’idea della dimostrazione

Per assurdo, supponiamo che $f$ non sia uniformemente continua.

1. Allora esiste un $\varepsilon > 0$ per cui nessun $\delta$ funziona. Con $\delta = \frac{1}{n}$ troviamo, per ogni $n$, due punti $x_n, y_n \in [a, b]$ con $\lvert x_n - y_n \rvert < \frac{1}{n}$ ma $\lvert f(x_n) - f(y_n) \rvert \geq \varepsilon$.
2. $x_n$ sta in $[a, b]$, quindi è limitata: per il teorema di Bolzano-Weierstrass ha una sottosuccessione $x_{n_k}$ che converge a un numero $c$. Siccome $a \leq x_{n_k} \leq b$, anche $a \leq c \leq b$: l’intervallo è chiuso e il limite non scappa. Inoltre $y_{n_k} \to c$, perché $\lvert x_{n_k} - y_{n_k} \rvert < \frac{1}{n_k}$.
3. $f$ è continua in $c$, quindi $f(x_{n_k})$ e $f(y_{n_k})$ tendono entrambi a $f(c)$ e la loro differenza tende a 0. Ma è sempre almeno $\varepsilon$: assurdo.

«Limitato» serve a Bolzano-Weierstrass, «chiuso» a tenere $c$ nell’intervallo, la continuità al passo 3. Con $\frac{1}{x}$ su $(0, 1]$ i punti scappano verso 0, fuori dal dominio.

A cosa serve: l’integrale delle funzioni continue

Una funzione è integrabile se la somma superiore $S$ e quella inferiore $s$ si possono rendere vicine quanto si vuole. Sia $f$ continua su $[a, b]$ e fissiamo $\varepsilon > 0$. Heine-Cantor dà un $\delta$ unico per tutto l’intervallo: dividiamo $[a, b]$ in pezzi più corti di $\delta$. Su ogni pezzo il massimo $M_k$ e il minimo $m_k$ sono assunti (per Weierstrass) in due punti distanti meno di $\delta$, quindi $M_k - m_k < \varepsilon$. Sommando:

$$\begin{gathered} S - s = \sum_{k=1}^{n} (M_k - m_k)\,(x_k - x_{k-1}) \\ {} < \varepsilon \sum_{k=1}^{n} (x_k - x_{k-1}) = \varepsilon\,(b - a) \end{gathered}$$

Siccome $\varepsilon$ è arbitrario, $f$ è integrabile. Con la sola continuità il $\delta$ potrebbe cambiare da pezzo a pezzo, e non sapremmo scegliere una divisione abbastanza fine ovunque.

Gli errori più comuni

• Trovare un δ che dipende dal punto e concludere che la continuità è uniforme. Se in $\delta$ compare $x_0$, come in $\delta = \min\left(1, \frac{\varepsilon}{2\lvert x_0 \rvert + 1}\right)$ per $x^2$, hai dimostrato solo la continuità.
• Pensare che basti essere limitata su un intervallo limitato. $\sin\frac{1}{x}$ su $(0, 1]$ è il controesempio.
• Dedurre dalla derivata illimitata che non è uniformemente continua. $\sqrt{x}$ e $x\sin\frac{1}{x}$ lo sono, eppure hanno derivata illimitata vicino a 0.
• Scegliere successioni la cui distanza non tende a zero. Per $x^2$, i punti $n$ e $n + 1$ hanno valori lontani ma distano sempre 1: non dimostrano niente.
• Usare Heine-Cantor su intervalli aperti o illimitati. Lì il teorema non dice nulla, né sì né no.
• Dimenticare che il dominio deve essere un intervallo. Senza, l’inversa di una funzione continua e strettamente monotona può saltare.
• Dire che una funzione monotona può avere asintoti verticali o discontinuità eliminabili dentro l’intervallo. Nei punti interni può solo saltare.

Esercizi svolti

1. L’inversa di una cubica

Testo. Dimostra che $f(x) = x^3 + x$ è invertibile su $\mathbb{R}$ con inversa continua, senza calcolarla. Poi trova il limite di $f^{-1}(y)$ per $y \to 2$ e per $y \to +\infty$.

$f$ è strettamente crescente: se $x_1 < x_2$, allora $x_1^3 < x_2^3$, e sommando $x_1^3 + x_1 < x_2^3 + x_2$. È continua, perché polinomio, e

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$$

Per i valori intermedi l’immagine è un intervallo illimitato sopra e sotto, cioè $\mathbb{R}$. Per il teorema, $f^{-1} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è continua e strettamente crescente.

Siccome $f(1) = 2$, si ha $f^{-1}(2) = 1$, e per la continuità di $f^{-1}$

$$\lim_{y \to 2} f^{-1}(y) = f^{-1}(2) = 1$$

Infine $f^{-1}$ è crescente con immagine illimitata sopra, quindi per il teorema sui limiti delle funzioni monotone tende a $+\infty$. Abbiamo trovato due limiti dell’inversa senza mai scriverne la formula.

2. Una funzione crescente con un salto

Testo. Sia

$$f(x) = \begin{cases} e^x & x < 0 \\ k & x = 0 \\ x + 2 & x > 0 \end{cases}$$

Per quali $k$ è strettamente crescente su $\mathbb{R}$? Esiste un $k$ che la rende continua? Qual è l’immagine?

I due pezzi sono strettamente crescenti. A sinistra di 0 i valori $e^x$ riempiono $(0, 1)$, con $\sup$ uguale a 1: $\ell^- = 1$. A destra i valori $x + 2$ riempiono $(2, +\infty)$, quindi $\ell^+ = 2$ è il loro $\inf$.

$k$ deve stare sopra tutti i valori di sinistra e sotto tutti quelli di destra. Se $k < 1$, $k$ non è un maggiorante dei valori $e^x$ (il più piccolo maggiorante è 1), quindi qualche $e^x$ con $x < 0$ lo supera; se $k > 2$, qualche $x + 2$ è minore di $k$. Se invece $1 \leq k \leq 2$, per $x < 0 < t$:

$$f(x) < 1 \leq k \leq 2 < f(t)$$

Quindi $f$ è strettamente crescente se e solo se $1 \leq k \leq 2$. Per la continuità servirebbe $\ell^- = \ell^+$, ma $1 \neq 2$: c’è un salto di ampiezza 1 e nessun $k$ rende $f$ continua. L’immagine $(0, 1) \cup \{k\} \cup (2, +\infty)$ non è un intervallo, coerentemente con il teorema (in figura, $k = 1{,}5$).

3. Un δ esplicito per una parabola

Testo. Sia $f(x) = x^2 + 3x$ su $[-1, 2]$. Spiega perché è uniformemente continua e trova un $\delta$ esplicito in funzione di $\varepsilon$; quanto vale per $\varepsilon = 0{,}01$?

$f$ è continua sull’intervallo chiuso e limitato $[-1, 2]$: per Heine-Cantor è uniformemente continua. Per trovare $\delta$ raccogliamo $x - y$:

$$\begin{gathered} f(x) - f(y) = (x^2 - y^2) + 3(x - y) \\ {} = (x - y)(x + y + 3) \end{gathered}$$

Per $x, y \in [-1, 2]$ si ha $-2 \leq x + y \leq 4$, quindi $1 \leq x + y + 3 \leq 7$ e

$$\lvert f(x) - f(y) \rvert \leq 7\,\lvert x - y \rvert$$

$f$ è lipschitziana con $L = 7$ (infatti $f'(x) = 2x + 3$ sta tra 1 e 7), e basta $\delta = \frac{\varepsilon}{7}$. Con $\varepsilon = 0{,}01$, $\delta = \frac{1}{700} \approx 0{,}0014$: punti che distano meno di 0,0014 hanno valori che distano meno di un centesimo, ovunque nell’intervallo.

4. Il logaritmo: sì o no a seconda dell’intervallo

Testo. Stabilisci se $\ln x$ è uniformemente continua su $[1, +\infty)$ e su $(0, 1]$.

Su $[1, +\infty)$ la derivata $\frac{1}{x}$ sta tra 0 e 1. Per il teorema della derivata limitata $\ln x$ è lipschitziana con $L = 1$, cioè $\lvert \ln x - \ln y \rvert \leq \lvert x - y \rvert$: è uniformemente continua, con $\delta = \varepsilon$.

Su $(0, 1]$, invece, $\ln x \to -\infty$ per $x \to 0^+$: è illimitata su un intervallo limitato, quindi non è uniformemente continua. Con le successioni: $x_n = e^{-n}$ e $y_n = e^{-(n+1)}$ stanno in $(0, 1]$, la loro distanza

$$x_n - y_n = e^{-n}\left(1 - \frac{1}{e}\right)$$

tende a 0, mentre $\ln x_n - \ln y_n = -n + (n + 1) = 1$ per ogni $n$. Con $\varepsilon_0 = 1$ il criterio dice di no. La stessa funzione, due risposte: la continuità uniforme dipende anche dall’insieme.

5. Il seno di 1 su x moltiplicato per x

Testo. Dimostra che $g(x) = x\sin\frac{1}{x}$ è uniformemente continua su $(0, 1]$, anche se la sua derivata non è limitata.

Heine-Cantor non si applica direttamente, perché $(0, 1]$ non è chiuso. Siccome $\left\lvert \sin\frac{1}{x} \right\rvert \leq 1$,

$$\left\lvert x\sin\frac{1}{x} \right\rvert \leq x \to 0$$

e per i carabinieri $g(x) \to 0$ per $x \to 0^+$. Prolunghiamo $g$ ponendo $g(0) = 0$: è continua su $[0, 1]$, in 0 per il limite appena calcolato e altrove come prodotto e composizione di funzioni continue. Per Heine-Cantor è uniformemente continua su $[0, 1]$, quindi anche su $(0, 1]$.

La derivata, per $x > 0$, è

$$g'(x) = \sin\frac{1}{x} - \frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}$$

Nei punti $x_k = \frac{1}{2k\pi}$ il seno vale 0 e il coseno 1, quindi $g'(x_k) = -2k\pi \to -\infty$. Niente derivata limitata, eppure la funzione è uniformemente continua: il fattore $x$ abbassa le oscillazioni vicino a 0.

6. Limitata e derivabile, ma non uniformemente continua

Testo. Dimostra che $f(x) = \sin(x^2)$ non è uniformemente continua su $\mathbb{R}$, mentre lo è su ogni intervallo $[-M, M]$.

Su $[-M, M]$ basta Heine-Cantor. Su $\mathbb{R}$ cerchiamo punti vicini con valori opposti. Per $n \geq 1$ prendiamo

$$\begin{gathered} x_n = \sqrt{2n\pi + \frac{\pi}{2}} \\ y_n = \sqrt{2n\pi - \frac{\pi}{2}} \end{gathered}$$

Allora $\sin(x_n^2) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2n\pi\right) = 1$ e $\sin(y_n^2) = \sin\left(-\frac{\pi}{2} + 2n\pi\right) = -1$. Per la distanza moltiplichiamo e dividiamo per $x_n + y_n$:

$$\begin{gathered} x_n - y_n = \frac{x_n^2 - y_n^2}{x_n + y_n} \\ {} = \frac{\pi}{x_n + y_n} \to 0 \end{gathered}$$

perché il denominatore tende a $+\infty$. Per $n = 1$ i due punti distano circa 0,63, per $n = 100$ circa 0,063. Con $\varepsilon_0 = 2$ il criterio dice che $f$ non è uniformemente continua su $\mathbb{R}$: resta tra $-1$ e $1$, ma oscilla sempre più in fretta quando $\lvert x \rvert$ cresce. È il fenomeno di $\sin\frac{1}{x}$ vicino a 0, spostato all’infinito.

In sintesi

• Monotona su un intervallo: nei punti interni i limiti laterali esistono finiti ($\sup$ e $\inf$ dei valori dai due lati), quindi solo salti, al più un’infinità numerabile. È continua se e solo se l’immagine è un intervallo.
• Continua e strettamente monotona su un intervallo: l’inversa è continua ($\sqrt{x}$, $\ln x$, $\arcsin x$). Continua e iniettiva su un intervallo: strettamente monotona.
• Uniformemente continua: per ogni $\varepsilon$ c’è un $\delta$ valido per tutte le coppie di punti.
• Per dire di no: due successioni con $x_n - y_n \to 0$ e $\lvert f(x_n) - f(y_n) \rvert \geq \varepsilon_0$.
• Su un intervallo: derivata limitata $\Rightarrow$ lipschitziana $\Rightarrow$ uniformemente continua $\Rightarrow$ continua, e nessuna freccia si inverte.
• Heine-Cantor: continua su $[a, b]$ implica uniformemente continua; è ciò che rende integrabili le funzioni continue.

Hai finito la teoria del capitolo: mettiti alla prova con gli esercizi svolti sulla continuità.