Integrale definito: somme di Riemann, proprietà, teorema della media ed esercizi

Nell’introduzione agli integrali hai visto l’idea: approssimare l’area sotto un grafico con dei rettangoli e passare al limite. Qui la trasformiamo nella definizione rigorosa di integrale definito secondo Riemann, la base del capitolo: da qui si dimostrano le proprietà che userai negli esercizi e il teorema fondamentale del calcolo integrale. All’orale di Analisi 1 è una domanda classica. In questa pagina vediamo partizioni, somme inferiori e superiori, la definizione e il criterio con $\varepsilon$, le somme di Riemann, due integrali calcolati con la definizione, quali funzioni sono integrabili, l’area con segno, le proprietà, il teorema della media, le simmetrie, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Partizioni di un intervallo

Nell’introduzione abbiamo usato pezzi uguali. Per una definizione valida per ogni funzione si considerano invece tutte le suddivisioni possibili. Lavoriamo con $f$ limitata su un intervallo chiuso e limitato $[a, b]$, con $a < b$: esistono $m$ e $M$ con $m \leq f(x) \leq M$ per ogni $x \in [a, b]$, così le altezze dei rettangoli sono numeri finiti.

I pezzi possono essere diversi: $\{0, 1, 3, 4\}$ è una partizione di $[0, 4]$. La lunghezza del pezzo più lungo è l’ampiezza della partizione. Se $P'$ contiene tutti i punti di $P$, si dice che è un raffinamento di $P$: si ottiene tagliando ancora qualche pezzo.

Somme inferiori e superiori

Su ogni pezzo prendiamo l’altezza più bassa e quella più alta della funzione:

$$\begin{gathered} m_k = \inf_{[x_{k-1},\, x_k]} f \\ M_k = \sup_{[x_{k-1},\, x_k]} f \end{gathered}$$

Si usano estremo inferiore e superiore perché una funzione discontinua può non avere minimo o massimo su un pezzo; essendo $f$ limitata, inf e sup esistono sempre.

Se $f \geq 0$, $s(P)$ è l’area di rettangoli contenuti nella regione sotto il grafico, $S(P)$ di rettangoli che la ricoprono. Attenzione: $m_k$ e $M_k$ non stanno per forza negli estremi del pezzo (in figura, sul pezzo evidenziato il massimo è in cima alla gobba).

Due proprietà, facili da dimostrare, reggono tutta la teoria.

Raffinando, s cresce e S cala

Perché è vero. Aggiungiamo un punto $y$ nel pezzo $[x_{k-1}, x_k]$. Su ciascuna delle due parti l’inf è almeno $m_k$, perché su un insieme più piccolo l’inf non può scendere: i due nuovi rettangoli bassi hanno insieme area almeno $m_k\,\Delta x_k$, e gli altri pezzi non cambiano. Per $S$ è lo stesso al contrario. Con più punti si ripete. Nota il «minore o uguale»: la somma può anche restare com’era (esercizio 2).

Ogni somma inferiore è minore di ogni somma superiore

Perché è vero. $P = P_1 \cup P_2$ raffina entrambe, e sulla stessa partizione $s(P) \leq S(P)$, perché $m_k \leq M_k$. Per la proprietà 1:

$$s(P_1) \leq s(P) \leq S(P) \leq S(P_2)$$

Nessuna somma dal basso supera una somma dall’alto, anche con partizioni completamente diverse.

La definizione di integrale di Riemann

Per la proprietà 2 le somme inferiori sono limitate superiormente e le superiori inferiormente. Esistono quindi, con sup e inf presi su tutte le partizioni,

$$\begin{gathered} \underline{I} = \sup_P s(P) \\ \overline{I} = \inf_P S(P) \end{gathered}$$

detti integrale inferiore e integrale superiore. Vale sempre $\underline{I} \leq \overline{I}$.

In altre parole: $f$ è integrabile se c’è un solo numero compreso tra tutte le somme inferiori e tutte le somme superiori.

Il criterio di integrabilità

Per fortuna non serve esaminare tutte le partizioni.

Perché è vero. Se una tale $P$ esiste, da $s(P) \leq \underline{I} \leq \overline{I} \leq S(P)$ segue $\overline{I} - \underline{I} < \varepsilon$; essendo $\varepsilon$ arbitrario, la differenza è zero. Viceversa, se $\underline{I} = \overline{I} = I$, per le proprietà di sup e inf esistono $P_1$ con $s(P_1) > I - \frac{\varepsilon}{2}$ e $P_2$ con $S(P_2) < I + \frac{\varepsilon}{2}$; per la proprietà 1, $P_1 \cup P_2$ ha $S - s < \varepsilon$.

In pratica: se con $n$ pezzi uguali $S_n - s_n \to 0$, la funzione è integrabile, e l’integrale è il limite comune delle due somme, che lo racchiudono.

Le somme di Riemann

Al posto di inf e sup si può usare il valore $f(\xi_k)$ in un punto qualsiasi $\xi_k$ di ogni pezzo. Si ottiene una somma di Riemann:

$$\sigma = \sum_{k=1}^{n} f(\xi_k)\,\Delta x_k$$

Siccome $m_k \leq f(\xi_k) \leq M_k$, vale $s(P) \leq \sigma \leq S(P)$. Si dimostra (non lo facciamo) che per una funzione integrabile le somme di Riemann tendono all’integrale quando l’ampiezza della partizione tende a 0, comunque si scelgano i punti: era la definizione originale di Riemann, equivalente a quella con $s$ e $S$. Con i punti medi i pezzetti che sporgono sopra il grafico compensano in parte quelli che mancano sotto.

Ecco i numeri per $x^2$ su $[0, 1]$ con $n$ pezzi uguali, calcolati con Python:

$n$	$s_n$ e $S_n$	punti medi $\sigma_n$
4	0,21875 e 0,46875	0,328125
10	0,285 e 0,385	0,3325
100	0,32835 e 0,33835	0,333325
1000	0,33283 e 0,33383	0,33333325

La forbice è larga esattamente $\frac{1}{n}$, mentre i punti medi sbagliano, per difetto, di appena $\frac{1}{12n^2}$.

Due integrali calcolati con la definizione

L’area sotto la parabola

Con $n$ pezzi uguali, $x^2$ è crescente: $m_k$ sta nell’estremo sinistro e $M_k$ nel destro. Nell’introduzione abbiamo trovato

$$\begin{gathered} s_n = \frac{(n - 1)(2n - 1)}{6n^2} \\ S_n = \frac{(n + 1)(2n + 1)}{6n^2} \end{gathered}$$

con la formula $1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$. Eccone una dimostrazione rapida. Sviluppando il cubo, $(k + 1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1$. Sommando per $k$ da 1 a $n$, a sinistra i termini si cancellano a catena; a destra compare la somma dei quadrati, più $1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$ del trucco di Gauss:

$$\begin{gathered} (n + 1)^3 - 1 \\ {} = 3\sum_{k=1}^{n} k^2 + \frac{3n(n + 1)}{2} + n \end{gathered}$$

Isolando la somma dei quadrati si ottiene la formula. Ora il passo rigoroso:

$$S_n - s_n = \frac{6n}{6n^2} = \frac{1}{n} \to 0$$

Per il criterio $x^2$ è integrabile su $[0, 1]$, e l’integrale, sempre compreso tra $s_n$ e $S_n$, è il loro limite comune:

$$\int_0^1 x^2\,dx = \lim_{n \to +\infty} S_n = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Grazie al criterio, le partizioni in parti uguali bastano.

L’integrale dell’esponenziale

Fissato $b > 0$, dividiamo $[0, b]$ in $n$ pezzi di base $h = \frac{b}{n}$. I punti sono $x_k = kh$ ed $e^x$ è crescente:

$$\begin{gathered} S_n = h\left(e^{h} + e^{2h} + \dots + e^{nh}\right) \\ s_n = h\left(1 + e^{h} + \dots + e^{(n-1)h}\right) \end{gathered}$$

Nelle parentesi ci sono somme geometriche di ragione $q = e^h$. Con $1 + q + \dots + q^{n-1} = \frac{q^n - 1}{q - 1}$ ed $e^{nh} = e^b$:

$$\begin{gathered} s_n = (e^b - 1) \cdot \frac{h}{e^h - 1} \\ S_n = e^h \cdot s_n \end{gathered}$$

Per $n \to +\infty$, $h \to 0^+$: per il limite notevole $\frac{e^h - 1}{h} \to 1$, ed $e^h \to 1$. Entrambe le somme tendono a $e^b - 1$, e $S_n - s_n = \frac{b\,(e^b - 1)}{n} \to 0$:

$$\int_0^b e^x\,dx = e^b - 1$$

Con $b = 1$ e 10 pezzi, $s_{10} \approx 1{,}634$ e $S_{10} \approx 1{,}806$, ai due lati di $e - 1 \approx 1{,}718$. Con una primitiva lo stesso risultato si ottiene in una riga: le trovi nell’integrale indefinito e negli integrali immediati.

Quali funzioni sono integrabili

Le funzioni monotone

Dimostrazione. Una funzione monotona è limitata, perché sta tra $f(a)$ e $f(b)$. Sia $f$ crescente, con $n$ pezzi uguali lunghi $\frac{b - a}{n}$: su ogni pezzo inf e sup sono i valori negli estremi sinistro e destro, quindi

$$\begin{gathered} S_n - s_n \\ {} = \frac{b - a}{n} \sum_{k=1}^{n} \big(f(x_k) - f(x_{k-1})\big) \\ {} = \frac{\big(f(b) - f(a)\big)(b - a)}{n} \end{gathered}$$

La somma è telescopica: i termini si cancellano a coppie e resta $f(b) - f(a)$. La differenza tende a 0 e, per il criterio, $f$ è integrabile. Se $f$ è decrescente si scambiano $f(a)$ e $f(b)$. Non serve la continuità: anche una funzione a scalini crescente, con infiniti scalini, è integrabile.

Le funzioni continue

L’idea della dimostrazione. Per il teorema di Weierstrass $f$ è limitata e su ogni pezzo ha minimo e massimo. Per il teorema di Heine-Cantor è uniformemente continua: fissato $\varepsilon > 0$, esiste $\delta > 0$, lo stesso per tutto l’intervallo, tale che punti a distanza minore di $\delta$ hanno valori che differiscono meno di $\frac{\varepsilon}{b - a}$. Con tutti i pezzi più corti di $\delta$, massimo e minimo di ogni pezzo sono assunti in punti vicini meno di $\delta$, quindi $M_k - m_k < \frac{\varepsilon}{b - a}$ e

$$\begin{gathered} S(P) - s(P) = \sum_{k=1}^{n} (M_k - m_k)\,\Delta x_k \\ {} < \frac{\varepsilon}{b - a} \cdot (b - a) = \varepsilon \end{gathered}$$

Per il criterio, $f$ è integrabile.

Funzioni con un numero finito di discontinuità

L’idea: ogni discontinuità si chiude in un pezzo cortissimo, che pesa poco su $S - s$. Per esempio la funzione a gradino

$$f(x) = \begin{cases} 1 & \text{se } 0 \leq x \leq 1 \\ 3 & \text{se } 1 < x \leq 2 \end{cases}$$

con $n$ pezzi uguali di $[0, 2]$ ha un solo pezzo con $M_k \neq m_k$, quello del salto, con $M_k - m_k = 2$ e lunghezza $\frac{2}{n}$. Quindi $S_n - s_n = \frac{4}{n} \to 0$, e l’integrale è $1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 4$, qualunque valore abbia $f$ in 1.

La limitatezza invece serve: la funzione che vale $\frac{1}{x}$ su $(0, 1]$ e 0 in 0 ha una sola discontinuità, ma sul primo pezzo il sup è $+\infty$. È un caso da integrali impropri.

Una funzione non integrabile: la funzione di Dirichlet

Su $[0, 1]$ consideriamo

$$D(x) = \begin{cases} 1 & \text{se } x \in \mathbb{Q} \\ 0 & \text{se } x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$$

Ogni pezzo, per piccolo che sia, contiene sia razionali sia irrazionali (rivedi i numeri reali): $m_k = 0$ e $M_k = 1$ sempre, quindi

$$s(P) = 0, \qquad S(P) = 1$$

per ogni partizione. Allora $\underline{I} = 0$ e $\overline{I} = 1$ sono diversi: $D$ è limitata ma non integrabile. Lo dicono anche le somme di Riemann: con i punti $\xi_k$ razionali $\sigma = 1$, con quelli irrazionali $\sigma = 0$.

Notazione e convenzioni

La variabile di integrazione è muta: $\int_0^1 x^2\,dx = \int_0^1 t^2\,dt$, perché il risultato è un numero (come si legge il simbolo è spiegato nell’introduzione). Per estremi uguali o scambiati si pone

$$\begin{gathered} \int_a^a f(x)\,dx = 0 \\ \int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx \end{gathered}$$

Su un intervallo di lunghezza zero non c’è area, e percorrerlo al contrario cambia il segno, come se le basi $\Delta x_k$ diventassero negative.

Area con segno e area geometrica

Le altezze dei rettangoli sono i valori di $f$, con il segno: sotto l’asse $x$ i rettangoli contano negativi, e l’integrale è l’area sopra l’asse meno l’area sotto. Per esempio $x^2 - 1$ su $[0, 2]$ è negativa prima di 1 e positiva dopo; le due parti hanno area $\frac{2}{3}$ e $\frac{4}{3}$ (con la primitiva $\frac{x^3}{3} - x$) e l’integrale vale $\frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$.

L’area geometrica è l’integrale del valore assoluto:

$$\text{area} = \int_a^b \lvert f(x) \rvert\,dx$$

Ha senso perché, se $f$ è integrabile, lo è anche $\lvert f \rvert$: su ogni pezzo la differenza tra sup e inf di $\lvert f \rvert$ non supera quella di $f$. In pratica si spezza l’intervallo negli zeri di $f$: qui $\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2$. Gli altri casi sono nel calcolo delle aree.

Le proprietà dell’integrale definito

Valgono per $f$ e $g$ integrabili su $[a, b]$, con $a < b$, e costanti $\alpha$ e $\beta$. Ognuna vale per le somme di Riemann, che sono somme finite, e passa all’integrale con il limite.

Linearità.

$$\begin{gathered} \int_a^b \big(\alpha f(x) + \beta g(x)\big)\,dx \\ {} = \alpha\int_a^b f(x)\,dx + \beta\int_a^b g(x)\,dx \end{gathered}$$

Con gli stessi punti $\xi_k$, la somma di Riemann di $\alpha f + \beta g$ è $\alpha$ per quella di $f$ più $\beta$ per quella di $g$.

Additività rispetto all’intervallo. Se $a < c < b$:

$$\begin{gathered} \int_a^b f(x)\,dx \\ {} = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx \end{gathered}$$

Si usano partizioni che contengono $c$ (aggiungerlo è un raffinamento): sono l’unione di una partizione di $[a, c]$ e di una di $[c, b]$, e le somme si spezzano. Con le convenzioni viste sopra vale con $a$, $b$, $c$ in qualunque ordine, se $f$ è integrabile sull’intervallo più grande.

Monotonia. Se $f(x) \leq g(x)$ per ogni $x \in [a, b]$:

$$\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx$$

Da $f(\xi_k) \leq g(\xi_k)$ e $\Delta x_k > 0$ le somme di Riemann rispettano la disuguaglianza. In particolare, se $f \geq 0$ l’integrale è maggiore o uguale a zero.

Valore assoluto.

$$\left\lvert \int_a^b f(x)\,dx \right\rvert \leq \int_a^b \lvert f(x) \rvert\,dx$$

Segue dalla monotonia applicata a $-\lvert f \rvert \leq f \leq \lvert f \rvert$: con i segni le aree si compensano, senza no. Nell’esempio di prima, $\frac{2}{3} \leq 2$.

Non c’è invece una regola per i prodotti: per quelli servono tecniche come l’integrazione per parti.

Le stime con minimo e massimo

Se $m \leq f(x) \leq M$ per ogni $x \in [a, b]$, confrontando $f$ con le costanti $m$ e $M$:

$$m\,(b - a) \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq M\,(b - a)$$

Serve a stimare integrali che non si sanno calcolare: $e^{-x^2}$ ha delle primitive, ma nessuna si scrive con funzioni elementari. Su $[0, 1]$ decresce da 1 a $e^{-1}$:

$$0{,}367 < \frac{1}{e} \leq \int_0^1 e^{-x^2}\,dx \leq 1$$

Si fa di meglio con la monotonia: da $e^t \geq 1 + t$ (la tangente in $t = 0$ sta sotto il grafico) segue $e^{-x^2} \geq 1 - x^2$, e l’integrale vale almeno $\int_0^1 (1 - x^2)\,dx = \frac{2}{3}$. Il valore numerico è circa $0{,}7468$.

Il teorema della media integrale

Dimostrazione

Per il teorema di Weierstrass, $f$ ha su $[a, b]$ un minimo $m$ e un massimo $M$. Dalla stima appena vista, dividendo per $b - a > 0$:

$$m \leq \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx \leq M$$

Il numero centrale è compreso tra minimo e massimo di una funzione continua su un intervallo: per il teorema dei valori intermedi, $f$ lo assume in almeno un punto $c$. Moltiplicando per $b - a$ si ottiene la tesi.

Il significato: il valore medio

Il numero

$$\bar{f} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$$

è il valore medio di $f$ su $[a, b]$: con $n$ pezzi uguali, la somma di Riemann divisa per $b - a$ è la media aritmetica di $f(\xi_1), \dots, f(\xi_n)$. Il teorema dice che una funzione continua assume il suo valore medio: il rettangolo di base $b - a$ e altezza $f(c)$ ha la stessa area della regione sotto il grafico.

Un’auto parte da ferma e per $0 \leq t \leq 2$ s ha velocità $v(t) = 3t^2$ m/s. Percorre $\int_0^2 3t^2\,dt = 8$ m (una primitiva è $t^3$), con velocità media 4 m/s. Il tachimetro segna 4 m/s quando $3c^2 = 4$, cioè per $c = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1{,}15$ s.

La media non è $\frac{0 + 12}{2} = 6$ m/s: conta quanto tempo l’auto passa a ogni velocità. Altri esempi, come la temperatura media di una giornata, sono nelle applicazioni degli integrali.

Funzioni pari, dispari e periodiche

Su un intervallo simmetrico $[-a, a]$, con $f$ integrabile:

• se $f$ è dispari, $\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0$;
• se $f$ è pari, $\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$.

Perché è vero. Prendi partizioni simmetriche e punti $\xi_k$ a coppie opposte, $\xi$ e $-\xi$. Se $f$ è dispari, $f(-\xi) = -f(\xi)$: i termini della somma di Riemann si cancellano a coppie, ogni somma vale 0 e quindi anche il limite. Se $f$ è pari, la somma è il doppio di quella su $[0, a]$.

Così $\int_{-\pi}^{\pi} x^2\sin x\,dx = 0$ senza conti, perché $x^2\sin x$ è dispari; con una primitiva servirebbero due integrazioni per parti.

Se $f$ è periodica di periodo $T$ e integrabile su $[0, T]$, per ogni $a$:

$$\int_a^{a + T} f(x)\,dx = \int_0^T f(x)\,dx$$

Il tratto tra $T$ e $a + T$ è la copia, spostata di $T$, di quello tra 0 e $a$: quello che si toglie a sinistra si riaggiunge a destra. Su $n$ periodi l’integrale è $n$ volte quello su un periodo.

Un po’ di storia

Augustin-Louis Cauchy, nel Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal del 1823, definì l’integrale come limite di somme di rettangoli, ma solo per funzioni continue. Bernhard Riemann tolse questa restrizione nella tesi di abilitazione presentata a Gottinga nel 1854, sulle serie trigonometriche; il lavoro fu pubblicato solo nel 1868, dopo la sua morte, a cura di Richard Dedekind. La versione con somme inferiori e superiori porta il nome di Gaston Darboux, che la pubblicò nel 1875. Nel 1902 Henri Lebesgue costruì un integrale più generale, che integra anche la funzione di Dirichlet.

Gli errori più comuni

• Prendere sempre il massimo in un estremo del pezzo. Se dentro il pezzo c’è un vertice, $M_k$ o $m_k$ sta lì (esercizio 2).
• Pensare che raffinare migliori sempre le somme. $s$ non diminuisce, ma può restare uguale. E la partizione in 3 pezzi uguali non è un raffinamento di quella in 2.
• Dimenticare le ipotesi. Servono funzione limitata e intervallo chiuso e limitato: $\frac{1}{x}$ su $(0, 1]$ è un integrale improprio.
• Credere che integrabile voglia dire continua. Le funzioni a gradini sono integrabili; vale solo il contrario.
• Confondere integrale e area. Se $f$ cambia segno, per l’area si integra $\lvert f \rvert$ (esercizio 3).
• Usare la monotonia con gli estremi scambiati. Da $f \leq g$ segue $\int_a^b f \leq \int_a^b g$ solo se $a < b$.
• Cercare il punto $c$ fuori da $[a, b]$, o usare il teorema della media senza continuità (esercizio 5).
• Usare la simmetria quando non c’è. $x^3 + 1$ non è dispari: $\int_{-1}^{1} (x^3 + 1)\,dx = 2$.

Esercizi svolti

1. Un integrale con la definizione

Testo. Calcola $\int_0^b x\,dx$, con $b > 0$, usando la definizione con $n$ pezzi uguali, e controlla il risultato con la geometria.

I pezzi hanno base $\frac{b}{n}$ e i punti sono $x_k = \frac{kb}{n}$. La funzione è crescente: $M_k = x_k$ e $m_k = x_{k-1}$. Con $1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$:

$$\begin{gathered} S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{kb}{n} \cdot \frac{b}{n} \\ {} = \frac{b^2}{n^2}\,(1 + 2 + \dots + n) \\ {} = \frac{b^2}{n^2} \cdot \frac{n(n + 1)}{2} = \frac{b^2\,(n + 1)}{2n} \end{gathered}$$

Nella somma inferiore le altezze sono $0, \frac{b}{n}, \dots, \frac{(n - 1)b}{n}$, e $0 + 1 + \dots + (n - 1) = \frac{(n - 1)n}{2}$:

$$s_n = \frac{b^2}{n^2} \cdot \frac{(n - 1)n}{2} = \frac{b^2\,(n - 1)}{2n}$$

Allora $S_n - s_n = \frac{b^2}{n} \to 0$ e le due somme tendono a $\frac{b^2}{2}$:

$$\int_0^b x\,dx = \frac{b^2}{2}$$

Controllo: sotto la retta $y = x$, tra 0 e $b$, c’è un triangolo con base e altezza $b$, di area $\frac{b^2}{2}$.

2. Somme inferiori e superiori su una partizione data

Testo. Sia $f(x) = 4x - x^2$ su $[0, 4]$. (a) Calcola $s(P)$ e $S(P)$ per $P = \{0, 1, 3, 4\}$. (b) Ripeti con il raffinamento $P' = \{0, \frac{1}{2}, 1, 3, \frac{7}{2}, 4\}$. (c) Che cosa puoi dire dell’integrale?

Il grafico è una parabola con vertice in $(2, 4)$: $f$ cresce su $[0, 2]$ e decresce su $[2, 4]$. Inoltre $f(1) = f(3) = 3$ e $f\left(\frac{1}{2}\right) = f\left(\frac{7}{2}\right) = \frac{7}{4}$.

(a) Il pezzo $[1, 3]$ contiene il vertice: il massimo è $f(2) = 4$, in un punto interno, e il minimo è 3.

Pezzo	$m_k$	$M_k$
$[0, 1]$, lungo 1	0	3
$[1, 3]$, lungo 2	3	4
$[3, 4]$, lungo 1	0	3

$$\begin{gathered} s(P) = 0 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 6 \\ S(P) = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 14 \end{gathered}$$

(b) $[0, 1]$ si divide in $[0, \frac{1}{2}]$, con $m = 0$ e $M = \frac{7}{4}$, e $[\frac{1}{2}, 1]$, con $m = \frac{7}{4}$ e $M = 3$; per simmetria lo stesso a destra. Il pezzo centrale non cambia e ogni pezzo nuovo è lungo $\frac{1}{2}$:

$$\begin{gathered} s(P') = 2 \cdot \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot 2 \\ {} = \frac{31}{4} = 7{,}75 \\ S(P') = 2\left(\frac{7}{4} + 3\right)\frac{1}{2} + 4 \cdot 2 \\ {} = \frac{51}{4} = 12{,}75 \end{gathered}$$

La somma inferiore è cresciuta, quella superiore è calata. Aggiungere il punto 2, invece, non cambierebbe niente: su $[1, 2]$ e $[2, 3]$ inf e sup restano 3 e 4.

(c) $f$ è continua, quindi integrabile, con integrale tra $7{,}75$ e $12{,}75$. Con la primitiva $2x^2 - \frac{x^3}{3}$ si trova $32 - \frac{64}{3} = \frac{32}{3} \approx 10{,}67$.

3. Integrale e area di una cubica

Testo. Calcola $\int_0^2 (x^3 - x)\,dx$ e l’area della regione tra il grafico di $f(x) = x^3 - x$ e l’asse $x$ per $0 \leq x \leq 2$. Controlla la disuguaglianza con il valore assoluto.

Il segno: $x^3 - x = x(x - 1)(x + 1)$ è negativo su $(0, 1)$ e positivo su $(1, 2]$. Una primitiva è $G(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}$, perché $G'(x) = x^3 - x$, con $G(0) = 0$, $G(1) = -\frac{1}{4}$ e $G(2) = 2$:

$$\begin{gathered} \int_0^1 (x^3 - x)\,dx = G(1) - G(0) = -\frac{1}{4} \\ \int_1^2 (x^3 - x)\,dx = G(2) - G(1) = \frac{9}{4} \end{gathered}$$

L’integrale è la somma con i segni, l’area quella senza:

$$\begin{gathered} \int_0^2 (x^3 - x)\,dx = -\frac{1}{4} + \frac{9}{4} = 2 \\ \text{area} = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{5}{2} \end{gathered}$$

Come previsto, $\lvert 2 \rvert \leq \frac{5}{2}$: la differenza, $\frac{1}{2}$, è il doppio dell’area sotto l’asse, che nell’integrale viene sottratta invece che sommata.

4. Una stima senza calcolare l’integrale

Testo. Dimostra la stima $1 \leq \int_0^1 \sqrt{1 + x^4}\,dx \leq \sqrt{2}$ e poi migliora quella superiore con la disuguaglianza $\sqrt{1 + t} \leq 1 + \frac{t}{2}$, valida per $t \geq 0$.

Su $[0, 1]$ la funzione $\sqrt{1 + x^4}$ è crescente, con minimo 1 e massimo $\sqrt{2}$. L’intervallo è lungo 1, quindi le stime con minimo e massimo danno la prima parte, con $\sqrt{2} \approx 1{,}414$.

La disuguaglianza suggerita è vera: i due membri sono positivi e, elevando al quadrato, diventa $1 + t \leq 1 + t + \frac{t^2}{4}$. Con $t = x^4$ e la monotonia:

$$\begin{gathered} \int_0^1 \sqrt{1 + x^4}\,dx \leq \int_0^1 \left(1 + \frac{x^4}{2}\right)dx \\ {} = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{11}{10} \end{gathered}$$

usando la primitiva $\frac{x^5}{5}$ di $x^4$. L’integrale è quindi compreso tra 1 e $1{,}1$. Il valore esatto non si ottiene con le tecniche del corso; numericamente è circa $1{,}0894$.

5. Valore medio e punto c

Testo. Trova il valore medio di $f(x) = 3x^2 - 2x$ su $[0, 2]$ e i punti $c \in [0, 2]$ in cui $f$ lo assume.

$f$ è continua, quindi il teorema della media garantisce almeno un punto $c$. Una primitiva è $x^3 - x^2$:

$$\begin{gathered} \int_0^2 (3x^2 - 2x)\,dx = (8 - 4) - 0 = 4 \\ \bar{f} = \frac{4}{2 - 0} = 2 \end{gathered}$$

Cerchiamo i punti in cui $f(c) = 2$:

$$\begin{gathered} 3c^2 - 2c - 2 = 0 \\ c = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{3} \end{gathered}$$

La soluzione $\frac{1 - \sqrt{7}}{3} \approx -0{,}55$ è fuori da $[0, 2]$ e va scartata. Resta $c = \frac{1 + \sqrt{7}}{3} \approx 1{,}22$. Controllo: su $[0, 2]$ la funzione va da un minimo di $-\frac{1}{3}$, in $x = \frac{1}{3}$, a un massimo di 8, in $x = 2$, e il valore medio 2 sta in mezzo.

6. Simmetrie e periodicità

Testo. Calcola (a) $\displaystyle\int_{-2}^{2} \left(e^{x^2}\sin x + \lvert x \rvert + 3\right)dx$; (b) $\displaystyle\int_0^{100\pi} \lvert \sin x \rvert\,dx$.

(a) Per la linearità spezziamo in tre integrali. $g(x) = e^{x^2}\sin x$ è continua e dispari, perché $g(-x) = e^{x^2}\sin(-x) = -g(x)$: il suo integrale è 0, ed è un bene, perché una sua primitiva non si trova con le tecniche del corso. $\lvert x \rvert$ è pari: il suo integrale è il doppio di $\int_0^2 x\,dx = 2$, l’area di un triangolo. La costante 3 dà un rettangolo di base 4 e altezza 3:

$$\begin{gathered} \int_{-2}^{2} \left(e^{x^2}\sin x + \lvert x \rvert + 3\right)dx \\ {} = 0 + 4 + 12 = 16 \end{gathered}$$

(b) $\lvert \sin x \rvert$ è periodica di periodo $\pi$, perché $\lvert \sin(x + \pi) \rvert = \lvert -\sin x \rvert = \lvert \sin x \rvert$. Su $[0, \pi]$ vale $\sin x$, e

$$\int_0^\pi \sin x\,dx = \big[-\cos x\big]_0^\pi = 1 + 1 = 2$$

In $[0, 100\pi]$ ci sono 100 periodi: l’integrale vale $100 \cdot 2 = 200$. Senza valore assoluto, $\sin x$ ha periodo $2\pi$ e integrale nullo su ogni periodo, quindi $\int_0^{100\pi} \sin x\,dx = 0$: integrale e area sono cose diverse.

In sintesi

• $s(P) = \sum m_k\,\Delta x_k$ e $S(P) = \sum M_k\,\Delta x_k$, con inf e sup di $f$ su ogni pezzo.
• Raffinando, $s$ non diminuisce e $S$ non aumenta; ogni $s(P_1)$ è minore o uguale a ogni $S(P_2)$.
• $f$ limitata è integrabile se $\sup s(P) = \inf S(P)$, cioè se per ogni $\varepsilon > 0$ c’è $P$ con $S(P) - s(P) < \varepsilon$.
• Con la definizione: $\int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}$ e $\int_0^b e^x\,dx = e^b - 1$.
• Integrabili: continue, monotone, limitate con un numero finito di discontinuità. La funzione di Dirichlet no.
• L’integrale è un’area con segno; l’area è l’integrale di $\lvert f \rvert$.
• Proprietà: linearità, additività, monotonia, $\lvert \int f \rvert \leq \int \lvert f \rvert$, $m(b - a) \leq \int_a^b f \leq M(b - a)$.
• Teorema della media: se $f$ è continua, $\int_a^b f = f(c)(b - a)$ per almeno un $c \in [a, b]$.

Calcolare gli integrali con le somme è faticoso: il primo passo verso la scorciatoia sono le primitive e l’integrale indefinito.