Sottosuccessioni, Bolzano-Weierstrass e successioni di Cauchy: teoria ed esercizi

Gli articoli precedenti del capitolo insegnano a calcolare i limiti. Qui vediamo gli strumenti teorici per tre domande diverse. Come si dimostra che un limite non esiste? Cosa resta di una successione limitata che non converge? Si può sapere che una successione converge senza conoscere il limite? Sono domande da orale, e questi strumenti reggono il teorema di Weierstrass e le serie. In questa pagina vediamo le sottosuccessioni, come si dimostra che un limite non esiste, il criterio dei pari e dei dispari, il teorema di Bolzano-Weierstrass, massimo e minimo limite, le successioni di Cauchy, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Le sottosuccessioni

Da una successione puoi tenere solo alcuni termini, nell’ordine e senza fermarti mai: per esempio quelli di indice pari, $a_0, a_2, a_4, \dots$ Ottieni una sottosuccessione (o successione estratta).

sottosuccessione	indici $n_k$	termini
pari	$2k$	$a_0, a_2, a_4, \dots$
dispari	$2k + 1$	$a_1, a_3, a_5, \dots$
quadrati	$k^2$	$a_0, a_1, a_4, a_9, \dots$
primi	$k$-esimo primo	$a_2, a_3, a_5, a_7, \dots$
coda	$k + 5$	$a_5, a_6, a_7, \dots$

I primi sono infiniti, quindi quella lista non finisce. Non sono sottosuccessioni $a_1, a_0, a_3, a_2, \dots$ (ordine cambiato), $a_0, a_0, a_1, a_1, \dots$ (indice ripetuto) e $a_0, \dots, a_{99}$ (finita). Possono ripetersi i valori, non gli indici. E una sottosuccessione di una sottosuccessione è ancora una sottosuccessione della successione di partenza.

Gli indici scelti non restano indietro

Una proprietà utile in tutte le dimostrazioni:

$$n_k \geq k \quad \text{per ogni } k \in \mathbb{N}$$

Perché è vero. Per induzione. $n_0 \geq 0$ perché è un naturale. Se $n_k \geq k$, allora $n_{k + 1} > n_k \geq k$, e siccome sono interi, $n_{k + 1} \geq k + 1$.

Il teorema fondamentale: le parti seguono il tutto

Se tutta la successione si avvicina a un numero, ci si avvicina anche ogni sua parte.

Dimostrazione. Sia $L = \ell$ finito e fissa $\varepsilon > 0$. Per la definizione di limite c’è $n_\varepsilon$ tale che $\lvert a_n - \ell \rvert < \varepsilon$ per ogni $n > n_\varepsilon$. Se $k > n_\varepsilon$, allora $n_k \geq k > n_\varepsilon$, quindi

$$\lvert a_{n_k} - \ell \rvert < \varepsilon \quad \text{per ogni } k > n_\varepsilon$$

Se $L = +\infty$ si ragiona allo stesso modo con la soglia: $a_n > M$ per $n > n_M$ implica $a_{n_k} > M$ per $k > n_M$. Idem per $-\infty$.

Per questo raggruppare i termini di una serie convergente non ne cambia la somma: le nuove somme parziali sono una sottosuccessione delle vecchie (vedi le serie numeriche).

Come dimostrare che un limite non esiste

Il teorema si usa soprattutto al contrario.

Infatti, se $a_n$ avesse un limite $L$, tutte le sottosuccessioni tenderebbero a $L$. La scaletta:

1. Cerca uno schema nei primi termini: segni alterni, valori che si ripetono.
2. Separa gli indici secondo lo schema: pari e dispari, oppure $3k$, $3k + 1$, $3k + 2$.
3. Calcola il limite di ogni sottosuccessione, con il calcolo dei limiti di successioni.
4. Confronta. Due limiti diversi: il limite non esiste. Tutti uguali: vedi la prossima sezione.

Esempio 1. $\displaystyle a_n = \left(1 + \frac{(-1)^n}{n}\right)^n$, con $n \geq 1$. $a_{2k}$ è una sottosuccessione di $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$, quindi tende a $e$; $a_{2k + 1}$ lo è di $\left(1 - \frac{1}{n}\right)^n$, quindi tende a $\frac{1}{e}$ (vedi il numero di Nepero). Niente limite: «forma $1^\infty$, quindi $e$» è una trappola.

Esempio 2. $\displaystyle a_n = \left(\frac{2 + (-1)^n}{2}\right)^n$. Sui pari la base vale $\frac{3}{2}$, sui dispari $\frac{1}{2}$, e per il limite di $q^n$:

$$\begin{gathered} a_{2k} = \left(\tfrac{3}{2}\right)^{2k} \to +\infty \\ a_{2k + 1} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2k + 1} \to 0 \end{gathered}$$

La successione è irregolare, anche se metà dei suoi termini esplode.

Il criterio dei pari e dei dispari

Vale anche un viceversa, usato per esempio nel criterio di Leibniz.

Dimostrazione. Sia $L = \ell$ finito e fissa $\varepsilon > 0$. Esistono $k_1$ e $k_2$ tali che

$$\begin{gathered} \lvert a_{2k} - \ell \rvert < \varepsilon \ \text{ per } k > k_1 \\ \lvert a_{2k + 1} - \ell \rvert < \varepsilon \ \text{ per } k > k_2 \end{gathered}$$

Con $n_\varepsilon = 2\max\{k_1, k_2\} + 1$, ogni $n > n_\varepsilon$, pari ($n = 2k$) o dispari ($n = 2k + 1$), ha $k > \max\{k_1, k_2\}$, quindi $\lvert a_n - \ell \rvert < \varepsilon$. Con $L = \pm\infty$ si usa la soglia $M$. Il punto è che pari e dispari insieme coprono tutti gli indici.

La generalizzazione. Allo stesso modo basta un numero finito di sottosuccessioni con lo stesso limite che insieme coprono tutti gli indici, almeno da un certo punto in poi, come $a_{3k}$, $a_{3k + 1}$ e $a_{3k + 2}$. Devono coprirli tutti: $a_{2k}$ e $a_{3k}$ saltano $n = 1, 5, 7, 11, \dots$ (esercizio 6).

Il teorema di Bolzano-Weierstrass

Una successione limitata può non avere limite, come nell’esempio 1. Ma se metti infiniti sassolini in una scatola lunga un metro, da qualche parte si ammucchiano.

La dimostrazione per bisezione

Tutti i termini stanno in un intervallo $I_0 = [A, B]$. Come nel teorema degli zeri, dividiamo a metà e teniamo la metà giusta.

1. Dividi $I_0$ a metà. Se in ciascuna metà cadessero i termini di un numero finito di indici, gli indici sarebbero finiti in tutto. Quindi in almeno una metà cade $a_n$ per infiniti indici $n$: chiamala $I_1$.
2. Ripeti. Ottieni intervalli incapsulati $I_0 \supseteq I_1 \supseteq I_2 \supseteq \dots$, con $I_k = [A_k, B_k]$ lungo $\frac{B - A}{2^k}$, ognuno con $a_n \in I_k$ per infiniti indici.
3. Scegli gli indici. Prendi $n_0$ con $a_{n_0} \in I_0$. Scelto $n_k$, prendi $n_{k + 1} > n_k$ con $a_{n_{k + 1}} \in I_{k + 1}$: esiste, perché quegli indici sono infiniti, quindi non tutti minori o uguali a $n_k$.
4. Passa al limite. $A_k$ è crescente e limitata da $B$: per il teorema delle successioni monotone tende a un numero $c$, e anche $B_k = A_k + \frac{B - A}{2^k} \to c$. Da $A_k \leq a_{n_k} \leq B_k$, per i carabinieri, $a_{n_k} \to c$.

Conta gli indici, non i valori: una successione costante ha un solo valore, eppure la bisezione funziona.

Nella figura, la costruzione per $a_n = \sin n$ ($n$ in radianti), dove la scelta della metà è libera: i puntini sono i termini con $n < 120$, il tratteggio la metà scartata, in arancione il termine scelto.

Perché serve la completezza

Il passo 4 usa la completezza di $\mathbb{R}$ (vedi gli insiemi numerici): nei razionali il teorema è falso. Il metodo di Erone,

$$\begin{gathered} a_0 = 1 \\ a_{n + 1} = \frac{1}{2}\left(a_n + \frac{2}{a_n}\right) \end{gathered}$$

produce le frazioni $1;\ \frac{3}{2};\ \frac{17}{12};\ \frac{577}{408};\ \dots$, tutte tra 1 e 2, che nei reali tendono a $\sqrt{2}$. Allora ogni sottosuccessione tende a $\sqrt{2}$, e per l’unicità del limite nessuna ha un limite razionale.

Una seconda dimostrazione: le sottosuccessioni monotone

Dimostrazione. Chiama vetta un indice $m$ tale che $a_m \geq a_n$ per ogni $n > m$: come da una cima, tutto il resto del percorso sta più in basso o alla stessa quota.

• Se le vette sono infinite, $m_0 < m_1 < m_2 < \dots$, allora $a_{m_0} \geq a_{m_1} \geq a_{m_2} \geq \dots$: una sottosuccessione decrescente.
• Se sono finite (anche nessuna), prendi $n_0$ oltre l’ultima. $n_0$ non è una vetta: c’è $n_1 > n_0$ con $a_{n_1} > a_{n_0}$. Neanche $n_1$ lo è: c’è $n_2 > n_1$ con $a_{n_2} > a_{n_1}$; e così via. È una sottosuccessione crescente.

Se $(a_n)$ è limitata, questa sottosuccessione monotona è limitata e quindi converge: ecco di nuovo Bolzano-Weierstrass.

Due conseguenze

• Successioni illimitate. Se $(a_n)$ non è limitata superiormente, per ogni $k$ ci sono infiniti indici con $a_n > k$ (altrimenti sarebbe limitata). Scegliendo $n_{k + 1} > n_k$ con $a_{n_{k + 1}} > k + 1$ si ha $a_{n_k} \to +\infty$; lo stesso con $-\infty$. Quindi ogni successione ha una sottosuccessione con limite, finito o infinito.
• Intervalli chiusi. Se $a \leq a_n \leq b$ e $a_{n_k} \to c$, anche $a \leq c \leq b$, perché passando al limite le disuguaglianze larghe si conservano: in un intervallo chiuso e limitato il limite resta nell’intervallo. In uno aperto può scappare: per $n \geq 1$, $\frac{n}{n + 1}$ sta in $(0, 1)$ e tende a 1. È la forma usata nel teorema di Weierstrass e per la continuità uniforme.

Bolzano-Weierstrass è un teorema di esistenza: garantisce che $\sin n$ ha sottosuccessioni convergenti, ma non dice quali. Nell’esercizio 4 ne troviamo due con limiti diversi.

Valori limite, massimo e minimo limite

I limiti delle sottosuccessioni dicono dove si addensano i termini.

Nell’esempio 1 i valori limite sono $e$ e $\frac{1}{e}$, nell’esempio 2 $+\infty$ e $0$. Non ce ne sono altri: una sottosuccessione convergente ha infiniti indici pari o infiniti dispari, e quei termini formano una sottosuccessione dei pari o dei dispari, quindi tendono a uno dei due limiti.

Per trovare il più grande e il più piccolo, prendi il tetto e il pavimento della coda, cioè dei termini da $n$ in poi:

$$\begin{gathered} S_n = \sup\{a_k : k \geq n\} \\ I_n = \inf\{a_k : k \geq n\} \end{gathered}$$

Andando avanti la coda perde termini: il tetto può solo scendere, il pavimento solo salire. Quindi $S_n$ e $I_n$ sono monotone e hanno sempre limite, finito o infinito.

Perché è vero, in parte. Se $a_{n_k} \to L$, da $I_{n_k} \leq a_{n_k} \leq S_{n_k}$, passando al limite (a sinistra e a destra ci sono sottosuccessioni di $I_n$ e $S_n$), $\liminf a_n \leq L \leq \limsup a_n$: nessun valore limite sta fuori. Che siano a loro volta valori limite si dimostra scegliendo termini sempre più vicini a $S_n$ e a $I_n$; lo omettiamo.

Esempio. $\displaystyle a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)\cos\frac{2n\pi}{3}$, con $n \geq 1$. Il coseno vale 1 se $n$ è multiplo di 3, altrimenti $-\frac{1}{2}$:

$$\begin{gathered} a_{3k} = 1 + \frac{1}{3k} \to 1 \\ a_{3k + 1} = -\frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{3k + 1}\right) \\ {} \to -\frac{1}{2} \end{gathered}$$

e anche $a_{3k + 2} \to -\frac{1}{2}$. Le tre sottosuccessioni coprono tutti gli indici: $\limsup a_n = 1$ e $\liminf a_n = -\frac{1}{2}$. Nella figura il tetto delle code scende a gradini verso 1, il pavimento sale verso $-\frac{1}{2}$. Il massimo dei termini, $a_3 = \frac{4}{3}$, non è il massimo limite.

Il legame con il limite

Perché è vero. Se $a_n \to L$, l’unico valore limite è $L$. Viceversa, $I_n \leq a_n \leq S_n$: se $I_n$ e $S_n$ tendono a $L$, per i carabinieri (o per il confronto, se $L = \pm\infty$) anche $a_n \to L$. Quindi il limite non esiste esattamente quando $\liminf a_n < \limsup a_n$. Ma «coincidono» non vuol dire «converge»: per $a_n = n$ valgono entrambi $+\infty$.

A cosa serve. Il criterio della radice per le serie a termini $a_n \geq 0$, nella forma più generale, dice: se $\limsup \sqrt[n]{a_n} < 1$ la serie converge, se è maggiore di 1 diverge. Per $a_n = \left(\frac{2 + (-1)^n}{4}\right)^n$ la radice vale $\frac{3}{4}$ sui pari e $\frac{1}{4}$ sui dispari: non ha limite, ma il massimo limite è $\frac{3}{4} < 1$ e la serie converge.

Le successioni di Cauchy

La definizione di limite chiede di conoscere il limite $\ell$, che spesso è proprio ciò che non sai: pensa a una serie di cui non conosci la somma. Cauchy guarda solo i termini tra loro.

A parole: da un certo punto in poi, due termini qualsiasi distano meno di $\varepsilon$. Come uno sciame d’api: anche senza sapere dove si poserà, vedi che le api sono sempre più vicine tra loro.

1. Convergente implica di Cauchy. Se $a_n \to \ell$, c’è $n_1$ con $\lvert a_n - \ell \rvert < \frac{\varepsilon}{2}$ per $n > n_1$. Per $n, m > n_1$:

$$\begin{gathered} \lvert a_n - a_m \rvert \leq \lvert a_n - \ell \rvert + \lvert \ell - a_m \rvert \\ {} < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \end{gathered}$$

2. Di Cauchy implica limitata. Con $\varepsilon = 1$ c’è $n_1$ tale che $\lvert a_n - a_{n_1 + 1} \rvert < 1$, quindi $\lvert a_n \rvert < \lvert a_{n_1 + 1} \rvert + 1$, per ogni $n > n_1$. Aggiungendo i termini $a_0, \dots, a_{n_1}$, in numero finito, si ha $\lvert a_n \rvert \leq K$ per ogni $n$, con

$$\begin{gathered} K = \max\bigl\{\lvert a_0 \rvert, \dots, \lvert a_{n_1} \rvert, \\ \lvert a_{n_1 + 1} \rvert + 1\bigr\} \end{gathered}$$

3. Di Cauchy implica convergente. Per il passo 2 e Bolzano-Weierstrass c’è una sottosuccessione $a_{n_k} \to \ell$. Fissa $\varepsilon$: c’è $n_1$ con $\lvert a_n - a_m \rvert < \frac{\varepsilon}{2}$ per $n, m > n_1$, e c’è $k$ con $n_k > n_1$ e $\lvert a_{n_k} - \ell \rvert < \frac{\varepsilon}{2}$ (basta $k$ grande, perché $n_k \geq k$). Per ogni $n > n_1$:

$$\begin{gathered} \lvert a_n - \ell \rvert \leq \lvert a_n - a_{n_k} \rvert + \lvert a_{n_k} - \ell \rvert \\ {} < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \end{gathered}$$

Una parte dei termini va verso $\ell$ e trascina gli altri, che le stanno vicini.

Nei razionali non funziona

Il passo 3 usa Bolzano-Weierstrass, quindi la completezza. La successione di Erone converge in $\mathbb{R}$, quindi è di Cauchy, e la condizione riguarda solo i suoi termini, che sono razionali; ma in $\mathbb{Q}$ non ha limite.

Non basta che i termini consecutivi si avvicinino

successione	$a_{n + 1} - a_n$	limite
$\sqrt{n}$	$\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} \to 0$	$+\infty$
$\ln n$	$\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \to 0$	$+\infty$
$H_n = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$	$\frac{1}{n + 1} \to 0$	$+\infty$

I passi diventano piccolissimi, ma sono tanti: $\sqrt{4n} - \sqrt{n} = \sqrt{n}$, che è enorme.

Le successioni contrattive

Basta invece che i passi si accorcino almeno di un fattore fisso.

Dimostrazione. Con $d = \lvert a_1 - a_0 \rvert$, applicando la disuguaglianza $n$ volte si ha $\lvert a_{n + 1} - a_n \rvert \leq q^n d$. Per $m > n$, sommando i passi e usando la somma geometrica:

$$\begin{gathered} \lvert a_m - a_n \rvert \leq \sum_{j = n}^{m - 1} \lvert a_{j + 1} - a_j \rvert \\ {} \leq d\,\bigl(q^n + q^{n + 1} + \dots + q^{m - 1}\bigr) \\ {} \leq \frac{d\,q^n}{1 - q} \end{gathered}$$

L’ultimo membro non dipende da $m$ e tende a 0: da un certo $n$ in poi è minore di $\varepsilon$. Basta anche che la disuguaglianza valga da un certo indice in poi. Il $q$ deve essere fisso: per i numeri armonici i passi si accorciano sempre, ma il loro rapporto $\frac{n + 1}{n + 2}$ tende a 1, e la successione diverge. Un esempio è nell’esercizio 5.

Il criterio di Cauchy per le serie

Per le somme parziali $s_n = a_0 + \dots + a_n$ di una serie, $s_m - s_n = a_{n + 1} + \dots + a_m$ è un blocco di termini consecutivi (vedi anche la convergenza assoluta):

Con $m = n + 1$ ritrovi la condizione necessaria $a_n \to 0$.

La serie di 1/n² converge. Per $k \geq 2$ vale $\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k - 1)} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}$, e la somma telescopica lascia solo il primo e l’ultimo pezzo: per $m > n \geq 1$

$$\begin{gathered} \sum_{k = n + 1}^{m} \frac{1}{k^2} \\ {} < \sum_{k = n + 1}^{m} \left(\frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}\right) \\ {} = \frac{1}{n} - \frac{1}{m} < \frac{1}{n} \end{gathered}$$

che è minore di $\varepsilon$ per $n > \frac{1}{\varepsilon}$. La serie converge, senza sapere che la somma è $\frac{\pi^2}{6}$.

La serie armonica diverge. Il blocco da $\frac{1}{n + 1}$ a $\frac{1}{2n}$ ha $n$ termini, ciascuno almeno $\frac{1}{2n}$:

$$\begin{gathered} H_{2n} - H_n = \frac{1}{n + 1} + \dots + \frac{1}{2n} \\ {} \geq n \cdot \frac{1}{2n} = \frac{1}{2} \end{gathered}$$

C’è sempre un blocco lontano che vale almeno $\frac{1}{2}$: i numeri armonici non sono di Cauchy e, essendo crescenti, divergono a $+\infty$. Ma lentissimamente: per superare 10 servono 12 367 termini.

Un po’ di storia

Nel 1817 il praghese Bernard Bolzano, dimostrando il teorema degli zeri, usò la bisezione e definì quella che oggi chiamiamo successione di Cauchy. Augustin-Louis Cauchy enunciò lo stesso criterio, per le serie, nel Cours d’analyse del 1821, senza dimostrarlo e forse senza conoscere Bolzano (se ne discute ancora); il nome è rimasto a lui. Per dimostrarlo serviva una definizione dei reali: Charles Méray (1869) e Georg Cantor (1872) li costruirono proprio con le successioni di Cauchy di razionali. Il teorema di Bolzano-Weierstrass, secondo molti storici, compare già nel lavoro di Bolzano del 1817; una cinquantina d’anni dopo Karl Weierstrass, nelle lezioni di Berlino, ne riconobbe l’importanza e lo dimostrò di nuovo.

Gli errori più comuni

• Cambiare l’ordine o ripetere gli indici. In una sottosuccessione gli indici crescono strettamente.
• Dedurre il limite da una sola sottosuccessione. Se $a_{2k} \to \ell$ non sai niente dei dispari.
• Usare due sottosuccessioni per dimostrare che il limite esiste. Due limiti uguali, da soli, non provano niente: servono sottosuccessioni che coprano tutti gli indici.
• Dimenticare l’ipotesi «limitata». $n^2$ non ha sottosuccessioni convergenti.
• Confondere massimo limite e massimo. Per $\left(1 + \frac{1}{n}\right)\cos\frac{2n\pi}{3}$ il massimo è $\frac{4}{3}$, il massimo limite 1.
• Credere che lim sup uguale a lim inf voglia dire «converge». Il limite esiste, ma può essere $\pm\infty$.
• Confondere Cauchy con «termini consecutivi vicini». $\sqrt{n}$ ha passi che tendono a 0, ma diverge.

Esercizi svolti

1. I valori limite con due periodi

Testo. Trova i valori limite, il massimo e il minimo limite di $a_n = (-1)^n\left(1 + \frac{1}{n}\right) + \cos\frac{n\pi}{2}$, con $n \geq 1$, e dimostra che la successione non ha limite.

Il segno $(-1)^n$ si ripete ogni 2 indici, $\cos\frac{n\pi}{2}$ ogni 4 con i valori $1, 0, -1, 0$: separiamo gli indici secondo il resto della divisione per 4 (per $a_{4k}$ si prende $k \geq 1$).

$$\begin{gathered} a_{4k} = 1 + \frac{1}{4k} + 1 \to 2 \\ a_{4k + 1} = -1 - \frac{1}{4k + 1} \to -1 \\ a_{4k + 2} = 1 + \frac{1}{4k + 2} - 1 \to 0 \\ a_{4k + 3} = -1 - \frac{1}{4k + 3} \to -1 \end{gathered}$$

Quindi $2$, $-1$ e $0$ sono valori limite. Non ce ne sono altri: se una sottosuccessione converge a $c$, infiniti suoi indici stanno in una delle quattro classi, che coprono tutti gli indici, e quei termini tendono sia a $c$ sia al limite della classe. Allora

$$\limsup a_n = 2, \qquad \liminf a_n = -1$$

e, siccome sono diversi, il limite non esiste.

2. Un limite che non esiste

Testo. Dimostra che $a_n = n\left(2^{(-1)^n/n} - 1\right)$, con $n \geq 1$, non ha limite, e trova massimo e minimo limite.

L’esponente tende a 0, quindi è una forma $\infty \cdot 0$. Con $t_n = \frac{(-1)^n}{n}$ si ha $n = \frac{(-1)^n}{t_n}$, perché $\left((-1)^n\right)^2 = 1$:

$$a_n = (-1)^n\,\frac{2^{t_n} - 1}{t_n}$$

Sui pari $t_n = \frac{1}{n}$, sui dispari $t_n = -\frac{1}{n}$: in entrambi i casi $t_n \to 0$ e, per il limite notevole $\frac{2^t - 1}{t} \to \ln 2$ per $t \to 0$, la frazione tende a $\ln 2$. Quindi

$$a_{2k} \to \ln 2, \qquad a_{2k + 1} \to -\ln 2$$

Due limiti diversi: la successione non ha limite. Pari e dispari coprono tutti gli indici, quindi i valori limite sono solo $\ln 2$ e $-\ln 2$: $\limsup a_n = \ln 2 \approx 0{,}693$ e $\liminf a_n = -\ln 2$. Controllo: $a_{100} \approx 0{,}6956$ e $a_{101} \approx -0{,}6908$.

3. Pari e dispari con lo stesso limite

Testo. Calcola il limite di $a_n = \sqrt[n]{3^n + (-2)^n}$, con $n \geq 1$, per $n$ che tende a $+\infty$.

Il radicando è positivo, perché $3^n > 2^n$. Raccogliendo $3^n$:

$$\sqrt[n]{3^n + (-2)^n} = 3\,\sqrt[n]{1 + \left(-\tfrac{2}{3}\right)^n}$$

Con $n$ pari, $\left(-\frac{2}{3}\right)^n = \left(\frac{2}{3}\right)^n$ è compreso tra 0 e 1, quindi

$$3 \leq a_n \leq 3\sqrt[n]{2}$$

Con $n$ dispari, $\left(-\frac{2}{3}\right)^n = -\left(\frac{2}{3}\right)^n$, e siccome $\left(\frac{2}{3}\right)^n \leq \frac{2}{3}$, il radicando $1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n$ è compreso tra $\frac{1}{3}$ e 1:

$$3\sqrt[n]{\tfrac{1}{3}} \leq a_n \leq 3$$

Siccome $\sqrt[n]{a} \to 1$ per ogni $a > 0$, e quindi anche lungo i pari e lungo i dispari, per i carabinieri $a_{2k} \to 3$ e $a_{2k + 1} \to 3$. Stesso limite: per il criterio dei pari e dei dispari

$$\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{3^n + (-2)^n} = 3$$

I termini oscillano attorno a 3, sopra sui pari e sotto sui dispari: $a_{10} \approx 3{,}0052$ e $a_{11} \approx 2{,}9968$.

4. Bolzano-Weierstrass per sin n

Testo. Dimostra che ci sono infiniti indici $n$ con $\sin n > \frac{1}{2}$ e infiniti con $\sin n < -\frac{1}{2}$. Deduci che $\sin n$ ha due sottosuccessioni convergenti con limiti diversi, e quindi non ha limite.

Gli indici. $\sin x > \frac{1}{2}$ negli intervalli

$$\begin{gathered} J_j = \left(\frac{\pi}{6} + 2j\pi,\ \frac{5\pi}{6} + 2j\pi\right) \\ j \in \mathbb{N} \end{gathered}$$

lunghi $\frac{2\pi}{3} \approx 2{,}09$, più di 1. Un intervallo aperto $(\alpha, \beta)$ con $\beta - \alpha > 1$ contiene l’intero successivo a $\alpha$: sia $n_j$ il più piccolo intero in $J_j$ (per esempio $n_0 = 1$, $n_1 = 7$, $n_2 = 14$). Gli intervalli vengono uno dopo l’altro, quindi $n_0 < n_1 < n_2 < \dots$, e $(\sin n_j)$ è una sottosuccessione con termini in $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$.

Le due sottosuccessioni. Per Bolzano-Weierstrass, $(\sin n_j)$ ha una sottosuccessione convergente, che è anche una sottosuccessione di $\sin n$, con limite $\ell_1$ nell’intervallo chiuso $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$. Allo stesso modo, negli intervalli

$$\left(\frac{7\pi}{6} + 2j\pi,\ \frac{11\pi}{6} + 2j\pi\right)$$

vale $\sin x < -\frac{1}{2}$; ci sono gli interi $4, 10, 17, \dots$, e una sottosuccessione converge a un $\ell_2 \in \left[-1, -\frac{1}{2}\right]$.

Conclusione. $\ell_1 \geq \frac{1}{2} > -\frac{1}{2} \geq \ell_2$: $\sin n$ non ha limite, e $\limsup \sin n \geq \frac{1}{2}$, $\liminf \sin n \leq -\frac{1}{2}$. In realtà i valori limite sono tutti i numeri di $[-1, 1]$, ma dimostrarlo è più difficile.

5. Una successione contrattiva

Testo. Sia $a_0 = 0$ e $a_{n + 1} = \frac{2}{1 + a_n}$. Dimostra che la successione è di Cauchy e trova il suo limite.

I primi termini sono $0;\ 2;\ \frac{2}{3};\ \frac{6}{5};\ \frac{10}{11};\ \frac{22}{21};\ \dots$: oscillano attorno a 1, quindi il teorema delle successioni monotone non si applica direttamente.

I termini non sono negativi. Per induzione: $a_0 = 0$, e se $a_n \geq 0$ allora $a_{n + 1} = \frac{2}{1 + a_n} > 0$.

I passi si accorciano. Sottraendo due termini consecutivi:

$$\begin{gathered} a_{n + 2} - a_{n + 1} \\ {} = \frac{2}{1 + a_{n + 1}} - \frac{2}{1 + a_n} \\ {} = \frac{2\,(a_n - a_{n + 1})}{(1 + a_n)(1 + a_{n + 1})} \end{gathered}$$

Siccome $1 + a_{n + 1} = 1 + \frac{2}{1 + a_n} = \frac{3 + a_n}{1 + a_n}$, il denominatore è $(1 + a_n)(1 + a_{n + 1}) = 3 + a_n \geq 3$. Allora

$$\begin{gathered} \lvert a_{n + 2} - a_{n + 1} \rvert = \frac{2\,\lvert a_{n + 1} - a_n \rvert}{3 + a_n} \\ {} \leq \frac{2}{3}\,\lvert a_{n + 1} - a_n \rvert \end{gathered}$$

È di Cauchy. La successione è contrattiva con $q = \frac{2}{3}$ e $d = \lvert a_1 - a_0 \rvert = 2$. Per il teorema, per ogni $m > n$:

$$\lvert a_m - a_n \rvert \leq \frac{2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^n}{1 - \frac{2}{3}} = 6\left(\frac{2}{3}\right)^n$$

che tende a 0: la successione è di Cauchy, quindi converge a un numero $\ell \geq 0$.

Il limite. Anche $a_{n + 1} \to \ell$, e passando al limite nella regola:

$$\begin{gathered} \ell = \frac{2}{1 + \ell} \iff \ell^2 + \ell - 2 = 0 \\ \iff (\ell - 1)(\ell + 2) = 0 \end{gathered}$$

Siccome $\ell \geq 0$, il limite è $\ell = 1$. Facendo tendere $m$ all’infinito nella stima si ha anche l’errore: $\lvert a_n - 1 \rvert \leq 6\left(\frac{2}{3}\right)^n$.

6. Vero o falso

Testo. Vero o falso? Giustifica ogni risposta.

1. Se $a_{2n} \to \ell$ e $a_{3n} \to \ell$, allora $a_n \to \ell$.
2. Ogni successione limitata ha una sottosuccessione monotona.
3. Se $a_{n + 1} - a_n \to 0$, allora $(a_n)$ converge.
4. Ogni successione illimitata ha una sottosuccessione che tende a $+\infty$ o a $-\infty$.
5. Se $\limsup a_n = \liminf a_n$, allora $(a_n)$ converge.
6. Una successione di Cauchy di numeri razionali ha limite razionale.

1. Falso. Sia $a_n = 1$ se $n$ è primo e $a_n = 0$ altrimenti. $2n$ e $3n$ sono primi solo per $n = 1$, quindi $a_{2n}$ e $a_{3n}$ tendono a 0; ma sui primi la successione vale sempre 1. Gli indici $2n$ e $3n$ non coprono $1, 5, 7, 11, \dots$

2. Vero. Anzi, ogni successione ne ha una: è il lemma delle vette.

3. Falso. $\sqrt{n}$ ha passi che tendono a 0, ma diverge.

4. Vero. È la prima delle due conseguenze di Bolzano-Weierstrass.

5. Falso. Per $a_n = n$ valgono entrambi $+\infty$. È vero se il valore comune è finito.

6. Falso. La successione di Erone è fatta di razionali, è di Cauchy e tende a $\sqrt{2}$.

In sintesi

• Sottosuccessione: $a_{n_k}$, con $n_0 < n_1 < n_2 < \dots$ e $n_k \geq k$. Se $a_n \to L$, ogni sottosuccessione tende a $L$.
• Due sottosuccessioni con limiti diversi: il limite non esiste. Pari e dispari con lo stesso limite $L$: $a_n \to L$.
• Bolzano-Weierstrass: ogni successione limitata ha una sottosuccessione convergente. In $[a, b]$ il limite resta in $[a, b]$; in $\mathbb{Q}$ il teorema è falso.
• Ogni successione ha una sottosuccessione monotona; se è illimitata, una che tende a $\pm\infty$.
• $\limsup$ e $\liminf$ sono il più grande e il più piccolo valore limite; $a_n \to L$ se e solo se valgono entrambi $L$.
• Cauchy: in $\mathbb{R}$ converge se e solo se è di Cauchy. Non basta $a_{n + 1} - a_n \to 0$; basta essere contrattiva.
• Una serie converge se e solo se i suoi blocchi diventano piccoli a piacere; la serie armonica no, perché $H_{2n} - H_n \geq \frac{1}{2}$.

Hai finito la teoria del capitolo: mettiti alla prova con gli esercizi svolti sulle successioni.