Disequazioni goniometriche elementari: metodo della circonferenza ed esercizi svolti

Le disequazioni goniometriche elementari sono quelle del tipo $\sin x > a$, $\cos x \leq a$ o $\tan x < a$: una sola funzione goniometrica, con argomento $x$, confrontata con un numero. Sono i mattoni del capitolo: ogni disequazione goniometrica più complicata, con l’argomento composto, di secondo grado o fratta, alla fine si spezza in disequazioni elementari. All’esame di Analisi 1 le ritrovi nei domini, nel segno e nello studio di funzione. In questa pagina vediamo il passaggio dai punti agli archi, il metodo, come si legge un arco in senso antiorario, l’intervallo di riferimento e le scritture equivalenti, seno, coseno, tangente e cotangente, i valori speciali, gli estremi, i valori non notevoli, le soluzioni in un intervallo, il metodo grafico, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Dai punti agli archi

Nelle equazioni goniometriche cercavi i punti della circonferenza in cui seno, coseno o tangente valgono un certo numero. Qui cerchi dove sono maggiori o minori di quel numero: stessa circonferenza, ma la risposta è fatta di archi.

All’angolo $x$ corrisponde il punto $P = (\cos x, \sin x)$ della circonferenza goniometrica. Come nelle equazioni, chiamo $X$ e $Y$ le coordinate nel piano, per non confonderle con l’angolo $x$: il coseno è l’ascissa di $P$, il seno l’ordinata.

Definizione. Una disequazione goniometrica elementare è una disequazione della forma $\sin x > a$, $\cos x > a$, $\tan x > a$ oppure $\cot x > a$, o la stessa con il verso $<$, $\geq$ o $\leq$, dove $a$ è un numero reale dato e $x$ un angolo in radianti. Risolverla vuol dire trovare tutti i numeri reali $x$ che la rendono vera.

L’equazione associata, per esempio $\sin x = a$, dà i punti di confine. Se $-1 < a < 1$, la retta $Y = a$ taglia la circonferenza in due punti e la divide in due archi: su uno la disequazione è vera, sull’altro è falsa. Basta capire da che parte della retta stanno i punti giusti.

Il primo esempio: sin x > 1/2

Il seno è l’ordinata: cerchiamo i punti più in alto della retta $Y = \frac{1}{2}$.

1. Equazione associata. $\sin x = \frac{1}{2}$ ha, in un giro, le soluzioni $\frac{\pi}{6}$ e $\frac{5\pi}{6}$.
2. L’arco. Sopra la retta c’è l’arco che parte da $\frac{\pi}{6}$ e, girando in senso antiorario, arriva a $\frac{5\pi}{6}$.
3. Gli estremi. Lì il seno vale esattamente $\frac{1}{2}$, che non è maggiore di $\frac{1}{2}$: sono esclusi.
4. Il periodo. Ogni giro intero riporta allo stesso punto: si aggiunge $2k\pi$.

$$\begin{gathered} \sin x > \frac{1}{2} \\ {} \iff \frac{\pi}{6} + 2k\pi < x < \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \end{gathered}$$

Con $k = 1$ ottieni $\left(\frac{13\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}\right)$, con $k = -1$ ottieni $\left(-\frac{11\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}\right)$: infiniti intervalli uguali.

Il metodo passo per passo

1. Isola la funzione. Se dividi per un numero negativo, inverti il verso: $-2\cos x > 1$ diventa $\cos x < -\frac{1}{2}$.
2. Guarda $a$. Per seno e coseno, i valori fuori da $[-1, 1]$ e i valori $0$ e $\pm 1$ sono casi speciali.
3. Risolvi l’equazione associata e segna i punti di confine.
4. Scegli l’arco: sopra o sotto la retta $Y = a$ per il seno, a destra o a sinistra della retta $X = a$ per il coseno.
5. Scrivi l’arco in senso antiorario, dal punto in cui comincia a quello in cui finisce: il primo estremo deve essere minore del secondo.
6. Decidi gli estremi: inclusi con $\geq$ e $\leq$, esclusi con $>$ e $<$.
7. Aggiungi il periodo: $2k\pi$ per seno e coseno, $k\pi$ per tangente e cotangente.
8. Controlla con un punto dentro la soluzione e uno fuori.

Perché basta un giro. Siccome $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ per ogni $x$, il numero $x$ soddisfa $\sin x > a$ se e solo se la soddisfa $x + 2\pi$: l’insieme delle soluzioni si ripete identico ogni $2\pi$. Basta trovarlo in un giro e aggiungere $2k\pi$. Per il coseno è uguale; tangente e cotangente hanno periodo $\pi$, e basta mezzo giro.

Leggere un arco: il verso antiorario e l’intervallo di riferimento

Sulla circonferenza gli angoli crescono in senso antiorario: l’intervallo $\alpha < x < \beta$ è l’arco che parte dall’angolo $\alpha$ e gira in senso antiorario fino a $\beta$. La regola: si parte dal punto in cui l’arco comincia, si gira in senso antiorario, e il primo estremo è il più piccolo.

Risolviamo $\sin x < \frac{1}{2}$. Servono i punti sotto la retta: l’arco parte da $\frac{5\pi}{6}$, scende e risale fino a $\frac{\pi}{6}$. Ma girando in senso antiorario da $\frac{5\pi}{6}$ si torna a $\frac{\pi}{6}$ solo nel giro successivo, in $\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$:

$$\begin{gathered} \sin x < \frac{1}{2} \\ {} \iff \frac{5\pi}{6} + 2k\pi < x < \frac{13\pi}{6} + 2k\pi \end{gathered}$$

Scrivere $\frac{5\pi}{6} < x < \frac{\pi}{6}$ sarebbe sbagliato: nessun numero è maggiore di $\frac{5\pi}{6}$ e insieme minore di $\frac{\pi}{6}$, quindi è l’insieme vuoto.

L’intervallo lungo un giro in cui leggi le soluzioni si chiama intervallo di riferimento, e la scelta è libera. Lo stesso insieme si scrive in più modi:

• in $[0, 2\pi)$ l’arco si spezza, perché contiene l’angolo $0$, dove l’intervallo comincia: $0 \leq x < \frac{\pi}{6}$ oppure $\frac{5\pi}{6} < x < 2\pi$, ognuno con il suo $+ 2k\pi$;
• in $[-\pi, \pi)$ si spezza anche, perché contiene l’angolo $\pi$: $-\pi \leq x < \frac{\pi}{6}$ oppure $\frac{5\pi}{6} < x < \pi$;
• in un intervallo che parte dove comincia l’arco, come $\left[\frac{5\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}\right)$, resta un pezzo solo: la scrittura qui sopra. Togliendo $2\pi$ agli estremi ottieni un’altra forma, $-\frac{7\pi}{6} + 2k\pi < x < \frac{\pi}{6} + 2k\pi$.

Sono tutte giuste. Un arco si spezza quando contiene il punto in cui comincia l’intervallo di riferimento: per non spezzarlo, fai partire l’intervallo dall’inizio dell’arco. Per gli archi intorno a $0$, frequenti con il coseno, è comodo $[-\pi, \pi)$.

Stesso insieme o no?

Se la tua risposta e quella del libro sono due intervalli diversi, controlla:

1. la lunghezza: $\frac{13\pi}{6} - \frac{5\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}$ e $\frac{\pi}{6} - \left(-\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{4\pi}{3}$;
2. gli estremi: devono differire per un multiplo del periodo, cioè segnare gli stessi punti, come $\frac{5\pi}{6} - \left(-\frac{7\pi}{6}\right) = 2\pi$.

Se valgono entrambe, con gli estremi inclusi o esclusi allo stesso modo, gli insiemi coincidono: l’intervallo che una scrittura dà con $k$, l’altra lo dà con un altro intero, qui $k + 1$. Altrimenti sono insiemi diversi. Le scritture spezzate si confrontano dopo averne riunito i pezzi.

Le disequazioni con il seno

$\sin x > a$ vale sopra la retta orizzontale $Y = a$, $\sin x < a$ sotto.

Perché è vero. Basta il giro $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$. Su $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ il seno è strettamente crescente, quindi lì $\sin x > \sin\alpha$ equivale a $x > \alpha$. Su $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$ è strettamente decrescente e vale $a$ in $\pi - \alpha$, quindi lì $\sin x > a$ equivale a $x < \pi - \alpha$. Insieme: $\alpha < x < \pi - \alpha$. E $\sin x < a$ vale nel resto del giro, tolti i punti di confine: da $\pi - \alpha$ fino ad $\alpha + 2\pi$.

Con $a > 0$ è l’arco sotto la retta a passare per l’angolo $0$, come in $\sin x < \frac{1}{2}$; con $a < 0$ è quello sopra, e $\alpha$ è negativo.

Le disequazioni con il coseno

$\cos x > a$ vale a destra della retta verticale $X = a$, $\cos x < a$ a sinistra.

Esempio: $\cos x > \frac{1}{2}$. L’equazione associata ha le soluzioni $\pm\frac{\pi}{3}$. A destra della retta $X = \frac{1}{2}$ c’è l’arco che parte da $-\frac{\pi}{3}$ e, in senso antiorario, passa per l’angolo $0$ e arriva a $\frac{\pi}{3}$:

$$\begin{gathered} \cos x > \frac{1}{2} \\ {} \iff -\frac{\pi}{3} + 2k\pi < x < \frac{\pi}{3} + 2k\pi \end{gathered}$$

Qui c’è la trappola classica. In $[0, 2\pi)$ l’equazione ha le soluzioni $\frac{\pi}{3}$ e $\frac{5\pi}{3}$, e viene spontaneo scrivere $\frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{3}$. Ma quello è l’arco opposto, a sinistra della retta: la soluzione di $\cos x < \frac{1}{2}$. In $[0, 2\pi)$ la soluzione giusta si spezza: $0 \leq x < \frac{\pi}{3}$ oppure $\frac{5\pi}{3} < x < 2\pi$. Un punto di prova smaschera l’errore: $x = \pi$ sta tra $\frac{\pi}{3}$ e $\frac{5\pi}{3}$, ma $\cos\pi = -1$ non è maggiore di $\frac{1}{2}$.

Perché è vero. In $[-\pi, \pi]$ il coseno è strettamente crescente su $[-\pi, 0]$, strettamente decrescente su $[0, \pi]$, e vale $a$ solo in $-\beta$ e $\beta$. Quindi supera $a$ esattamente tra $-\beta$ e $\beta$, ed è minore di $a$ nel resto del giro, che in senso antiorario va da $\beta$ a $2\pi - \beta$.

Le disequazioni con la tangente

Con la tangente bastano tre fatti:

• ha periodo $\pi$, quindi basta studiare un ramo, l’intervallo $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$;
• lì è strettamente crescente e assume tutti i valori reali: $\tan x > a$ vale per gli angoli più grandi di $\gamma = \arctan a$, fino all’asintoto;
• in $\frac{\pi}{2} + k\pi$ la tangente non esiste: quei punti sono sempre esclusi, anche con $\geq$ e $\leq$.

Perché è vero. Su $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ la tangente è strettamente crescente, quindi $\tan x > \tan\gamma$ equivale a $x > \gamma$; poi tutto si ripete con periodo $\pi$.

Esempio. $\tan x > \sqrt{3}$. Siccome $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, nel ramo $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ la soluzione è $\frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{2}$. Con il periodo:

$$\frac{\pi}{3} + k\pi < x < \frac{\pi}{2} + k\pi$$

Sulla circonferenza sono due archi opposti, da $\frac{\pi}{3}$ a $\frac{\pi}{2}$ e da $\frac{4\pi}{3}$ a $\frac{3\pi}{2}$: il passo $k\pi$ li descrive entrambi. I punti di confine stanno sulla retta per l’origine di pendenza $\sqrt{3}$, perché la tangente è la pendenza del raggio $OP$.

Con il verso opposto e l’uguale, $\tan x \leq \sqrt{3}$ vale dall’asintoto sinistro fino a $\frac{\pi}{3}$:

$$-\frac{\pi}{2} + k\pi < x \leq \frac{\pi}{3} + k\pi$$

$\frac{\pi}{3}$ è incluso per il $\leq$, $-\frac{\pi}{2}$ è escluso perché lì la tangente non esiste.

La cotangente

La cotangente $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ esiste per $x \neq k\pi$, ha periodo $\pi$ e sul ramo $(0, \pi)$ è strettamente decrescente, da $+\infty$ a $-\infty$. Il verso quindi si inverte: con $\operatorname{arccot} a$, l’unico angolo di $(0, \pi)$ con cotangente $a$,

$$\begin{gathered} \cot x > a \\ {} \iff k\pi < x < \operatorname{arccot} a + k\pi \\[4pt] \cot x < a \\ {} \iff \operatorname{arccot} a + k\pi < x < \pi + k\pi \end{gathered}$$

Per esempio $\operatorname{arccot} 1 = \frac{\pi}{4}$, quindi $\cot x > 1$ vale per $k\pi < x < \frac{\pi}{4} + k\pi$. Attenzione: $\cot x > 1$ non equivale a $\tan x < 1$, ma a $0 < \tan x < 1$, perché il reciproco inverte il verso solo tra numeri dello stesso segno (esercizio 5).

I valori speciali: 0, 1 e −1

Con $a = 0$ le rette sono gli assi, con $a = \pm 1$ sono tangenti alla circonferenza:

• $\sin x > 0$ sopra l’asse $X$: $2k\pi < x < \pi + 2k\pi$; $\ \sin x < 0$ sotto: $\pi + 2k\pi < x < 2\pi + 2k\pi$.
• $\cos x > 0$ a destra dell’asse $Y$: $-\frac{\pi}{2} + 2k\pi < x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi$; $\ \cos x < 0$ a sinistra: $\frac{\pi}{2} + 2k\pi < x < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$.
• $\tan x > 0$ nel primo e nel terzo quadrante: $k\pi < x < \frac{\pi}{2} + k\pi$.
• $\sin x \geq 1$ vale solo dove il seno è esattamente 1: $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$. $\ \sin x < 1$ vale ovunque tranne lì.
• $\cos x \leq -1$ vale solo in $x = \pi + 2k\pi$; $\ \cos x > -1$ per ogni $x \neq \pi + 2k\pi$.

La soluzione può essere fatta di punti isolati, o di tutti i reali tranne dei punti isolati: non è un errore. Se invece $a > 1$ o $a < -1$ la retta non incontra la circonferenza: $\sin x > 2$ è impossibile, $\cos x < \frac{\pi}{3}$ è sempre vera, perché $\frac{\pi}{3} \approx 1{,}047$ è maggiore di 1. Tangente e cotangente assumono tutti i valori reali: $\tan x > a$ ha soluzioni per ogni $a$.

Maggiore o maggiore uguale: gli estremi

Gli estremi dell’arco sono le soluzioni dell’equazione associata. Con $>$ e $<$ sono esclusi, con $\geq$ e $\leq$ sono inclusi: $\sin x \geq \frac{1}{2}$ vale per $\frac{\pi}{6} + 2k\pi \leq x \leq \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$. Restano sempre esclusi i punti in cui la funzione non esiste, come gli asintoti della tangente. Nei disegni: pallino pieno se incluso, vuoto se escluso.

Quando il valore non è notevole

Se $a$ non è tra i valori notevoli, gli estremi si scrivono con le funzioni goniometriche inverse e si approssimano con la calcolatrice in RAD. Le regole non cambiano, ma la calcolatrice dà un solo estremo: l’altro lo trovi con la circonferenza.

Esempio: $\sin x > \frac{1}{3}$. Con $\alpha = \arcsin\frac{1}{3} \approx 0{,}340$ gli estremi sono $\alpha$ e $\pi - \alpha \approx 2{,}802$:

$$\begin{gathered} \arcsin\frac{1}{3} + 2k\pi < x \\ {} < \pi - \arcsin\frac{1}{3} + 2k\pi \end{gathered}$$

Con $a$ negativo. Per $\sin x > -\frac{1}{3}$ la calcolatrice dà $\alpha = \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) \approx -0{,}340$, negativo: l’arcoseno è dispari. Il secondo estremo è $\pi - \alpha = \pi + 0{,}340 \approx 3{,}481$, e l’arco passa per l’angolo $0$:

$$\begin{gathered} -0{,}340 + 2k\pi < x < 3{,}481 + 2k\pi \\ \text{(circa)} \end{gathered}$$

Chi calcola $\pi - 0{,}340 \approx 2{,}802$ ritrova l’arco di $\sin x > +\frac{1}{3}$.

Esempio: $\cos x < -\frac{3}{5}$. Per il coseno l’arcocoseno di un numero negativo non è negativo: sta nel secondo quadrante. Con $\beta = \arccos\left(-\frac{3}{5}\right) = \pi - \arccos\frac{3}{5} \approx 2{,}214$, i punti a sinistra della retta $X = -\frac{3}{5}$ vanno da $\beta$ a $2\pi - \beta \approx 4{,}069$:

$$\begin{gathered} \arccos\left(-\frac{3}{5}\right) + 2k\pi < x \\ {} < 2\pi - \arccos\left(-\frac{3}{5}\right) + 2k\pi \end{gathered}$$

Con la tangente basta l’arcotangente: per $\tan x > -\frac{1}{2}$, con $\gamma = \arctan\left(-\frac{1}{2}\right) \approx -0{,}464$, la soluzione è $\gamma + k\pi < x < \frac{\pi}{2} + k\pi$.

Le soluzioni in un intervallo

Spesso il testo chiede le soluzioni in un intervallo, come $[0, 2\pi]$, $[-\pi, \pi]$ o $[\pi, 4\pi]$. Si scrive la soluzione generale, si danno a $k$ i valori che portano gli intervalli dentro quello assegnato e si interseca, cioè si taglia ciò che esce. La risposta non contiene $k$.

Esempio. $\cos x > \frac{1}{2}$ nell’intervallo $[\pi, 4\pi]$. La soluzione generale è $-\frac{\pi}{3} + 2k\pi < x < \frac{\pi}{3} + 2k\pi$:

$k$	Intervallo	In $[\pi, 4\pi]$
$0$	$\left(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right)$	niente
$1$	$\left(\frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}\right)$	tutto
$2$	$\left(\frac{11\pi}{3}, \frac{13\pi}{3}\right)$	fino a $4\pi$

Gli altri valori di $k$ danno intervalli tutti fuori. L’estremo $4\pi$ è incluso: appartiene all’intervallo assegnato e $\cos 4\pi = 1 > \frac{1}{2}$.

$$\begin{gathered} \frac{5\pi}{3} < x < \frac{7\pi}{3} \\ \text{oppure}\;\; \frac{11\pi}{3} < x \leq 4\pi \end{gathered}$$

Il metodo grafico

Le stesse disequazioni si risolvono con il grafico della funzione: $\sin x > a$ vale dove la sinusoide sta sopra la retta orizzontale $y = a$, $\sin x < a$ dove sta sotto.

Quando conviene? Il grafico mostra a colpo d’occhio la periodicità e le soluzioni in intervalli lunghi più giri, e per la tangente i rami e gli asintoti. La circonferenza è più comoda per gli estremi e per gli archi che passano per $0$. Il grafico è indispensabile quando la $x$ compare anche fuori dalla funzione goniometrica, come in $\sin x > \frac{x}{2}$: si confrontano due curve, come nella risoluzione grafica delle equazioni goniometriche.

La prova con un punto

Prima di consegnare, prova un valore comodo dentro la soluzione e uno fuori, tra $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$ e $\frac{3\pi}{2}$. Per $\sin x < \frac{1}{2}$, con la soluzione $\frac{5\pi}{6} + 2k\pi < x < \frac{13\pi}{6} + 2k\pi$: $x = 2\pi$ sta dentro, e $\sin 2\pi = 0 < \frac{1}{2}$; $x = \frac{\pi}{2}$ sta fuori, e $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ non è minore di $\frac{1}{2}$. Se un controllo fallisce, quasi sempre hai scritto l’arco opposto. Gli estremi si controllano a parte, sostituendoli nella disequazione.

Una doppia disequazione come $a < \sin x < b$ è un sistema di due disequazioni elementari: sulla circonferenza è una fascia tra due rette, e si prendono gli archi comuni. La trovi nei sistemi di disequazioni goniometriche e domini.

Gli errori più comuni

• Dimenticare il periodo. $\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}$ risolve $\sin x > \frac{1}{2}$ solo nel primo giro: manca il $+ 2k\pi$.
• Scrivere l’arco opposto del coseno. Per $\cos x > \frac{1}{2}$, $\frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{3}$ è l’arco dove $\cos x < \frac{1}{2}$. Prova con $x = \pi$.
• Scrivere un intervallo vuoto. $\frac{\pi}{3} < x < -\frac{\pi}{3}$ non contiene nessun numero: il primo estremo è il più piccolo, quindi $-\frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{3}$.
• Confondere $k\pi$ e $2k\pi$. Il passo è $2\pi$ per seno e coseno, $\pi$ per tangente e cotangente. Con $k\pi$, per $\sin x > \frac{1}{2}$ includeresti $x = \frac{3\pi}{2}$, dove il seno vale $-1$.
• Includere gli asintoti. In $\frac{\pi}{2} + k\pi$ la tangente non esiste: esclusi anche con $\geq$ o $\leq$.
• Trattare $\geq$ come $>$. Dimenticare gli estremi fa perdere soluzioni, a volte tutte, come in $\sin x \geq 1$.
• Fidarsi della calcolatrice. Dà un solo estremo, e con $a$ negativo un arcoseno negativo: per $\sin x > -\frac{1}{3}$ il secondo estremo è $\pi + 0{,}340$, non $\pi - 0{,}340$.
• Dividere per un numero negativo senza invertire il verso. $-2\sin x > 1$ diventa $\sin x < -\frac{1}{2}$.

Esercizi svolti

1. Valori notevoli con le tre funzioni

Testo. Risolvi le disequazioni.

1. $2\sin x + \sqrt{2} \leq 0$
2. $-2\cos x \geq \sqrt{3}$
3. $\tan x + 1 \leq 0$

1. Isoliamo il seno: $\sin x \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Qui $\alpha = \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}$, e l’arco sotto la retta $Y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ va da $\pi - \alpha = \frac{5\pi}{4}$ a $2\pi + \alpha = \frac{7\pi}{4}$, estremi inclusi per il $\leq$.

$$\frac{5\pi}{4} + 2k\pi \leq x \leq \frac{7\pi}{4} + 2k\pi$$

2. Dividiamo per $-2$, che è negativo: il verso si inverte, e resta $\cos x \leq -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Qui $\beta = \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}$, nel secondo quadrante, e l’altro punto di confine è $2\pi - \beta = \frac{7\pi}{6}$. A sinistra della retta $X = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ c’è un piccolo arco intorno a $\pi$:

$$\frac{5\pi}{6} + 2k\pi \leq x \leq \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$$

Controllo con $x = \pi$: $-2\cos\pi = 2$, che è maggiore di $\sqrt{3} \approx 1{,}73$. Vero.

3. $\tan x \leq -1$. Nel ramo $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ la tangente vale $-1$ in $-\frac{\pi}{4}$ ed è strettamente crescente, quindi va bene da $-\frac{\pi}{2}$, escluso, fino a $-\frac{\pi}{4}$, incluso:

$$-\frac{\pi}{2} + k\pi < x \leq -\frac{\pi}{4} + k\pi$$

Con $k = 1$ è l’arco da $\frac{\pi}{2}$ a $\frac{3\pi}{4}$, nel secondo quadrante, dove la tangente è negativa, come deve essere. Seno e coseno danno un arco con passo $2\pi$, la tangente uno con passo $\pi$ e l’asintoto escluso.

2. Un arco che passa per lo zero

Testo. Risolvi $3\cos x - 2 \geq 0$ scrivendo la soluzione in due modi: con un solo intervallo e in $[0, 2\pi)$. Poi, con $\beta = \arccos\frac{2}{3}$, giudica due risposte: Anna scrive $2\pi - \beta + 2k\pi \leq x \leq 2\pi + \beta + 2k\pi$, Luca $\beta + 2k\pi \leq x \leq 2\pi - \beta + 2k\pi$.

La disequazione è $\cos x \geq \frac{2}{3}$, con un valore non notevole: $\beta \approx 0{,}841$. I punti a destra della retta $X = \frac{2}{3}$ formano l’arco da $-\beta$ a $\beta$, che passa per l’angolo $0$. Con un solo intervallo:

$$\begin{gathered} -\arccos\frac{2}{3} + 2k\pi \leq x \\ {} \leq \arccos\frac{2}{3} + 2k\pi \end{gathered}$$

cioè circa $-0{,}841 + 2k\pi \leq x \leq 0{,}841 + 2k\pi$. In $[0, 2\pi)$ l’arco si spezza: il pezzo da $-\beta$ a $0$, spostato di un giro, va da $2\pi - \beta \approx 5{,}442$ a $2\pi$.

$$\begin{gathered} 0 \leq x \leq 0{,}841 \\ \text{oppure}\;\; 5{,}442 \leq x < 2\pi \end{gathered}$$

(circa, e con il $+ 2k\pi$ per avere tutte le soluzioni).

Anna ha estremi $2\pi - \beta$ e $2\pi + \beta$: la lunghezza è $2\beta$, come la nostra, e gli estremi superano i nostri esattamente di $2\pi$. È lo stesso insieme. Luca va da $\beta$ a $2\pi - \beta$: è l’arco opposto. Il punto $x = \pi$ sta nel suo intervallo, ma $3\cos\pi - 2 = -5$ è negativo. Anna ha ragione, Luca ha risolto $3\cos x - 2 \leq 0$.

3. Un valore negativo non notevole

Testo. Risolvi $4\sin x + 3 < 0$, dando gli estremi con tre decimali.

La disequazione è $\sin x < -\frac{3}{4}$. Con la calcolatrice in RAD, $\alpha = \arcsin\left(-\frac{3}{4}\right) \approx -0{,}848$: negativo, nel quarto quadrante. I punti sotto la retta $Y = -\frac{3}{4}$ formano un arco in basso, che con la regola va da $\pi - \alpha$ a $2\pi + \alpha$:

$$\begin{gathered} \pi - \alpha = \pi + 0{,}848 \approx 3{,}990 \\ 2\pi + \alpha = 2\pi - 0{,}848 \approx 5{,}435 \end{gathered}$$

Scrivendo $\alpha = -\arcsin\frac{3}{4}$:

$$\begin{gathered} \pi + \arcsin\frac{3}{4} + 2k\pi < x \\ {} < 2\pi - \arcsin\frac{3}{4} + 2k\pi \end{gathered}$$

cioè circa $3{,}990 + 2k\pi < x < 5{,}435 + 2k\pi$. Controllo con $x = \frac{3\pi}{2} \approx 4{,}712$, che sta dentro: $4 \cdot (-1) + 3 = -1 < 0$, vero.

4. Un intervallo che non parte da zero

Testo. Trova le soluzioni di $2\sin x + \sqrt{2} \leq 0$ nell’intervallo $\left[-\frac{\pi}{2}, 3\pi\right]$.

Dall’esercizio 1, la soluzione generale è $\frac{5\pi}{4} + 2k\pi \leq x \leq \frac{7\pi}{4} + 2k\pi$. L’intervallo assegnato è lungo $\frac{7\pi}{2}$, un giro e tre quarti, quindi servono più valori di $k$:

$k$	Intervallo	In $\left[-\frac{\pi}{2}, 3\pi\right]$
$-1$	$\left[-\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}\right]$	da $-\frac{\pi}{2}$
$0$	$\left[\frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\right]$	tutto
$1$	$\left[\frac{13\pi}{4}, \frac{15\pi}{4}\right]$	niente

Con $k = 1$ l’intervallo parte da $\frac{13\pi}{4} = 3\pi + \frac{\pi}{4}$, già oltre $3\pi$; con $k = -2$ finisce in $-\frac{9\pi}{4}$, prima di $-\frac{\pi}{2}$. Il pezzo con $k = -1$ è tagliato dall’inizio dell’intervallo, e l’estremo $-\frac{\pi}{2}$ è incluso: appartiene all’intervallo assegnato e $2\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) + \sqrt{2} = -2 + \sqrt{2} < 0$.

$$\begin{gathered} -\frac{\pi}{2} \leq x \leq -\frac{\pi}{4} \\ \text{oppure}\;\; \frac{5\pi}{4} \leq x \leq \frac{7\pi}{4} \end{gathered}$$

Sulla circonferenza: partendo dal punto più basso, $-\frac{\pi}{2}$, e girando in senso antiorario fino a $3\pi$, attraversi due volte l’arco in basso, ma la prima volta ci sei già a metà.

5. La cotangente e il passaggio alla tangente

Testo. Risolvi $\cot x + 1 \leq 0$. Poi spiega perché trasformarla in $\tan x \geq -1$ è sbagliato e come si passa correttamente alla tangente.

La disequazione è $\cot x \leq -1$. Sul ramo $(0, \pi)$ la cotangente è strettamente decrescente e vale $-1$ in $\operatorname{arccot}(-1) = \frac{3\pi}{4}$, dove coseno e seno valgono $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Essendo decrescente, è minore o uguale a $-1$ per gli angoli più grandi di $\frac{3\pi}{4}$, fino all’asintoto in $\pi$:

$$\frac{3\pi}{4} + k\pi \leq x < \pi + k\pi$$

Perché $\tan x \geq -1$ è sbagliata. Passare ai reciproci inverte il verso tra numeri dello stesso segno, non tra numeri di segno opposto. Infatti $\tan x \geq -1$ vale anche in $x = \frac{\pi}{4}$, dove però $\cot x = 1$.

Il passaggio corretto. Se $\cot x \leq -1$ la cotangente è negativa, quindi lo è anche la tangente, il suo reciproco. Tra numeri negativi il reciproco inverte il verso, quindi $\cot x \leq -1$ equivale a $-1 \leq \tan x < 0$:

$$-\frac{\pi}{4} + k\pi \leq x < k\pi$$

È lo stesso insieme di prima, perché $-\frac{\pi}{4} + (k + 1)\pi = \frac{3\pi}{4} + k\pi$. I punti $\frac{\pi}{2} + k\pi$, dove la tangente non esiste, non sono soluzioni: lì $\cot x = 0$.

6. Da esame: la ruota panoramica

Testo. Una ruota panoramica ha raggio 20 m e il centro a 22 m da terra. Una cabina parte dal punto più basso; quando la ruota ha girato di un angolo $\theta$, in gradi, la cabina è all’altezza

$$h(\theta) = 22 - 20\cos\theta \quad \text{(in metri)}$$

Per quali $\theta$, con $0^\circ \leq \theta < 360^\circ$, la cabina sta sopra i 38 m? Se la ruota gira a velocità costante e fa un giro in 15 minuti, per quanto tempo la cabina resta lassù?

Prima un controllo: per $\theta = 0^\circ$ la formula dà $22 - 20 = 2$ m, il punto più basso; per $\theta = 180^\circ$ dà $22 + 20 = 42$ m, il più alto.

La condizione è $22 - 20\cos\theta > 38$, cioè $-20\cos\theta > 16$. Dividiamo per $-20$, negativo, e invertiamo il verso:

$$\cos\theta < -\frac{16}{20} = -0{,}8$$

A sinistra della retta $X = -0{,}8$ c’è un arco intorno a $180^\circ$. Con la calcolatrice in DEG, perché qui gli angoli sono in gradi, $\beta = \arccos(-0{,}8) \approx 143{,}13^\circ$, nel secondo quadrante, e l’altro estremo è $360^\circ - \beta \approx 216{,}87^\circ$:

$$\begin{gathered} 143{,}13^\circ < \theta < 216{,}87^\circ \\ \text{(circa)} \end{gathered}$$

Non serve il periodo: $\theta$ descrive un solo giro. Siccome la velocità è costante, la frazione di tempo è uguale alla frazione di giro, e l’arco è lungo $216{,}87^\circ - 143{,}13^\circ = 73{,}74^\circ$:

$$\frac{73{,}74^\circ}{360^\circ} \cdot 15\ \text{min} \approx 3{,}07\ \text{min}$$

La cabina resta sopra i 38 m per circa 3 minuti e 4 secondi a giro, poco più di un quinto del tempo. Altri esercizi sul capitolo sono negli esercizi svolti sulle disequazioni goniometriche.

In sintesi

• Metodo: equazione associata, arco giusto (sopra o sotto $Y = a$ per il seno, a destra o a sinistra di $X = a$ per il coseno), scritto in senso antiorario con il primo estremo minore del secondo, poi il periodo.
• Seno, con $-1 < a < 1$ e $\alpha = \arcsin a$: $\sin x > a$ per $\alpha + 2k\pi < x < \pi - \alpha + 2k\pi$, mentre $\sin x < a$ per $\pi - \alpha + 2k\pi < x < 2\pi + \alpha + 2k\pi$.
• Coseno, con $\beta = \arccos a$: $\cos x > a$ per $-\beta + 2k\pi < x < \beta + 2k\pi$, mentre $\cos x < a$ per $\beta + 2k\pi < x < 2\pi - \beta + 2k\pi$.
• Tangente, per ogni $a$, con $\gamma = \arctan a$: $\tan x > a$ per $\gamma + k\pi < x < \frac{\pi}{2} + k\pi$, asintoti sempre esclusi. Cotangente, strettamente decrescente: $\cot x > a$ per $k\pi < x < \operatorname{arccot} a + k\pi$.
• Estremi: inclusi con $\geq$ e $\leq$, esclusi con $>$ e $<$. Con $a = \pm 1$ restano punti isolati o «tutti tranne»; con $a$ fuori da $[-1, 1]$ seno e coseno danno disequazioni sempre vere o impossibili.
• Stesso insieme: stessa lunghezza ed estremi che differiscono di un multiplo del periodo.
• Intervallo assegnato: si danno valori a $k$, si interseca e la risposta non contiene $k$.

Nel prossimo articolo vediamo come ricondurre a queste le disequazioni con l’argomento composto e con il valore assoluto: disequazioni goniometriche riconducibili a elementari.