Esercizi svolti sulle disequazioni goniometriche: dalle elementari ai domini

1. Isoliamo il seno: $\sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$. In $[0, 2\pi)$ l’equazione associata ha le soluzioni $\frac{4\pi}{3}$ e $\frac{5\pi}{3}$. I punti con ordinata minore stanno sotto la retta $Y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$: è il piccolo arco in basso tra i due angoli, estremi esclusi.

Controllo con $x = \frac{3\pi}{2}$: $-2 + \sqrt{3} \approx -0{,}27 < 0$, vero.

2. $\cos x \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$. L’uguaglianza vale in $\frac{\pi}{4}$ e in $\frac{7\pi}{4}$. I punti con ascissa maggiore stanno a destra della retta $X = \frac{\sqrt{2}}{2}$, sull’arco che contiene l’angolo 0. In $[0, 2\pi)$ l’arco si spezza in $0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ e $\frac{7\pi}{4} \leq x < 2\pi$; siccome $\frac{7\pi}{4} - 2\pi = -\frac{\pi}{4}$, conviene scriverlo come un solo intervallo:

3. $\tan x < \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. La tangente ha periodo $\pi$ e in $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ è crescente; vale $\frac{\sqrt{3}}{3}$ in $\frac{\pi}{6}$. Quindi vanno bene gli angoli dall’asintoto fino a $\frac{\pi}{6}$:

4. La prima equivale a $\cos x > -\frac{3}{2}$, sempre vera perché il coseno non scende mai sotto $-1$: la soluzione è $x \in \mathbb{R}$. La seconda chiede un seno minore o uguale a $-1$: il seno non può essere minore, ma può essere uguale, e succede solo in $\frac{3\pi}{2}$. La soluzione è fatta di punti isolati: $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$.

1. Prima la soluzione generale. In $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ la tangente vale $-1$ in $-\frac{\pi}{4}$ ed è crescente, quindi

Ora si danno a $k$ i valori che servono. Con $k = 0$ si ottiene $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$, che dentro $[0, \pi]$ diventa $\left[0, \frac{\pi}{2}\right)$. Con $k = 1$ si ottiene $\left[\frac{3\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right)$, che dentro $[0, \pi]$ diventa $\left[\frac{3\pi}{4}, \pi\right]$. Gli altri valori di $k$ cadono fuori.

Gli estremi $0$ e $\pi$ sono inclusi: lì la tangente vale 0, che è maggiore di $-1$.

2. Il valore $0{,}3$ non è notevole, quindi gli estremi si scrivono con l’arcocoseno. Con $\beta = \arccos 0{,}3 \approx 1{,}266$, l’equazione associata ha in $[0, 2\pi)$ le soluzioni $\beta$ e $2\pi - \beta$. I punti a sinistra della retta $X = 0{,}3$ formano l’arco tra i due:

cioè circa $1{,}266 + 2k\pi < x < 5{,}017 + 2k\pi$.

1. Chiamiamo $t = 2x - \frac{\pi}{3}$. Il seno di $t$ supera $\frac{1}{2}$ sull’arco da $\frac{\pi}{6}$ a $\frac{5\pi}{6}$:

Aggiungiamo $\frac{\pi}{3}$ a tutti i membri ($\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ e $\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6}$), poi dividiamo tutto per 2, periodo compreso:

Il periodo è diventato $\pi$, quindi in $[0, 2\pi)$ ci sono due intervalli, con $k = 0$ e $k = 1$:

Controllo con $x = \frac{\pi}{3}$: $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{1}{2}$, vero.

2. La tangente supera $\sqrt{3}$ da $\frac{\pi}{3}$ fino all’asintoto. Aggiungendo $\frac{\pi}{6}$ a tutti i membri:

3. Con $t = \frac{x}{2}$, il coseno supera $\frac{\sqrt{2}}{2}$ sull’arco intorno a 0. Moltiplicando tutti i membri per 2:

Il periodo è raddoppiato: $\cos\frac{x}{2}$ impiega $4\pi$ a fare un’oscillazione completa.

1. Con $a > 0$, la regola del valore assoluto dice che $\lvert A \rvert \geq a$ equivale a $A \leq -a$ oppure $A \geq a$:

cioè $\cos x \leq 0$ oppure $\cos x \geq 1$. La prima vale a sinistra dell’asse $Y$, da $\frac{\pi}{2}$ a $\frac{3\pi}{2}$, estremi inclusi. La seconda non è impossibile: il coseno non supera mai 1, ma lo raggiunge in $x = 0$. Unendo:

Controllo con $x = 0$: $\lvert 2 - 1 \rvert = 1 \geq 1$, vero.

2. Diventa $\cos x \leq -\frac{1}{2}$ oppure $\cos x \geq \frac{1}{2}$. Sono due archi opposti: da $-\frac{\pi}{3}$ a $\frac{\pi}{3}$, a destra, e da $\frac{2\pi}{3}$ a $\frac{4\pi}{3}$, a sinistra. Il secondo è il primo spostato di $\pi$, quindi basta il passo $k\pi$:

1. Con $t = \cos x$: $2t^2 - t - 1 \geq 0$, con radici $t = -\frac{1}{2}$ e $t = 1$. Il trinomio è positivo o nullo per valori esterni, estremi inclusi:

La prima vale da $\frac{2\pi}{3}$ a $\frac{4\pi}{3}$. La seconda vale solo dove il coseno è esattamente 1, cioè in $x = 2k\pi$:

Controllo con $x = 0$: $2 - 1 - 1 = 0 \geq 0$, vero. Chi scarta $\cos x \geq 1$ come impossibile perde questi punti.

2. Con $t = \sin x$: $t(t - 1) < 0$, vera per valori interni, $0 < t < 1$. Quindi $\sin x > 0$ e insieme $\sin x < 1$. La prima vale da $0$ a $\pi$; la seconda è vera ovunque tranne dove il seno vale 1, cioè in $\frac{\pi}{2}$:

3. Con $t = \cos x$: $2t^2 + 3t - 2 > 0$. Il discriminante è $9 + 16 = 25$ e le radici sono $t = \frac{-3 \pm 5}{4}$, cioè $t = \frac{1}{2}$ e $t = -2$. Valori esterni:

La radice $-2$ è fuori da $[-1, 1]$: $\cos x < -2$ è impossibile. Resta $\cos x > \frac{1}{2}$, l’arco a destra della retta $X = \frac{1}{2}$:

1. Il seno compare solo al quadrato: con la relazione fondamentale, $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$, resta solo il coseno.

Nell’ultimo passaggio abbiamo moltiplicato per $-1$, e il verso si è invertito. Le radici in $t = \cos x$ sono $-\frac{1}{2}$ e $1$, e servono i valori interni: $-\frac{1}{2} \leq \cos x \leq 1$. La parte $\cos x \leq 1$ è sempre vera, quindi resta $\cos x \geq -\frac{1}{2}$, l’arco intorno a 0:

Controllo con $x = \pi$ (fuori): $0 - 1 - 1 = -2$, non è $\geq 0$. Giusto.

2. C’è il seno, quindi si sceglie la formula di duplicazione con il seno, $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:

Le radici in $t = \sin x$ sono $-1$ e $\frac{1}{2}$, con valori interni: $-1 \leq \sin x \leq \frac{1}{2}$. La parte $\sin x \geq -1$ è sempre vera, resta $\sin x \leq \frac{1}{2}$: i punti sotto la retta $Y = \frac{1}{2}$. In $[0, 2\pi)$ sono $0 \leq x \leq \frac{\pi}{6}$ oppure $\frac{5\pi}{6} \leq x < 2\pi$: un arco che passa per l’angolo 0, da $\frac{5\pi}{6}$ fino a $\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$:

Controllo con $x = \pi$: $\cos 2\pi = 1 \geq \sin\pi = 0$, vero.

Con l’angolo aggiunto. I coefficienti sono $1$ e $-1$, e $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Raccogliendo $\sqrt{2}$ e ricordando che $\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

La disequazione diventa $\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \geq \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, con argomento composto:

Con le formule parametriche. Con $t = \tan\frac{x}{2}$, che esiste solo per $x \neq \pi + 2k\pi$, le formule parametriche dicono che

Sostituiamo e moltiplichiamo per $1 + t^2$, che è sempre positivo (il verso resta):

Torniamo a $x$: $\tan\frac{x}{2} \geq 1$ vale per $\frac{\pi}{4} + k\pi \leq \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2} + k\pi$, cioè

Manca il controllo di $x = \pi$, che la sostituzione ha escluso: $\sin\pi - \cos\pi = 0 - (-1) = 1 \geq 1$, vero. Aggiungendo i punti $\pi + 2k\pi$ si ritrova $\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq x \leq \pi + 2k\pi$.

Con retta e circonferenza. Con $X = \cos x$ e $Y = \sin x$ la disequazione diventa $Y - X \geq 1$: un semipiano, delimitato dalla retta $Y = X + 1$. La retta taglia la circonferenza in $(0, 1)$ e $(-1, 0)$, cioè negli angoli $\frac{\pi}{2}$ e $\pi$. Il punto di prova $O = (0, 0)$ dà $0 \geq 1$, falso: le soluzioni stanno dalla parte opposta all’origine, sul piccolo arco del secondo quadrante.

Gli estremi sono inclusi perché c’è il $\geq$. Tre metodi, stesso risultato.

1. È omogenea di secondo grado, senza termine noto. Primo, il controllo di $\cos x = 0$: lì $\sin^2 x = 1$ e la disequazione diventa $\sqrt{3} > 0$, vera. Quindi i punti $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ sono soluzioni.

Dove $\cos x \neq 0$ dividiamo per $\cos^2 x$, che è positivo, e il verso resta:

Con $t = \tan x$ il discriminante è $16 - 12 = 4$ e le radici sono $t = \frac{4 \pm 2}{2\sqrt{3}}$, cioè $\sqrt{3}$ e $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Valori esterni: $\tan x < \frac{\sqrt{3}}{3}$ oppure $\tan x > \sqrt{3}$.

Il periodo è $\pi$, quindi basta studiare $[0, \pi)$. Qui $\tan x < \frac{\sqrt{3}}{3}$ vale in $\left[0, \frac{\pi}{6}\right)$ e in $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$, mentre $\tan x > \sqrt{3}$ vale in $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right)$. Con il punto $\frac{\pi}{2}$ i pezzi si saldano: in $[0, \pi)$ la soluzione è $\left[0, \frac{\pi}{6}\right)$ oppure $\left(\frac{\pi}{3}, \pi\right)$. E il pezzo $\left[0, \frac{\pi}{6}\right)$ è la continuazione di $\left(\frac{\pi}{3}, \pi\right)$ nel giro successivo, fino a $\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$:

Controllo con un’altra strada: usando $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ e $2\sin x\cos x = \sin 2x$, il primo membro è $\sqrt{3} - 2\sin 2x$, e la disequazione diventa $\sin 2x < \frac{\sqrt{3}}{2}$. Con $\frac{2\pi}{3} + 2k\pi < 2x < \frac{7\pi}{3} + 2k\pi$ si ritrova lo stesso risultato.

2. Il termine noto si scrive $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$, così tutto diventa di secondo grado:

Controllo di $\cos x = 0$: diventa $0 \geq 0$, vero, quindi $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ sono soluzioni. Dove $\cos x \neq 0$, dividendo per $2\cos^2 x > 0$: $\tan x \geq 1$, cioè $\frac{\pi}{4} + k\pi \leq x < \frac{\pi}{2} + k\pi$. Aggiungendo i punti $\frac{\pi}{2} + k\pi$:

Strada alternativa: raccogliere, $2\cos x\,(\sin x - \cos x) \geq 0$, e studiare il segno del prodotto in $[0, 2\pi)$. Si ottengono $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$ e $\left[\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right]$, che con il passo $k\pi$ danno lo stesso risultato.

1. Con la duplicazione, $\sin 2x = 2\sin x\cos x$. Portiamo tutto a sinistra e raccogliamo $\cos x$, senza dividere:

È un prodotto: serve il segno di ogni fattore in $[0, 2\pi)$. Li chiamo $N = 2\sin x - 1$ e $D = \cos x$, perché nel punto 2 saranno numeratore e denominatore.

• $N > 0$ per $\sin x > \frac{1}{2}$, cioè $\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}$;
• $D > 0$ per $0 \leq x < \frac{\pi}{2}$ oppure $\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$.

Lo schema dei segni mette insieme le due informazioni. Gli angoli in cui un fattore cambia segno dividono il giro in cinque intervalli, e in ognuno il segno del prodotto viene dalla regola dei segni.

Il prodotto è negativo in $\left[0, \frac{\pi}{6}\right)$, in $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}\right)$ e in $\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$, estremi esclusi perché lì il prodotto vale 0. Il primo e l’ultimo pezzo si saldano attraverso l’angolo 0, partendo da $\frac{3\pi}{2} - 2\pi = -\frac{\pi}{2}$:

Controllo con $x = \frac{2\pi}{3}$: $\sin\frac{4\pi}{3} \approx -0{,}87 < \cos\frac{2\pi}{3} = -0{,}5$, vero.

2. C.E.: $\cos x \neq 0$, cioè $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$. I fattori sono gli stessi, e un quoziente ha lo stesso segno del prodotto: cambia solo che dove $D = 0$ il quoziente non esiste (le croci nello schema). Servono gli intervalli positivi e gli zeri del numeratore, $\frac{\pi}{6}$ e $\frac{5\pi}{6}$:

Controllo con $x = \pi$: $\frac{0 - 1}{-1} = 1 \geq 0$, vero.

1. Si risolve ogni disequazione in $[0, 2\pi)$, che è il periodo comune: il coseno ha periodo $2\pi$, e la tangente si ripete due volte in un giro.

• $2\cos x - 1 < 0$, cioè $\cos x < \frac{1}{2}$: $\ \frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{3}$.
• $\tan x \geq -1$: $\ 0 \leq x < \frac{\pi}{2}$, oppure $\frac{3\pi}{4} \leq x < \frac{3\pi}{2}$, oppure $\frac{7\pi}{4} \leq x < 2\pi$.

Ora si prendono le parti comuni. Con il primo pezzo della tangente resta $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right)$; il secondo pezzo sta tutto dentro $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right)$; il terzo no, perché $\frac{7\pi}{4} > \frac{5\pi}{3}$.

L’estremo $\frac{3\pi}{4}$ è incluso perché soddisfa entrambe le disequazioni: lì $\tan x = -1$ e $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} < \frac{1}{2}$. I punti $\frac{\pi}{2}$ e $\frac{3\pi}{2}$ sono esclusi perché la tangente non esiste.

2. Per il dominio servono insieme la condizione della radice e quella del logaritmo:

La prima vale da $-\frac{\pi}{3}$ a $\frac{\pi}{3}$, estremi inclusi; la seconda da $0$ a $\pi$, estremi esclusi. L’arco comune va da $0$, escluso, a $\frac{\pi}{3}$, incluso:

1. Il radicando deve essere maggiore o uguale a zero, con il denominatore diverso da zero: è una disequazione fratta. In $[0, 2\pi)$ il numeratore $N = 1 - 2\cos x$ è positivo o nullo per $\cos x \leq \frac{1}{2}$, cioè $\frac{\pi}{3} \leq x \leq \frac{5\pi}{3}$; il denominatore $D = \sin x$ è positivo per $0 < x < \pi$.

Con gli zeri del numeratore inclusi e quelli del denominatore ($0$ e $\pi$) esclusi:

2. Le condizioni sono tre: la tangente deve esistere ($x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$), il radicando non deve essere negativo ($\tan x \geq 0$), il denominatore non deve annullarsi ($\cos x \neq \frac{1}{2}$, cioè $x \neq \frac{\pi}{3}$ e $x \neq \frac{5\pi}{3}$ in un giro).

In $[0, 2\pi)$ la tangente è positiva o nulla in $\left[0, \frac{\pi}{2}\right)$ e in $\left[\pi, \frac{3\pi}{2}\right)$. Da questi intervalli va tolto $\frac{\pi}{3}$, che sta nel primo; $\frac{5\pi}{3}$ invece non ci sta, perché lì la tangente è negativa. Il dominio è

1. Con l’angolo aggiunto, $\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$: è una sinusoide che assume tutti i valori tra $-\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$, e solo quelli.

• È maggiore di $m$ per ogni $x$ se anche il suo valore più basso, $-\sqrt{2}$, supera $m$: cioè per $m < -\sqrt{2}$. Con $m = -\sqrt{2}$ no, perché nel punto di minimo vale l’uguaglianza.
• Non è mai maggiore di $m$ se anche il suo valore più alto, $\sqrt{2}$, non lo supera: cioè per $m \geq \sqrt{2}$.
• Per $-\sqrt{2} \leq m < \sqrt{2}$ ha soluzioni, ma non è vera per ogni $x$.

Per $m = 1$: $\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) > \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, quindi

Controllo con $x = \frac{\pi}{4}$: $\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} > 1$, vero.

2. Qui la $x$ compare anche fuori dal seno, e l’algebra non basta: si confrontano i grafici di $y = \sin x$ e della retta $y = \frac{x}{3}$, come nella risoluzione grafica delle equazioni goniometriche.

• Tra $0$ e $2{,}279$ il seno sta sopra la retta: per esempio in $x = 1$, $\sin 1 \approx 0{,}84 > 0{,}33$.
• Per $x > 2{,}279$ la retta sta sopra: da $x = 3$ in poi supera 1, e il seno non ci arriva più.
• Per $x < 0$ la situazione è simmetrica, perché entrambe le funzioni sono dispari: tra $-2{,}279$ e $0$ il seno sta sotto la retta, per $x < -2{,}279$ sta sopra (da $x = -3$ in giù la retta scende sotto $-1$).

Includendo i punti di incontro, perché c’è il $\geq$: