Esercizi svolti sulle equazioni goniometriche: dalle elementari al parametro

In ogni equazione si isola la funzione e si cerca nella tabella l’angolo $\alpha$ giusto.

1. $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, quindi $\alpha = -\frac{\pi}{3}$ e la seconda famiglia parte da $\pi - \alpha = \frac{4\pi}{3}$:

In $[0, 2\pi)$: $\frac{4\pi}{3}$ (seconda famiglia, $k = 0$) e $\frac{5\pi}{3}$ (prima famiglia, $k = 1$).

2. $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, quindi $x = \pm\frac{\pi}{4} + 2k\pi$. In $[0, 2\pi)$: $\frac{\pi}{4}$ e $-\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$.

3. $\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, quindi $x = -\frac{\pi}{6} + k\pi$. In $[0, 2\pi)$, con $k = 1$ e $k = 2$: $\frac{5\pi}{6}$ e $\frac{11\pi}{6}$.

4. $\sin x = \frac{4}{3} > 1$: nessun angolo ha un seno così grande. L’equazione è impossibile.

5. $\cos x = -1$ è un caso speciale: una sola famiglia, $x = \pi + 2k\pi$. In $[0, 2\pi)$ c’è solo $x = \pi$.

Verifica. Per $x = \frac{4\pi}{3}$:

La calcolatrice dà un solo angolo, quello dell’intervallo della funzione inversa. Le altre soluzioni le costruisci tu.

1. $\alpha = \arccos 0{,}2 \approx 1{,}369$, quindi

In $[0, 2\pi)$: $1{,}369$ e $2\pi - 1{,}369 \approx 4{,}914$.

2. $\alpha = \arcsin(-0{,}3) = -\arcsin 0{,}3 \approx -0{,}305$. La seconda famiglia parte da $\pi - \alpha = \pi + \arcsin 0{,}3$:

In $[0, 2\pi)$: $3{,}446$ (seconda famiglia, $k = 0$) e $2\pi - 0{,}305 \approx 5{,}978$ (prima famiglia, $k = 1$). Sono nel terzo e nel quarto quadrante, dove il seno è negativo: torna.

3. $\alpha = \arctan(-2) = -\arctan 2 \approx -1{,}107$, quindi $x \approx -1{,}107 + k\pi$. In $[0, 2\pi)$, con $k = 1$ e $k = 2$: $2{,}034$ e $5{,}176$.

Verifica. Con la calcolatrice: $\cos 4{,}914 \approx 0{,}200$, $\ \sin 3{,}446 \approx -0{,}300$, $\ \tan 2{,}034 \approx -2{,}00$.

1. L’equazione è $\cos\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Si risolve rispetto all’argomento, che deve valere $\pm\frac{\pi}{4}$ a meno di giri:

Dividendo per 3, anche il passo è diventato $\frac{2k\pi}{3}$. In $[0, 2\pi)$:

• dalla prima famiglia, con $k = 0, 1, 2$, vengono $0$, $\frac{2\pi}{3}$ e $\frac{4\pi}{3}$
• dalla seconda, con $k = 1, 2, 3$, vengono $\frac{\pi}{2}$, $\frac{7\pi}{6}$ e $\frac{11\pi}{6}$

In totale 6 soluzioni. Il conto torna: $\cos\left(3x + \frac{\pi}{4}\right)$ ha periodo $\frac{2\pi}{3}$, come nelle sinusoidi, quindi in $[0, 2\pi)$ fa tre periodi, con due soluzioni ciascuno.

2. La tangente vale 1 quando l’argomento è $\frac{\pi}{4} + k\pi$:

Moltiplicando per 2 il passo raddoppia: in $[0, 2\pi)$ c’è solo $x = \frac{\pi}{6}$. Le condizioni di esistenza sono rispettate, perché l’argomento vale $\frac{\pi}{4} + k\pi$ e non $\frac{\pi}{2} + k\pi$.

Verifica. Per $x = \frac{\pi}{2}$ l’argomento vale $\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$, e $2\cos\frac{7\pi}{4} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Non c’è un valore da calcolare: si confrontano gli angoli. Due angoli hanno lo stesso seno, coseno o tangente quando

dove per la tangente servono anche le condizioni di esistenza.

1. Con $A = 4x$ e $B = 2x$:

La prima famiglia è contenuta nella seconda (basta prendere $k$ multiplo di 3): la soluzione è $x = \frac{k\pi}{3}$.

2. Le funzioni sono diverse: con gli archi associati, $\sin 2x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right)$, e l’equazione diventa $\cos 3x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right)$:

3. Condizioni di esistenza: $\cos x \neq 0$ e $\cos 3x \neq 0$. Dalla regola:

Per $k$ dispari si ottengono $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$ e così via, dove $\cos x = 0$ e nessuna delle due tangenti esiste: vanno scartati. Restano i $k$ pari, cioè $x = k\pi$, dove $\cos x$ e $\cos 3x$ valgono $\pm 1$ e tutto è definito.

Verifica. Per $x = \frac{\pi}{10}$: $\sin\frac{\pi}{5} = \cos\frac{3\pi}{10}$, perché $\frac{\pi}{5} + \frac{3\pi}{10} = \frac{\pi}{2}$ (angoli complementari). Per $x = \pi$: $\tan 3\pi = 0 = \tan\pi$.

1. Con $t = \cos x$: $2t^2 - t - 1 = 0$, con $\Delta = 1 + 8 = 9$ e quindi $t = \frac{1 \pm 3}{4}$, cioè $t = 1$ oppure $t = -\frac{1}{2}$. Entrambi stanno tra $-1$ e $1$:

2. Il seno compare solo al quadrato: con $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ resta solo il coseno.

Con $t = \cos x$: $\Delta = 9 + 16 = 25$, quindi $t = \frac{3 \pm 5}{4}$, cioè $t = 2$ oppure $t = -\frac{1}{2}$. Il valore 2 si scarta: il coseno non supera mai 1. Resta $\cos x = -\frac{1}{2}$, cioè $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$.

Verifica. Per $x = \frac{2\pi}{3}$: $\sin^2 x = \frac{3}{4}$ e $\cos x = -\frac{1}{2}$, quindi $2 \cdot \frac{3}{4} - \frac{3}{2} = 0$.

1. C’è il seno, quindi si sceglie $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ e resta una sola funzione:

Con $t = \sin x$: $\Delta = 25 - 16 = 9$, quindi $t = \frac{5 \pm 3}{4}$, cioè $t = 2$, da scartare, oppure $t = \frac{1}{2}$:

2. Con le formule di sottrazione e di addizione del coseno:

Facendo la differenza, i termini con il coseno si cancellano:

Quindi

Con la prostaferesi si arriva allo stesso punto in un passaggio, con $p = x - \frac{\pi}{3}$ e $q = x + \frac{\pi}{3}$:

Verifica. Nel punto 1, per $x = \frac{\pi}{6}$: $\frac{1}{2} + \frac{5}{2} - 3 = 0$. Nel punto 2, per $x = \frac{\pi}{3}$: $\cos 0 - \cos\frac{2\pi}{3} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

1. Con la duplicazione, portando tutto a sinistra, si raccoglie $\sin x$:

Un prodotto è zero se e solo se lo è almeno un fattore: $\sin x = 0$, cioè $x = k\pi$, oppure $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, cioè $x = \pm\frac{\pi}{6} + 2k\pi$.

2. Con la prostaferesi, con $p = 5x$ e $q = x$, la somma diventa un prodotto:

e l’equazione si spezza in due:

• $\sin 3x = 0 \iff 3x = k\pi \iff x = \frac{k\pi}{3}$: in $[0, \pi]$ sono $0$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{2\pi}{3}$, $\pi$;
• $\cos 2x = 0 \iff 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \iff x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$: in $[0, \pi]$ sono $\frac{\pi}{4}$, $\frac{3\pi}{4}$.

Le due liste non hanno valori in comune, quindi le soluzioni sono 6: $0$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{2\pi}{3}$, $\frac{3\pi}{4}$, $\pi$.

Verifica. Per $x = \frac{\pi}{4}$: $\sin\frac{5\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$.

Angolo aggiunto. Qui $a = 1$ e $b = -\sqrt{3}$, quindi $R = \sqrt{1 + 3} = 2$. Siccome $\sqrt{3} \leq 2$, le soluzioni esistono. L’angolo $\varphi$ ha $\cos\varphi = \frac{1}{2}$ e $\sin\varphi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, cioè $\varphi = -\frac{\pi}{3}$:

L’argomento vale $\frac{\pi}{3}$ oppure $\frac{2\pi}{3}$, a meno di giri:

Parametriche. Con $t = \tan\frac{x}{2}$:

Moltiplicando per $1 + t^2$, che non è mai zero:

Da $\tan\frac{x}{2} = \sqrt{3}$ si ha $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + k\pi$, cioè $x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$. La famiglia $x = \pi + 2k\pi$ manca.

Il controllo di $x = \pi$. Per $x = \pi + 2k\pi$ la tangente di $\frac{x}{2}$ non esiste, quindi le parametriche non possono trovare quei valori: vanno provati a parte. $\sin\pi - \sqrt{3}\cos\pi = 0 + \sqrt{3} = \sqrt{3}$: è una soluzione. I due metodi ora coincidono:

Verifica. Per $x = \frac{2\pi}{3}$:

1. Prima di dividere per $\cos^2 x$ si controlla $\cos x = 0$, cioè $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$: lì $\sin^2 x = 1$ e l’equazione diventa $1 = 0$, falso. Non si perde nulla, quindi si divide:

Le soluzioni sono

2. Il termine noto ha grado zero: si scrive $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$.

C’è ancora $\sin^2 x$, quindi $\cos x = 0$ non dà soluzioni e si divide:

Quindi

Il numero $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$ è la famosa sezione aurea.

3. Stesso trucco per il termine noto:

Questa volta $\sin^2 x$ si è cancellato, e $\cos x = 0$ dà soluzioni: per $x = \frac{\pi}{2}$ il testo diventa $1 + 0 = 1$. Quindi non si divide: si raccoglie $\cos x$.

Da $\cos x = 0$: $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$. Da $\sqrt{3}\sin x = \cos x$, dove ora si può dividere per $\cos x$ (se fosse zero, anche $\sin x$ dovrebbe esserlo, ed è impossibile): $\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$, cioè $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$.

Verifica. Nel punto 1, per $x = \frac{\pi}{4}$: $\frac{1}{2} + 1 - \frac{3}{2} = 0$. Nel punto 3, per $x = \frac{\pi}{6}$: $\frac{1}{4} + \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$.

1. Condizioni di esistenza: $\tan x$ richiede $\cos x \neq 0$, $\cot x$ richiede $\sin x \neq 0$. Insieme: $x \neq \frac{k\pi}{2}$.

Primo modo. Con $t = \tan x$ la cotangente è $\frac{1}{t}$ e l’equazione diventa

Dalle formule di sottrazione e addizione, $\tan\frac{\pi}{12} = 2 - \sqrt{3}$ e $\tan\frac{5\pi}{12} = 2 + \sqrt{3}$. Quindi

Secondo modo, per controllare. Con seno e coseno:

L’equazione diventa $\sin 2x = \frac{1}{2}$, quindi $2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ oppure $2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$: dividendo per 2 si ritrovano le stesse famiglie. Nessuna è un multiplo di $\frac{\pi}{2}$: tutte accettabili.

2. Condizione di esistenza: $\cos x \neq 0$. Dove la tangente esiste, $\tan x \cdot \cos x = \sin x$, quindi l’equazione diventa $\sin x = 1$, cioè $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$. Ma in questi punti $\cos x = 0$ e la tangente non esiste: vanno scartati tutti. L’equazione è impossibile.

Verifica. Per $x = \frac{\pi}{12}$:

Sono equazioni trascendenti: nessuna formula le risolve, si ragiona sui grafici dei due membri.

1. Entrambi i membri sono pari, quindi le soluzioni sono a coppie opposte; $x = 0$ non è soluzione, perché $1 \neq -1$. Il coseno non supera 1, quindi serve $x^2 - 1 \leq 1$, cioè $\lvert x \rvert \leq \sqrt{2} \approx 1{,}41$. Su $[0, \sqrt{2}]$ il coseno decresce (perché $\sqrt{2} < \pi$) e la parabola cresce: si incontrano al massimo una volta. E si incontrano: in 0 il coseno vale 1 e sta sopra la parabola, che vale $-1$; in $\sqrt{2}$ sta sotto, perché $\cos\sqrt{2} \approx 0{,}16$ mentre la parabola vale 1.

La soluzione positiva è tra 1,1 e 1,2 (circa 1,18). In totale le soluzioni sono due: circa $\pm 1{,}18$.

2. Il seno sta tra $-1$ e $1$, quindi le soluzioni hanno $\lvert x \rvert \leq 10$. Una soluzione è $x = 0$. Entrambi i membri sono dispari: per ogni soluzione positiva c’è quella opposta, e basta studiare $0 < x \leq 10$.

• Tra 0 e $\pi$ il seno fa un arco «a cupola» (concavo), e una retta taglia un arco concavo al massimo in due punti: uno è l’origine. Vicino a 0 il seno sta sopra la retta, perché $\sin x \approx x$, che è più di $\frac{x}{10}$; in $\pi$ sta sotto, perché vale 0. C’è esattamente una soluzione, circa $2{,}852$.
• Tra $\pi$ e $2\pi$ il seno è negativo e la retta positiva: nessuna soluzione.
• Tra $2\pi$ e $3\pi$ c’è un altro arco concavo. Agli estremi il seno vale 0 e sta sotto la retta; in $\frac{5\pi}{2} \approx 7{,}854$ vale 1 e sta sopra, perché la retta lì vale circa $0{,}785$. Le soluzioni sono esattamente due, circa $7{,}068$ e $8{,}423$.
• Tra $3\pi \approx 9{,}42$ e 10 il seno torna negativo: nessuna soluzione.

Le soluzioni positive sono 3, le negative altre 3, più lo zero: 7 soluzioni.

Verifica. Per $x = 2{,}852$ il seno vale circa 0,286 e la retta circa 0,285: i due membri coincidono, a meno degli arrotondamenti.

1. Il coseno assume tutti e soli i valori tra $-1$ e $1$:

2. Chiamiamo $c = 2m - 1$ e immaginiamo la retta orizzontale $y = c$ che sale e scende sul grafico del coseno. In $\left[0, \frac{4\pi}{3}\right]$ il coseno scende da 1 a $-1$ (su $[0, \pi]$), poi risale fino a $\cos\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}$. Quindi:

• per $-\frac{1}{2} < c \leq 1$ la retta incontra solo il tratto in discesa: una soluzione;
• per $-1 < c \leq -\frac{1}{2}$ incontra entrambi i tratti: due soluzioni;
• per $c = -1$ tocca il minimo, in $x = \pi$: una soluzione.

Tornando a $m$ ($c = -1$ per $m = 0$, $c = -\frac{1}{2}$ per $m = \frac{1}{4}$):

3. Per $m = \frac{1}{4}$: $\cos x = -\frac{1}{2}$, cioè $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$. Nell’intervallo cadono $\frac{2\pi}{3}$ (segno più, $k = 0$) e $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$ (segno meno, $k = 1$). Due soluzioni, come dice la tabella: l’estremo $\frac{4\pi}{3}$ appartiene all’intervallo, quindi conta.

Verifica.