Valori notevoli di seno, coseno e tangente: tabella, dimostrazione ed esercizi svolti

Seno di 30 gradi uguale a un mezzo, coseno di 45 gradi uguale a $\frac{\sqrt{2}}{2}$, tangente di 60 gradi uguale a $\sqrt{3}$: sono i valori notevoli delle funzioni goniometriche, cioè i valori esatti di seno, coseno e tangente per gli angoli $0$, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$ e $\frac{\pi}{2}$ e per i loro «fratelli» negli altri quadranti. Li userai di continuo: nelle equazioni e nelle disequazioni goniometriche, nei limiti, negli studi di funzione e, in Fisica, ogni volta che scomponi una forza. All’esame serve il valore esatto, non quello della calcolatrice. In questa pagina vediamo la tabella, da dove vengono i valori (con due triangoli e il teorema di Pitagora), un trucco per ricordarli, come trovarli su tutta la circonferenza con l’angolo di riferimento, anche per angoli negativi o maggiori di un giro, come leggere la tabella al contrario, alcune espressioni svolte, la calcolatrice, i valori «quasi notevoli», gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Un ripasso: seno e coseno sono coordinate

La definizione completa è nella pagina sulle funzioni goniometriche. Sulla circonferenza goniometrica, con centro nell’origine e raggio 1, l’angolo $x$ si misura in radianti dal semiasse positivo delle $x$, in senso antiorario, e individua un punto

$$P = (\cos x,\ \sin x)$$

Il coseno è l’ascissa di $P$, il seno la sua ordinata. Tangente e cotangente sono i rapporti

$$\begin{gathered} \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \quad (\cos x \neq 0) \\[8pt] \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \quad (\sin x \neq 0) \end{gathered}$$

Quindi trovare seno e coseno di un angolo vuol dire trovare le coordinate di un punto: è l’idea che useremo in tutta la pagina.

Per passare dai gradi ai radianti ricorda che $180^\circ = \pi$: allora $30^\circ = \frac{\pi}{6}$, $45^\circ = \frac{\pi}{4}$, $60^\circ = \frac{\pi}{3}$ e $90^\circ = \frac{\pi}{2}$ (il metodo generale è in angoli e radianti).

La tabella dei valori notevoli

Ecco i valori da sapere, in due tabelle: seno e coseno, poi tangente e cotangente.

Angolo	$\sin x$	$\cos x$
$0$ (0°)	$0$	$1$
$\dfrac{\pi}{6}$ (30°)	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\dfrac{\pi}{4}$ (45°)	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\dfrac{\pi}{3}$ (60°)	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{\pi}{2}$ (90°)	$1$	$0$

Angolo	$\tan x$	$\cot x$
$0$ (0°)	$0$	non esiste
$\dfrac{\pi}{6}$ (30°)	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
$\dfrac{\pi}{4}$ (45°)	$1$	$1$
$\dfrac{\pi}{3}$ (60°)	$\sqrt{3}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$\dfrac{\pi}{2}$ (90°)	non esiste	$0$

Letta a parole: il seno di 30 gradi vale $\frac{1}{2}$; il coseno di $\frac{\pi}{3}$, cioè di 60°, vale anche lui $\frac{1}{2}$; seno e coseno di 45° sono uguali; la tangente di 90° non esiste, perché $\cos\frac{\pi}{2} = 0$ e non si può dividere per zero.

Da dove vengono: due triangoli

Questi valori non vanno imparati come una filastrocca: si ricavano in due minuti. Ci serve un fatto: per un angolo acuto di un triangolo rettangolo, il seno è il cateto opposto diviso l’ipotenusa, il coseno è il cateto adiacente diviso l’ipotenusa. Infatti, se l’ipotenusa è 1 e metti il vertice dell’angolo nell’origine e un cateto sull’asse $x$, il terzo vertice sta sulla circonferenza goniometrica e i cateti sono proprio le sue coordinate. Con un’altra ipotenusa il triangolo è simile, e i rapporti tra i lati non cambiano.

Bastano allora due triangoli: metà di un triangolo equilatero e metà di un quadrato.

30 e 60 gradi: metà di un triangolo equilatero

Prendi un triangolo equilatero di lato 1: i suoi tre angoli sono di 60°. Traccia l’altezza da un vertice. In un triangolo equilatero l’altezza è anche mediana e bisettrice: taglia il lato opposto in due pezzi lunghi $\frac{1}{2}$ e divide l’angolo di partenza in due angoli di 30°. Ottieni due triangoli rettangoli uguali, con ipotenusa 1, angoli di 30°, 60° e 90° e un cateto lungo $\frac{1}{2}$.

L’altro cateto è l’altezza $h$. Con il teorema di Pitagora:

$$\begin{gathered} h^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1^2 \\ h^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \\ h = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

La radice è positiva perché $h$ è una lunghezza. Con l’ipotenusa uguale a 1, il cateto corto $\frac{1}{2}$ sta di fronte all’angolo di 30° (l’angolo più piccolo è opposto al lato più corto) e l’altezza gli è adiacente; per l’angolo di 60° i ruoli si scambiano. Quindi

$$\begin{gathered} \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \qquad \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\[6pt] \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \qquad \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \end{gathered}$$

Le tangenti sono i rapporti tra seno e coseno:

$$\begin{gathered} \tan\frac{\pi}{6} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \\[6pt] \tan\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3} \end{gathered}$$

Il risultato $\frac{1}{\sqrt{3}}$ è giusto, ma di solito si razionalizza, cioè si toglie la radice dal denominatore. Si moltiplicano numeratore e denominatore per $\sqrt{3}$, che non cambia il valore della frazione:

$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ sono lo stesso numero, circa 0,577: nei libri trovi l’una o l’altra scrittura.

45 gradi: metà di un quadrato

Disegna un quadrato di lato 1 e tracciane una diagonale. La diagonale lo divide in due triangoli rettangoli isosceli e taglia a metà due angoli retti: gli angoli acuti sono di 45°. La diagonale $d$ è l’ipotenusa, e con Pitagora

$$d^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \quad\Rightarrow\quad d = \sqrt{2}$$

Cateto opposto diviso ipotenusa:

$$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

dove abbiamo razionalizzato moltiplicando sopra e sotto per $\sqrt{2}$. I due cateti sono uguali, quindi anche $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707$, e $\tan\frac{\pi}{4} = 1$. Nella figura il triangolo è rimpicciolito fino ad avere ipotenusa 1 (è metà di un quadrato di diagonale 1): i cateti misurano $\frac{\sqrt{2}}{2}$ e sono direttamente coseno e seno. I valori di 0 e $\frac{\pi}{2}$, invece, si leggono sulla circonferenza: li vediamo con gli altri punti sugli assi.

I tre punti del primo quadrante

Mettendo insieme i risultati, ecco i punti di $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$ e $\frac{\pi}{3}$ sulla circonferenza, con le loro coordinate.

Sull’asse $x$ compaiono solo tre valori «nuovi»: $\frac{1}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707$ e $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$. E i punti di $\frac{\pi}{6}$ e $\frac{\pi}{3}$ hanno le stesse coordinate, scambiate. Il motivo: $\frac{\pi}{6}$ e $\frac{\pi}{3}$ sono complementari, la loro somma è $\frac{\pi}{2}$, e i loro punti sono simmetrici rispetto alla bisettrice $y = x$. In generale $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$: il coseno è il seno del complementare.

Il trucco per ricordarli

Scrivi il seno di $0$, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$ in questa forma:

$$\frac{\sqrt{0}}{2},\quad \frac{\sqrt{1}}{2},\quad \frac{\sqrt{2}}{2},\quad \frac{\sqrt{3}}{2},\quad \frac{\sqrt{4}}{2}$$

Sotto la radice ci sono i numeri da 0 a 4 in ordine e, semplificando, ritrovi $0$, $\frac{1}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$, $1$. Il coseno ha gli stessi valori in ordine inverso, da $\frac{\sqrt{4}}{2} = 1$ a $\frac{\sqrt{0}}{2} = 0$, proprio per lo scambio tra angoli complementari che abbiamo appena visto.

Due controlli evitano gli errori più frequenti.

• Un angolo piccolo ha il seno piccolo. Nel primo quadrante, quando l’angolo cresce, il seno cresce e il coseno cala: $\sin 30^\circ$ è il più piccolo tra $\frac{1}{2}$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• La relazione fondamentale deve tornare. Per $\frac{\pi}{6}$: $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$. Se per sbaglio scrivi $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, ottieni $\frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$: c’è un errore.

La tangente cresce: $0$, $\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577$, $1$, $\sqrt{3} \approx 1{,}732$, e in $\frac{\pi}{2}$ non esiste. $\tan\frac{\pi}{6}$ e $\tan\frac{\pi}{3}$ sono reciproche, e la cotangente ha gli stessi valori della tangente in ordine inverso.

I valori sugli assi

Quattro punti della circonferenza stanno sugli assi, e lì seno e coseno valgono $0$, $1$ o $-1$. Basta leggere le coordinate:

Angolo	$P = (\cos x, \sin x)$	$\tan x$
$0$ (0°)	$(1, 0)$	$0$
$\dfrac{\pi}{2}$ (90°)	$(0, 1)$	non esiste
$\pi$ (180°)	$(-1, 0)$	$0$
$\dfrac{3\pi}{2}$ (270°)	$(0, -1)$	non esiste
$2\pi$ (360°)	$(1, 0)$	$0$

Per esempio $\cos\pi = -1$ e $\sin\frac{3\pi}{2} = -1$. La tangente non esiste dove il coseno è zero, cioè in $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$ e in generale in $\frac{\pi}{2} + k\pi$ con $k$ intero; la cotangente non esiste dove è zero il seno, cioè nei multipli interi di $\pi$.

Tutta la circonferenza: l’angolo di riferimento

Oltre ai quattro punti sugli assi, ogni quadrante contiene tre punti notevoli: in tutto sedici punti. Non servono altre dimostrazioni, perché i punti degli altri quadranti sono i simmetrici di quelli del primo, rispetto agli assi o all’origine. Nella figura, i punti dello stesso colore sono i vertici di un rettangolo con centro nell’origine: hanno le stesse coordinate, a meno del segno.

L’angolo del primo quadrante che corrisponde a un angolo $x$ si chiama angolo di riferimento: è l’angolo acuto tra il raggio $OP$ e l’asse $x$ (l’asse $x$, non l’asse $y$). Ecco il metodo.

Vediamolo con i tre «fratelli» di $\frac{\pi}{6}$.

• $\frac{5\pi}{6}$ (150°) è nel II quadrante e $\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$: il riferimento è $\frac{\pi}{6}$. Seno positivo, coseno negativo: $\sin\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$ e $\cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• $\frac{7\pi}{6}$ (210°) è nel III quadrante e $\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$. Entrambi negativi: $\sin\frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2}$ e $\cos\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• $\frac{11\pi}{6}$ (330°) è nel IV quadrante e $\frac{11\pi}{6} = 2\pi - \frac{\pi}{6}$. Seno negativo, coseno positivo: $\sin\frac{11\pi}{6} = -\frac{1}{2}$ e $\cos\frac{11\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

La tangente si ottiene dividendo: $\tan\frac{7\pi}{6} = \frac{-1/2}{-\sqrt{3}/2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, positiva come deve essere nel III quadrante.

Una scorciatoia: con la frazione ridotta ai minimi termini, gli angoli con denominatore 6 hanno riferimento $\frac{\pi}{6}$, quelli con denominatore 4 hanno riferimento $\frac{\pi}{4}$, quelli con denominatore 3 hanno riferimento $\frac{\pi}{3}$. Ecco i nove punti fuori dal primo quadrante e dagli assi, con le coordinate di $P$: prima il coseno, poi il seno.

Angolo	$P = (\cos x, \sin x)$	$\tan x$
$\dfrac{2\pi}{3}$ (120°)	$\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$	$-\sqrt{3}$
$\dfrac{3\pi}{4}$ (135°)	$\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$	$-1$
$\dfrac{5\pi}{6}$ (150°)	$\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$\dfrac{7\pi}{6}$ (210°)	$\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, -\dfrac{1}{2}\right)$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$\dfrac{5\pi}{4}$ (225°)	$\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$	$1$
$\dfrac{4\pi}{3}$ (240°)	$\left(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$	$\sqrt{3}$
$\dfrac{5\pi}{3}$ (300°)	$\left(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$	$-\sqrt{3}$
$\dfrac{7\pi}{4}$ (315°)	$\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}, -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$	$-1$
$\dfrac{11\pi}{6}$ (330°)	$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, -\dfrac{1}{2}\right)$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Le formule dietro a queste simmetrie, come $\sin(\pi - x) = \sin x$ o $\cos(\pi + x) = -\cos x$, sono gli archi associati, con le regole generali valide per ogni angolo. Qui ci basta il disegno.

Angoli negativi e maggiori di un giro

Seno e coseno hanno periodo $2\pi$: aggiungendo o togliendo un giro si torna nello stesso punto, quindi $\sin(x + 2k\pi) = \sin x$ e $\cos(x + 2k\pi) = \cos x$ per ogni intero $k$. Un angolo negativo o più grande di un giro si riporta tra 0 e $2\pi$ prima di usare il metodo. La tangente ha periodo $\pi$, quindi per lei basta togliere mezzi giri.

• $-\frac{2\pi}{3}$: aggiungi un giro, $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$, che è nel III quadrante con riferimento $\frac{\pi}{3}$. Quindi $\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$ e $\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• $\frac{17\pi}{4}$: scrivi un giro con lo stesso denominatore, $2\pi = \frac{8\pi}{4}$, e togli due giri: $\frac{17\pi}{4} - \frac{16\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$. Seno e coseno valgono $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• $750^\circ$: $750^\circ - 720^\circ = 30^\circ$, quindi $\sin 750^\circ = \frac{1}{2}$.

Per gli angoli negativi c’è anche una scorciatoia: il punto di $-x$ è il simmetrico di quello di $x$ rispetto all’asse $x$, quindi $\cos(-x) = \cos x$ e $\sin(-x) = -\sin x$. Per esempio $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.

Leggere la tabella al contrario

Spesso la domanda è rovesciata: non «quanto vale il seno?», ma «quale angolo ha questo seno?». Per esempio: quali angoli $x$ in $[0, 2\pi)$, cioè con $0 \leq x < 2\pi$, hanno $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$?

1. Togli il segno e cerca nella tabella. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ è il seno di $\frac{\pi}{4}$: questo è l’angolo di riferimento.
2. Guarda il segno. Il seno è negativo, quindi $P$ sta sotto l’asse $x$: III o IV quadrante.
3. Costruisci gli angoli. Nel III quadrante $x = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$, nel IV $x = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.

Le risposte sono due, $\frac{5\pi}{4}$ e $\frac{7\pi}{4}$: la retta orizzontale $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ taglia la circonferenza in due punti.

Calcolare espressioni con i valori notevoli

Negli esercizi i valori notevoli compaiono dentro espressioni: sostituisci ogni funzione con il suo valore esatto, poi fai i conti con frazioni e radici. Cinque esempi, dal più facile al più articolato.

Esempio 1. Calcoliamo senza calcolatrice

$$\begin{gathered} E_1 = 2\sin\frac{\pi}{6} + \cos^2\frac{\pi}{4} \\ {} - \tan\frac{\pi}{3} \cdot \tan\frac{\pi}{6} \end{gathered}$$

Sostituendo i valori della tabella, e ricordando che $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4}$ e $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$:

$$\begin{gathered} E_1 = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{4} - \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \\ E_1 = 1 + \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2} \end{gathered}$$

Esempio 2. Con un prodotto di radici:

$$\begin{gathered} E_2 = \sin^2\frac{\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{4} \cdot \tan\frac{\pi}{6} \\ E_2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \\ E_2 = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{6}}{6} \end{gathered}$$

perché $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$. Con denominatore comune 12, $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ e $\frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{2\sqrt{6}}{12}$, quindi $E_2 = \frac{9 + 2\sqrt{6}}{12} \approx 1{,}158$: maggiore di 1, ma non è un seno, è una somma.

Esempio 3. Con angoli in altri quadranti:

$$\begin{gathered} E_3 = 2\sin\frac{7\pi}{6} - \sqrt{2}\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) \\ {} + \cos^2\frac{7\pi}{6} \end{gathered}$$

$\frac{7\pi}{6}$ è nel III quadrante con riferimento $\frac{\pi}{6}$: $\sin\frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2}$ e $\cos\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Il coseno è pari, quindi $\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$$\begin{gathered} E_3 = 2\left(-\frac{1}{2}\right) - \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3}{4} \\ E_3 = -1 - 1 + \frac{3}{4} = -\frac{5}{4} \end{gathered}$$

Nota il quadrato: $\cos\frac{7\pi}{6}$ è negativo, ma il suo quadrato è positivo, $\frac{3}{4}$.

Esempio 4. Con la tangente: $E_4 = \tan\frac{5\pi}{3} \cdot \sin\frac{2\pi}{3} - \cos\pi$. $\frac{5\pi}{3}$ è nel IV quadrante con riferimento $\frac{\pi}{3}$, dove la tangente è negativa: $\tan\frac{5\pi}{3} = -\sqrt{3}$. $\frac{2\pi}{3}$ è nel II quadrante, dove il seno è positivo: $\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. E $\cos\pi = -1$.

$$\begin{gathered} E_4 = \left(-\sqrt{3}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - (-1) \\ E_4 = -\frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Esempio 5. In gradi: $E_5 = \sin 120^\circ \cdot \cos 210^\circ - \tan 315^\circ$. Abbiamo $120^\circ = 180^\circ - 60^\circ$ (II quadrante, seno positivo), $210^\circ = 180^\circ + 30^\circ$ (III, coseno negativo), $315^\circ = 360^\circ - 45^\circ$ (IV, tangente negativa):

$$\begin{gathered} E_5 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - (-1) \\ E_5 = -\frac{3}{4} + 1 = \frac{1}{4} \end{gathered}$$

Valori approssimati e calcolatrice

Per i grafici e per controllare i conti conviene conoscere anche i valori decimali:

Valore esatto	Circa	Dove compare
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	0,707	$\sin 45^\circ$, $\cos 45^\circ$
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	0,866	$\sin 60^\circ$, $\cos 30^\circ$
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	0,577	$\tan 30^\circ$, $\cot 60^\circ$
$\sqrt{3}$	1,732	$\tan 60^\circ$, $\cot 30^\circ$

La calcolatrice. Ogni calcolatrice scientifica ha due modalità per gli angoli: DEG (gradi) e RAD (radianti). In DEG $\sin 30$ vale $0{,}5$; in RAD la calcolatrice calcola il seno di 30 radianti, quasi cinque giri, e risponde circa $-0{,}988$. Prima di ogni compito fai la prova con $\sin 30$. In RAD scrivi l’argomento tra parentesi, $\sin(\pi/6)$, e devi ottenere $0{,}5$.

Anche un computer usa un valore approssimato di $\pi$: Python, per esempio, dà per $\cos\frac{\pi}{2}$ circa $6{,}1 \cdot 10^{-17}$ invece di 0, e per $\tan\frac{\pi}{2}$ un numero enorme invece di un errore. In realtà $\cos\frac{\pi}{2} = 0$ e la tangente in $\frac{\pi}{2}$ non esiste.

Altri valori «quasi notevoli»

Con altre formule si trovano i valori esatti di altri angoli. Non vanno imparati a memoria, ma è utile riconoscerli:

Angolo	$\sin x$	$\cos x$
$\dfrac{\pi}{12}$ (15°)	$\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$	$\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
$\dfrac{\pi}{10}$ (18°)	$\dfrac{\sqrt{5} - 1}{4}$	$\dfrac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}$
$\dfrac{\pi}{8}$ (22,5°)	$\dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$
$\dfrac{\pi}{5}$ (36°)	$\dfrac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$	$\dfrac{1 + \sqrt{5}}{4}$

• 15° è $45^\circ - 30^\circ$: si calcola con la formula di sottrazione delle formule di addizione e duplicazione. Il seno vale circa 0,259, la tangente $2 - \sqrt{3}$.
• 22,5° è metà di 45°: si calcola con le formule di bisezione, che danno anche $\tan 22{,}5^\circ = \sqrt{2} - 1$.
• 18° e 36° compaiono nel pentagono regolare (36° è l’angolo in ogni punta della stella a cinque punte) e sono legati alla sezione aurea $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$: infatti $\cos 36^\circ = \frac{\varphi}{2} \approx 0{,}809$.

Per i curiosi: da dove viene il seno di 18°. Sia $\alpha = 18^\circ$. Allora $5\alpha = 90^\circ$, cioè $2\alpha = 90^\circ - 3\alpha$: i due angoli sono complementari, quindi $\sin 2\alpha = \cos 3\alpha$. Usiamo la duplicazione del seno e la triplicazione del coseno, $\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$, che trovi nella stessa pagina delle formule di addizione:

$$\begin{gathered} 2\sin\alpha\cos\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha \\ 2\sin\alpha = 4\cos^2\alpha - 3 \\ 2\sin\alpha = 1 - 4\sin^2\alpha \end{gathered}$$

Nel secondo passaggio abbiamo diviso per $\cos\alpha$, che non è zero, e nel terzo abbiamo usato $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$. Con $s = \sin\alpha$ è l’equazione di secondo grado $4s^2 + 2s - 1 = 0$, che ha soluzioni $s = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$. Il seno di 18° è positivo, quindi

$$\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \approx 0{,}309$$

e con la duplicazione $\cos 36^\circ = 1 - 2\sin^2 18^\circ = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$.

Gli errori più comuni

• Usare la calcolatrice in RAD con angoli in gradi. $\sin 30$ in modalità RAD dà circa $-0{,}988$, il seno di 30 radianti. Controlla DEG o RAD prima di iniziare.
• Scambiare $\sin\frac{\pi}{6}$ e $\cos\frac{\pi}{6}$. Un angolo piccolo ha il seno piccolo: $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ e $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Il punto è vicino all’asse $x$, quindi la sua ordinata è piccola.
• Sbagliare il segno del quadrante. $\cos\frac{2\pi}{3}$ vale $-\frac{1}{2}$, non $\frac{1}{2}$: nel II quadrante il coseno è negativo.
• Misurare l’angolo di riferimento dall’asse y. Per $\frac{2\pi}{3}$ il riferimento è $\frac{\pi}{3}$, l’angolo con l’asse $x$, non $\frac{\pi}{6}$. Con $\frac{\pi}{6}$ verrebbe $\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{1}{2}$, mentre vale $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Scrivere $\tan\frac{\pi}{2} = \infty$. $\infty$ non è un numero, e la tangente in $\frac{\pi}{2}$ non esiste. Avvicinandosi a $\frac{\pi}{2}$ da sinistra la tangente tende a $+\infty$, da destra a $-\infty$: è un discorso di limiti, non un valore.
• Confondere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ con $\frac{3}{\sqrt{3}}$. $\frac{1}{\sqrt{3}}$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ sono lo stesso numero, circa 0,577, la tangente di 30°. Invece $\frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \approx 1{,}732$ è la tangente di 60°.
• Portare fuori i numeri dal seno. $\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$, mentre $2\sin\frac{\pi}{6} = 1$. Il seno del doppio di un angolo non è il doppio del seno.
• Spezzare il seno di una somma. $\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{2} = 1$, mentre $\sin\frac{\pi}{6} + \sin\frac{\pi}{3} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \approx 1{,}366$, che non può nemmeno essere un seno perché supera 1. Le formule giuste sono quelle di addizione e duplicazione.

Esercizi svolti

1. Valori in gradi

Testo. Scrivi in radianti gli angoli di 30°, 45°, 60° e 90° e calcola $\sin 60^\circ$, $\cos 45^\circ$, $\tan 30^\circ$, $\cos 90^\circ$ e $\cot 60^\circ$.

Con $180^\circ = \pi$ si ha $30^\circ = \frac{\pi}{6}$, $45^\circ = \frac{\pi}{4}$, $60^\circ = \frac{\pi}{3}$ e $90^\circ = \frac{\pi}{2}$. Dalla tabella:

$$\begin{gathered} \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \qquad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \\[6pt] \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \qquad \cos 90^\circ = 0 \end{gathered}$$

Per la cotangente si divide il coseno per il seno e si razionalizza:

$$\cot 60^\circ = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

È lo stesso valore di $\tan 30^\circ$, perché 30° e 60° sono complementari.

2. Seno, coseno e tangente in altri quadranti

Testo. Calcola seno, coseno e tangente di $\frac{2\pi}{3}$ e di $\frac{5\pi}{4}$.

$\frac{2\pi}{3}$ è 120°, nel II quadrante, e $\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$: il riferimento è $\frac{\pi}{3}$. Nel II quadrante il seno è positivo e il coseno negativo:

$$\begin{gathered} \sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \qquad \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} \\[6pt] \tan\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}/2}{-1/2} = -\sqrt{3} \end{gathered}$$

$\frac{5\pi}{4}$ è 225°, nel III quadrante, e $\frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}$: il riferimento è $\frac{\pi}{4}$. Seno e coseno sono entrambi negativi, quindi il loro rapporto è positivo:

$$\begin{gathered} \sin\frac{5\pi}{4} = \cos\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \\[6pt] \tan\frac{5\pi}{4} = 1 \end{gathered}$$

La tangente è negativa nel II quadrante e positiva nel III, come prevedono i segni.

3. Un’espressione con risultato esatto

Testo. Calcola il valore esatto di

$$F = \frac{\cos\frac{\pi}{3} + \sin\frac{3\pi}{2}}{\tan\frac{5\pi}{6}}$$

Al numeratore, $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ e $\sin\frac{3\pi}{2} = -1$ (il punto è $(0, -1)$), quindi il numeratore vale $\frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$. Al denominatore, $\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$ è nel II quadrante, dove la tangente è negativa: $\tan\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Dividere per una frazione vuol dire moltiplicare per la sua reciproca:

$$\begin{gathered} F = \frac{-1/2}{-\sqrt{3}/3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} \\ F = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

Nell’ultimo passaggio abbiamo razionalizzato moltiplicando sopra e sotto per $\sqrt{3}$. Il risultato è $F = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$, positivo perché è il rapporto di due numeri negativi.

4. Leggere la tabella al contrario

Testo. Trova tutti gli angoli $x$ con $0 \leq x < 2\pi$ tali che: a) $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$; b) $\tan x = -1$.

a) Senza segno, $\frac{\sqrt{3}}{2}$ è il coseno di $\frac{\pi}{6}$: il riferimento è $\frac{\pi}{6}$. Il coseno è negativo a sinistra dell’asse $y$, nel II e nel III quadrante:

$$\begin{gathered} x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \\ x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \end{gathered}$$

b) Senza segno, 1 è la tangente di $\frac{\pi}{4}$: il riferimento è $\frac{\pi}{4}$. La tangente è negativa nel II e nel IV quadrante:

$$\begin{gathered} x = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \\ x = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \end{gathered}$$

Controllo: $\tan\frac{7\pi}{4} = \frac{-\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = -1$. Le soluzioni sono $\frac{5\pi}{6}$ e $\frac{7\pi}{6}$ per a), $\frac{3\pi}{4}$ e $\frac{7\pi}{4}$ per b). Per la tangente le due soluzioni differiscono sempre di $\pi$, perché la tangente ha periodo $\pi$.

5. Angoli negativi e oltre il giro

Testo. Calcola $\sin\frac{23\pi}{6}$, $\cos\left(-\frac{5\pi}{3}\right)$ e $\tan 1020^\circ$.

Un giro è $2\pi = \frac{12\pi}{6}$, quindi $\frac{23\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$: IV quadrante, riferimento $\frac{\pi}{6}$, seno negativo. Per $-\frac{5\pi}{3}$ aggiungiamo un giro, $2\pi = \frac{6\pi}{3}$: $-\frac{5\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$. Per 1020° togliamo due giri, $1020^\circ - 720^\circ = 300^\circ = 360^\circ - 60^\circ$: IV quadrante, tangente negativa.

$$\begin{gathered} \sin\frac{23\pi}{6} = \sin\frac{11\pi}{6} = -\frac{1}{2} \\ \cos\left(-\frac{5\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \\ \tan 1020^\circ = \tan 300^\circ = -\sqrt{3} \end{gathered}$$

Per la tangente potevi anche usare il periodo di 180°: $1020^\circ - 5 \cdot 180^\circ = 120^\circ$, e $\tan 120^\circ = -\sqrt{3}$, lo stesso risultato.

6. Un esercizio da esame

Testo. a) Calcola il valore esatto di

$$G = \frac{\sqrt{3}\,\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) - \tan\left(-\frac{7\pi}{4}\right)}{\cos 150^\circ}$$

b) Verifica che per $x = \frac{2\pi}{3}$ vale $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, e che invece $\cos 2x \neq 2\cos x$.

a) Un termine alla volta:

• il seno è dispari, quindi $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ e $\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3}{2}$;
• $-\frac{7\pi}{4} + 2\pi = \frac{\pi}{4}$, quindi $\tan\left(-\frac{7\pi}{4}\right) = \tan\frac{\pi}{4} = 1$;
• $150^\circ = 180^\circ - 30^\circ$ è nel II quadrante: $\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$$\begin{gathered} G = \frac{-\frac{3}{2} - 1}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{-\frac{5}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ G = \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \end{gathered}$$

Il risultato è $G = \frac{5\sqrt{3}}{3} \approx 2{,}887$.

b) Con $x = \frac{2\pi}{3}$ si ha $2x = \frac{4\pi}{3}$, nel III quadrante con riferimento $\frac{\pi}{3}$: $\cos\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}$. Il secondo membro, con $\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$1 - 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$$

I due membri coincidono. Invece $2\cos\frac{2\pi}{3} = -1$, diverso da $-\frac{1}{2}$. Una verifica in un punto non dimostra un’identità (serve la dimostrazione delle formule di duplicazione), ma un solo controllo che fallisce basta a smascherare una formula sbagliata.

Altri esercizi su tutto il capitolo, dagli archi associati alle funzioni inverse, li trovi negli esercizi svolti sulle funzioni goniometriche.

In sintesi

• Seno: $0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1$ per $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$; il coseno ha gli stessi valori in ordine inverso.
• Tangente: $0, \frac{\sqrt{3}}{3}, 1, \sqrt{3}$; in $\frac{\pi}{2}$ non esiste (e non vale $\infty$).
• I valori vengono, con il teorema di Pitagora, da metà di un triangolo equilatero, di altezza $\frac{\sqrt{3}}{2}$, e da metà di un quadrato, di diagonale $\sqrt{2}$.
• Sugli assi $P$ vale $(1, 0)$, $(0, 1)$, $(-1, 0)$, $(0, -1)$ per $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$.
• Negli altri quadranti: riporta l’angolo tra 0 e $2\pi$, trova quadrante e angolo di riferimento (dall’asse $x$), metti i segni.
• Al contrario: un valore di seno o coseno strettamente tra $-1$ e $1$ corrisponde a due angoli in $[0, 2\pi)$.
• Calcolatrice: controlla sempre DEG o RAD.

Ora che sappiamo calcolare seno, coseno e tangente in tanti punti, possiamo disegnarne i grafici: grafici delle funzioni goniometriche.