Disequazioni lineari e omogenee in seno e coseno: metodi ed esercizi svolti

Una disequazione lineare in seno e coseno ha la forma $a\sin x + b\cos x > c$ (oppure con $<$, $\geq$, $\leq$): seno e coseno compaiono entrambi, al primo grado, come in $\sin x + \sqrt{3}\cos x > 1$ o nel classico $\sin x > \cos x$. Le loro parenti strette sono le disequazioni omogenee goniometriche, come $\sin^2 x - 4\sin x\cos x + 3\cos^2 x < 0$, in cui ogni termine ha lo stesso grado. Le incontri negli esercizi d’esame di Analisi 1 e quando studi il segno o il dominio di una funzione goniometrica. Nelle equazioni lineari in seno e coseno abbiamo visto tre metodi: l’angolo aggiunto, le formule parametriche e la retta che taglia la circonferenza. Per le disequazioni i più comodi sono il primo e il terzo. In questa pagina vediamo l’angolo aggiunto, quando la disequazione è sempre vera o impossibile, il semipiano con il punto di prova, perché le parametriche convengono meno, il caso $\sin x > \cos x$, un angolo non notevole, le omogenee con il controllo dei punti in cui $\cos x = 0$, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Che cosa sono

Definizione. Una disequazione lineare in seno e coseno è una disequazione del tipo

$$a\sin x + b\cos x > c$$

(o con $<$, $\geq$, $\leq$), con $a$, $b$, $c$ reali e $a$, $b$ non entrambi nulli. L’incognita $x$ è in radianti, e seno e coseno devono avere lo stesso argomento: $\sin 2x - \cos 2x > 1$ è lineare nell’angolo $2x$.

Se $a = 0$ oppure $b = 0$ resta una disequazione elementare. Se $c = 0$, come in $\sin x > \cos x$, la disequazione è omogenea di primo grado e ha un’insidia tutta sua. Rispetto alle equazioni cambia una cosa: non cerchi più dei punti, ma degli archi di circonferenza.

Primo metodo: l’angolo aggiunto

L’idea è fondere seno e coseno in un’unica sinusoide. Come si dimostra nella pagina sulle equazioni lineari, per ogni $x$ reale

$$a\sin x + b\cos x = R\sin(x + \varphi)$$ $$\begin{gathered} \text{con} \quad R = \sqrt{a^2 + b^2}, \\ \cos\varphi = \frac{a}{R}, \quad \sin\varphi = \frac{b}{R} \end{gathered}$$

$R$ è positivo, quindi dividere per $R$ non cambia il verso, e $a\sin x + b\cos x > c$ diventa

$$\sin(x + \varphi) > \frac{c}{R}$$

una disequazione elementare con argomento composto. L’angolo $\varphi$ va scelto guardando entrambi i segni: $\cos\varphi$ ha il segno di $a$ e $\sin\varphi$ quello di $b$. La scorciatoia $\varphi = \arctan\frac{b}{a}$ è giusta solo se $a > 0$; se $a < 0$ bisogna aggiungere $\pi$.

Esempio 1. $\sin x + \sqrt{3}\cos x > 1$.

Qui $a = 1$, $b = \sqrt{3}$ e $R = \sqrt{1 + 3} = 2$. L’angolo ha $\cos\varphi = \frac{1}{2}$ e $\sin\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, quindi $\varphi = \frac{\pi}{3}$:

$$\begin{gathered} \sin x + \sqrt{3}\cos x \\ {} = 2\left(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) \\ {} = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \end{gathered}$$

La disequazione diventa $\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) > \frac{1}{2}$. Sulla circonferenza goniometrica il seno supera $\frac{1}{2}$ sull’arco tra $\frac{\pi}{6}$ e $\frac{5\pi}{6}$, quindi

$$\begin{gathered} \frac{\pi}{6} + 2k\pi < x + \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \\ {} \iff -\frac{\pi}{6} + 2k\pi < x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi \end{gathered}$$

Controllo: per $x = 0$, che sta nell’intervallo, $0 + \sqrt{3} \approx 1{,}73 > 1$ è vero; per $x = \pi$, che non ci sta, $0 - \sqrt{3} < 1$ e la disequazione è falsa.

La scaletta

1. Calcola $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ e confronta $c$ con $-R$ e con $R$: a volte hai già finito.
2. Trova $\varphi$ da $\cos\varphi = \frac{a}{R}$ e $\sin\varphi = \frac{b}{R}$, guardando i segni.
3. Dividi per $R$: ottieni $\sin(x + \varphi) > \frac{c}{R}$, con lo stesso verso.
4. Risolvi la disequazione elementare nell’incognita $x + \varphi$, con l’estremo sinistro dell’arco minore del destro: da $\sin z < \frac{1}{2}$ segue $\frac{5\pi}{6} < z < \frac{13\pi}{6}$, non $\frac{5\pi}{6} < z < \frac{\pi}{6}$.
5. Sottrai $\varphi$ a tutti i membri, aggiungi $2k\pi$ e controlla con un valore di prova.

Quando è sempre vera o impossibile

Il seno assume tutti e soli i valori tra $-1$ e $1$, quindi la sinusoide $R\sin(x + \varphi)$ assume tutti e soli i valori tra $-R$ e $R$. Confrontando $c$ con il minimo $-R$ e il massimo $R$ sai subito che aspetto ha la soluzione.

Teorema. Siano $f(x) = a\sin x + b\cos x$, con $a$ e $b$ non entrambi nulli, e $R = \sqrt{a^2 + b^2}$. Allora:

Valori di $c$	$f(x) > c$	$f(x) \geq c$
$c < -R$	ogni $x$	ogni $x$
$c = -R$	ogni $x$ tranne i minimi	ogni $x$
$-R < c < R$	un arco per giro	un arco per giro
$c = R$	nessuna	solo i massimi
$c > R$	nessuna	nessuna

Perché è vero. Se $c < -R$, anche il valore più basso della sinusoide supera $c$; se $c \geq R$, nemmeno il più alto lo supera. Nei casi $c = \pm R$ decide l’uguaglianza, che il $\geq$ accetta e il $>$ no. Altrimenti la retta $y = c$ taglia ogni onda in due punti, e tra i due la curva sta sopra. Con $<$ e $\leq$ i ruoli si scambiano: $f(x) < c$ è sempre vera se $c > R$, impossibile se $c \leq -R$.

La figura mostra l’esempio 1: la sinusoide $2\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ oscilla tra $y = -2$ e $y = 2$, e le soluzioni sono gli intervalli in cui sta sopra la retta $y = 1$, lunghi $\frac{2\pi}{3}$ e ripetuti a ogni giro.

Con lo stesso primo membro: $\sin x + \sqrt{3}\cos x \geq 2$ è vera solo dove $\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1$, cioè nei punti di massimo $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$; $\sin x + \sqrt{3}\cos x > -2$ è vera per ogni $x$ tranne i punti di minimo, $x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$; $\sin x + \sqrt{3}\cos x > 3$ è impossibile.

Secondo metodo: retta e circonferenza

Chiama $X = \cos x$ e $Y = \sin x$, le coordinate del punto della circonferenza goniometrica che corrisponde all’angolo $x$. Il coseno è l’ascissa, quindi $a\sin x + b\cos x > c$ diventa

$$bX + aY > c$$

Non è una retta, ma un semipiano: i punti che stanno da una parte della retta $bX + aY = c$. Le soluzioni sono i punti della circonferenza che ci cadono dentro, cioè un arco. Il metodo:

1. trova i punti in cui la retta taglia la circonferenza, con il sistema tra $bX + aY = c$ e $X^2 + Y^2 = 1$, e i loro angoli;
2. scegli l’arco con un punto di prova, fuori dalla retta, da sostituire nella disequazione;
3. scrivi l’arco in senso antiorario, con gli estremi inclusi solo con $\geq$ o $\leq$.

Di nuovo l’esempio 1. $\sin x + \sqrt{3}\cos x > 1$ diventa $\sqrt{3}X + Y > 1$. Dalla retta $Y = 1 - \sqrt{3}X$; sostituendo nella circonferenza:

$$\begin{gathered} X^2 + (1 - \sqrt{3}X)^2 = 1 \\ {} \iff 4X^2 - 2\sqrt{3}X = 0 \\ {} \iff X = 0 \ \text{ oppure } \ X = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

I punti sono $(0, 1)$ e $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right)$, cioè gli angoli $\frac{\pi}{2}$ e $-\frac{\pi}{6}$. Il punto di prova più comodo è l’origine: $\sqrt{3} \cdot 0 + 0 > 1$ è falso, quindi le soluzioni stanno dalla parte opposta. È l’arco da $-\frac{\pi}{6}$ a $\frac{\pi}{2}$, in alto nella figura, come con l’angolo aggiunto. In basso c’è il caso $\sin x > \cos x$.

La regola dell’origine. Se $c \neq 0$ la retta non passa per il centro, e il semipiano che contiene il centro contiene anche l’arco più lungo. Quindi, se l’origine soddisfa la disequazione, le soluzioni sono l’arco più lungo; se no, quello più corto, dalla parte opposta. Con il $>$ l’origine dà $0 > c$, vero esattamente quando $c < 0$: nell’esempio 1, con $c = 1$, l’arco è corto, lungo $\frac{2\pi}{3}$. Se $c = 0$ l’origine sta sulla retta: si prova un altro punto, per esempio $(0, 1)$, cioè l’angolo $\frac{\pi}{2}$.

Quando la retta non taglia la circonferenza. La distanza del centro dalla retta è $d = \frac{|c|}{R}$. Se $|c| > R$ la circonferenza sta tutta da una parte e la disequazione è sempre vera o impossibile; con $|c| = R$ la retta è tangente. È la tabella di prima, vista con la geometria.

Perché le formule parametriche convengono meno

Le formule parametriche funzionano, ma costano di più. Con $t = \tan\frac{x}{2}$, moltiplicando per $1 + t^2 > 0$, l’esempio 1 diventa

$$\begin{gathered} 2t + \sqrt{3}\,(1 - t^2) > 1 + t^2 \\ {} \iff (1 + \sqrt{3})\,t^2 - 2t + 1 - \sqrt{3} < 0 \end{gathered}$$

Le radici sono $t = 1$ e $t = \sqrt{3} - 2$, e servono i valori interni. Per tornare alla $x$ devi riconoscere che $\sqrt{3} - 2 = \tan\left(-\frac{\pi}{12}\right)$, ricavare $-\frac{\pi}{12} < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{4}$ e raddoppiare: $-\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2}$. Infine devi controllare a parte $x = \pi + 2k\pi$, dove $\tan\frac{x}{2}$ non esiste: qui $\sin\pi + \sqrt{3}\cos\pi = -\sqrt{3}$, che non supera 1.

Tre fastidi: radici in $t$ poco riconoscibili anche con angoli notevoli, il passaggio dagli intervalli di $t$ a quelli di $x$, e il punto $x = \pi$, che quando è soluzione rischia di sparire da un estremo dell’arco (esercizio 2). Per questo conviene l’angolo aggiunto, con la retta come controllo.

Il caso senza termine noto: sin x > cos x

Esempio 2. $\sin x > \cos x$.

La tentazione è dividere per $\cos x$ e scrivere $\tan x > 1$, cioè $\frac{\pi}{4} + k\pi < x < \frac{\pi}{2} + k\pi$. È sbagliato: per $x = \pi$ si ha $\sin\pi = 0 > \cos\pi = -1$, vero, ma $\pi$ non sta in quella soluzione. Il motivo: $\cos x$ è negativo in metà del giro, e dividere per un numero negativo inverte il verso. Per dividere bisogna distinguere i casi, sul giro da $-\frac{\pi}{2}$ a $\frac{3\pi}{2}$:

• dove $\cos x > 0$, cioè $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$, il verso resta: $\tan x > 1$, quindi $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$;
• dove $\cos x < 0$, cioè $\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}$, il verso si inverte: $\tan x < 1$. In questo intervallo la tangente cresce da $-\infty$ a $+\infty$ e vale 1 in $\frac{5\pi}{4}$, quindi $\frac{\pi}{2} < x < \frac{5\pi}{4}$;
• dove $\cos x = 0$: in $x = \frac{\pi}{2}$ si ha $1 > 0$, vero; in $x = -\frac{\pi}{2}$ si ha $-1 > 0$, falso.

Mettendo insieme i tre pezzi, con il punto $\frac{\pi}{2}$ che salda i primi due:

$$\frac{\pi}{4} + 2k\pi < x < \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$$

Nota il periodo: $2k\pi$, non $k\pi$, perché nei due casi la disequazione nella tangente è diversa.

Con l’angolo aggiunto è molto più rapido: $\sin x - \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$, e la disequazione diventa $\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) > 0$:

$$\begin{gathered} 2k\pi < x - \frac{\pi}{4} < \pi + 2k\pi \\ {} \iff \frac{\pi}{4} + 2k\pi < x < \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \end{gathered}$$

Con il disegno è immediato: $Y > X$ è il semipiano sopra la bisettrice $Y = X$, che taglia la circonferenza in $\frac{\pi}{4}$ e $\frac{5\pi}{4}$ (in basso nella figura, con il punto di prova $(0, 1)$). In generale, con $c = 0$ la retta passa per il centro e la soluzione di $a\sin x + b\cos x > 0$ è sempre mezzo giro: $-\varphi + 2k\pi < x < \pi - \varphi + 2k\pi$.

Un angolo non notevole, con la calcolatrice

Esempio 3. $4\sin x + 3\cos x \geq 2$.

$R = \sqrt{16 + 9} = 5$, e $2$ sta tra $-5$ e $5$: la soluzione è un arco per giro. L’angolo ha $\cos\varphi = \frac{4}{5}$ e $\sin\varphi = \frac{3}{5}$, nel primo quadrante; siccome $a = 4$ è positivo, con la calcolatrice in radianti

$$\varphi = \arctan\frac{3}{4} \approx 0{,}6435$$

circa $36{,}87^\circ$. La disequazione diventa $\sin(x + \varphi) \geq \frac{2}{5}$. Con $\alpha = \arcsin\frac{2}{5} \approx 0{,}4115$, il seno è almeno $\frac{2}{5}$ sull’arco da $\alpha$ a $\pi - \alpha$, estremi compresi:

$$\begin{gathered} \alpha \leq x + \varphi \leq \pi - \alpha \\ {} \iff \alpha - \varphi \leq x \leq \pi - \alpha - \varphi \end{gathered}$$

Con i numeri:

$$\begin{gathered} \alpha - \varphi \approx 0{,}4115 - 0{,}6435 \approx -0{,}232 \\ \pi - \alpha - \varphi \approx 2{,}087 \end{gathered}$$

e quindi la soluzione è

$$-0{,}232 + 2k\pi \leq x \leq 2{,}087 + 2k\pi$$

Controllo con $x = 0$: $3 \geq 2$, vero. L’arco è lungo circa $2{,}32$, meno di mezzo giro, come prevede la regola dell’origine con $c > 0$. In $[0, 2\pi)$: $0 \leq x \leq 2{,}087$ oppure $6{,}051 \leq x < 2\pi$.

Le disequazioni omogenee di secondo grado

Una disequazione è omogenea di secondo grado se contiene solo termini di grado 2 in seno e coseno:

$$a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x > 0$$

(qui $c$ è il coefficiente di $\cos^2 x$). Come nelle equazioni omogenee, si divide per $\cos^2 x$ e resta una disequazione di secondo grado in $\tan x$. È lecito perché, dove $\cos x \neq 0$, il quadrato $\cos^2 x$ è positivo e il verso non cambia. Restano fuori i punti $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, dove $\cos x = 0$ e $\sin^2 x = 1$, quindi il primo membro vale $a$: vanno provati a parte, nella disequazione di partenza.

La scaletta.

1. Un termine noto $d$ si scrive $d\,(\sin^2 x + \cos^2 x)$, portando tutto a sinistra.
2. Prova i punti $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ nella disequazione.
3. Dove $\cos x \neq 0$ dividi per $\cos^2 x$ e risolvi $at^2 + bt + c > 0$, con $t = \tan x$.
4. Torna alla $x$ in $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, dove la tangente è crescente.
5. Aggiungi i punti del passo 2, se sono soluzioni, e il periodo $k\pi$, quello della tangente.

Esempio 4: i punti da escludere. $\sin^2 x - 4\sin x\cos x + 3\cos^2 x < 0$.

In $x = \frac{\pi}{2}$ la disequazione diventa $1 < 0$, falso: i punti $\frac{\pi}{2} + k\pi$ non sono soluzioni. Altrove, dividendo per $\cos^2 x > 0$:

$$\begin{gathered} \tan^2 x - 4\tan x + 3 < 0 \\ {} \iff 1 < \tan x < 3 \end{gathered}$$

perché le radici sono 1 e 3 (somma 4, prodotto 3) e servono i valori interni. Nell’intervallo $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ significa $\frac{\pi}{4} < x < \arctan 3$, con $\arctan 3 \approx 1{,}249$:

$$\frac{\pi}{4} + k\pi < x < \arctan 3 + k\pi$$

Controllo con $x = 1$, tra $0{,}785$ e $1{,}249$: il primo membro vale circa $-0{,}23$, negativo.

Esempio 5: i punti da aggiungere, in due modi. $\sin^2 x + 2\sqrt{3}\sin x\cos x - \cos^2 x > 0$.

Con la tangente. In $x = \frac{\pi}{2}$ la disequazione diventa $1 > 0$, vero: i punti $\frac{\pi}{2} + k\pi$ sono soluzioni. Altrove si divide e si ottiene $\tan^2 x + 2\sqrt{3}\tan x - 1 > 0$. Con $\frac{\Delta}{4} = 3 + 1 = 4$ le radici sono $t = -\sqrt{3} \pm 2$, e servono i valori esterni:

$$\begin{gathered} \tan x < -2 - \sqrt{3} \\ \text{oppure}\;\; \tan x > 2 - \sqrt{3} \end{gathered}$$

Sono due tangenti notevoli, anche se non sembra: $2 - \sqrt{3} = \tan\frac{\pi}{12}$ e $-2 - \sqrt{3} = \tan\left(-\frac{5\pi}{12}\right)$, come si ricava con le formule di addizione della tangente, da $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$ e $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$. In $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ le soluzioni sono $-\frac{\pi}{2} < x < -\frac{5\pi}{12}$ oppure $\frac{\pi}{12} < x < \frac{\pi}{2}$. Il primo pezzo, spostato di $\pi$, diventa $\frac{\pi}{2} < x < \frac{7\pi}{12}$, e con il punto $\frac{\pi}{2}$, aggiunto, si salda al secondo. Resta un intervallo per periodo:

$$\frac{\pi}{12} + k\pi < x < \frac{7\pi}{12} + k\pi$$

Con l’angolo doppio. Le formule di duplicazione danno $\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x$ e $2\sin x\cos x = \sin 2x$, quindi il primo membro è lineare nell’angolo $2x$, e con l’angolo aggiunto ($R = 2$, $\cos\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\varphi = -\frac{1}{2}$):

$$\begin{gathered} \sqrt{3}\sin 2x - \cos 2x > 0 \\ {} \iff 2\sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) > 0 \end{gathered}$$

Il seno è positivo sul mezzo giro tra 0 e $\pi$:

$$\begin{gathered} 2k\pi < 2x - \frac{\pi}{6} < \pi + 2k\pi \\ {} \iff \frac{\pi}{12} + k\pi < x < \frac{7\pi}{12} + k\pi \end{gathered}$$

Lo stesso risultato, senza divisioni e senza punti da controllare. Con $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$, $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ e $\sin x\cos x = \frac{\sin 2x}{2}$ ogni omogenea diventa lineare in $\sin 2x$ e $\cos 2x$: conviene quando $R$ e $\varphi$ sono notevoli; se no, la tangente è più rapida.

Un controllo. Se $a \neq 0$, vicino a $\frac{\pi}{2}$ la tangente è molto grande in valore assoluto e il trinomio $at^2 + bt + c$ ha il segno di $a$, lo stesso che il primo membro ha in $\frac{\pi}{2}$. Quindi quei punti sono soluzioni proprio quando la soluzione trovata li circonda da entrambi i lati: se ti resta un buco isolato in $\frac{\pi}{2}$, hai dimenticato il controllo.

Esempio 6: quando manca sin² x. $2\sin x\cos x + \cos^2 x \leq 0$.

Qui $a = 0$: in $\frac{\pi}{2} + k\pi$ il primo membro vale 0, quindi con il $\leq$ quei punti sono soluzioni (con il $<$ no). Si può raccogliere $\cos x$,

$$\cos x\,(2\sin x + \cos x) \leq 0$$

e studiare il segno del prodotto, come nelle disequazioni fratte e con prodotti. Ma funziona anche la divisione, con il controllo: dove $\cos x \neq 0$ si ottiene $2\tan x + 1 \leq 0$, cioè $\tan x \leq -\frac{1}{2}$, che in $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ dà $-\frac{\pi}{2} < x \leq -\arctan\frac{1}{2}$, con $\arctan\frac{1}{2} \approx 0{,}464$. Aggiungendo i punti $\frac{\pi}{2} + k\pi$ e spostando di $\pi$:

$$\frac{\pi}{2} + k\pi \leq x \leq \pi - \arctan\frac{1}{2} + k\pi$$

Lo studio del segno in $[0, 2\pi)$ dà gli stessi intervalli: da $\frac{\pi}{2}$ a circa $2{,}678$ e da $\frac{3\pi}{2}$ a circa $5{,}820$.

Esempio 7: con il termine noto. $4\sin^2 x - 2\cos^2 x > 1$.

Con la relazione fondamentale il numero 1 diventa di grado 2, $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$, e si porta tutto a sinistra:

$$\begin{gathered} 4\sin^2 x - 2\cos^2 x > \sin^2 x + \cos^2 x \\ {} \iff 3\sin^2 x - 3\cos^2 x > 0 \end{gathered}$$

In $\frac{\pi}{2} + k\pi$ il testo dà $4 > 1$, vero: quei punti si aggiungono. Altrove, dividendo per $3\cos^2 x$, si ha $\tan^2 x > 1$, cioè $\tan x < -1$ oppure $\tan x > 1$, e mettendo insieme come nell’esempio 5:

$$\frac{\pi}{4} + k\pi < x < \frac{3\pi}{4} + k\pi$$

Più breve: $3\sin^2 x - 3\cos^2 x = -3\cos 2x$, e $\cos 2x < 0$ dà lo stesso risultato. Altri esempi di omogenee li trovi nelle disequazioni goniometriche di secondo grado.

Gli errori più comuni

• Dividere per cos x. Il coseno è negativo in metà del giro: $\sin x > \cos x$ non equivale a $\tan x > 1$. Distingui i casi o usa l’angolo aggiunto.
• Dimenticare i punti x = π/2 + kπ. Dopo la divisione per $\cos^2 x$ vanno provati nel testo: se sono soluzioni e non li aggiungi, restano dei buchi.
• Prendere φ = arctan(b/a) senza guardare il quadrante. Se $a < 0$ l’angolo è sbagliato di $\pi$ e risolvi un’altra disequazione (esercizio 3).
• Scegliere il semipiano sbagliato. Il punto di prova va sostituito nella disequazione, verso compreso: con $c > 0$ e il $>$ l’origine non la soddisfa, e l’arco giusto è quello corto.
• Scrivere R = a + b. $R = \sqrt{a^2 + b^2}$: per $4\sin x + 3\cos x$ vale 5, non 7.
• Invertire le conclusioni quando |c| supera R. $f(x) > c$ è sempre vera se $c < -R$ e impossibile se $c > R$: pensa alla sinusoide tra $-R$ e $R$ e alla retta $y = c$.
• Sbagliare il periodo dopo la divisione per cos² x. La tangente ha periodo $\pi$: con $2k\pi$ invece di $k\pi$ perdi metà degli intervalli.
• Scambiare X e Y. $X = \cos x$ è l’ascissa e $Y = \sin x$ l’ordinata: $a\sin x + b\cos x > c$ diventa $bX + aY > c$, non $aX + bY > c$.

Esercizi svolti

Altri esercizi, mescolati con gli altri tipi di disequazioni, li trovi negli esercizi svolti sulle disequazioni goniometriche.

1. Angolo aggiunto con valori notevoli

Testo. Risolvi $3\sin x + \sqrt{3}\cos x \geq \sqrt{6}$.

$R = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46$, maggiore di $\sqrt{6} \approx 2{,}45$: la soluzione è un arco per giro. L’angolo ha

$$\begin{gathered} \cos\varphi = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2} \end{gathered}$$

quindi $\varphi = \frac{\pi}{6}$, e dividendo per $2\sqrt{3}$:

$$\begin{gathered} \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \geq \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} \\ {} \iff \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \geq \frac{\sqrt{2}}{2} \end{gathered}$$

Il seno è almeno $\frac{\sqrt{2}}{2}$ sull’arco da $\frac{\pi}{4}$ a $\frac{3\pi}{4}$, estremi compresi:

$$\begin{gathered} \frac{\pi}{4} + 2k\pi \leq x + \frac{\pi}{6} \leq \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \\ {} \iff \frac{\pi}{12} + 2k\pi \leq x \leq \frac{7\pi}{12} + 2k\pi \end{gathered}$$

perché $\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{12}$ e $\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{12}$. Verifica nell’estremo $x = \frac{\pi}{12}$, cioè $15^\circ$: $3 \cdot 0{,}2588 + 1{,}7321 \cdot 0{,}9659 \approx 2{,}449 \approx \sqrt{6}$, l’uguaglianza.

La soluzione è $\frac{\pi}{12} + 2k\pi \leq x \leq \frac{7\pi}{12} + 2k\pi$: un arco lungo $\frac{\pi}{2}$ a ogni giro, centrato nel massimo $x = \frac{\pi}{3}$.

2. Retta e circonferenza con il punto di prova

Testo. Risolvi $2\sin x + \cos x \geq -1$ con il metodo della retta e della circonferenza.

Con $X = \cos x$ e $Y = \sin x$ la disequazione è il semipiano $X + 2Y \geq -1$. Intersechiamo la retta $X + 2Y = -1$, cioè $X = -1 - 2Y$, con la circonferenza:

$$\begin{gathered} (-1 - 2Y)^2 + Y^2 = 1 \\ {} \iff 5Y^2 + 4Y = 0 \\ {} \iff Y = 0 \ \text{ oppure } \ Y = -\frac{4}{5} \end{gathered}$$

• $Y = 0$ dà $X = -1$: il punto $(-1, 0)$, cioè l’angolo $\pi$.
• $Y = -\frac{4}{5}$ dà $X = -1 + \frac{8}{5} = \frac{3}{5}$: il punto $\left(\frac{3}{5}, -\frac{4}{5}\right)$, nel quarto quadrante, cioè l’angolo $-\arctan\frac{4}{3} \approx -0{,}927$.

Ora il punto di prova: l’origine dà $0 \geq -1$, vero. Le soluzioni stanno dalla parte del centro, sull’arco più lungo: quello che parte da $-\arctan\frac{4}{3}$ e, girando in senso antiorario, passa per l’angolo 0 e arriva a $\pi$. Gli estremi sono compresi, perché c’è il $\geq$:

$$-\arctan\frac{4}{3} + 2k\pi \leq x \leq \pi + 2k\pi$$

Verifica con $x = 0$: $1 \geq -1$, vero; nell’estremo $x = \pi$: $0 - 1 = -1$, l’uguaglianza. L’arco è lungo $\pi + \arctan\frac{4}{3} \approx 4{,}07$, più di mezzo giro.

Con le parametriche, moltiplicando per $1 + t^2$, i termini in $t^2$ si cancellerebbero e resterebbe $4t + 2 \geq 0$, cioè $t \geq -\frac{1}{2}$, che dà $-2\arctan\frac{1}{2} \leq x < \pi$ (ed è lo stesso estremo sinistro, perché $2\arctan\frac{1}{2} = \arctan\frac{4}{3}$). L’estremo $x = \pi$ manca: chi dimentica il controllo scrive $x < \pi$.

La soluzione è $-\arctan\frac{4}{3} + 2k\pi \leq x \leq \pi + 2k\pi$; in $[0, 2\pi)$, circa, $0 \leq x \leq \pi$ oppure $5{,}356 \leq x < 2\pi$.

3. Un angolo non notevole, con il quadrante

Testo. Risolvi $-3\sin x + \cos x > 2$ e scrivi le soluzioni in $[0, 2\pi)$ con tre decimali.

$R = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \approx 3{,}162$, e $2$ sta tra $-\sqrt{10}$ e $\sqrt{10}$: la soluzione è un arco per giro. L’angolo ha

$$\cos\varphi = -\frac{3}{\sqrt{10}}, \qquad \sin\varphi = \frac{1}{\sqrt{10}}$$

coseno negativo e seno positivo: secondo quadrante. Siccome $a = -3$ è negativo, all’arcotangente si aggiunge $\pi$:

$$\begin{gathered} \varphi = \pi + \arctan\left(-\frac{1}{3}\right) \\ {} \approx 3{,}1416 - 0{,}3218 = 2{,}8198 \end{gathered}$$

La disequazione diventa $\sin(x + \varphi) > \frac{2}{\sqrt{10}} \approx 0{,}6325$. Con la calcolatrice $\alpha = \arcsin\frac{2}{\sqrt{10}} \approx 0{,}6847$, e il seno supera quel valore tra $\alpha$ e $\pi - \alpha \approx 2{,}4569$:

$$\begin{gathered} \alpha < x + \varphi < \pi - \alpha \\ {} \iff -2{,}135 < x < -0{,}363 \end{gathered}$$

perché $0{,}6847 - 2{,}8198 \approx -2{,}135$ e $2{,}4569 - 2{,}8198 \approx -0{,}363$. Per entrare in $[0, 2\pi)$ aggiungi un giro, $2\pi \approx 6{,}2832$: ottieni $4{,}148 < x < 5{,}920$. Verifica con $x = 5$, che sta dentro: $-3\sin 5 + \cos 5 \approx 2{,}877 + 0{,}284 \approx 3{,}16 > 2$, vero.

La trappola. Con la scorciatoia $\varphi = \arctan\left(-\frac{1}{3}\right) \approx -0{,}322$ avresti trovato $1{,}006 < x < 2{,}779$. Ma per $x = 2$ si ha $-3\sin 2 + \cos 2 \approx -3{,}14$, che non supera 2: quell’angolo sbagliato risolve un’altra disequazione, $3\sin x - \cos x > 2$.

Le soluzioni in $[0, 2\pi)$ sono $4{,}148 < x < 5{,}920$: un solo arco, più corto di mezzo giro perché $c > 0$.

4. Un’omogenea con i punti da aggiungere

Testo. Risolvi $\sin^2 x - 2\sin x\cos x + (2\sqrt{3} - 3)\cos^2 x \geq 0$ e scrivi le soluzioni in $[0, 2\pi)$.

I punti con cos x = 0. In $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ si ha $\sin^2 x = 1$ e la disequazione diventa $1 \geq 0$, vera: sono soluzioni.

La divisione. Dove $\cos x \neq 0$, dividendo per $\cos^2 x > 0$ e ponendo $t = \tan x$:

$$t^2 - 2t + 2\sqrt{3} - 3 \geq 0$$

Qui $\frac{\Delta}{4} = 1 - (2\sqrt{3} - 3) = 4 - 2\sqrt{3}$, che è il quadrato $(\sqrt{3} - 1)^2$. Le radici sono $t = 1 \pm (\sqrt{3} - 1)$, cioè $\sqrt{3}$ e $2 - \sqrt{3} = \tan\frac{\pi}{12}$, come nell’esempio 5. Servono i valori esterni, estremi compresi:

$$\begin{gathered} \tan x \leq 2 - \sqrt{3} \\ \text{oppure}\;\; \tan x \geq \sqrt{3} \end{gathered}$$

In $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ significa $-\frac{\pi}{2} < x \leq \frac{\pi}{12}$ oppure $\frac{\pi}{3} \leq x < \frac{\pi}{2}$.

Mettere insieme. Il primo pezzo spostato di $\pi$ è $\frac{\pi}{2} < x \leq \frac{13\pi}{12}$; con il punto $\frac{\pi}{2}$, che è soluzione, si salda al secondo:

$$\frac{\pi}{3} + k\pi \leq x \leq \frac{13\pi}{12} + k\pi$$

In $[0, 2\pi)$ prendi $k = -1$, $k = 0$ e $k = 1$, e tagli quello che esce dall’intervallo:

$$\left[0, \frac{\pi}{12}\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \frac{13\pi}{12}\right] \cup \left[\frac{4\pi}{3}, 2\pi\right)$$

Controllo con $x = \frac{\pi}{6}$, tra $\frac{\pi}{12}$ e $\frac{\pi}{3}$: il primo membro vale $\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{4}(2\sqrt{3} - 3) = \sqrt{3} - 2 \approx -0{,}268$, quindi $\frac{\pi}{6}$ non è soluzione.

La disequazione è falsa solo tra $\frac{\pi}{12}$ e $\frac{\pi}{3}$ e tra $\frac{13\pi}{12}$ e $\frac{4\pi}{3}$, estremi esclusi: il resto del giro, compresi $\frac{\pi}{2}$ e $\frac{3\pi}{2}$, è soluzione.

5. Un’omogenea con il termine noto

Testo. Risolvi $5\sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x \leq 2$ e scrivi le soluzioni in $[0, 2\pi)$.

Il termine noto. Scrivi $2 = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x$ e porta tutto a sinistra:

$$3\sin^2 x + 2\sin x\cos x - \cos^2 x \leq 0$$

I punti con cos x = 0. Nel testo, per $x = \frac{\pi}{2}$, si ha $5 \leq 2$: falso. Quei punti non sono soluzioni.

La divisione. Dividendo per $\cos^2 x > 0$, con $t = \tan x$:

$$\begin{gathered} 3t^2 + 2t - 1 \leq 0 \\ {} \iff (3t - 1)(t + 1) \leq 0 \end{gathered}$$

Le radici sono $-1$ e $\frac{1}{3}$, e servono i valori interni: $-1 \leq \tan x \leq \frac{1}{3}$. Con $\arctan\frac{1}{3} \approx 0{,}322$:

$$-\frac{\pi}{4} + k\pi \leq x \leq \arctan\frac{1}{3} + k\pi$$

In $[0, 2\pi)$ servono $k = 0$, $k = 1$ e $k = 2$, tagliando quello che esce:

$$\begin{gathered} 0 \leq x \leq 0{,}322 \\ \text{oppure}\;\; \frac{3\pi}{4} \leq x \leq 3{,}463 \\ \text{oppure}\;\; \frac{7\pi}{4} \leq x < 2\pi \end{gathered}$$

dove $3{,}463 \approx \pi + 0{,}322$. Controllo con $x = 3$, nel secondo pezzo: il primo membro vale circa $0{,}80$, che non supera 2.

E con l’angolo doppio? Le formule di linearizzazione danno $3 - 2\cos 2x + \sin 2x \leq 2$, cioè $\sin 2x - 2\cos 2x \leq -1$: lineare, ma con $R = \sqrt{5}$ e un angolo non notevole. Qui la tangente è la strada migliore.

La soluzione è $-\frac{\pi}{4} + k\pi \leq x \leq \arctan\frac{1}{3} + k\pi$: un intervallo per periodo, che in $[0, 2\pi)$ appare in tre pezzi perché gli estremi ne tagliano uno.

6. Da esame: un parametro e un intervallo

Testo. Considera la disequazione $\sqrt{3}\sin x - \cos x \geq c$, con $c$ parametro reale.

1. Per quali $c$ è vera per ogni $x$ reale? Per quali non ha soluzioni?
2. Per quali $c$ è vera per ogni $x$ dell’intervallo $[0, \pi]$?
3. Per $c = 1$, risolvila nell’intervallo $[-\pi, 3\pi]$ e descrivi l’insieme delle soluzioni.

L’angolo aggiunto. $R = \sqrt{3 + 1} = 2$, $\cos\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$ e $\sin\varphi = -\frac{1}{2}$, quindi $\varphi = -\frac{\pi}{6}$ e

$$\sqrt{3}\sin x - \cos x = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$$

Il primo membro assume tutti e soli i valori tra $-2$ e $2$.

1. È vera per ogni $x$ se anche il minimo, $-2$, è almeno $c$: cioè per $c \leq -2$. Non ha soluzioni se nemmeno il massimo, $2$, arriva a $c$: cioè per $c > 2$. Per $c = 2$ restano solo i punti di massimo, $x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, cioè $x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$.

2. Su un intervallo più corto di un giro conta il minimo su quell’intervallo. Per $0 \leq x \leq \pi$ l’argomento $x - \frac{\pi}{6}$ va da $-\frac{\pi}{6}$ a $\frac{5\pi}{6}$: il seno sale fino a 1 e poi scende fino a $\frac{1}{2}$, quindi il minimo è all’inizio, $-\frac{1}{2}$. Il primo membro ha allora minimo $-1$, in $x = 0$, e la disequazione è vera in tutto $[0, \pi]$ se e solo se $c \leq -1$. Il valore $-2$ la sinusoide lo raggiunge in $x = \frac{5\pi}{3}$, fuori dall’intervallo.

3. Per $c = 1$: $\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) \geq \frac{1}{2}$, cioè

$$\begin{gathered} \frac{\pi}{6} + 2k\pi \leq x - \frac{\pi}{6} \leq \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \\ {} \iff \frac{\pi}{3} + 2k\pi \leq x \leq \pi + 2k\pi \end{gathered}$$

Quali archi cadono in $[-\pi, 3\pi]$? Proviamo i valori di $k$:

• $k = -1$ dà $\left[-\frac{5\pi}{3}, -\pi\right]$, che tocca l’intervallo solo nel punto $x = -\pi$;
• $k = 0$ dà $\left[\frac{\pi}{3}, \pi\right]$, tutto dentro;
• $k = 1$ dà $\left[\frac{7\pi}{3}, 3\pi\right]$, tutto dentro.

L’insieme delle soluzioni in $[-\pi, 3\pi]$ è quindi

$$\{-\pi\} \cup \left[\frac{\pi}{3}, \pi\right] \cup \left[\frac{7\pi}{3}, 3\pi\right]$$

Verifica del punto isolato: per $x = -\pi$ si ha $\sqrt{3} \cdot 0 - (-1) = 1 \geq 1$, vero; per $x = -\pi + 0{,}01$ il primo membro vale circa $0{,}983$, meno di 1. L’insieme è fatto di due archi e un punto isolato: chi guarda solo i valori di $k$ che danno archi interi perde $x = -\pi$, l’estremo di un arco tagliato dall’intervallo.

In sintesi

• Con l’angolo aggiunto $a\sin x + b\cos x > c$ diventa $R\sin(x + \varphi) > c$, con $R = \sqrt{a^2 + b^2}$, $\cos\varphi = \frac{a}{R}$ e $\sin\varphi = \frac{b}{R}$.
• Il primo membro va da $-R$ a $R$: $f(x) > c$ è sempre vera se $c < -R$, impossibile se $c \geq R$, altrimenti ha un arco di soluzioni per giro.
• Con $X = \cos x$ e $Y = \sin x$ la disequazione è il semipiano $bX + aY > c$; l’arco si sceglie con un punto di prova, e con $c \neq 0$ il più comodo è l’origine.
• Le formule parametriche funzionano, ma richiedono il controllo di $x = \pi + 2k\pi$.
• Per $\cos x$ e $\cos^3 x$ non si divide senza distinguere i casi: $\sin x > \cos x$ dà $\frac{\pi}{4} + 2k\pi < x < \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$.
• Omogenee: si divide per $\cos^2 x > 0$, si provano a parte i punti $\frac{\pi}{2} + k\pi$, dove il primo membro vale $a$, e il periodo è $k\pi$.
• Il termine noto $d$ diventa $d\,(\sin^2 x + \cos^2 x)$; l’angolo doppio rende l’omogenea lineare in $\sin 2x$ e $\cos 2x$.

Nel prossimo articolo le disequazioni con prodotti e frazioni, dove serve lo studio del segno: disequazioni goniometriche fratte e con prodotti.