Sistemi di disequazioni goniometriche e domini: metodo, segno ed esercizi svolti

Un sistema di disequazioni goniometriche è un gruppo di disequazioni con seno, coseno o tangente che devono valere tutte insieme. Non è un argomento isolato: lo incontri ogni volta che cerchi il dominio di una funzione con una radice, un logaritmo e un denominatore, e ogni volta che nello studio di funzione ne cerchi il segno. Per questo, all’esame di Analisi 1, quasi tutti gli esercizi con le funzioni goniometriche passano di qui. In questa pagina vediamo la differenza tra sistema e «oppure», il metodo dell’intersezione degli archi sulla circonferenza e sulla retta, come si sceglie il periodo comune, le doppie disequazioni, i domini con radici, logaritmi, frazioni, tangente e arcoseno, lo studio del segno, le soluzioni in un intervallo assegnato, il metodo grafico, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Ti serve saper risolvere le disequazioni goniometriche elementari con la circonferenza: qui le usiamo come mattoni.

Sistema o «oppure»: intersezione e unione

Pensa al bando di una borsa di studio che chiede «media almeno 27 e reddito sotto una certa soglia». Per vincerla devi rispettare entrambe le condizioni. Se il bando dicesse «media almeno 27 oppure reddito sotto la soglia», ne basterebbe una. In matematica funziona allo stesso modo.

Definizione. Se $S_1$ e $S_2$ sono gli insiemi delle soluzioni di due disequazioni:

• il sistema, scritto con la graffa, chiede che valgano entrambe: le sue soluzioni sono l’intersezione $S_1 \cap S_2$;
• la scrittura «prima disequazione oppure seconda» chiede che ne valga almeno una: le soluzioni sono l’unione $S_1 \cup S_2$.

Sono le stesse operazioni che hai visto con gli insiemi. La novità è che qui gli insiemi sono archi della circonferenza goniometrica.

Esempio 1. Risolviamo il sistema

$$\begin{cases} \sin x \geq \frac{1}{2} \\ \cos x < 0 \end{cases}$$

• La prima disequazione vale sull’arco da $\frac{\pi}{6}$ a $\frac{5\pi}{6}$, estremi inclusi (sopra la retta $Y = \frac{1}{2}$; sulla circonferenza chiamiamo $X$ e $Y$ gli assi, per non confonderli con l’angolo $x$).
• La seconda vale a sinistra dell’asse $Y$: da $\frac{\pi}{2}$ a $\frac{3\pi}{2}$, estremi esclusi.

Disegniamo i due archi su circonferenze concentriche e guardiamo dove si sovrappongono.

La parte comune va da $\frac{\pi}{2}$, escluso, a $\frac{5\pi}{6}$, incluso:

$$\frac{\pi}{2} + 2k\pi < x \leq \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$$

Se invece le due disequazioni fossero unite da «oppure», prenderemmo tutti i punti colorati, da $\frac{\pi}{6}$ fino a $\frac{3\pi}{2}$:

$$\frac{\pi}{6} + 2k\pi \leq x < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$$

Stesse due disequazioni, risultati molto diversi: il sistema copre un sesto di giro, l’unione due terzi.

Per gli estremi c’è una regola sicura: un estremo appartiene al sistema solo se soddisfa tutte le disequazioni, all’unione se ne soddisfa almeno una. In $\frac{\pi}{2}$ il seno vale 1, quindi la prima è vera, ma il coseno vale 0, quindi la seconda è falsa: $\frac{\pi}{2}$ sta nell’unione ma non nel sistema. In $\frac{5\pi}{6}$ invece sono vere entrambe.

Il metodo passo per passo

1. Condizioni di esistenza. Se compaiono tangenti o frazioni, scrivi subito dove esistono.
2. Risolvi ogni disequazione da sola, con i metodi del capitolo: elementari, riconducibili a elementari, di secondo grado, lineari e omogenee, fratte e prodotti.
3. Scegli il periodo comune $T$ e un intervallo di riferimento lungo $T$, lo stesso per tutte le disequazioni: di solito $[0, 2\pi)$, a volte $[-\pi, \pi)$.
4. Scrivi le soluzioni di ognuna in quell’intervallo. Una funzione di periodo $\pi$, come la tangente, in un intervallo lungo $2\pi$ dà due pezzi.
5. Interseca: archi concentrici sulla circonferenza oppure una riga per disequazione sulla retta.
6. Controlla gli estremi uno per uno: sono inclusi solo se vanno bene per tutte.
7. Aggiungi $kT$ a ogni intervallo trovato.

Proprietà. Se $T$ è un periodo di tutte le funzioni che compaiono nel sistema, l’insieme delle soluzioni si ripete identico ogni $T$.

Perché è vero. Se $T$ è un periodo di ogni funzione, sostituendo $x + T$ al posto di $x$ ogni funzione assume lo stesso valore, quindi ogni disequazione resta vera o resta falsa. Allora $x$ è soluzione se e solo se lo è $x + T$. Per questo basta risolvere in un intervallo lungo $T$ e poi aggiungere $kT$. Con un passo più corto del periodo comune, invece, nessuno ci garantisce che le soluzioni si ripetano.

Sulla circonferenza o sulla retta

• Sulla circonferenza, come nella figura dell’esempio 1: un arco per disequazione, su circonferenze di raggio diverso. Il vantaggio è che la circonferenza non ha un inizio e una fine, quindi gli archi non si spezzano mai.
• Sulla retta «a segmenti»: disegni l’intervallo di riferimento una volta per disequazione, una riga sotto l’altra. Tratto spesso dove la disequazione è vera, pallino pieno per un estremo incluso, pallino vuoto per uno escluso. Poi tracci una linea verticale tratteggiata in ogni punto di confine: le soluzioni sono i tratti in cui tutte le righe sono spesse.

La retta è più comoda con tanti punti di confine o con periodi diversi, come nella prossima sezione.

Periodi diversi: il periodo comune

Ricordiamo i periodi delle funzioni periodiche più comuni: $\sin x$ e $\cos x$ hanno periodo $2\pi$, $\tan x$ ha periodo $\pi$. Più in generale, $\sin(ax)$ e $\cos(ax)$ hanno periodo $\frac{2\pi}{|a|}$, $\tan(ax)$ ha periodo $\frac{\pi}{|a|}$.

Il periodo comune è il più piccolo numero positivo che è un multiplo intero di tutti i periodi: una specie di minimo comune multiplo.

Funzioni	Periodi	Comune
$\tan x$, $\cos x$	$\pi$ e $2\pi$	$2\pi$
$\sin x$, $\cos 2x$	$2\pi$ e $\pi$	$2\pi$
$\tan x$, $\sin 2x$	$\pi$ e $\pi$	$\pi$
$\sin \frac{x}{2}$, $\cos x$	$4\pi$ e $2\pi$	$4\pi$

Esempio 2. Risolviamo

$$\begin{cases} \tan x \geq 1 \\ 2\cos x + 1 > 0 \end{cases}$$

C.E.: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$. La tangente ha periodo $\pi$, il coseno $2\pi$: il periodo comune è $2\pi$ e lavoriamo in $[0, 2\pi)$.

• $\tan x \geq 1$: in un giro intero sono due pezzi, $\frac{\pi}{4} \leq x < \frac{\pi}{2}$ e $\frac{5\pi}{4} \leq x < \frac{3\pi}{2}$.
• $2\cos x + 1 > 0$, cioè $\cos x > -\frac{1}{2}$: $0 \leq x < \frac{2\pi}{3}$ oppure $\frac{4\pi}{3} < x < 2\pi$.

Mettiamo le due righe una sotto l’altra, con il risultato in fondo:

Il primo pezzo della tangente sta tutto dentro la seconda riga. Il secondo invece è tagliato: tra $\frac{5\pi}{4}$ e $\frac{4\pi}{3}$ la tangente è maggiore di 1, ma il coseno è minore o uguale a $-\frac{1}{2}$. Il risultato:

$$\begin{gathered} \frac{\pi}{4} + 2k\pi \leq x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi \\ \text{oppure}\;\; \frac{4\pi}{3} + 2k\pi < x < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \end{gathered}$$

Il passo più corto si può usare solo dopo aver controllato che l’insieme si ripete davvero: spostando di $\pi$ un pezzo devi ottenere esattamente l’altro, estremi compresi. Con il periodo comune, invece, la risposta è sempre giusta.

Le doppie disequazioni

Una doppia disequazione come $a < \sin x < b$ è un sistema scritto in forma compatta: $\sin x > a$ e $\sin x < b$ insieme. Sulla circonferenza diventa una fascia: orizzontale per il seno, che è l’ordinata, verticale per il coseno, che è l’ascissa.

Esempio 3. $-\frac{1}{2} \leq \sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Cerchiamo i punti nella fascia tra le rette $Y = -\frac{1}{2}$ (inclusa) e $Y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (esclusa). La fascia taglia la circonferenza in due archi, uno a destra e uno a sinistra:

• a destra, da $-\frac{\pi}{6}$, dove il seno vale $-\frac{1}{2}$, a $\frac{\pi}{3}$, dove vale $\frac{\sqrt{3}}{2}$;
• a sinistra, da $\frac{2\pi}{3}$ a $\frac{7\pi}{6}$.

$$\begin{gathered} -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \leq x < \frac{\pi}{3} + 2k\pi \\ \text{oppure}\;\; \frac{2\pi}{3} + 2k\pi < x \leq \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \end{gathered}$$

Gli estremi dove il seno vale $-\frac{1}{2}$ sono inclusi, quelli dove vale $\frac{\sqrt{3}}{2}$ esclusi. L’arco di destra passa per l’angolo 0: per non spezzarlo lo facciamo partire da $-\frac{\pi}{6}$ invece che da $\frac{11\pi}{6}$. Una volta trovati, gli archi si possono scrivere ognuno nel giro più comodo: lo stesso intervallo per tutti serve solo mentre si interseca.

Esempio 4. $0 < \cos x < \frac{1}{2}$.

Ora la fascia è verticale, tra l’asse $Y$ e la retta $X = \frac{1}{2}$. Taglia due archi simmetrici rispetto all’asse $X$: in alto da $\frac{\pi}{3}$ a $\frac{\pi}{2}$, in basso da $\frac{3\pi}{2}$ a $\frac{5\pi}{3}$. Tutti gli estremi sono esclusi:

$$\begin{gathered} \frac{\pi}{3} + 2k\pi < x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi \\ \text{oppure}\;\; \frac{3\pi}{2} + 2k\pi < x < \frac{5\pi}{3} + 2k\pi \end{gathered}$$

Il secondo arco è il simmetrico del primo, perché il coseno è pari: potresti scriverlo anche $-\frac{\pi}{2} + 2k\pi < x < -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$.

Con la tangente è ancora più semplice, perché nell’intervallo $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ è crescente: per esempio $-1 < \tan x \leq \sqrt{3}$ vale per $-\frac{\pi}{4} + k\pi < x \leq \frac{\pi}{3} + k\pi$.

I domini delle funzioni

Il dominio di una funzione è l’insieme delle $x$ per cui l’espressione ha senso. Ogni «pezzo delicato» della formula impone una condizione, e le condizioni devono valere tutte: il dominio è la soluzione di un sistema.

Il metodo è sempre lo stesso: scrivi l’elenco delle condizioni, risolvi ognuna, intersecale con il periodo comune.

Esempio 5: una radice. $f(x) = \sqrt{2\sin x - 1}$.

Serve $2\sin x - 1 \geq 0$, cioè $\sin x \geq \frac{1}{2}$. Gli estremi sono inclusi, perché la radice di zero esiste:

$$\frac{\pi}{6} + 2k\pi \leq x \leq \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$$

Esempio 6: un logaritmo. $f(x) = \ln(\cos x)$.

Serve $\cos x > 0$, con gli estremi esclusi perché $\ln 0$ non esiste:

$$-\frac{\pi}{2} + 2k\pi < x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$

Il dominio è fatto di infiniti intervalli separati: con le funzioni goniometriche è normale.

Esempio 7: una frazione. $f(x) = \dfrac{1}{2\cos x - 1}$.

Per un denominatore basta un’equazione: $2\cos x - 1 = 0$ per $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi$. Il dominio è fatto di tutti i numeri reali tranne questi:

$$x \neq \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi$$

Esempio 8: la radice di una tangente. $f(x) = \sqrt{\tan x}$.

Le condizioni sono due: la tangente deve esistere, $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, e deve essere $\tan x \geq 0$. Compare solo la tangente, quindi il periodo è $\pi$. Nell’intervallo di riferimento $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ la tangente è positiva o nulla da 0 in poi:

$$k\pi \leq x < \frac{\pi}{2} + k\pi$$

Sulla circonferenza sono il primo e il terzo quadrante. Qui il passo $k\pi$ è corretto, proprio perché non ci sono funzioni di periodo $2\pi$.

Esempio 9: un arcoseno. $f(x) = \arcsin(2\sin x)$.

L’arcoseno vuole l’argomento tra $-1$ e $1$:

$$\begin{gathered} -1 \leq 2\sin x \leq 1 \\ {} \iff -\frac{1}{2} \leq \sin x \leq \frac{1}{2} \end{gathered}$$

È una fascia orizzontale: gli archi sono $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right]$ intorno a 0 e $\left[\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\right]$ intorno a $\pi$. Spostando il primo di $\pi$ si ottiene esattamente il secondo, estremi compresi, quindi possiamo usare il passo $k\pi$:

$$-\frac{\pi}{6} + k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{6} + k\pi$$

Esempio 10: un vero sistema. $f(x) = \sqrt{2\sin x - 1} + \ln(\cos x)$.

Servono insieme le condizioni degli esempi 5 e 6. Prendiamole nello stesso intervallo di riferimento, $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$: la radice vuole $\frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{5\pi}{6}$, il logaritmo $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$. La parte comune:

$$\frac{\pi}{6} + 2k\pi \leq x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$

$\frac{\pi}{6}$ è incluso (il radicando vale zero e il coseno è positivo), $\frac{\pi}{2}$ no (lì il coseno vale zero).

Il segno di una funzione

Nello studio di funzione, dopo il dominio si cerca il segno: dove $f(x) > 0$, dove $f(x) = 0$ e dove $f(x) < 0$. È una disequazione da risolvere dentro il dominio. Se la funzione è periodica di periodo $T$, basta studiarla in un intervallo lungo $T$, come si fa nello studio di funzione goniometrica.

Esempio 11. Il segno di $f(x) = \dfrac{2\sin x - 1}{\cos x}$.

1. Dominio: $\cos x \neq 0$, cioè $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$. Numeratore e denominatore hanno periodo $2\pi$: lavoriamo in $[0, 2\pi)$.
2. Numeratore $N = 2\sin x - 1$: positivo per $\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}$, nullo agli estremi, negativo altrove.
3. Denominatore $D = \cos x$: positivo per $0 \leq x < \frac{\pi}{2}$ e per $\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$, negativo in mezzo.
4. Tabella, una riga per intervallo:

Intervallo	$N$, $D$	$f$
$[0, \frac{\pi}{6})$	$-$, $+$	$-$
$(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$	$+$, $+$	$+$
$(\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6})$	$+$, $-$	$-$
$(\frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2})$	$-$, $-$	$+$
$(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$	$-$, $+$	$-$

Quindi, aggiungendo il periodo:

$$\begin{gathered} f(x) > 0 \iff \frac{\pi}{6} + 2k\pi < x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi \\ \text{oppure}\;\; \frac{5\pi}{6} + 2k\pi < x < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \end{gathered}$$

La funzione si annulla in $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ e $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, ed è negativa negli altri punti del dominio. Controllo con $x = \pi$: $f(\pi) = \frac{0 - 1}{-1} = 1 > 0$, e infatti $\pi$ sta nel secondo intervallo positivo.

Il grafico mostra che $f$ cambia segno non solo dove si annulla, ma anche in $\frac{\pi}{2}$ e $\frac{3\pi}{2}$, dove non esiste. Nella tabella vanno messi tutti e due i tipi di punti: gli zeri e i punti esclusi dal dominio.

Quando la funzione si può riscrivere con una sola funzione goniometrica conviene farlo prima. Per esempio $\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ è positiva per $-\frac{\pi}{4} + 2k\pi < x < \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$: è il metodo dell’angolo aggiunto delle disequazioni lineari.

Le soluzioni in un intervallo assegnato

Spesso il testo dice «risolvi in $[0, \pi]$» o «studia il segno in $[-\pi, \pi]$». In quel caso il $+2k\pi$ sparisce: l’intervallo è semplicemente un’altra condizione del sistema. Si trova la soluzione generale, si danno a $k$ i valori che portano i pezzi dentro l’intervallo e si taglia quello che esce.

Esempio 12. Dove è positiva la funzione dell’esempio 11 nell’intervallo $[-\pi, \pi]$?

• Con $k = 0$: $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right)$ sta tutto dentro; di $\left(\frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}\right)$ resta solo la parte fino a $\pi$.
• Con $k = -1$: il secondo intervallo diventa $\left(-\frac{7\pi}{6}, -\frac{\pi}{2}\right)$, e dentro $[-\pi, \pi]$ ne resta la parte da $-\pi$ in poi. Il primo diventa $\left(-\frac{11\pi}{6}, -\frac{3\pi}{2}\right)$, tutto fuori.

Gli estremi $\pm\pi$ sono inclusi, perché lì $f$ vale 1:

$$\begin{gathered} -\pi \leq x < -\frac{\pi}{2} \;\;\text{oppure} \\ \frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2} \;\;\text{oppure}\;\; \frac{5\pi}{6} < x \leq \pi \end{gathered}$$

Sulla circonferenza l’arco da $\frac{5\pi}{6}$ a $\frac{3\pi}{2}$ è uno solo, ma nell’intervallo $[-\pi, \pi]$ viene spezzato in due pezzi dall’angolo $\pi$. Se il testo ti lascia libero, scegli l’intervallo che spezza meno archi; se lo impone, segui il testo.

Quando l’algebra non basta: i grafici

Le disequazioni che mescolano funzioni goniometriche e polinomi, come $\sin x > \frac{x}{2}$, non si risolvono con i passaggi algebrici: si confrontano i grafici, come nella risoluzione grafica delle equazioni goniometriche.

I grafici di $y = \sin x$ e $y = \frac{x}{2}$ si incontrano in tre punti: $x = 0$ e $x \approx \pm 1{,}895$. Fuori da $[-2, 2]$ non ce ne possono essere altri, perché lì la retta sta oltre la fascia tra $-1$ e $1$ in cui si muove il seno. I tre punti dividono la retta reale in quattro tratti: in ognuno la differenza $\sin x - \frac{x}{2}$ è continua e non si annulla, quindi non cambia segno (è il teorema degli zeri). Basta controllare un punto per tratto.

• Tra $0$ e $1{,}895$ il seno sta sopra: in $x = 1$, $\sin 1 \approx 0{,}84 > 0{,}5$.
• Per $x > 1{,}895$ sta sotto: in $x = 2$ la retta vale 1, mentre $\sin 2 \approx 0{,}91$.
• Per $x < 0$ la situazione è simmetrica, perché le due funzioni sono dispari: sopra per $x < -1{,}895$, sotto tra $-1{,}895$ e $0$.

$$\begin{gathered} x < -1{,}895 \;\;\text{oppure}\;\; 0 < x < 1{,}895 \\ \text{(circa)} \end{gathered}$$

Allo stesso modo, $\cos x > x$ vale per $x < 0{,}739$ circa: a sinistra dell’unico punto di incontro il coseno sta sopra la retta.

Gli errori più comuni

• Unire quando bisogna intersecare. In un sistema, e quindi in un dominio, devono valere tutte le condizioni: le soluzioni sono solo gli archi comuni.
• Usare intervalli di riferimento diversi. Se scrivi $\cos x > \frac{1}{2}$ come $\left(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right)$ e $\sin x < 0$ come $(\pi, 2\pi)$, sembra che non ci siano parti comuni. In $[0, 2\pi)$ la prima diventa $\left[0, \frac{\pi}{3}\right) \cup \left(\frac{5\pi}{3}, 2\pi\right)$ e l’intersezione è $\left(\frac{5\pi}{3}, 2\pi\right)$.
• Aggiungere il periodo sbagliato. Con tangente e coseno nello stesso sistema il passo è $2k\pi$, non $k\pi$.
• Comprimere con $k\pi$ due archi solo «simili». Due archi opposti e della stessa lunghezza non bastano: anche gli estremi inclusi ed esclusi devono corrispondere (lo vedi nell’esercizio 2).
• Sbagliare un estremo. È incluso solo se soddisfa tutte le disequazioni del sistema: controllali uno per uno.
• Dimenticare le condizioni di esistenza. Per $\sqrt{\tan x}$ non basta $\tan x \geq 0$: serve anche che la tangente esista.
• Studiare il segno fuori dal dominio. I punti in cui la funzione non esiste vanno esclusi, anche se attraversandoli il segno cambia.
• Lasciare il $+2k\pi$ in un intervallo assegnato, o dimenticare i pezzi che arrivano da altri valori di $k$.

Esercizi svolti

1. Un sistema nel quarto quadrante

Testo. Risolvi il sistema

$$\begin{cases} 2\cos x - 1 \geq 0 \\ \sin x < 0 \end{cases}$$

La prima disequazione equivale a $\cos x \geq \frac{1}{2}$: è l’arco a destra della retta $X = \frac{1}{2}$, da $-\frac{\pi}{3}$ a $\frac{\pi}{3}$, estremi inclusi. Questo arco contiene l’angolo 0, quindi conviene l’intervallo di riferimento $[-\pi, \pi)$, dove non si spezza.

La seconda vale nella metà inferiore della circonferenza: in $[-\pi, \pi)$ è $-\pi < x < 0$.

La parte comune va da $-\frac{\pi}{3}$ a $0$. Controlliamo gli estremi:

• in $-\frac{\pi}{3}$: $\cos x = \frac{1}{2}$, va bene per la prima; $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$, va bene per la seconda. Incluso;
• in $0$: $\sin 0 = 0$, che non è minore di zero. Escluso.

$$-\frac{\pi}{3} + 2k\pi \leq x < 2k\pi$$

È l’arco del quarto quadrante a destra della retta $X = \frac{1}{2}$. In $[0, 2\pi)$ lo stesso risultato si scrive $\frac{5\pi}{3} + 2k\pi \leq x < 2\pi + 2k\pi$.

2. Una doppia disequazione con estremi diversi

Testo. Risolvi $-1 < 2\cos x \leq 1$.

Dividendo per 2, che è positivo: $-\frac{1}{2} < \cos x \leq \frac{1}{2}$. È la fascia verticale tra la retta $X = -\frac{1}{2}$, esclusa, e la retta $X = \frac{1}{2}$, inclusa. In $[0, 2\pi)$:

• $\cos x \leq \frac{1}{2}$ per $\frac{\pi}{3} \leq x \leq \frac{5\pi}{3}$;
• $\cos x > -\frac{1}{2}$ per $0 \leq x < \frac{2\pi}{3}$ oppure $\frac{4\pi}{3} < x < 2\pi$.

L’intersezione è fatta di due archi, uno in alto e uno in basso:

$$\begin{gathered} \frac{\pi}{3} + 2k\pi \leq x < \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \\ \text{oppure}\;\; \frac{4\pi}{3} + 2k\pi < x \leq \frac{5\pi}{3} + 2k\pi \end{gathered}$$

I due archi sono opposti, ma non si possono riassumere con $k\pi$: spostando di $\pi$ il primo si ottiene $\left[\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right)$: includerebbe $\frac{4\pi}{3}$, dove $\cos x = -\frac{1}{2}$, ed escluderebbe $\frac{5\pi}{3}$, dove $\cos x = \frac{1}{2}$. Entrambe le cose sono sbagliate, quindi serve il passo $2k\pi$.

3. Un dominio con un buco

Testo. Trova il dominio della funzione

$$f(x) = \ln(2\sin x - 1) + \frac{1}{2\cos x + 1}$$

Le condizioni sono due:

$$\begin{cases} 2\sin x - 1 > 0 \\ 2\cos x + 1 \neq 0 \end{cases}$$

La prima equivale a $\sin x > \frac{1}{2}$: in $[0, 2\pi)$ è $\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}$. La seconda è un’equazione da escludere: $\cos x = -\frac{1}{2}$ per $x = \frac{2\pi}{3}$ e $x = \frac{4\pi}{3}$.

Dei due punti esclusi, solo $\frac{2\pi}{3}$ cade nell’arco della prima condizione: $\frac{4\pi}{3}$ è già fuori. L’arco perde quindi un punto:

$$\begin{gathered} \frac{\pi}{6} + 2k\pi < x < \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \\ \text{con}\;\; x \neq \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \end{gathered}$$

Il dominio è un arco «bucato»: in $\frac{2\pi}{3}$ il logaritmo esiste, ma la frazione no.

4. La radice di una tangente per un logaritmo

Testo. Trova il dominio della funzione

$$f(x) = \sqrt{\tan x} \cdot \ln(1 - 2\sin x)$$

Le condizioni da mettere a sistema sono tre:

$$\begin{cases} x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \\ \tan x \geq 0 \\ 1 - 2\sin x > 0 \end{cases}$$

La tangente ha periodo $\pi$, il seno $2\pi$: il periodo comune è $2\pi$, quindi lavoriamo in $[0, 2\pi)$.

• Le prime due insieme danno il primo e il terzo quadrante: $0 \leq x < \frac{\pi}{2}$ oppure $\pi \leq x < \frac{3\pi}{2}$.
• La terza equivale a $\sin x < \frac{1}{2}$: $0 \leq x < \frac{\pi}{6}$ oppure $\frac{5\pi}{6} < x < 2\pi$.

Del primo quadrante resta solo $\left[0, \frac{\pi}{6}\right)$. Il terzo quadrante, invece, sta tutto dentro $\left(\frac{5\pi}{6}, 2\pi\right)$ e resta intero:

$$\begin{gathered} 2k\pi \leq x < \frac{\pi}{6} + 2k\pi \\ \text{oppure}\;\; \pi + 2k\pi \leq x < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \end{gathered}$$

Controllo con $x = \pi$: $\sqrt{\tan \pi} = 0$ e $\ln(1 - 0) = 0$, quindi $f(\pi) = 0$ esiste. Con $x = \frac{\pi}{4}$, invece, $1 - 2\sin x = 1 - \sqrt{2} < 0$ e il logaritmo non esiste. Nota che il dominio non si ripete ogni $\pi$, anche se le condizioni sulla tangente sì: è la condizione sul seno a rompere la simmetria.

5. Un sistema con l’angolo doppio

Testo. Risolvi il sistema

$$\begin{cases} \cos 2x \geq 0 \\ \sin x > 0 \end{cases}$$

$\cos 2x$ ha periodo $\pi$, $\sin x$ ha periodo $2\pi$: il periodo comune è $2\pi$.

Per la prima, l’angolo $2x$ deve stare dove il coseno è positivo o nullo:

$$\begin{gathered} -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq 2x \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi \\ -\frac{\pi}{4} + k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{4} + k\pi \end{gathered}$$

Dando a $k$ i valori 0, 1 e 2 e tenendo solo ciò che cade in $[0, 2\pi)$, si ottengono tre pezzi: $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$, $\left[\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right]$ e $\left[\frac{7\pi}{4}, 2\pi\right)$. La seconda disequazione vale per $0 < x < \pi$. L’intersezione:

$$\begin{gathered} 2k\pi < x \leq \frac{\pi}{4} + 2k\pi \\ \text{oppure}\;\; \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \leq x < \pi + 2k\pi \end{gathered}$$

Controllo con la duplicazione: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \geq 0$ equivale a $\sin^2 x \leq \frac{1}{2}$, cioè $-\frac{\sqrt{2}}{2} \leq \sin x \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$. Insieme a $\sin x > 0$ diventa la doppia disequazione $0 < \sin x \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$, che dà proprio gli archi $\left(0, \frac{\pi}{4}\right]$ e $\left[\frac{3\pi}{4}, \pi\right)$.

6. Dominio e segno in un intervallo

Testo. Trova il dominio della funzione

$$f(x) = (2\cos x - 1)\ln(1 + \sin x)$$

e studiane il segno nell’intervallo $[-\pi, \pi]$.

Dominio. Serve $1 + \sin x > 0$, cioè $\sin x > -1$, vero ovunque tranne dove il seno vale $-1$. Il dominio è $x \neq -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$: in $[-\pi, \pi]$ va escluso solo $x = -\frac{\pi}{2}$.

Segno dei fattori in $[-\pi, \pi]$:

• $A = 2\cos x - 1$ è positivo per $-\frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{3}$, nullo in $\pm\frac{\pi}{3}$, negativo altrove;
• $B = \ln(1 + \sin x)$ è positivo quando $1 + \sin x > 1$, cioè $\sin x > 0$: per $0 < x < \pi$. È nullo dove $\sin x = 0$, cioè in $-\pi$, $0$ e $\pi$, e negativo per $-\pi < x < 0$, tranne in $-\frac{\pi}{2}$ dove non esiste.

Intervallo	$A$, $B$	$f$
$(-\pi, -\frac{\pi}{2})$	$-$, $-$	$+$
$(-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{3})$	$-$, $-$	$+$
$(-\frac{\pi}{3}, 0)$	$+$, $-$	$-$
$(0, \frac{\pi}{3})$	$+$, $+$	$+$
$(\frac{\pi}{3}, \pi)$	$-$, $+$	$-$

Quindi $f$ è positiva per $-\pi < x < -\frac{\pi}{3}$ con $x \neq -\frac{\pi}{2}$ e per $0 < x < \frac{\pi}{3}$; è negativa per $-\frac{\pi}{3} < x < 0$ e per $\frac{\pi}{3} < x < \pi$; si annulla in $-\pi$, $-\frac{\pi}{3}$, $0$, $\frac{\pi}{3}$ e $\pi$.

Attraversando $-\frac{\pi}{2}$ il segno non cambia, ma il punto va escluso lo stesso: lì il logaritmo non esiste. Controllo con $x = -\frac{\pi}{6}$: $A = \sqrt{3} - 1 > 0$ e $B = \ln\frac{1}{2} < 0$, quindi $f < 0$, come nella tabella.

In sintesi

• Sistema significa intersezione (devono valere tutte le condizioni), «oppure» significa unione (ne basta una).
• Metodo: risolvi ogni disequazione nello stesso intervallo di riferimento, interseca sulla circonferenza o sulla retta a segmenti, controlla gli estremi, aggiungi il periodo.
• Periodo comune: il più piccolo multiplo comune dei periodi. Con $\tan x$ (periodo $\pi$) e $\sin x$ o $\cos x$ (periodo $2\pi$) si usa $2k\pi$; il passo $k\pi$ solo se l’insieme si ripete davvero ogni $\pi$, estremi compresi.
• Doppia disequazione: è un sistema di due disequazioni; sulla circonferenza è una fascia orizzontale per il seno, verticale per il coseno.
• Domini: radicando $\geq 0$, argomento del logaritmo $> 0$, denominatore $\neq 0$, $A \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ per $\tan A$, argomento di arcoseno e arcocoseno tra $-1$ e $1$. Tutte a sistema.
• Segno: si studia nel dominio, su un periodo, con la tabella; la funzione può cambiare segno anche attraversando un punto escluso dal dominio.
• Intervallo assegnato: niente $+2k\pi$; si scelgono i valori di $k$ e si taglia ciò che esce.

Hai finito la teoria del capitolo: ora mettiti alla prova con gli esercizi svolti sulle disequazioni goniometriche.