Grafici di seno, coseno, tangente e cotangente: proprietà, simmetrie ed esercizi

Il grafico del seno è la famosa sinusoide: un’onda tra $-1$ e $1$, la forma di un suono puro e della corrente alternata. Accanto a lei ci sono la cosinusoide, la tangentoide con i suoi asintoti verticali e il grafico della cotangente. Servono di continuo: per risolvere a colpo d’occhio equazioni e disequazioni goniometriche, nei limiti, negli studi di funzione e per disegnare le sinusoidi della Fisica. In questa pagina vediamo come nascono i grafici dalla circonferenza goniometrica, le proprietà di seno, coseno, tangente e cotangente (dominio, immagine, periodo, parità, zeri, massimi e minimi, monotonia, segno, simmetrie), secante e cosecante, come si legge un grafico, l’approssimazione $\sin x \approx x$ per angoli piccoli, come si disegnano a mano, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Dai valori notevoli ai primi punti

Con i valori notevoli sappiamo calcolare seno e coseno in molti punti. Mettiamo $x$ sull’asse orizzontale, in radianti, e il valore della funzione su quello verticale. Ecco i punti tra $0$ e $\pi$, a passi di $\frac{\pi}{6}$:

$x$	$\sin x$	$\cos x$
$0$	$0$	$1$
$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{\pi}{2}$	$1$	$0$
$\dfrac{2\pi}{3}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$-\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{5\pi}{6}$	$\dfrac{1}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\pi$	$0$	$-1$

Per disegnarli serve $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87$. Il seno sale da 0 a 1 e torna a 0, il coseno scende da 1 a $-1$. E c’è un dettaglio: da $0$ a $\frac{\pi}{6}$ il seno sale di $0{,}5$, da $\frac{\pi}{3}$ a $\frac{\pi}{2}$ solo di circa $0{,}13$. Vicino al massimo la curva si appiattisce: non è una spezzata, è arrotondata.

Da $\pi$ a $2\pi$ non servono nuovi conti: i punti $x$ e $x + \pi$ della circonferenza sono opposti, quindi $\sin(x + \pi) = -\sin x$ e $\cos(x + \pi) = -\cos x$. La seconda metà di ogni grafico è la prima capovolta.

Dalla circonferenza al grafico

Perché proprio un’onda? Sulla circonferenza goniometrica, $P = (\cos x, \sin x)$ è il punto raggiunto da $A = (1, 0)$ percorrendo un arco lungo $x$, e il seno è la sua altezza. Mentre $P$ gira in senso antiorario, l’altezza parte da 0, sale a 1 in cima ($x = \frac{\pi}{2}$), torna a 0 a metà giro ($x = \pi$), scende a $-1$ in fondo ($x = \frac{3\pi}{2}$) e torna a 0 a fine giro. Poi ricomincia uguale.

Ora srotola la circonferenza: stendi l’arco lungo $x$ sull’asse orizzontale, come segmento da 0 a $x$, e sopra il suo estremo riporta l’altezza di $P$. Ottieni il grafico del seno.

Per il coseno si fa lo stesso con l’ascissa di $P$: 1 alla partenza, 0 in cima, $-1$ a metà giro, 0 in fondo, 1 a fine giro. Viene un’altra onda, che parte dal massimo.

Il grafico del seno: la sinusoide

Il grafico di $y = \sin x$ si chiama sinusoide (in alto nella figura; in basso c’è il coseno).

Le sue proprietà, con il motivo letto sulla circonferenza:

• Dominio $\mathbb{R}$, immagine $[-1, 1]$: l’altezza di $P$ va da $-1$ a $1$ e assume tutti i valori intermedi.
• Periodo $2\pi$. Un giro completo riporta $P$ nello stesso punto: $\sin(x + 2\pi) = \sin x$. Anche $4\pi$, $6\pi$, … sono periodi; il periodo minimo è il più piccolo $T > 0$ con $f(x + T) = f(x)$ per ogni $x$, ed è quello che si intende con «il periodo» (vedi le funzioni periodiche). Per il seno è $2\pi$: un periodo $T$ più piccolo darebbe $\sin\left(\frac{\pi}{2} + T\right) = \sin\frac{\pi}{2} = 1$, ma il seno vale 1 solo una volta ogni $2\pi$.
• Dispari. Gli archi $x$ e $-x$ portano in punti simmetrici rispetto all’asse orizzontale: $\sin(-x) = -\sin x$, e il grafico è simmetrico rispetto all’origine.
• Zeri in $x = k\pi$, dove $P$ sta sull’asse orizzontale.
• Massimo 1 in $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, minimo $-1$ in $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$ (che è lo stesso insieme di $-\frac{\pi}{2} + 2k\pi$).
• Monotonia. Strettamente crescente su $\left[-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi\right]$, dove $P$ sale dal fondo alla cima, e strettamente decrescente su $\left[\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\right]$, dove scende.
• Segno. Positivo per $2k\pi < x < \pi + 2k\pi$ (I e II quadrante), negativo per $\pi + 2k\pi < x < 2\pi + 2k\pi$.

Le simmetrie del grafico

• Ogni retta verticale per un massimo o un minimo, $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, è un asse di simmetria. Per $x = \frac{\pi}{2}$: gli archi $\frac{\pi}{2} + t$ e $\frac{\pi}{2} - t$ portano in punti simmetrici rispetto all’asse verticale, con la stessa altezza, quindi $\sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - t\right)$.
• Ogni zero $(k\pi, 0)$ è un centro di simmetria. Per $(\pi, 0)$: gli archi $\pi + t$ e $\pi - t$ portano in punti simmetrici rispetto all’asse orizzontale, quindi $\sin(\pi + t) = -\sin(\pi - t)$.

La forma, a parole

Vicino agli zeri la sinusoide è quasi un segmento obliquo, vicino ai massimi e ai minimi si appiattisce. Dove il seno è positivo la curva è concava, a cupola, dove è negativo è convessa, a coppa: lo dimostrerai con le derivate in concavità e flessi.

Il grafico del coseno: la cosinusoide

Il grafico di $y = \cos x$, la cosinusoide, è la sinusoide spostata. Il legame preciso è

$$\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$$

che dimostreremo con gli archi associati. Nelle trasformazioni dei grafici, $f(x + a)$ con $a > 0$ è il grafico di $f$ traslato a sinistra di $a$: la cosinusoide è la sinusoide traslata a sinistra di $\frac{\pi}{2}$. Controllo: il seno ha un massimo in $\frac{\pi}{2}$, il coseno in $0$, cioè $\frac{\pi}{2}$ più a sinistra.

Le proprietà del coseno:

• dominio $\mathbb{R}$, immagine $[-1, 1]$, periodo minimo $2\pi$;
• pari: i punti di $x$ e di $-x$ hanno la stessa ascissa, quindi $\cos(-x) = \cos x$ e il grafico è simmetrico rispetto all’asse $y$;
• zeri in $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$;
• massimo 1 in $x = 2k\pi$, minimo $-1$ in $x = \pi + 2k\pi$;
• strettamente decrescente su $[2k\pi, \pi + 2k\pi]$, strettamente crescente su $[\pi + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi]$;
• positivo per $-\frac{\pi}{2} + 2k\pi < x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ (I e IV quadrante), negativo per $\frac{\pi}{2} + 2k\pi < x < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$;
• assi di simmetria $x = k\pi$, nei massimi e nei minimi, e centri di simmetria negli zeri $\left(\frac{\pi}{2} + k\pi, 0\right)$.

Il grafico della tangente: la tangentoide

Sulla circonferenza, la tangente è l’ordinata del punto $T$ in cui la retta $OP$ incontra la retta verticale $X = 1$. Mentre $x$ va da $-\frac{\pi}{2}$ a $\frac{\pi}{2}$, $P$ percorre la metà destra della circonferenza dal fondo alla cima e $T$ sale lungo la retta $X = 1$, da molto in basso a molto in alto. Ecco il primo ramo della tangentoide: una curva che sale sempre, da $-\infty$ a $+\infty$.

Le proprietà della tangente:

• Dominio: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, dove il coseno si annulla e la retta $OP$ è parallela a $X = 1$. Il «$+ k\pi$» è essenziale: i punti esclusi sono infiniti.
• Immagine $\mathbb{R}$: ogni punto della retta $X = 1$ è il $T$ di qualche $x$.
• Periodo $\pi$: $x$ e $x + \pi$ danno punti opposti, sulla stessa retta per $O$, quindi lo stesso $T$. È il periodo minimo: un periodo $T$ con $0 < T < \pi$ darebbe $\tan T = \tan 0 = 0$, ma la tangente si annulla solo in $k\pi$.
• Dispari: ribaltando $P$ rispetto all’asse orizzontale si ribalta anche $T$, quindi $\tan(-x) = -\tan x$.
• Zeri in $x = k\pi$; nessun massimo e nessun minimo.
• Segno: positiva per $k\pi < x < \frac{\pi}{2} + k\pi$, negativa per $-\frac{\pi}{2} + k\pi < x < k\pi$.
• Monotonia: strettamente crescente su ogni intervallo $\left(-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi\right)$.
• Simmetrie: centri di simmetria negli zeri e nei punti $\left(\frac{\pi}{2} + k\pi, 0\right)$ in cui gli asintoti tagliano l’asse $x$.

Vicino agli asintoti

Avvicinati a $\frac{\pi}{2} \approx 1{,}5708$ da sinistra: la retta $OP$ diventa quasi verticale e incontra $X = 1$ sempre più in alto. In radianti, $\tan 1{,}5 \approx 14{,}1$ e $\tan 1{,}57 \approx 1256$. Appena superato $\frac{\pi}{2}$, $P$ è nel II quadrante e $T$ sta in basso: $\tan 1{,}58 \approx -108{,}6$. La retta $x = \frac{\pi}{2}$ è un asintoto verticale: il grafico le si avvicina senza toccarla, salendo da sinistra e scendendo da destra. Con i limiti:

$$\begin{gathered} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \tan x = +\infty \\ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \tan x = -\infty \end{gathered}$$

(la teoria è negli asintoti). In $\frac{\pi}{2}$ la tangente non vale «infinito»: non esiste.

Il grafico della cotangente

La cotangente è $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Il suo grafico, in basso nella figura precedente, ha:

• dominio $x \neq k\pi$, immagine $\mathbb{R}$, periodo $\pi$; è dispari, come rapporto tra una funzione pari e una dispari;
• zeri in $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, dove si annulla il coseno, e asintoti verticali $x = k\pi$, dove si annulla il seno;
• rami strettamente decrescenti su ogni intervallo $(k\pi, \pi + k\pi)$, da $+\infty$ a $-\infty$; il segno è quello della tangente.

Tangente e cotangente sono legate dalla formula degli angoli complementari:

$$\cot x = \tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$$

Siccome la tangente è dispari, $\tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\tan\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$: il grafico della cotangente è quello della tangente traslato a destra di $\frac{\pi}{2}$ e poi ribaltato rispetto all’asse $x$. Verifichiamo: lo zero della tangente in $0$ va in $\frac{\pi}{2}$, uno zero della cotangente; l’asintoto $x = \frac{\pi}{2}$ va in $x = \pi$; il ribaltamento rende decrescenti i rami. Con i numeri: $\cot\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$ e $\tan\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.

Secante e cosecante

Le funzioni $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ e $\csc x = \frac{1}{\sin x}$ si usano poco nei corsi italiani, ma si disegnano in un attimo.

• La secante ha dominio $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, periodo $2\pi$, è pari e ha asintoti verticali dove il coseno si annulla. Siccome $|\cos x| \leq 1$, si ha $|\sec x| \geq 1$: l’immagine è $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$. Il grafico è fatto di coppe e cupole che toccano le rette $y = \pm 1$ dove il coseno vale $\pm 1$.
• La cosecante ha dominio $x \neq k\pi$, è dispari, ha la stessa immagine e il grafico della secante traslato a destra di $\frac{\pi}{2}$.

Leggere il grafico

Quante soluzioni ha $\cos x = a$ in un intervallo? Sono le ascisse dei punti in cui la retta $y = a$ taglia la cosinusoide. Su ogni tratto di stretta monotonia la retta la taglia al più una volta: basta contare i tratti che raggiungono $a$. Per $\cos x = 0{,}5$ tra $-2\pi$ e $2\pi$ i tratti sono quattro, $[-2\pi, -\pi]$, $[-\pi, 0]$, $[0, \pi]$ e $[\pi, 2\pi]$, e ognuno va da 1 a $-1$ o viceversa: le soluzioni sono quattro, a coppie opposte perché il coseno è pari. Quali siano lo dicono le equazioni goniometriche. Se $|a| > 1$ non ce ne sono; con $a = \pm 1$ la retta tocca solo i massimi o i minimi.

Dove è positiva una funzione? Dove il grafico sta sopra l’asse $x$. Tra $0$ e $4\pi$ il seno è negativo su $(\pi, 2\pi)$ e su $(3\pi, 4\pi)$, dove la sinusoide sta sotto l’asse. Allo stesso modo una disequazione come $\sin x > a$ vale dove la sinusoide sta sopra la retta $y = a$.

Dove $\sin x = \cos x$? Nella figura del coseno, le due onde si incrociano a intervalli regolari. Sulla circonferenza, seno e coseno uguali vogliono dire $P$ sulla bisettrice $Y = X$: in $\frac{\pi}{4}$ valgono entrambi $\frac{\sqrt{2}}{2}$, in $\frac{5\pi}{4}$ entrambi $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. I due punti sono opposti, quindi gli incroci sono in $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$: tra $-2\pi$ e $2\pi$ sono $-\frac{7\pi}{4}$, $-\frac{3\pi}{4}$, $\frac{\pi}{4}$ e $\frac{5\pi}{4}$. Su $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right)$ la sinusoide sta sopra la cosinusoide.

Per equazioni come $\cos x = x$ il metodo è nella risoluzione grafica delle equazioni goniometriche.

Per angoli piccoli, sin x ≈ x

Vicino all’origine la sinusoide è quasi la bisettrice $y = x$. Per vederlo servono $x$ in radianti e la stessa unità sui due assi.

L’errore relativo $\frac{x - \sin x}{x}$ dice quanto sbagli, in percentuale, scrivendo $x$ al posto di $\sin x$:

$x$	$\sin x$	Errore relativo
$0{,}4$	$0{,}389\,42$	2,65%
$0{,}3$	$0{,}295\,52$	1,49%
$0{,}2$	$0{,}198\,67$	0,665%
$0{,}05$	$0{,}049\,979$	0,0417%
$0{,}03$	$0{,}029\,996$	0,0150%

L’errore resta sotto l’1% fino a circa $x = 0{,}245$, cioè circa 14°; dividendo $x$ per 10, si divide per circa 100.

Perché. Per $0 < x < \frac{\pi}{2}$, $\sin x$ è l’altezza di $P$ e $x$ la lunghezza dell’arco da $A$ a $P$. L’altezza è più corta della corda $AP$, che è più corta dell’arco: $\sin x < x$. Ma per un angolo piccolo l’arco è quasi dritto e quasi verticale, e le tre lunghezze quasi coincidono.

Anche $\tan x \approx x$ vicino a 0, con un errore circa doppio: $\tan 0{,}2 \approx 0{,}202\,71$. Questi fatti diventano i limiti notevoli $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ e $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$. In gradi non funziona: il seno di 0,1° vale circa 0,0017, non 0,1 (vedi angoli e radianti). In Fisica è l’approssimazione che rende armoniche le piccole oscillazioni del pendolo semplice.

Come si disegnano a mano

1. Prepara gli assi. Segna sull’asse $x$ i multipli di $\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57$ a distanze uguali. Con la stessa unità sui due assi l’onda è «lunga e bassa», alta 1 con mezzo periodo di oltre 3; con unità diverse il confronto con $y = x$ non si vede più.
2. Cinque punti chiave per periodo. Per il seno, in $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$ i valori sono $0, 1, 0, -1, 0$; per il coseno $1, 0, -1, 0, 1$.
3. Uniscili con una curva morbida: arrotondata nei massimi e nei minimi, quasi dritta negli zeri. Poi ripeti il periodo a destra e a sinistra.
4. Per la tangente, prima gli asintoti $x = \pm\frac{\pi}{2}$, poi lo zero in $0$ e i punti $\left(\pm\frac{\pi}{4}, \pm 1\right)$; poi ripeti il ramo ogni $\pi$.

Le proprietà in due tabelle

Proprietà	$\sin x$	$\cos x$
dominio	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
immagine	$[-1, 1]$	$[-1, 1]$
periodo	$2\pi$	$2\pi$
parità	dispari	pari
zeri	$k\pi$	$\frac{\pi}{2} + k\pi$
massimi	$\frac{\pi}{2} + 2k\pi$	$2k\pi$
minimi	$\frac{3\pi}{2} + 2k\pi$	$\pi + 2k\pi$

Proprietà	$\tan x$	$\cot x$
dominio	$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$	$x \neq k\pi$
immagine	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
periodo	$\pi$	$\pi$
parità	dispari	dispari
zeri	$k\pi$	$\frac{\pi}{2} + k\pi$
asintoti	$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$	$x = k\pi$
su ogni ramo	strettamente crescente	strettamente decrescente

Gli errori più comuni

• Traslare il coseno nel verso sbagliato. Da $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ la cosinusoide è la sinusoide spostata a sinistra di $\frac{\pi}{2}$, non a destra. Controllo rapido: in $x = 0$ il coseno vale 1.
• Scrivere il dominio della tangente come $x \neq \frac{\pi}{2}$. I punti esclusi sono infiniti: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, con $k \in \mathbb{Z}$.
• Dare alla tangente periodo $2\pi$. $2\pi$ è un periodo, ma non il minimo: il periodo della tangente è $\pi$.
• Confondere asintoti e zeri. La tangente si annulla dove si annulla il seno, $x = k\pi$, e ha gli asintoti dove si annulla il coseno, $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$; per la cotangente è il contrario.
• Dire che la tangente è crescente sul suo dominio. È strettamente crescente su ogni ramo, ma $\frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4}$ e $\tan\frac{\pi}{4} = 1 > \tan\frac{3\pi}{4} = -1$.
• Mettere i gradi sull’asse $x$. In Analisi la $x$ è in radianti: con 90, 180, 360 sull’asse l’onda diventa lunghissima e piatta, e $\sin x \approx x$ è falso.
• Pensare che il seno sia crescente su $[0, \pi]$. Cresce fino a $\frac{\pi}{2}$, poi decresce, anche se resta positivo.
• Dare alla tangente immagine $[-1, 1]$. La tangente assume tutti i valori reali: già $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ supera 1.

Esercizi svolti

1. Zeri, massimi e minimi del coseno

Testo. Trova zeri, punti di massimo e di minimo assoluto di $y = \cos x$ nell’intervallo $\left[-\frac{\pi}{2}, 3\pi\right]$ e gli intervalli in cui è strettamente crescente o strettamente decrescente.

Usiamo le formule generali con i $k$ che cadono nell’intervallo.

• Zeri, $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$: con $k = -1, 0, 1, 2$ si ottengono $-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$ e $\frac{5\pi}{2}$. Con $k = 3$ si avrebbe $\frac{7\pi}{2}$, che supera $3\pi$.
• Massimi, di valore 1, in $x = 2k\pi$: $0$ e $2\pi$.
• Minimi, di valore $-1$, in $x = \pi + 2k\pi$: $\pi$ e $3\pi$, che è l’estremo destro (anche un estremo può essere un punto di minimo).
• Monotonia: il coseno sale verso ogni massimo e scende verso ogni minimo. È strettamente crescente su $\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right]$ e su $[\pi, 2\pi]$, strettamente decrescente su $[0, \pi]$ e su $[2\pi, 3\pi]$.

Quattro zeri, due punti di massimo e due di minimo.

2. Il segno della tangente

Testo. Studia il segno di $y = \tan x$ nell’intervallo $(-\pi, 2\pi]$, indicando dove non è definita.

Dove non esiste. In $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$: nell’intervallo, con $k = -1, 0, 1$, sono $-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$ e $\frac{3\pi}{2}$.

Zeri. In $x = k\pi$: $0$, $\pi$ e $2\pi$ ($-\pi$ è escluso, l’intervallo è aperto a sinistra).

Segno. Ogni ramo è strettamente crescente e si annulla nel suo punto medio $k\pi$: è negativo a sinistra e positivo a destra. Quindi la tangente è:

• positiva su $\left(-\pi, -\frac{\pi}{2}\right)$, $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ e $\left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)$;
• negativa su $\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$, $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ e $\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$.

Controllo: tra $\pi$ e $\frac{3\pi}{2}$ siamo nel III quadrante, dove seno e coseno sono negativi e il loro rapporto è positivo.

3. Contare le soluzioni con il grafico

Testo. Senza risolvere le equazioni, stabilisci quante soluzioni hanno: a) $\sin x = 0{,}6$ in $[-\pi, 3\pi]$; b) $\cos x = -0{,}4$ in $\left[0, \frac{5\pi}{2}\right]$; c) $\tan x = 5$ in $\left(-\frac{\pi}{2}, 2\pi\right)$.

a) La retta $y = 0{,}6$ sta sopra l’asse $x$: può tagliare la sinusoide solo dove il seno è positivo, cioè su $(0, \pi)$ e su $(2\pi, 3\pi)$. Sono due «gobbe» complete, da 0 su fino a 1 e giù a 0, e ognuna passa per $0{,}6$ due volte, salendo e scendendo. Su $[-\pi, 0]$ il seno non è positivo. Totale: quattro soluzioni.

b) Su $[0, \pi]$ il coseno scende da 1 a $-1$ e passa per $-0{,}4$ una volta; su $[\pi, 2\pi]$ risale da $-1$ a 1: un’altra soluzione. Su $\left[2\pi, \frac{5\pi}{2}\right]$ è positivo: nessuna. Totale: due soluzioni.

c) Su ogni ramo completo la tangente assume ogni valore reale una sola volta. Nell’intervallo ci sono due rami completi, $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ e $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$, più il pezzo $\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$, dove la tangente è negativa e non vale mai 5. Totale: due soluzioni, distanti $\pi$.

Le soluzioni sono quattro, due e due.

4. Periodo e parità di due combinazioni

Testo. Per $f(x) = \sin x + \cos x$ e $g(x) = \cos x \cdot \tan x$ trova il dominio, stabilisci se sono pari o dispari e trova il periodo minimo.

La funzione f. Il dominio è $\mathbb{R}$. Una funzione dispari definita in 0 vale 0 in 0, ma $f(0) = 1$; e $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$, $f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$: né dispari né pari.

Il numero $2\pi$ è un periodo di entrambi gli addendi, quindi di $f$. Uno più piccolo? Se $0 < T < 2\pi$ fosse un periodo, avremmo $f(T) = f(0) = 1$: il punto $P(T) = (\cos T, \sin T)$ starebbe sulla retta $X + Y = 1$, che taglia la circonferenza solo in $(1, 0)$ e $(0, 1)$. Quindi $T = \frac{\pi}{2}$. Ma

$$\begin{gathered} f\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}\right) = f(\pi) = -1 \\ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \end{gathered}$$

e nemmeno $\frac{\pi}{2}$ è un periodo: il periodo minimo è $2\pi$. In effetti $f$ è una sinusoide: con il metodo dell’angolo aggiunto si scrive $f(x) = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$.

La funzione g. La tangente impone $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, e lì

$$g(x) = \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x$$

Il grafico è la sinusoide con dei buchi in $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, proprio nei massimi e nei minimi. Il dominio è simmetrico rispetto a 0 e $g(-x) = \sin(-x) = -g(x)$: $g$ è dispari.

Per il periodo, guarda prima il dominio. Se $T$ è un periodo e $\frac{\pi}{2} - T$ stesse nel dominio, ci starebbe anche $\left(\frac{\pi}{2} - T\right) + T = \frac{\pi}{2}$, che è un buco. Quindi $\frac{\pi}{2} - T$ è un buco e $T$ è un multiplo di $\pi$. I multipli dispari non vanno, perché $\sin(x + \pi) = -\sin x$: $g\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, mentre $g\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Il periodo minimo è $2\pi$. E l’immagine è l’intervallo aperto $(-1, 1)$: i valori $\pm 1$ cadrebbero nei buchi.

Risultato: periodo minimo $2\pi$ per entrambe; $g$ è dispari, $f$ né pari né dispari.

5. La tangente è monotona?

Testo. a) Dimostra, senza derivate, che la tangente è strettamente crescente su $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$. b) Dimostra che sul suo dominio non è né crescente né decrescente.

a) Presi $x_1 < x_2$ nell’intervallo, mostriamo che $\tan x_1 < \tan x_2$.

• Se $0 \leq x_1 < x_2 < \frac{\pi}{2}$. Lì il seno è strettamente crescente e il coseno strettamente decrescente e positivo: $0 \leq \sin x_1 < \sin x_2$ e $\cos x_1 > \cos x_2 > 0$. Allora, prima rimpicciolendo il denominatore e poi ingrandendo il numeratore:

$$\begin{gathered} \frac{\sin x_1}{\cos x_1} \leq \frac{\sin x_1}{\cos x_2} \\ {} < \frac{\sin x_2}{\cos x_2} \end{gathered}$$

• Se $-\frac{\pi}{2} < x_1 < x_2 \leq 0$. Allora $0 \leq -x_2 < -x_1$, e per il caso precedente $\tan(-x_2) < \tan(-x_1)$. La tangente è dispari, quindi $-\tan x_2 < -\tan x_1$, cioè $\tan x_1 < \tan x_2$.
• Se $x_1 < 0 < x_2$. Allora $\tan x_1 < 0 < \tan x_2$.

Per la periodicità, lo stesso vale su ogni intervallo $\left(-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi\right)$.

b) Crescente vorrebbe dire $\tan x_1 \leq \tan x_2$ per tutte le coppie $x_1 < x_2$ del dominio: basta un controesempio per verso.

• $\frac{\pi}{3} < \frac{2\pi}{3}$, ma $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ e $\tan\frac{2\pi}{3} = -\sqrt{3}$: non è crescente;
• $0 < \frac{\pi}{3}$ e $\tan 0 = 0 < \sqrt{3}$: non è decrescente.

La tangente è strettamente crescente su ogni ramo ma non monotona sul dominio: il «salto» avviene attraversando un asintoto.

6. Da esame: il grafico di tan|x|

Testo. Data $h(x) = \tan|x|$, trova dominio, parità, zeri e segno, stabilisci se è periodica, descrivi monotonia e asintoti e disegnane il grafico.

Dominio. Serve $|x| \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$. I punti $\frac{\pi}{2} + k\pi$ sono simmetrici rispetto a 0 (come $-\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - \pi$), quindi è il dominio della tangente: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$.

Parità. $h(-x) = \tan|-x| = h(x)$: $h$ è pari. Basta studiarla per $x \geq 0$, dove $h(x) = \tan x$, e specchiare rispetto all’asse $y$, come per ogni $f(|x|)$ (vedi lo studio di funzione con valore assoluto).

Zeri e segno. Specchiando gli zeri $k\pi$ con $k \geq 0$, $h$ si annulla in tutti i multipli interi di $\pi$. Per $x > 0$ il segno è quello della tangente, per $x < 0$ l’opposto: $h\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \tan\frac{\pi}{4} = 1$, mentre $\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$.

Periodica? No. Come nell’esercizio 4, un periodo deve mandare il dominio in sé, quindi è $T = n\pi$ con $n \geq 1$ intero. Ma $-\frac{\pi}{4} + n\pi$ è positivo, quindi

$$\begin{gathered} h\left(-\frac{\pi}{4} + n\pi\right) = \tan\left(-\frac{\pi}{4} + n\pi\right) \\ {} = \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1 \end{gathered}$$

mentre $h\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 1$. Nessun $T$ funziona: $h$ non è periodica, pur essendo fatta di pezzi di una funzione periodica.

Monotonia e asintoti. Per $x \geq 0$, $h$ è strettamente crescente su $\left[0, \frac{\pi}{2}\right)$, da 0 a $+\infty$, e su ogni ramo $\left(\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{3\pi}{2} + k\pi\right)$ con $k \geq 0$. Per $x < 0$, specchiando, i rami diventano strettamente decrescenti. Gli asintoti sono quelli della tangente e l’immagine è $\mathbb{R}$.

Il grafico. Il ramo centrale, su $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, è una «V» dai lati curvi: scende da $+\infty$ a 0 e risale a $+\infty$. In $x = 0$ c’è un minimo relativo, non assoluto, perché altrove $h$ è anche negativa; vicino a 0, siccome $\tan x \approx x$, si ha $h(x) \approx |x|$, e la curva fa una punta.

Risultato: dominio della tangente, pari, zeri in $k\pi$, immagine $\mathbb{R}$, non periodica, minimo relativo in $(0, 0)$.

Altri esercizi su tutto il capitolo sono negli esercizi svolti sulle funzioni goniometriche.

In sintesi

• Il grafico di $\sin x$ è la sinusoide, un’onda tra $-1$ e $1$ di periodo $2\pi$: l’altezza del punto sulla circonferenza, srotolata.
• La cosinusoide è la sinusoide traslata a sinistra di $\frac{\pi}{2}$: $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$.
• Seno: zeri in $k\pi$, massimi in $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$, assi di simmetria $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, centri negli zeri; è dispari. Coseno: zeri in $\frac{\pi}{2} + k\pi$, massimi in $2k\pi$; è pari.
• La tangente ha dominio $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, periodo $\pi$, immagine $\mathbb{R}$ e asintoti verticali negli zeri del coseno; è strettamente crescente su ogni ramo, non sul dominio.
• $\cot x = \tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$: la tangente traslata a destra di $\frac{\pi}{2}$ e ribaltata, con asintoti in $k\pi$ e rami decrescenti.
• Per $x$ piccolo e in radianti, $\sin x \approx x$ e $\tan x \approx x$.
• Le soluzioni di $\sin x = a$ in un intervallo si contano sui tratti di monotonia che raggiungono $a$.

Le simmetrie che abbiamo visto, come $\sin(-x) = -\sin x$ e $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$, sono casi particolari di una famiglia di formule molto utile: gli archi associati.