Disequazioni goniometriche di secondo grado: metodo, esempi ed esercizi svolti

Le disequazioni goniometriche di secondo grado sono quelle in cui la stessa funzione goniometrica compare al quadrato, come $2\sin^2 x - \sin x - 1 > 0$. In pratica sono disequazioni di secondo grado «travestite»: con la sostituzione $t = \sin x$ diventano un problema che sai già risolvere, e poi si torna alla $x$ con la circonferenza. In Analisi 1 le incontri quando cerchi il dominio o il segno di una funzione, per esempio nello studio di funzione goniometrica, e all’esame compaiono da sole o come passaggio di un esercizio più lungo. In questa pagina vediamo l’idea, il ripasso del segno del trinomio, il metodo passo per passo, i valori esterni e interni, il vincolo $-1 \leq t \leq 1$ e cosa succede quando una radice cade fuori, i casi con discriminante nullo o negativo, la tangente, la relazione fondamentale, la duplicazione, le omogenee, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

L’idea: due piani, uno algebrico e uno goniometrico

Prendi $2\sin^2 x - \sin x - 1 > 0$. Se al posto di $\sin x$ scrivi $t$, ottieni $2t^2 - t - 1 > 0$: una disequazione di secondo grado, di quelle che risolvi dalle superiori. Il lavoro si fa quindi su due piani:

1. sul piano algebrico trovi quali valori di $t$ rendono vera la disequazione;
2. sul piano goniometrico cerchi gli angoli $x$ il cui seno assume proprio quei valori.

È lo stesso schema delle equazioni goniometriche di secondo grado, con una differenza. Lì dal primo passo uscivano uno o due numeri, e ognuno dava dei punti sulla circonferenza. Qui escono intervalli di valori, e ognuno dà degli archi, che si trovano con le disequazioni goniometriche elementari.

C’è poi un dettaglio che fa tutta la differenza: $t = \sin x$ non può valere un numero qualsiasi. Il seno, come il coseno, sta sempre tra $-1$ e $1$. Dei valori di $t$ trovati al primo passo contano solo quelli in questa «finestra»: gli altri non corrispondono a nessun angolo. Negli esercizi capita spesso che una parte della soluzione in $t$ cada proprio fuori dalla finestra.

Ripasso: il segno del trinomio di secondo grado

Non servono formule nuove: basta ricordare quando un trinomio $at^2 + bt + c$ è positivo o negativo. Supponiamo $a > 0$; se $a < 0$, moltiplica tutto per $-1$ e inverti il verso della disequazione. Sia $\Delta = b^2 - 4ac$ il discriminante. Se $\Delta > 0$ le radici sono due, $t_1 < t_2$; se $\Delta = 0$ c’è una sola radice (doppia), $t_0 = -\frac{b}{2a}$.

Regola (segno del trinomio, con $a > 0$).

	${at^2 + bt + c > 0}$	${at^2 + bt + c < 0}$
${\Delta > 0}$	${t < t_1}$ o ${t > t_2}$	${t_1 < t < t_2}$
${\Delta = 0}$	${t \neq t_0}$	nessun ${t}$
${\Delta < 0}$	ogni ${t}$	nessun ${t}$

Con $\geq$ e $\leq$ si aggiungono le radici: per esempio, con $\Delta > 0$, il trinomio è $\leq 0$ per $t_1 \leq t \leq t_2$. Con $\Delta = 0$ la disequazione $\geq 0$ è sempre vera e la $\leq 0$ vale solo per $t = t_0$. In breve, con $\Delta > 0$: valori esterni alle radici per $> 0$, valori interni per $< 0$.

Perché è vero. Se $\Delta > 0$ il trinomio si scompone: $at^2 + bt + c = a(t - t_1)(t - t_2)$. Per $t$ più piccolo di entrambe le radici i due fattori sono negativi, per $t$ più grande sono positivi: in tutti e due i casi il prodotto è positivo. Tra le radici i fattori hanno segni opposti e il prodotto è negativo. Per $\Delta \leq 0$ si completa il quadrato:

$$\begin{gathered} at^2 + bt + c \\ {} = a\left[\left(t + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right] \end{gathered}$$

Se $\Delta < 0$ la parentesi quadra è un quadrato più un numero positivo, quindi è sempre positiva, e così il trinomio. Se $\Delta = 0$ resta $a(t - t_0)^2$, positivo tranne in $t_0$. Graficamente: la parabola $y = at^2 + bt + c$ con $a > 0$ è rivolta verso l’alto e scende sotto l’asse solo tra le radici, se ci sono.

Il metodo passo per passo

1. Riduci a una sola funzione: con le formule di duplicazione, con la relazione fondamentale $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ oppure, per le omogenee, dividendo per $\cos^2 x$.
2. Sostituisci $t = \sin x$ (o $\cos x$, o $\tan x$). Per seno e coseno ricorda che $-1 \leq t \leq 1$; per la tangente scrivi le condizioni di esistenza, $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$.
3. Risolvi la disequazione in $t$: rendi positivo $a$, calcola $\Delta$ e le radici, scegli valori esterni o interni.
4. Confronta con $-1$ e $1$: scarta le condizioni impossibili, ignora quelle sempre vere, fai attenzione ai punti isolati.
5. Torna alla $x$ con la circonferenza, su un giro: di solito $[0, 2\pi)$, oppure un intervallo in cui l’arco non si spezza.
6. Aggiungi il periodo, $2k\pi$ per seno e coseno e $k\pi$ per la tangente, e controlla con un valore di prova.

Valori esterni: due disequazioni unite da «oppure»

Esempio 1. $2\sin^2 x - \sin x - 1 > 0$.

Con $t = \sin x$ diventa $2t^2 - t - 1 > 0$. Qui $a = 2 > 0$ e $\Delta = 1 + 8 = 9$, quindi:

$$\begin{gathered} t = \frac{1 \pm 3}{4} \\ t_1 = -\frac{1}{2}, \quad t_2 = 1 \end{gathered}$$

Il trinomio deve essere positivo: valori esterni, $t < -\frac{1}{2}$ oppure $t > 1$. Tornando alla $x$:

$$\begin{gathered} \sin x < -\frac{1}{2} \\ \text{oppure}\;\; \sin x > 1 \end{gathered}$$

«Oppure» significa che basta che sia vera una delle due: si risolvono separatamente e si uniscono le soluzioni. La seconda però è impossibile, perché il seno non supera mai 1: sulla circonferenza la retta $y = 1$ tocca il cerchio in un solo punto e sopra di essa non c’è nulla. Resta la prima, cioè i punti sotto la retta $y = -\frac{1}{2}$, che taglia la circonferenza negli angoli $\frac{7\pi}{6}$ e $\frac{11\pi}{6}$.

In $[0, 2\pi)$ la soluzione è $\frac{7\pi}{6} < x < \frac{11\pi}{6}$, e aggiungendo il periodo:

$$\frac{7\pi}{6} + 2k\pi < x < \frac{11\pi}{6} + 2k\pi$$

Controllo: per $x = \frac{3\pi}{2}$ il seno vale $-1$ e si ottiene $2 + 1 - 1 = 2 > 0$, vero; per $x = 0$ si ottiene $-1 > 0$, falso. Quando invece entrambe le radici stanno strettamente tra $-1$ e $1$, sopravvivono tutte e due le condizioni e la soluzione è fatta di due archi separati: lo vedi nell’esercizio 1.

Valori interni: una doppia disequazione

Esempio 2. $2\cos^2 x + 3\cos x + 1 \leq 0$.

Con $t = \cos x$ diventa $2t^2 + 3t + 1 \leq 0$, con $\Delta = 9 - 8 = 1$ e radici $t = \frac{-3 \pm 1}{4}$, cioè $t_1 = -1$ e $t_2 = -\frac{1}{2}$. Il trinomio deve essere negativo o nullo: valori interni, estremi compresi.

$$-1 \leq \cos x \leq -\frac{1}{2}$$

Una doppia disequazione è un sistema: devono valere entrambe le condizioni, $\cos x \geq -1$ e $\cos x \leq -\frac{1}{2}$. La prima è sempre vera, quindi resta solo la seconda: i punti a sinistra della retta verticale di ascissa $-\frac{1}{2}$, che taglia la circonferenza in $\frac{2\pi}{3}$ e $\frac{4\pi}{3}$.

$$\frac{2\pi}{3} + 2k\pi \leq x \leq \frac{4\pi}{3} + 2k\pi$$

La radice $t_1 = -1$ cade proprio sul bordo della finestra. La condizione $\cos x \geq -1$ non toglie nulla, e il punto $x = \pi$, dove $\cos x = -1$, sta nella soluzione: infatti $2 - 3 + 1 = 0 \leq 0$.

Se invece entrambe le radici sono strettamente tra $-1$ e $1$, servono davvero tutte e due le condizioni: si prendono i punti compresi tra due rette parallele e si ottengono due archi. Per esempio $4\sin^2 x - 1 < 0$ dà $-\frac{1}{2} < \sin x < \frac{1}{2}$, cioè gli archi intorno a $0$ e intorno a $\pi$, che insieme si scrivono $-\frac{\pi}{6} + k\pi < x < \frac{\pi}{6} + k\pi$. Per intersecare archi più complicati vedi i sistemi di disequazioni goniometriche.

Quando una radice cade fuori da [−1, 1]

Esempio 3. $2\cos^2 x - 3\cos x - 2 < 0$.

Con $t = \cos x$ si ha $\Delta = 9 + 16 = 25$, radici $t = \frac{3 \pm 5}{4}$, cioè $t_1 = -\frac{1}{2}$ e $t_2 = 2$. Valori interni: $-\frac{1}{2} < t < 2$. Ma il coseno non arriva mai a 2: dei valori trovati restano solo quelli nella fascia $-1 \leq t \leq 1$, cioè $-\frac{1}{2} < t \leq 1$. La figura mostra cosa succede: il tratto tra 1 e 2 risolve la disequazione algebrica, ma non corrisponde a nessun angolo.

In termini di disequazioni: $-\frac{1}{2} < \cos x < 2$ è il sistema di $\cos x > -\frac{1}{2}$ e $\cos x < 2$, e la seconda è sempre vera. Resta $\cos x > -\frac{1}{2}$: l’arco a destra della retta verticale di ascissa $-\frac{1}{2}$, da $-\frac{2\pi}{3}$ a $\frac{2\pi}{3}$ passando per l’angolo $0$.

$$-\frac{2\pi}{3} + 2k\pi < x < \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$$

Se ti chiedono le soluzioni in $[0, 2\pi)$, l’arco passa per l’angolo $0$ e si spezza in due pezzi: $0 \leq x < \frac{2\pi}{3}$ oppure $\frac{4\pi}{3} < x < 2\pi$.

La regola. Con $t = \sin x$ o $t = \cos x$ (e $a > 0$):

• se una radice è maggiore di 1, la condizione «$t$ maggiore della radice» è impossibile e «$t$ minore della radice» è sempre vera;
• se una radice è minore di $-1$, succede il contrario: «$t$ minore» è impossibile, «$t$ maggiore» è sempre vera;
• se tutte e due le radici sono fuori da $[-1, 1]$, la disequazione è sempre vera o impossibile. Per esempio $\sin^2 x - 4 < 0$ (radici $\pm 2$) è vera per ogni $x$, mentre $\sin^2 x - 5\sin x + 6 < 0$ (radici 2 e 3) non ha soluzioni.

Perché è vero. Se una radice $r$ è maggiore di 1, ogni valore che il seno può assumere è minore di $r$. Quindi $\sin x < r$ vale per ogni $x$ e $\sin x > r$ per nessuno. Per una radice minore di $-1$ il ragionamento è simmetrico.

Il caso delicato è quando la radice è esattamente $1$ o $-1$: lì conta il simbolo, perché un $<$ al posto di un $\leq$ può togliere, o lasciare, dei punti isolati.

Se ottieni…	Allora
${\sin x > 1}$, ${\sin x < -1}$	impossibile
${\sin x \leq 1}$, ${\sin x \geq -1}$	sempre vera
${\sin x < 1}$	tranne ${x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi}$
${\sin x \geq 1}$	solo ${x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi}$
${\sin x > -1}$	tranne ${x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi}$
${\sin x \leq -1}$	solo ${x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi}$

Per il coseno vale lo stesso, con i punti $x = 2k\pi$, dove il coseno vale 1, e $x = \pi + 2k\pi$, dove vale $-1$.

Quando il discriminante è nullo o negativo

Esempio 4: discriminante nullo. $4\sin^2 x - 4\sin x + 1 > 0$.

Con $t = \sin x$ il trinomio è un quadrato perfetto, $4t^2 - 4t + 1 = (2t - 1)^2$, e infatti $\Delta = 16 - 16 = 0$. Un quadrato è positivo tranne dove si annulla, quindi la disequazione è vera per ogni $x$ tranne quelli in cui $\sin x = \frac{1}{2}$:

$$\begin{gathered} x \neq \frac{\pi}{6} + 2k\pi \\ \text{e}\;\; x \neq \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \end{gathered}$$

Con gli altri versi: $(2\sin x - 1)^2 \geq 0$ è sempre vera, $(2\sin x - 1)^2 < 0$ è impossibile e $(2\sin x - 1)^2 \leq 0$ vale solo nei punti isolati $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ e $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$. Una disequazione può avere come soluzione dei singoli punti invece che degli archi: non è un errore.

Esempio 5: discriminante negativo. $\cos^2 x - \cos x + 1 > 0$.

Con $t = \cos x$ si ha $a = 1 > 0$ e $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$. Il trinomio è sempre positivo, quindi la disequazione è vera per ogni $x \in \mathbb{R}$; con il verso $<$ sarebbe impossibile.

La tangente: nessun vincolo, ma periodo π

Con $t = \tan x$ non c’è nessuna finestra: la tangente assume tutti i valori reali. In cambio ci sono due cose da ricordare: la tangente non esiste in $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ e ha periodo $\pi$.

Esempio 6. $\tan^2 x - 3 < 0$.

La disequazione $t^2 - 3 < 0$ ha radici $\pm\sqrt{3}$ e si prendono i valori interni:

$$-\sqrt{3} < \tan x < \sqrt{3}$$

Qui servono tutte e due le condizioni. Nell’intervallo $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ la tangente è crescente e vale $\pm\sqrt{3}$ in $\pm\frac{\pi}{3}$, quindi lì la soluzione è $-\frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{3}$. Con il periodo $\pi$:

$$-\frac{\pi}{3} + k\pi < x < \frac{\pi}{3} + k\pi$$

Sulla circonferenza sono due archi opposti, intorno a $0$ e intorno a $\pi$. In $[0, 2\pi)$ l’arco intorno a $0$ si spezza e i pezzi diventano tre: $0 \leq x < \frac{\pi}{3}$, $\ \frac{2\pi}{3} < x < \frac{4\pi}{3}$ e $\frac{5\pi}{3} < x < 2\pi$.

Con il verso opposto, $\tan^2 x - 3 > 0$, si prendono i valori esterni: $\tan x < -\sqrt{3}$ oppure $\tan x > \sqrt{3}$. Sono gli angoli tra $\frac{\pi}{3}$ e $\frac{2\pi}{3}$, tranne $\frac{\pi}{2}$, dove la tangente non esiste:

$$\begin{gathered} \frac{\pi}{3} + k\pi < x < \frac{2\pi}{3} + k\pi, \\ x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \end{gathered}$$

Con le omogenee vedrai un caso in cui i punti $\frac{\pi}{2} + k\pi$ vanno invece aggiunti.

Seno e coseno insieme: la relazione fondamentale

Se compaiono seno e coseno, ma uno dei due solo al quadrato, la relazione fondamentale lo trasforma nell’altro.

Esempio 7. $2\sin^2 x + 3\cos x - 3 \geq 0$.

Il seno compare solo come $\sin^2 x$, quindi si usa $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$$\begin{gathered} 2(1 - \cos^2 x) + 3\cos x - 3 \geq 0 \\ {} \iff -2\cos^2 x + 3\cos x - 1 \geq 0 \\ {} \iff 2\cos^2 x - 3\cos x + 1 \leq 0 \end{gathered}$$

Nell’ultimo passaggio abbiamo moltiplicato per $-1$, quindi il verso si è invertito. Con $t = \cos x$ si ha $\Delta = 9 - 8 = 1$ e radici $t = \frac{3 \pm 1}{4}$, cioè $\frac{1}{2}$ e $1$. Valori interni, estremi compresi:

$$\frac{1}{2} \leq \cos x \leq 1$$

La condizione $\cos x \leq 1$ è sempre vera. Resta $\cos x \geq \frac{1}{2}$, l’arco intorno all’angolo $0$:

$$-\frac{\pi}{3} + 2k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{3} + 2k\pi$$

Controllo: per $x = 0$ si ottiene $0 + 3 - 3 = 0 \geq 0$, vero; per $x = \pi$ si ottiene $0 - 3 - 3 = -6$, falso. Se invece è il coseno a comparire solo al quadrato, si usa $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, come nell’esercizio 4.

Con l’angolo doppio: la duplicazione

Se compare $\cos 2x$ insieme a $\sin x$ o a $\cos x$, si porta tutto all’angolo $x$ con le formule di duplicazione, scegliendo la versione di $\cos 2x$ che contiene la funzione già presente:

$$\begin{gathered} \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \\ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \end{gathered}$$

Esempio 8. $\cos 2x + \sin x \geq 0$.

C’è il seno, quindi si usa la prima:

$$\begin{gathered} 1 - 2\sin^2 x + \sin x \geq 0 \\ {} \iff 2\sin^2 x - \sin x - 1 \leq 0 \end{gathered}$$

È il trinomio dell’esempio 1 con il verso opposto: radici $-\frac{1}{2}$ e $1$, valori interni, $-\frac{1}{2} \leq \sin x \leq 1$. La condizione $\sin x \leq 1$ è sempre vera e resta $\sin x \geq -\frac{1}{2}$: tutta la circonferenza tranne l’arco blu della figura di prima, e questa volta gli estremi sono compresi. Partendo da $-\frac{\pi}{6}$ (lo stesso punto di $\frac{11\pi}{6}$) e girando in senso antiorario fino a $\frac{7\pi}{6}$:

$$-\frac{\pi}{6} + 2k\pi \leq x \leq \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$$

In $[0, 2\pi)$ sono due pezzi: $0 \leq x \leq \frac{7\pi}{6}$ oppure $\frac{11\pi}{6} \leq x < 2\pi$.

Esempio 9: un punto da escludere. $\cos 2x < \cos x$.

C’è il coseno, quindi $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ e, portando tutto a sinistra, $2\cos^2 x - \cos x - 1 < 0$. Le radici sono $-\frac{1}{2}$ e $1$ e servono i valori interni, estremi esclusi: $-\frac{1}{2} < \cos x < 1$.

Questa volta $\cos x < 1$ non è sempre vera: è falsa dove $\cos x = 1$, cioè in $x = 2k\pi$. La soluzione è l’arco di $\cos x > -\frac{1}{2}$ privato di quei punti:

$$\begin{gathered} -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi < x < \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \\ x \neq 2k\pi \end{gathered}$$

Controllo: per $x = 0$ la disequazione diventa $1 < 1$, falso. Lo zero va davvero escluso. Se invece compare $\sin 2x = 2\sin x\cos x$, seno e coseno si mescolano: si ottiene un’omogenea, come nella prossima sezione, oppure un prodotto, come nell’esercizio 6.

Le omogenee di secondo grado

Una disequazione omogenea di secondo grado contiene solo termini di grado 2 in seno e coseno: $a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x > 0$. L’idea è dividere per $\cos^2 x$, così ogni termine diventa una potenza di $\tan x$. Nelle disequazioni però si può dividere solo per quantità di segno noto:

• dove $\cos x \neq 0$, $\cos^2 x$ è positivo: si divide e il verso resta;
• dove $\cos x = 0$, cioè in $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, non si può dividere: quei punti si controllano a parte nella disequazione di partenza.

Esempio 10. $\sin^2 x - 3\sin x\cos x + 2\cos^2 x > 0$.

Primo passo: i punti con $\cos x = 0$. Lì $\sin^2 x = 1$ e la disequazione diventa $1 - 0 + 0 > 0$: vero. Quindi i punti $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ sono soluzioni.

Secondo passo: la divisione. Dove $\cos x \neq 0$, dividendo per $\cos^2 x$:

$$\tan^2 x - 3\tan x + 2 > 0$$

Con $t = \tan x$ le radici sono $1$ e $2$ (somma 3, prodotto 2) e si prendono i valori esterni: $\tan x < 1$ oppure $\tan x > 2$. Nell’intervallo $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ significa $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{4}$ oppure $\arctan 2 < x < \frac{\pi}{2}$, con $\arctan 2 \approx 1{,}107$ (l’arcotangente di 2).

Terzo passo: mettere insieme. Il punto $\frac{\pi}{2}$, aggiunto, salda l’intervallo che finisce in $\frac{\pi}{2}$ con quello che comincia lì, $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{4}\right)$, che è il primo intervallo spostato di $\pi$. Resta un unico intervallo per periodo:

$$\arctan 2 + k\pi < x < \frac{5\pi}{4} + k\pi$$

In parole: la disequazione è falsa solo tra $\frac{\pi}{4}$ e $\arctan 2$, estremi compresi, e nei traslati di $\pi$. Controllo con $x = 1$, che sta tra $\frac{\pi}{4} \approx 0{,}785$ e $\arctan 2$: $\tan 1 \approx 1{,}557$ e $1{,}557^2 - 3 \cdot 1{,}557 + 2 \approx -0{,}25$, negativo, come deve essere.

Esempio 11: con un termine noto. $\sqrt{3}\sin x\cos x + \cos^2 x \geq 1$.

Un termine noto $d$ si rende di secondo grado scrivendo $d = d\,(\sin^2 x + \cos^2 x)$. Qui $d = 1$:

$$\begin{gathered} \sqrt{3}\sin x\cos x + \cos^2 x \\ {} \geq \sin^2 x + \cos^2 x \\ {} \iff \sin^2 x - \sqrt{3}\sin x\cos x \leq 0 \end{gathered}$$

Per $\cos x = 0$ la disequazione di partenza diventa $0 + 0 \geq 1$, falso: quei punti non sono soluzioni. Altrove, dividendo per $\cos^2 x > 0$, si ottiene $\tan^2 x - \sqrt{3}\tan x \leq 0$, con radici $0$ e $\sqrt{3}$. Valori interni, $0 \leq \tan x \leq \sqrt{3}$, quindi:

$$k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{3} + k\pi$$

Un controllo con un’altra strada: con le formule di duplicazione e l’angolo aggiunto il primo membro diventa $\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{2}$, e $\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) \geq \frac{1}{2}$ dà lo stesso risultato. Altri esempi di omogenee li trovi nelle disequazioni lineari e omogenee in seno e coseno.

Gli errori più comuni

• Dimenticare la finestra tra −1 e 1. Lasciare nella soluzione $\sin x > 1$, che è impossibile, o trattare $\cos x < 2$ come un vincolo, mentre è sempre vera.
• Confondere «oppure» con «e». I valori esterni danno due disequazioni unite da «oppure»: si uniscono gli archi. I valori interni danno una doppia disequazione, cioè un sistema: si intersecano.
• Non invertire il verso dopo aver cambiato segno. Moltiplicare per $-1$ per rendere positivo il coefficiente di $t^2$ inverte il verso: è l’errore tipico dopo la relazione fondamentale.
• Perdere i punti isolati. $\sin x < 1$ non è sempre vera: esclude $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$. E $(2\sin x - 1)^2 \leq 0$ ha come soluzione solo dei punti.
• Applicare la finestra alla tangente. La tangente assume ogni valore, quindi $\tan x > 2$ ha soluzioni; servono però le condizioni di esistenza e il periodo $\pi$.
• Dividere per cos x nelle omogenee, invece che per $\cos^2 x$, oppure dimenticare di controllare a parte i punti con $\cos x = 0$.
• Scrivere l’arco al contrario. Per $\cos x > -\frac{1}{2}$ scrivere $\frac{2\pi}{3} < x < \frac{4\pi}{3}$ dà l’altro arco, quello in cui $\cos x < -\frac{1}{2}$: quando l’arco contiene l’angolo 0, parti da un angolo negativo.

Esercizi svolti

1. Due archi che sopravvivono

Testo. Risolvi $4\cos^2 x - 3 \geq 0$.

Con $t = \cos x$ diventa $4t^2 - 3 \geq 0$, con $a = 4 > 0$ e radici $t = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$, entrambe strettamente tra $-1$ e $1$. Valori esterni, estremi compresi:

$$\begin{gathered} \cos x \leq -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \text{oppure}\;\; \cos x \geq \frac{\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

La prima vale sull’arco intorno a $\pi$, da $\frac{5\pi}{6}$ a $\frac{7\pi}{6}$; la seconda sull’arco intorno a $0$, da $-\frac{\pi}{6}$ a $\frac{\pi}{6}$. I due archi sono opposti: uno è l’altro spostato di $\pi$. Quindi si possono scrivere insieme con il passo $k\pi$:

$$-\frac{\pi}{6} + k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{6} + k\pi$$

Controllo: per $x = \pi$ si ottiene $4 - 3 = 1 \geq 0$, vero. In effetti la disequazione equivale a $\lvert \cos x \rvert \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$, una delle disequazioni con il valore assoluto.

2. Un punto da togliere

Testo. Risolvi $2\sin^2 x + \sin x - 1 < 0$.

Con $t = \sin x$ si ha $\Delta = 1 + 8 = 9$ e radici $t = \frac{-1 \pm 3}{4}$, cioè $-1$ e $\frac{1}{2}$. Valori interni, estremi esclusi:

$$-1 < \sin x < \frac{1}{2}$$

La condizione $\sin x < \frac{1}{2}$ vale sull’arco sotto la retta $y = \frac{1}{2}$, da $\frac{5\pi}{6}$ a $\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$. La condizione $\sin x > -1$ è vera ovunque tranne in $\frac{3\pi}{2}$, che sta proprio dentro quell’arco. Quindi va tolto:

$$\begin{gathered} \frac{5\pi}{6} + 2k\pi < x < \frac{13\pi}{6} + 2k\pi, \\ x \neq \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \end{gathered}$$

Controllo: per $x = \frac{3\pi}{2}$ si ottiene $2 - 1 - 1 = 0 < 0$, falso. La radice $-1$, sul bordo della finestra, ha tolto un punto isolato.

3. Con la tangente

Testo. Risolvi $\tan^2 x + (1 - \sqrt{3})\tan x - \sqrt{3} \geq 0$.

Con $t = \tan x$ servono due numeri con somma $\sqrt{3} - 1$ e prodotto $-\sqrt{3}$: sono $\sqrt{3}$ e $-1$. Infatti $(t - \sqrt{3})(t + 1) = t^2 + (1 - \sqrt{3})t - \sqrt{3}$. Valori esterni, estremi compresi:

$$\begin{gathered} \tan x \leq -1 \\ \text{oppure}\;\; \tan x \geq \sqrt{3} \end{gathered}$$

In $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ la prima vale per $-\frac{\pi}{2} < x \leq -\frac{\pi}{4}$, la seconda per $\frac{\pi}{3} \leq x < \frac{\pi}{2}$. Spostando il primo intervallo di $\pi$ si ottiene $\frac{\pi}{2} < x \leq \frac{3\pi}{4}$, che si attacca al secondo, salvo il punto $\frac{\pi}{2}$, dove la tangente non esiste:

$$\begin{gathered} \frac{\pi}{3} + k\pi \leq x \leq \frac{3\pi}{4} + k\pi, \\ x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \end{gathered}$$

Controllo con $x = \frac{2\pi}{3}$, dove $\tan x = -\sqrt{3}$: si ottiene $3 + (1 - \sqrt{3})(-\sqrt{3}) - \sqrt{3} = 6 - 2\sqrt{3} > 0$, vero.

4. Relazione fondamentale e radice fuori

Testo. Risolvi $2\cos^2 x - 3\sin x \geq 0$.

Il coseno compare solo al quadrato: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

$$\begin{gathered} 2 - 2\sin^2 x - 3\sin x \geq 0 \\ {} \iff 2\sin^2 x + 3\sin x - 2 \leq 0 \end{gathered}$$

Con $t = \sin x$ si ha $\Delta = 9 + 16 = 25$, radici $t = \frac{-3 \pm 5}{4}$, cioè $\frac{1}{2}$ e $-2$. Valori interni: $-2 \leq \sin x \leq \frac{1}{2}$. La radice $-2$ è fuori dalla finestra, quindi $\sin x \geq -2$ è sempre vera e resta $\sin x \leq \frac{1}{2}$:

$$\frac{5\pi}{6} + 2k\pi \leq x \leq \frac{13\pi}{6} + 2k\pi$$

In $[0, 2\pi)$: $0 \leq x \leq \frac{\pi}{6}$ oppure $\frac{5\pi}{6} \leq x < 2\pi$. Controllo: per $x = \frac{\pi}{2}$ si ottiene $0 - 3 < 0$, e infatti $\frac{\pi}{2}$ non è nella soluzione.

5. Il dominio di una funzione

Testo. Trova il dominio della funzione $f(x) = \sqrt{2\sin^2 x - 3\sin x + 1}$ nell’intervallo $[0, 2\pi]$.

La radice quadrata esiste dove il radicando è maggiore o uguale a zero: $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 \geq 0$. Con $t = \sin x$ si ha $\Delta = 9 - 8 = 1$, radici $\frac{1}{2}$ e $1$. Valori esterni, estremi compresi:

$$\begin{gathered} \sin x \leq \frac{1}{2} \\ \text{oppure}\;\; \sin x \geq 1 \end{gathered}$$

La seconda non è impossibile: $\sin x \geq 1$ vale quando il seno è esattamente 1, cioè nel punto isolato $x = \frac{\pi}{2}$. La prima, in $[0, 2\pi]$, vale per $0 \leq x \leq \frac{\pi}{6}$ e per $\frac{5\pi}{6} \leq x \leq 2\pi$. Il dominio è:

$$\left[0, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \cup \left[\frac{5\pi}{6}, 2\pi\right]$$

Il simbolo $\cup$ indica l’unione. Controllo: $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sqrt{2 - 3 + 1} = 0$, quindi $\frac{\pi}{2}$ appartiene davvero al dominio; per $x = \frac{\pi}{3}$ invece il radicando vale circa $-0{,}098$. Altri domini li trovi nei sistemi di disequazioni goniometriche e domini.

6. Un prodotto nascosto

Testo. Risolvi la disequazione

$$\sin 2x + 2\sin x - \cos x - 1 \geq 0$$

Con $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ si raccoglie a coppie:

$$\begin{gathered} 2\sin x\,(\cos x + 1) - (\cos x + 1) \geq 0 \\ {} \iff (2\sin x - 1)(\cos x + 1) \geq 0 \end{gathered}$$

Il fattore $\cos x + 1$ non è mai negativo, perché $\cos x \geq -1$, e si annulla solo in $x = \pi + 2k\pi$. Quindi si ragiona in due casi:

• dove $\cos x + 1 > 0$, si divide e il verso resta: $2\sin x - 1 \geq 0$, cioè $\sin x \geq \frac{1}{2}$, che dà $\frac{\pi}{6} + 2k\pi \leq x \leq \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$;
• dove $\cos x + 1 = 0$, il prodotto vale $0$ e la disequazione $0 \geq 0$ è vera: anche $x = \pi + 2k\pi$ è soluzione.

$$\begin{gathered} \frac{\pi}{6} + 2k\pi \leq x \leq \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \\ \text{oppure}\;\; x = \pi + 2k\pi \end{gathered}$$

Con il simbolo $>$ al posto di $\geq$, invece, $\pi$ non sarebbe soluzione. Lo studio del segno di prodotti più complicati è nelle disequazioni goniometriche fratte e con prodotti; per allenarti c’è la pagina di esercizi svolti sulle disequazioni goniometriche.

In sintesi

• Si pone $t = \sin x$, $\cos x$ o $\tan x$, si risolve la disequazione di secondo grado in $t$ e si torna alla $x$ con la circonferenza.
• Segno del trinomio con $a > 0$: con $\Delta > 0$ valori esterni per $> 0$ e interni per $< 0$; con $\Delta = 0$ positivo tranne nella radice; con $\Delta < 0$ sempre positivo.
• Valori esterni: due disequazioni unite da «oppure» (si uniscono gli archi). Valori interni: una doppia disequazione (si intersecano).
• Per seno e coseno contano solo i valori $-1 \leq t \leq 1$: una radice fuori rende una condizione sempre vera o impossibile, una radice uguale a $\pm 1$ può togliere o lasciare punti isolati.
• Tangente: nessun vincolo sui valori, ma $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ e periodo $\pi$.
• Relazione fondamentale e duplicazione servono a lasciare una sola funzione; nelle omogenee si divide per $\cos^2 x$ e si controllano a parte i punti con $\cos x = 0$.
• Alla fine si aggiunge il periodo, $2k\pi$ o $k\pi$, e si controlla con un valore di prova.

E se seno e coseno compaiono entrambi al primo grado, come in $\sin x + \sqrt{3}\cos x > 1$? Lo vediamo nelle disequazioni lineari e omogenee in seno e coseno.