Esercizi svolti sulle disequazioni esponenziali: sostituzione, fratte e parametro

Ogni volta si scrivono i due membri come potenze della stessa base, poi si confrontano gli esponenti guardando la base.

1. $27 = 3^3$ e la base 3 è maggiore di 1: il verso resta.

La soluzione è $(-\infty,\ 5)$.

2. $\frac{4}{25} = \left(\frac{2}{5}\right)^2$ e la base $\frac{2}{5}$ è minore di 1: il verso si inverte.

La soluzione è $[1,\ +\infty)$.

3. Decimale e radice si scrivono in base 2:

Con la base 2, maggiore di 1, il verso resta:

Nell’ultimo passaggio il verso si inverte perché dividi per $-3$: è la regola delle disequazioni di primo grado, la base non c’entra. La soluzione è $\left(-\infty,\ -\frac{5}{6}\right]$.

4. Le basi sono una l’inversa dell’altra, perché $\frac{3}{2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}$. Quindi

Ora la base è la stessa, $\frac{2}{3} < 1$, e il verso si inverte:

La soluzione è $(-\infty,\ -1)$.

Verifica. Punto 2: per $x = 2$ il primo membro vale $\left(\frac{2}{5}\right)^5 \approx 0{,}010 \leq 0{,}16$, vero; per $x = 0$ vale $\frac{5}{2}$, falso. Punto 3: per $x = -1$ si ha $8 \geq 4\sqrt{2} \approx 5{,}66$, vero. Punto 4: per $x = -2$ si confrontano $\left(\frac{3}{2}\right)^{5} \approx 7{,}59$ e $\left(\frac{3}{2}\right)^{2} = 2{,}25$, vero.

In tutti e quattro i casi il passaggio decisivo è lo stesso: una sola potenza per membro, con la stessa base.

1. Isolando la potenza si trova $e^x \leq -2$. Una potenza con base positiva è sempre positiva: la disequazione è impossibile, $S = \emptyset$.

2. Il secondo membro è positivo, quindi serve il conto. Siccome $\frac{1}{7} = 7^{-1}$ e la base è maggiore di 1:

Un quadrato non è mai negativo: impossibile, $S = \emptyset$. In effetti l’esponente $x^2 - 2x$ vale almeno $-1$, quindi il primo membro vale almeno $\frac{1}{7}$.

3. $1 = \left(\frac{1}{2}\right)^0$ e la base è minore di 1, quindi il verso si inverte: $x^2 \geq 0$, vera per ogni $x$. La disequazione è sempre vera, $S = \mathbb{R}$.

4. La potenza è positiva ovunque esista. Ma esiste solo dove esiste l’esponente: serve $4 - x^2 \geq 0$, cioè $-2 \leq x \leq 2$. Quindi $S = [-2,\ 2]$, non $\mathbb{R}$.

Verifica. Punto 2: per $x = 1$ il primo membro vale esattamente $\frac{1}{7}$, che non è minore di sé stesso. Punto 4: per $x = 3$ l’esponente è $\sqrt{-5}$, che non esiste.

Riassumendo: due impossibili, una sempre vera e una vera solo nel dominio.

Con le somme non si confrontano gli esponenti. Si raccoglie, usando $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

1. Raccogli la potenza con l’esponente più piccolo, $3^{x-1}$, con $3^{x+1} = 3^{x-1} \cdot 3^2$:

La base 3 è maggiore di 1, quindi il verso resta. La soluzione è $(-\infty,\ 2]$.

2. Raccogli per basi, $2^x$ a sinistra e $3^x$ a destra:

Basi diverse, stesso esponente. Dividi per $3 \cdot 3^x$, che è positivo, quindi il verso resta:

La base $\frac{2}{3}$ è minore di 1, il verso si inverte: $x > 1$. La soluzione è $(1,\ +\infty)$.

Verifica. Punto 1: per $x = 2$ si ha $27 + 3 = 30$, l’uguaglianza, e infatti il 2 è incluso. Punto 2: per $x = 2$ si ha $12 < 18$, vero; per $x = 0$ si ha $3 < 2$, falso.

Compaiono una potenza e il suo quadrato: con $t = a^x$ si ottiene una disequazione di secondo grado, ricordando che $t > 0$.

1. Con $t = 2^x$ si ha $4^x = t^2$ e $2^{x+2} = 4t$:

La parte $t \leq -6$ si scarta: $2^x$ non è mai negativo. Resta $2^x \geq 2$, cioè $x \geq 1$. La soluzione è $[1,\ +\infty)$.

2. Con $t = 3^x$:

Qui va scartato un pezzo dell’intervallo, quello con $t \leq 0$: intersecando con $t > 0$ resta $0 < t \leq 9$. La condizione $3^x > 0$ è vera per ogni $x$, quindi conta solo $3^x \leq 9 = 3^2$, cioè $x \leq 2$: la soluzione è $(-\infty,\ 2]$, con il 2 incluso.

Verifica. Punto 1: per $x = \frac{1}{2}$ il primo membro vale $2 + 4\sqrt{2} - 12 \approx -4{,}34$, e infatti $\frac{1}{2}$ è escluso. Punto 2: per $x = 0$ si ha $1 - 7 - 18 = -24 \leq 0$, vero; per $x = 3$ si ha $729 - 189 - 18 = 522$, falso.

Con $t = \left(\frac{1}{2}\right)^x > 0$ si ha $\left(\frac{1}{4}\right)^x = t^2$. Il primo termine nasconde un fattore 4:

La disequazione diventa

Le radici sono $\frac{1}{4}$ e $2$, e la parabola è negativa tra le radici: $\frac{1}{4} < t < 2$. L’intervallo è già tutto positivo. Per tornare alla $x$ scrivi gli estremi come potenze di $\frac{1}{2}$:

La base è minore di 1, quindi entrambi i versi si invertono: $2 > x > -1$, cioè $-1 < x < 2$. La soluzione è $(-1,\ 2)$.

Con la base 2 si arriva allo stesso punto: $2^{-2} < 2^{-x} < 2^{1}$, cioè $-2 < -x < 1$, e moltiplicando per $-1$ si ritrova lo stesso intervallo.

Verifica. Per $x = 0$: $4 - 9 + 2 = -3 < 0$, vero. Per $x = 3$: $\frac{1}{16} - \frac{9}{8} + 2 \approx 0{,}94$, falso.

La potenza con l’esponente negativo è un reciproco: con $t = a^x$ si ha $a^{-x} = \frac{1}{t}$. Dopo la sostituzione si moltiplica tutto per $t$, e il verso resta perché $t > 0$.

1. Si scrive $5^{2-x} = \frac{25}{5^x}$ e si pone $t = 5^x$:

Tornando alla $x$: $5^0 \leq 5^x \leq 5^2$, cioè $0 \leq x \leq 2$. La soluzione è $[0,\ 2]$.

2. Con $t = e^x$:

cioè $t < 2$ oppure $t > 4$; con $t > 0$ diventa $0 < t < 2$ oppure $t > 4$. La base $e$ è maggiore di 1:

La soluzione è $(-\infty,\ \ln 2) \cup (\ln 4,\ +\infty)$, cioè circa $x < 0{,}693$ oppure $x > 1{,}386$.

Verifica. Punto 1: per $x = 1$ si ha $5 + 5 = 10 \leq 26$, vero; per $x = 3$ si ha $125 + \frac{1}{5}$, falso. Punto 2: $x = 1$ sta tra $\ln 2$ e $\ln 4$, e infatti $e + \frac{8}{e} \approx 5{,}66$ non supera 6.

1. Isola la potenza: $5^x < 7$. Il 7 non è una potenza intera di 5, ma per la definizione di logaritmo vale $7 = 5^{\log_5 7}$. Base maggiore di 1, verso che resta:

La soluzione è $(-\infty,\ \log_5 7)$.

2. Applica $\ln$ ai due membri, che sono positivi: $\ln$ è strettamente crescente, quindi il verso resta.

Ora $\ln 0{,}4$ è negativo, perché $0{,}4 < 1$: dividendo, il verso si inverte.

La soluzione è $\left(-\infty,\ \frac{\ln 10}{\ln 2{,}5}\right]$, che si può scrivere anche come $x \leq \log_{0{,}4} 0{,}1$.

3. Basi diverse, non riconducibili una all’altra: si applica $\ln$, e la regola $\ln a^k = k \ln a$ porta giù gli esponenti.

Il coefficiente sembra positivo, ma non lo è:

Dividendo per un numero negativo il verso si inverte:

Controllo con la seconda strada: $2^{3x+1} = 2 \cdot 8^x$, e dividendo per $8^x > 0$ si ottiene $\left(\frac{7}{8}\right)^x \leq 2$. La base è minore di 1, quindi $x \geq \log_{7/8} 2$, lo stesso numero. La soluzione è $\left[-\frac{\ln 2}{\ln(8/7)},\ +\infty\right)$.

Verifica. Punto 1: $x = 1$ dà $13 < 17$, vero; $x = 2$ dà $53$, falso. Punto 2: $(0{,}4)^2 = 0{,}16 \geq 0{,}1$, vero; $(0{,}4)^3 = 0{,}064$, falso. Punto 3: per $x = -5$ si ha $7^{-5} \approx 5{,}95 \cdot 10^{-5} \leq 2^{-14} \approx 6{,}10 \cdot 10^{-5}$, vero; per $x = -6$ si ha $8{,}50 \cdot 10^{-6}$ contro $7{,}63 \cdot 10^{-6}$, falso. Il confine sta proprio tra $-6$ e $-5$.

C.E.: $2^x \neq 2$, cioè $x \neq 1$. Il denominatore $2^x - 2$ è negativo per $x < 1$ e positivo per $x > 1$: non si moltiplica per lui. Si porta tutto a primo membro:

Il numeratore, con $t = 2^x$, è $3 + 2t - t^2 = (3 - t)(1 + t)$. Quindi

Il fattore $1 + 2^x$ è sempre positivo e si cancella senza toccare il verso. Restano due fattori:

• numeratore: $3 - 2^x \geq 0 \iff 2^x \leq 3 \iff x \leq \log_2 3$;
• denominatore: $2^x - 2 > 0 \iff x > 1$, con il segno stretto.

Siccome $\log_2 3 \approx 1{,}585$ sta dopo 1:

La frazione è positiva tra 1 e $\log_2 3$ e nulla in $\log_2 3$, che si include perché c’è $\geq$; in 1 non esiste. La soluzione è

cioè l’intervallo $(1,\ \log_2 3]$.

Verifica. Per $x = 1{,}3$: $2^{1{,}3} \approx 2{,}462$ e $\frac{3}{0{,}462} \approx 6{,}49 \geq 2{,}46$, vero. Per $x = 0$: $\frac{3}{1 - 2} = -3$, che non è $\geq 1$. Per $x = 2$: $\frac{3}{2} \geq 4$, falso.

Servono le regole del valore assoluto: con $B > 0$, $|A| < B$ equivale a $-B < A < B$, cioè a due disuguaglianze che valgono insieme.

1. A destra c’è un’espressione. Un valore assoluto non è mai negativo, quindi serve $e^x - 1 > 0$, cioè $x > 0$: per $x \leq 0$ non ci sono soluzioni. Con $x > 0$:

La disuguaglianza di destra dice $-2 < -1$: sempre vera. Quella di sinistra:

Questa condizione implica già $x > 0$. La soluzione è $\left(\ln\frac{3}{2},\ +\infty\right)$.

2. Con $t = 2^x > 0$, siccome $2^{x+1} = 2t$:

Le due disuguaglianze vanno a sistema:

La prima è sempre vera, perché $t^2 - 2t + 48 = (t - 1)^2 + 47$. La seconda è $(t - 8)(t + 6) < 0$, cioè $-6 < t < 8$; con $t > 0$ resta $0 < t < 8$. Quindi $2^x < 8$, cioè $x < 3$. La soluzione è $(-\infty,\ 3)$.

Verifica. Punto 1: per $x = 1$ si ha $|e - 2| \approx 0{,}72 < e - 1 \approx 1{,}72$, vero; per $x = 0{,}2$ si ha $0{,}78 < 0{,}22$, falso. Punto 2: per $x = 1$ si ha $|4 - 4| = 0 < 48$, vero; per $x = 4$ si ha $|256 - 32| = 224$, falso.

Le potenze esistono per ogni $x$; le condizioni nascono dalla radice, dal logaritmo e dal denominatore, come in ogni dominio di una funzione. Devono valere tutte insieme:

Radice. Con $t = 2^x > 0$ diventa $2t - t^2 \geq 0$, cioè $t\,(2 - t) \geq 0$. Siccome $t > 0$, si divide per $t$: $t \leq 2$, cioè $2^x \leq 2$, cioè $x \leq 1$.

Logaritmo. $3^x > 2 \iff x > \log_3 2 \approx 0{,}631$.

Denominatore. Il logaritmo vale zero quando il suo argomento vale 1:

Intersezione. Le prime due condizioni danno $\log_3 2 < x \leq 1$; la terza toglie proprio $x = 1$. Il dominio è

Verifica. Per $x = 0{,}8$ il radicando vale circa $3{,}48 - 3{,}03 = 0{,}45$ e l’argomento del logaritmo circa $0{,}41$, positivo e diverso da 1: $0{,}8 \in D$. Per $x = 0{,}5$ l’argomento vale $\sqrt{3} - 2 \approx -0{,}27$: il logaritmo non esiste.

Il trucco è separare il parametro. Dividi per $3^x$, che è positivo, quindi il verso resta:

Chiama $g(x) = 3^x + 4 \cdot 3^{-x}$. La domanda diventa: quando il grafico di $g$ sta tutto sopra la retta orizzontale $y = k$?

Il minimo di $g$, senza derivate. Con $t = 3^x > 0$:

Il numeratore è un quadrato e il denominatore è positivo: quindi $g \geq 4$, con l’uguaglianza solo per $t = 2$, cioè $x = \log_3 2$. Il minimo di $g$ è 4.

1. Se $k < 4$, per ogni $x$ si ha $g(x) \geq 4 > k$: la disequazione è vera per ogni $x$. Se invece $k \geq 4$, in $x = \log_3 2$ si ha $g = 4 \leq k$, e lì è falsa. La risposta è $k < 4$.

2. Dividendo ancora per $3^x$, la nuova disequazione equivale a $g(x) \leq k$. Ha soluzioni se e solo se qualche valore di $g$ è minore o uguale a $k$, cioè se $k \geq 4$: è esattamente la negazione del punto 1. Per $k = 4$ c’è una sola soluzione, $x = \log_3 2$.

3. Per $k = 5$, con $t = 3^x$:

Quindi $3^0 \leq 3^x \leq 3^{\log_3 4}$, cioè $0 \leq x \leq \log_3 4 \approx 1{,}262$. La soluzione è $[0,\ \log_3 4]$.

Sul grafico di $g$ si legge tutto: la retta $y = 3$ sta tutta sotto, la retta $y = 4$ tocca il minimo, la retta $y = 5$ taglia il grafico in $x = 0$ e $x = \log_3 4$, e tra i due punti il grafico sta sotto la retta.

Verifica. Con $k = 5$ e $x = 1$: $9 - 15 + 4 = -2 \leq 0$, vero, e infatti 1 sta tra 0 e $1{,}262$. Con $k = 3$ e $x = \log_3 2$: $4 - 6 + 4 = 2 > 0$, vero anche nel punto più delicato.

La $x$ sta all’esponente e fuori: nessun passaggio algebrico la isola. Le soluzioni sono le $x$ in cui la curva $y = e^x$ sta sotto la retta $y = 2x + 1$, o la tocca. Porta tutto da una parte:

una funzione continua su $\mathbb{R}$. Serve $h(x) \leq 0$, quindi tutto si riduce a studiare il segno di $h$.

Un punto esatto. $h(0) = 1 - 0 - 1 = 0$: i grafici si incontrano in $(0, 1)$. Provare i valori interi conviene sempre.

Un secondo punto. $h(1) = e - 3 \approx -0{,}28$ e $h(2) = e^2 - 5 \approx 2{,}39$ hanno segni opposti. Per il teorema degli zeri c’è uno zero $\beta$ tra 1 e 2.

Non ce ne sono altri. Il grafico di $e^x$ è strettamente convesso, e una retta taglia il grafico di una funzione strettamente convessa al massimo in due punti. Lo dimostrerai con le derivate, nel capitolo su concavità e flessi.

Quanto vale $\beta$. Si restringe l’intervallo tenendo sempre il tratto in cui $h$ cambia segno: $h(1{,}2) \approx -0{,}080$ e $h(1{,}3) \approx 0{,}069$, poi $h(1{,}25) \approx -0{,}010$ e $h(1{,}26) \approx 0{,}005$. Quindi $1{,}25 < \beta < 1{,}26$; con un passo in più, $h(1{,}255) \approx -0{,}002$, si arriva a $\beta \approx 1{,}26$.

Il segno. Tra due zeri consecutivi $h$ non cambia segno, altrimenti il teorema degli zeri darebbe un altro zero. Basta una prova per tratto:

La soluzione è

cioè l’intervallo $[0,\ \beta]$, con il secondo estremo approssimato.

Verifica. Per $x = 0{,}5$: $e^{0{,}5} \approx 1{,}65 \leq 2$, vero.