Disequazioni esponenziali con sostituzione: metodo t = aˣ, esempi ed esercizi svolti

Le disequazioni esponenziali con sostituzione sono quelle in cui compaiono una potenza $a^x$ e le sue potenze, anche nascoste, come $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 < 0$ oppure $e^{2x} - 8e^x + 15 \leq 0$. Con la sostituzione $t = a^x$ diventano disequazioni algebriche in $t$, quasi sempre di secondo grado: per questo si chiamano anche disequazioni esponenziali di secondo grado. Sono tra gli esercizi più frequenti del precorso e degli scritti di Analisi 1, e tornano ogni volta che cerchi il dominio o il segno di una funzione con gli esponenziali. Rispetto alle equazioni esponenziali con sostituzione ci sono due passaggi in più, dove nascono quasi tutti gli errori: intersecare con $t > 0$ e tornare alla $x$ con la regola del verso. In questa pagina vediamo l’idea, il teorema che giustifica il metodo, la scaletta con la tabella «da $t$ a $x$», le basi minori di 1, gli estremi con i logaritmi, il raccoglimento, le radici doppie e le cubiche in $t$, i casi sempre veri e impossibili, le disequazioni con $a^x$ e $a^{-x}$, le omogenee, un parametro, un dominio, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

L’idea: una disequazione di secondo grado travestita

Guarda $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 < 0$. Le basi 4 e 2 sono parenti: $4^x = \left(2^2\right)^x = \left(2^x\right)^2$. La disequazione contiene quindi solo $2^x$ e il suo quadrato. Chiamando $t = 2^x$ diventa

$$t^2 - 5t + 4 < 0$$

una disequazione di secondo grado, che sai già risolvere. Ma la $t$ non è una variabile qualsiasi: è una potenza di 2, quindi è sempre positiva, e ogni valore positivo di $t$ corrisponde a una sola $x$. Il metodo ha allora tre tempi: risolvi in $t$, butta via la parte con $t \leq 0$, traduci quello che resta in $x$.

Per riconoscere i termini si usano le proprietà delle potenze. Con $t = 2^x$, per esempio, $4^x = t^2$, $8^x = t^3$, $2^{x+3} = 8t$, $2^{2x+1} = 2t^2$ e $2^{-x} = \left(\frac{1}{2}\right)^x = \frac{1}{t}$. La tabella completa è nella pagina sulle equazioni; qui vediamo cosa cambia con le disuguaglianze.

Il teorema che fa funzionare il metodo

Teorema. Sia $a > 0$ con $a \neq 1$. La funzione $f(x) = a^x$ è una biiezione da $\mathbb{R}$ a $(0, +\infty)$: ogni $t > 0$ si scrive come $a^x$ per uno e un solo $x$, cioè $x = \log_a t$, e nessun $t \leq 0$ si scrive così. Inoltre, per ogni coppia di numeri $0 < t_1 < t_2$:

Lo stesso vale con $\leq$ al posto di $<$ e con una sola disuguaglianza, come $a^x > t_1$. Invece, se $c \leq 0$, la condizione $a^x > c$ è vera per ogni $x$ e la condizione $a^x < c$ (o $a^x \leq c$) non lo è per nessuno.

Perché è vero. Servono tre fatti sulla funzione esponenziale.

• $a^x > 0$ per ogni $x$: i valori $t \leq 0$ non si raggiungono mai.
• Ogni $t > 0$ viene raggiunto: l’immagine di $a^x$ è tutto $(0, +\infty)$. È l’esistenza del logaritmo, $a^{\log_a t} = t$, e si dimostra con la continuità: qui la usiamo senza dimostrarla.
• Per $a > 1$ la funzione è strettamente crescente, come dimostrato nelle disequazioni esponenziali. Allora $A < B \iff a^A < a^B$: da sinistra a destra è la monotonia; da destra a sinistra, se fosse $A \geq B$ avresti $a^A \geq a^B$, assurdo.

Ora scrivi $t_1 = a^{\log_a t_1}$. La condizione $t_1 < a^x$ diventa $a^{\log_a t_1} < a^x$, cioè $\log_a t_1 < x$; allo stesso modo $a^x < t_2$ diventa $x < \log_a t_2$. Per $0 < a < 1$ la funzione è strettamente decrescente e ogni disuguaglianza tra gli esponenti si rovescia. La monotonia deve essere stretta: è lei che garantisce che a ogni $t$ corrisponda una sola $x$ e che il passaggio sia un’equivalenza.

Conseguenza. Se $P$ è un polinomio, $P(a^x) > 0$ equivale a dire che $t = a^x$ sta nelle soluzioni di $P(t) > 0$ e nell’intervallo $(0, +\infty)$. Quindi si risolve in $t$, si interseca con $t > 0$ e si traduce intervallo per intervallo: nessuna soluzione persa, nessuna aggiunta.

La scaletta

1. Riscrivi tutti i termini come potenze della stessa base $a$: $a^{2x} = t^2$, $a^{x+k} = a^k\,t$, $a^{-x} = \frac{1}{t}$.
2. Sostituisci $t = a^x$ e scrivi accanto $t > 0$. Se compare $\frac{1}{t}$, moltiplica per $t$: è positivo, il verso resta.
3. Risolvi in $t$. Con il coefficiente di $t^2$ positivo la parabola è negativa tra le radici e positiva fuori, sempre positiva se il discriminante è negativo. Con un grado più alto scomponi con Ruffini e studia il segno dei fattori.
4. Interseca con $t > 0$. Scarta gli intervalli fatti solo di numeri $t \leq 0$; di un intervallo che contiene lo zero tieni la parte positiva, per esempio $-2 < t < 1$ diventa $0 < t < 1$.
5. Torna alla $x$, intervallo per intervallo: con $a > 1$ il verso resta, con $0 < a < 1$ si inverte. Se un estremo $c$ non è una potenza «bella» della base, scrivi $\log_a c = \frac{\ln c}{\ln a}$. Il logaritmo si scrive solo di numeri positivi.
6. Controlla con un valore dentro e uno fuori dalle soluzioni, nella disequazione di partenza.

Il passo 5 si legge in questa tabella, con $0 < c < d$, $\alpha = \log_a c$ e $\beta = \log_a d$:

Condizione su $t$	$a > 1$	$0 < a < 1$
$0 < t < c$	$x < \alpha$	$x > \alpha$
$t > c$	$x > \alpha$	$x < \alpha$
$c < t < d$	$\alpha < x < \beta$	$\beta < x < \alpha$
$t \leq 0$	nessuna $x$	nessuna $x$

Lo zero non è un vero estremo: $0 < t < c$ è la stessa cosa di $a^x < c$, perché $a^x$ è positivo comunque. Con la base minore di 1, nell’intervallo $c < t < d$ gli estremi si scambiano di posto: il $t$ più grande dà la $x$ più piccola.

Esempio 1: tutto dentro t > 0

Esempio 1. $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 < 0$.

Con $t = 2^x$, $t > 0$:

$$\begin{gathered} t^2 - 5t + 4 < 0 \\ {} \iff (t - 1)(t - 4) < 0 \\ {} \iff 1 < t < 4 \end{gathered}$$

La parabola è rivolta verso l’alto, quindi è negativa tra le radici. L’intervallo $1 < t < 4$ sta già tutto nella zona $t > 0$: l’intersezione non toglie niente.

Si torna alla $x$ con la base $2 > 1$, quindi il verso resta:

$$\begin{gathered} 1 < 2^x < 4 \\ {} \iff 2^0 < 2^x < 2^2 \\ {} \iff 0 < x < 2 \end{gathered}$$

Controllo: per $x = 1$ il primo membro vale $4 - 10 + 4 = -2 < 0$, vero; per $x = 3$ vale $64 - 40 + 4 = 28$, falso. Gli estremi 0 e 2 sono proprio le soluzioni dell’equazione $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$, esclusi perché il segno è stretto.

Esempio 2: quando una parte va scartata

Esempio 2. $9^x - 2 \cdot 3^x - 3 \geq 0$.

Con $t = 3^x$, $t > 0$, si ha $9^x = t^2$:

$$\begin{gathered} t^2 - 2t - 3 \geq 0 \\ {} \iff (t - 3)(t + 1) \geq 0 \\ {} \iff t \leq -1 \ \text{ oppure } \ t \geq 3 \end{gathered}$$

Ora l’intersezione con $t > 0$ conta: la parte $t \leq -1$ si scarta, perché nessuna potenza di 3 è negativa. Resta $3^x \geq 3 = 3^1$ e, con la base $3 > 1$, la soluzione è $x \geq 1$. La figura mostra i due tempi.

Dimenticare $t > 0$ qui non cambierebbe il risultato, perché $3^x \leq -1$ è impossibile; ma scrivere $x \leq \log_3(-1)$ non ha senso, perché quel logaritmo non esiste. Con il verso opposto l’errore pesa di più: $9^x - 2 \cdot 3^x - 3 < 0$ dà $-1 < t < 3$, che con $t > 0$ diventa $0 < t < 3$, cioè $x < 1$. L’estremo $-1$ sparisce, non diventa un logaritmo.

Lo stesso succede nel dominio di una funzione come $\ln(9^x - 6 \cdot 3^x - 27)$: l’argomento è positivo per $t < -3$ oppure $t > 9$, la prima parte si scarta e resta $3^x > 9$, cioè $x > 2$.

Esempio 3: con una base minore di 1

Esempio 3. $\left(\frac{1}{4}\right)^x - 3\left(\frac{1}{2}\right)^x + 2 > 0$.

Con $t = \left(\frac{1}{2}\right)^x$, $t > 0$, si ha $\left(\frac{1}{4}\right)^x = t^2$:

$$\begin{gathered} t^2 - 3t + 2 > 0 \\ {} \iff (t - 1)(t - 2) > 0 \\ {} \iff t < 1 \ \text{ oppure } \ t > 2 \end{gathered}$$

Con $t > 0$ diventa $0 < t < 1$ oppure $t > 2$. Tornando alla $x$ la base è $\frac{1}{2} < 1$, quindi il verso si inverte:

• $\left(\frac{1}{2}\right)^x < 1 = \left(\frac{1}{2}\right)^0 \iff x > 0$;
• $\left(\frac{1}{2}\right)^x > 2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \iff x < -1$.

La soluzione è $x < -1$ oppure $x > 0$, cioè $(-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$. Controllo con $x = -\frac{1}{2}$: il primo membro vale $2 - 3\sqrt{2} + 2 \approx -0{,}24$, negativo, e infatti $-\frac{1}{2}$ è escluso.

Si può anche evitare l’inversione: con $u = 2^x$ si ha $\left(\frac{1}{2}\right)^x = \frac{1}{u}$ e, moltiplicando per $u^2 > 0$, si arriva a $2u^2 - 3u + 1 > 0$, cioè $u < \frac{1}{2}$ oppure $u > 1$: di nuovo $x < -1$ oppure $x > 0$. Usa un metodo o l’altro, non entrambi.

Quando servono i logaritmi

Se un estremo in $t$ non è una potenza della base, la soluzione esiste comunque, come garantisce il teorema, e si scrive con il logaritmo, come nelle equazioni esponenziali con i logaritmi. Con la base $e$ il passaggio si giustifica anche così: per $A, B > 0$ vale $A \leq B \iff \ln A \leq \ln B$, perché $\ln$ è strettamente crescente.

Esempio 4. $e^{2x} - 8e^x + 15 \leq 0$.

Con $t = e^x$, $t > 0$, si ottiene $t^2 - 8t + 15 = (t - 3)(t - 5) \leq 0$, cioè $3 \leq t \leq 5$, tutto positivo. La base $e \approx 2{,}718$ è maggiore di 1:

$$\begin{gathered} 3 \leq e^x \leq 5 \\ {} \iff \ln 3 \leq x \leq \ln 5 \end{gathered}$$

cioè circa $1{,}099 \leq x \leq 1{,}609$, estremi inclusi perché c’è $\leq$. Scrivi sempre la forma esatta, $\ln 3$ e $\ln 5$, e aggiungi il valore approssimato.

Il raccoglimento nelle disequazioni

Quando gli esponenti differiscono solo per una costante, come $x + 3$, $x + 1$ e $x - 1$, basta raccogliere, usando $a^{x+k} = a^k \cdot a^x$. Si raccoglie la potenza con l’esponente più piccolo, così nella parentesi restano numeri interi. Poi si divide per il numero nella parentesi: se è positivo il verso resta, se fosse negativo si invertirebbe, come in ogni disequazione.

Esempio 5. $2^{x+3} - 2^{x+1} - 2^{x-1} < 22$.

L’esponente più piccolo è $x - 1$: $2^{x+3} = 16 \cdot 2^{x-1}$ e $2^{x+1} = 4 \cdot 2^{x-1}$.

$$\begin{gathered} 2^{x-1}\,(16 - 4 - 1) < 22 \\ {} \iff 11 \cdot 2^{x-1} < 22 \\ {} \iff 2^{x-1} < 2 \\ {} \iff x - 1 < 1 \iff x < 2 \end{gathered}$$

Controllo sull’estremo: per $x = 2$ il primo membro vale $32 - 8 - 2 = 22$, esattamente il secondo membro.

Esempio 6: dividere per una potenza. $2^{x+2} - 2^x < 3^{x+1}$.

A sinistra si raccoglie $2^x$: $2^x\,(4 - 1) = 3 \cdot 2^x$. A destra $3^{x+1} = 3 \cdot 3^x$. Dividendo per 3 resta $2^x < 3^x$. Ora si divide per $3^x$, che è positivo, quindi il verso resta:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^x < 1 = \left(\frac{2}{3}\right)^0 \iff x > 0$$

Nell’ultimo passaggio il verso si inverte perché la base $\frac{2}{3}$ è minore di 1. Dividere per una potenza positiva è sempre lecito; per $2^x - 1$, che può essere negativo o nullo, no.

Radici doppie, cubiche e casi limite

La radice doppia: minore o minore o uguale?

Esempio 7. Confronta con zero $9^x - 2 \cdot 3^{x+1} + 9$.

Con $t = 3^x$ si ha $2 \cdot 3^{x+1} = 6t$, e il primo membro è un quadrato: $t^2 - 6t + 9 = (t - 3)^2$. Le quattro disequazioni possibili hanno quattro risposte diverse:

• $(t - 3)^2 \geq 0$: sempre vera, per ogni $x$;
• $(t - 3)^2 > 0$: vera per $t \neq 3$, cioè per ogni $x$ diverso da 1;
• $(t - 3)^2 \leq 0$: vera solo per $t = 3$, cioè per $x = 1$ e basta;
• $(t - 3)^2 < 0$: impossibile.

Il caso delicato è il terzo: «minore o uguale a zero» non è impossibile, perché il quadrato può valere zero. La soluzione è un solo punto.

Sempre vere e impossibili, grazie a t > 0

Prima di partire, guarda i segni: se tutti i termini sono positivi, come in $4^x + 2^{x+1} + 1$, il primo membro è positivo e il confronto con lo zero è immediato. Negli altri casi decide il polinomio in $t$, ma solo per $t > 0$.

• $4^x - 2^x + 1 > 0$ è sempre vera: $t^2 - t + 1$ ha discriminante $1 - 4 = -3 < 0$, quindi è positivo per ogni $t$. Qui l’occhiata ai segni non bastava, perché c’è un meno.
• $4^x + 5 \cdot 2^x + 6 < 0$ è impossibile: $t^2 + 5t + 6 = (t + 2)(t + 3)$ è negativo solo per $-3 < t < -2$, un intervallo di numeri negativi che $t = 2^x$ non raggiunge mai.

Il secondo caso mostra il principio generale: una disequazione può avere soluzioni in $t$ e nessuna in $x$, se tutte quelle in $t$ sono minori o uguali a zero.

Una cubica in t

Esempio 8. $8^x - 4^{x+1} + 2^x + 6 > 0$.

Con $t = 2^x$ si ha $8^x = t^3$ e $4^{x+1} = 4t^2$:

$$t^3 - 4t^2 + t + 6 > 0$$

Le radici intere vanno cercate tra i divisori di 6. Con $t = -1$ si ottiene $-1 - 4 - 1 + 6 = 0$, e dividendo con Ruffini per $t + 1$:

$$\begin{gathered} (t + 1)\left(t^2 - 5t + 6\right) > 0 \\ {} \iff (t + 1)(t - 2)(t - 3) > 0 \end{gathered}$$

Per $t > 0$ il fattore $t + 1$ è positivo e non cambia il segno: si può togliere, come i fattori sempre positivi delle fratte. Resta $(t - 2)(t - 3) > 0$, cioè $0 < t < 2$ oppure $t > 3$. Tornando alla $x$, $2^x < 2$ dà $x < 1$, e $2^x > 3$ dà

$$x > \log_2 3 = \frac{\ln 3}{\ln 2} \approx 1{,}585$$

La soluzione è $x < 1$ oppure $x > \log_2 3$. Controllo con $x = 1{,}2$, che sta in mezzo: il primo membro vale circa $-0{,}69$, negativo, come deve essere.

Con aˣ e a⁻ˣ

Quando compaiono $a^x$ e $a^{-x}$, o esponenti come $1 - x$, si usa $a^{-x} = \frac{1}{t}$ e si moltiplica tutto per $t$. In una disequazione moltiplicare per un’espressione di segno sconosciuto è vietato: se fosse negativa, il verso andrebbe invertito. Ma $t = a^x$ è sempre positivo: se $A > B$ e $t > 0$, allora $tA > tB$, e viceversa dividendo per $t$. Il passaggio è un’equivalenza e il verso resta.

Esempio 9. $2^x + 2^{1-x} > 3$.

Si scrive $2^{1-x} = \frac{2}{2^x}$ e si pone $t = 2^x$, $t > 0$:

$$\begin{gathered} t + \frac{2}{t} > 3 \\ {} \iff t^2 + 2 > 3t \\ {} \iff t^2 - 3t + 2 > 0 \end{gathered}$$

quindi $t < 1$ oppure $t > 2$, e con $t > 0$: $0 < t < 1$ oppure $t > 2$. Tornando alla $x$: $2^x < 1$, cioè $x < 0$, oppure $2^x > 2$, cioè $x > 1$.

Il grafico spiega perché la soluzione è fatta di due pezzi: la funzione $2^x + 2^{1-x}$ scende, tocca un minimo e risale, e la retta $y = 3$ la taglia in $x = 0$ e in $x = 1$.

Il minimo di aˣ + a⁻ˣ

Per ogni $t > 0$:

$$\begin{gathered} t + \frac{1}{t} - 2 = \frac{(t - 1)^2}{t} \geq 0 \\ \text{cioè} \quad t + \frac{1}{t} \geq 2 \end{gathered}$$

con l’uguale solo per $t = 1$. Quindi $a^x + a^{-x} \geq 2$ per ogni $x$, con l’uguale solo in $x = 0$. Ne seguono tre risposte immediate: $a^x + a^{-x} \geq 2$ è sempre vera, $a^x + a^{-x} > 2$ vale per ogni $x \neq 0$, $a^x + a^{-x} < 2$ è impossibile. Con la base $e$ la somma è $2\cosh x$, ed è per questo che nelle funzioni iperboliche si trova $\cosh x \geq 1$.

Nell’esempio 9 lo stesso conto dà

$$t + \frac{2}{t} - 2\sqrt{2} = \frac{\left(t - \sqrt{2}\right)^2}{t} \geq 0$$

quindi il minimo vale $2\sqrt{2} \approx 2{,}83$ e si ha per $t = \sqrt{2}$, cioè $x = \frac{1}{2}$. Siccome 3 supera il minimo, la retta taglia la curva in due punti.

Le disequazioni omogenee

Definizione. Una disequazione esponenziale omogenea ha la forma

$$p\,a^{2x} + q\,(ab)^x + r\,b^{2x} > 0$$

(oppure con $<$, $\geq$, $\leq$), con $a, b > 0$ diversi tra loro e $p$, $q$, $r$ numeri reali.

Si divide tutto per $b^{2x}$, che è positivo: il verso resta. Siccome $\frac{a^{2x}}{b^{2x}} = \left(\left(\frac{a}{b}\right)^x\right)^2$ e $\frac{(ab)^x}{b^{2x}} = \left(\frac{a}{b}\right)^x$, si pone $t = \left(\frac{a}{b}\right)^x$, con $t > 0$, e si ottiene $p\,t^2 + q\,t + r > 0$. Alla fine guarda la nuova base $\frac{a}{b}$: se è maggiore di 1 il verso resta, se è minore si inverte. Un trucco: dividi per la potenza che rende la base maggiore di 1, così non inverti mai.

Esempio 10. $4^x + 6^x < 2 \cdot 9^x$.

Le basi sono $4 = 2^2$, $6 = 2 \cdot 3$, $9 = 3^2$. Dividendo per $9^x > 0$ il verso resta:

$$\left(\frac{4}{9}\right)^x + \left(\frac{6}{9}\right)^x < 2$$

Con $t = \left(\frac{2}{3}\right)^x$, $t > 0$:

$$\begin{gathered} t^2 + t - 2 < 0 \\ {} \iff (t + 2)(t - 1) < 0 \\ {} \iff -2 < t < 1 \end{gathered}$$

Intersecando con $t > 0$ resta $0 < t < 1$, cioè $\left(\frac{2}{3}\right)^x < 1 = \left(\frac{2}{3}\right)^0$. La base è minore di 1, il verso si inverte: $x > 0$.

Dividendo invece per $4^x$, con $s = \left(\frac{3}{2}\right)^x$, si ottiene $1 + s < 2s^2$, cioè $(2s + 1)(s - 1) > 0$. Con $s > 0$ resta $s > 1$ e, con la base $\frac{3}{2} > 1$, ancora $x > 0$. Verifica: per $x = 1$ si ha $4 + 6 = 10 < 18$, vero; per $x = -1$ il primo membro vale $\frac{5}{12} \approx 0{,}42$, che non è minore di $\frac{2}{9} \approx 0{,}22$.

Una disequazione con un parametro

Una domanda tipica d’esame: per quali valori del parametro reale $k$ la disequazione

$$4^x - 8 \cdot 2^x + k > 0$$

è vera per ogni $x$ reale? Con $t = 2^x$ la domanda diventa: per quali $k$ il polinomio $g(t) = t^2 - 8t + k$ è positivo per ogni $t > 0$? Non per ogni $t$ reale: i valori negativi di $t$ non contano. Completando il quadrato:

$$g(t) = (t - 4)^2 + k - 16$$

Il minimo della parabola è nel vertice $t = 4$, un valore positivo che $t = 2^x$ raggiunge davvero, per $x = 2$. Quindi il minimo di $g$ per $t > 0$ è $k - 16$, e la disequazione è vera per ogni $x$ se e solo se $k > 16$. Per $k = 16$ è falsa in $x = 2$, dove il primo membro vale zero.

Le disequazioni nei domini

La sostituzione serve spesso nel dominio di una funzione. Prendi

$$f(x) = \sqrt{25^x - 3 \cdot 5^x - 10}$$

Il radicando deve essere positivo o nullo. Con $t = 5^x$, $t > 0$:

$$\begin{gathered} t^2 - 3t - 10 \geq 0 \\ {} \iff (t - 5)(t + 2) \geq 0 \end{gathered}$$

cioè $t \leq -2$ oppure $t \geq 5$. La prima parte si scarta, e $5^x \geq 5$ dà $x \geq 1$: il dominio è $[1, +\infty)$. Con un logaritmo al posto della radice, $\ln(25^x - 3 \cdot 5^x - 10)$, servirebbe l’argomento strettamente positivo, e il dominio sarebbe $(1, +\infty)$: in $x = 1$ l’argomento vale $25 - 15 - 10 = 0$.

La stessa idea torna nelle disequazioni logaritmiche con sostituzione, con $t = \ln x$; lì però $t$ può essere qualsiasi numero reale, perché il logaritmo assume tutti i valori.

Gli errori più comuni

• Dimenticare la condizione $t > 0$. Così $t \leq -1$ sembra una vera soluzione e si prova a risolvere $3^x \leq -1$. Scrivi $t > 0$ subito, accanto alla sostituzione.
• Scrivere il logaritmo di un numero negativo o di zero. Da $-1 < t < 3$, con $t = 3^x$, non segue $\log_3(-1) < x$: l’estremo negativo sparisce e resta $0 < t < 3$.
• Dimenticare di invertire il verso alla fine, con una base minore di 1. Con $t = \left(\frac{1}{2}\right)^x$, la condizione $t > 2$ dà $x < -1$, non $x > -1$; e in $c < t < d$ gli estremi si scambiano.
• Invertire il verso quando non serve. Moltiplicare o dividere per $t = a^x$, o per $b^{2x}$ nelle omogenee, non cambia il verso: sono positivi.
• Dividere per un fattore di segno variabile. Da $2^x(2^x - 1) > 3(2^x - 1)$ non segue $2^x > 3$: il fattore $2^x - 1$ è negativo per $x < 0$. La forma giusta è $(2^x - 1)(2^x - 3) > 0$, che ha anche le soluzioni $x < 0$.
• Fermarsi alla $t$. La risposta è un insieme di $x$: trovato $1 < t < 4$, bisogna ancora risolvere $1 < 2^x < 4$.
• Sbagliare con le radici doppie. $(t - 3)^2 \leq 0$ non è impossibile, vale per $t = 3$; e $(t - 3)^2 > 0$ non è sempre vera, perché esclude $t = 3$.
• Usare il discriminante come se $t$ fosse libera. Nei problemi «per ogni $x$» conta il segno per $t > 0$, non per ogni $t$: $t^2 + 2t + k > 0$ vale per ogni $t > 0$ già con $k = 0$.

Esercizi svolti

1. Una base maggiore di 1

Testo. Risolvi $9^x - 4 \cdot 3^{x+1} + 27 > 0$.

Con $t = 3^x$, $t > 0$, si ha $9^x = t^2$ e $3^{x+1} = 3t$, quindi $4 \cdot 3^{x+1} = 12t$. Il discriminante è $144 - 108 = 36$ e le radici sono $\frac{12 \pm 6}{2}$, cioè 3 e 9:

$$\begin{gathered} t^2 - 12t + 27 > 0 \\ {} \iff (t - 3)(t - 9) > 0 \end{gathered}$$

La parabola è positiva fuori dalle radici: $t < 3$ oppure $t > 9$. Con $t > 0$ diventa $0 < t < 3$ oppure $t > 9$. La base 3 è maggiore di 1, quindi il verso resta: $3^x < 3^1$ dà $x < 1$, e $3^x > 9 = 3^2$ dà $x > 2$.

Controllo: per $x = 0$ il primo membro vale $1 - 12 + 27 = 16 > 0$, vero; per $x = 1{,}5$ vale $27 - 4 \cdot 3^{2{,}5} + 27 \approx -8{,}35$, falso. La soluzione è $x < 1$ oppure $x > 2$, cioè $(-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$.

2. Una base decimale minore di 1

Testo. Risolvi $0{,}25^x - 9 \cdot 0{,}5^x + 8 \leq 0$.

Siccome $0{,}5 = \frac{1}{2}$ e $0{,}25 = \left(\frac{1}{2}\right)^2$, poni $t = 0{,}5^x$, con $t > 0$: allora $0{,}25^x = t^2$.

$$\begin{gathered} t^2 - 9t + 8 \leq 0 \\ {} \iff (t - 1)(t - 8) \leq 0 \\ {} \iff 1 \leq t \leq 8 \end{gathered}$$

L’intervallo è già tutto positivo. Tornando alla $x$ la base è $\frac{1}{2} < 1$, quindi il verso si inverte:

$$\begin{gathered} \left(\frac{1}{2}\right)^0 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^x \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} \\ {} \iff -3 \leq x \leq 0 \end{gathered}$$

Nota lo scambio: $t = 8$, l’estremo destro in $t$, diventa $x = -3$, l’estremo sinistro in $x$. Con la base 2 si ritrova lo stesso: $1 \leq 2^{-x} \leq 8$, cioè $0 \leq -x \leq 3$. Prova: per $x = -1$ si ha $4 - 18 + 8 = -6 \leq 0$, vero; per $x = 1$ si ha $0{,}25 - 4{,}5 + 8 = 3{,}75$, falso. La soluzione è l’intervallo chiuso $[-3, 0]$.

3. Una parte da scartare e un logaritmo

Testo. Risolvi $4^x - 2^{x+1} - 15 \leq 0$, dando l’estremo esatto e approssimato.

Con $t = 2^x$, $t > 0$, si ha $2^{x+1} = 2t$. Il discriminante è $4 + 60 = 64$ e le radici sono $\frac{2 \pm 8}{2}$, cioè 5 e $-3$:

$$\begin{gathered} t^2 - 2t - 15 \leq 0 \\ {} \iff (t - 5)(t + 3) \leq 0 \\ {} \iff -3 \leq t \leq 5 \end{gathered}$$

Intersecando con $t > 0$ resta $0 < t \leq 5$: l’estremo $-3$ sparisce e rimane solo la condizione $2^x \leq 5$. Siccome 5 non è una potenza intera di 2, si usa il logaritmo; la base è maggiore di 1 e il verso resta:

$$x \leq \log_2 5 = \frac{\ln 5}{\ln 2} \approx 2{,}322$$

Il valore è sensato, perché $4 < 5 < 8$. Prova: per $x = 2$ si ha $16 - 8 - 15 = -7 \leq 0$, vero; per $x = 3$ si ha $64 - 16 - 15 = 33$, falso. La soluzione è $(-\infty, \log_2 5]$, e non $\log_2(-3) \leq x \leq \log_2 5$: quel logaritmo non esiste.

4. Con a alla x e a alla meno x

Testo. Risolvi $3^x + 3^{2-x} < 10$. Poi spiega perché $3^x + 3^{2-x} < 6$ è impossibile.

Si spezza $3^{2-x} = \frac{9}{3^x}$ e si pone $t = 3^x$, $t > 0$. Si moltiplica per $t$, positivo, e il verso resta:

$$\begin{gathered} t + \frac{9}{t} < 10 \\ {} \iff t^2 - 10t + 9 < 0 \\ {} \iff 1 < t < 9 \end{gathered}$$

Tutto positivo; con la base 3 si ottiene $3^0 < 3^x < 3^2$, cioè $0 < x < 2$. Controllo: per $x = 1$ si ha $3 + 3 = 6 < 10$, vero; per $x = 3$ si ha $27 + \frac{1}{3}$, falso. Le soluzioni sono simmetriche rispetto a $x = 1$: scambiando $x$ con $2 - x$ i due termini si scambiano.

Per la seconda domanda, per ogni $t > 0$:

$$t + \frac{9}{t} - 6 = \frac{(t - 3)^2}{t} \geq 0$$

Quindi $3^x + 3^{2-x} \geq 6$ per ogni $x$, con l’uguale solo per $t = 3$, cioè $x = 1$: il primo membro non scende mai sotto 6, e la disequazione con $< 6$ non ha soluzioni.

5. Un’omogenea con i logaritmi

Testo. Risolvi $2 \cdot 4^x + 2 \cdot 25^x \geq 5 \cdot 10^x$, con gli estremi esatti e approssimati.

Le basi sono $4 = 2^2$, $10 = 2 \cdot 5$ e $25 = 5^2$: è omogenea. Si divide per $4^x > 0$, che non cambia il verso, e si pone $s = \left(\frac{5}{2}\right)^x$, con $s > 0$: così la base è maggiore di 1. Siccome $\frac{25^x}{4^x} = s^2$ e $\frac{10^x}{4^x} = s$:

$$\begin{gathered} 2 + 2s^2 \geq 5s \\ {} \iff 2s^2 - 5s + 2 \geq 0 \\ {} \iff (2s - 1)(s - 2) \geq 0 \end{gathered}$$

Il discriminante è $25 - 16 = 9$ e le radici sono $\frac{1}{2}$ e 2: la parabola è positiva o nulla per $s \leq \frac{1}{2}$ oppure $s \geq 2$, e con $s > 0$ restano $0 < s \leq \frac{1}{2}$ e $s \geq 2$. La base $\frac{5}{2}$ è maggiore di 1, quindi il verso resta:

$$\begin{gathered} x \leq \log_{5/2} \frac{1}{2} = -\frac{\ln 2}{\ln 5 - \ln 2} \\ \text{oppure} \quad x \geq \frac{\ln 2}{\ln 5 - \ln 2} \end{gathered}$$

Qui $\ln \frac{5}{2} = \ln 5 - \ln 2$, e il numero $\frac{\ln 2}{\ln 5 - \ln 2}$ vale circa $0{,}756$. La soluzione è quindi $x \leq -0{,}756$ oppure $x \geq 0{,}756$, con gli estremi approssimati. È simmetrica perché il coefficiente di $s^2$ e il termine noto sono uguali: se $s$ è una radice, lo è anche $\frac{1}{s}$. Prova: per $x = 0$ si confrontano $2 + 2 = 4$ e $5$, falso; per $x = 1$ si ha $8 + 50 = 58 \geq 50$, vero.

6. Da esame: un dominio con un parametro

Testo. Considera $f(x) = \ln\left(25^x - k \cdot 5^x + 16\right)$, con $k$ reale. Per quali $k$ il dominio di $f$ è tutto $\mathbb{R}$? Trova il dominio per $k = 17$.

Prima domanda. Il dominio è $\mathbb{R}$ se l’argomento è positivo per ogni $x$, cioè, con $t = 5^x$, se $t^2 - kt + 16 > 0$ per ogni $t > 0$. Dividendo per $t$, positivo, il verso resta:

$$t + \frac{16}{t} > k \quad \text{per ogni } t > 0$$

Come nell’esercizio 4, per ogni $t > 0$

$$t + \frac{16}{t} - 8 = \frac{(t - 4)^2}{t} \geq 0$$

quindi il primo membro vale almeno 8, e vale 8 per $t = 4$. Se $k < 8$, allora $t + \frac{16}{t} \geq 8 > k$ per ogni $t$: la condizione vale. Se $k \geq 8$, in $t = 4$ si ha $t + \frac{16}{t} = 8 \leq k$: la condizione cade. Il dominio è $\mathbb{R}$ se e solo se $k < 8$. Vanno bene anche i $k \leq -8$, per i quali il discriminante $k^2 - 64$ non è negativo: le radici in $t$ ci sono, ma sono negative. Per $k = 8$ l’argomento è $(5^x - 4)^2$, che si annulla in $x = \log_5 4$: il dominio perde quel punto.

Seconda domanda. Con $k = 17$:

$$\begin{gathered} t^2 - 17t + 16 > 0 \\ {} \iff (t - 1)(t - 16) > 0 \end{gathered}$$

cioè $t < 1$ oppure $t > 16$, e con $t > 0$: $0 < t < 1$ oppure $t > 16$. Tornando alla $x$ con la base 5: $5^x < 1$ dà $x < 0$, e $5^x > 16$ dà $x > \log_5 16 = \frac{\ln 16}{\ln 5} \approx 1{,}723$. Il dominio è

$$D = (-\infty,\ 0) \cup (\log_5 16,\ +\infty)$$

Controllo: per $x = 1$ l’argomento vale $25 - 85 + 16 = -44$, e infatti 1 è escluso; per $x = 2$ vale $625 - 425 + 16 = 216 > 0$.

Altri esercizi, anche fratti e con il valore assoluto, li trovi negli esercizi svolti sulle disequazioni esponenziali.

In sintesi

• Con $t = a^x$, dove $a > 0$ e $a \neq 1$, una disequazione con $a^x$, $a^{2x}$, $a^{-x}$ diventa algebrica in $t$: scrivi subito $t > 0$.
• $a^x$ è una biiezione strettamente monotona da $\mathbb{R}$ a $(0, +\infty)$: ogni $t > 0$ corrisponde a una sola $x$, i $t \leq 0$ a nessuna.
• Scaletta: risolvi in $t$, interseca con $t > 0$, torna alla $x$ intervallo per intervallo e controlla con un valore di prova.
• Tornando alla $x$: con $a > 1$ il verso resta, con $0 < a < 1$ si inverte e gli estremi si scambiano; un estremo $c > 0$ diventa $\log_a c = \frac{\ln c}{\ln a}$.
• Moltiplicare o dividere per $a^x$ o per $b^{2x}$ non cambia il verso; $a^x + a^{-x} \geq 2$, con l’uguale solo in $x = 0$.
• Omogenee: si divide per $b^{2x}$ e si pone $t = \left(\frac{a}{b}\right)^x$, guardando se $\frac{a}{b}$ è maggiore o minore di 1.
• Sempre vere, impossibili e parametri: conta il segno del polinomio solo per $t > 0$.

Restano le disequazioni fratte, quelle con il valore assoluto e quelle che si risolvono solo con i grafici: le trovi in disequazioni esponenziali fratte, con il modulo e grafiche.