Disequazioni esponenziali fratte, con valore assoluto e grafiche: metodo ed esercizi

Con la regola del verso e la sostituzione risolvi le disequazioni esponenziali «da sole». Negli esercizi, però, gli esponenziali compaiono quasi sempre dentro strutture più grandi: frazioni e prodotti, valori assoluti, domini di funzioni, sistemi, o disequazioni in cui la $x$ sta sia all’esponente sia fuori. In Analisi 1 le incontri soprattutto quando cerchi il dominio e il segno di una funzione nello studio di funzione esponenziale, e all’esame sono uno dei passaggi in cui si perdono più punti. In questa pagina vediamo perché non si moltiplica per il denominatore, lo studio del segno passo per passo, il trucco dei fattori sempre positivi, il valore assoluto (anche all’esponente), i domini, i sistemi, le disequazioni miste con i grafici e il teorema degli zeri, la disuguaglianza $e^x \geq x + 1$, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Perché non si moltiplica per il denominatore

Prendi questa disequazione:

$$\frac{3}{2^x - 1} < 1$$

La tentazione è «liberarsi» del denominatore moltiplicando i due membri per $2^x - 1$. Si otterrebbe $3 < 2^x - 1$, cioè $2^x > 4$, cioè $x > 2$. Ma prova con $x = -1$: il denominatore vale $\frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$, la frazione vale $-6$, e $-6 < 1$ è vero. Quindi $x = -1$ è una soluzione, e il conto veloce l’ha persa.

Il motivo: moltiplicando i due membri di una disequazione per un numero positivo il verso resta, per un numero negativo si inverte. E $2^x - 1$ è negativo per $x < 0$ e positivo per $x > 0$: non sappiamo quale delle due regole usare. Per questo non si moltiplica mai per un’espressione di cui non si conosce il segno. Nella sostituzione moltiplicavi per $t = a^x$ senza problemi proprio perché $a^x$ è sempre positivo.

La strada giusta è un’altra: si porta tutto a un membro, si arriva a un prodotto o a una frazione confrontati con zero, e si usa la regola dei segni.

Regola dei segni. Un prodotto o un quoziente di fattori diversi da zero è positivo se il numero dei fattori negativi è pari, negativo se è dispari. Vale zero quando si annulla un fattore del numeratore, e non esiste quando si annulla il denominatore.

Il metodo dello studio del segno

1. Porta tutto a primo membro, con lo $0$ al secondo, e scrivi il primo membro come un’unica frazione, con il denominatore comune.
2. Scomponi numeratore e denominatore in fattori: raccoglimento, prodotti notevoli, sostituzione $t = a^x$.
3. Elimina i fattori sempre positivi (li vediamo tra poco).
4. Studia il segno di ogni fattore. Per il numeratore risolvi $N \geq 0$ oppure $N > 0$, a seconda che la disequazione abbia o no l’uguale; per il denominatore sempre $D > 0$, con il segno stretto, perché non può valere zero. Ogni volta è una disequazione esponenziale elementare, da risolvere con la regola del verso.
5. Costruisci lo schema dei segni: metti in ordine sulla retta i punti in cui un fattore si annulla e, intervallo per intervallo, combina i segni.
6. Leggi la soluzione: prendi gli intervalli con il segno richiesto, aggiungi gli zeri del numeratore se c’è $\geq$ o $\leq$, escludi sempre gli zeri del denominatore.
7. Controlla con un valore di prova per intervallo nella disequazione di partenza.

È lo stesso metodo che userai per le disequazioni goniometriche fratte e per le disequazioni logaritmiche fratte: cambiano solo le disequazioni elementari del passo 4.

Applichiamolo all’esempio di prima. Portando l’1 a sinistra:

$$\begin{gathered} \frac{3}{2^x - 1} - 1 < 0 \\ {} \iff \frac{3 - (2^x - 1)}{2^x - 1} < 0 \\ {} \iff \frac{4 - 2^x}{2^x - 1} < 0 \end{gathered}$$

• Numeratore: $4 - 2^x > 0 \iff 2^x < 4 = 2^2 \iff x < 2$. Si annulla in $x = 2$.
• Denominatore: $2^x - 1 > 0 \iff 2^x > 2^0 \iff x > 0$.

I punti $0$ e $2$ dividono la retta in tre intervalli. In ognuno combiniamo i segni:

Intervallo	$N$ e $D$	frazione
$x < 0$	$+$ e $-$	$-$
$0 < x < 2$	$+$ e $+$	$+$
$x > 2$	$-$ e $+$	$-$

Cerchiamo dove la frazione è strettamente negativa. In $x = 2$ vale zero, che non è minore di zero, e in $x = 0$ non esiste: entrambi esclusi. La soluzione è

$$x < 0 \quad \text{oppure} \quad x > 2$$

cioè $(-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$. Ecco recuperato il pezzo $x < 0$ che la moltiplicazione aveva perso.

Lo schema dei segni disegnato

Al posto della tabella puoi disegnare una riga per ogni fattore: continua dove il fattore è positivo, tratteggiata dove è negativo, con un pallino pieno negli zeri che si possono includere e uno vuoto in quelli esclusi. Vediamolo con

$$\frac{2^x - 8}{3^x - 1} \geq 0$$

• Numeratore: $2^x - 8 \geq 0 \iff 2^x \geq 2^3 \iff x \geq 3$.
• Denominatore: $3^x - 1 > 0 \iff 3^x > 3^0 \iff x > 0$.

La frazione è positiva per $x < 0$ e per $x > 3$, nulla in $x = 3$ (incluso, perché c’è $\geq$) e non definita in $x = 0$:

$$x < 0 \quad \text{oppure} \quad x \geq 3$$

Controllo: con $x = -1$ la frazione vale $\frac{0{,}5 - 8}{\frac{1}{3} - 1} = \frac{45}{4} > 0$, sì; con $x = 1$ vale $\frac{2 - 8}{3 - 1} = -3$, no; con $x = 4$ vale $\frac{8}{80} > 0$, sì. Se avessi moltiplicato per il denominatore, avresti trovato solo $x \geq 3$.

Il trucco dei fattori sempre positivi

Una potenza con base positiva è sempre positiva: $a^x > 0$ per ogni $x$ reale (con $a > 0$).

Regola. Un fattore positivo per ogni $x$ non cambia il segno di un prodotto o di una frazione: si può cancellare, e il verso resta. Un fattore sempre negativo si cancella invertendo il verso.

Sono sempre positivi, per esempio:

• $2^x$, $e^x$, $e^{-x}$, $5^{x^2}$: potenze con base positiva;
• $e^x + 1$, $3^x + 5$, $4^x + 2^x + 1$: somme di numeri positivi.

È sempre negativo, invece, $-3^x - 1 = -(3^x + 1)$. Due esempi:

$$\begin{gathered} \frac{x - 1}{e^x + 2} > 0 \iff x - 1 > 0 \\ {} \iff x > 1 \\[3mm] \frac{x + 2}{-3^x - 1} \geq 0 \iff x + 2 \leq 0 \\ {} \iff x \leq -2 \end{gathered}$$

Occhio anche ai quadrati. $(2^x - 1)^2$ non è mai negativo, ma si annulla in $x = 0$, quindi non è «sempre positivo». Prendi

$$(2^x - 1)^2\,(x - 3) \geq 0$$

Per $x \neq 0$ il quadrato è positivo e resta $x - 3 \geq 0$, cioè $x \geq 3$. Ma in $x = 0$ il prodotto vale zero, e $0 \geq 0$ è vero: la soluzione è $x = 0$ oppure $x \geq 3$. Quel punto isolato si perde facilmente. Con il segno stretto, $> 0$, la soluzione sarebbe invece solo $x > 3$.

Fratte e prodotti: tre esempi svolti

Un prodotto con e alla x

$$(e^x - 2)(x - 3) < 0$$

• $e^x - 2 > 0 \iff e^x > 2 \iff x > \ln 2 \approx 0{,}69$, perché con la base $e > 1$ il verso resta.
• $x - 3 > 0 \iff x > 3$.

Il prodotto è negativo quando i due fattori hanno segni opposti. Per $x < \ln 2$ sono entrambi negativi, per $x > 3$ entrambi positivi; in mezzo il primo è positivo e il secondo negativo. La soluzione è

$$\ln 2 < x < 3$$

con gli estremi esclusi, perché lì il prodotto vale zero. Controllo con $x = 2$: $(e^2 - 2)(2 - 3) \approx -5{,}39 < 0$, sì.

La sostituzione al numeratore

$$\frac{4^x - 3 \cdot 2^x + 2}{2^x - 4} \leq 0$$

Il numeratore è un trinomio in $2^x$. Con $t = 2^x$ diventa $t^2 - 3t + 2 = (t - 1)(t - 2)$, quindi

$$4^x - 3 \cdot 2^x + 2 = (2^x - 1)(2^x - 2)$$

Ora abbiamo tre fattori, ognuno con la sua disequazione elementare:

• $2^x - 1 \geq 0 \iff x \geq 0$;
• $2^x - 2 \geq 0 \iff x \geq 1$;
• $2^x - 4 > 0 \iff x > 2$, con il segno stretto perché è il denominatore.

La frazione è negativa per $x < 0$ e per $1 < x < 2$; vale zero in $x = 0$ e in $x = 1$, che si includono; in $x = 2$ non esiste. La soluzione è

$$x \leq 0 \quad \text{oppure} \quad 1 \leq x < 2$$

Controllo con $x = 1{,}5$: il numeratore vale $8 - 3 \cdot 2^{1{,}5} + 2 \approx 1{,}51$ e il denominatore $2^{1{,}5} - 4 \approx -1{,}17$, quindi la frazione è negativa, sì. Se preferisci, puoi studiare il numeratore tutto insieme come nella sostituzione: $t \leq 1$ oppure $t \geq 2$, cioè $x \leq 0$ oppure $x \geq 1$. Lo schema è lo stesso, con una riga in meno.

Un prodotto con un fattore di secondo grado

$$(x^2 - 4)(2^x - 2) \leq 0$$

• $x^2 - 4 \geq 0 \iff x \leq -2$ oppure $x \geq 2$ (valori esterni alle radici).
• $2^x - 2 \geq 0 \iff 2^x \geq 2^1 \iff x \geq 1$.

I punti in cui un fattore si annulla, in ordine, sono $-2$, $1$ e $2$:

Intervallo	$x^2 - 4$ e $2^x - 2$	prodotto
$x < -2$	$+$ e $-$	$-$
$-2 < x < 1$	$-$ e $-$	$+$
$1 < x < 2$	$-$ e $+$	$-$
$x > 2$	$+$ e $+$	$+$

Servono gli intervalli negativi e i tre zeri, che rendono il prodotto nullo:

$$x \leq -2 \quad \text{oppure} \quad 1 \leq x \leq 2$$

Controllo con $x = 0$: $(0 - 4)(1 - 2) = 4$, che non è $\leq 0$; infatti 0 non è tra le soluzioni.

Disequazioni con il valore assoluto

Si usano le regole del valore assoluto. Con $k > 0$:

$$\begin{gathered} |A| < k \iff -k < A < k \\[2mm] |A| > k \iff A < -k \ \text{ oppure } \ A > k \end{gathered}$$

e allo stesso modo con $\leq$ e $\geq$. Se $k \leq 0$ la risposta è immediata: $|A| < k$ è impossibile, mentre $|A| > k$ con $k < 0$ è sempre vera dove $A$ esiste.

Le regole hanno un significato semplice: $|A - c|$ è la distanza tra i numeri $A$ e $c$ sulla retta. Prendi

$$|2^x - 3| < 1$$

Chiede che $2^x$ disti da 3 meno di 1, cioè che stia tra 2 e 4:

$$\begin{gathered} -1 < 2^x - 3 < 1 \\ {} \iff 2 < 2^x < 4 \\ {} \iff 1 < x < 2 \end{gathered}$$

Con $|A| > k$ i casi sono due, uniti da «oppure»:

$$\begin{gathered} |3^x - 5| \geq 4 \\ {} \iff 3^x - 5 \leq -4 \ \text{ oppure } \ 3^x - 5 \geq 4 \\ {} \iff 3^x \leq 1 \ \text{ oppure } \ 3^x \geq 9 \end{gathered}$$

cioè $x \leq 0$ oppure $x \geq 2$: il numero $3^x$ deve distare da 5 almeno 4. A volte uno dei due casi è impossibile, perché chiede a una potenza di essere negativa: lo vedi nell’esercizio 3.

Il valore assoluto all’esponente

Se il valore assoluto sta all’esponente, si confrontano gli esponenti come sempre:

$$\begin{gathered} 2^{|x|} < 4 = 2^2 \iff |x| < 2 \\ {} \iff -2 < x < 2 \end{gathered}$$

Con una base minore di 1 il verso si inverte anche qui: $\left(\frac{1}{2}\right)^{|x|} > \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$ equivale a $|x| < 3$, cioè $-3 < x < 3$.

Nota anche che $|x| \geq 0$, quindi $2^{|x|} \geq 2^0 = 1$ per ogni $x$: il grafico di $2^{|x|}$ è simmetrico rispetto all’asse $y$ e ha il minimo 1 in $x = 0$. Per questo $2^{|x|} < 1$ è impossibile e $2^{|x|} \geq 1$ è sempre vera.

Disequazioni esponenziali nei domini

La potenza $a^x$, con $a > 0$, è definita per ogni $x$ reale, quindi nel dominio di una funzione le condizioni arrivano dalle altre operazioni: l’argomento di una radice quadrata deve essere $\geq 0$, quello di un logaritmo $> 0$, un denominatore $\neq 0$. In più, se l’esponente contiene una frazione o una radice, deve esistere anche lui: $2^{1/x}$ richiede $x \neq 0$.

• $f(x) = \sqrt{2^x - 4}$: serve $2^x \geq 4 = 2^2$, cioè $x \geq 2$. Dominio $[2, +\infty)$.
• $g(x) = \ln(3^x - 9)$: serve $3^x > 9$, cioè $x > 2$. Dominio $(2, +\infty)$. Rispetto a prima il 2 è escluso, perché $\ln 0$ non esiste.
• $p(x) = \dfrac{1}{e^x - 1}$: serve $e^x \neq 1$, cioè $x \neq 0$. Dominio $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.
• $q(x) = \sqrt{\dfrac{2^x - 1}{x - 2}}$: serve una frazione positiva o nulla.

L’ultima richiede una disequazione fratta. Il numeratore è $\geq 0$ per $x \geq 0$, il denominatore è positivo per $x > 2$. Per $x < 0$ sono entrambi negativi e la frazione è positiva; tra 0 e 2 è negativa; per $x > 2$ è positiva. In $x = 0$ la frazione vale zero e la radice di zero esiste, quindi lo 0 si include:

$$D = (-\infty,\ 0] \cup (2,\ +\infty)$$

I sistemi di disequazioni

In un sistema le disequazioni devono valere contemporaneamente: si risolvono una per una e si fa l’intersezione delle soluzioni. È la differenza con «oppure», che invece chiede l’unione.

$$\begin{cases} 2^x > \dfrac{1}{2} \\[2mm] 3^x \leq 27 \end{cases} \iff \begin{cases} x > -1 \\ x \leq 3 \end{cases}$$

La soluzione è $-1 < x \leq 3$, cioè $(-1, 3]$. Un consiglio: disegna le soluzioni su righe parallele e tieni le zone comuni a tutte. Non è uno schema dei segni: qui i segni non si moltiplicano.

I sistemi nascono spesso dai domini, quando le condizioni sono più di una. Per $f(x) = \sqrt{2^x - 4} + \ln(5 - x)$:

$$\begin{cases} 2^x - 4 \geq 0 \\ 5 - x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \geq 2 \\ x < 5 \end{cases}$$

quindi il dominio è $[2, 5)$.

Disequazioni miste: il metodo grafico

Quando la $x$ sta sia all’esponente sia fuori, come in $2^x > 3 - x$ o $e^x \geq x + 2$, nessuna delle tecniche viste finora la isola: in generale i punti in cui i due membri sono uguali non si possono scrivere con radici e logaritmi. Come per le equazioni, si guardano i grafici. La disequazione $f(x) > g(x)$ è verificata dove il grafico di $f$ sta sopra quello di $g$.

1. Scrivi la disequazione come $f(x) > g(x)$, con due funzioni di cui conosci il grafico.
2. Disegna i grafici e trova i punti d’incontro: esatti, se li indovini, altrimenti con il teorema degli zeri.
3. Leggi dove un grafico sta sopra l’altro.
4. Giustifica il numero dei punti d’incontro e controlla un valore per tratto.

Un punto d’incontro esatto

Per $2^x > 3 - x$ i due grafici si incontrano in $x = 1$, perché $2^1 = 2 = 3 - 1$. A destra di quel punto l’esponenziale, che sale, sta sopra la retta, che scende.

Il disegno si può anche rendere rigoroso. La funzione $d(x) = 2^x + x - 3$ è somma di due funzioni strettamente crescenti, quindi è strettamente crescente, e si annulla in $x = 1$. Allora è positiva esattamente per $x > 1$: la soluzione è $x > 1$, senza altri punti d’incontro nascosti.

Il caso speciale della tangente

Teorema. Per ogni $x$ reale

$$e^x \geq x + 1$$

e l’uguaglianza vale solo per $x = 0$.

Il significato è geometrico: la retta $y = x + 1$ è la tangente al grafico di $e^x$ nel punto $(0, 1)$, come abbiamo visto con il numero di Nepero, e il grafico le sta tutto sopra, toccandola solo in quel punto. La vedi tratteggiata nella figura del prossimo paragrafo.

Perché è vero. L’abbiamo dimostrato, senza derivate, nell’articolo sul numero di Nepero: per $x \leq -1$ è ovvio, perché a destra c’è un numero negativo o nullo; per $x > -1$ si parte dalla disuguaglianza di Bernoulli $\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n \geq 1 + x$ e si passa al limite, che vale $e^x$. Più avanti lo rivedrai in due modi: con le derivate, studiando $f(x) = e^x - x - 1$, e con concavità e convessità, perché una funzione convessa sta sopra le sue tangenti.

Le conseguenze sono tre risposte immediate: $e^x \geq x + 1$ è sempre vera, $e^x \leq x + 1$ vale solo per $x = 0$, ed $e^x < x + 1$ è impossibile. All’esame capita di trovarle travestite, magari come fattore di una frazione.

Un punto d’incontro da approssimare

Ora risolviamo

$$e^x \geq x + 2$$

La retta $y = x + 2$ è la tangente alzata di 1, e il disegno mostra che taglia il grafico dell’esponenziale in due punti: li chiamiamo $\alpha$ e $\beta$ (le lettere greche «alfa» e «beta»), con $\alpha < 0 < \beta$.

Il disegno va però sostenuto con il ragionamento. Chiamiamo $h(x) = e^x - x - 2 = f(x) - 1$, con la $f$ di prima.

Quanti sono. $h$ ha la stessa monotonia di $f$: strettamente decrescente su $(-\infty, 0]$, crescente su $[0, +\infty)$. Quindi si annulla al massimo una volta in ciascuna delle due metà.

Esistono. Lo garantisce il teorema degli zeri:

La nostra $h$ è continua, perché somma di funzioni continue, e:

$$\begin{gathered} h(-2) = e^{-2} \approx 0{,}135 > 0 \\ h(-1) = e^{-1} - 1 \approx -0{,}632 < 0 \\ h(1) = e - 3 \approx -0{,}282 < 0 \\ h(2) = e^2 - 4 \approx 3{,}389 > 0 \end{gathered}$$

Quindi c’è uno zero $\alpha$ in $(-2, -1)$ e uno zero $\beta$ in $(1, 2)$, e non ce ne sono altri.

Quanto valgono. Con il metodo di bisezione: si prende il punto medio $m$ dell’intervallo, si calcola $h(m)$ e si tiene la metà ai cui estremi $h$ ha segni opposti. Per $\alpha$, partendo da $[-2, -1]$:

Intervallo	$m$	$h(m)$
$[-2;\ -1]$	$-1{,}5$	$-0{,}277$
$[-2;\ -1{,}5]$	$-1{,}75$	$-0{,}076$
$[-2;\ -1{,}75]$	$-1{,}875$	$+0{,}028$
$[-1{,}875;\ -1{,}75]$	$-1{,}8125$	$-0{,}024$
$[-1{,}875;\ -1{,}8125]$	$-1{,}84375$	$+0{,}002$

Dopo cinque passi sappiamo che $-1{,}84375 < \alpha < -1{,}8125$; con altri due si arriva a $-1{,}8438 < \alpha < -1{,}8359$, quindi $\alpha \approx -1{,}84$. Allo stesso modo si trova $\beta \approx 1{,}15$, come vedi nell’articolo sulla risoluzione grafica.

La soluzione. Siccome $h$ scende fino a $x = 0$ e poi sale, è positiva prima di $\alpha$ e dopo $\beta$, negativa in mezzo. Quindi $h \geq 0$ per

$$\begin{gathered} x \leq \alpha \ \text{ oppure } \ x \geq \beta \\ \text{con } \alpha \approx -1{,}84,\ \ \beta \approx 1{,}15 \end{gathered}$$

Controllo con $x = 0$, che sta tra $\alpha$ e $\beta$: $e^0 = 1 \geq 2$ è falso, giusto. Scrivi sempre la soluzione con le lettere e dichiara che i valori sono approssimati: $x \leq -1{,}84$ non è esatto.

Gli errori più comuni

• Moltiplicare per il denominatore. Il suo segno cambia, quindi si perdono soluzioni: in $\frac{3}{2^x - 1} < 1$ sparirebbe tutto l’intervallo $x < 0$.
• Includere gli zeri del denominatore. Con $\geq$ o $\leq$ si includono solo gli zeri del numeratore; il denominatore si studia sempre con $> 0$.
• Trattare $2^x - 1$ come se fosse sempre positivo. Sono sempre positivi $a^x$ e $a^x + k$ con $k \geq 0$; $a^x - 1$ cambia segno in 0.
• Dimenticare di invertire il verso con base tra 0 e 1. Anche quando studi il segno di un solo fattore, come $\left(\frac{1}{2}\right)^x - 4$, vale la regola del verso.
• Perdere i punti isolati. In $(2^x - 1)^2(x - 3) \geq 0$ anche $x = 0$ è soluzione, perché il prodotto vale zero.
• Scrivere $|A| < k$ come $A < k$. Servono entrambe le disuguaglianze, $-k < A < k$; con $|A| > k$, invece, i due casi sono uniti da «oppure», non da «e».
• Confondere sistema e unione. In un sistema si tengono solo le $x$ che soddisfano tutte le disequazioni.
• Dare per esatti i valori letti sul grafico. I punti d’incontro vanno giustificati (monotonia, teorema degli zeri) e, se sono approssimati, dichiarati come tali.

Esercizi svolti

1. Un denominatore sempre positivo

Testo. Risolvi $\dfrac{9 - 3^x}{2^x + 5} \geq 0$.

Il denominatore $2^x + 5$ è una somma di numeri positivi: è sempre positivo e non si annulla mai. Si può cancellare senza toccare il verso e senza condizioni di esistenza:

$$\begin{gathered} 9 - 3^x \geq 0 \\ {} \iff 3^x \leq 9 = 3^2 \\ {} \iff x \leq 2 \end{gathered}$$

La base 3 è maggiore di 1, quindi il verso resta. In $x = 2$ il numeratore vale zero e la frazione vale $0 \geq 0$: il 2 è incluso. La soluzione è $x \leq 2$, cioè $(-\infty, 2]$. Controllo con $x = 3$: $\frac{9 - 27}{8 + 5} < 0$, infatti 3 è escluso.

2. Un prodotto con base minore di 1

Testo. Risolvi $\left(\left(\frac{1}{2}\right)^x - 4\right)(x - 1) \geq 0$.

Primo fattore. Siccome $4 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$ e la base è minore di 1, il verso si inverte:

$$\left(\frac{1}{2}\right)^x \geq \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \iff x \leq -2$$

Quindi il primo fattore è positivo per $x < -2$, nullo in $-2$ e negativo per $x > -2$. Secondo fattore: $x - 1 \geq 0 \iff x \geq 1$.

Intervallo	i due fattori	prodotto
$x < -2$	$+$ e $-$	$-$
$-2 < x < 1$	$-$ e $-$	$+$
$x > 1$	$-$ e $+$	$-$

Il prodotto è positivo nell’intervallo centrale e nullo nei due estremi, che si includono. La soluzione è $-2 \leq x \leq 1$. Controllo con $x = 0$: $(1 - 4)(0 - 1) = 3 \geq 0$, sì; con $x = -3$: $(8 - 4)(-3 - 1) = -16$, no. Chi dimentica di invertire il verso trova il primo fattore positivo per $x > -2$, e una soluzione completamente diversa.

3. Due disequazioni con il valore assoluto

Testo. Risolvi (a) $|4^x - 5| < 3$; (b) $|2^x - 1| > 3$.

(a) Con la regola per $|A| < k$:

$$\begin{gathered} -3 < 4^x - 5 < 3 \\ {} \iff 2 < 4^x < 8 \\ {} \iff 2^1 < 2^{2x} < 2^3 \\ {} \iff 1 < 2x < 3 \end{gathered}$$

cioè $\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$. Abbiamo scritto tutto in base 2, maggiore di 1, quindi i versi restano. Controllo con $x = 1$: $|4 - 5| = 1 < 3$, sì.

(b) Con la regola per $|A| > k$:

$$\begin{gathered} 2^x - 1 < -3 \ \text{ oppure } \ 2^x - 1 > 3 \\ {} \iff 2^x < -2 \ \text{ oppure } \ 2^x > 4 \end{gathered}$$

Il primo caso è impossibile, perché $2^x$ è sempre positivo. Resta $2^x > 4$, cioè $x > 2$. Controllo con $x = 0$: $|1 - 1| = 0 > 3$ è falso, giusto, perché 0 non è soluzione.

4. Un sistema

Testo. Risolvi il sistema

$$\begin{cases} (2^x - 8)(x + 1) \leq 0 \\ |3^x - 2| > 1 \end{cases}$$

Prima disequazione. $2^x - 8 \geq 0 \iff x \geq 3$ e $x + 1 \geq 0 \iff x \geq -1$. Per $x < -1$ i fattori sono entrambi negativi, per $x > 3$ entrambi positivi; tra $-1$ e $3$ hanno segni opposti e il prodotto è negativo. Con gli zeri inclusi: $-1 \leq x \leq 3$.

Seconda disequazione.

$$\begin{gathered} 3^x - 2 < -1 \ \text{ oppure } \ 3^x - 2 > 1 \\ {} \iff 3^x < 1 \ \text{ oppure } \ 3^x > 3 \end{gathered}$$

cioè $x < 0$ oppure $x > 1$.

Intersezione. Dall’intervallo $[-1, 3]$ togliamo i punti tra 0 e 1, estremi compresi, che non soddisfano la seconda:

$$-1 \leq x < 0 \quad \text{oppure} \quad 1 < x \leq 3$$

cioè $[-1, 0) \cup (1, 3]$. Controllo con $x = \frac{1}{2}$: la prima è vera, ma $|\sqrt{3} - 2| \approx 0{,}27$ non supera 1, quindi $\frac{1}{2}$ è escluso.

5. Il dominio di una radice con la sostituzione

Testo. Trova il dominio della funzione

$$f(x) = \sqrt{\frac{4^x - 3 \cdot 2^x - 4}{e^x - e}}$$

Serve che la frazione sia positiva o nulla, con il denominatore diverso da zero.

Numeratore. Con $t = 2^x$ diventa $t^2 - 3t - 4 = (t - 4)(t + 1)$, quindi

$$4^x - 3 \cdot 2^x - 4 = (2^x - 4)(2^x + 1)$$

Il fattore $2^x + 1$ è sempre positivo e si cancella: il segno del numeratore è quello di $2^x - 4$, che è $\geq 0$ per $x \geq 2$.

Denominatore. $e^x - e > 0 \iff e^x > e^1 \iff x > 1$.

Intervallo	$N$ e $D$	frazione
$x < 1$	$-$ e $-$	$+$
$1 < x < 2$	$-$ e $+$	$-$
$x > 2$	$+$ e $+$	$+$

In $x = 2$ la frazione vale zero e la radice esiste; in $x = 1$ la frazione non esiste. Il dominio è

$$D = (-\infty,\ 1) \cup [2,\ +\infty)$$

Controllo con $x = 0$: $\frac{1 - 3 - 4}{1 - e} = \frac{-6}{1 - e} \approx 3{,}49 \geq 0$, sì.

6. Grafico e studio del segno insieme

Testo. Risolvi $\dfrac{2^x - x - 1}{3^x - 9} < 0$.

Il numeratore è misto: per il suo segno confrontiamo $2^x$ con la retta $x + 1$. I punti d’incontro si trovano a occhio: $x = 0$, perché $2^0 = 1 = 0 + 1$, e $x = 1$, perché $2^1 = 2 = 1 + 1$. Ce ne sono altri? No: $2^x$ è strettamente convessa, come abbiamo visto nella funzione esponenziale, e una retta incontra il grafico di una funzione strettamente convessa al massimo in due punti, come nella risoluzione grafica delle equazioni esponenziali. Quindi $g(x) = 2^x - x - 1$ si annulla solo in 0 e in 1, e su ciascuno dei tre intervalli che restano ha segno costante. Basta un valore di prova per intervallo: $g(-1) = \frac{1}{2}$ e $g(2) = 1$ sono positivi, mentre $g\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{2} - \frac{3}{2} \approx -0{,}086$ è negativo.

Il denominatore: $3^x - 9 > 0 \iff 3^x > 3^2 \iff x > 2$.

Intervallo	$N$ e $D$	frazione
$x < 0$	$+$ e $-$	$-$
$0 < x < 1$	$-$ e $-$	$+$
$1 < x < 2$	$+$ e $-$	$-$
$x > 2$	$+$ e $+$	$+$

La disuguaglianza è stretta, quindi gli zeri del numeratore, 0 e 1, sono esclusi, e il 2 lo è sempre. La soluzione è

$$x < 0 \quad \text{oppure} \quad 1 < x < 2$$

Controllo con $x = 1{,}5$: il numeratore vale $2^{1{,}5} - 2{,}5 \approx 0{,}33$ e il denominatore $3^{1{,}5} - 9 \approx -3{,}80$, quindi la frazione è negativa, sì. Il metodo grafico è servito solo per il segno di un fattore.

In sintesi

• Non si moltiplica mai per un’espressione di segno sconosciuto: si porta tutto a un membro e si studia il segno di ogni fattore.
• Numeratore con $\geq 0$ o $> 0$, denominatore sempre con $> 0$; gli zeri del numeratore si includono con $\geq$ e $\leq$, quelli del denominatore mai.
• $a^x$ e $a^x + k$ con $k \geq 0$ sono sempre positivi e si cancellano; $a^x - k$ con $k > 0$ cambia segno in $x = \log_a k$.
• Con $k > 0$: $|A| < k \iff -k < A < k$, $|A| > k \iff A < -k$ oppure $A > k$; un caso può essere impossibile perché $a^x > 0$.
• Con il valore assoluto all’esponente si confrontano gli esponenti: $2^{|x|} < 2^c \iff |x| < c$.
• Domini: radice $\geq 0$, logaritmo $> 0$, denominatore $\neq 0$; più condizioni formano un sistema, che si risolve con l’intersezione.
• Disequazioni miste: grafici, monotonia e teorema degli zeri per i punti d’incontro, bisezione per approssimarli.
• $e^x \geq x + 1$ per ogni $x$, con l’uguale solo in $x = 0$: la retta $y = x + 1$ è la tangente in $(0, 1)$.

Hai finito la teoria del capitolo: mettiti alla prova con gli esercizi svolti sulle disequazioni esponenziali.