Esercizi svolti sulle equazioni esponenziali, dalla stessa base al parametro

L’idea è sempre la stessa: scrivi ogni numero come potenza della stessa base, poi uguaglia gli esponenti. Le traduzioni che servono qui sono:

1. Tutto in base 3:

2. Tutto in base 2, con $4 = 2^2$ e $8 = 2^3$:

3. Una radice è un esponente fratto: $\sqrt[3]{9^x} = 9^{x/3} = 3^{2x/3}$. Quindi

4. L’equazione diventa $2^{-2x} = 2^{7/2}$, quindi $-2x = \frac{7}{2}$ e $x = -\frac{7}{4}$.

5. Siccome $4^{x^2} = \left(2^2\right)^{x^2} = 2^{2x^2}$, e nel quoziente di due potenze con la stessa base gli esponenti si sottraggono:

Le soluzioni sono due, $x = \frac{3}{2}$ e $x = -1$: uguagliando gli esponenti è venuta un’equazione di secondo grado.

Verifica. Punto 1: $\left(\frac{1}{9}\right)^{-3/5} = 3^{6/5}$ e $27^{2/5} = 3^{6/5}$. Punto 2: $4^6 = 4096 = 8^4$. Punto 3: $\sqrt[3]{9^3} = 9 = 3^2$. Punto 5, con $x = -1$: $\frac{4^1}{2^{-1}} = 4 \cdot 2 = 8$.

1. Isolando la potenza si trova $2^{x+1} = -2$. Una potenza con base positiva è positiva per ogni esponente: l’equazione è impossibile, senza fare altri conti.

2. Il secondo membro è positivo, ma non basta. Siccome $1 = 5^0$, l’equazione equivale a $x^2 + 1 = 0$, cioè $x^2 = -1$: impossibile nei reali. Del resto $x^2 + 1 \geq 1$, quindi il primo membro vale sempre almeno 5.

3. Stesso esponente, basi diverse. Dividi per $5^{2x-5}$, che non è mai zero:

4. Potenze con lo stesso esponente si dividono dividendo le basi, e $\frac{8}{27} = \left(\frac{2}{3}\right)^3$ è l’inversa di una potenza di $\frac{3}{2}$:

Quindi $2x = -3$, cioè $x = -\frac{3}{2}$.

5. Allo stesso modo $2^x \cdot 5^x = 10^x$ e $0{,}001 = 10^{-3}$, quindi $x = -3$.

Verifica. Punto 3: per $x = \frac{5}{2}$ i due membri valgono $3^0 = 5^0 = 1$. Punto 4: $\left(\frac{9}{4}\right)^{-3/2} = \left(\frac{4}{9}\right)^{3/2} = \frac{8}{27}$. Punto 5: $\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{125} = \frac{1}{1000}$.

A sinistra ci sono somme: non si possono uguagliare gli esponenti. Ma le potenze hanno la stessa base ed esponenti che differiscono per una costante, quindi si raccoglie quella con l’esponente più piccolo, usando $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

1. L’esponente più piccolo è $x - 2$. Siccome $3^{x+1} = 3^{x-2} \cdot 3^3$ e $3^{x-1} = 3^{x-2} \cdot 3$:

2. Le basi sembrano diverse, ma $25^x = 5^{2x}$: gli esponenti sono $2x$ e $2x - 1$. Si raccoglie $5^{2x-1}$, con $5^{2x} = 5 \cdot 5^{2x-1}$:

Verifica. Punto 1: $81 - 9 + 3 = 75$. Punto 2: $25^{3/2} = 5^3 = 125$ e $5^{2} = 25$, quindi $125 - 25 = 100$.

Compaiono una potenza e il suo quadrato: $4^x = \left(2^x\right)^2$ e $25^x = \left(5^x\right)^2$. Con $t = a^x$ si ottiene un’equazione di secondo grado, ricordando che $t > 0$.

1. Con $t = 2^x$, siccome $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x = 2t$:

Si scarta $t = -2$: non esiste nessun $x$ con $2^x = -2$. Resta $2^x = 8 = 2^3$, cioè $x = 3$.

2. Con $t = 5^x$:

Entrambe positive, entrambe accettabili. Da $5^x = 5$ segue $x = 1$; da $5^x = 2$ segue

Verifica. Punto 1: $64 - 3 \cdot 16 - 16 = 0$. Punto 2, con $x = \log_5 2$: $25^x = \left(5^x\right)^2 = 4$, e $4 - 14 + 10 = 0$.

La potenza con l’esponente negativo è un reciproco: $a^{-x} = \frac{1}{a^x} = \frac{1}{t}$. Dopo la sostituzione si moltiplica tutto per $t$, che si può fare perché $t > 0$, quindi non è mai zero.

1. Si scrive $5^{1-x} = \frac{5}{5^x}$ e si pone $t = 5^x$:

Da $5^x = 1$ segue $x = 0$, da $5^x = 5$ segue $x = 1$.

2. Con $t = e^x$:

Si scarta $t = -2$, e resta $e^x = 3$, cioè $x = \ln 3 \approx 1{,}0986$.

3. Con $t = 3^x$ si ottiene $t + \frac{1}{t} = \frac{3}{2}$. Moltiplicando per $2t$ si arriva a $2t^2 - 3t + 2 = 0$, con discriminante $9 - 16 = -7$: nessuna soluzione, l’equazione è impossibile. C’è un motivo più profondo. Per ogni $t > 0$:

(la seconda riga si ottiene dividendo per $t > 0$). Quindi $3^x + 3^{-x} \geq 2$ per ogni $x$, con l’uguaglianza solo per $x = 0$: qualsiasi secondo membro minore di 2 dà un’equazione impossibile.

Verifica. Punto 1: per $x = 0$ si ha $1 + 5 = 6$, per $x = 1$ si ha $5 + 1 = 6$. Punto 2: $e^{\ln 3} - 6e^{-\ln 3} = 3 - \frac{6}{3} = 1$.

Le basi sono $4 = 2^2$, $6 = 2 \cdot 3$ e $9 = 3^2$: del tipo $a^2$, $ab$, $b^2$. L’equazione è omogenea, e si divide tutto per $9^x$, che è sempre positivo:

Con $t = \left(\frac{2}{3}\right)^x > 0$:

cioè $t = \frac{2}{3}$ oppure $t = -1$. Si scarta $t = -1$. Resta $\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{2}{3}$, cioè $x = 1$.

Se avessi diviso per $4^x$, con $s = \left(\frac{3}{2}\right)^x$, avresti trovato $2s^2 - s - 3 = 0$, con $s = \frac{3}{2}$ e $s = -1$: di nuovo $x = 1$. La scelta del divisore cambia i conti, non il risultato.

Verifica. $3 \cdot 4 + 6 = 18 = 2 \cdot 9$.

1. 10 non è una potenza intera di 3, quindi si passa al logaritmo: per la definizione, $3^{2x-1} = 10$ equivale a $2x - 1 = \log_3 10$.

quindi $x \approx 1{,}548$.

2. Basi diverse, non riconducibili alla stessa: si applica $\ln$ ai due membri, che sono positivi, e la regola $\ln a^k = k\ln a$ porta gli esponenti davanti.

Il denominatore non è zero, perché $\ln 5 - \ln 2 = \ln\frac{5}{2}$ e $\frac{5}{2} \neq 1$. Con la calcolatrice, $x \approx 1{,}513$.

3. Con la base $e$ il logaritmo naturale arriva subito. Siccome $0{,}2 = \frac{1}{5}$, si ha $\ln 0{,}2 = -\ln 5$:

Verifica. Punto 1: $3^{2 \cdot 1{,}548 - 1} = 3^{2{,}096} \approx 10$. Punto 2: $5^{1{,}513} \approx 11{,}4$ e $2^{3{,}513} \approx 11{,}4$. Punto 3: $e^{1 - 2{,}609} = e^{-1{,}609} \approx 0{,}2$.

1. C.E. della radice: $x + 1 \geq 0$, cioè $x \geq -1$. Poi $9^{x-1} = 3^{2x-2}$, e uguagliando gli esponenti:

È un’equazione irrazionale. Il primo membro non è mai negativo, quindi serve anche $2x - 2 \geq 0$, cioè $x \geq 1$. Con questa condizione si può elevare al quadrato:

I due valori sono circa $1{,}843$ e $0{,}407$. Solo il primo rispetta $x \geq 1$, quindi l’unica soluzione è

Per $x \approx 0{,}407$ il primo membro vale circa $1{,}19$ e il secondo circa $-1{,}19$: è la soluzione di $\sqrt{x + 1} = -(2x - 2)$, entrata con il quadrato.

2. C.E.: il denominatore dell’esponente non si annulla, cioè $x \neq 2$. Per $x \neq 2$ la frazione si semplifica:

L’equazione diventa $2^{x+2} = 2^4$, cioè $x + 2 = 4$ e $x = 2$. Ma $x = 2$ è escluso dalle C.E.: l’equazione non ha soluzioni.

Verifica. Punto 1: $\sqrt{1{,}843 + 1} \approx 1{,}686$ e $2 \cdot 1{,}843 - 2 = 1{,}686$, quindi i due esponenti coincidono.

Le incognite compaiono solo dentro due potenze, $2^x$ e $3^y$. Diamo loro un nome: $u = 2^x$ e $v = 3^y$, con $u > 0$ e $v > 0$. Siccome $2^{x+1} = 2u$, il sistema diventa algebrico:

Dalla seconda equazione $v = 2u - 5$. Sostituendo nella prima:

cioè $u = 4$ oppure $u = -\frac{3}{2}$. Si scarta il valore negativo. Con $u = 4$ si ha $v = 2 \cdot 4 - 5 = 3$, positivo anche lui. Quindi:

Il sistema ha l’unica soluzione $(x, y) = (2, 1)$.

Verifica. $2^2 \cdot 3^1 = 12$ e $2^3 - 3 = 5$.

Nota che la prima equazione, da sola, ha infinite soluzioni: con i logaritmi diventa $x\ln 2 + y\ln 3 = \ln 12$, una retta nel piano $xy$. È la seconda equazione a scegliere un punto su quella retta.

Qui $t$ è il tempo, non una sostituzione. Il metodo è sempre lo stesso: isola la potenza, poi passa al logaritmo. È lo schema di tutti i modelli di crescita e decadimento esponenziale.

1. Imponiamo $T(15) = 50$:

per minuto. Il segno torna: $\ln\frac{3}{4}$ è negativo, quindi $k$ è positivo.

2. Imponiamo $T(t) = 100$:

cioè $t \approx -36{,}1$: la torta è uscita dal forno circa 36 minuti prima delle 16:00, verso le 15:24.

3. Imponiamo $T(t) = 30$:

cioè $t \approx 72{,}3$: circa 72 minuti dopo le 16:00, verso le 17:12.

Verifica e lettura. Siccome $\ln 4 = 2\ln 2$, il tempo del punto 3 è esattamente il doppio di quello del punto 2. Non è un caso: la differenza di temperatura con la stanza si dimezza ogni 36,1 minuti circa. Era 80 °C alle 15:24, 40 °C alle 16:00, 20 °C verso le 16:36, 10 °C verso le 17:12. E $T(15) = 20 + 40 \cdot \frac{3}{4} = 50$, come nei dati.

La $x$ sta all’esponente e fuori: nessun metodo algebrico la isola. Si porta tutto da una parte, $h(x) = 3^x - 2x - 2$, una funzione continua su tutto $\mathbb{R}$, e si usa il teorema degli zeri: se $h$ è continua su $[a, b]$ e $h(a)$, $h(b)$ hanno segni opposti, allora $h$ si annulla in almeno un punto tra $a$ e $b$.

• Nessuna soluzione per $x \leq -1$. Lì $3^x > 0 \geq 2x + 2$, quindi $h(x) > 0$.
• Almeno due soluzioni. $h(-1) = \frac{1}{3} > 0$, $\ h(0) = -1 < 0$, $\ h(1) = -1 < 0$, $\ h(2) = 3 > 0$. C’è una soluzione tra $-1$ e 0 e una tra 1 e 2.
• Non più di due. Il grafico di $3^x$ è strettamente convesso (curva verso l’alto), e una retta taglia il grafico di una funzione strettamente convessa al massimo in due punti. Lo dimostrerai con le derivate, nel capitolo su concavità e flessi.

Le soluzioni sono quindi due. Per localizzarle si restringe l’intervallo, tenendo sempre il tratto in cui $h$ cambia segno:

La prima soluzione sta tra $-0{,}8$ e $-0{,}7$, la seconda tra 1,4 e 1,5. Continuando si trova $x_1 \approx -0{,}790$ e $x_2 \approx 1{,}445$.

Verifica. $3^{-0{,}790} \approx 0{,}420$ e $2 \cdot (-0{,}790) + 2 = 0{,}420$; $\ 3^{1{,}445} \approx 4{,}89$ e $2 \cdot 1{,}445 + 2 = 4{,}89$.

Con $t = 3^x$ si ha $9^x = t^2$, e l’equazione diventa

con $t > 0$. Siccome $t = 3^x$ associa a ogni $x$ reale un solo $t$ positivo, e ogni $t$ positivo viene da un solo $x$, le soluzioni in $x$ sono tante quante le soluzioni positive in $t$.

• $k < -1$. Il secondo membro è negativo e un quadrato non lo è mai: nessuna soluzione.
• $k = -1$. $t = 2$, quindi una soluzione, $x = \log_3 2$.
• $k > -1$. Le soluzioni in $t$ sono $t = 2 \pm \sqrt{k + 1}$. Quella con il più è sempre positiva. Quella con il meno è positiva se e solo se $\sqrt{k + 1} < 2$, cioè $k < 3$. Quindi: due soluzioni per $-1 < k < 3$, una per $k \geq 3$.

Il caso $k = 3$ è il più insidioso: le radici sono $t = 0$ e $t = 4$, ma $t = 0$ si scarta. Resta solo $x = \log_3 4$.

Lo stesso risultato si legge sul grafico di $f(x) = 9^x - 4 \cdot 3^x + 3$. Per $x \to -\infty$, $t$ si avvicina a 0 e $f$ si avvicina a 3, restando sotto: infatti $f - 3 = t(t - 4)$ è negativo per $0 < t < 4$. Quindi $y = 3$ è un asintoto orizzontale. Poi $f$ scende fino al minimo, che vale $-1$ ed è in $x = \log_3 2$, e risale senza limiti. Le soluzioni sono le intersezioni con la retta orizzontale $y = k$.

Per $k = 0$, cioè $(t - 2)^2 = 1$: $t = 1$ oppure $t = 3$, entrambe positive. Quindi $x = 0$ oppure $x = 1$, come prevede la tabella.

Per $k = 8$, cioè $(t - 2)^2 = 9$: $t = 5$ oppure $t = -1$, da scartare. Resta $3^x = 5$, cioè $x = \log_3 5 \approx 1{,}465$.

Verifica. Per $x = 1$: $9 - 12 + 3 = 0$. Per $x = \log_3 5$: $25 - 20 + 3 = 8$.