Proprietà delle potenze: le 5 regole, perché valgono, errori ed esercizi svolti

Le proprietà delle potenze, che molti libri chiamano anche regole delle potenze, sono cinque regole per fare i calcoli con le potenze senza svilupparle: invece di scrivere $2^{10} \cdot 2^6$ come sedici fattori, scrivi subito $2^{16}$. In Analisi 1 le userai ovunque: nelle equazioni esponenziali, nei logaritmi, nelle derivate di $x^n$, nelle serie geometriche e in quasi ogni semplificazione d’esame. Non serve impararle a memoria: ognuna nasce dal contare i fattori, e se capisci il perché te la ricostruisci da solo anche all’esame. In questa pagina vediamo quando le proprietà si possono usare e quando no, le cinque regole una per una, con il perché, gli esempi e la versione sbagliata da evitare, le basi negative, le regole lette al contrario, il trucco di riportare tutto alla stessa base, come si estendono agli altri esponenti, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Se hai bisogno di ripassare base, esponente e segni, parti da cosa sono le potenze e come si leggono.

La regola d’oro: quando si applicano

Le proprietà delle potenze riguardano solo moltiplicazioni, divisioni e potenze di potenze, e chiedono che le potenze abbiano la stessa base oppure lo stesso esponente. Da qui nasce metà degli errori d’esame. Ecco i tre casi in cui non si applicano.

Con le somme e le differenze

Non esiste una regola che trasformi una somma di potenze in una potenza sola. Con i numeri si vede subito:

$$\begin{gathered} 2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24 \\ \text{mentre}\;\; 2^{3+4} = 2^7 = 128 \end{gathered}$$

Sommare gli esponenti vuol dire mettere i fattori in fila, cioè moltiplicare: ha senso per $2^3 \cdot 2^4$, non per $2^3 + 2^4$. Con una somma di potenze con la stessa base si può però raccogliere la potenza più piccola: $2^3 + 2^4 = 2^3 \cdot (1 + 2) = 8 \cdot 3 = 24$.

Con la potenza di una somma

Una potenza si «distribuisce» sui fattori di un prodotto, non sui termini di una somma: $(a + b)^2$ non è $a^2 + b^2$. Il disegno lo mostra con $a = 3$ e $b = 4$: un quadrato di lato $3 + 4 = 7$ contiene 49 quadretti, mentre $3^2 + 4^2$ ne conta solo 25, perché dimentica i due rettangoli da $3 \cdot 4 = 12$.

La formula giusta è il quadrato di un binomio:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

Allo stesso modo $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. L’uguaglianza $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ è vera solo nel caso particolare in cui $ab = 0$.

Con basi ed esponenti tutti diversi

In $2^3 \cdot 3^4$ sono diversi sia le basi sia gli esponenti: nessuna proprietà si applica. Si calcolano le due potenze, $8 \cdot 81 = 648$; scrivere $6^7$ o $6^{12}$ è sbagliato. A volte però le basi sono diverse solo in apparenza: in $4^3 \cdot 8^2$ sono entrambe potenze di 2, come vedremo più avanti.

Le cinque proprietà: l’enunciato

Partiamo dagli esponenti naturali, quelli della definizione: $a^n$ è il prodotto di $n$ fattori uguali ad $a$, e $a^0 = 1$ per $a \neq 0$.

Teorema (proprietà delle potenze). Siano $a$ e $b$ numeri reali e $m$, $n$ numeri naturali maggiori o uguali a 1. Allora:

1. $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$;
2. $a^m : a^n = a^{m-n}$, se $a \neq 0$ e $m \geq n$;
3. $\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$;
4. $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$;
5. $a^n : b^n = (a : b)^n$, se $b \neq 0$.

Le regole restano vere anche quando un esponente vale 0, purché ogni base elevata a 0 sia diversa da zero: per esempio $5^3 \cdot 5^0 = 5^3 \cdot 1 = 5^{3+0}$.

Le prime tre riguardano la stessa base, le ultime due lo stesso esponente. Vediamole una per una.

1. Prodotto di potenze con la stessa base

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

In parole: si lascia la base e si sommano gli esponenti. Vale per ogni base reale, anche negativa o nulla.

Perché è vera. $a^m$ è una fila di $m$ fattori uguali ad $a$, e $a^n$ una fila di $n$ fattori. Mettendo le due file una dopo l’altra si ottiene una fila di $m + n$ fattori, cioè $a^{m+n}$. Nella figura, 3 fattori più 4 fattori fanno 7 fattori.

Qualche esempio:

$$\begin{gathered} 3^2 \cdot 3^5 = 3^{2+5} = 3^7 = 2187 \\ x \cdot x^4 \cdot x^2 = x^{1+4+2} = x^7 \\ a^2 b^3 \cdot a^4 b = a^{2+4}\, b^{3+1} = a^6 b^4 \end{gathered}$$

Nel secondo esempio non dimenticare che $x$ da solo ha esponente 1; nel terzo si raggruppano le potenze della stessa lettera. La regola funziona anche quando l’esponente contiene una lettera: $2^n \cdot 2^3 = 2^{n+3}$ e $a^n \cdot a = a^{n+1}$.

La versione sbagliata. Moltiplicare gli esponenti, oppure moltiplicare tra loro le basi:

$$\begin{gathered} 2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128 \\ \text{non}\;\; 2^{12} \;\;\text{né}\;\; 4^7 \end{gathered}$$

2. Quoziente di potenze con la stessa base

$$\begin{gathered} a^m : a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \\ (a \neq 0,\ m \geq n) \end{gathered}$$

In parole: si lascia la base e si sottraggono gli esponenti, quello del numeratore meno quello del denominatore. Serve $a \neq 0$ perché non si divide per zero; la condizione $m \geq n$ garantisce che $m - n$ sia ancora un numero naturale.

Perché è vera. Si scrive la frazione per esteso e si semplifica: ogni fattore $a$ del denominatore si semplifica con uno del numeratore. Spariscono $n$ coppie, e degli $m$ fattori di sopra ne restano $m - n$. Nella seconda parte della figura, $6 - 2 = 4$.

$$\begin{gathered} 6^7 : 6^5 = 6^{7-5} = 6^2 = 36 \\ \frac{x^9}{x^3} = x^{9-3} = x^6 \\ \frac{5^{n+2}}{5^n} = 5^{n+2-n} = 5^2 = 25 \end{gathered}$$

Nell’ultimo esempio il risultato non dipende da $n$: vale sempre 25.

La versione sbagliata. Dividere gli esponenti invece di sottrarli: $x^9 : x^3$ fa $x^6$, non $x^3$.

Due casi al limite. Se $m = n$, a sinistra c’è un numero diviso per sé stesso, cioè 1, e a destra c’è $a^0$: è proprio per non rompere questa regola che si pone $a^0 = 1$, come spiegato tra le potenze. Se invece $m < n$, semplificando restano dei fattori al denominatore, per esempio $\dfrac{2^3}{2^5} = \dfrac{1}{2^2}$, mentre la regola darebbe $2^{-2}$: è da qui che nascono le potenze con esponente negativo.

3. Potenza di una potenza

$$\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$$

In parole: si lascia la base e si moltiplicano gli esponenti.

Perché è vera. $\left(a^m\right)^n$ è il prodotto di $n$ fattori uguali ad $a^m$, e ognuno di loro contiene $m$ fattori $a$: in tutto ci sono $n$ gruppi da $m$, cioè $m \cdot n$ fattori. Nella prima parte della figura qui sotto, $\left(a^2\right)^3$ è fatta di 3 gruppi da 2 fattori, quindi $a^6$.

Siccome $m \cdot n = n \cdot m$, l’ordine dei due esponenti non conta: $\left(a^m\right)^n = \left(a^n\right)^m$.

$$\begin{gathered} \left(3^2\right)^4 = 3^8 = 6561 \\ \left(\left(x^3\right)^2\right)^5 = x^{3 \cdot 2 \cdot 5} = x^{30} \\ 3^{2n} = \left(3^2\right)^n = 9^n \end{gathered}$$

L’ultimo esempio è uno dei passaggi più usati con gli esponenti variabili; allo stesso modo $\left(2^n\right)^2 = 2^{2n} = 4^n$.

La versione sbagliata. Sommare gli esponenti: $\left(a^2\right)^3$ fa $a^6$, non $a^5$. Il prodotto con la stessa base somma gli esponenti, la potenza di potenza li moltiplica.

Potenza di potenza o torre di esponenti?

Attenzione a dove stanno le parentesi. In $\left(10^2\right)^3$ c’è una potenza di potenza. In $10^{2^3}$, scritto senza parentesi, l’esponente di 10 è $2^3 = 8$, perché le torri di esponenti si calcolano partendo dall’alto:

$$\begin{gathered} \left(10^2\right)^3 = 10^{2 \cdot 3} = 10^6 \\ 10^{2^3} = 10^8 \end{gathered}$$

In generale la torre $a^{\left(m^n\right)}$ ha esponente $m^n$, mentre $\left(a^m\right)^n = a^{mn}$ ha esponente $m \cdot n$: sono numeri diversi, salvo casi particolari come $m = n = 2$, e la terza proprietà non si applica alle torri. Le trovi spiegate tra le torri di esponenti.

4. Prodotto di potenze con lo stesso esponente

$$a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$$

In parole: si moltiplicano le basi e si lascia l’esponente. Vale per ogni $a$ e $b$ reali.

Perché è vera. Nella seconda parte della figura ci sono 3 fattori $a$ e 3 fattori $b$, disposti in tre colonne. Leggendo per righe si ottiene $a^3 b^3$; leggendo per colonne, cioè cambiando l’ordine dei fattori, si ottengono tre coppie $(ab)(ab)(ab) = (ab)^3$. Con $n$ colonne il ragionamento è identico.

Letta da destra a sinistra, è la regola per elevare un prodotto: si eleva ogni fattore, numeri compresi.

$$\begin{gathered} 2^5 \cdot 5^5 = 10^5 = 100\,000 \\ (3x)^2 = 3^2 x^2 = 9x^2 \\ \left(-2a^3\right)^3 = (-2)^3 \left(a^3\right)^3 = -8a^9 \end{gathered}$$

Con le lettere all’esponente funziona allo stesso modo: $2^n \cdot 5^n = 10^n$, e al contrario $6^n = 2^n \cdot 3^n$.

La versione sbagliata. Elevare solo l’ultimo fattore: $(3x)^2$ fa $9x^2$, non $3x^2$. Oppure sommare gli esponenti: $2^3 \cdot 5^3$ fa $10^3$, non $10^6$.

5. Quoziente di potenze con lo stesso esponente

$$\begin{gathered} a^n : b^n = \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n \\ (b \neq 0) \end{gathered}$$

In parole: si dividono le basi e si lascia l’esponente.

Perché è vera. Nel prodotto di frazioni si moltiplicano i numeratori tra loro e i denominatori tra loro:

$$\begin{gathered} \left(\frac{a}{b}\right)^3 = \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \\ {} = \frac{a \cdot a \cdot a}{b \cdot b \cdot b} = \frac{a^3}{b^3} \end{gathered}$$

Con $n$ fattori il ragionamento è identico. Letta al contrario, è la regola per elevare una frazione: si elevano numeratore e denominatore.

$$\begin{gathered} 36^3 : 12^3 = (36 : 12)^3 = 3^3 = 27 \\ \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81} \\ \left(\frac{x}{2}\right)^4 = \frac{x^4}{2^4} = \frac{x^4}{16} \end{gathered}$$

La versione sbagliata. Elevare solo il numeratore: $\left(\dfrac{x}{2}\right)^4$ fa $\dfrac{x^4}{16}$, non $\dfrac{x^4}{2}$. E non mescolare questa regola con la seconda: $10^5 : 5^5 = 2^5 = 32$, non $2^0$. Gli esponenti si sottraggono solo quando la base è la stessa.

Basi negative: chi decide il segno

Le proprietà valgono anche con le basi negative, purché la base sia davvero la stessa, parentesi comprese:

$$\begin{gathered} (-2)^3 \cdot (-2)^2 = (-2)^5 = -32 \\ \text{infatti}\;\; (-8) \cdot 4 = -32 \end{gathered}$$

La quarta proprietà spiega anche la regola dei segni. Siccome $-a = (-1) \cdot a$:

$$(-a)^n = (-1)^n \cdot a^n$$

e $(-1)^n$ vale 1 se $n$ è pari, $-1$ se $n$ è dispari. Quindi un esponente pari cancella il segno, uno dispari lo conserva: $(-x)^6 = x^6$, mentre $(-x)^5 = -x^5$.

Questo permette anche di cambiare base. In $(-3)^2 \cdot 3^3$ le basi sono $-3$ e $3$, diverse, ma $(-3)^2 = 3^2$, quindi il prodotto vale $3^2 \cdot 3^3 = 3^5 = 243$. Scrivere $(-3)^5 = -243$ sarebbe sbagliato. E resta sempre valida la trappola delle parentesi: $(-3)^2 = 9$, ma $-3^2 = -9$.

Le proprietà lette da destra a sinistra

Ogni proprietà è un’uguaglianza, quindi si può leggere anche al contrario. In Analisi si usano spesso così: non per comprimere, ma per spezzare una potenza e far comparire quello che serve.

• Spezzare un esponente somma: $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Per esempio $2^{n+3} = 8 \cdot 2^n$ e $2^{x+2} = 4 \cdot 2^x$: è il motivo per cui, nei grafici delle funzioni esponenziali, spostare $2^x$ in orizzontale equivale a moltiplicarlo per una costante.
• Spezzare un esponente prodotto: $a^{mn} = \left(a^m\right)^n$. Così $9^n = 3^{2n}$, $4^n = 2^{2n}$ e $\left(2^x\right)^2 = 4^x$.
• Separare una base prodotto: $(ab)^n = a^n b^n$, per esempio $12^n = 4^n \cdot 3^n$, e al contrario $2^x \cdot 3^x = 6^x$.
• Raccogliere in una somma: si mette in evidenza la potenza con l’esponente più piccolo, dopo averla fatta comparire nelle altre.

$$\begin{gathered} 2^{n+1} + 2^n = 2 \cdot 2^n + 2^n \\ {} = 2^n (2 + 1) = 3 \cdot 2^n \end{gathered}$$

Un caso che inganna molti: $2^n + 2^n = 2 \cdot 2^n = 2^{n+1}$, e non $4^n$ né $2^{2n}$.

Il lavoro più tipico è scrivere un’espressione nella forma $c \cdot q^n$, con un numero davanti e una sola potenza con esponente $n$:

$$\begin{gathered} \frac{2^{2n+1}}{3^n} = \frac{2 \cdot \left(2^2\right)^n}{3^n} \\ {} = 2 \cdot \frac{4^n}{3^n} = 2 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^n \end{gathered}$$

È esattamente quello che serve per riconoscere una serie geometrica. Le stesse regole, guardate dal punto di vista degli esponenti, diventano le proprietà dei logaritmi, perché un logaritmo è un esponente.

Il trucco più utile: riportare tutto alla stessa base

Spesso le basi sono diverse solo in apparenza: scrivendo ogni numero come potenza di un numero primo, le proprietà diventano applicabili. Per farlo devi riconoscere al volo le potenze più comuni:

Base	Le sue potenze
2	4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024
3	9, 27, 81, 243, 729
5	25, 125, 625, 3125

Alcuni numeri si scrivono in più modi: $64 = 2^6 = 4^3 = 8^2$ e $81 = 3^4 = 9^2$. Conviene scendere sempre fino alla base prima, la più piccola possibile: così tutte le basi si «incontrano».

La scaletta.

1. Scrivi ogni base come potenza di un numero primo; se compaiono più primi, scomponi in fattori, per esempio $12 = 2^2 \cdot 3$.
2. Sostituisci con le parentesi: $8^3$ diventa $\left(2^3\right)^3$.
3. Applica la potenza di potenza.
4. Somma gli esponenti al numeratore e sottrai quelli del denominatore.
5. Calcola la potenza che resta.

Vediamola all’opera:

$$\begin{gathered} \frac{8^3 \cdot 4^2}{16^4} = \frac{\left(2^3\right)^3 \cdot \left(2^2\right)^2}{\left(2^4\right)^4} \\ {} = \frac{2^9 \cdot 2^4}{2^{16}} = 2^{9+4-16} \\ {} = 2^{-3} = \frac{1}{8} \end{gathered}$$

Qui l’esponente del denominatore vince, e il risultato si scrive con un esponente negativo: $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3}$. Con lo stesso trucco si riconoscono frazioni e radici: $\dfrac{1}{25} = 5^{-2}$ e $0{,}125 = \dfrac{1}{8} = 2^{-3}$ usano gli esponenti negativi, mentre $\sqrt{2} = 2^{1/2}$ e $\sqrt[3]{9} = 3^{2/3}$ usano le potenze con esponente frazionario. È la tecnica che userai per le equazioni esponenziali: da $4^x = 8$ si passa a $2^{2x} = 2^3$, quindi $2x = 3$ e $x = \dfrac{3}{2}$.

Confrontare due potenze

Riportare a una forma comune serve anche a confrontare due potenze senza calcolarle. Con la stessa base maggiore di 1 è più grande la potenza con l’esponente maggiore; con lo stesso esponente positivo e basi positive è più grande quella con la base maggiore. Per esempio $4^{15} = 2^{30}$ e $8^{11} = 2^{33}$, quindi $8^{11}$ è più grande. Invece $2^{60} = 8^{20}$ supera $7^{20}$, anche se ha la base più piccola. Le regole complete, anche con basi tra 0 e 1, sono nelle potenze con esponente reale.

Oltre gli esponenti naturali

Le cinque proprietà continuano a valere quando l’esponente diventa più generale:

• con gli esponenti interi, anche negativi, valgono per tutte le basi diverse da zero, e nel quoziente la condizione $m \geq n$ non serve più. La dimostrazione è nelle potenze con esponente negativo;
• con gli esponenti razionali e reali valgono per le basi positive, come vedrai nelle potenze con esponente frazionario e nelle potenze con esponente reale.

La condizione sulla base non è un dettaglio. Con una base negativa e un esponente frazionario la potenza di potenza può fallire: $\left((-3)^2\right)^{1/2} = 9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$, mentre moltiplicando gli esponenti si otterrebbe $(-3)^1 = -3$.

Un po’ di storia

L’idea delle prime due proprietà risale almeno ad Archimede, ma la sua versione più famosa ha quasi cinque secoli. Nell’Arithmetica integra, pubblicata a Norimberga nel 1544, il tedesco Michael Stifel mette accanto una riga di numeri interi, gli esponenti, e la riga delle corrispondenti potenze di 2, e fa notare che moltiplicare e dividere nella riga delle potenze corrisponde a sommare e sottrarre nella riga degli esponenti. Per fare un esempio: $4 \cdot 8 = 32$ corrisponde a $2 + 3 = 5$. A Stifel si attribuisce anche la parola «esponente», e la sua tabella è considerata un antenato dei logaritmi. La scrittura di oggi, con l’esponente in piccolo in alto a destra, si afferma invece con la Géométrie di Cartesio (1637), che scrive $a^3$ e $a^4$ ma, curiosamente, per il quadrato preferisce quasi sempre $aa$.

Lo schema riassuntivo

Proprietà	Formula ed esempio
prodotto, stessa base: si sommano gli esponenti	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ $5^2 \cdot 5^3 = 5^5$
quoziente, stessa base: si sottraggono	$a^m : a^n = a^{m-n}$ $7^6 : 7^4 = 7^2$
potenza di potenza: si moltiplicano	$\left(a^m\right)^n = a^{mn}$ $\left(2^4\right)^3 = 2^{12}$
prodotto, stesso esponente: si moltiplicano le basi	$a^n \cdot b^n = (ab)^n$ $4^3 \cdot 5^3 = 20^3$
quoziente, stesso esponente: si dividono le basi	$a^n : b^n = (a : b)^n$ $15^2 : 3^2 = 5^2$

Accanto alle cinque proprietà ricorda le due definizioni: $a^1 = a$ e $a^0 = 1$ per $a \neq 0$.

Un esempio svolto con le lettere

Per semplificare un’espressione con le lettere c’è una scaletta che funziona sempre:

1. scrivi le condizioni: le basi che finiscono al denominatore devono essere diverse da zero;
2. risolvi le potenze di potenze, elevando ogni fattore dentro la parentesi;
3. raggruppa lettera per lettera: somma gli esponenti nei prodotti, poi sottrai quelli del denominatore;
4. verifica sostituendo due numeri semplici.

Semplifichiamo, con $a$ e $b$ diversi da zero:

$$\frac{\left(a^3 b^2\right)^4 \cdot \left(a^2 b\right)^3}{\left(a^5 b^4\right)^3}$$

Potenze di potenze. Si eleva ogni fattore, moltiplicando gli esponenti:

$$\frac{a^{12} b^{8} \cdot a^{6} b^{3}}{a^{15} b^{12}}$$

Prodotto al numeratore. Si sommano gli esponenti della stessa lettera: $a^{18} b^{11}$.

Quoziente, lettera per lettera. Per $a$ si sottraggono gli esponenti, $a^{18-15} = a^3$. Per $b$ l’esponente più grande è sotto: semplificando 11 coppie resta $12 - 11 = 1$ fattore $b$ al denominatore.

$$\frac{a^{18}\, b^{11}}{a^{15}\, b^{12}} = \frac{a^3}{b}$$

Con gli esponenti negativi lo scriveresti $a^3 b^{-1}$, che è la stessa cosa.

Verifica con i numeri. Per $a = 2$ e $b = 4$ si ha $a^3 b^2 = 2^7$, $a^2 b = 2^4$ e $a^5 b^4 = 2^{13}$, quindi l’espressione di partenza vale

$$\frac{\left(2^7\right)^4 \cdot \left(2^4\right)^3}{\left(2^{13}\right)^3} = 2^{28+12-39} = 2$$

e infatti $\dfrac{a^3}{b} = \dfrac{8}{4} = 2$. Evita 0, 1 e $-1$: con $a = 1$ un esponente sbagliato di $a$ non si vedrebbe.

Gli errori più comuni

• Sommare gli esponenti in una somma. $3^2 + 3^3 = 9 + 27 = 36$, non $3^5 = 243$: in una somma si può solo raccogliere.
• Elevare una somma pezzo per pezzo. $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$, non $x^2 + 1$.
• Confondere prodotto e potenza di potenza. $a^2 \cdot a^3 = a^5$ (si sommano), mentre $\left(a^2\right)^3 = a^6$ (si moltiplicano).
• Moltiplicare le basi quando sono uguali. $3^4 \cdot 3^2 = 3^6$, non $9^6$: la base resta quella.
• Dividere gli esponenti nel quoziente. $y^{12} : y^4 = y^8$, non $y^3$.
• Dimenticare un fattore elevando un prodotto o una frazione. $(5x)^2 = 25x^2$, non $5x^2$; $\left(\dfrac{x}{3}\right)^2 = \dfrac{x^2}{9}$, non $\dfrac{x^2}{3}$.
• Inventare una regola per basi ed esponenti diversi. $2^3 \cdot 3^4 = 648$: niente $6^7$.
• Calcolare una torre come una potenza di potenza. $10^{2^3} = 10^8$, mentre $\left(10^2\right)^3 = 10^6$.

Esercizi svolti

1. Una proprietà per ogni calcolo

Testo. Calcola senza calcolatrice, usando le proprietà: (a) $7^4 \cdot 7^5 : 7^8$; (b) $\left(2^3\right)^4 : 2^9$; (c) $4^6 \cdot 25^6$; (d) $72^3 : 24^3$; (e) $(-2)^3 \cdot (-2)^4$.

(a) Stessa base: si sommano gli esponenti del prodotto, poi si sottrae quello del divisore.

$$7^4 \cdot 7^5 : 7^8 = 7^{4+5-8} = 7^1 = 7$$

(b) Prima la potenza di potenza, poi il quoziente con la stessa base:

$$\left(2^3\right)^4 : 2^9 = 2^{12} : 2^9 = 2^3 = 8$$

(c) Stesso esponente: si moltiplicano le basi, e $100 = 10^2$.

$$4^6 \cdot 25^6 = 100^6 = \left(10^2\right)^6 = 10^{12}$$

cioè un 1 seguito da dodici zeri.

(d) Stesso esponente: si dividono le basi, $72 : 24 = 3$, quindi $72^3 : 24^3 = 3^3 = 27$.

(e) Stessa base $-2$: si sommano gli esponenti, $(-2)^{3+4} = (-2)^7 = -128$. Il risultato è negativo perché la base è negativa e 7 è dispari.

Ogni calcolo ha usato una proprietà diversa, senza numeri grandi.

2. Trova gli errori

Testo. Ognuno di questi cinque calcoli contiene un errore. Trovalo e correggilo (nell’ultimo $a \neq 0$).

$$\begin{gathered} \text{(a)}\;\; 7^2 \cdot 7^3 = 49^5 \\ \text{(b)}\;\; \left(x^4\right)^3 = x^7 \\ \text{(c)}\;\; 5^2 + 5^2 = 5^4 \\ \text{(d)}\;\; (-2a)^3 = -2a^3 \\ \text{(e)}\;\; a^{10} : a^2 = a^5 \end{gathered}$$

(a) Sono state moltiplicate le basi. Nel prodotto con la stessa base la base resta 7: $7^2 \cdot 7^3 = 7^5 = 16\,807$.

(b) Sono stati sommati gli esponenti. In una potenza di potenza si moltiplicano: $\left(x^4\right)^3 = x^{12}$.

(c) È una somma, quindi non si applica nessuna proprietà. Ci sono però due termini uguali: $5^2 + 5^2 = 2 \cdot 5^2 = 50$, non $5^4 = 625$.

(d) È stato elevato solo $a$. Si eleva ogni fattore, anche $-2$:

$$(-2a)^3 = (-2)^3\, a^3 = -8a^3$$

(e) Sono stati divisi gli esponenti. Nel quoziente si sottraggono: $a^{10} : a^2 = a^{10-2} = a^8$.

Ogni errore si smaschera con un numero: con $a = 2$, in (e) si ha $2^{10} : 2^2 = 1024 : 4 = 256 = 2^8$, mentre $2^5 = 32$.

3. Semplificare con le lettere

Testo. Semplifica l’espressione seguente, con $x$ e $y$ diversi da zero, e scrivi il risultato con soli esponenti positivi.

$$\frac{\left(2x^3y^{-2}\right)^2 \cdot \left(x^{-1}y\right)^3}{4x^2y^{-5}}$$

Ci sono esponenti negativi, ma con basi diverse da zero le proprietà valgono per tutti gli esponenti interi.

Potenze di potenze. Si eleva ogni fattore, numero compreso:

$$\begin{gathered} \left(2x^3y^{-2}\right)^2 = 4x^6y^{-4} \\ \left(x^{-1}y\right)^3 = x^{-3}y^3 \end{gathered}$$

Numeratore. Si sommano gli esponenti lettera per lettera:

$$4x^{6-3}\,y^{-4+3} = 4x^3y^{-1}$$

Quoziente. I numeri si semplificano, $4 : 4 = 1$; per le lettere si sottraggono gli esponenti, numeratore meno denominatore:

$$x^{3-2}\, y^{-1-(-5)} = x\,y^{4}$$

Il passaggio delicato è $-1 - (-5) = -1 + 5 = 4$. Verifica con $x = 1$ e $y = 2$: la prima parentesi vale $2 \cdot 2^{-2} = 2^{-1}$, quindi il numeratore è $2^{-2} \cdot 2^3 = 2$; il denominatore vale $4 \cdot 2^{-5} = 2^{-3}$; il quoziente è $2 : 2^{-3} = 2^4 = 16$, e infatti $x\,y^4 = 2^4 = 16$. Il risultato è $x\,y^4$.

4. Tutto come potenza di una sola base

Testo. (a) Scrivi $\dfrac{4^3 \cdot 8^2}{16^2}$ come potenza di 2. (b) Scrivi $9^5 : 27^3$ come potenza di 3. (c) Scrivi $12^3 \cdot 18^2$ nella forma $2^p \cdot 3^q$, e poi come 2 per una potenza di 6.

(a) Con $4 = 2^2$, $8 = 2^3$ e $16 = 2^4$:

$$\begin{gathered} \frac{\left(2^2\right)^3 \cdot \left(2^3\right)^2}{\left(2^4\right)^2} = \frac{2^6 \cdot 2^6}{2^8} \\ {} = 2^{6+6-8} = 2^4 \end{gathered}$$

cioè 16. Controllo: $64 \cdot 64 : 256 = 4096 : 256 = 16$.

(b) Con $9 = 3^2$ e $27 = 3^3$: $\left(3^2\right)^5 : \left(3^3\right)^3 = 3^{10} : 3^9 = 3$.

(c) Qui le basi contengono due primi: $12 = 2^2 \cdot 3$ e $18 = 2 \cdot 3^2$. Elevando ogni fattore:

$$\begin{gathered} 12^3 = 2^6 \cdot 3^3 \\ 18^2 = 2^2 \cdot 3^4 \end{gathered}$$

Il prodotto è $2^{6+2} \cdot 3^{3+4} = 2^8 \cdot 3^7$. Per far comparire lo stesso esponente si spezza $2^8 = 2 \cdot 2^7$, e poi si usa la quarta proprietà:

$$2 \cdot 2^7 \cdot 3^7 = 2 \cdot 6^7$$

I risultati sono $2^4$, $3$ e $2^8 \cdot 3^7 = 2 \cdot 6^7$, che vale $559\,872$.

5. Esponenti con le lettere

Testo. Sia $n$ un numero naturale. (a) Dimostra che $3^{n+2} - 3^n$ è sempre un multiplo di 8. (b) Semplifica $\dfrac{2^{2n} \cdot 5^n}{10^n}$.

(a) È una differenza, quindi niente proprietà dirette: si spezza l’esponente del primo termine e si raccoglie $3^n$.

$$\begin{gathered} 3^{n+2} - 3^n = 3^2 \cdot 3^n - 3^n \\ {} = 3^n (9 - 1) = 8 \cdot 3^n \end{gathered}$$

Siccome $3^n$ è un numero naturale, $8 \cdot 3^n$ è un multiplo di 8. Controllo: per $n = 0$ si ha $9 - 1 = 8$, per $n = 2$ si ha $81 - 9 = 72 = 8 \cdot 9$.

(b) Si porta $2^{2n}$ all’esponente $n$, poi si usano le proprietà con lo stesso esponente:

$$\begin{gathered} \frac{2^{2n} \cdot 5^n}{10^n} = \frac{4^n \cdot 5^n}{10^n} \\ {} = \frac{20^n}{10^n} = \left(\frac{20}{10}\right)^n = 2^n \end{gathered}$$

Controllo con $n = 1$: $4 \cdot 5 : 10 = 2$. I risultati: la differenza vale $8 \cdot 3^n$, il quoziente $2^n$.

6. Da esame: una successione e un’equazione

Testo. (a) Scrivi nella forma $c \cdot q^n$ il termine $a_n = \dfrac{2^{2n+1} \cdot 3^n}{5^n \cdot 6^{n-1}}$, per $n \geq 1$. (b) Trova il numero naturale $n$ per cui $2^{2n+1} + 4^n = 192$.

(a) Il 6 contiene due primi: $6^{n-1} = 2^{n-1} \cdot 3^{n-1}$. Ora si raggruppano le potenze di 2 e quelle di 3, sottraendo gli esponenti:

$$\begin{gathered} a_n = \frac{2^{2n+1} \cdot 3^n}{5^n \cdot 2^{n-1} \cdot 3^{n-1}} \\ {} = \frac{2^{(2n+1)-(n-1)} \cdot 3^{n-(n-1)}}{5^n} \\ {} = \frac{2^{n+2} \cdot 3}{5^n} \end{gathered}$$

Infine si spezza $2^{n+2} = 4 \cdot 2^n$ e si usa il quoziente con lo stesso esponente:

$$a_n = 4 \cdot 3 \cdot \frac{2^n}{5^n} = 12 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^n$$

Controllo con $n = 1$: $a_1 = \dfrac{2^3 \cdot 3}{5 \cdot 1} = \dfrac{24}{5}$, e $12 \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{24}{5}$. Quindi $c = 12$ e $q = \dfrac{2}{5}$: è la forma che serve per riconoscere una serie geometrica di ragione $\dfrac{2}{5}$.

(b) Si spezza il primo termine per far comparire $4^n$, poi si raccoglie:

$$\begin{gathered} 2^{2n+1} = 2 \cdot 2^{2n} = 2 \cdot 4^n \\ 2 \cdot 4^n + 4^n = 3 \cdot 4^n = 192 \end{gathered}$$

Dividendo per 3 si ottiene $4^n = 64 = 4^3$. Le potenze di 4 crescono sempre ($4$, $16$, $64$, $256$, …), quindi l’unica soluzione è $n = 3$. Verifica: $2^7 + 4^3 = 128 + 64 = 192$.

Altri esercizi su tutto il capitolo li trovi negli esercizi svolti sulle proprietà delle potenze, e quelli sulle espressioni più lunghe nelle espressioni con le potenze.

In sintesi

• Le proprietà valgono solo per prodotti, quozienti e potenze di potenze, con la stessa base o lo stesso esponente; mai per somme e differenze: $2^3 + 2^4 \neq 2^7$ e $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$.
• Stessa base: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ e $a^m : a^n = a^{m-n}$, con $a \neq 0$.
• Potenza di potenza: $\left(a^m\right)^n = a^{mn}$, da non confondere con la torre $a^{\left(m^n\right)}$.
• Stesso esponente: $a^n b^n = (ab)^n$ e $a^n : b^n = (a : b)^n$, con $b \neq 0$: elevando un prodotto o una frazione si eleva ogni fattore.
• Basi negative: $(-a)^n = (-1)^n a^n$, quindi l’esponente pari cancella il segno.
• Lette al contrario servono a spezzare e raccogliere: $a^{n+1} = a \cdot a^n$, $3^{2n} = 9^n$, $2^{n+1} + 2^n = 3 \cdot 2^n$.
• Riportare tutto alla stessa base, di solito un numero primo, rende applicabili le regole.
• Valgono per gli esponenti interi con basi diverse da zero e per quelli reali con basi positive.

Nel quoziente è comparso un esponente negativo: vediamo cosa significa nel prossimo articolo, potenze con esponente negativo.