Gradi e radianti: cos'è un radiante, conversione, arco e area del settore circolare

Si apre un capitolo nuovo: seno, coseno e tangente. Prima di definirli, però, dobbiamo metterci d’accordo su come si misura un angolo. A scuola hai usato quasi sempre i gradi; in Analisi si usano quasi sempre i radianti, perché i limiti notevoli e le derivate delle funzioni goniometriche funzionano bene solo con loro. All’esame la conversione non è quasi mai la domanda principale, ma un errore qui rovina tutto l’esercizio. In questa pagina vediamo i gradi con primi e secondi, cos’è un radiante e perché un giro vale $2\pi$, la conversione da gradi a radianti e viceversa, la tabella degli angoli notevoli, la lunghezza di un arco e l’area di un settore circolare, gli angoli orientati e maggiori di un giro, in che quadrante cade un angolo in radianti, perché in Analisi si usano i radianti, la calcolatrice, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

I gradi

Il grado è la misura che conosci da sempre: è la trecentosessantesima parte dell’angolo giro. Quindi l’angolo giro misura 360°, l’angolo piatto 180° e l’angolo retto 90°.

Perché proprio 360? Non lo sappiamo con certezza. La spiegazione più accreditata porta agli astronomi babilonesi, che contavano in base 60: 360 è $6 \cdot 60$, è vicino al numero di giorni di un anno (il Sole, nel suo moto apparente, si sposta di circa un grado al giorno) e ha ben 24 divisori, quindi metà, terzi, quarti, sesti e ottavi di giro sono numeri interi di gradi.

Primi e secondi

I sottomultipli del grado sono sessagesimali, come i minuti e i secondi dell’orologio: un grado si divide in 60 primi e un primo in 60 secondi.

$$1° = 60' \qquad 1' = 60'' \qquad 1° = 3600''$$

Da gradi, primi e secondi a gradi decimali. Si dividono i primi per 60 e i secondi per 3600, poi si somma:

$$\begin{gathered} 23°\,27' = 23° + \frac{27}{60}° = 23{,}45° \\[6pt] 41°\,15'\,36'' = 41° + \frac{15}{60}° + \frac{36}{3600}° \\ {} = 41° + 0{,}25° + 0{,}01° = 41{,}26° \end{gathered}$$

Dai gradi decimali a gradi, primi e secondi. Si moltiplica la parte decimale per 60 per avere i primi, poi la nuova parte decimale per 60 per avere i secondi. Con $47{,}82°$:

• la parte intera dà i gradi: 47°;
• $0{,}82 \cdot 60 = 49{,}2$: sono 49 primi;
• $0{,}2 \cdot 60 = 12$: sono 12 secondi.

Quindi $47{,}82° = 47°\,49'\,12''$. Molte calcolatrici scientifiche hanno un tasto apposito, spesso segnato °′″, che fa questa conversione nei due sensi.

Il radiante

Un angolo al centro di una circonferenza «abbraccia» un arco. Viene voglia di misurare l’angolo con la lunghezza di quell’arco, ma lo stesso angolo, su una circonferenza più grande, abbraccia un arco più lungo. La soluzione è dividere per il raggio: se raddoppi il raggio raddoppia anche l’arco, e il rapporto dipende solo dall’angolo.

Essendo il rapporto tra due lunghezze, il radiante è un numero puro: i centimetri dell’arco si semplificano con quelli del raggio. Anche il Sistema Internazionale pone $1 \text{ rad} = 1$. Per questo l’unità si può sottintendere: «un angolo di 2» vuol dire 2 radianti.

Perché un giro vale 2π

Per l’angolo giro l’arco è l’intera circonferenza, lunga $2\pi r$:

$$\text{angolo giro} = \frac{2\pi r}{r} = 2\pi \approx 6{,}28$$

Ecco da dove viene il $\pi$ che vedrai ovunque in questo capitolo: $\pi$ è il rapporto tra circonferenza e diametro, quindi un giro, misurato in raggi, vale $2\pi$. Il raggio «ci sta» lungo la circonferenza poco più di sei volte. Dimezzando, $180° = \pi$ rad: da qui seguono tutte le conversioni.

Quanto vale un radiante in gradi

$$1 \text{ rad} = \frac{180°}{\pi} \approx 57{,}2958°$$

In primi e secondi: $0{,}29578 \cdot 60 \approx 17{,}747$, cioè 17 primi, e $0{,}747 \cdot 60 \approx 44{,}8$, cioè circa 45 secondi. Quindi $1 \text{ rad} \approx 57°\,17'\,45''$, un po’ meno di 60°.

Non tutti gli angoli in radianti contengono $\pi$: anche 3 o 0,5 sono angoli del tutto legittimi.

$$\begin{gathered} 3 \text{ rad} = 3 \cdot \frac{180°}{\pi} \approx 171{,}89° \\ 0{,}5 \text{ rad} = 0{,}5 \cdot \frac{180°}{\pi} \approx 28{,}65° \end{gathered}$$

Quando in Analisi trovi $\sin 3$, è il seno di 3 radianti, un angolo quasi piatto, non il seno di 3 gradi.

Un po’ di storia. L’idea dei radianti si attribuisce di solito al matematico inglese Roger Cotes (1714). Il nome «radiante» arriva solo nell’Ottocento: la prima attestazione a stampa citata più spesso è del 1873, in domande d’esame di James Thomson, fratello di Lord Kelvin.

Come si convertono gradi e radianti

Gradi e radianti sono proporzionali: un angolo è la stessa frazione di giro in entrambe le unità. Quindi vale la proporzione $\alpha_{\text{gradi}} : 180 = \alpha_{\text{rad}} : \pi$, da cui le due formule:

Da gradi a radianti. Si moltiplica per $\frac{\pi}{180}$: il trucco è semplificare prima la frazione $\frac{\alpha}{180}$.

$$\begin{gathered} 75° = 75 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{12} \\[6pt] 210° = 210 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{7\pi}{6} \end{gathered}$$

Con i primi, prima si passa ai gradi decimali: $7°\,30' = 7{,}5°$, e $7{,}5 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{24}$.

Da radianti a gradi. Se l’angolo contiene $\pi$, basta sostituire $\pi$ con 180°:

$$\frac{2\pi}{5} = \frac{2 \cdot 180°}{5} = 72°$$

Se non lo contiene, si moltiplica per $\frac{180°}{\pi}$ con la calcolatrice: $1{,}5$ rad $= 1{,}5 \cdot \frac{180°}{\pi} \approx 85{,}94°$.

Conversioni approssimate con la calcolatrice

Molti angoli non hanno una forma «bella»: $50° = \frac{5\pi}{18}$, circa 0,8727. Per il valore approssimato digita $50 \times \pi \div 180$ con il tasto $\pi$ e arrotonda solo alla fine. Con $\pi \approx 3{,}14$ sbagli già la quarta cifra significativa: $\frac{180°}{3{,}14} \approx 57{,}32°$ invece di $57{,}30°$, e $2{,}5$ rad diventano $143{,}31°$ invece di $143{,}24°$. Di solito bastano quattro cifre significative: tienine una in più nei passaggi intermedi.

Gli angoli notevoli

Alcuni angoli compaiono così spesso che conviene conoscerli a memoria in entrambe le unità. La terza colonna dice che frazione di giro rappresentano:

Gradi	Radianti	Frazione di giro
0°	$0$	$0$
30°	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{1}{12}$
45°	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{1}{8}$
60°	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{1}{6}$
90°	$\dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{1}{4}$
120°	$\dfrac{2\pi}{3}$	$\dfrac{1}{3}$
135°	$\dfrac{3\pi}{4}$	$\dfrac{3}{8}$
150°	$\dfrac{5\pi}{6}$	$\dfrac{5}{12}$
180°	$\pi$	$\dfrac{1}{2}$
270°	$\dfrac{3\pi}{2}$	$\dfrac{3}{4}$
360°	$2\pi$	$1$

Un modo per orientarsi: $\pi$ è mezzo giro. Il denominatore dice in quante fette dividi il mezzo giro, il numeratore quante fette prendi. $\frac{7\pi}{6}$ sono 7 fette da 30°, cioè 210°, poco più di mezzo giro; $\frac{7\pi}{4}$ sono 7 fette da 45°, cioè 315°.

I valori di seno, coseno e tangente di questi angoli, e da dove vengono, li trovi nella pagina sui valori notevoli.

Lunghezza di un arco e area di un settore circolare

Con i radianti la geometria della circonferenza diventa semplicissima. La lunghezza dell’arco viene direttamente dalla definizione $\alpha = \frac{\ell}{r}$. Per l’area del settore basta una proporzione: il settore sta al cerchio come il suo angolo sta all’angolo giro, $A : \pi r^2 = \alpha : 2\pi$.

La forma $A = \frac{1}{2}r\ell$ ricorda l’area di un triangolo con base $\ell$ e altezza $r$: tagliato in fettine sottili, il settore è fatto di quasi-triangoli. Con i gradi le stesse formule si portano dietro un fattore scomodo: $\ell = \frac{\pi r \alpha}{180}$ e $A = \frac{\pi r^2 \alpha}{360}$, con $\alpha$ in gradi.

Una fetta di pizza. Una pizza di 32 cm di diametro, quindi $r = 16$ cm, è tagliata in 8 fette uguali: ognuna ha un angolo di $\frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$. Il cornicione di una fetta è lungo $16 \cdot \frac{\pi}{4} = 4\pi \approx 12{,}57$ cm e la sua area è

$$A = \frac{1}{2} \cdot 16^2 \cdot \frac{\pi}{4} = 32\pi \approx 100{,}53 \text{ cm}^2$$

Controllo: la pizza intera ha area $256\pi \approx 804{,}25$ cm², e un ottavo è proprio 100,53 cm².

La lancetta dei minuti. La lancetta dei minuti di un orologio è lunga 12 cm. In 20 minuti fa un terzo di giro, $\frac{2\pi}{3}$, e la sua punta percorre $12 \cdot \frac{2\pi}{3} = 8\pi \approx 25{,}13$ cm. In un’ora fa un giro: $2\pi$ radianti in 3600 secondi, cioè una velocità angolare $\omega = \frac{2\pi}{3600} \approx 0{,}00175$ rad/s. I radianti al secondo sono l’unità del moto circolare, dove da $\ell = r\alpha$ nasce la formula $v = \omega r$.

Il pendolo. Un pendolo lungo 1 m oscilla fra 10° a sinistra e 10° a destra della verticale: in un’andata la pallina descrive un arco di $\frac{\pi}{9}$, lungo $1 \cdot \frac{\pi}{9} \approx 0{,}349$ m.

Il meridiano e il miglio nautico. La Terra ha un raggio medio di circa 6371 km. Un arco di meridiano di un primo corrisponde a

$$\begin{gathered} 1' = \frac{1}{60} \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{10\,800} \\[6pt] \ell = 6371 \cdot \frac{\pi}{10\,800} \approx 1{,}853 \text{ km} \end{gathered}$$

È il miglio nautico: in origine era definito proprio come l’arco di superficie terrestre che corrisponde a un primo al centro della Terra, e oggi vale per convenzione 1852 m.

Al contrario: dall’arco al raggio. Se conosci arco e angolo, $r = \frac{\ell}{\alpha}$. È il ragionamento attribuito a Eratostene, raccontato nella risoluzione dei triangoli rettangoli: tra Alessandria e Siene, distanti circa 5000 stadi, trovò un angolo di circa 7,2°, cioè $\frac{\pi}{25}$. Il raggio terrestre risulta $\frac{5000}{\pi/25} \approx 39\,789$ stadi e la circonferenza $250\,000$ stadi. Quanto fosse lungo uno stadio in metri è ancora discusso.

Angoli orientati: negativi e maggiori di un giro

In goniometria un angolo è una rotazione, con un verso. Per convenzione:

• il verso antiorario è positivo;
• il verso orario è negativo.

Le lancette dell’orologio, per esempio, girano in verso negativo: in 20 minuti quella dei minuti descrive l’angolo $-\frac{2\pi}{3}$.

Una rotazione può anche superare il giro: $\frac{9\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$ finisce nella stessa posizione di $\frac{\pi}{4}$. In generale, due angoli che differiscono di un numero intero di giri finiscono nello stesso punto:

$$x \quad \text{e} \quad x + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})$$

In gradi, $\alpha$ e $\alpha + k \cdot 360°$. È proprio questo fatto che renderà periodiche le funzioni goniometriche.

Ridurre un angolo a un solo giro

Spesso serve il rappresentante «standard» di un angolo: quello in $[0, 2\pi)$, oppure quello in $(-\pi, \pi]$, comodo quando conta il segno. La scaletta:

1. dividi l’angolo per $2\pi$ (o per 360°) e prendi il più grande intero minore o uguale al risultato: è il numero $k$ di giri da togliere;
2. sottrai $2k\pi$ (o $k \cdot 360°$): ottieni l’angolo in $[0, 2\pi)$;
3. se ti serve l’intervallo $(-\pi, \pi]$ e il risultato supera $\pi$, togli ancora $2\pi$.

Tre esempi:

• $\frac{19\pi}{4}$: il quoziente è $\frac{19}{8} = 2{,}375$, quindi $k = 2$ e $\frac{19\pi}{4} - 4\pi = \frac{3\pi}{4}$, buono per entrambi gli intervalli.
• $-\frac{11\pi}{6}$: il quoziente è $-\frac{11}{12} \approx -0{,}92$, e il più grande intero minore o uguale è $-1$, non 0. Quindi $-\frac{11\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi}{6}$.
• 1000°: la divisione intera dà $1000 = 2 \cdot 360 + 280$, quindi in $[0°, 360°)$ l’angolo è 280°, cioè $\frac{14\pi}{9}$. Siccome $280° > 180°$, in $(-180°, 180°]$ diventa $280° - 360° = -80°$, cioè $-\frac{4\pi}{9}$.

Perché $(-\pi, \pi]$ e non $[-\pi, \pi]$? Perché $-\pi$ e $\pi$ sono la stessa posizione: ne teniamo uno solo, così ogni punto ha un unico rappresentante.

In che quadrante cade un angolo in radianti

Gli assi dividono la circonferenza in quattro quadranti: il I va da 0 a $\frac{\pi}{2}$, il II da $\frac{\pi}{2}$ a $\pi$, il III da $\pi$ a $\frac{3\pi}{2}$, il IV da $\frac{3\pi}{2}$ a $2\pi$. Se l’angolo non contiene $\pi$, confrontalo con i valori decimali dei confini:

$$\begin{gathered} \frac{\pi}{2} \approx 1{,}571 \qquad \pi \approx 3{,}142 \\[6pt] \frac{3\pi}{2} \approx 4{,}712 \qquad 2\pi \approx 6{,}283 \end{gathered}$$

Così 2,5 rad cade nel II quadrante (tra 1,571 e 3,142) e 4,5 rad nel III (tra 3,142 e 4,712). Per 10 rad prima si toglie un giro: $10 - 2\pi \approx 3{,}717$, quindi anche 10 rad è nel III quadrante.

Nella figura: 3 rad è appena prima di $\pi$, e a 6 rad manca circa 0,28 per completare il giro.

Perché in Analisi si usano i radianti

Con i radianti un angolo è un numero reale. Così puoi scrivere $\sin x$ con $x$ qualsiasi, disegnarne il grafico nello stesso piano di $x^2$ o $e^x$ e, soprattutto, avere formule pulite. Tre esempi.

Archi e settori. $\ell = r\alpha$ e $A = \frac{1}{2}r^2\alpha$ valgono così solo in radianti. Con raggio 1 l’arco è lungo proprio $x$ e il settore ha area $\frac{x}{2}$: è il fatto geometrico su cui si dimostra il limite notevole del seno.

Angoli piccoli. In radianti, per $x$ vicino a 0, $\sin x \approx x$. In gradi no:

$$\begin{gathered} \sin 0{,}02 \approx 0{,}0199987 \\[6pt] \sin(0{,}02°) \approx 0{,}000349066 \end{gathered}$$

Il primo valore è quasi uguale a 0,02. Il secondo è circa $\frac{\pi}{180} \cdot 0{,}02$, perché 0,02° sono $0{,}02 \cdot \frac{\pi}{180}$ radianti. Per questo $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ vale solo in radianti: in gradi il limite sarebbe $\frac{\pi}{180}$. Il confronto tra $\sin x$ e $x$ lo vedi bene nei grafici delle funzioni goniometriche.

Derivate. La derivata di $\sin x$ è $\cos x$ solo se $x$ è in radianti; con i gradi compare il fattore $\frac{\pi}{180}$, come vedrai nelle derivate delle funzioni elementari.

Da qui in avanti, salvo avviso contrario, gli angoli sono in radianti, compreso l’argomento delle sinusoidi.

La calcolatrice: DEG, RAD e GRAD

Le calcolatrici scientifiche hanno due modalità per gli angoli, DEG (gradi) e RAD (radianti), e spesso una terza, GRAD, che usa il gon (o grado centesimale): un giro vale 400 gon e un angolo retto 100 gon, un’unità diffusa in topografia. Il test più rapido per capire in che modalità sei è calcolare $\sin 30$:

Modalità	$\sin 30$	Perché
DEG	$0{,}5$	seno di 30°
RAD	$\approx -0{,}988$	seno di 30 rad
GRAD	$\approx 0{,}454$	30 gon = 27°

Con i triangoli e i dati in gradi, come in trigonometria, serve DEG; in Analisi, con $x$ in radianti, serve RAD. L’errore opposto è altrettanto frequente: in DEG, $\sin\frac{\pi}{6}$ dà circa 0,0091 invece di 0,5, perché la calcolatrice lo legge come il seno di 0,5236 gradi.

Gli errori più comuni

• Dimenticare il π. $60° = \frac{\pi}{3}$, non $\frac{1}{3}$: un terzo di radiante è circa 19°.
• Scrivere π = 180. $\pi$ vale circa 3,14; l’uguaglianza giusta è $\pi \text{ rad} = 180°$.
• Lasciare la calcolatrice nella modalità sbagliata. Prima di cominciare controlla con $\sin 30$: 0,5 in DEG, circa $-0{,}988$ in RAD.
• Usare le formule di arco e settore con l’angolo in gradi. Con $r = 10$ cm e 60°, «$\ell = 10 \cdot 60 = 600$ cm» è assurdo: l’intera circonferenza è lunga circa 63 cm. Prima converti: $\ell = 10 \cdot \frac{\pi}{3} \approx 10{,}47$ cm.
• Leggere i primi come decimali. $23°\,30'$ è $23{,}5°$, non $23{,}30°$.
• Pensare che un angolo senza π sia in gradi. $\sin 3$ è il seno di 3 radianti, circa 171,9°, un angolo del II quadrante.
• Arrotondare π troppo presto. Con 3,14 un radiante diventa 57,32° invece di 57,30°: usa il tasto $\pi$ e arrotonda alla fine.
• Arrotondare verso lo zero con gli angoli negativi. Per ridurre $-\frac{11\pi}{6}$ a $[0, 2\pi)$ il numero di giri è $k = -1$, non $k = 0$.

Esercizi svolti

1. Conversioni nei due sensi, con i primi

Testo. Converti in radianti 255° e 33°45′. Converti in gradi $\frac{11\pi}{9}$ e 0,8 rad, quest’ultimo anche in gradi, primi e secondi.

Per 255° si semplifica $\frac{255}{180}$ dividendo per 15. Per 33°45′ si passa prima ai gradi decimali: $45' = \frac{45}{60}° = 0{,}75°$.

$$\begin{gathered} 255° = \frac{255}{180}\,\pi = \frac{17\pi}{12} \\[6pt] 33°\,45' = 33{,}75° = \frac{33{,}75}{180}\,\pi = \frac{3\pi}{16} \end{gathered}$$

Per $\frac{11\pi}{9}$ si sostituisce $\pi$ con 180°: $\frac{11 \cdot 180°}{9} = 11 \cdot 20° = 220°$. Per 0,8 rad serve la calcolatrice:

$$0{,}8 \cdot \frac{180°}{\pi} \approx 45{,}83662°$$

Poi $0{,}83662 \cdot 60 \approx 50{,}197$, cioè 50 primi, e $0{,}197 \cdot 60 \approx 11{,}8$, cioè circa 12 secondi: $0{,}8$ rad $\approx 45°\,50'\,12''$.

2. Ridurre a un solo giro

Testo. Trova l’angolo in $[0, 2\pi)$ e quello in $(-\pi, \pi]$ che individuano la stessa posizione di $\frac{31\pi}{6}$, di $-\frac{17\pi}{3}$ e di $-765°$.

Per $\frac{31\pi}{6}$ il quoziente con $2\pi$ è $\frac{31}{12} \approx 2{,}58$, quindi $k = 2$:

$$\frac{31\pi}{6} - 4\pi = \frac{31\pi - 24\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$$

$\frac{7\pi}{6}$ sta in $[0, 2\pi)$ ma supera $\pi$, quindi in $(-\pi, \pi]$ diventa $\frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6}$.

Per $-\frac{17\pi}{3}$ il quoziente è $-\frac{17}{6} \approx -2{,}83$, quindi $k = -3$:

$$-\frac{17\pi}{3} + 6\pi = \frac{-17\pi + 18\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$$

che va bene per entrambi gli intervalli. Per $-765°$ il quoziente è $-\frac{765}{360} = -2{,}125$, quindi $k = -3$: $-765° + 1080° = 315°$, cioè $\frac{7\pi}{4}$. In $(-\pi, \pi]$ diventa $315° - 360° = -45°$, cioè $-\frac{\pi}{4}$. Con $k = -2$, arrotondando verso lo zero, si otterrebbe $-45°$: giusto per il secondo intervallo, non per il primo.

3. In che quadrante, senza π

Testo. In quale quadrante cadono gli angoli di 1,6 rad, 5,5 rad, −3 rad e 20 rad?

Confrontiamo con $\frac{\pi}{2} \approx 1{,}571$, $\pi \approx 3{,}142$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4{,}712$ e $2\pi \approx 6{,}283$.

• 1,6 rad: supera 1,571 di poco ed è minore di 3,142, quindi è nel II quadrante. Il confronto va fatto con 1,571, non con un «circa 1,5».
• 5,5 rad: è tra 4,712 e 6,283, quindi nel IV quadrante.
• −3 rad: aggiungiamo un giro, $-3 + 2\pi \approx 3{,}283$, che è tra 3,142 e 4,712: III quadrante.
• 20 rad: il quoziente con $2\pi$ è circa 3,18, quindi togliamo tre giri: $20 - 6\pi \approx 1{,}150$, nel I quadrante.

4. Il tergicristallo

Testo. Il braccio di un tergicristallo è lungo 50 cm e ruota attorno al perno di 120°. La spazzola di gomma copre il tratto del braccio tra 20 cm e 50 cm dal perno. Quanto è lungo l’arco descritto dall’estremità del braccio? Quanta superficie di vetro viene pulita?

L’angolo in radianti è $120° = \frac{2\pi}{3}$. L’estremità percorre

$$\ell = 50 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{100\pi}{3} \approx 104{,}7 \text{ cm}$$

La zona pulita è il settore di raggio $R = 50$ cm meno il settore di raggio $r = 20$ cm, con lo stesso angolo:

$$\begin{gathered} A = \frac{1}{2}R^2\alpha - \frac{1}{2}r^2\alpha = \frac{1}{2}\,\alpha\,(R^2 - r^2) \\ {} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3} \cdot (2500 - 400) \\ {} = 700\pi \approx 2199 \text{ cm}^2 \end{gathered}$$

Circa 0,22 m². Il settore pieno sarebbe $\frac{2500\pi}{3} \approx 2618$ cm²: vicino al perno restano sporchi circa 419 cm².

5. Il ventaglio: dall’arco e dall’area al raggio e all’angolo

Testo. Un ventaglio aperto ha la forma di un settore circolare: il bordo esterno è un arco lungo 45 cm e la superficie è 450 cm². Quanto sono lunghe le stecche e di quanti gradi è aperto il ventaglio? Quanto diventa la superficie se lo apri fino a 160°?

Le incognite sono due, il raggio $r$ (le stecche) e l’angolo $\alpha$. Conviene partire da $A = \frac{1}{2}r\ell$, che non contiene $\alpha$:

$$\begin{gathered} r = \frac{2A}{\ell} = \frac{2 \cdot 450}{45} = 20 \text{ cm} \\[6pt] \alpha = \frac{\ell}{r} = \frac{45}{20} = 2{,}25 \end{gathered}$$

In gradi, $2{,}25 \cdot \frac{180°}{\pi} \approx 128{,}92°$, cioè circa $128°\,55'$. Controllo: $\frac{1}{2} \cdot 20^2 \cdot 2{,}25 = 450$ cm². Aprendo fino a $160° = \frac{8\pi}{9}$:

$$A = \frac{1}{2} \cdot 400 \cdot \frac{8\pi}{9} = \frac{1600\pi}{9} \approx 558{,}5 \text{ cm}^2$$

6. L’aiuola e la trappola della calcolatrice

Testo. Un’aiuola ha la forma di un segmento circolare: la parte di un cerchio di raggio 5 m compresa tra un arco e la corda che ne unisce gli estremi. L’angolo al centro è 100°. Calcola la lunghezza della bordura che serve per tutto il contorno (arco più corda) e l’area dell’aiuola. Uno studente, per l’area, ottiene circa 21,4 m²: dove ha sbagliato?

Prima di tutto l’angolo in radianti: $100° = \frac{5\pi}{9} \approx 1{,}7453$. L’arco è lungo

$$\ell = 5 \cdot \frac{5\pi}{9} = \frac{25\pi}{9} \approx 8{,}727 \text{ m}$$

La corda si trova con il teorema della corda: è il diametro per il seno di metà dell’angolo al centro, $c = 10 \sin 50° \approx 7{,}660$ m. La bordura è lunga $8{,}727 + 7{,}660 \approx 16{,}39$ m.

L’area del segmento è quella del settore meno quella del triangolo che ha per lati i due raggi e la corda. L’area del triangolo è il semiprodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso:

$$\begin{gathered} A_{\text{settore}} = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot \frac{5\pi}{9} \approx 21{,}817 \text{ m}^2 \\[6pt] A_{\text{triangolo}} = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot \sin 100° \approx 12{,}310 \text{ m}^2 \\[6pt] A_{\text{aiuola}} \approx 21{,}817 - 12{,}310 \approx 9{,}51 \text{ m}^2 \end{gathered}$$

L’errore dello studente: ha calcolato $\sin 1{,}7453$ con la calcolatrice in DEG, cioè il seno di 1,7453 gradi, circa 0,0305. Il triangolo gli è venuto circa 0,38 m² e l’aiuola $21{,}817 - 0{,}381 \approx 21{,}44$ m². È assurdo: un triangolo con due lati di 5 m che formano un angolo di 100° non può avere un’area inferiore a mezzo metro quadrato. La regola: $\sin 100°$ in DEG oppure $\sin 1{,}7453$ in RAD, mai mescolare.

Altri esercizi con gradi, radianti e archi li trovi negli esercizi svolti sulle funzioni goniometriche.

In sintesi

• $1° = 60'$ e $1' = 60''$: $23°\,30' = 23{,}5°$.
• La misura in radianti è $\alpha = \frac{\ell}{r}$, un numero puro; un radiante è l’angolo che abbraccia un arco lungo quanto il raggio, $1 \text{ rad} = \frac{180°}{\pi} \approx 57{,}2958° \approx 57°\,17'\,45''$.
• Un giro vale $2\pi \approx 6{,}28$ rad e $180° = \pi$ rad.
• Da gradi a radianti si moltiplica per $\frac{\pi}{180}$, da radianti a gradi per $\frac{180}{\pi}$.
• Con $\alpha$ in radianti: arco $\ell = r\alpha$, settore $A = \frac{1}{2}r^2\alpha = \frac{1}{2}r\ell$.
• Il verso antiorario è positivo; $x$ e $x + 2k\pi$, con $k \in \mathbb{Z}$, individuano la stessa posizione; togliendo giri interi, ogni angolo si riduce a $[0, 2\pi)$ o a $(-\pi, \pi]$ con un unico rappresentante.
• In Analisi gli angoli sono in radianti: solo così $\sin x \approx x$ per $x$ piccolo e la derivata di $\sin x$ è $\cos x$. Calcolatrice in RAD.

Ora che sappiamo misurare gli angoli, possiamo definire seno, coseno e tangente con la circonferenza goniometrica.