Funzioni goniometriche: seno, coseno e tangente sulla circonferenza goniometrica

Seno, coseno e tangente li hai probabilmente incontrati con i triangoli rettangoli: il seno di un angolo acuto è il cateto opposto diviso l’ipotenusa. In Analisi serve molto di più: vogliamo calcolare $\sin x$ per qualsiasi numero reale $x$, anche negativo o «senza $\pi$» come $x = 2$, per disegnarne il grafico e risolvere equazioni, limiti e integrali. Per questo le funzioni goniometriche si definiscono con la circonferenza goniometrica, e tutto il capitolo si appoggia su questa pagina. In questa pagina vediamo la circonferenza goniometrica, la definizione di seno e coseno e il legame con il triangolo rettangolo, le loro proprietà, la relazione fondamentale, i segni nei quadranti, la tangente e il suo significato geometrico, cotangente, secante e cosecante, come si ricava una funzione dalle altre, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

La circonferenza goniometrica

La circonferenza goniometrica è la circonferenza con centro nell’origine $O$ e raggio 1, con due convenzioni:

• il punto di partenza è $A = (1, 0)$;
• il verso positivo è quello antiorario.

Per non confondere il numero $x$ con l’ascissa di un punto, in questa pagina chiamiamo $X$ e $Y$ gli assi del piano: la circonferenza goniometrica ha equazione $X^2 + Y^2 = 1$.

Perché proprio raggio 1? Perché così la lunghezza di un arco coincide con la misura in radianti dell’angolo al centro, $\ell = r\alpha = \alpha$, e le coordinate dei punti sono direttamente seno e coseno. Con raggio $r$ diventano $r\cos x$ e $r\sin x$: è la formula delle componenti di un vettore.

La retta reale avvolta sulla circonferenza

Ecco l’idea chiave. Immagina la retta dei numeri reali come un filo, con lo 0 appoggiato su $A$, e avvolgila sulla circonferenza: la parte positiva in senso antiorario, quella negativa in senso orario. Ogni numero reale finisce su un punto.

Siccome il raggio è 1, $x$ è anche la misura in radianti, con il segno, dell’angolo di cui ruota il raggio $OA$ per arrivare in $OP$. Se $|x|$ supera $2\pi$, il giro si ripete.

Le tacche mostrano dove finiscono i primi numeri interi. Per orientarti ricorda che $\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57$ è un quarto di giro, $\pi \approx 3{,}14$ mezzo giro, $\frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71$ tre quarti e $2\pi \approx 6{,}28$ il giro completo. Così 1 (circa 57°) sta nel primo quadrante e 3 poco prima di metà giro; 7 fa più di un giro e arriva nello stesso punto di $7 - 2\pi \approx 0{,}72$; $-1$ gira in senso orario e finisce nel quarto quadrante.

Il fatto fondamentale: numeri che differiscono di un numero intero di giri finiscono nello stesso punto, cioè $P(x + 2k\pi) = P(x)$ per ogni intero $k$. E ogni punto della circonferenza è raggiunto da infiniti numeri reali, distanti tra loro un multiplo di $2\pi$.

Seno e coseno

In pratica il coseno è l’ombra di $P$ sull’asse $X$ e il seno l’ombra sull’asse $Y$, i due segmenti colorati della figura: lì $P$ è nel secondo quadrante, con coseno negativo e seno positivo.

I valori sugli assi

Quando $P$ cade su un asse, seno e coseno si leggono senza calcoli:

$x$	$\cos x$	$\sin x$
$0$	$1$	$0$
$\frac{\pi}{2}$	$0$	$1$
$\pi$	$-1$	$0$
$\frac{3\pi}{2}$	$0$	$-1$
$2\pi$	$1$	$0$

Per esempio, con $x = \pi$ si percorre mezzo giro e si arriva in $(-1, 0)$. Più in generale, i multipli di $\pi$ finiscono alternativamente in $(1, 0)$, se sono multipli pari, e in $(-1, 0)$, se sono dispari. Quindi, per ogni intero $n$:

$$\begin{gathered} \sin(n\pi) = 0 \\ \cos(n\pi) = (-1)^n \end{gathered}$$

È la formula che ritroverai nelle serie a segni alterni. Gli altri valori da sapere, come $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, sono nei valori notevoli.

Il legame con il triangolo rettangolo

Se $0 < x < \frac{\pi}{2}$, il punto $P$ è nel primo quadrante. Chiama $H = (\cos x, 0)$ la sua proiezione sull’asse $X$: il triangolo $OHP$ è rettangolo in $H$, ha ipotenusa $OP = 1$, cateto orizzontale $OH = \cos x$ e cateto verticale $HP = \sin x$. Quindi

$$\begin{gathered} \sin x = \frac{HP}{OP} = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}} \\[4pt] \cos x = \frac{OH}{OP} = \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{ipotenusa}} \end{gathered}$$

Ogni triangolo rettangolo con lo stesso angolo acuto è simile a $OHP$, quindi ha gli stessi rapporti tra i lati: è da qui che nasce la trigonometria dei triangoli rettangoli.

Perché la circonferenza allarga la definizione. Non esiste un triangolo rettangolo con un angolo di 3 radianti, né di $-1$. La circonferenza invece dà un seno e un coseno per ogni numero reale, e per gli angoli acuti ritrova esattamente i vecchi rapporti: è un’estensione, non una definizione diversa. In più i segni vengono da soli: $\cos 3 \approx -0{,}990$ è negativo perché $P(3)$ sta a sinistra dell’asse $Y$, vicinissimo a $(-1, 0)$.

Seno e coseno come funzioni

Seno e coseno sono quindi due funzioni $\mathbb{R} \to [-1, 1]$, e le loro proprietà si leggono tutte sulla circonferenza.

• Dominio: tutto $\mathbb{R}$, perché ogni numero reale ha il suo punto $P(x)$.
• Immagine: l’intervallo $[-1, 1]$. Le coordinate di un punto della circonferenza stanno tra $-1$ e $1$, e ogni valore $c$ con $-1 \leq c \leq 1$ è assunto: la retta $Y = c$ incontra la circonferenza, e ogni punto della circonferenza è $P(x)$ per qualche $x$. Per il coseno si usa la retta $X = c$.
• Zeri: $\sin x = 0$ quando $P$ sta sull’asse $X$, cioè per $x = k\pi$; $\cos x = 0$ quando $P$ sta sull’asse $Y$, cioè per $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.
• Massimo e minimo: $\sin x = 1$ solo nel punto più alto, per $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, e $\sin x = -1$ solo in quello più basso, per $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$. Invece $\cos x = 1$ per $x = 2k\pi$ e $\cos x = -1$ per $x = \pi + 2k\pi$.
• Periodo $2\pi$: siccome $P(x + 2\pi) = P(x)$, si ha $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ e $\cos(x + 2\pi) = \cos x$. Nessun numero positivo più piccolo funziona: se $T > 0$ fosse un periodo del coseno, avremmo $\cos T = \cos 0 = 1$, quindi $P(T) = A$ e $T$ sarebbe un multiplo di $2\pi$ (per il seno si parte da $\frac{\pi}{2}$). Sono funzioni periodiche di periodo $2\pi$.
• Parità: $P(-x)$ si ottiene percorrendo lo stesso arco in verso opposto, quindi è il simmetrico di $P(x)$ rispetto all’asse $X$: stessa ascissa, ordinata opposta. Quindi $\cos(-x) = \cos x$, il coseno è pari, e $\sin(-x) = -\sin x$, il seno è dispari. Le altre simmetrie della circonferenza danno gli archi associati.

Una conseguenza della periodicità: un’equazione come $\sin x = \frac{1}{2}$ ha infinite soluzioni, perché se $x$ è una soluzione lo è anche $x + 2k\pi$. È il punto di partenza delle equazioni goniometriche. Crescenza, decrescenza e forma delle curve sono nei grafici delle funzioni goniometriche.

La relazione fondamentale

Qui $\sin^2 x$ significa $(\sin x)^2$, mentre $\sin x^2$ è il seno del numero $x^2$.

Perché è vero. Il punto $P(x) = (\cos x, \sin x)$ sta sulla circonferenza di centro $O$ e raggio 1, quindi dista 1 dall’origine. La formula della distanza, cioè il teorema di Pitagora applicato al triangolo $OHP$ con cateti $|\cos x|$ e $|\sin x|$, dà

$$\begin{gathered} OP = \sqrt{\cos^2 x + \sin^2 x} = 1 \\ \Rightarrow\ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \end{gathered}$$

I valori assoluti rendono il ragionamento valido in tutti i quadranti, perché al quadrato il segno sparisce. Quando $P$ sta su un asse il triangolo degenera, ma la formula si verifica a mano: per esempio $\cos^2\pi + \sin^2\pi = 1 + 0 = 1$.

Le conseguenze.

1. Siccome $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x \leq 1$, si ha $-1 \leq \sin x \leq 1$; lo stesso vale per il coseno.
2. Conoscendo il coseno, il seno è noto a meno del segno, e viceversa:

$$\begin{gathered} |\sin x| = \sqrt{1 - \cos^2 x} \\ |\cos x| = \sqrt{1 - \sin^2 x} \end{gathered}$$

cioè $\sin x = \pm\sqrt{1 - \cos^2 x}$, e il segno lo decide il quadrante in cui si trova $P$.

Il perché del $\pm$ si vede sulla circonferenza: se sai solo che $\cos x = 0{,}6$, la retta $X = 0{,}6$ incontra la circonferenza in due punti, con ordinate $0{,}8$ e $-0{,}8$. Quale dei due sia $P$ te lo dice il quadrante.

I segni nei quadranti

Gli assi dividono la circonferenza in quattro quadranti, numerati in senso antiorario a partire da quello in alto a destra. Il segno di seno e coseno dipende solo da dove si trova $P$:

• il seno è positivo quando $P$ sta sopra l’asse $X$, cioè nel I e nel II quadrante;
• il coseno è positivo quando $P$ sta a destra dell’asse $Y$, cioè nel I e nel IV quadrante;
• la tangente, che vediamo tra poco, è il loro rapporto, quindi è positiva dove hanno lo stesso segno: nel I e nel III quadrante.

La stessa informazione in una tabella, per $x$ nel primo giro:

Quadrante	Positive	Negative
I: $0 < x < \frac{\pi}{2}$	sin, cos, tan	nessuna
II: $\frac{\pi}{2} < x < \pi$	sin	cos, tan
III: $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$	tan	sin, cos
IV: $\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$	cos	sin, tan

I punti sugli assi, come $x = \frac{\pi}{2}$, non stanno in nessun quadrante: lì una funzione vale 0 o la tangente non esiste.

La scaletta per un numero senza $\pi$.

1. Aggiungi o togli multipli di $2\pi \approx 6{,}28$ finché il numero non sta tra 0 e $6{,}28$.
2. Confrontalo con $1{,}57$, $3{,}14$ e $4{,}71$ per trovare il quadrante.
3. Leggi i segni nella tabella.

Per esempio, $x = 5$ sta tra $4{,}71$ e $6{,}28$: è nel IV quadrante, quindi $\sin 5 < 0$, $\cos 5 > 0$ e $\tan 5 < 0$. La calcolatrice, in radianti, conferma: $\sin 5 \approx -0{,}959$ e $\cos 5 \approx 0{,}284$.

La tangente

Nei punti più alto e più basso della circonferenza, dove il coseno vale 0, la tangente non esiste.

Il significato geometrico

Disegna la retta verticale $X = 1$, che è tangente alla circonferenza nel punto $A$ (da qui il nome), e prolunga la retta $OP$ fino a incontrarla in un punto $T$. Allora

$$T = (1,\ \tan x)$$

cioè la tangente è l’ordinata di $T$: la lunghezza, con il segno, del segmento $AT$.

Perché è vero. Nel primo quadrante bastano i triangoli $OHP$ e $OAT$: sono rettangoli e hanno in comune l’angolo in $O$, quindi sono simili. Siccome $OA = 1$:

$$\frac{AT}{OA} = \frac{HP}{OH} \ \Rightarrow\ AT = \frac{\sin x}{\cos x}$$

In ogni quadrante funziona invece un calcolo: i punti della retta $OP$ sono $(t\cos x,\ t\sin x)$ con $t \in \mathbb{R}$, e quello con ascissa 1 ha $t = \frac{1}{\cos x}$ e ordinata $\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$. Nel II e III quadrante $t$ è negativo: $T$ sta sul prolungamento di $OP$ dalla parte opposta a $P$, come nel secondo disegno. Se $\cos x = 0$, la retta $OP$ è l’asse $Y$, parallelo alla retta $X = 1$: non la incontra mai.

La tangente come pendenza. La retta $OP$ passa per l’origine e per $(\cos x, \sin x)$, quindi la sua pendenza, «salita diviso avanzamento», è $\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$. Per questo una retta che forma un angolo $\alpha$ con l’asse $X$ ha coefficiente angolare $m = \tan\alpha$.

Le proprietà della tangente

• Dominio: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$.
• Periodo $\pi$: mezzo giro porta $P(x)$ nel punto opposto $P(x + \pi)$. Seno e coseno cambiano entrambi segno, $\sin(x + \pi) = -\sin x$ e $\cos(x + \pi) = -\cos x$, e il rapporto resta lo stesso: $\tan(x + \pi) = \tan x$. I due punti stanno sulla stessa retta per $O$, quindi danno lo stesso $T$. Nessun periodo più piccolo funziona: un periodo $T$ con $0 < T < \pi$ darebbe $\tan T = \tan 0 = 0$, ma la tangente si annulla solo per $x = k\pi$.
• Immagine: tutto $\mathbb{R}$, perché ogni punto $(1, m)$ della retta $X = 1$ è il $T$ di qualche $x$: basta unirlo a $O$ e prendere un punto in cui questa retta incontra la circonferenza.
• Parità: è dispari, perché $\tan(-x) = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$.
• Segno e zeri: positiva nel I e III quadrante, negativa nel II e IV, nulla per $x = k\pi$.

Tangente, seno e coseno: le relazioni

Dividendo la relazione fondamentale per $\cos^2 x$, per $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, si ottiene:

$$\begin{gathered} \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} \\[4pt] 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \end{gathered}$$

Ricavando $\cos^2 x$, e poi $\sin^2 x = \tan^2 x \cdot \cos^2 x$, si ottengono i quadrati di seno e coseno a partire dalla sola tangente:

$$\begin{gathered} \cos^2 x = \frac{1}{1 + \tan^2 x} \\[4pt] \sin^2 x = \frac{\tan^2 x}{1 + \tan^2 x} \end{gathered}$$

E il segno? La tangente da sola non basta: $x$ e $x + \pi$ hanno la stessa tangente, ma punti opposti, quindi seno e coseno di segno opposto. Togliendo i quadrati:

$$\begin{gathered} \cos x = \pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 x}} \\[4pt] \sin x = \pm\frac{\tan x}{\sqrt{1 + \tan^2 x}} \end{gathered}$$

con lo stesso segno nelle due formule: $+$ se $P$ è nel I o nel IV quadrante, dove il coseno è positivo, e $-$ nel II e nel III. Il segno del seno si sistema da solo, perché la seconda formula è $\sin x = \tan x \cdot \cos x$. La relazione $1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ tornerà nella derivata della tangente.

Cotangente, secante e cosecante

Le altre tre funzioni goniometriche sono rapporti costruiti con seno e coseno:

$$\begin{gathered} \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \\[4pt] \sec x = \frac{1}{\cos x} \\[4pt] \csc x = \frac{1}{\sin x} \end{gathered}$$

• La cotangente è definita per $\sin x \neq 0$, cioè $x \neq k\pi$; ha periodo $\pi$ e lo stesso segno della tangente. Geometricamente è l’ascissa del punto in cui la retta $OP$ incontra la retta orizzontale $Y = 1$, tangente alla circonferenza in $(0, 1)$.
• $\cot x = \frac{1}{\tan x}$ vale solo dove esistono entrambe, cioè per $x \neq \frac{k\pi}{2}$: in $\frac{\pi}{2}$ la tangente non esiste, mentre $\cot\frac{\pi}{2} = \frac{0}{1} = 0$.
• La secante è definita per $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, la cosecante per $x \neq k\pi$. Siccome $|\cos x| \leq 1$, si ha $|\sec x| \geq 1$: la secante non assume mai valori strettamente compresi tra $-1$ e $1$, e lo stesso vale per la cosecante.

Dividendo la relazione fondamentale per $\sin^2 x$ si ottiene la gemella $1 + \cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$, per $x \neq k\pi$. Secante e cosecante si usano poco nei corsi italiani, ma compaiono nei testi in inglese e nelle tavole di integrali: basta riconoscerle.

Da una funzione alle altre

È l’esercizio più classico del capitolo: si conosce una funzione goniometrica e il quadrante, e si ricavano tutte le altre.

La scaletta.

1. Dal quadrante ricava i segni di seno, coseno e tangente.
2. Con la relazione fondamentale, oppure con $1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ se il dato è la tangente, trova il quadrato della funzione che manca.
3. Estrai la radice e metti il segno trovato al passo 1.
4. Ricava le altre funzioni con i rapporti.
5. Controlla che $\sin^2 x + \cos^2 x$ faccia 1 e che i segni siano quelli del quadrante.

Esempio 1. Sapendo che $\sin x = \frac{12}{37}$ e che $\frac{\pi}{2} < x < \pi$, trova $\cos x$ e $\tan x$.

Siamo nel II quadrante, dove il coseno e la tangente sono negativi:

$$\begin{gathered} \cos^2 x = 1 - \frac{144}{1369} = \frac{1225}{1369} \\[4pt] \cos x = -\frac{35}{37} \\[4pt] \tan x = \frac{12/37}{-35/37} = -\frac{12}{35} \end{gathered}$$

Esempio 2. Sapendo che $\tan x = 3$ e che $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$, trova seno e coseno.

Siamo nel III quadrante, dove seno e coseno sono entrambi negativi. Da $1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$:

$$\begin{gathered} \cos^2 x = \frac{1}{1 + 9} = \frac{1}{10} \\[4pt] \cos x = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10} \end{gathered}$$

e poi $\sin x = \tan x \cdot \cos x = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$. Controllo: $\frac{1}{10} + \frac{9}{10} = 1$.

Esempio 3. Sapendo che $\cos x = \frac{8}{17}$ e che $\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$, trova $\sin x$ e $\tan x$.

Siamo nel IV quadrante: il seno è negativo, quindi anche la tangente.

$$\begin{gathered} \sin^2 x = 1 - \frac{64}{289} = \frac{225}{289} \\[4pt] \sin x = -\frac{15}{17} \\[4pt] \tan x = \frac{-15/17}{8/17} = -\frac{15}{8} \end{gathered}$$

Esempio 4. Sapendo solo che $\tan x = -4$, trova seno e coseno.

Il quadrante non è dato: la tangente è negativa, quindi $P$ può stare nel II o nel IV quadrante, e servono entrambi i casi. In tutti e due $\cos^2 x = \frac{1}{1 + 16} = \frac{1}{17}$.

• II quadrante, coseno negativo: $\cos x = -\frac{\sqrt{17}}{17}$ e $\sin x = \tan x \cdot \cos x = \frac{4\sqrt{17}}{17}$.
• IV quadrante, coseno positivo: $\cos x = \frac{\sqrt{17}}{17}$ e $\sin x = -\frac{4\sqrt{17}}{17}$.

Sono due punti opposti della circonferenza, perché la tangente ha periodo $\pi$: senza il quadrante, la risposta corretta è doppia.

Semplificare con la relazione fondamentale

La relazione fondamentale si usa anche «al contrario»: un 1 si può pensare come $\sin^2 x + \cos^2 x$. Tre trucchi tornano di continuo:

• $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ e $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$;
• i prodotti notevoli, come $(1 - \sin x)(1 + \sin x) = 1 - \sin^2 x = \cos^2 x$;
• i raccoglimenti che fanno comparire $\sin^2 x + \cos^2 x$.

Esempio. Per $x \neq k\pi$:

$$\frac{1 - \cos^2 x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x}{\sin x} = \sin x$$

L’uguaglianza vale solo dove il primo membro esiste: in $x = \pi$ il secondo membro vale 0, ma il primo non è definito. Le condizioni di esistenza si scrivono prima di semplificare.

Esempio. Un quadrato di binomio nascosto, valido per ogni $x$:

$$\begin{gathered} \sin^4 x + 2\sin^2 x\cos^2 x + \cos^4 x \\ {} = \left(\sin^2 x + \cos^2 x\right)^2 = 1 \end{gathered}$$

Le espressioni con angoli doppi o somme di angoli richiedono le formule di addizione e duplicazione; molti esercizi misti sul capitolo sono negli esercizi svolti sulle funzioni goniometriche.

Perché si chiama «seno»

Il nome ha una storia curiosa, secondo la ricostruzione degli storici della matematica. Il matematico indiano Aryabhata, intorno al 500 d.C., chiamava questa grandezza jyā, «corda» dell’arco da tiro. Gli Arabi la trascrissero jība, parola senza significato in arabo; scritta senza vocali, fu poi letta jaib, «piega» o «petto». I traduttori latini del XII secolo (le fonti non concordano su chi fu il primo) la resero con sinus, che ha gli stessi significati: da qui il nostro «seno». Il nome «tangente» fu introdotto da Thomas Fincke nel 1583; «coseno» viene da co-sinus, il seno del complementare, proposto da Edmund Gunter nel 1620.

Gli errori più comuni

• Confondere $\sin^2 x$ con $\sin x^2$. Il primo è $(\sin x)^2$, il secondo è $\sin(x^2)$. Con $x = 3$: $\sin^2 3 \approx 0{,}020$, mentre $\sin 9 \approx 0{,}412$.
• Usare la relazione fondamentale con argomenti diversi. $\sin^2 3x + \cos^2 3x = 1$ è vera, perché l’argomento è lo stesso; $\sin^2 x + \cos^2 2x$ invece non vale 1 in generale: con $x = \frac{\pi}{2}$ fa $1 + 1 = 2$.
• Dimenticare il segno o sceglierlo a caso. La radice quadrata dà sempre un numero positivo o nullo: il segno di $\pm\sqrt{1 - \cos^2 x}$ va deciso guardando il quadrante di $x$.
• Sbagliare il quadrante di un numero senza $\pi$. $x = 3$ è nel II quadrante, non nel III: 3 è poco meno di $\pi \approx 3{,}14$.
• Scrivere $\tan\frac{\pi}{2} = \infty$. In $\frac{\pi}{2} + k\pi$ la tangente non esiste: va escluso dal dominio, non calcolato.
• Tenere la calcolatrice in gradi. In modalità DEG, $\sin 1$ dà circa $0{,}0175$, il seno di 1 grado; il seno di 1 radiante è circa $0{,}841$.
• Trattare il seno come una funzione lineare. $\sin 2x \neq 2\sin x$ e $\sin(a + b) \neq \sin a + \sin b$: con $x = \frac{\pi}{2}$, $\sin\pi = 0$ mentre $2\sin\frac{\pi}{2} = 2$. Le formule giuste sono quelle di addizione e duplicazione.
• Confondere $\cos^{-1}$ con la secante. Sulla calcolatrice il tasto $\cos^{-1}$ è l’arcocoseno, la funzione inversa, non $\frac{1}{\cos x}$. È l’eccezione alla regola delle potenze: $\cos^2 x$ è un quadrato, $\cos^{-1} x$ no.

Esercizi svolti

1. I segni senza π

Testo. Senza calcolare i valori, stabilisci il segno di seno, coseno e tangente per $x = 2$, $x = 4$, $x = 6$ e $x = -2$.

I punti di riferimento sono $\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57$, $\pi \approx 3{,}14$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71$ e $2\pi \approx 6{,}28$.

• $1{,}57 < 2 < 3{,}14$: II quadrante, quindi $\sin 2 > 0$, $\cos 2 < 0$, $\tan 2 < 0$.
• $3{,}14 < 4 < 4{,}71$: III quadrante, quindi $\sin 4 < 0$, $\cos 4 < 0$, $\tan 4 > 0$.
• $4{,}71 < 6 < 6{,}28$: IV quadrante, quindi $\sin 6 < 0$, $\cos 6 > 0$, $\tan 6 < 0$.
• $-2$ è negativo: aggiungendo un giro si ottiene $-2 + 2\pi \approx 4{,}28$, che sta tra $3{,}14$ e $4{,}71$. È nel III quadrante: $\sin(-2) < 0$, $\cos(-2) < 0$, $\tan(-2) > 0$.

Per $-2$ è più veloce la parità: $\sin(-2) = -\sin 2 < 0$, $\cos(-2) = \cos 2 < 0$ e $\tan(-2) = -\tan 2 > 0$. La calcolatrice in radianti conferma, per esempio, $\sin 2 \approx 0{,}909$, $\cos 4 \approx -0{,}654$ e $\tan 6 \approx -0{,}291$.

2. Dal seno a tutte le altre

Testo. Sapendo che $\sin x = -\frac{20}{29}$ e che $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$, calcola $\cos x$, $\tan x$, $\cot x$, $\sec x$ e $\csc x$.

III quadrante: coseno negativo, tangente positiva. Con la relazione fondamentale:

$$\begin{gathered} \cos^2 x = 1 - \frac{400}{841} = \frac{441}{841} \\[4pt] \cos x = -\sqrt{\frac{441}{841}} = -\frac{21}{29} \end{gathered}$$

Le altre per rapporto:

$$\begin{gathered} \tan x = \frac{-20/29}{-21/29} = \frac{20}{21} \\[4pt] \cot x = \frac{21}{20} \\[4pt] \sec x = -\frac{29}{21}, \quad \csc x = -\frac{29}{20} \end{gathered}$$

Controllo: $400 + 441 = 841 = 29^2$, e la tangente è positiva come deve essere nel III quadrante.

3. Dalla tangente a seno e coseno

Testo. Sapendo che $\tan x = 2\sqrt{6}$ e che $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$, calcola $\sin x$, $\cos x$ e $\cot x$.

Siamo nel III quadrante: seno e coseno sono negativi. Siccome $\tan^2 x = 4 \cdot 6 = 24$:

$$\begin{gathered} \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x = 25 \\[4pt] \cos^2 x = \frac{1}{25} \ \Rightarrow\ \cos x = -\frac{1}{5} \end{gathered}$$

Il seno si ottiene dalla tangente, senza un’altra radice:

$$\begin{gathered} \sin x = \tan x \cdot \cos x \\[4pt] {} = 2\sqrt{6} \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = -\frac{2\sqrt{6}}{5} \end{gathered}$$

Infine $\cot x = \frac{1}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{12}$. Controllo: $\frac{1}{25} + \frac{24}{25} = 1$.

4. Due semplificazioni

Testo. Semplifica le due espressioni, indicando dove hanno senso:

$$\begin{gathered} E_1 = \frac{\cos x - \cos^3 x}{\sin x\cos x} \\[4pt] E_2 = (1 - \sin^2 x)(1 + \tan^2 x) - \sin^2 x \end{gathered}$$

Prima espressione. Serve $\sin x \neq 0$ e $\cos x \neq 0$, cioè $x \neq \frac{k\pi}{2}$. Al numeratore raccogli $\cos x$ e usa la relazione fondamentale:

$$\begin{gathered} \cos x - \cos^3 x = \cos x\,(1 - \cos^2 x) \\ {} = \cos x\sin^2 x \end{gathered}$$

quindi

$$E_1 = \frac{\cos x\sin^2 x}{\sin x\cos x} = \sin x$$

Seconda espressione. C’è la tangente, quindi serve $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$. Il primo fattore è $\cos^2 x$, il secondo è $\frac{1}{\cos^2 x}$, e il loro prodotto vale 1:

$$\begin{gathered} E_2 = \cos^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} - \sin^2 x \\[4pt] {} = 1 - \sin^2 x = \cos^2 x \end{gathered}$$

Risultato: $E_1 = \sin x$ per $x \neq \frac{k\pi}{2}$ ed $E_2 = \cos^2 x$ per $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$. Un controllo numerico con $x = 1$: $E_1 \approx 0{,}841 = \sin 1$.

5. Un’identità

Testo. Dimostra che, per $x \neq k\pi$:

$$\frac{1 + \cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 - \cos x}$$

Prima le condizioni. Il primo membro richiede $\sin x \neq 0$, cioè $x \neq k\pi$; il secondo $\cos x \neq 1$, cioè $x \neq 2k\pi$. Entrambi esistono per $x \neq k\pi$, ed è lì che va dimostrata l’uguaglianza.

Si trasforma un membro nell’altro, senza passaggi «da entrambe le parti» come in un’equazione. Moltiplica numeratore e denominatore del secondo membro per $1 + \cos x$, che per $x \neq k\pi$ non è zero:

$$\begin{gathered} \frac{\sin x}{1 - \cos x} = \frac{\sin x\,(1 + \cos x)}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)} \\[4pt] {} = \frac{\sin x\,(1 + \cos x)}{1 - \cos^2 x} \\[4pt] {} = \frac{\sin x\,(1 + \cos x)}{\sin^2 x} = \frac{1 + \cos x}{\sin x} \end{gathered}$$

che è il primo membro. Nota perché la condizione conta: in $x = \pi$ il secondo membro vale $\frac{0}{2} = 0$, ma il primo non esiste, quindi lì l’identità non ha senso.

6. Da esame: coseno e segno della tangente

Testo. Sapendo che $\cos x = -\frac{1}{3}$ e che $\tan x > 0$, calcola $\sin x$ e $\tan x$, poi il valore di

$$E = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}$$

Il quadrante. Il coseno è negativo nel II e nel III quadrante; la tangente è positiva nel I e nel III. L’unico quadrante compatibile è il III, dove anche il seno è negativo.

Seno e tangente.

$$\begin{gathered} \sin^2 x = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \\[4pt] \sin x = -\frac{\sqrt{8}}{3} = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \\[4pt] \tan x = \frac{-2\sqrt{2}/3}{-1/3} = 2\sqrt{2} \end{gathered}$$

L’espressione. Conviene dividere numeratore e denominatore per $\cos x$, che non è zero: compare solo la tangente.

$$E = \frac{\tan x - 1}{\tan x + 1} = \frac{2\sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2} + 1}$$

Razionalizziamo moltiplicando sopra e sotto per $2\sqrt{2} - 1$. Al numeratore $(2\sqrt{2} - 1)^2 = 8 - 4\sqrt{2} + 1 = 9 - 4\sqrt{2}$, al denominatore $(2\sqrt{2})^2 - 1 = 7$:

$$E = \frac{9 - 4\sqrt{2}}{7} \approx 0{,}478$$

Controllo sostituendo direttamente: il numeratore è $\frac{1 - 2\sqrt{2}}{3}$, il denominatore $\frac{-1 - 2\sqrt{2}}{3}$, e il loro rapporto è di nuovo $\frac{2\sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2} + 1}$. Il risultato: $\sin x = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\tan x = 2\sqrt{2}$ ed $E = \frac{9 - 4\sqrt{2}}{7}$.

In sintesi

• Sulla circonferenza goniometrica, $P(x) = (\cos x, \sin x)$ è il punto raggiunto da $A = (1, 0)$ con un arco lungo $|x|$, in senso antiorario se $x > 0$.
• Seno e coseno vanno da $\mathbb{R}$ a $[-1, 1]$, hanno periodo $2\pi$, il coseno è pari e il seno dispari; $\sin x = 0$ per $x = k\pi$, $\cos x = 0$ per $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ e $\cos(n\pi) = (-1)^n$.
• Relazione fondamentale: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, quindi $\sin x = \pm\sqrt{1 - \cos^2 x}$, con il segno del quadrante.
• Segni: il seno è positivo nel I e II quadrante, il coseno nel I e IV, la tangente nel I e III.
• $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ per $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$: è l’ordinata di $T = (1, \tan x)$ e la pendenza di $OP$; ha periodo $\pi$ e immagine $\mathbb{R}$.
• $1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$, da cui $\cos^2 x = \frac{1}{1 + \tan^2 x}$; il segno di seno e coseno lo decide il quadrante.
• $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ per $x \neq k\pi$, $\sec x = \frac{1}{\cos x}$, $\csc x = \frac{1}{\sin x}$.

Per calcolare davvero seno, coseno e tangente servono alcuni valori da conoscere a memoria: li vediamo nei valori notevoli delle funzioni goniometriche.