Esercizi svolti sulla funzione logaritmica: logaritmi, domini, segno e grafici

In ogni caso chiamiamo $c$ il logaritmo e scriviamo base e argomento come potenze dello stesso numero.

1. $\frac{1}{16} = 2^{-4}$, quindi $\log_2 \frac{1}{16} = -4$.

2. $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ e $27 = 3^3$:

3. $5 = \sqrt{25} = 25^{1/2}$, quindi $\log_{25} 5 = \frac{1}{2}$.

4. $8 = 2^3$ e $32 = 2^5$:

5. $\sqrt{2} = 2^{1/2}$ e $8 = 2^3$:

Controllo: $\left(\sqrt{2}\right)^6 = 2^3 = 8$.

6. Tutto in base 3: $9 = 3^2$ e $\frac{1}{\sqrt[3]{3}} = 3^{-1/3}$. Quindi

7. $\frac{1}{\sqrt{e}} = e^{-1/2}$, quindi $\ln \frac{1}{\sqrt{e}} = -\frac{1}{2}$.

I risultati sono $-4$, $-3$, $\frac{1}{2}$, $\frac{5}{3}$, $6$, $-\frac{1}{6}$ e $-\frac{1}{2}$. I segni tornano: i quattro negativi hanno base e argomento da parti opposte rispetto a 1.

1. Si usano le due identità, $a^{\log_a b} = b$ per $b > 0$ e $\log_a\left(a^c\right) = c$ per ogni $c$, insieme alle proprietà delle potenze.

• Il 9 è una potenza di 3, e nella potenza di una potenza gli esponenti si possono scambiare:

• $e^{2 + \ln 3} = e^2 \cdot e^{\ln 3} = 3e^2 \approx 22{,}17$.
• $10^{-\log_{10} 4} = \dfrac{1}{10^{\log_{10} 4}} = \dfrac{1}{4}$.
• $\log_3 81 = 4$, perché $3^4 = 81$; quindi $\log_2\left(\log_3 81\right) = \log_2 4 = 2$.
• $\ln e^e = e$, quindi $\ln\left(\ln e^e\right) = \ln e = 1$.

2. (a) $\ln\left(e^t\right) = t$ vale per ogni $t$ reale, perché $e^t$ è sempre positivo. Quindi non ci sono condizioni, e

Sono accettabili entrambe.

(b) Qui invece $e^{\ln x} = x$ vale solo per $x > 0$: per $x \leq 0$ il logaritmo non esiste. Con la condizione $x > 0$:

La radice $x = -1$ va scartata, perché $\ln(-1)$ non esiste. Resta $x = 2$. Controllo: $e^{\ln 2} = 2$ e $2^2 - 2 = 2$.

1. $16 - x^2 > 0 \iff x^2 < 16 \iff -4 < x < 4$. Dominio: $(-4, 4)$.

2. Serve $\frac{x + 1}{3 - x} > 0$. Il numeratore è positivo per $x > -1$, il denominatore per $x < 3$. Una frazione è positiva quando numeratore e denominatore hanno lo stesso segno:

• entrambi positivi: $-1 < x < 3$;
• entrambi negativi: $x < -1$ e $x > 3$ insieme, impossibile.

Dominio: $(-1, 3)$. Controllo: in $x = 0$ la frazione vale $\frac{1}{3}$, in $x = 4$ vale $-5$.

3. La base contiene la $x$, quindi le condizioni sono tre:

La terza equivale a $x^2 + x - 6 < 0$, cioè $(x + 3)(x - 2) < 0$: la parabola è negativa tra le radici, per $-3 < x < 2$. Con le prime due resta il dominio $(0, 1) \cup (1, 2)$.

4. Il logaritmo deve esistere, $x + 4 > 0$, e il denominatore non deve annullarsi:

Dominio: $(-4, -3) \cup (-3, +\infty)$.

1. Prima il dominio: $x + 1 > 0$, cioè $x > -1$. Poi il segno dei due fattori, dentro il dominio:

• $x^2 - 4 > 0 \iff x < -2$ oppure $x > 2$; nel dominio resta $x > 2$;
• $\ln(x + 1) > 0 \iff x + 1 > 1 \iff x > 0$.

$f$ è positiva su $(-1, 0)$ e su $(2, +\infty)$, negativa su $(0, 2)$, e si annulla in $x = 0$ e $x = 2$. Controllo: $f(1) = -3\ln 2 \approx -2{,}08$.

2. Le condizioni sono quattro: esiste il primo logaritmo, esiste la radice, esiste $\ln x$, il denominatore non si annulla.

La seconda: $0 = \log_{1/3} 1$, e la base è minore di 1, quindi il verso si inverte: $2x - 1 \leq 1$, cioè $x \leq 1$. L’ultima dà $x \neq 1$. Mettendo tutto insieme:

Dominio: $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$. Il punto $x = 1$, che la radice accetterebbe, viene escluso dalla frazione.

3. Si va dall’interno verso l’esterno: $\ln x$ richiede $x > 0$; il logaritmo esterno richiede $2 - \ln x > 0$. Siccome $2 = \ln e^2$ e $\ln$ è strettamente crescente:

Dominio: $\left(0, e^2\right)$, circa $(0;\ 7{,}39)$. Per il segno si confronta l’argomento con 1:

Quindi $h > 0$ su $(0, e)$, $h(e) = 0$ e $h < 0$ su $\left(e, e^2\right)$. Controllo: $h(1) = \ln 2 > 0$, mentre $h(5) = \ln(2 - \ln 5) \approx \ln 0{,}39 < 0$.

1. Prima si raccoglie il meno: $4 - x = -(x - 4)$. Poi le mosse, nell’ordine:

1. $\ln x \to \ln(-x)$: simmetria rispetto all’asse $y$, dominio $x < 0$;
2. $\to \ln\big(-(x - 4)\big) = \ln(4 - x)$: traslazione di 4 verso destra, dominio $x < 4$;
3. $\to \ln(4 - x) - 1$: traslazione di 1 verso il basso.

Le proprietà:

• Dominio: $4 - x > 0 \iff x < 4$.
• Asintoto verticale: $x = 4$. Per $x \to 4^-$ l’argomento tende a $0^+$ e $f$ scende verso $-\infty$.
• Asse $y$: $f(0) = \ln 4 - 1 \approx 0{,}39$.
• Asse $x$: $\ln(4 - x) = 1 \iff 4 - x = e \iff x = 4 - e \approx 1{,}28$.
• Monotonia: al crescere di $x$ l’argomento $4 - x$ diminuisce, e con lui il logaritmo: $f$ è strettamente decrescente.
• Segno: $f(x) > 0 \iff 4 - x > e \iff x < 4 - e$. Quindi $f$ è positiva per $x < 4 - e$ e negativa per $4 - e < x < 4$.

2. Il valore assoluto agisce sul risultato: la parte del grafico sotto l’asse $x$, quella per $4 - e < x < 4$, viene ribaltata sopra. Il dominio resta $x < 4$, ma ora vicino a $x = 4$ il grafico sale verso $+\infty$.

$g$ è strettamente decrescente fino a $x = 4 - e$ e strettamente crescente dopo: il minimo è $g(4 - e) = 0$, in un punto angoloso, e l’immagine è $[0, +\infty)$.

L’equazione $g(x) = 1$ equivale a $\ln(4 - x) - 1 = \pm 1$:

Due soluzioni, $x = 4 - e^2 \approx -3{,}39$ e $x = 3$, entrambe nel dominio. Controllo: $g(3) = \left|\ln 1 - 1\right| = 1$.

1. Le basi sono minori di 1, quindi i due logaritmi sono strettamente decrescenti. Confrontiamo ciascuno con $1 = \log_a a$:

• $0{,}3 < 0{,}5$, quindi $\log_{0{,}5} 0{,}3 > \log_{0{,}5} 0{,}5 = 1$;
• $0{,}5 > 0{,}3$, quindi $\log_{0{,}3} 0{,}5 < \log_{0{,}3} 0{,}3 = 1$.

È maggiore $\log_{0{,}5} 0{,}3$: circa $1{,}74$ contro $0{,}58$.

2. Da $5 < 11 < 25$ e $7 < 19 < 49$, entrambi stanno tra 1 e 2. Proviamo il numero intermedio $\frac{3}{2}$, scritto come logaritmo: $\frac{3}{2} = \log_5 5^{3/2} = \log_7 7^{3/2}$. Con le basi maggiori di 1 il verso resta; poi eleviamo al quadrato, che conserva il verso tra numeri positivi:

Entrambe vere: $\log_5 11 < \frac{3}{2} < \log_7 19$. È maggiore $\log_7 19$, circa $1{,}513$ contro $1{,}490$.

3. $0{,}2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$, quindi $\log_5 0{,}2 = -1$. Per l’altro: $0{,}2 < \frac{1}{3}$ e $\log_3$ è strettamente crescente, quindi

È maggiore $\log_5 0{,}2$. Con la calcolatrice $\log_3 0{,}2 \approx -1{,}465$: con l’argomento minore di 1, la base più vicina a 1 dà il logaritmo più lontano da 0.

Dominio. $e^x - 1 > 0 \iff e^x > e^0 \iff x > 0$. Quindi $\operatorname{dom} f = (0, +\infty)$.

Monotonia. Per $x > 0$, al crescere di $x$ cresce $e^x - 1$, e il logaritmo è strettamente crescente: $f$ è strettamente crescente, quindi iniettiva.

Immagine. Mentre $x$ percorre $(0, +\infty)$, $e^x$ assume tutti i valori di $(1, +\infty)$ e $e^x - 1$ tutti i numeri positivi. Il logaritmo dei numeri positivi assume tutti i valori reali: $\operatorname{Im} f = \mathbb{R}$.

L’inversa. Per ogni $y$ reale risolviamo $y = f(x)$:

Ogni passaggio è un’equivalenza, e $e^y + 1 > 1$: il logaritmo esiste ed è positivo, quindi $x$ sta nel dominio. Scambiando i nomi delle variabili:

Verifica. Per $x > 0$, con le due identità:

Con un numero: $f(\ln 2) = \ln(2 - 1) = 0$ e $f^{-1}(0) = \ln 2$.

Asintoti. Per $x \to 0^+$ l’argomento $e^x - 1$ tende a $0^+$: $f$ ha l’asintoto verticale $x = 0$. Per $x \to -\infty$, $e^x$ tende a 0 e $f^{-1}(x)$ tende a $\ln 1 = 0$: l’inversa ha l’asintoto orizzontale $y = 0$. Dominio e immagine si scambiano, e così gli asintoti.

1. Mostriamo che, per ogni $y$ reale, l’equazione $\sinh x = y$ ha una e una sola soluzione: questo dice insieme che $\sinh$ è iniettiva e che la sua immagine è tutto $\mathbb{R}$.

Moltiplichiamo $y = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ per $2e^x$, che è positivo: si ottiene $2y\,e^x = e^{2x} - 1$, cioè

Con la sostituzione $t = e^x$, con $t > 0$, è un’equazione di secondo grado, con discriminante sempre positivo:

Siccome $\sqrt{y^2 + 1} > \sqrt{y^2} = |y|$, la soluzione con il meno è minore di $y - |y| \leq 0$, quindi è negativa e va scartata. Quella con il più è maggiore di $y + |y| \geq 0$, quindi è positiva. Resta una sola $t$, e una sola $x$:

Per ogni $y$ c’è esattamente una $x$: $\sinh$ è biiettiva da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$. Chiamando di nuovo $x$ la variabile, la sua inversa è

definita per ogni $x$ reale, perché l’argomento del logaritmo è sempre positivo.

Controllo: $\sinh 1 \approx 1{,}1752$, e

Si torna al punto di partenza.

2. Basta applicare l’inversa:

Rifacendo i conti da capo si arriva a $t^2 - 4t - 1 = 0$ e, scartando $t = 2 - \sqrt{5} < 0$, a $e^x = 2 + \sqrt{5}$.

Chiamiamo $A(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 3}$ l’argomento.

Dominio. Serve $A(x) > 0$. Il numeratore è positivo per $x < -1$ oppure $x > 1$, il denominatore per $x > -3$:

Dominio: $(-3, -1) \cup (1, +\infty)$.

Asse $y$. $x = 0$ non sta nel dominio: nessuna intersezione.

Asse $x$. Il logaritmo si annulla quando l’argomento vale 1. Nel dominio $x + 3 \neq 0$, quindi si può moltiplicare:

cioè $x_1 \approx -1{,}56$ e $x_2 \approx 2{,}56$. Entrambi stanno nel dominio, uno per intervallo.

Segno. $f(x) > 0$ quando l’argomento supera 1:

Nel dominio il denominatore è positivo, quindi conta il numeratore, positivo all’esterno delle radici:

• $f > 0$ su $(-3, x_1)$ e su $(x_2, +\infty)$;
• $f < 0$ su $(x_1, -1)$ e su $(1, x_2)$.

Asintoti. Guardiamo l’argomento ai bordi del dominio.

• $x \to -3^+$: il numeratore tende a 8, il denominatore a $0^+$; l’argomento tende a $+\infty$ e $f$ sale verso $+\infty$.
• $x \to -1^-$ e $x \to 1^+$: il numeratore tende a $0^+$, il denominatore a 2 e a 4; l’argomento tende a $0^+$ e $f$ scende verso $-\infty$.
• $x \to +\infty$: l’argomento tende a $+\infty$, quindi anche $f$, ma lentamente. Per $x > 1$ si ha $x^2 - 1 < x^2 + 3x$, cioè $A(x) < x$: quindi $f(x) < \ln x$. Nessun asintoto orizzontale.

Gli asintoti verticali sono tre: $x = -3$, $x = -1$ e $x = 1$.

Monotonia. Con la divisione, $x^2 - 1 = (x + 3)(x - 3) + 8$, quindi $A(x) = x - 3 + \frac{8}{x + 3}$. Per $u < v$ nello stesso intervallo:

Su $(1, +\infty)$ entrambi i fattori $u + 3$ e $v + 3$ superano 4, il prodotto supera 16 e la parentesi è positiva: $A$ è strettamente crescente. Su $(-3, -1)$ sono tra 0 e 2, il prodotto è minore di 4 e la parentesi è negativa: $A$ è strettamente decrescente. Il logaritmo è strettamente crescente, quindi $f$ fa lo stesso: decresce sul primo intervallo, cresce sul secondo.

Con le derivate, nello studio di funzione logaritmica, ritroverai la stessa monotonia.

1. Per la definizione di logaritmo, $\mathrm{pH} = -\log_{10} [\mathrm{H}^+]$ significa $[\mathrm{H}^+] = 10^{-\mathrm{pH}}$:

in mol/L: il pH più basso corrisponde alla concentrazione più alta. Il rapporto, con le proprietà delle potenze:

Una differenza di pH di appena 0,1 vuol dire il 26% di ioni idrogeno in più: la scala è logaritmica, non lineare.

2. Da $L = 10 \log_{10} \frac{I}{I_0}$ si ricava $\frac{I}{I_0} = 10^{L/10}$. A 100 dB il rapporto è $10^{10}$ (cioè $I = 10^{-2}$ W/m²), a 85 dB è $10^{8{,}5}$. Quindi

Le cuffie devono lasciar passare circa $\frac{1}{32}$ dell’intensità, cioè il 3%: 15 dB in meno non vuol dire il 15% in meno.

3. Un intero positivo $N$ ha $n$ cifre quando $10^{n-1} \leq N < 10^n$. Scriviamo 2 come potenza di 10, $2 = 10^{\log_{10} 2}$; con $p = 136\,279\,841$:

Quindi $10^{41\,024\,319} < 2^p < 10^{41\,024\,320}$, e $2^p$ ha 41 024 320 cifre. Togliere 1 non cambia il numero di cifre: $2^p$ è un intero maggiore di $10^{41\,024\,319}$, quindi $2^p - 1 \geq 10^{41\,024\,319}$. Il primo ha 41 024 320 cifre.

1. Applichiamo la disuguaglianza con $t = 1 + \frac{1}{n}$, che è positivo e diverso da 1, quindi con il minore stretto:

La funzione $e^t$ è strettamente crescente, quindi conserva il verso, e a sinistra $e^{\ln b} = b$:

I due membri sono positivi e $t^n$ è strettamente crescente per $t > 0$: elevando alla $n$ il verso resta. Con le proprietà delle potenze:

Moltiplicando per $n^n > 0$ si ottiene $(n + 1)^n < e \cdot n^n$.

2. Per $n \geq 3$ si ha $e < 3 \leq n$, quindi

Per $n = 1$ e $n = 2$ l’ordine è opposto: $2^1 = 2 > 1 = 1^2$ e $3^2 = 9 > 8 = 2^3$. Il punto 1 vale anche lì, ma $e \cdot n^n$ supera $n^{n + 1}$: la condizione $n \geq 3$ serve davvero.

3. Con $n = 100$:

E la differenza è enorme: dal punto 1, $101^{100} < e \cdot 100^{100} < 3 \cdot 10^{200}$, mentre $100^{101} = 10^{202}$, più di 30 volte tanto. Con la calcolatrice $1{,}01^{100} \approx 2{,}705$, quindi $101^{100} = 1{,}01^{100} \cdot 10^{200} \approx 2{,}70 \cdot 10^{200}$.

Separiamo i due membri: $y = \ln|x|$, pari, con dominio $x \neq 0$ e due rami; $y = k - x$, una retta di pendenza $-1$ che sale al crescere di $k$. Contiamo le intersezioni ramo per ramo.

Ramo destro, $x > 0$. $\ln x$ è strettamente crescente e $k - x$ strettamente decrescente: si incontrano al massimo una volta. E si incontrano sempre: vicino a 0 il logaritmo precipita sotto la retta, mentre in $x = |k| + 1$ si ha $\ln x \geq 0$ e $k - x \leq -1$, quindi il logaritmo sta sopra. Una soluzione per ogni $k$.

Ramo sinistro, $x < 0$. Con $t = -x > 0$, la disuguaglianza $\ln t \leq t - 1$ diventa

con l’uguaglianza solo in $x = -1$. Quindi la retta $y = -1 - x$, cioè $k = -1$, tocca il ramo solo nel punto $(-1, 0)$: è la sua tangente.

• $k > -1$: la retta sta sopra la tangente, $k - x > -1 - x \geq \ln(-x)$: nessuna intersezione.
• $k = -1$: solo $x = -1$.
• $k < -1$: in $x = -1$ il ramo sta sopra la retta, perché $0 > k + 1$. Vicino a 0 precipita sotto. In $x = -4k^2$, a sinistra di $-1$, il ramo vale $\ln\left(4k^2\right) = 2\ln(-2k)$, per $\ln\sqrt{y} = \frac{1}{2}\ln y$ della funzione logaritmica e $\sqrt{4k^2} = -2k$; con la disuguaglianza per $t = -2k$ è al massimo $-4k - 2$. La retta vale $k + 4k^2$, che è maggiore, perché $4k^2 + 5k + 2 > 0$ per ogni $k$ (il discriminante è $25 - 32 < 0$): di nuovo sotto. Le curve si scambiano di posto due volte, quindi si incontrano almeno una volta tra $-4k^2$ e $-1$ e almeno una volta tra $-1$ e 0, per il teorema degli zeri. Non di più: il ramo è concavo, e se una retta avesse tre punti in comune con lui, quello in mezzo starebbe sul segmento che unisce gli altri due, mentre il grafico sta strettamente sopra le sue corde.