Trasformazioni dei grafici: traslazioni, simmetrie, dilatazioni, |f(x)| e f(|x|)

Conoscere a memoria i grafici delle funzioni elementari serve soprattutto perché da ciascuno se ne ricavano moltissimi altri con poche mosse: spostare il grafico, ribaltarlo, allungarlo o schiacciarlo. Sono le trasformazioni dei grafici. Con queste disegni a mano funzioni come $2\sqrt{x + 1} - 3$ o $|x^2 - 4|$ senza uno studio di funzione completo. All’esame servono per il grafico «qualitativo» della prima domanda e per contare le soluzioni di un’equazione con parametro. In questa pagina vediamo traslazioni, simmetrie, dilatazioni e contrazioni, i grafici di $|f(x)|$, $f(|x|)$ e $\frac{1}{f(x)}$, l’ordine giusto per combinare più trasformazioni, la risoluzione grafica di equazioni, una tabella riassuntiva, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

L’idea: ogni punto si sposta

Il grafico di $f$ è fatto dei punti $(u, v)$ con $v = f(u)$. Una trasformazione sposta ogni punto con la stessa regola: per capirla basta chiedersi dove finisce $(u, v)$.

• Le operazioni fuori da $f$, come in $f(x) + 3$, agiscono sulla $y$: muovono il grafico in verticale, nel verso atteso.
• Quelle dentro $f$, come in $f(x - 3)$, agiscono sulla $x$: muovono il grafico in orizzontale, ma al contrario.

Nelle regole delle traslazioni $h$ e $k$ sono numeri positivi.

Le traslazioni

Traslazione verticale: f(x) + k

$y = f(x) + k$ è il grafico di $f$ spostato di $k$ unità verso l’alto, $y = f(x) - k$ verso il basso.

Perché. In ogni $u$ la nuova funzione vale $f(u) + k$: il punto $(u, v)$ va in $(u, v + k)$.

Dominio e asintoti verticali restano; immagine, valori di massimi e minimi, asintoti orizzontali e intersezione con l’asse $y$ salgono di $k$. Gli zeri invece vanno ricalcolati: sono le soluzioni di $f(x) = -k$. $x^2$ ha lo zero 0, $x^2 - 4$ ha gli zeri $\pm 2$.

Traslazione orizzontale: f(x − h)

Cambiare la $x$ prima di applicare $f$ sposta il grafico in orizzontale, nel verso opposto a quello che sembra:

• $y = f(x - h)$ è il grafico di $f$ spostato di $h$ unità verso destra;
• $y = f(x + h)$ è il grafico di $f$ spostato di $h$ unità verso sinistra.

Perché. Chiama $g(x) = f(x - h)$. Nel punto $u + h$ vale

$$g(u + h) = f(u + h - h) = f(u)$$

cioè $g$ raggiunge in $u + h$ il valore che $f$ aveva in $u$: fa tutto $h$ passi più avanti. Il punto $(u, v)$ va in $(u + h, v)$.

Dominio, zeri, ascisse di massimi e minimi e asintoti verticali si spostano di $h$: il dominio di $\sqrt{x - 2}$ è $[2, +\infty)$. Immagine, valori di massimi e minimi e asintoti orizzontali restano; l’intersezione con l’asse $y$ diventa $f(-h)$.

Esempi.

• $y = (x - 3)^2 + 1$ è la parabola $y = x^2$ spostata di 3 verso destra e di 1 verso l’alto: il vertice passa da $(0, 0)$ a $(3, 1)$.
• Da $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ si legge che la cosinusoide è la sinusoide traslata a sinistra di $\frac{\pi}{2}$, come nei grafici delle funzioni goniometriche.
• Dividendo, $\frac{x + 1}{x - 2} = 1 + \frac{3}{x - 2}$: la funzione omografica è l’iperbole $\frac{3}{x}$ spostata di 2 verso destra e di 1 verso l’alto, con asintoti $x = 2$ e $y = 1$.

Le simmetrie

Cambiare segno al risultato o alla variabile ribalta il grafico:

• $y = -f(x)$ è il simmetrico rispetto all’asse $x$: il punto $(u, v)$ va in $(u, -v)$;
• $y = f(-x)$ è il simmetrico rispetto all’asse $y$: $(u, v)$ va in $(-u, v)$, perché in ogni punto la nuova funzione vale quanto $f$ nel punto opposto;
• $y = -f(-x)$ è il simmetrico rispetto all’origine: $(u, v)$ va in $(-u, -v)$, cioè le due simmetrie precedenti una dopo l’altra.

Con $-f(x)$ dominio e zeri restano, l’immagine si capovolge, massimi e minimi si scambiano e la monotonia si inverte. Con $f(-x)$ restano immagine e intersezione con l’asse $y$, mentre dominio, zeri e asintoti verticali si specchiano e la monotonia si inverte. Così $\left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ è il simmetrico di $2^x$, come nella funzione esponenziale.

Nota il legame con la parità: una funzione è pari quando $f(-x) = f(x)$, cioè quando il ribaltamento rispetto all’asse $y$ lascia il grafico invariato; è dispari quando $-f(-x) = f(x)$, cioè quando lo lascia invariato il ribaltamento rispetto all’origine. La simmetria rispetto alla bisettrice $y = x$, invece, dà il grafico della funzione inversa.

Dilatazioni e contrazioni

In verticale: a f(x)

Con $a > 0$, $y = a\,f(x)$ moltiplica le ordinate per $a$: il punto $(u, v)$ va in $(u, av)$. È una dilatazione verticale se $a > 1$, una contrazione verticale se $0 < a < 1$. Dominio, zeri e ascisse di massimi e minimi restano; i loro valori, l’immagine e gli asintoti orizzontali si moltiplicano per $a$. Se $a < 0$, $a\,f(x) = -|a|\,f(x)$: alla dilatazione (o contrazione) di fattore $|a|$ si aggiunge la simmetria rispetto all’asse $x$.

In orizzontale: f(cx)

Con $c > 0$, $y = f(cx)$ agisce in orizzontale, di nuovo al contrario: con $c > 1$ il grafico si contrae di un fattore $c$ verso l’asse $y$, con $0 < c < 1$ si dilata.

Perché. Chiama $g(x) = f(cx)$. Nel punto $\frac{u}{c}$ vale $g\left(\frac{u}{c}\right) = f(u)$, quindi il punto $(u, v)$ va in $\left(\frac{u}{c}, v\right)$: con $c = 2$ le ascisse si dimezzano.

Dominio, zeri, ascisse di massimi e minimi e asintoti verticali si dividono per $c$; immagine, asintoti orizzontali e intersezione con l’asse $y$ restano. Se $c < 0$, $f(cx) = f(-|c|\,x)$: si aggiunge la simmetria rispetto all’asse $y$.

Nella figura $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$ è una semicirconferenza di raggio 2. Il grafico di $f(2x)$ tocca l’asse $x$ già in $x = \pm 1$: fa in metà spazio tutto quello che faceva $f$. È lo stesso effetto che, con le funzioni periodiche, divide il periodo per $c$: se $f$ ha periodo $T$, $f(cx)$ ha periodo $\frac{T}{|c|}$. Traslazioni, simmetrie e dilatazioni verticali lasciano invece il periodo com’è.

Le stesse mosse applicate all’esponenziale, al logaritmo e al seno hanno pagine dedicate.

Il valore assoluto: |f(x)| e f(|x|)

Il grafico di |f(x)|

Per la definizione di valore assoluto, $|f(x)| = f(x)$ dove $f(x) \geq 0$ e $|f(x)| = -f(x)$ dove $f(x) < 0$. Quindi le parti sotto l’asse $x$ si ribaltano sopra e le altre restano: il punto $(u, v)$ va in $(u, |v|)$.

• Dominio e zeri restano, e il risultato non è mai negativo.
• L’immagine si ottiene dai valori assoluti: se $f$ ha immagine $[-3, 1]$, $|f|$ ha immagine $[0, 3]$.
• Un minimo negativo diventa un massimo, e negli zeri in cui $f$ cambia segno nascono minimi di valore 0, spesso con uno spigolo, che si studia con le derivate nello studio di funzione con valore assoluto.
• Un asintoto $y = L$ diventa $y = |L|$, un limite $-\infty$ diventa $+\infty$, e il periodo può accorciarsi: $|\sin x|$ ha periodo $\pi$.

Il grafico di f(|x|)

Qui il valore assoluto agisce sulla $x$:

$$f(|x|) = \begin{cases} f(x) & \text{se } x \geq 0 \\ f(-x) & \text{se } x < 0 \end{cases}$$

Quindi si tiene la parte con $x \geq 0$ e al posto dell’altra si mette il suo specchio.

Perché è sempre pari. Per ogni $x$ si ha $\lvert -x \rvert = \lvert x \rvert$, quindi $f(\lvert -x \rvert) = f(\lvert x \rvert)$, qualunque sia $f$.

• Dominio: servono le $x$ con $|x|$ nel dominio di $f$: $\sqrt{|x| - 1}$ è definita per $x \leq -1$ e per $x \geq 1$.
• Zeri: restano quelli di $f$ maggiori o uguali a 0, con i loro opposti; quelli negativi spariscono.
• Immagine: è fatta dai valori di $f$ per $x \geq 0$. $x^3$ ha immagine $\mathbb{R}$, $|x|^3$ ha immagine $[0, +\infty)$.
• Asintoti, massimi e minimi: restano quelli della parte destra, più i loro specchi; in $x = 0$ può nascere uno spigolo.

Nella figura $f(x) = x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$, con immagine $[-4, +\infty)$. In $|f(x)|$ l’arco tra $-1$ e $3$ diventa una «gobba» con il massimo 4 in $x = 1$, e l’immagine diventa $[0, +\infty)$. In $f(|x|)$ le radici sono $\pm 3$: la radice $-1$ è sparita con la parte sinistra, e il minimo $-4$ è raggiunto in $x = \pm 1$.

Le due insieme: |f(|x|)|

In $|f(|x|)|$ l’ordine delle due mosse non conta, perché una agisce sulla $x$ e l’altra sulla $y$; il risultato è pari e mai negativo. Da $f(x) = x^2 - 2x$, con zeri 0 e 2 e vertice $(1, -1)$:

1. $f(|x|) = x^2 - 2|x|$ è una W con zeri $-2$, 0 e 2 e minimi $-1$ in $x = \pm 1$;
2. in $\lvert x^2 - 2|x| \rvert$ le due valli si ribaltano e diventano due gobbe di altezza 1.

Il grafico di 1/f(x)

Dal grafico di $f$ si ricava anche quello del reciproco, perché il reciproco di un numero ha lo stesso segno ed è grande quando il numero è piccolo, e viceversa.

• Dominio e segno: il dominio è quello di $f$ senza i suoi zeri; il segno è lo stesso.
• Punti fissi: dove $f$ vale 1 o $-1$ i grafici si incontrano; dove $|f| > 1$ si ha $\left|\frac{1}{f}\right| < 1$, e viceversa.
• Asintoti: se $f$ è continua e si annulla in $x_0$, e non in punti vicini, accanto a $x_0$ il reciproco diventa enorme in valore assoluto: $x = x_0$ è un asintoto verticale. Dove $f$ tende a $\pm\infty$, $\frac{1}{f}$ tende a 0.
• Monotonia: su un intervallo in cui $f$ non si annulla né cambia segno, se $f$ cresce $\frac{1}{f}$ decresce, e viceversa; un massimo di $f$ diventa un minimo di $\frac{1}{f}$.

Esempio. Da $f(x) = x^2 - 1$ a $\frac{1}{x^2 - 1}$. Gli zeri $\pm 1$ diventano asintoti verticali. Per $|x| > 1$ la parabola è positiva e va all’infinito: il reciproco è positivo e tende a 0. Tra $-1$ e 1 la parabola è negativa, con il minimo $-1$ nel vertice: lì il reciproco ha un massimo, ancora $-1$. I grafici si incontrano anche in $x = \pm\sqrt{2}$, dove la parabola vale 1.

Senza una sola derivata si legge anche l’immagine: $(-\infty, -1] \cup (0, +\infty)$.

Come combinare più trasformazioni

L’ordine conta

Parti da $x^2$. Se dilati di un fattore 2 e poi trasli di 1 verso l’alto ottieni $2x^2 + 1$; se trasli prima e dilati dopo ottieni $2(x^2 + 1) = 2x^2 + 2$. Vertici diversi. Succede anche in orizzontale: da $\sqrt{x}$, traslare di 4 verso destra e poi contrarre di un fattore 2 dà $\sqrt{2x - 4}$; contrarre e poi traslare di 4 dà $\sqrt{2x - 8}$.

La regola dell’ordine

Perché. In verticale $(u, v)$ va in $(u, av + k)$: prima si moltiplica, poi si somma. In orizzontale ci si chiede dove la nuova funzione raggiunge il valore che $f$ aveva in $u$: da $cx + d = u$ si ricava $x = \frac{u - d}{c}$. Le operazioni sulla $x$ si disfano in ordine inverso: prima si toglie $d$, poi si divide per $c$.

C’è una strada equivalente, spesso più comoda: raccogliere il coefficiente della $x$.

$$f(cx + d) = f\!\left(c\left(x + \frac{d}{c}\right)\right)$$

Ora la mossa più vicina a $f$ è la moltiplicazione per $c$: prima il fattore $c$, poi la traslazione di $-\frac{d}{c}$. Le due strade danno lo stesso grafico perché ognuna usa lo spostamento giusto per il suo ordine.

La scaletta

1. Riconosci la funzione di partenza e, se serve, riscrivi la formula: raccogli il coefficiente della $x$, completa il quadrato, dividi i polinomi.
2. Mosse sulla $x$, dalla più vicina a $f$: dopo aver raccolto, prima simmetria e contrazione, poi traslazione.
3. Mosse sulla $y$ nell’ordine dei calcoli: prima moltiplicazioni e cambi di segno, poi la costante; un valore assoluto esterno per ultimo.
4. Aggiorna a ogni passo punto iniziale o vertice, zeri, asintoti e dominio.
5. Controlla la formula finale in uno o due punti.

Esempio 1: y = 2√(x + 1) − 3

1. $\sqrt{x}$ → $\sqrt{x + 1}$: traslazione di 1 verso sinistra;
2. → $2\sqrt{x + 1}$: dilatazione verticale di un fattore 2;
3. → $2\sqrt{x + 1} - 3$: traslazione di 3 verso il basso.

Il grafico parte da $(-1, -3)$ e sale; in $x = 3$ vale $2 \cdot 2 - 3 = 1$.

Esempio 2: y = −(x − 1)² + 4

$x^2$ traslata di 1 verso destra, ribaltata rispetto all’asse $x$ e alzata di 4: una parabola rivolta verso il basso con vertice $(1, 4)$. Le radici vengono da $(x - 1)^2 = 4$: $x = -1$ e $x = 3$.

Esempio 3: y = 2 − 1/x

$\frac{1}{x}$ ribaltata rispetto all’asse $x$ e alzata di 2. Gli asintoti sono $x = 0$ e $y = 2$; per $x > 0$ la funzione cresce da $-\infty$ verso 2 e si annulla in $x = \frac{1}{2}$.

Esempio 4: y = |x² − 4|

$x^2$ abbassata di 4, con radici $\pm 2$; poi l’arco tra $-2$ e $2$ si ribalta sopra. Si ottiene una «W» con due punti angolosi in $x = \pm 2$ e una gobba di altezza 4 in $x = 0$.

Esempio 5: la trappola di y = √(2x − 4)

Viene voglia di dire «$\sqrt{x}$ traslata di 4 verso destra», ma quel grafico partirebbe da $x = 4$, mentre il radicando si annulla in $x = 2$. Per la regola, la mossa più vicina alla radice è «$-4$»: prima si trasla di 4, poi si contrae di un fattore 2, che porta il punto iniziale da 4 a 2 (in alto nella figura). Raccogliendo si segue l’altra strada:

$$\sqrt{2x - 4} = \sqrt{2(x - 2)}$$

prima la contrazione, poi la traslazione di 2 verso destra. Il trucco è sempre lo stesso: prima di leggere una traslazione orizzontale, raccogli il coefficiente della $x$.

Equazioni e disequazioni risolte con i grafici

Le soluzioni di $f(x) = k$ sono le ascisse dei punti in cui il grafico incontra la retta $y = k$; quelle di $f(x) > k$ sono le $x$ dove il grafico sta sopra la retta. Se $k$ è un parametro, fai salire la retta dal basso e conta le intersezioni: di solito il numero cambia ai massimi, ai minimi e agli asintoti orizzontali. Nel valore assoluto lo abbiamo fatto con $|x^2 - 2x| = k$; nella risoluzione grafica delle equazioni goniometriche si usano seni trasformati.

Esempio. Quante soluzioni ha $\lvert x^2 - 2|x| \rvert = k$ al variare di $k \in \mathbb{R}$? Il grafico costruito sopra ha zeri $-2$, 0 e 2, due gobbe alte 1 in $x = \pm 1$ e due rami esterni che salgono senza limite.

Valori di $k$	Soluzioni	Dove
$k < 0$	nessuna	la retta passa sotto
$k = 0$	3	$x = -2$, $0$, $2$
$0 < k < 1$	6	quattro sulle gobbe, due fuori
$k = 1$	4	$\pm 1$ e $\pm(1 + \sqrt{2})$
$k > 1$	2	una per ramo esterno

Verifica per $k = 1$ con $x \geq 0$: $x^2 - 2x = -1$ dà $x = 1$; $x^2 - 2x = 1$ dà $x = 1 \pm \sqrt{2}$, di cui solo $1 + \sqrt{2}$ è positiva. Per simmetria si aggiungono gli opposti.

Dallo stesso grafico si legge la disequazione $\lvert x^2 - 2|x| \rvert < 1$: il grafico sta sotto la retta $y = 1$ tra $-1 - \sqrt{2}$ e $1 + \sqrt{2}$, tranne in $x = \pm 1$, dove la tocca. La soluzione è

$$\begin{gathered} (-1 - \sqrt{2},\ -1) \cup (-1,\ 1) \\ {} \cup (1,\ 1 + \sqrt{2}) \end{gathered}$$

Tabella riassuntiva

Trasformazione	Come cambia il grafico	Esempio
$f(x) + k$	sale di $k$	$\sqrt{x} + 1$
$f(x - h)$	va a destra di $h$	$(x - 3)^2$
$-f(x)$	simmetria rispetto all’asse $x$	$-x^2$
$f(-x)$	simmetria rispetto all’asse $y$	$2^{-x}$
$-f(-x)$	simmetria rispetto all’origine	$-\sqrt{-x}$
$a\,f(x)$, $a > 1$	si allunga in verticale	$2\sqrt{x}$
$f(cx)$, $c > 1$	si stringe verso l’asse $y$	$\sqrt{2x}$
$f(cx)$, $0 < c < 1$	si allarga in orizzontale	$\sqrt{x/2}$
$\lvert f(x) \rvert$	parti negative ribaltate sopra	$\lvert x^2 - 4 \rvert$
$f(\lvert x \rvert)$	parte destra specchiata a sinistra	$x^2 - 2\lvert x \rvert$
$\frac{1}{f(x)}$	stesso segno, zeri che diventano asintoti	$\frac{1}{x^2 - 1}$

Gli errori più comuni

• Spostare $f(x - h)$ verso sinistra. Il meno dentro la funzione sposta a destra.
• Leggere $\sqrt{2x - 4}$ come una traslazione di 4. Le mosse sulla $x$ vanno in ordine inverso ai calcoli: raccogliendo, $\sqrt{2(x - 2)}$ è contratta e poi traslata di 2.
• Ricopiare gli zeri dopo una traslazione verticale. Gli zeri di $f(x) + k$ si ricalcolano da $f(x) = -k$, e possono anche nascere o sparire.
• Pensare che $f(2x)$ allarghi il grafico. Con $c > 1$ il grafico si stringe e il periodo si divide per $c$.
• Confondere $|f(x)|$ con $f(|x|)$. Il primo non è mai negativo, il secondo è sempre pari.
• Non aggiornare il dominio. $\sqrt{1 - x}$ è definita per $x \leq 1$, non per $x \geq 0$.

Esercizi svolti

1. Una V rovesciata

Testo. Disegna il grafico di $y = 3 - |x + 1|$ partendo da quello di $|x|$. Trova vertice, zeri, intersezione con l’asse $y$, immagine e monotonia.

La formula è $-|x + 1| + 3$: una mossa dentro, due fuori nell’ordine dei calcoli.

1. $|x|$ → $|x + 1|$: traslazione di 1 verso sinistra, il vertice va in $(-1, 0)$;
2. → $-|x + 1|$: simmetria rispetto all’asse $x$, la V si capovolge;
3. → $3 - |x + 1|$: traslazione di 3 verso l’alto, il vertice va in $(-1, 3)$.

Gli zeri vanno ricalcolati: $|x + 1| = 3$ dà $x + 1 = \pm 3$, cioè $x = 2$ e $x = -4$. In $x = 0$ la funzione vale $3 - 1 = 2$. È una V rovesciata con vertice $(-1, 3)$ e immagine $(-\infty, 3]$, crescente su $(-\infty, -1]$ e decrescente su $[-1, +\infty)$.

2. Dal grafico descritto a parole

Testo. Una funzione continua $f$ è definita su $[-2, 4]$. Cresce strettamente da $f(-2) = 0$ fino al massimo $f(1) = 3$, passando per $f(0) = 2$; poi decresce strettamente, si annulla in $x = 3$ e arriva a $f(4) = -1$. Descrivi $g(x) = f(x - 2) + 1$ e $h(x) = -f(-x)$: dominio, immagine, zeri, intersezione con l’asse $y$, massimo e minimo.

Dai dati, $f$ ha immagine $[-1, 3]$, massimo $(1, 3)$, minimo $(4, -1)$ e zeri $-2$ e 3.

La funzione $g$. Ogni punto $(u, v)$ va in $(u + 2, v + 1)$: dominio $[0, 6]$, immagine $[0, 4]$, massimo $(3, 4)$, minimo $(6, 0)$. Gli zeri vanno ricalcolati: $g(x) = 0$ vuol dire $f(x - 2) = -1$, e $f$ vale $-1$ solo in 4, quindi l’unico zero è $x = 6$. I vecchi zeri di $f$ sono finiti in $(0, 1)$ e $(5, 1)$: infatti $g(0) = f(-2) + 1 = 1$.

La funzione $h$. Ogni punto $(u, v)$ va in $(-u, -v)$: dominio $[-4, 2]$, immagine $[-3, 1]$, zeri $x = 2$ e $x = -3$, opposti di quelli di $f$, e $h(0) = -f(0) = -2$. Il minimo $(4, -1)$ diventa il massimo $(-4, 1)$, il massimo $(1, 3)$ diventa il minimo $(-1, -3)$.

3. Contrazioni, zeri e periodo

Testo. $f$ è definita su $\mathbb{R}$, ha periodo 6 e immagine $[-2, 5]$. In $[0, 6)$ si annulla solo in $x = 1$ e $x = 4$, e ha il massimo 5 solo in $x = 2$. Per $g(x) = f(2x)$ e $h(x) = 3f\left(-\frac{x}{2}\right)$ trova periodo, zeri in un periodo e posizione del massimo; trova anche l’immagine di $h$.

Per la periodicità gli zeri di $f$ sono i numeri $1 + 6n$ e $4 + 6n$, con $n$ intero, e il massimo è nei punti $2 + 6n$.

La funzione $g$. Le ascisse si dimezzano: il periodo è $\frac{6}{2} = 3$, e da $2x = 1 + 6n$ e $2x = 4 + 6n$ gli zeri sono

$$x = \frac{1}{2} + 3n, \qquad x = 2 + 3n$$

In $[0, 3)$ sono $\frac{1}{2}$ e 2; il massimo è in $x = 1 + 3n$ e l’immagine resta $[-2, 5]$.

La funzione $h$. Con $c = -\frac{1}{2}$ c’è una dilatazione orizzontale di fattore 2 con simmetria rispetto all’asse $y$, poi una dilatazione verticale di fattore 3. Il periodo è $6 : \frac{1}{2} = 12$. Da $-\frac{x}{2} = 1 + 6n$ e $-\frac{x}{2} = 4 + 6n$ si ha $x = -2 - 12n$ e $x = -8 - 12n$: con $n = -1$, gli zeri in $[0, 12)$ sono 10 e 4. Il massimo, $3 \cdot 5 = 15$, è dove $-\frac{x}{2} = 2 + 6n$: in $[0, 12)$, in $x = 8$; l’immagine è $[-6, 15]$. Verifica: $h(8) = 3f(-4) = 3f(2) = 15$.

4. |f| e f(|x|) per una cubica

Testo. $f(x) = x^3 - 4x$ è dispari, ha zeri $-2$, 0 e 2, un massimo relativo $\frac{16\sqrt{3}}{9} \approx 3{,}08$ in $x = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ e un minimo relativo $-\frac{16\sqrt{3}}{9}$ in $x = \frac{2}{\sqrt{3}}$, e tende a $\pm\infty$ per $x \to \pm\infty$. Descrivi zeri, immagine, massimi e minimi di $|f(x)|$, $f(|x|)$ e $|f(|x|)|$.

Da $f(x) = x(x - 2)(x + 2)$: $f$ è negativa su $(-\infty, -2)$ e su $(0, 2)$, positiva su $(-2, 0)$ e su $(2, +\infty)$.

$|f(x)|$. Si ribaltano gli archi su $(-\infty, -2)$ e su $(0, 2)$. Gli zeri $-2$, 0 e 2 diventano minimi assoluti; il minimo in $\frac{2}{\sqrt{3}}$ diventa un massimo relativo, alto come quello in $-\frac{2}{\sqrt{3}}$. L’immagine è $[0, +\infty)$, e la funzione è pari: $\lvert f(-x) \rvert = \lvert -f(x) \rvert = \lvert f(x) \rvert$.

$f(|x|) = |x|^3 - 4|x|$. Si specchia la parte con $x \geq 0$, che contiene gli zeri 0 e 2 e il minimo. Gli zeri restano $-2$, 0 e 2 solo perché quelli di $f$ sono simmetrici. I minimi assoluti sono in $x = \pm\frac{2}{\sqrt{3}}$, e in $x = 0$ c’è un massimo relativo uguale a 0, con uno spigolo. L’immagine è

$$\left[-\frac{16\sqrt{3}}{9},\ +\infty\right)$$

Stessi zeri e stessa parità, ma su $(0, 2)$ uno è positivo e l’altro negativo.

$|f(|x|)|$. È di nuovo $|f(x)|$: per $x < 0$ si ha $f(|x|) = f(-x) = -f(x)$, perché $f$ è dispari, e il modulo cancella il segno.

5. Cinque mosse nell’ordine giusto

Testo. Disegna $y = -2\sqrt{1 - x} + 3$ partendo da $\sqrt{x}$. Trova dominio, immagine, zero, intersezione con l’asse $y$ e monotonia.

Raccogliamo il coefficiente della $x$: $1 - x = -(x - 1)$. Prima la $x$, dalla mossa più vicina alla radice, poi la $y$, nell’ordine dei calcoli:

1. $\sqrt{x}$ → $\sqrt{-x}$: simmetria rispetto all’asse $y$, dominio $(-\infty, 0]$;
2. → $\sqrt{-(x - 1)}$: traslazione di 1 verso destra, il punto iniziale va in $(1, 0)$;
3. → $2\sqrt{1 - x}$: dilatazione verticale di un fattore 2;
4. → $-2\sqrt{1 - x}$: simmetria rispetto all’asse $x$;
5. → $-2\sqrt{1 - x} + 3$: traslazione di 3 verso l’alto, il punto iniziale va in $(1, 3)$.

Il dominio è $(-\infty, 1]$. Il radicale assume tutti i valori di $[0, +\infty)$, quindi l’immagine è $(-\infty, 3]$ e il massimo 3 è raggiunto in $x = 1$. Lo zero:

$$\begin{gathered} \sqrt{1 - x} = \frac{3}{2} \\ 1 - x = \frac{9}{4} \quad\Rightarrow\quad x = -\frac{5}{4} \end{gathered}$$

L’intersezione con l’asse $y$ è $(0, 1)$. Quando $x$ cresce, $\sqrt{1 - x}$ diminuisce, e il fattore $-2$ inverte la monotonia: la funzione è strettamente crescente. Controllo: in $x = -3$ vale $-2 \cdot 2 + 3 = -1$, negativa come previsto.

6. Da esame: quante soluzioni al variare di k

Testo. Disegna il grafico di $y = \left|2 - \frac{1}{|x|}\right|$ partendo da $\frac{1}{x}$, poi determina, al variare di $k \in \mathbb{R}$, il numero di soluzioni dell’equazione

$$\left|2 - \frac{1}{|x|}\right| = k$$

Il grafico.

1. Dall’esempio 3, per $x > 0$ la funzione $2 - \frac{1}{x}$ cresce da $-\infty$ verso l’asintoto $y = 2$ e si annulla in $\frac{1}{2}$.
2. $2 - \frac{1}{|x|}$ specchia questa parte: è pari e definita per $x \neq 0$.
3. Il valore assoluto ribalta il tratto negativo, dove $0 < |x| < \frac{1}{2}$.

Per $x > 0$ il grafico scende da $+\infty$ a 0 su $\left(0, \frac{1}{2}\right]$, poi risale verso $y = 2$ restando sotto. L’immagine è $[0, +\infty)$.

Le soluzioni. Conta per $x > 0$ e raddoppia: il ramo che scende assume una volta ogni valore positivo, quello che risale una volta ogni valore di $[0, 2)$.

Valori di $k$	Soluzioni	Quali
$k < 0$	nessuna	la retta passa sotto
$k = 0$	2	$x = \pm\frac{1}{2}$
$0 < k < 2$	4	due su ogni lato
$k \geq 2$	2	solo vicino all’asse $y$

Verifica. Per $k = 1$ e $x > 0$: $2 - \frac{1}{x} = 1$ dà $x = 1$, $2 - \frac{1}{x} = -1$ dà $x = \frac{1}{3}$; con gli opposti, quattro soluzioni. Per $k = 2$: $2 - \frac{1}{x} = 2$ è impossibile, $2 - \frac{1}{x} = -2$ dà $x = \frac{1}{4}$. Il numero cambia nel minimo e all’asintoto: il valore 2 è raggiunto in $\pm\frac{1}{4}$, ma mai dai rami esterni.

In sintesi

• Fuori da $f$ si agisce in verticale, dentro in orizzontale e al contrario: il punto $(u, v)$ va in $(u, v + k)$ con $f(x) + k$, in $(u + h, v)$ con $f(x - h)$, in $(u, av)$ con $a\,f(x)$, in $\left(\frac{u}{c}, v\right)$ con $f(cx)$.
• $-f(x)$, $f(-x)$ e $-f(-x)$ sono le simmetrie rispetto all’asse $x$, all’asse $y$ e all’origine; se $f$ ha periodo $T$, $f(cx)$ ha periodo $\frac{T}{|c|}$.
• $|f(x)|$ ribalta in su le parti negative; $f(|x|)$ specchia la parte con $x \geq 0$ ed è sempre pari.
• $\frac{1}{f}$ ha il segno di $f$, e gli zeri di $f$ diventano asintoti verticali.
• Ordine: fuori come nei calcoli, dentro dalla mossa più vicina a $f$: $f(c(x - h))$ si contrae e poi si trasla.

Con questo articolo si chiude la teoria del capitolo su insiemi e funzioni. Per fissare tutto, mettiti alla prova con gli esercizi svolti su insiemi e funzioni.