Funzioni iperboliche: seno e coseno iperbolico, grafici, formule ed esercizi svolti

Prendi l’esponenziale $e^x$ e il suo gemello allo specchio $e^{-x}$: la loro media è il coseno iperbolico, la loro semidifferenza il seno iperbolico, e il rapporto tra i due la tangente iperbolica. Non hanno niente a che fare con gli angoli, eppure si comportano in modo sorprendentemente simile a seno, coseno e tangente, con qualche segno cambiato. Nascono dalla funzione esponenziale e le ritroverai nelle derivate, negli integrali con le radici e in Fisica, dove descrivono una catena appesa. In questa pagina vediamo le definizioni, i grafici, le proprietà, l’identità fondamentale e il perché del nome, le formule di addizione e duplicazione, le funzioni inverse, la catenaria, gli errori più comuni e sei esercizi svolti.

Le definizioni

$e^x$ ed $e^{-x}$ sono due esponenziali speculari, uno il riflesso dell’altro rispetto all’asse $y$, come vedi nei grafici di funzioni esponenziali. Con due numeri si possono fare due cose naturali: la media e la semidifferenza. Eccole.

La tangente iperbolica è definita su tutto $\mathbb{R}$ perché $\cosh x$, somma di esponenziali, è sempre positivo. Esiste anche la cotangente iperbolica, $\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x}$ per $x \neq 0$, ma si usa poco.

Per $x = 0$ i due esponenziali valgono entrambi 1, quindi

$$\sinh 0 = 0, \quad \cosh 0 = 1, \quad \tanh 0 = 0$$

proprio come $\sin 0 = 0$ e $\cos 0 = 1$.

I grafici

Prima delle formule, guardiamo i grafici: dicono già quasi tutto.

• Per $x$ grande e positivo $e^{-x}$ è quasi zero, quindi $\cosh x$ e $\sinh x$ sono entrambi quasi uguali a $\frac{e^x}{2}$ e salgono come un esponenziale. La loro distanza è esattamente $\cosh x - \sinh x = e^{-x}$, che tende a 0: per esempio $\cosh 5 \approx 74{,}21$ e $\sinh 5 \approx 74{,}20$.
• Per $x$ molto negativo è $e^x$ a sparire: $\cosh x$ si avvicina a $\frac{e^{-x}}{2}$ e $\sinh x$ a $-\frac{e^{-x}}{2}$. Il coseno iperbolico tende quindi a $+\infty$ da entrambe le parti, il seno iperbolico a $\pm\infty$ per $x \to \pm\infty$.
• Vicino a 0 il coseno iperbolico somiglia a una parabola con il vertice in $(0, 1)$: lo vediamo con la catenaria.
• La tangente iperbolica, dividendo numeratore e denominatore per $e^x$, si scrive

$$\tanh x = \frac{1 - e^{-2x}}{1 + e^{-2x}}$$

Per $x \to +\infty$, $e^{-2x} \to 0$ e quindi $\tanh x \to 1$; per simmetria $\tanh x \to -1$ per $x \to -\infty$. Le rette $y = \pm 1$ sono asintoti orizzontali, e la curva le avvicina in fretta: già $\tanh 3 \approx 0{,}995$.

Immagine, parità e monotonia

Tutte e tre le funzioni hanno dominio $\mathbb{R}$. Ecco le altre proprietà, che dimostriamo una per una.

Funzione	Immagine	Parità
$\sinh x$	$\mathbb{R}$	dispari
$\cosh x$	$[1, +\infty)$	pari
$\tanh x$	$(-1, 1)$	dispari

La parità e la scomposizione dell’esponenziale

Sostituendo $-x$ al posto di $x$, $e^x$ ed $e^{-x}$ si scambiano: la somma non cambia, la differenza cambia segno.

$$\begin{gathered} \cosh(-x) = \frac{e^{-x} + e^{x}}{2} = \cosh x \\ \sinh(-x) = \frac{e^{-x} - e^{x}}{2} = -\sinh x \end{gathered}$$

Il coseno iperbolico è pari, il seno iperbolico dispari, e anche la tangente iperbolica, rapporto tra una funzione dispari e una pari, è dispari.

Ora somma e sottrai le due definizioni:

$$\begin{gathered} \cosh x + \sinh x = e^x \\ \cosh x - \sinh x = e^{-x} \end{gathered}$$

La prima riga spezza $e^x$ in una parte pari, $\cosh x$, e una dispari, $\sinh x$. Non è un caso: ogni funzione $f$ con dominio simmetrico si scrive in un solo modo come somma della parte pari $\frac{f(x) + f(-x)}{2}$ e della parte dispari $\frac{f(x) - f(-x)}{2}$, come dimostriamo nelle funzioni pari, dispari, periodiche e monotone. Con $f(x) = e^x$ queste formule sono proprio le definizioni di coseno e seno iperbolico. Nel grafico lo vedi: in ogni punto l’altezza della curva tratteggiata è la somma delle altezze delle altre due.

La monotonia

Perché è vero. $e^x$ è strettamente crescente ed $e^{-x}$ strettamente decrescente, quindi $-e^{-x}$ è strettamente crescente. Se $x_1 < x_2$ valgono allora

$$\begin{gathered} e^{x_1} < e^{x_2} \\ -e^{-x_1} < -e^{-x_2} \end{gathered}$$

e sommando, poi dividendo per 2, si ottiene $\sinh x_1 < \sinh x_2$. In breve: la somma di due funzioni strettamente crescenti è strettamente crescente.

Di conseguenza il seno iperbolico è iniettivo, quindi invertibile, e siccome $\sinh 0 = 0$ ha lo stesso segno di $x$.

Il coseno iperbolico, invece, è strettamente decrescente su $(-\infty, 0]$ e strettamente crescente su $[0, +\infty)$. Prendiamo $x_1 < x_2$. Moltiplicando si verifica che

$$\begin{gathered} e^{-x_2} - e^{-x_1} \\ {} = -\left(e^{x_2} - e^{x_1}\right) e^{-(x_1 + x_2)} \end{gathered}$$

quindi nella differenza dei due valori si può raccogliere:

$$\begin{gathered} \cosh x_2 - \cosh x_1 \\ {} = \frac{\left(e^{x_2} - e^{x_1}\right)\left(1 - e^{-(x_1 + x_2)}\right)}{2} \end{gathered}$$

Il primo fattore è positivo. Il secondo dipende dal segno di $x_1 + x_2$:

• se $0 \leq x_1 < x_2$, allora $x_1 + x_2 > 0$, $e^{-(x_1 + x_2)} < 1$ e la differenza è positiva: il coseno iperbolico cresce;
• se $x_1 < x_2 \leq 0$, allora $x_1 + x_2 < 0$, $e^{-(x_1 + x_2)} > 1$ e la differenza è negativa: decresce.

Anche la tangente iperbolica è strettamente crescente. Basta riscriverla così:

$$\tanh x = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} = 1 - \frac{2}{e^{2x} + 1}$$

Al crescere di $x$ il denominatore cresce, la frazione diminuisce e $\tanh x$ aumenta.

Il minimo del coseno iperbolico e la tangente limitata

Perché è vero. $\cosh x$ è la media aritmetica di due numeri positivi, $e^x$ ed $e^{-x}$, il cui prodotto è 1. La media aritmetica di due numeri positivi non è mai minore della loro media geometrica, qui $\sqrt{1} = 1$, e coincide con essa solo se i numeri sono uguali: $e^x = e^{-x}$, cioè $x = 0$.

Dalla scrittura $\tanh x = 1 - \frac{2}{e^{2x} + 1}$ si vede anche che la tangente iperbolica è limitata: siccome $e^{2x} + 1 > 1$, la frazione è strettamente compresa tra 0 e 2, quindi

$$-1 < \tanh x < 1 \quad \text{per ogni } x$$

I valori $\pm 1$ non vengono mai raggiunti. Che le immagini siano proprio $(-1, 1)$ e $[1, +\infty)$ lo verifichiamo risolvendo le equazioni, nel paragrafo sulle funzioni inverse.

Una curiosità. La tangente iperbolica ha la stessa forma a S della funzione logistica $\sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}$ ($\sigma$ è la lettera greca «sigma»), usata in statistica e nelle reti neurali: con qualche passaggio si verifica che $\tanh x = 2\sigma(2x) - 1$.

L’identità fondamentale

Dimostrazione. Sviluppiamo i quadrati, ricordando che il doppio prodotto vale $2\,e^x e^{-x} = 2$:

$$\begin{gathered} \cosh^2 x = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} \\ \sinh^2 x = \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} \end{gathered}$$

Sottraendo, $e^{2x}$ ed $e^{-2x}$ si cancellano e resta $\frac{2 - (-2)}{4} = 1$.

È l’identità della trigonometria, $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, con un segno cambiato. Tre conseguenze che userai spesso:

• $\cosh x = \sqrt{1 + \sinh^2 x}$, perché il coseno iperbolico è positivo. È una seconda dimostrazione di $\cosh x \geq 1$: la radice vale 1 solo se $\sinh x = 0$, cioè per $x = 0$.
• $\sinh x = \sqrt{\cosh^2 x - 1}$ per $x \geq 0$, e $\sinh x = -\sqrt{\cosh^2 x - 1}$ per $x < 0$.
• Dividendo per $\cosh^2 x$: $1 - \tanh^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}$.

Un controllo numerico

Per $x = 1$:

$$\begin{gathered} \cosh 1 = \frac{e + e^{-1}}{2} \approx 1{,}5431 \\ \sinh 1 = \frac{e - e^{-1}}{2} \approx 1{,}1752 \\ \tanh 1 \approx 0{,}7616 \end{gathered}$$

Calcolando i quadrati senza arrotondare prima, $\cosh^2 1 \approx 2{,}3811$ e $\sinh^2 1 \approx 1{,}3811$: la differenza è 1.

Perché «iperboliche»

L’identità $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ dice che il punto $(\cos t, \sin t)$ sta sulla circonferenza $x^2 + y^2 = 1$: per questo seno e coseno si chiamano anche funzioni circolari. Allo stesso modo $\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1$ dice che il punto $(\cosh t, \sinh t)$ sta sull’iperbole equilatera $x^2 - y^2 = 1$. Siccome $\cosh t \geq 1$, sta sempre sul ramo destro; e siccome $\sinh t$ assume tutti i valori reali, al variare di $t$ il punto percorre tutto quel ramo, dal basso verso l’alto.

L’analogia va oltre. Sulla circonferenza $t$ è l’angolo in radianti, ma è anche il doppio dell’area del settore circolare colorato, che vale $\frac{t}{2}$. Sull’iperbole succede lo stesso: per $t \geq 0$, il settore iperbolico compreso tra l’asse $x$, il segmento dall’origine al punto $(\cosh t, \sinh t)$ e l’arco di iperbole ha area esattamente $\frac{t}{2}$. La dimostrazione richiede un integrale e la saltiamo. Da questa area viene il nome delle inverse: il settore seno iperbolico, dato $\sinh t$, restituisce $t$, il doppio dell’area del settore.

Anche la tangente iperbolica ha un significato: $\tanh t = \frac{\sinh t}{\cosh t}$ è la pendenza del segmento che va dall’origine al punto. Sul ramo destro $x^2 = 1 + y^2 > y^2$, cioè $x > |y|$: il ramo sta tutto tra gli asintoti $y = \pm x$, e quella pendenza è sempre compresa tra $-1$ e $1$. Ecco, vista con la geometria, la disuguaglianza $-1 < \tanh t < 1$.

Secondo le ricostruzioni storiche, le funzioni iperboliche furono presentate nel 1757 dal gesuita veneto Vincenzo Riccati, che le indicava con Sh. e Ch., come fanno ancora molti libri italiani; Johann Heinrich Lambert ne sviluppò poi la teoria in modo sistematico, pochi anni dopo.

Le formule di addizione e duplicazione

Anche le formule di addizione somigliano a quelle trigonometriche, con qualche segno diverso.

Dimostrazione della seconda. Moltiplichiamo le definizioni termine per termine:

$$\begin{gathered} 4\cosh x \cosh y \\ {} = e^{x+y} + e^{x-y} + e^{-x+y} + e^{-x-y} \\ 4\sinh x \sinh y \\ {} = e^{x+y} - e^{x-y} - e^{-x+y} + e^{-x-y} \end{gathered}$$

Sommando, i termini misti $e^{x-y}$ ed $e^{-x+y}$ si cancellano:

$$\begin{gathered} 4(\cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y) \\ {} = 2e^{x+y} + 2e^{-(x+y)} = 4\cosh(x + y) \end{gathered}$$

e dividendo per 4 si ha la formula. La prima si dimostra allo stesso modo.

Cambiando $y$ in $-y$ e usando la parità si ottengono le formule di sottrazione, con il meno al posto del più. Dividendo le formule di addizione si ricava quella della tangente:

$$\tanh(x + y) = \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x \tanh y}$$

Ponendo $y = x$ si ottengono le formule di duplicazione:

$$\begin{gathered} \sinh 2x = 2 \sinh x \cosh x \\ \cosh 2x = \cosh^2 x + \sinh^2 x \end{gathered}$$

Con l’identità fondamentale la seconda si scrive anche così, con una sola funzione:

$$\begin{gathered} \cosh 2x = 2\cosh^2 x - 1 \\ \cosh 2x = 1 + 2\sinh^2 x \end{gathered}$$

Da qui $\cosh^2 x = \frac{\cosh 2x + 1}{2}$ e $\sinh^2 x = \frac{\cosh 2x - 1}{2}$, formule che abbassano il grado e servono negli integrali.

La regola di Osborn

Per ricordare queste formule c’è un trucco, la regola di Osborn, dal nome di George Osborn che la pubblicò nel 1902: si parte dalla formula trigonometrica, si sostituiscono $\sin$ con $\sinh$ e $\cos$ con $\cosh$, e si cambia segno a ogni termine che contiene il prodotto di due seni. Così in $\cos(x + y)$ il termine $-\sin x \sin y$ diventa $+\sinh x \sinh y$, e $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ diventa $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$. Occhio ai prodotti nascosti: $\tan^2 x$ contiene $\sin^2 x$, quindi $1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ diventa $1 - \tanh^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}$. Funziona per le formule più comuni, ma è un aiuto per la memoria, non una dimostrazione: nel dubbio, si controlla con gli esponenziali.

Derivate e integrali: cosa ti aspetta

Il calcolo differenziale arriva più avanti nel corso, ma ecco i risultati principali.

• Derivate. $(\sinh x)' = \cosh x$ e $(\cosh x)' = \sinh x$, senza il segno meno del coseno; inoltre $(\tanh x)' = \frac{1}{\cosh^2 x} = 1 - \tanh^2 x$. Le dimostrazioni sono nelle derivate delle funzioni elementari.
• Integrali. Lette al contrario, le derivate dicono che $\sinh x$ è una primitiva di $\cosh x$ e viceversa. L’identità fondamentale, con la sostituzione $x = \sinh t$, fa sparire radici come $\sqrt{x^2 + 1}$: lo vedi negli integrali di funzioni irrazionali.
• Approssimazioni. Con la formula di Taylor si trova che, vicino a 0, $\cosh x \approx 1 + \frac{x^2}{2}$ e $\sinh x \approx x$.

La catenaria

Prendi una catenina per i due capi e lasciala pendere: la curva che forma si chiama catenaria, dal latino catena, ed è il grafico di un coseno iperbolico. Mettendo l’asse $y$ sulla verticale del punto più basso e l’asse $x$ a distanza $a$ sotto di esso, l’equazione è

$$y = a \cosh\frac{x}{a}$$

Il punto più basso è $(0, a)$. La costante $a > 0$ è una lunghezza: in Fisica si trova che è il rapporto tra la componente orizzontale della tensione del filo e il suo peso per unità di lunghezza. Più la catena è tesa, più $a$ è grande e più la curva è piatta. È la forma di catene, collane e cavi dell’alta tensione: fili il cui peso è distribuito in modo uniforme lungo il filo.

Catenaria o parabola?

A occhio una catena appesa sembra una parabola, e non per caso: vicino al vertice le due curve quasi coincidono. Con $a = 1$ e il vertice abbassato nell’origine, confrontiamo $y = \cosh x - 1$ con la parabola $y = \frac{x^2}{2}$ che la approssima vicino a 0.

$x$	$\cosh x - 1$	$\frac{x^2}{2}$
0,5	0,1276	0,125
1	0,5431	0,5
2	2,7622	2
3	9,0677	4,5

Per $x = 0{,}5$ la differenza è del 2%, per $x = 3$ la catenaria è già circa il doppio: lontano dal vertice l’esponenziale cresce molto più in fretta di qualunque parabola.

Esempio. Una catena con $a = 10$ m è appesa a due ganci alla stessa altezza, distanti 20 m, cioè in $x = \pm 10$. La freccia, cioè di quanto il punto più basso sta sotto i ganci, è

$$\begin{gathered} h = a\cosh\frac{10}{a} - a = 10\,(\cosh 1 - 1) \\ h \approx 5{,}43\ \text{m} \end{gathered}$$

La parabola che la approssima vicino al vertice, $y = a + \frac{x^2}{2a}$, darebbe $\frac{100}{20} = 5$ m: quasi mezzo metro in meno.

Una parabola vera la trovi nei ponti sospesi, dove il cavo regge soprattutto l’impalcato, con il peso distribuito in modo uniforme in orizzontale. Rovesciata, invece, la catenaria è la forma ideale di un arco che regge il proprio peso lavorando solo a compressione. Il Gateway Arch di St. Louis (Stati Uniti, 1965), alto 192 metri e largo altrettanto, viene spesso descritto come una catenaria rovesciata; più precisamente è una «catenaria pesata», del tipo $y = A\cosh(Bx)$ capovolta con $AB \neq 1$, perché le sue gambe sono più pesanti in basso che in cima.

La lunghezza di un arco di catenaria si calcola facilmente proprio grazie all’identità fondamentale: lo vedi nelle applicazioni degli integrali.

Un po’ di storia

Si legge spesso che Galileo credesse la catena appesa una parabola; in realtà nei Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (1638) scrisse che la parabola è solo un’approssimazione, tanto migliore quanto meno la catena è incurvata: proprio quello che mostra la tabella. Che non sia una parabola lo dimostrò Joachim Jungius, in un lavoro pubblicato dopo la sua morte, nel 1669. L’equazione esatta arrivò nel 1691, quando Leibniz, Huygens e Johann Bernoulli risposero a una sfida di Jacob Bernoulli: le tre soluzioni uscirono sugli Acta Eruditorum del giugno 1691. Nessuno di loro scriveva «cosh»: le funzioni iperboliche arrivarono una sessantina d’anni dopo.

Cenno alle funzioni inverse

Qui serve il logaritmo naturale: per $y > 0$, $\ln y$ è l’unico numero il cui esponenziale è $y$, cioè $e^{\ln y} = y$. I logaritmi li studierai nel capitolo sul logaritmo.

Il settore seno iperbolico. Il seno iperbolico è strettamente crescente e, come mostra il calcolo qui sotto, assume tutti i valori reali: è una biiezione di $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$. La sua inversa, definita su tutto $\mathbb{R}$, è

$$\operatorname{settsinh} x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$$

Da $y = \sinh x$, moltiplicando per $2e^x$, si ottiene $e^{2x} - 2y\,e^x - 1 = 0$, un’equazione di secondo grado nell’incognita $e^x$. Delle due soluzioni $e^x = y \pm \sqrt{y^2 + 1}$ si tiene quella con il più, l’unica positiva, e si prende il logaritmo. Tutti i passaggi sono nell’esercizio 8, sull’inversa del seno iperbolico, negli esercizi svolti sulla funzione logaritmica.

Il settore coseno iperbolico. Il coseno iperbolico è pari, quindi non iniettivo. Ristretto a $[0, +\infty)$, dove è strettamente crescente, diventa una biiezione di $[0, +\infty)$ in $[1, +\infty)$, e la sua inversa, definita per $x \geq 1$ e con valori in $[0, +\infty)$, è

$$\operatorname{settcosh} x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)$$

Da $y = \cosh x$ si arriva a $e^{2x} - 2y\,e^x + 1 = 0$, con soluzioni $e^x = y \pm \sqrt{y^2 - 1}$, reali solo se $y^2 \geq 1$. Il loro prodotto è 1 e la somma $2y$: per $y \leq -1$ sono entrambe negative e vanno scartate, per $y \geq 1$ sono entrambe positive. Sono $e^x$ ed $e^{-x}$, cioè danno due valori opposti di $x$. Volendo $x \geq 0$, cioè $e^x \geq 1$, si tiene quella con il più.

Quindi $\cosh x = k$ ha due soluzioni opposte, $x = \pm\operatorname{settcosh} k$, se $k > 1$; la sola $x = 0$ se $k = 1$; nessuna se $k < 1$. Questo prova che l’immagine del coseno iperbolico è proprio $[1, +\infty)$. Allo stesso modo, per $-1 < y < 1$ l’equazione $\tanh x = y$ equivale a $e^{2x} = \frac{1 + y}{1 - y}$, con secondo membro positivo, e ha l’unica soluzione $x = \frac{1}{2}\ln\frac{1 + y}{1 - y}$: l’immagine della tangente iperbolica è proprio $(-1, 1)$.

Le derivate delle inverse sono semplicissime: per esempio $(\operatorname{settsinh} x)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$, come calcoliamo negli esercizi sulle regole di derivazione.

Gli errori più comuni

• Scrivere cosh² x + sinh² x = 1. Nell’identità fondamentale c’è il meno. La somma $\cosh^2 x + \sinh^2 x$ vale $\cosh 2x$, che per $x \neq 0$ è maggiore di 1.
• Copiare le formule trigonometriche senza cambiare i segni. $\cosh(x + y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y$, con il più. Nel dubbio usa la regola di Osborn e controlla con gli esponenziali.
• Mettere il segno meno nella derivata del coseno iperbolico. $(\cosh x)' = \sinh x$, non $-\sinh x$.
• Pensare che seno e coseno iperbolico siano periodici o limitati. Crescono come un esponenziale; l’unica limitata è la tangente iperbolica.
• Dimenticare una soluzione di cosh x = k. Il coseno iperbolico è pari: per $k > 1$ le soluzioni sono due, opposte; per $k < 1$ non ce ne sono.
• Tenere una soluzione negativa dopo la sostituzione t = eˣ. L’esponenziale è sempre positivo: le radici $t \leq 0$ vanno scartate.
• Confondere sinh⁻¹ x con 1/sinh x. Sulle calcolatrici $\sinh^{-1}$ è la funzione inversa, non il reciproco.
• Dire che una catena appesa forma una parabola. Forma una catenaria: le due curve si somigliano solo vicino al vertice.

Esercizi svolti

1. Valori esatti con i logaritmi

Testo. Calcola il valore esatto di $\cosh(\ln 2)$, $\sinh(\ln 3)$ e $\tanh(\ln 3)$.

Il trucco è che, per ogni $a > 0$, $e^{\ln a} = a$ ed $e^{-\ln a} = \frac{1}{a}$. Quindi:

$$\begin{gathered} \cosh(\ln 2) = \frac{2 + \frac{1}{2}}{2} = \frac{5}{4} \\ \sinh(\ln 3) = \frac{3 - \frac{1}{3}}{2} = \frac{4}{3} \end{gathered}$$

Per la tangente serve anche il coseno iperbolico di $\ln 3$:

$$\begin{gathered} \cosh(\ln 3) = \frac{3 + \frac{1}{3}}{2} = \frac{5}{3} \\ \tanh(\ln 3) = \frac{4/3}{5/3} = \frac{4}{5} \end{gathered}$$

Controllo con l’identità fondamentale: $\left(\frac{5}{3}\right)^2 - \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{25 - 16}{9} = 1$. I risultati sono $\frac{5}{4}$, $\frac{4}{3}$ e $\frac{4}{5}$. In generale $\cosh(\ln a) = \frac{a^2 + 1}{2a}$: le funzioni iperboliche del logaritmo di un razionale positivo sono numeri razionali.

2. La formula di triplicazione

Testo. Dimostra che per ogni $x$ reale vale $\sinh 3x = 3\sinh x + 4\sinh^3 x$, e controlla la formula per $x = \ln 2$.

Scriviamo $3x = 2x + x$ e usiamo la formula di addizione:

$$\begin{gathered} \sinh 3x = \sinh(2x + x) \\ {} = \sinh 2x \cosh x + \cosh 2x \sinh x \end{gathered}$$

Ora le duplicazioni: $\sinh 2x = 2\sinh x \cosh x$ e, visto che vogliamo arrivare al solo seno iperbolico, $\cosh 2x = 1 + 2\sinh^2 x$:

$$\begin{gathered} \sinh 3x = 2\sinh x \cosh^2 x \\ {} + \left(1 + 2\sinh^2 x\right)\sinh x \end{gathered}$$

Resta un $\cosh^2 x$, che con l’identità fondamentale diventa $1 + \sinh^2 x$:

$$\begin{gathered} \sinh 3x = 2\sinh x\left(1 + \sinh^2 x\right) \\ {} + \sinh x + 2\sinh^3 x \\ {} = 3\sinh x + 4\sinh^3 x \end{gathered}$$

Controllo per $x = \ln 2$. A sinistra:

$$\begin{gathered} \sinh(\ln 2) = \frac{2 - 1/2}{2} = \frac{3}{4} \\ \sinh(3\ln 2) = \sinh(\ln 8) \\ {} = \frac{8 - 1/8}{2} = \frac{63}{16} \end{gathered}$$

A destra:

$$3 \cdot \frac{3}{4} + 4 \cdot \frac{27}{64} = \frac{36}{16} + \frac{27}{16} = \frac{63}{16}$$

La formula è dimostrata e il controllo torna. Confrontala con $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$: il termine $\sin^3 x$ contiene il prodotto di due seni, e la regola di Osborn ne cambia il segno, proprio come abbiamo trovato.

3. Un’equazione con il coseno iperbolico

Testo. Risolvi l’equazione $\cosh x = \frac{5}{4}$.

Moltiplicando per 2 si ha $e^x + e^{-x} = \frac{5}{2}$. Poniamo $t = e^x$, con $t > 0$, e moltiplichiamo per $2t$:

$$\begin{gathered} t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2} \\ 2t^2 - 5t + 2 = 0 \end{gathered}$$

Il discriminante è $25 - 16 = 9$, quindi $t = \frac{5 \pm 3}{4}$: $t = 2$ oppure $t = \frac{1}{2}$. Sono entrambe positive e vanno tenute:

$$\begin{gathered} e^x = 2 \iff x = \ln 2 \\ e^x = \frac{1}{2} \iff x = -\ln 2 \end{gathered}$$

Le soluzioni sono $x = \pm\ln 2$, opposte come previsto dalla parità del coseno iperbolico. Ritrovi il valore dell’esercizio 1, $\cosh(\ln 2) = \frac{5}{4}$, e la formula delle inverse: $\operatorname{settcosh}\frac{5}{4} = \ln\left(\frac{5}{4} + \frac{3}{4}\right) = \ln 2$.

4. Seno e coseno iperbolico insieme

Testo. Risolvi l’equazione $3\sinh x - \cosh x = 1$.

Sostituiamo le definizioni e moltiplichiamo per 2:

$$\begin{gathered} 3\left(e^x - e^{-x}\right) - \left(e^x + e^{-x}\right) = 2 \\ 2e^x - 4e^{-x} = 2 \\ e^x - 2e^{-x} = 1 \end{gathered}$$

Con $t = e^x > 0$, moltiplicando per $t$:

$$\begin{gathered} t^2 - t - 2 = 0 \\ (t - 2)(t + 1) = 0 \end{gathered}$$

La soluzione $t = -1$ va scartata, perché $e^x$ è sempre positivo; resta $e^x = 2$, cioè $x = \ln 2$. Controllo con gli esercizi 1 e 2: $\sinh(\ln 2) = \frac{3}{4}$ e $\cosh(\ln 2) = \frac{5}{4}$, quindi $3 \cdot \frac{3}{4} - \frac{5}{4} = 1$. L’unica soluzione è $x = \ln 2$: la radice $t = -1$ è il classico tranello, perché l’equazione di secondo grado non sa che $t$ deve essere positivo.

5. Una funzione costruita con la tangente iperbolica

Testo. Sia $f(x) = x + \tanh x$.

1. Stabilisci se $f$ è pari o dispari.
2. Dimostra che è strettamente crescente.
3. Dimostra che $x - 1 < f(x) < x + 1$ per ogni $x$, e deducine i limiti a $\pm\infty$ e l’immagine.
4. Studia il segno di $f$.

1. $f(-x) = -x + \tanh(-x) = -x - \tanh x = -f(x)$: $f$ è dispari.

2. $x$ e $\tanh x$ sono strettamente crescenti, quindi lo è anche la loro somma.

3. Basta sommare $x$ a tutti i membri di $-1 < \tanh x < 1$:

$$x - 1 < f(x) < x + 1$$

Il grafico sta quindi nella striscia tra le rette parallele $y = x - 1$ e $y = x + 1$. Per $x \to +\infty$, $f(x)$ è maggiore di $x - 1 \to +\infty$, quindi tende a $+\infty$; per $x \to -\infty$ è minore di $x + 1 \to -\infty$ e tende a $-\infty$. Siccome $f$ è continua (lo vedrai nel capitolo sulla continuità), per il teorema dei valori intermedi assume tutti i valori reali: l’immagine è $\mathbb{R}$. Inoltre $f(x) - (x + 1) = \tanh x - 1 \to 0$ per $x \to +\infty$: la retta $y = x + 1$ è un asintoto obliquo a destra, e allo stesso modo $y = x - 1$ lo è a sinistra.

4. $f(0) = 0$ e $f$ è strettamente crescente, quindi $f(x) > 0$ per $x > 0$ e $f(x) < 0$ per $x < 0$.

In conclusione $f$ è dispari, strettamente crescente, invertibile, con immagine $\mathbb{R}$ e lo stesso segno di $x$; il grafico ha due asintoti obliqui diversi, $y = x + 1$ a destra e $y = x - 1$ a sinistra.

6. Il minimo di una combinazione

Testo. Sia $f(x) = 5\cosh x + 3\sinh x$. Senza usare le derivate, trova il valore minimo di $f$, il punto in cui lo assume e l’immagine di $f$.

L’idea è quella del metodo dell’angolo aggiunto per $a\sin x + b\cos x$, che trovi nelle equazioni lineari in seno e coseno: scrivere $f$ come un solo coseno iperbolico. Cerchiamo $R > 0$ e $\varphi$ tali che

$$\begin{gathered} f(x) = R\cosh(x + \varphi) \\ {} = R\cosh\varphi \cosh x + R\sinh\varphi \sinh x \end{gathered}$$

Servono $R\cosh\varphi = 5$ e $R\sinh\varphi = 3$. Elevando al quadrato e sottraendo, l’identità fondamentale fa sparire $\varphi$:

$$R^2\left(\cosh^2\varphi - \sinh^2\varphi\right) = 25 - 9 = 16$$

quindi $R = 4$, $\cosh\varphi = \frac{5}{4}$ e $\sinh\varphi = \frac{3}{4}$. Dagli esercizi 1 e 2, $\varphi = \ln 2$ va bene:

$$f(x) = 4\cosh(x + \ln 2)$$

Il coseno iperbolico vale almeno 1, e vale 1 solo quando il suo argomento è 0. Quindi il minimo di $f$ è 4, assunto per $x + \ln 2 = 0$, cioè $x = -\ln 2$. Al variare di $x$ in $\mathbb{R}$ anche $x + \ln 2$ varia in tutto $\mathbb{R}$, quindi l’immagine di $f$ è $[4, +\infty)$.

Controllo con gli esponenziali: $f(x) = 4e^x + e^{-x}$, che in $x = -\ln 2$ vale $4 \cdot \frac{1}{2} + 2 = 4$, come previsto. Il metodo funziona perché il coefficiente del coseno iperbolico, 5, è maggiore di quello del seno, 3: per esempio $3\cosh x + 5\sinh x = 4e^x - e^{-x}$ tende a $-\infty$ e non ha minimo.

Altri esercizi, anche con le funzioni iperboliche, li trovi negli esercizi svolti sulla funzione esponenziale.

In sintesi

• $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$, $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$, $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$, definite su $\mathbb{R}$; $e^x = \cosh x + \sinh x$ è la scomposizione di $e^x$ in parte pari e dispari.
• $\sinh$ e $\tanh$ sono dispari e strettamente crescenti; $\cosh$ è pari, strettamente decrescente su $(-\infty, 0]$ e strettamente crescente su $[0, +\infty)$, con minimo 1 in $x = 0$.
• Immagini: $\sinh$ tutto $\mathbb{R}$, $\cosh$ $[1, +\infty)$, $\tanh$ $(-1, 1)$, con asintoti $y = \pm 1$.
• Identità fondamentale: $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$. Il punto $(\cosh t, \sinh t)$ percorre il ramo destro dell’iperbole $x^2 - y^2 = 1$, e $t$ è il doppio dell’area del settore iperbolico.
• Addizione: $\sinh(x + y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y$, $\cosh(x + y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y$; duplicazione: $\sinh 2x = 2\sinh x \cosh x$, $\cosh 2x = \cosh^2 x + \sinh^2 x$.
• Derivate: $(\sinh x)' = \cosh x$ e $(\cosh x)' = \sinh x$, senza segni meno.
• Inverse: $\operatorname{settsinh} x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$ su $\mathbb{R}$, $\operatorname{settcosh} x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)$ per $x \geq 1$.
• Una catena appesa ha la forma $y = a\cosh\frac{x}{a}$, la catenaria: vicino al vertice somiglia a una parabola, lontano cresce molto più in fretta.

Per chiudere il capitolo vediamo l’esponenziale al lavoro nel mondo reale: crescita e decadimento esponenziale.